(Luận văn) một số ứng dụng của liên phân số

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN MINH THÚY lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ oa nl w d LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu Thái Nguyên - 2015 n va ac th si ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN MINH THÚY lu an n va p ie gh tn to MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LIÊN PHÂN SỐ d oa nl w Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 an lu nf va LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC z at nh oi lm ul Người hướng dẫn khoa học TS NGUYỄN VĂN HOÀNG z m co l gm @ an Lu n va Thái Nguyên - 2015 ac th si i Mục lục Mục lục i Danh sách kí hiệu ii Danh sách hình vẽ iii lu 1 Kiến thức liên phân số an Mở đầu 1.2 Liên phân số vô hạn 1.3 Giải phương trình đồng dư bậc ẩn 11 1.4 Giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ẩn 12 14 tn to Liên phân số hữu hạn gh n va 1.1 p ie Ứng dụng liên phân số giải phương trình Pell oa nl w 1.5 Xấp xỉ tốt số vơ tỉ góc nhìn hình học 17 d Xấp xỉ tốt số vô tỉ 2.2 Liên phân số góc độ hình học 18 34 47 lm ul 48 z at nh oi Tài liệu tham khảo nf va Kết luận an lu 2.1 z m co l gm @ an Lu n va ac th si ii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng ký hiệu với ý nghĩa xác định lu an n va bảng đây: N: Z: Z+ : Q: R: R − Q: Tập Tập Tập Tập Tập Tập các các các số số số số số số tự nhiên nguyên nguyên dương hữu tỉ thực vô tỉ p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si iii Danh sách hình vẽ lu Stt an n va Tên hình Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3 Hình 2.4 Hình 2.5 Hình 2.6 Hình 2.7 Hình 2.8 Trang 35 36 37 38 39 39 40 46 p ie gh tn to d oa nl w nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Mở đầu Liên phân số giới thiệu Leonardo Fibonacci cơng trình "Liber abaci" xuất năm 1202 Đến kỉ thứ 16, Bombelli biểu diễn số thực liên phân số Sau này, vào kỉ thứ 17, Huygens sử dụng chúng việc xây dựng mơ hình hệ thống lượng mặt trời Điều tuyệt vời liên lu an phân số mang lại cách biểu diễn số vô tỉ rõ ràng n va Liên phân số đối tượng quan trọng Số học với nhiều ứng dụng hay không lĩnh vực Tốn học mà cịn có nhiều ứng dụng to tn thực tiễn Vì vậy, chọn đề tài "Một số ứng dụng liên phân số" ie gh nhằm tìm hiểu ứng dụng liên phân số vào số tốn số học với p ví dụ đơn giản áp dụng cho học sinh phổ thơng, đồng thời nghiên cứu xấp xỉ tốt số vô tỉ, đặc biệt việc xem xét liên phân số w oa nl góc độ hình học để hiểu sâu liên phân số Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương: d an lu Chương Chương chúng tơi trình bày số kiến thức liên phân số vài ứng dụng phổ biến nó: giải phương trình đồng dư bậc nf va ẩn, giải phương trình nghiệm nguyên bậc hai ẩn, ứng dụng liên phân số giải lm ul phương trình Pell z at nh oi Chương Chương chúng tơi trình bày cách xấp xỉ số vô tỉ số hữu tỉ thông qua giản phân liên phân số Phần thứ chương trình bày hai loại xấp xỉ xấp xỉ tốt loại xấp xỉ tốt loại hai z số vơ tỉ góc độ đại số, tính chất số hữu tỉ đủ gần số vô tỉ @ việc tìm số xấp xỉ tốt vài trường hợp đặc gm biệt Phần thứ hai chương trình bày việc minh họa hình học tính l co xấp xỉ số vô tỉ số hữu tỉ thông qua việc mô tả khoảng cách từ điểm m nguyên (q, p) đến đường thẳng L có độ nghiêng số vơ tỉ α an Lu Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình thầy giáo TS Nguyễn