Luận văn một số ứng dụng thực tế của lượng giác

TMỤC LỤC LỜI CẢM ƠN______________________________________________________1 MỤC LỤC_________________________________________________________2 PHẦN MỞ ĐẦU____________________________________________________3 PHẦN NỘI DUNG__________________________________________________5 CHƯƠNG 1. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC __________________________5 1.1. Góc và cung lượng giác _______________________________________5 1.2. Công thức tính độ dài cung tròn và diện tích hình quạt tròn ___________7 1.3. Một số ví minh họa ___________________________________________8 CHƯƠNG 2. HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC _________________________________________________________________29 2.1. Giá trị lượng giác của một cung ________________________________29 2.2. Hàm số lượng giác __________________________________________29 2.3. Phương trình lượng giác cơ bản ________________________________35 2.4. Ứng dụng__________________________________________________37 2.5. Một số ví dụ minh họa _______________________________________40 CHƯƠNG 3. HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC _______________________________________________63 3.1. Tam giác đồng dạng _________________________________________63 3.2. Tỷ số lượng giác của góc nhọn _________________________________64 3.3. Định lý sin_________________________________________________64 3.4. Định lý côsin ______________________________________________64 3.5. Một số ví dụ minh họa _______________________________________65 PHẦN KẾT LUẬN_________________________________________________98 TÀI LIỆU THAM KHẢO ___________________________________________99 3 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lượng giác là một nhánh toán học quan trọng, có nhiều ứng dụng. Cụ thể có thể nói đến các ứng dụng như là việc đo đạc, tính toán khoảng cách của các ngôi sao, hành tinh trong thiên văn học; trong địa lý thì lượng giác thường dùng để đo khoảng cách giữa các mốc giới. Các lĩnh vực khác cũng ứng dụng nhiều kiến thức lượng giác như là lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, điện tử học, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp và siêu âm) và trong nhiều lĩnh vực của vật lý, đo đạc đất đai và địa hình, kiến trúc,… Các kiến thức về lượng giác còn được sử dụng rất nhiều trong chương trình vật lý phổ thông lớp 11 và 12 trong các chương về quang học, dao động điều hòa

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CẦN THƠ KHOA SƯ PHẠM BỘ MÔN SƯ PHẠM TOÁN HỌC  - LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP MỘT SỐ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA LƯỢNG GIÁC Giáo viên hướng dẫn Sinh viên thực TS Nguyễn Thanh Hùng Huỳnh Tuyết Trân MSSV: B1700046 Lớp: SP Toán K43 Cần Thơ – Năm 2022 LỜI CẢM ƠN Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô Bộ môn Sư phạm Toán trường Đại Học Cần Thơ tận tình giảng dạy suốt bốn năm học để em có tảng tri thức kinh nghiệm sống quý báu làm hành trang cho em sau Em xin gửi lời tri ân