lý thuyết lượng giác 11 và các dạng toán

lý thuyết lượng giác 11 và các dạng toán

HƯỚNG DẪN GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN VÀ ĐƠN GIẢN Phương pháp giải phương trình lượng giác A LÝ THUYẾT Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang Trang Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang B BÀI TẬP I PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT ĐỐI VỚI SINX VÀ COSX Bài Giải phương trình sau : x x    c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin x ) a  sin + cos ÷ + 3cosx=2 2 b ( − 2sin x ) cosx ( + 2sin x ) ( − s inx ) = d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 Giải  x x cos x = a  sin + cos ÷ + cos x = ⇔ + sin x + cos x = ⇔ sin x + 2 2  π  π π  x + = + k 2π x = − + k 2π   π π  6 ⇔ sin  x + ÷ = sin ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 3   x + π = 5π + k 2π  x = π + k 2π   π   x ≠ − + k 2π   ( − 2sin x ) cosx = 7π s inx ≠  + k 2π ⇔ x ≠ b Điều kiện :  ( + 2sin x ) ( − s inx ) s inx ≠  π   x ≠ + k 2π  ( − 2sin x ) cosx = ⇔ cosx-sin2x=1-sinx+2sinx-2sin x Khi : ( + 2sin x ) ( − s inx ) π π   ⇔ cosx-sinx=sin2x+cos2x ⇔ 2cos  2x- ÷ = 2cos  x + ÷ 4 4   π π π    x = + k 2π  x − = x + + k 2π 2π ⇔ ⇔ ⇒x=k ( k ∈Z)  x = k 2π  x − π = − x − π + k 2π   4 c s inx+cosxsin2x+ 3cos3x=2 ( cos4x+sin x ) ⇔ s inx+ sin3x+sinx 3sinx-sin3x + 3cos3x=2cos4x+ 2 ⇔ 3s inx + sin x + 3cos3x=4cos4x+3sinx-sin3x sin x + cos3x=cos4x 2 π π   x = x + + k 2π x = + k 2π   π  6 ⇔ cos4x=cos  3x+ ÷ ⇔  ⇔ ( k ∈Z) π π k π 6   x = −3 x − + k 2π x = − +   42 d 3cos5x-2sin3xcos2x-sinx=0 ⇔ 3cos5x- ( sin5x+sinx ) − s inx=0 ⇔ 2sin 3x + 3cos3x=4cos4x ⇔ ⇔ 3cos5x-sin5x=2sinx ⇔ Trang cos5x- sin x = s inx 2 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 π π π kπ   x + = − x + k 2π x= +   π π     18 ⇔ cos  5x+ ÷ = s inx=cos  − x ÷ ⇔  ⇒ ( k ∈Z) 6  2  5 x + π = x − π + k 2π  x = − π + kπ   6 Bài Giải phương trình sau : 4 a ( sin x + cos x ) + sin x = b 2 ( s inx+cosx ) cosx=3+cos2x c cos x = sin x + ( s inx+cosx ) d sin x − cos x = s inxcosx+1 Giải     ⇔ + ( − 2sin x ) + sin x = ⇔ cos4x+ sin x = −1 4 a ( sin x + cos x ) + sin x = ⇔ 1 − sin x ÷+ sin x = π 2π  cos4x+ sin x = − ⇔ cos  4x- ÷ = − = cos 2 3  π 2π π kπ    x − = + k 2π x = + ⇔ ⇔ ( k ∈Z)  x − π = − 2π + k 2π  x = − π + kπ  3 12  b 2 ( s inx+cosx ) cosx=3+cos2x ⇔ sin x + 2cos x = + cos2x ⇔ ⇔ sin x + ( + cos2x ) = + cos2x ⇔ sin x Ta có : a + b = + ( ) ( ( − = − 2, c = − ( 11 − ) − ( − 2 ) = − ) − cos2x=3- ) = 11 − Do : = 36 − 32 > ⇒ c > a + b Phương trình vô nghiệm   c cos x = sin x + ( s inx+cosx ) ⇔ cos2x- sin x = 2sin  x + π ÷ 4 π π π    cos2xsin x = sin  x + ÷ ⇔ sin  x − ÷ = sin  x + ÷ 2 4 6 4    π π 5π    x − = x + + k 2π  x = 12 + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈Z)  x − π = 3π − x + k 2π  x = 11π + k 2π  36  4 d sin x − cos x = s inxcosx+1 ⇔ cos2x+ sin x = −1 ⇔ ⇔ π π 2π  cos2x+ sin x = −1 ⇔ cos  2x- ÷ = cosπ ⇔ x − = π + k 2π ⇒ x = + kπ 2 3 3  Bài Giải phương trình sau : 2π  4π  π  π    a 4sin x sin  + x ÷sin  − x ÷+ 3cosx cos  x + ÷cos  x + ÷ = 3 3      b 2sin x + 16sin x.cosx + 3cos x = Giải π π 2π      a 4sin x