Văn Hoàng - Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên n va ac th si Tơi xin bày tỏ lịng kính trọng biết ơn sâu sắc đến Thầy hướng dẫn hiệu kinh nghiệm suốt trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin gửi tới thầy, khoa Tốn - Tin, phịng Sau Đại học, Trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên thầy giáo, cô giáo tham gia giảng dạy lớp Cao học Tốn A khóa 2013 - 2015 lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ suốt trình giáo dục, đào tạo nhà trường Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu trường THPT Ngô Quyền - Hạ Long, Quảng Ninh, bạn bè đồng nghiệp bạn học viên động viên giúp đỡ q trình hồn thành luận văn Cuối cùng, điều kiện thời gian nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu lu an sót, tơi mong nhận đóng góp ý kiến thầy, bạn để n va luận văn hoàn thiện to tn Thái Nguyên, ngày 18 tháng 04 năm 2015 p ie gh Tác giả nl w d oa Nguyễn Minh Thúy nf va an lu z at nh oi lm ul z m co l gm @ an Lu n va ac th si Chương Kiến thức liên phân số lu an n va Liên phân số hữu hạn nl w 1.1 p ie gh tn to Chương nhằm trình bày kiến thức cần thiết liên phân số đơn hữu hạn, liên phân số đơn vô hạn số áp dụng thông dụng chúng (giải phương trình nghiệm nguyên, phương trình đồng dư) trình bày chương giúp cho việc trình bày có tính hệ thống sáng rõ Kiến thức chương trình bày dựa số tài liệu [6], [1], [2], [4] oa Định nghĩa 1.1.1 Một biểu thức có dạng d 1 a1 + nf va an lu a0 + a2 + an−1 + z at nh oi lm ul + an với a0 , a1 , a2 , , an ∈ R a1 , a2 , , an > gọi liên phân số hữu hạn ký hiệu z @ gm [a0 ; a1 , a2 , , an ] m co l Trong trường hợp a0 , a1 , a2 , , an ∈ Z ta gọi [a0 ; a1 , a2 , , an ] liên phân số đơn hữu hạn an Lu Tính chất sau cho ta đặc trưng số hữu tỉ qua liên phân số đơn hữu hạn n va ac th si Định lý 1.1.2 Cho α ∈ R Khi α số hữu tỉ α biểu diễn dạng liên phân số đơn hữu hạn a Chứng minh Giả sử α = số hữu tỉ (với a, b ∈ Z, b > 0) Khi b thuật tốn Euclid ta có biểu diễn a = bq0 + r1 , b = r1 q1 + r2 , r1 = r2 q2 + r3 , , rn−2 = rn−1 qn−1 +rn , rn−1 = rn qn +0, q0 ∈ Z, q1 , , qn ∈ N∗ qn > Từ a r1 = q + = q0 + r2 = = q0 + b b q1 + q1 + r1 1 q2 + + lu an qn−1 + qn n va a = [q0 ; q1 , q2 , , qn ] liên phân số đơn hữu hạn Ngược lại, b α = [q0 ; q1 , q2 , , qn ] dễ thấy số hữu tỉ Suy gh tn to p ie Định nghĩa 1.1.3 Cho α = [a0 ; a1 , a2 , , an ] liên phân số hữu hạn, liên phân số hữu hạn ci = [a0 ; a1 , a2 , , ] (trong ≤ i ≤ n) gọi giản phân thứ i α oa nl w d Định nghĩa 1.1.4 Cho α = [a0 ; a1 , a2 , , an ] liên phân số hữu hạn, ta định nghĩa P0 , P1 , P2 , , Pn Q0 , Q1 , Q2 , , Qn quy tắc truy hồi sau như: P0 = a0 , P1 = a0 a1 + Pi = Pi−1 + Pi−2 , với ≤ i ≤ n; nf va an lu lm ul z at nh oi Q0 = 1, Q1 = a1 Qi = Qi−1 + Qi−2 , với ≤ i ≤ n z Bổ đề 1.1.5 Nếu α = [a0 ; a1 , a2 , , an ] liên phân số đơn hữu hạn Q0 ≤ Q1 < Q2 < < Qn l gm @ m co Chứng minh Theo Định nghĩa 1.1.4 ta có Q0 = ≤ Q1 Các trường lại, i ≥ ta có ≥ 1, Qi−1 ≥ nên an Lu Qi+1 = ai+1 Qi + Qi−1 ≥ 1Qi + > Qi n va ac th si Định lý 1.1.6 Cho α = [a0 ; a1 , a2 , , an ] liên phân số đơn hữu hạn, Pi , với ≤ i ≤ n giản phân thứ i ci = Qi P0 Chứng minh Quy nạp theo i Khi i = ta có c0 = a0 = Q (vì P0 = a0 , Q0 = 1) Khi i = ta có c1 = [a0 ; a1 ] = a0 + a11 = a0 aa11+1 = QP11 Giả sử i > ci = QPii Ta nhận thấy ci+1 thu từ ci cách thay + ai+1 Do Pi−1 + Pi−2 ci = Qi−1 + Qi−2 nên ta có