đặc biệt đến thầy TS Nguyễn Thanh Hùng hướng dẫn, hỗ trợ em nhiệt tình để hồn thành luận văn tốt nghiệp Đề tài em khơng tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, em mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô, bạn người quan tâm đến đề tài để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Cần Thơ, tháng 05 năm 2022 Sinh viên Huỳnh Tuyết Trân MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC _2 PHẦN MỞ ĐẦU PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1.1 Góc cung lượng giác _5 1.2 Cơng thức tính độ dài cung trịn diện tích hình quạt trịn _7 1.3 Một số ví minh họa _8 CHƯƠNG HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC _29 2.1 Giá trị lượng giác cung 29 2.2 Hàm số lượng giác 29 2.3 Phương trình lượng giác 35 2.4 Ứng dụng 37 2.5 Một số ví dụ minh họa _40 CHƯƠNG HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG VÀ CÁC HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC _63 3.1 Tam giác đồng dạng _63 3.2 Tỷ số lượng giác góc nhọn _64 3.3 Định lý sin _64 3.4 Định lý cô-sin 64 3.5 Một số ví dụ minh họa _65 PHẦN KẾT LUẬN _98 TÀI LIỆU THAM KHẢO _99 PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lượng giác nhánh tốn học quan trọng, có nhiều ứng dụng Cụ thể nói đến ứng dụng việc đo đạc, tính tốn khoảng cách ngơi sao, hành tinh thiên văn học; địa lý lượng giác thường dùng để đo khoảng cách mốc giới Các lĩnh vực khác ứng dụng nhiều kiến thức lượng giác lý thuyết âm nhạc, âm học, quang học, điện tử học, sinh học, chiếu chụp y học (các loại chụp cắt lớp siêu âm) nhiều lĩnh vực vật lý, đo đạc đất đai địa hình, kiến trúc,… Các kiến thức lượng giác sử dụng nhiều chương trình vật lý phổ thơng lớp 11 12 chương quang học, dao động điều hịa, điện xoay chiều, sóng cơ, sóng âm, sóng điện từ,… Nhưng toán thực tế lượng giác sách giáo khoa “Đại số 10”, “Hình học 10” “Đại số giải tích 11” cịn Cũng điều mà học sinh cảm thấy thiếu hứng thu học chương lượng giác khơng thể liên hệ kiến thức học lượng giác mơn tốn vào mơn vật lý 11 12 Cũng lý mà chọn thực đề tài “Một số ứng dụng thực tế lượng giác” để làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn để tổng hợp lại kiến thức lượng giác khối lớp, đồng thời tổng hợp phân loại lại toán thực lượng giác giải chúng Từ tạo nguồn tài liệu tham khảo phục vụ cho việc dạy học giáo viên học sinh Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu khái niệm, định lý, tính chất liên quan đến lượng giác, toán thực tế lượng giác tính ứng dụng lượng giác Phương pháp nghiên cứu Tham khảo sách giáo khoa, tài liệu,… Sử dụng phương pháp phân tích, tổng hợp, đánh giá tài liệu liên quan đến lượng giác Sưu tầm chọn lọc giải toán thực tế lượng giác Nội dung luận văn Luận văn trình bày theo chương: Chương Cung góc lượng giác Chương Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Chương Hai tam giác đồng dạng hệ thức lượng tam giác PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC 1.1 Góc cung lượng giác 1.1.1 Góc lượng giác Góc lượng giác (Oa, Ob) tạo thành cách quay tia Om quay điểm O theo chiều cho tia Om