sin  + x ÷sin  − x ÷+ 3cosx.cos  x + 3  3      c + sin x = cos x + sin x 4π   ÷cos  x +    ÷=  Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 2π     2π ⇔ 2sin x  cos2x-cos ÷+ 3cosx cos ( x + 2π ) + cos      1 ⇔ 2sin xcos2x+2sinx + 3cosx.cos2x-2 3cosx = 2 ⇔ sin x − s inx+sinx + ( cos3x+cosx ) - 3cosx =  ÷ =  π π  ⇔ sin x + 3cos3x= ⇔ sin x + cos3x= ⇔ cos  3x- ÷ = cos 2 6  π k 2π   x = 36 + ⇒ ( k ∈Z)  x = − π + k 2π  36 b 2sin x + 16sin x.cosx + 3cos x = Ta có : 16sin xcosx = cos x ( 3sin x − sin 3x ) = 6sin x − 2.2sin x.cosx =6sin2x-2 ( sin4x+sin2x ) = 4sin x − 2sin x Cho nên (1) : 2sin x + 4sin x − 2sin x+3cos2x=5 ⇔ 4sin2x.+3cos2x=5 α ⇔ sin x + cos2x=1 ⇔ cos ( 2x-α ) = ⇔ x − α = k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z ) 5 Và : cosα = ;sin α = 5 c + sin x = cos x + sin x 3  − cos4x  6 Do : sin x + cos x = − sin x = −  ÷ = + cos4x 4  8 π  Cho nên (c) trở thành : + sin x = + cos4x ⇔ cos4x-sin4x=1 ⇔ 2cos  4x+ ÷ = 8 4  kπ π π   x= 4x+ = + k 2π   π π  4 ⇔ cos  4x+ ÷ = = cos ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 4   x = − π + kπ  4x+ π = − π + k 2π  4  Bài Giải phương trình sau : a sin x − cos6x= ( sin x + cos8x ) c 3sin x − 3cos9x=1+4sin 3 x b cos7x-sin5x= ( cos5x-sin7x ) d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 Giải a sin x − cos6x= ( sin x + cos8x ) ⇔ sin x − 3cos8x= sin x + cos6x Chia hai vế ơhw[ng trình cho ta có : 3 π π   ⇔ sin x + cos6x ⇔ sin  8x- ÷ = sin  x + ÷ 3 6   π π π π    x − = x + + k 2π x = + k 2π x = + kπ    ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈Z) 8 x − π = −6 x + 5π + k 2π 14 x = 7π + k 2π  x = π + kπ    12 b cos7x-sin5x= ( cos5x-sin7x ) ⇔ cos7x+ sin x = 3cos5x+sin5x sin x − cos8x= Chia hai vế phương trình cho ta có kết : Trang Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 3 π π   cos7x+ sin x = cos5x+ sin5x ⇔ cos  7x+ ÷ = cos  5x- ÷ 2 2 3 6   π π π π    7 x + = x − + k 2π  x = − + k 2π  x = − + kπ ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈Z) 7 x + π = −5 x + π + k 2π 12 x = − π + k 2π  x = − π + kπ    72 6 c 3sin x − 3cos9x=1+4sin x ⇔ Từ công thức nhân ba : sin x = 3sin x − 4sin 3 x phương trình (c) viết lại : 3sin x − 4sin 3 x + 3cos9x=1 ⇔ sin x + 3cos9x=1 ⇔ sin x + cos9x= 2 π k 2π  π π  9x- = k 2π x= +   π π  18 ⇔ cos  9x- ÷= = cos ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 6  9x- π = − π + k 2π  x = − π + k 2π 27   ⇔ π  cos5x+ sin5x=cos2x ⇔ cos  5x- ÷ = cos2x 2 6  π π k 2π  = − + k 2π x=− +  30 ⇔ ( k ∈Z) π π k 2π  = + k 2π x= +  10 d 3cos5x+sin5x-2cos2x=0 ⇔ π  5 x − ⇔ 5 x − π  II PHƯƠNG TRÌNH : BẬC NHẤT - BẬC HAI ĐỐI VỚI MỘT HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC Bài Giải phương trình sau :  cos3x+sin3x  a  s inx+ b cos 3x.cos2x-cos x = ÷ = + cos2x + 2sin x   π  π  4 c cos x + sin x + cos  x- ÷.sin  x − ÷− = d 4.s inxcosx+3sin x = 6sin x  4  4 Giải cos3x+sin3x   a  s inx+ ÷ = + cos2x Điều kiện : sin x ≠ − (*) + 2sin x   Phương trình (a) trở thành :  s inx+2sinx.sin2x+cos3x+sin3x   s inx+cosx-cos3x+cos3x+sin3x  ⇔ 5 ÷ = + cos2x ⇔  ÷ = + cos2x + 2sin x + 2sin x     s inx+cosx+sin3x ( s inx+sin3x ) + cosx 2sin x.cosx+cosx cosx ( 1+2sin2x ) ⇔ = = = = cosx + 2sin x + 2sin x + 2sin x + 2sin x  cosx= 2  Cho nên (a) ⇔ 5cos x = + cos x ⇔ cos x − 5cos x + = ⇔  c osx=2>1  π  x = + k 2π  Vậy : cos x = ⇒  Kiểm tra điều kiện :  x = − π + k 2π  Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang π  2π  - 2sin  + 4kπ ÷+ = + = ≠ Cho nên nghiệm phương trình x = + k 2π    2π   1 - 2sin  − + 4kπ ÷+ =  − ÷+ = Vi phạm điều kiện , loại    2 π + k 2π 1+cos2x 2 =0 b cos 3x.cos2x-cos x = ⇔ cos x.cos2x2 ⇔ cos x.cos2x- ( 1+cos2x ) = ⇔ cos2x ( 1+cos6x ) − − cos2x=0 ⇔ cos6x.cos2x=1 Tóm lại phương trình có họ nghiệm : x = cos4x=1 ⇔ cos8x+cos4x=2 ⇔ cos x + cos4x-3=0 ⇔  cos4x=- < −1  kπ ( k ∈Z) Do : cos x = ⇔ x = k 2π ⇒ x = 2 c π 1  π   π  cos x + sin x + cos  x- ÷.sin  x − ÷− = ⇔ − sin 2 x + sin  x − ÷+ sin x  − = 4 2 2  2  4   1 ⇔ − sin 2 x + [ −cos4x + sin x ] − = ⇔ − sin 2 x +  − ( − 2sin 2 x ) + sin x  − = 2 sin2x=1 π π ⇔ sin 2 x + sin 2x-2=0 ⇔  ⇒ sin x = ⇔ x = + k 2π ⇒ x = + kπ ( k ∈ Z ) sin2x=-21  π  x = − + k 2π  ( k ∈ Z ) ( Thỏa mãn diều kiện ) Vậy phương trình có nghiệm : sin x = − ⇔   x = 7π + k 2π  Bài Giải phương trình sau : 1 cosx 2sinx+3 − cos x − = cos x + a 2sin x − b =1 s inx cosx + sin x x x x 3x c cos x.cos cos − s inx.sin sin = d cos3 x + sin x = 8cos x 2 2 Giải s inx ≠ π 1 ⇒ x ≠ k ( k ∈Z) = cos x + a 2sin x − Điều kiện :  s inx cosx cosx ≠ 1 2sin x.s inx-1 cos x.cosx + = cos x + ⇔ = Khi : 2sin x − s inx cosx s inx cosx cos2x-cos4x-1 cos4x+cos2x + cos2x-2cos x cos2x+2cos 2 x ⇔ = ⇔ = s inx cosx s inx cosx cosx-sinx-2cos2x ( cosx-sinx ) 1-2cos2 x 1+2cos2 x  ⇔ cos2x  − = ⇔ cos2x =0  cosx  sinx.cosx  s inx d 5.s inx-2=3 ( 1-sinx ) tan x Điều kiện : cos x ≠ ⇔ x ≠ ( ) Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang π kπ  x = +   π kπ  cos2x=0  x= +   1-2cos2x π    ⇔ cos2x ( cosx-sinx )  ( k∈Z) ÷ = ⇔  tanx=1 ⇔  x = + kπ ⇒  π  sinx.cosx    x = ± + kπ   π cos2x=  x = ± + kπ   Các họ nghiệm thỏa mãn điều kiện b ( ) cosx 2sinx+3 − cos x − 1 + sin x Khi : ( π = Điều kiện : sin x ≠ ⇔ x ≠ + kπ ( k ∈ Z ) (*) ) cosx 2sinx+3 − cos x − 1 + sin x = ⇔ sin x +3 2cosx − cos x − = + sin x  2 π  cosx= ⇔ cos x − 2cosx + = ⇔  ⇒ cosx= ⇔ x = ± + k 2π 2  cosx= > π Nhưng điều kiện (*) Ta có nghiệm : x = − + k 2π , thỏa mãn Đó nghiệm x 3x x 3x c cos x.cos cos − s inx.sin sin = ⇔ cosx ( cos2x+cosx ) − s inx ( cosx-cos2x ) = 2 2 2 ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) + cos x − sin xcosx = ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) − s inxcosx-sin x = ⇔ cos2x ( cosx+sinx ) − s inx ( cosx+sinx ) = ⇔ ( cosx+sinx ) ( cos2x-sinx ) = π   x = − + kπ  t anx=-1  ( cosx+sinx ) = π k 2π   ⇔ ⇔ ( k ∈Z) π  ⇔ x = +  cos2x=sinx=cos  − x ÷ ( cos2x-sinx ) =   2   x = − π + k 2π  ( ) d cos x + sin x = 8cos x ⇔ cos x cos x + s inx-4 =  cosx=0   cos x = cosx=0 sinx= ⇔ ⇔ ⇔ 2   ( − sin x ) + s inx-4=0  2sin x − s inx+2=0  s inx= > π   x = + kπ cosx=0  π   Do Phương trình có nghiệm :  ⇔  x = + k 2π ( k ∈ Z ) sinx=    x = 3π + k 2π  Bài Giải phương trình sau : π π   a cos  x + ÷+ cos  2x- ÷+ 4sin x = + ( − s inx )  4  ( 4 ) 2 b 3cot x + 2 sin x = + cosx c 4sin 2 x + 6sin x − − 3cos x =0 cosx Trang 10 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 + cos x cos x c) tan x + cot x = 2(sin x + cos x) d) 2 (sin x + cos x) cos x = + cos x a) tan x = 3 b) + sin x + cos x = sin x Giải + cos x a) tan x = Bài giải cos x b) + sin x + cos3 x = sin x ⇔ + sin x ( − cos 2 x ) + cos2x ( 1-sin 2 x ) = 3sin x cos x ⇔ + ( sin x + cos2x ) − sin x cos x ( sin x + cos2 x ) = 3sin x cos x ⇔ + ( sin x + cos2x ) ( − sin x cos x ) = 3sin x cos x Đặt : t = sin x + cos2x; t ≤  t −1  t −1 ⇔ + t 1 − ⇔ + t ( − t ) = ( t − 1) ⇔ t + 3t − 3t − = ÷=    t = −1  t = −1  t = −1  ⇔ ( t + 1) ( t + 2t − ) = ⇔  ⇔ t = −1 − < −1 ⇒  t + 2t − =  t = −1 +  t = −1 +    π  −1  π  sin  x + ÷ = sin  x + ÷ = −1   sin x + cos2x = −1 4 4   ⇔ ⇔ ⇔    π π −1  sin x + cos2x = −1 + = sin α sin  x + ÷ =  sin  x + ÷ = −1 + 4 4     π π π π π 5π    x = − + k π ∨ x = + kπ  x + = − + k 2π ∨ x + = + k 2π ⇔ ⇔ ( k ∈Z)  x = α − π + kπ ∨ x = 3π − α + kπ  x + π = α + k 2π ∨ x + π = π − α + k 2π   8 4 s inx ≠ ( *) Khi phương trình trở thành c) tan x + cot x = 2(sin x + cos x) Điều kiện :  cosx ≠ sin x cos x ⇔ + = 2(sin x + cos x) ⇔ = 2(sin x + cos x) ⇔ = sin 2 x + sin x.cos2x cosx s inx sin x cos2x=0 π kπ ⇔ − sin 2 x = sin x.cos2x ⇒ cos2x ( 1-sin2x ) = ⇔  ⇔x= + ( k∈Z) sin2x=1 Nghiệm thỏa mãn diều kiện (*) d) 2(sin x + cos x) cos x = + cos x ⇔ 2 s inxcosx+2 2cos x = + cos x ⇔ s in2x+ ( + cos2x ) = + cos x ⇔ s in2x+ Nhận xét : hoctoancapba.com a + b2 − c2 = ( 2) +( ) ( 2 −1 − − ) ( ) − cos2x = − = − = 32 − 36 < ⇒ a + b < c Vậy phương trình vô nghiệm Bài 18 Giải phương trình lượng giác sau: π π sin x + cos x = a) sin x + sin ( x − ) + sin ( x + ) = b) 4 c) cos x + sin x − sin x cos x = + sin x d) sin x + cos x = sin x Giải π π 4 a) sin x + sin ( x − ) + sin ( x + ) = ( Bài giải ) 4 Trang 60 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 b) sin x + cos x = Điều kiện : + sin x s inx ≠ ( *) Khi phương trình trở thành :  sinx ≠ -1 π  ⇔ sin x + cos x ( + s inx ) = ⇔ 2sin x + cos x = ⇔ sin x = −cosx=-sin  − x ÷ 2  π π   x = − + k 2π x = x − + k 2π   π  2 ⇔ sin x = sin  x − ÷ ⇔  ⇔ 2   x = π + k 2π  x = π + π − x + k 2π   π Ta thấy : Với x= − + k 2π , vi phạm điều kiện làm cho cosx=0 ( loại ) π + 2nπ ↔ k = 3n → ( loai ) π k 2π  = Còn nghiệm : x = +  7π + 2nπ ↔ k = 3n + 1( chon )  7π + n 2π ( n ∈ Z ) Vậy nghiệm : x= c) cos x + sin x − sin x cos x = Do cosx=0 không nghiệm , chia vế phương trình cho cos3 x ≠ , ta phương trình : t = t anx t = t anx t = t anx sin x sin x cos x ⇔ 1+ − = ⇔ ⇔ ⇔  3  2 cos3 x cos3 x  t -3t +t+1=0 1+t ( 1+t ) − 3t ( t-1) ( t -2t-1) =0 π  x = + kπ  t =  t anx =  t =   ⇔ ⇔ t = + ⇔  t anx = + ⇔  x = arctan + + kπ ( k ∈ Z )  t − 2t − = t = −  t anx = −  x = arctan − + kπ    ( ( ) ) d) 2sin x + cos x = sin x ⇔ cos2x=sinx ( 1-2sin x ) = s inx.cos2x ⇔ cos2x ( sinx-1) = π π kπ    x = + kπ x = + cos2x=0 ⇔ ⇔ ⇒ sinx=1  x = π + k 2π  x = π + k 2π   2 ( k ∈Z) Bài 19 Giải phương trình lượng giác sau: a) − cos x − + cos x = b) sin x cos x + sin x + cos x = c) cos x cos x cos x cos x = 16 d) sin x + sin x = cos 2 x + cos x Giải a) − cos x − + cos x = ⇔ + ( − cosx ) ( + cosx ) = ⇔ ( − cosx ) ( + cosx ) =1 t = cosx; t ≤ t = − ⇔ ( − cosx ) ( + cosx ) = ⇔  ⇔ ⇒ t = 1− t − 2t − = t = + > 1(l ) Vậy : ⇔ cosx=1- = cosα ⇒ x= ± α +k2π ( k ∈ Z;cosα =1- ) b) sin x cos x + 2sin x + cos x = ⇔ sin x cos x + ( sin x + cos x ) = Đặt : t = s inx+cosx; t ≤ 2;s inxcosx= t2 −1 Thay vào phương trình , ta : Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 61 ⇔ t = t −1 π  + 2t = ⇔ t + 4t − = ⇔  ⇒ t = ⇔ sin  x + ÷ = 4  t = −5 < − 2(l )  π π  x = k 2π  x + = + k 2π π π   ⇔ sin  x + ÷ = = sin ⇔  ⇔ ( k∈Z)  x = π + k 2π 4   x + π = 3π + k 2π   4 c) cos x cos x cos x cos8 x = ⇔ 16sin xcosxcos2xcos4xcos8x=sinx 16 ⇔ 8sin xcos2xcos4xcos8x=sinx ⇔ 4sin xcos4xcos8x=sinx ⇔ 2sin xcos8x=sinx  k2π  x= 15 16x=x+k2π ⇔ sin16 x =sinx ⇔  ⇔ ( k ∈Z) 16x=π -x+k2π  x= π + k2π  17 17 − cos2x − cos6x + cos4x + cos8x + = + d) sin x + sin x = cos 2 x + cos x ⇔ 2 2 ⇔ ( cos8x+cos2x ) + ( cos6x+cos4x ) = ⇔ cos x cos x + 2cos5xcosx=0 π kπ  π   x = 10 + 5 x = + k π   cos5x=0  π kπ ⇔ cos x ( cos3x+cosx ) = ⇔  ⇔ 3 x = π − x + k 2π ⇔  x = − x +  cos3x=-cosx=cos ( π -x ) 3 x = x − π + k 2π    x = − π + kπ   Bài 20 Giải phương trình lượng giác sau: a) sin x(cos x − sin x) + cos x(1 + sin x − cos x) = 3(1 + sin x) π x  − cos  −  = b) tan x − tan x + 4 cos x 2 Giải a) sin x(cos x − sin x) + cos x(1 + sin x − cos x) = ⇔ ( sin xcosx + cos x s inx ) -2 ( sin 3x+cos x ) +cos3x = π kπ  π x = +  sin x = 4 x = + k 2π  ⇔ sin x + cos3x=2 ⇔  ⇔ ⇔ cos3x=1 3 x = l 2π  x = l 2π  Nếu phương trình có nghiệm tồn k,l cho : π kπ l 2π k 2l 3k + 4l + = ⇔ − = ⇔ = = 12k + 16l = ⇔ ( 6k + 8l ) = Phương trình vô nghiệm ví : Vế trái số chẵn , vế phải số lẻ 3(1 + sin x) π x  − cos  −  = Điều kiện : cos x ≠ ( *) Phương trình : b) tan x − tan x + cos x  2 3(1 + sin x)  π  ⇔ tan x − tan x + − 1 + cos  − x ÷÷ = − sin x 2    ( − cos x ) − cos x  − 4cos x  sin x  − ( − sin x ) ÷+ ⇔ t anx  − 1÷+ = ⇔ t anx  =0  ÷ − sin x − sin x cos x  cos x    Trang 62 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 3 − ( + cos2x ) = cos2x=2   t anx ⇔ ( − 4cos x )  + =0⇔ ⇔   cos x − sin x  sinx+cosx+sinxcosx=0  t anx+1+sinx=0  t2 −1 t = s inx+cosx; t ≤ 2;s inxcosx=  π   ⇔ ⇒ sin  x + ÷ = −  4  t + t − = ⇔ t + 2t − = ↔ t = −1 − < − 2(l )  t = −1 +  π  π  x + = α + k 2π x = α − + k 2π   π −1  4 ⇔ sin  x + ÷ = = sin α ⇔  ⇔ ( k∈Z) 4   x + π = π − α + k 2π  x = 3π − α + k 2π   Bài 21 Giải phương trình lượng giác sau: a) cos x = sin x b) cos x − sin x − sin x − cos x + = c) cos x = cos x + tan x d) cot x + 2 sin x = (2 + ) cos x Giải 3sin x sin x − ⇔ tan x − tan x ( + tan x ) + = cos3 x cos3 x t = ⇔ tan x − tan x + = ⇔ ( t − 1) ( t + t − ) = ⇔ ( t − 1) ( t − ) = ⇔  t = π  x = + kπ  t anx =  ⇔ ⇔ ( k ∈Z)   t anx =  x = arctan2+kπ a) cos3 x = 3sin x − 4sin x ⇔ = b) cos x − sin x − sin x − cos x + = Chia vế cho ta :   π   π sin x −  sin x + cos x ÷ + = ⇔ sin  x − ÷− sin  x + ÷ = −2 ÷ 2 3 6       π  π π π  x = + kπ sin  x − ÷ = −1  x − ÷ = − + k 2π        12 ⇔ ⇔ ⇔ Phương trình có nghiệm sin  x − π  = −1  x − π  = − π + l 2π  x = − π + l 2π ÷ ÷     6 6 π π + kπ = − + l 2π ⇔ + 12k = −4 + 24l ⇔ 12k − 24l = −5 Vô nghiệm với k,l : 12 ⇔ cos x − thuộc Z ví Vt số chẵn , VP số lẻ cosx ≠ ( *) Khi phương trình trở thành :  tanx ≥ -1 c) cos x = cos x + tan x Điều kiện :  t = t anx ≥  0 ≤ t ≤ ⇔ 1 − t ⇔ 1− t = 1+ t ⇔  ⇒ ( + t ) ( + t ) ( − t ) − 1 = 2   = 1+ t  ( − t ) = + t 2 1+ t 1 + t π ⇔ ( + t ) ( − t ) − ⇒ t − t + t − = ⇔ ( t − 1) ( t + 1) = ⇔ t = ⇒ t anx=1 ⇔ x= + kπ 2 d) cot x + 2 sin x = (2 + ) cos x Điều kiện : sinx ≠ Khi phương trình :   ⇔  − 1÷+ 2 sin x = (2 + 2) cos x ⇔ + 2 sin x − = (2 + 2) cos x sin x sin x   ⇔ + 2 sin x − 3sin x = (2 + 2) cos x sin x Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 63 ⇔ + ( − cos x )  2 1 − cos x  − 3 = (2 + 2) cos x ( − cos x ) t = cosx → t ≤ ⇔ 2 2t + + t + − t − + t + 2 = t = cosx → t ≤  ⇔  1  1 2  t + t ÷+ +  t − t ÷+ − =      1 1   2 2 u = t − t → t + t = u + u = t − t → t + t = u + ⇔ ⇔ 2 ( u + ) + + u + − = 2 2u + + u + =    −2 − + − = −3 u1 = 2  Ta có : ∆ = + − 2.3 = − ⇒  −2 − − + = −2 u2 =    − 22 22 − t − t = −3 t + 2t − = < −1 ∨ t = t = − ⇔ ⇔ ⇔ 2 t − = −2 t + 2t − = t = −1 − < −1(loai ) ∨ t = −  t  22 −  = cosα  x = ±α + k 2π  22 − cosx = ⇔ ⇔ , cosβ = − 1÷  k ∈ Z , cosα = ÷  x = ± β + k 2π   cosx= − = cosβ ( ) ( ) ( ) ) ( ( ( ) ) ( ( ) ) Bài 22 Giải phương trình sau:   =0 b) 4(sin x − cos x) = 5(sin x − 1) cos x   c) cos x + sin x cos x + sin x cos x = 2(sin x + cos x) a) tan x − sin x − cos x + 2 cos x − Giải   a) tan x − sin x − cos x + 2 cos x −   = Điều kiện : cos x ≠ Phương trình : cos x   cos x −   − cos x   cos x −  sin x ⇔ − sin x − cos x +  ÷ = ⇔ s inx  ÷− cos x +  ÷= cosx  cosx   cosx   cosx  cos2x s inx   cos2x   ⇔ − s inx  = ⇔ cos2x  −1 − ÷− cos x + ÷= cosx cosx   cosx   cosx π π kπ   x = + kπ x= + cos2x=0 π kπ   ⇔ ⇔ ⇔ ( k ∈Z) ⇒x= +   2 2 sinx+cosx=2  x ∈∅  a + b = < = c b) 4(sin x − cos x) = 5(sin x − 1) ⇔ ( 3sin x − 4sin x − + 2sin x ) = ( s inx-1) ⇔ 16sin x − 8sin x − sin x − = ⇔ ( s inx-1) ( 16sin x + 8sin x + 1) = Trang 64 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 π  x = + k 2π  s inx=1 s inx=1 s inx=1  1   ⇔ ⇔ ⇔ ⇔  x = α + k 2π k ∈ Z , cosα =- ÷  sinx=4 16sin x + 8sin x + = ( 4sinx+1) =  x = π − α + k 2π     2 c/ cos x + sin x cos x + sin x cos x = 2(sin x + cos x) ⇔ ( cos x − sin x ) + sin x cos x ( cosx+sinx ) − 2(sin x + cos x) = cosx+sinx=0 cosx+sinx=0 ⇔ ( cosx+sinx ) ( ( cos x − sin x ) + sin x cos x − ) = ⇔  1-t ⇔  t+ −2=0  t -2t-3=0  π   x = − + kπ  t anx==-1  t anx=-1   π  ⇔ cosx-sinx=-1 ⇔ ⇔  x= + k 2π ( k ∈ Z ) π    cos  x+ ÷= cosx-sinx=3> 2(loai)   x = −π + k 2π       Bài 23 Giải phương trình sau: a) tan x sin x − sin x = 3(cos x + sin x cos x) c) 48 − − (1 + cot x cot x) = cos x sin x e) cos x + cos x + sin x − = b) sin x(cot x + tan x) = cos x d) sin x + cos x = cos x f) + cos x = tan x Giải a) tan x sin x − sin x = 3(cos x + sin x cos x) Điều kiện : cos x ≠ Phương trình : 2 ⇔ t anx sin x − 2sin x = 3cos x − 3sin x + 3sin xx cos x  cosx+sinx  ⇔ t anx sin x + sin x = 3cos x + 3sin x cos x ⇔ sin x  ÷− 3cos x ( cosx+sinx ) =  cosx  cosx+sinx=0  t anx=-1 cosx+sinx=0  sin x  ⇔ ( cosx+sinx )  − 3cos x ÷ = ⇔  ⇔  sin x ⇔  =3  cosx  sin x − 3cos x =  tanx= ±  