lu ci+1 = an va n = gh tn to ie = (ai + (ai + ai+1 )Pi−1 ai+1 )Qi−1 + Pi−2 + Qi−2 (ai Pi−1 + Pi−2 ) + (ai Qi−1 + Qi−2 ) + Pi + Pi−1 ai+1 Qi−1 ai+1 Pi−1 ai+1 Qi−1 ai+1 p Qi + Pi+1 ai+1 Pi + Pi−1 = = ai+1 Qi + Qi−1 Qi+1 d oa nl w an lu nf va Định lý 1.1.7 Cho α = [a0 ; a1 , a2 , , an ] liên phân số hữu hạn,   Y  m  Qm−1 Qm 1 , Pm−1 Pm = z at nh oi lm ul với ≤ m ≤ n i=0 z Chứng minh Quy nạp theo m Nếu m = 1, ta có vế trái     a1 Q0 Q1 P P = a0 a0 a1 + m co l gm @ vế phải i=0 an Lu        Y 1 1 a1 = a0 a1 = a0 a0 a1 + n va ac th si 18 2.1 Xấp xỉ tốt số vô tỉ a với a, b ∈ Z, b > Trong b a mục ta nghiên cứu cách thức xấp xỉ số vô tỉ số hữu tỉ b Từ suy xấp xỉ tốt theo nghĩa giản phân liên phân số đơn vô hạn mà số ban đầu khai triển Các số vô tỉ viết dạng lu Bổ đề 2.1.1 Cho số vơ tỉ α ∈ R − Q có khai triển thành liên phân số đơn Pk vô hạn α = [a0 ; a1 , a2 , ], giản phân ck = , cho số m ∈ Z Qk Khi α0 = α + m số vơ tỉ có khai triển thành liên phân số đơn vô P0 hạn dạng α0 = [a00 ; a01 , a02 , ], với giản phân c0k = k0 thỏa mãn điều Qk kiện sau an n va to i) a00 = a0 + m với k ∈ Z+ ta có (a0k = ak αk0 = αk ) gh tn ii) với ∀k ∈ N ta có (Q0k = Qk Pk0 = Pk + mQk ) p ie iii) với ∀k ∈ N ta có c0k = ck + m nl w (lưu ý, Chương kí hiệu α = α0 ; = bαi c αi+1 = ) f rac(αi ) d oa Chứng minh i) Quy nạp theo k Với k = 0, ta có α00 = α0 = α+m = α0 +m, a00 = bα0 + mc = bα0 c + m = a0 + m, nên a00 = a0 + m Với k = 1 1 ta có α10 = = = = α1 nên α10 = α1 f rac(α0 ) f rac(α0 + m) f rac(α0 ) (do a01 = a1 ) Giả sử k ∈ Z+ ta có αk0 = αk (và a0k = ak ) Khi 1 αk+1 = = = αk+1 (theo giả thiết quy nạp), nên f rac(αk0 ) f rac(αk ) 0 αk+1 = αk+1 (do a0k+1 = bαk+1 c = bαk+1 c = ak+1 ) Vậy theo phương 0 pháp quy nạp ta có αk = αk ak = ak với k ∈ Z+ nf va an lu z at nh oi lm ul z ii) Quy nạp theo k cho Pk Qk đồng thời Với k = 0, ta có Q00 = = Q0 P00 = a00 = a0 + m = P0 + m = P0 + mQ0 Với k = 1, ta có Q01 = a01 = a1 = Q1 P10 = a00 a01 + = (a0 + m)a1 + = a0 a1 + ma1 + = P1 + mQ1 Do mệnh đề với k = k = Giả sử mệnh đề với k = t − k = t (với t ≥ 1), ta cần chứng minh mệnh đề với k = t + Ta có Q0t+1 = a0t+1 Q0t + Q0t−1 = at+1 Qt + Qt−1 = Qt+1 (theo giả thiết quy 0 nạp) Pt+1 = a0t+1 Pt0 + Pt−1 = at+1 (Pt + mQt ) + Pt−1 + mQt−1 = at+1 Pt + m co l gm @ an Lu n va ac th si 19 Pt−1 + m(at+1 Qt + Qt−1 ) = Pt+1 + mQt+1 (theo giả thiết quy nạp) Từ ta suy ii) theo phương pháp quy nạp iii) Từ ii) với k ∈ N ta có c0k Pk0 Pk + mQk Pk = = = + m = ck + m Qk Qk Qk lu an n va gh tn to Định nghĩa 2.1.2 Cho α ∈ R − Q, p, q ∈ Z với q > Khi p i) Phân số gọi xấp xỉ tốt loại α q  p a  ∀a, b ∈ Z : ≤ b ≤ q ⇒ (|α − | ≤ |α − |) q b p ii) Phân số gọi xấp xỉ tốt loại hai α q 
 ∀a, b ∈ Z : ≤ b ≤ q ⇒ (|qα − p| < |bα − a|) (a = p b = q) p ie Chú ý 2.1.3 Trước kia, người ta quan tâm đến xấp xỉ tốt loại (còn gọi xấp xỉ tốt yếu) tự nhiên Tuy nhiên dùng định nghĩa xấp xỉ loại có số trường hợp cho nhiều kết xấp xỉ tốt loại số vô tỉ α, mối liên hệ giá trị xấp xỉ với liên phân số phức tạp (xem [8]) Do sau người ta quan tâm đến xấp xỉ tốt loại hai (còn gọi xấp xỉ tốt nhất) định nghĩa p p Bổ đề 2.1.4 Nếu xấp xỉ tốt loại hai α, q q xấp xỉ tốt loại α p Chứng minh Vì xấp xỉ tốt loại hai α nên ∀a, b ∈ Z thỏa q 1 mãn ≤ b ≤ q |qα − p| ≤ |bα − a| Ta có < ≤ (vì ≤ b ≤ q ) |q| |b| Từ vế với vế hai bất đẳng thức ta bất đẳng thức nhân p α − ≤ α − a Chứng tỏ p xấp xỉ tốt loại α q