xuất phát từ tia Oa kết thúc tia Ob , hình 1.1 Khi ta nói tia Om quét góc lượng giác có tia đầu tia Oa tia cuối tia Ob Hình 1.1 Ta quy ước, tia Om quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ góc lượng giác (Oa, Ob) mang giá trị dương (xem hình 1.2) Cịn ngược lại, tia Om quay quanh O theo chiều chiều kim đồng hồ góc lượng giác (Oa, Ob) mang giá trị âm (xem hình 1.3) Hình 1.2 Hình 1.3 Khi quay thế, tia Om gặp tia Ob nhiều lần, lần ta góc lượng giác có tia đầu Oa, tia cuối Ob Do đó, với hai tia Oa Ob cho trước ta có vơ số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) có tia đầu Oa, tia cuối Ob (hình 1.4) Mỗi góc lượng giác ký hiệu (Oa, Ob) Hình 1.4 1.1.2 Cung lượng giác Cho góc lượng giác (Oa, Ob) Vẽ đường trịn tâm O bán kính R cắt Oa A, cắt Ob B Nếu tia Om cắt đường tròn M việc cho tia Om quay quanh O theo chiều (âm dương) từ Oa đến Ob đồng nghĩa với việc cho điểm M chạy đường tròn theo chiều tử điểm A đến điểm B (hình 1.5) Khi ta nói điểm M vạch  nên cung lượng giác AB có điểm đầu A, điểm cuối B, tương ứng với góc lượng giác (Oa, Ob) Hình 1.5 Ta quy ước, tia Om quay quanh O theo chiều ngược chiều kim đồng hồ  cung lượng giác AB mang giá trị dương Còn ngược lại, tia Om quay quanh  O theo chiều chiều kim đồng hồ cung lượng giác AB mang giá trị âm Với hai điểm A, B cho đường trịn định hướng ta có vơ số cung lượng giác  điểm đầu A, điểm cuối B Mỗi cung ký hiệu AB 1.1.3 Số đo cung góc lượng giác  Số đo góc lượng giác (OA, OB) số đo cung lượng giác AC tương ứng Hình 1.6 Ví dụ hình 1.6a) điểm M di động đường tròn theo chiều dương từ A đến B tạo nên cung  đường trịn, ta nói cung có số đo , tương ứng với góc lượng giác (OA, OB) có số đo  Trong hình 1.6b) điểm M tiếp vòng   5 tròn (thêm 2 ), ta cung lượng giác AB có số đo  2  , tương 2 ứng với góc lượng giác (OA, OB) có số đo 5 Tương tự, hình 1.6c) ta có:   9 9 AB   2  2  , (OA, OB)  2 Trong hình 2.6d) điểm M quay theo chiều âm từ A đến B tạo nên cung đường  3 tròn, nên số đo cung lượng giác AB  , tương ứng với góc lượng giác (OA, OB) có số đo  3 1.2 Công thức tính độ dài cung trịn diện tích hình quạt trịn 1.2.1 Cơng thức tính độ dài cung trịn Trên đường trịn bán kính R, cung có số đo  (rad) có độ dài là: l R Đối với trường hợp đường trịn có bán kính lớn góc tâm lại nhỏ cung bị chắn (cung đối diện với góc tâm) dây cung có độ dài xấp xỉ Hình 1.7 Do đó, sử dụng số đo cung bị chắn để ước tính độ dài dây cung nhiều vấn đề thực tế, đặc biệt độ dài cung bị chắn dễ tính Ví dụ tính đường kính Mặt Trời thơng qua đường kính góc (kích thước biểu kiến), xem hình 2.7 Trong  góc tâm (đường kính góc mặt trời) r xấp xỉ khoảng cách từ Trái Đất đến Mặt Trời 1.2.2 Cơng thức tính diện tích hình quạt trịn Một hình quạt trịn bán kính R, có góc tâm  (rad) có diện tích (hình 1.8): S   R2 Hình 1.8 1.3 Một số ví minh họa 1.3.1 Số đo góc cung lượng giác Câu Một vận động viên chạy đường chạy tròn hình 1.9 Người bắt đầu điểm S chạy theo chiều ngược chiều kim đồng hồ với vận tốc không đổi Biết 30 phút người hồn thành vịng chạy Hỏi: Hình 1.9 a) Trong phút chạy