cos x π   x=- + kπ ⇔  x= ± π + kπ  ( k∈Z) s inx ≠ s inx ≠ ⇔ ( *) sin2x ≠ cosx ≠ cos x s in2 x + ) − cos x = Khi phương trình trở thành : ⇔ 2sin xcosx( s inx cos2x 2  2sin x − cos2x  s in x s in x ⇔ 2cos x+ − cos x = ⇔ − cos x = ⇔ cos x  ÷= cos2x cos2x cos2x   π π ⇔ − cos2x-cos2x=0 ⇔ cos2x= ⇔ x = ± + k 2π ⇒ x = ± + kπ ( k ∈ Z ) b) sin x(cot x + tan x) = cos x Điều kiện :  ( Vì cosx khác hai nghiệm thỏa mãn điều kiện (*) ) Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 65 s inx ≠ − ( + cot x cot x ) = ( *) Khi : Điều kiện :  cos x sin x cosx ≠ co x cos x cos x ⇔ 48 − − (1 + ) = ⇔ 48 − − ( )=0 4 cos x sin x sin x.s inx cos x sin x 2sin x.cosx 1 ⇔ 48 − − = ⇔ cos x + sin x − 48sin x cos x = ⇔ − sin 2 x − 3sin x = cos x sin x  t= t = sin 2 x ↔ ≤ t ≤  π kπ ⇔ ⇔ ⇔ sin 2 x = ⇔ cos4x=0 ⇔ x= + ( k ∈Z) t = − < 0(loai ) 6t + t − =  3  − cos4x  + 3cos x 6 d) sin x + cos x = cos x ⇔ − sin x = cos4x ⇔ cos4x=1-  ÷= 4  kπ ⇔ 8cos x = + 3cos x ⇔ cos4x=1 ⇔ 4x=k2π ⇒ x= ( k ∈Z) 2 e) cos x + cos x + 2sin x − = ⇔ cos x ( cosx-1) + ( s inx-1) = c) 48 − ⇔ ( − sin x ) ( cosx-1) + ( s inx-1) = ⇔ ( − s inx ) ( + s inx ) ( cosx-1) −  = s inx=1 s inx=1 1 − s inx=0 s inx=1 ⇔ ⇔  1-t ⇔ ⇔ t + −2=0 cosx-sinx+sinxcosx-2=0  ∆'=1-3=-20 ⇔ sin2x>0 ⇔ 01 t = 4t − 2t + =  π + k 2π ( k∈Z) 3π x= + k 2π x= x = x = x2 x2 ⇔ ⇒ x = d) − = cos x ⇔ − cosx= ⇔  2 cosx=1  x=k2π Phương trình có nghiệm : x=0 π π π 3 e) sin  x +  = sin x Đặt : y = x + ⇒ x = y − ( *) Thay vào phương trình ta có :  4 4 π  ⇔ sin y = sin  y − ÷ = sin y − cosy ⇔ siny ( sin y − 1) + cosy=0 ⇔ −sinycos y + cosy=0 4  cosy=0 π π ⇔ cosy ( 1-sinycosy ) =0 ⇔  ⇒ cosy=0 ↔ y= + kπ ⇔ x = + kπ ( k ∈ Z ) sin2y=2>1 sin x sin x = ⇔ 5sin x = 3sin x ⇔ 2sin x = ( sin x − sin x ) f) ⇔ 2sin 3x = 3.2 cos x sin x ⇔ ( 3sin x − 4sin x ) − 6s inxcos4x=0 ⇔ sinx  6-4sin x − cos x  = s inx=0 s inx=0 s inx=0 ⇔ ⇔ ⇔ 2  cos2x=1 ∨ cos2x=- 6-2 1-cos2x − cos x − = ( ) 12 cos x -cos2x-10=0 ( )    -Trường hợp : s inx=0 ⇒ x=kπ - Trường hợp : cos2x=1 ⇒ 2x=k2π ⇔ x=kπ Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 73 - Trường hợp : cos2x=- = cosα ⇒ 2x= ± α +k2π ⇔ x= ±  x = kπ Tóm lại phương trình có nghiệm :  α x = ± + kπ  α + kπ 5   k ∈ Z ; cosα =- ÷ 6  Trang 74 Sưu tầm soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 [...]... π + kπ  tanx= ± 3  tan x=3  3 3 b sin x sin 2 x + sin 3 x = 6 cos x Có 2 cách giải 4 2 2 4 Cách 1 1 cos3x+3cosx  ( cosx-cos3x ) + sin 3x = 6  ÷ ⇔ cosx-cos3x+2sin3x=3cos3x+9cosx 2 4   1 1 ⇔ 2sin3x-4cos3x=8cosx ⇔ sin 3 x − cos3x=cosx Giải theo phương trình : 4 2 ⇔ a.sinx+bcosx=c , ta tìm đượcnghiệm Cách 2 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 33 Nhận xét : cosx=0 không là... x = 0 Cách 1 sin 4 x = t anx ⇔ sin 4 x = ⇔ 2sin x ( cos4x+cos2x+cos2x ) = 0 ⇔ 2sin x ( 2 cos 2 2x+2cos2x-1) = 0 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 15  s inx=0  s inx=0  x = kπ s inx=0 -1- 3    ⇔ ⇔ cos2x= < −1 ⇒ ( k∈Z) α 3 −1 ⇔  2  2 x = ± + kπ 2cos x + 2 cos 2 x − 1 = 0 cos2x=     2 2 cos2x= 3 − 1  2 s inx=0 sinx ⇔ s inx ( 4cos2x.cos 2 x − 1) = 0 ⇔  Cách 2... 