bộ, người vạch nên cung lượng giác có số đo radian? b) Trong 40 phút chạy bộ, người vạch nên cung lượng giác có số đo radian? c) Nếu người xuất phát từ S chạy theo chiều chiều kim đồng hồ, 72 phút chạy bộ, người vạch nên cung lượng giác có số đo radian? Giải a) Vì người chạy vòng 30 phút ứng với 360 , nên sau phút 360   6  chạy người vạch nên cung lượng giác có số đo 60 30 b) Vì phút chạy người vạch nên cung lượng giác có số đo  30 , nên 40 phút chạy người vạch nên cung lượng giác có số đo 40  30  4 c) Nếu người chạy theo chiều chiều kim đồng hồ cung lượng giác người vạch nên mang giá trị âm, nghĩa phút chạy người vạch nên cung lượng giác có số đo   30 Vậy 72 phút chạy theo chiều chiều kim đồng hồ người vạch nên  12 cung lượng giác có số đo 72   30 Câu Trái Đất hồn thành vịng quay quanh trục sau 23 giờ, 56 phút giây Tính gần số radian mà Trái đất quay giây Giải Vì 23 giờ, 56 phút, giây (tức 11644 giây) Trái Đất hồn thành vịng quay tương ứng với 2 , nên số radian mà Trái Đất quay giây 2  5, 4.104 (rad)   11644 Câu Giả sử quỹ đạo Trái Đất hình trịn Hỏi ba tuần Trái Đất quay quanh Mặt Trời Trái Đất vạch nên cung lượng giác có số đo radian? (Giả sử năm có xác 52 tuần) Hình 1.10 Giải Để Trái Đất quay xung quanh Mặt Trời vòng năm (mất 52 tuần) Vậy độ dài đảo d = 829,6 m 3.5.3 Định lý sin Câu 24 Một đám cháy F phát từ hai trạm quan trắc cảnh báo cháy rừng A B, chúng nằm cách 10,3 km (xem hình 3.31) Nếu trạm B báo cháy   25,3 đám cháy cách trạm góc  ABF  52,6 trạm A báo cháy góc BAF A trạm B bao xa? Hình 3.31 Giải F   180  F   180  25,3  52,6  102,1 Xét ABF ta có:  A B Áp dụng định lý sin cho tam giác ABF, ta có:   AF  AF BF AB        sin B sin A sin F   BF    10,3sin 52,6 AB sin B   8, km  sin102,1 sin F AB sin  A 10,3sin 25,3   4,5 km  sin102,1 sin F Vậy đám cháy cách trạm A khoảng 8,4 km cách trạm B khoảng 4,5 km Câu 25 Người ta muốn xây dự đường dây cáp điện thoại nước, băng qua hồ nước cạn từ điểm N đến điểm M, hình 3.32 Để đo độ dài đoạn 85 thẳng NM, người ta cắm cọc điểm N, M, P tiến hành đo đạc  118,4° NMP  19,2° Tính độ dài Khoảng cách NP đo 112 m, PNM NM Hình 3.32 Giải   180  PNM   NMP   42, 4 Ta có NPM Áp dụng định lý sin cho tam giác MNP, ta có:  112sin 42, 4 NM NP NP sin P   NM    229,6 m  sin M   sin19, 2 sin P sin M Vậy NM = 229,6 m Câu 26 Một vệ tinh nằm phía trạm theo dõi B hình 3.33 Một trạm theo dõi A nằm cách trạm theo dõi B 810 km (nghĩa độ dài  AB 810 km), đo góc nâng vệ tinh  = 24,9° (xem hình 1.34) Biết bán kính trái đất R = 6371 km Vệ tinh cách trạm theo dõi B km? Giải Hình 3.33 Gọi l độ dài cung  AOB AB  (rad) số đo góc  86     90  114,9 Ta có: SAO Áp dụng cơng thức tính độ dài cung trịn, ta có: l R   l 810   0,127   AOS  0,127  7,3 R 6371   57,8 Mà  ASO  180   AOS  SAO Áp dụng định lý sin cho tam giác SAO, ta có: SO AO AO sin A   SO   6829 km sin S sin  A sin S Ta có: SB  SO  BO  458 km Vậy vệ tinh cách trạm theo dõi B khoảng xấp xỉ 458 km Câu 27 Một máy bay trực thăng bay lơ lửng độ cao 1000 m so với đỉnh núi M có độ cao 2605 m so với mực nước biển, hình 3.34 Đỉnh núi N cao đỉnh M quan sát từ người đứng đỉnh núi M người trực thăng Góc “hạ” từ trực thăng đến đỉnh N 43°, góc “nâng” từ đỉnh M đến đỉnh N 18° Tính khoảng cách từ đỉnh M đến đỉnh N Hình 3.34 Giải   90  43  47, M   90  18  72, N   180  P  M   61 (tổng ba Ta có: P góc tam giác) Áp dụng định lý sin cho MPN ta có: 87  1000sin 47 MN MP MP sin P   MN    836, (m)  sin N   sin 61 sin P sin N Vậy khoảng cách hai đỉnh M N 836,2 m Câu 28 Một tòa lâu đài nằm đồi, hình 3.36 Đỉnh lâu đài quan sát từ chân đồi có góc “nâng” 48° Đỉnh lâu đài quan sát khoảng cách 30 m tính từ chân đồi có góc “nâng” 41° Biết độ dốc đồi 32°, tính chiều cao lâu đài Hình 3.35 Giải Kẻ BD  AC E, hình 3.36 Hình 3.36   32 Độ dốc đồi 32° nghĩa DCE   BCE   DCE   16 , BCA   180  BCE   132 (hai góc kề bù) Ta có: BCD 88  Xét ABC ta có:  ABC  180  BAC ACB  7 Áp dụng định lý sin cho ABC ta có:  30sin 41 BC AC AC sin BAC   BC    161,5 (m)  sin   sin 7 sin BAC ABC sin ABC   180  E   DCE   58 Xét DCE ta có: CDE   180  CDE   122 (hai góc kề bù) Ta có: BDC Áp dụng định lý sin cho CBD ta có:  161,5.sin16 BD BC BC sin BCD   BD    52,5 (m)  sin BDC   sin122 sin BCD sin BDC Vậy lâu đài cao 52,5 m Câu 29 Một học sinh muốn vẽ đồ quê hương Để xây dựng đồ xác (hoặc mơ hình tỷ lệ), cần tìm khoảng cách địa danh khác thị trấn Học sinh thực phép đo Hình 3.37 Hình 3.37 89 Lưu ý học sinh đo khoảng cách Tịa thị cầu 0,86 km Hãy: a) Tìm khoảng cách chùa tịa thị b) Tìm khoảng cách trạm cứu hỏa trường học Giải Gọi điểm lầ lượt hình 3.38 Hình 3.38   CBA   180  25  30  125 a) Xét ABC ta có  ACB  180  CAB Áp dụng định lý sin cho ABC ta có: AB AC AC sin  ACB 0,86sin125   AB    1, 41 km  sin 30 sin  ACB sin ABC sin  ABC Vậy khoảng cách chùa tòa thị 1,41 km b) Áp dụng định lý sin cho AIC ta có: 90  0,86sin 50 IC AC AC sin CAI   IC    1,32 km  sin  sin 30 sin CAI AIC sin  AIC   180  CID   CDI   64 Xét CID ta có ICD Áp dụng định lý sin cho DIC ta có:  1,32sin 64 ID IC IC sin ICD   DI    1,55 km  sin CDI   sin 50 sin ICD sin CDI   180  DIJ   IDJ   70 Xét DIJ ta có DJI Áp dụng định lý sin cho DIJ ta có:  1,55sin 50 DJ DI DI sin DIJ   DJ    1, 26 km  sin DJI   sin 70 sin DIJ sin DJI   180  DFJ   FDJ   45 Xét DJF ta có DJF Áp dụng định lý sin cho DJF ta có:  1, 26sin 45 DF DJ DJ sin DJF   DF    1,09 km  sin DFJ   sin 55 sin DJF sin DFJ   180  DFE   EFD   55 Xét DEF ta có DEF Áp dụng định lý sin cho DJF ta có:  1,09sin 80 EF DF DF sin EDF   EF    1,31 km  sin DEF   sin 55 sin EDF sin DEF Vậy khoảng cách trạm cứu hỏa trường học 1,31 km 3.5.4 Định lý cô-sin Câu 30 Một nhà địa chất muốn xác định độ dài CB đáy núi lửa, hình bên Nhà địa chất dã đo khoảng cách AB AC 425 m  98,3° (hình 3.39) Tính xấp xỉ độ dài BC đáy núi lửa 384 m CAB 91 Hình 3.39 Giải Áp dụng định lý cơ-sin cho tam giác ABC, ta có: BC  AB  AC  AB AC.cos  A  4252  3842  2.425.384.cos98,3  375199  BC  375199  612,5 (m) Vậy độ dài đáy núi lửa khoảng 612,5 (m) Câu 31 Khảo sát Hai điểm P Q mặt nằm hai phía đối diện tịa nhà Để tính khoảng cách hai điểm P Q, nhân viên khảo sát chọn  có số đo điểm R cách P 300 m cách Q 438 m, sau