4 4  4  2  ( ) ( Do đó để thỏa mãn yêu cầu bài toán thì ta tìm m dể phương trình (*) có nghiệm ∈ ( 2; 2 ) 2; 2 ⇔ t  m ( t 2 − 1) + 1 + t 2 = 0 ⇔ t  m ( t − 1) ( t + 1) + 1 + t  = 0 ⇔ t ( t + 1)  m ( t − 1) + 1 = 0 ) - Với t=0 và t=-1 ta đã có nghiệm như câu a - Còn phương trình : m(t-1)=-1 , t=1 không là nghiệm ( vì : 0=-1 vô lý ) Cho nên ta xét 1 hàm số f (t ) = − t − 1 = m ⇒ f... m ≥ 2 Qua bảng biến thiên ta thấy phương trình có nghiệm khi  3   m ≤ − 2 Bài 11 Giải các phương trình sau : a sin 3 x − cos3 x = s inx-cosx π  b sin 2 x + 2 sin  x − ÷ = 1 4 c sin2x-12(sinx-cosx)+12=0 sinx+cosx =1 d sin 2 x + 1   Giải a sin x − cos x = s inx-cosx ⇔ ( sinx-cosx ) ( s inxcosx ) = 0 3 3 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 29 π  s inx=cosx  x = 4 + kπ t... ⇔ 3t 2 − 2 2 2 = m ⇔ f (t ) = 3t − = m ⇒ f '(t ) = 3 + 2 > 0 ∨ t ∈ R t t t Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 31 Chứng tỏ hàm số luôn đồng biến Với f(-2)=-5 ; f(2)=5 Vậy phương trình có nghiệm  m ≤ −5 khi và chỉ khi :  m ≥ 5 VI PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI -BẬC BA ĐỐI VỚI SINX,COSX Bài 1 Giải các phương trình sau : a sin 3 x − 3cos3 x = s inxcos 2 x − 3 sin 2 x cos x 2 b sin... 3 3 2 2 a sin x − 3cos x = s inxcos x − 3 sin x cos x Có 2 cách giải : Cách 1 Chia 2 vế phương trình cho cos3 x ≠ 0 , ta có phương trình : sin 3 x s inx sin 2 x − 3 = − 3 ⇔ tan 3 x + 3 t an 2 x-tanx- 3 = 0 3 2 cos x cosx cos x π  x = − + kπ   t anx=- 3 3 ⇔ t anx+ 3 ( tan 2 x − 1) = 0 ⇔  ⇔ ( k ∈Z) π t anx= ± 1  x = ± + kπ   4 ⇔ ( ) Cách 2 ⇔ sin 3 x − s inxcos 2 x + 3 sin 2 x cos x − 3cos 3...  ⇔ 2sin x.cosx  − 2 ÷= 0 ÷ = 4 cos x ⇔ 2cos x   sinxcos2x   cos2x  Trang 12 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 ) π   2cos 2 x=0  x = 2 + kπ ⇔ ⇔ ( k ∈ Z ) Các nghiệm thỏa mãn điều kiện cos2x= 1 π  x = ± + kπ  2  6 x x 2 6x + 1 = 3cos Đặt : t = ⇒ x = 5t Khi đó phương trình có dạng : c 2 cos 5 5 5 2 ⇔ 2 cos 6t + 1 = 3cos t ⇔ 2 + cos12t=3cost ⇔ 3cost-cos12t=2 t = k 2π... +2 ( m-2 ) t − ( 4m − 3) ( 1 + t ) =0 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 35 ⇔ ( t − 1) t có nghiệm 2 t = 1 t = 1  2  − 3 − 2m ( t − 2 )  = 0 ⇔ t − 3 ⇔ Phương trình luôn  t + 2 + 1 = 2m ( **) = 2m  t − 2 t −2  π  π x = ∈ 0;  , Cho nên để phương trình có nghiệm duy nhất thì (**) vô 4  4 nghiệm Bằng cách tính đạo hàm và xét dấu , ta thấy : hoctoancapba.com F'(t)=... trình : m ( s inx+cosx+1) = 1 + sin 2 x ⇔ m ( s inx+cosx ) = ( s inx+cosx )  π Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc đoạn 0;  2  2 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 23 2 Giải Đặt : t = s inx+cosx → t ≤ 2 ↔ sin 2 x = t − 1 Thay vào phương trình ta được : s inx+cosx=0 ⇔ mt = 1 + t 2 − 1 = t 2 ⇔  sinx+cosx=m π  π 3π  π  π  Nếu : x ∈  0;  → s inx,cosx ∈ [ 0;1] ;... t = 1 2 t = cos 4 x.0 ≤ t ≤ 1  2 4 ⇔ 2 − ( 1 − cos 4 x ) = 2cos 4 x ⇔  2 ⇔ 1  2t − t − 1 = 0 t = − 2 < 0 4 4 Sưu tầm và soạn-Buihanh6789@gmail-ĐT:01688226322 Trang 13 kπ 4 π  π  Đối chiếu với điều kiện để tan  − x ÷va tan  + x ÷ có nghĩa thì ta phải bỏ đi các nghiệm 4  4   π π   k = 2n + 1 ⇒ x = 4 + nπ ↔ cos  4 + x ÷ = 0   ứng với k là lẻ :  Do đó phương trình chỉ có 