xác định góc PRQ 3740' (xem hình 3.40) Tính khoảng cách P Q Hình 3.40 Giải Áp dụng định lý ccơơ-sin cho tam giác PQR, ta có: 92   3002  4382  2.300.438.cos3740'  73817 PQ  PR  RQ  PR.RQ.cos R  PQ  73817  271,7 (m) Vậy khoảng cách hai điểm P Q 271,7 (m) Câu 32 Vào lúc 12 đêm, hai máy bay trực thăng Cảnh sát biển lên đường từ Quảng Bình để tìm thuyền buồm gặp nạn Trực thăng A bay theo hướng Đông biển Đông với vận tốc không đổi vA  250 km/h trực thăng B bay theo hướng Đông Bắc, lệch với hướng bay trực thăng A góc 45°, với vận tốc khơng đổi vB  210 km/h (xem hình 3.41) Lúc 30 phút sáng, máy bay trực thăng A phát thấy tính hiệu cầu cứu từ thuyền gặp nạn liên lạc với máy bay trực thăng B để đến hỗ trợ giải cứu Lúc máy bay trực thăng B cách máy bay trực thăng A bao xa? Hình 3.41 Giải   45 Ta có C Khoảng thời gian t hai trực thăng tiếng 30 phút, nghĩa t = 1,5 (h) Quãng đường trực thăng A 1,5 (h) là: CA  v A t  250.1,5  375 km Quãng đường trực thăng B 1,5 (h) là: CB  vB t  210.1,5  315 km Áp dụng định lý cô-sin cho tam giác ABC, ta được:   72796  AB  72796  269,8 km AB  CB  CA2  2CB.CA.cos C 93 Vậy vào lúc trực thăng B cách trực thăng A khoảng 269,8 km Câu 33 Một đường hầm dẫn nước thủy điện xây dựng xuyên qua núi từ hồ chứa đến hồ chứa khác tầng thấp hơn, hình 3.42 Biết khoảng cách từ đỉnh núi đến hai đầu đường hầm 5,32 km 2,63 km góc “hạ” hai sườn núi 42,7° 48,8° Hỏi: a) Đường hầm dài bao nhiêu? b) Góc tạo đường hầm với phương ngang bao nhiêu? Hình 3.42 Giải a) Hình 3.43 minh họa núi đường hầm thủy điện đề toán, với AB AC hai sườn núi BC đường hầm thủy điện Ta có:  A  180  42,7  48,8  88,5 Áp dụng định lý cơ-sin cho ABC , ta có: Hình 3.43 BC  AB  AC  AB AC.cos A  34,5  BC  34,5  5,87 km Vậy đường hầm dài khoảng 5,87 km b) Góc tạo đường hầm với phương ngang theo u cầu tốn góc  Áp dụng hệ định lý cô-sin cho ABC , ta có: 94 AB  BC  AC  cos ABC   0,894   ABC  26,6 AB.BC   42,7 (hai góc so le trong) Vì Aa ∥ Bb nên  ABb  aAB   CBb  Mà  ABb   ABC  CBb ABb   ABC  42,7  26,6  16,1    16,1 Vậy góc tạo đường hầm với phương ngang 16,1° Câu 34 Một đài quan sát cháy rừng xây dựng hình bên Các cọc hỗ trợ AD BC dài 5,5 m nghiêng 8° vào so với phương thẳng đứng Biết khoảng cách đỉnh D C 3,65 m (hình 3.44) Tính độ dài giằng AC khoảng cách AB cọc đỡ mặt đất Giải   CBA   90  8  82 Ta có: DAB Hình 3.44   CBA  ) nên ta có: Tứ giác ABCD hình thang cân (vì DC ∥ AB DAB      360  DAB  CBA  98 ADC  BCD Áp dụng định lý cơ-sin cho ADC , ta có: AC  AD  DC  AD.DC cos  ADC  49,16  AC  49,16  m Áp dụng hệ định lý cô-sin cho ADC , ta có:  cos DAC AD  AC  DC   31,1  0,856  DAC AD AC   DAB   DAC   82  31,1  50,9 Ta có: CAB Áp dụng tổng ba góc tam giác ABC, ta có:    CBA   180  50,9  82  47,1 ACB  180  CAB Áp dụng định lý cô-sin cho ABD , ta có: 95 AB  AC  BC  AC.BC cos  ACB  111,67  AB  111,67  10,57 m Vậy độ dài giằng AC m khoảng cách cọc đỡ mặt đất 10,57 m Câu 35 Tháp CN Toronto, Canada công trình kiến trúc độc lập cao Bắc Mỹ Một phụ nữ đài quan sát tháp CN S cách mặt đất 350,5 m, cô muốn xác định khoảng cách hai cột mốc A C mặt đất bên Cô quan sát thấy góc tạo đường ngắm hai điểm mốc 43° Cơ quan sát thấy góc tạo phương thẳng đứng đường ngắm tới mốc A 62 tới mốc C 54° (xem hình 3.45) Tìm khoảng cách hai mốc A C Hình 3.45 Giải SAB vng B nên ta có SA  SB 350,5   746,6 (m)  cos ASB cos 62 SBC vng B nên ta có SC  SB 350,5   596,3 (m)  cos54 cos CSB Áp dụng định lý cô-sin cho SAC , ta có: AC  SA2  SB  SA.SB cos  ASC  261791, 45  AC  261791, 45  511,66 m Vậy khoảng cách hai mốc A C 511,66 m 96 Câu 36 Một máy bay trinh sát P, bay độ cao 3000 m so với mặt nước Máy bay trình sát phát tàu ngầm S với góc “hạ” 37° tàu chở dầu T với góc   110 , tính khoảng cách tàu ngầm “hạ” 21°, hình 3.46 Biết SPT tàu chở dầu Hình 3.46 Giải   90  37  53 , TPR   90  21  69 Ta có: SPR PSR vng R nên ta có PS  PR 3000   4985 (m)  cos 53 cos SPR PTR vuông R nên ta có PT  PR 3000   8371,3 (m)  cos 69 cos TPR Áp dụng định lý cơ-sin cho PST , ta có:   ST  SP  PT  2SP.PT cos SPT   11111,9 ST  SP  PT  2SP.PT cos SPT (m) Vậy khoảng cách tàu ngầm tàu chở dầu là 11111,9 m 97 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn đạt kết sau: - Hệ thống lại kiến thức có liên quan đến lượng giác - Liên hệ kiến thức lượng giác chương trình phổ thơng mơn tốn với kiến thức vật lý lớp 11 12 - Phân loại giải toán thực tế lượng giác Trong thời gian tới, tơi tìm hiểu thêm ứng dụng toán thực tế khác lượng giác, số toán liên quan đến giao thoa sóng, cộng hưởng, dao động tắt dần,… Kết luận văn giúp cho có nhìn tổng thể chun sâu lượng giác, nguồn tài liệu để giúp ích cho việc học tập giảng dạy sau Mặc dù nghiêm túc có nhiều cố gắng nhiều q trình hồn thành luận văn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn bè để luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! 98 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Bộ Giáo dục Đào tạo (2011), Vật lý 12, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội [2] Bộ Giáo dục Đào tạo (2013), Đại số 10, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội [3] Bộ Giáo dục Đào tạo (2017), Đại số giải tích 11, Nhà xuất Giáo dục Việt Nam, Hà Nội Tiếng Anh [4] James Stewart & Lothar Redlin et al (2012), Algebra and Trigonometry, Cengage Learnin, Belmont [5] Raymond A Barnett & Michael R Ziegler et al (2011), Analytic Trigonometry with Applications, John Wiley & Sons, Inc., United States of America [6] Swokowski & Cole (2007), Algebra and Trigonometry with Analytic Geometry, Thomson Higher Education, Belmont 99 ... đến lượng giác Sưu tầm chọn lọc giải toán thực tế lượng giác Nội dung luận văn Luận văn trình bày theo chương: Chương Cung góc lượng giác Chương Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Chương... Cũng lý mà tơi chọn thực đề tài ? ?Một số ứng dụng thực tế lượng giác? ?? để làm đề tài nghiên cứu Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn để tổng hợp lại kiến thức lượng giác khối lớp, đồng... trước ta có vơ số góc lượng giác (một họ góc lượng giác) có tia đầu Oa, tia cuối Ob (hình 1.4) Mỗi góc lượng giác ký hiệu (Oa, Ob) Hình 1.4 1.1.2 Cung lượng giác Cho góc lượng giác (Oa, Ob)