Hướng dẫn giải các dạng toán tổ hợp và xác suất - TOANMATH.com

Gọi Ω là không gian mẫu của phép thử “lấy ngẫu nhiên một số thuộc tập M”, gọi A là biến cố “tổng các chữ số của số được chọn là 10”... CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT.[r]

CHƯƠNG BÀI A TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN TÓM TẮT LÝ THUYẾT Định nghĩa (Quy tắc cộng) Một công việc X thực theo k phương án A1 , A2 , , Ak , đó Phương án A1 có n1 cách thực hiện; Phương án A2 có n2 cách thực hiện; Phương án Ak có nk cách thực k Khi đó số cách hoàn thành công việc X là n( X ) = n1 + n2 + · · · + nk = ∑ ni cách i =1 Định nghĩa (Quy tắc nhân) Giả sử nhiệm vụ X nào đó hoàn thành qua k giai đoạn A1 , A2 , , Ak : Giai đoạn A1 có n1 cách làm; Giai đoạn A2 có n2 cách làm; Giai đoạn Ak có nk cách làm k Khi đó công việc X có số cách thực là n( X ) = n1 · n2 · n3 · · · nk = ∏ ni cách i =1 Định nghĩa (Quy tắc bù trừ) Đối tượng x cần đếm chứa đối tượng X gồm x và x đối lập Nếu X có m cách chọn, x có n cách chọn Vậy x có (m − n) cách chọn Về mặt thực hành, đề cho đếm đối tượng thỏa a và b Ta cần làm: Bài toán 1: Đếm đối tượng thỏa a Bài toán 2: Đếm đối tượng thỏa a, không thỏa b Do đó, kết bài toán = kết bài toán − kết bài toán 169 170 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Nếu bài toán chia trường hợp không trùng lặp để hoàn thành công việc thì dùng qui tắc cộng, bài toán chia giai đoạn thực thì ta dùng quy tắc nhân Trong nhiều bài toán, ta không kết hợp hai quy tắc này lại với để giải mà cần phân biệt nào cộng, nào nhân, nào trừ ! “Nếu cho tập hợp hữu hạn A và B giao khác rỗng Khi đó thì số phần tử A ∪ B số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử A ∩ B, tức là n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B)” Đó là quy tắc cộng mở rộng Do đó giải các bài toán đếm liên quan đến tìm số cho các số đó là số chẵn, số lẻ, số chia hết ta nên ưu tiên việc thực (chọn) chúng trước và chứa số nên chia trường hợp nhằm tránh trùng lặp với Dấu hiệu chia hết: Gọi N = an an−1 a1 a0 là số tự nhiên có n + chữ số (an 6= 0) Khi đó: + N ⇔ a0 ⇔ a0 ∈ {0; 2; 4; 6; 8} + N ⇔ a0 ⇔ a0 ∈ {0; 5} + N (hay 25) ⇔ a1 a0 (hay 25) + N (hay 125) ⇔ a2 a1 a0 (hay 125) + N (hay 9) ⇔ a0 + a1 + · · · + an (hay 9) B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP VÍ DỤ { DẠNG 1.1 Bài toán sử dụng quy tắc cộng VÍ DỤ Trong thi tìm hiểu đất nước Việt Nam, ban tổ chức công bố danh sách các đề tài bao gồm: đề tài lịch sử, đề tài thiên nhiên, 10 đề tài người và đề tài văn hóa Hỏi thí sinh có bao nhiêu cách chọn đề tài? ĐS: 31 L Lời giải Mỗi thí sinh có các phương án chọn đề tài: Chọn đề tài lịch sử có cách chọn Chọn đề tài thiên nhiên có cách chọn Chọn đề tài người có 10 cách chọn Chọn đề tài văn hóa có cách chọn Theo quy tắc cộng, có + + 10 + = 31 cách chọn đề tài  CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 171 VÍ DỤ Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B có thể các phương tiện: ô tô, tàu hỏa máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, chuyến tàu hỏa và chuyến máy bay Hỏi có bao nhiêu cách lựa chọn chuyến từ tỉnh A đến tỉnh B? ĐS: 18 L Lời giải Để từ A đến B có phương án lựa chọn: Đi ô tô có 10 cách chọn Đi tàu hỏa có cách chọn Đi máy bay có cách chọn Theo quy tắc cộng, có 10 + + = 18 cách chọn  { DẠNG 1.2 Bài toán sử dụng quy tắc nhân VÍ DỤ An đến nhà Bình để cùng Bình đến chơi nhà Cường Từ nhà An đến nhà Bình có đường đi, từ nhà Bình đến nhà Cường có đường Hỏi An có bao nhiêu cách chọn đường từ nhà mình đến nhà Cường? ĐS: 24 L Lời giải Để từ nhà An đến nhà Cường cần thực giai đoạn Đi từ nhà An đến nhà Bình có cách Đi từ nhà Bình đến nhà Cường có cách Theo quy tắc nhân, có · = 24 cách chọn đường  VÍ DỤ Lớp 11A có 30 học sinh Tập thể lớp muốn bầu lớp trưởng, lớp phó và thủ quỹ Hỏi có bao nhiêu cách chọn ban cán lớp trên, biết bạn có làm tối đa vai trò? ĐS: 24360 L Lời giải Để bầu ban cán lớp cần thực giai đoạn Bầu lớp trưởng có 30 cách Bầu phó có 29 cách Bầu thủ quỹ có 28 cách Theo quy tắc nhân, có 30 · 29 · 28 = 24360 cách chọn  172 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT { DẠNG 1.3 Bài toán sử dụng quy tắc bù trừ VÍ DỤ Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà không bắt đầu 12? ĐS: 26880 L Lời giải Gọi a1 a2 a3 a4 a5 là số cần lập Để lập số tự nhiên có chữ số khác nhau, ta thực các bước lần lượt: Chọn a1 có cách Chọn a2 có cách Chọn a3 có cách Chọn a4 có cách Chọn a5 có cách Do đó có · · · · = 27216 số có năm chữ số khác Để lập số tự nhiên có chữ số khác bắt đầu 12, ta thực các bước lần lượt: Chọn a1 a2 có cách Chọn a3 có cách Chọn a4 có cách Chọn a5 có cách Do đó có · · · = 336 số có năm chữ số khác Theo quy tắc bù trừ, có 27216 − 336 = 26880 số có năm chữ số khác không bắt đầu 12  VÍ DỤ Trong hộp có bi đỏ, bi trắng và bi vàng Có bao nhiêu cách lấy viên bi từ hộp này cho chúng không đủ ba màu? ĐS: 335 L Lời giải Số cách lấy bi từ 15 bi là C315 = 455 Số cách lấy bi từ 15 bi mà đủ ba màu là · · = 120 Theo quy tắc bù trừ, số cách lấy viên bi không đủ ba màu là 455 − 120 = 335  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Một hộp có 12 viên bi trắng, 10 viên bi xanh và viên bi đỏ Một em bé muốn chọn viên bi để chơi Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 30 cách Lời giải Để chọn viên bi để chơi có các phương án + Chọn viên bi trắng có 12 cách + Chọn viên bi xanh có 10 cách CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 173 + Chọn viên bi đỏ có cách Theo quy tắc cộng, số cách để chọn viên bi để chơi là 12 + 10 + = 30 cách  BÀI Chợ Bến Thành có cổng vào Hỏi người chợ: a) Có cách vào và chợ? ĐS: 16 b) Có cách vào và chợ cổng khác nhau? ĐS: 12 Lời giải a) Để vào và chợ ta thực liên tiếp các bước Vào chợ có cách Ra chợ có cách Theo quy tắc nhân, có · = 16 cách vào và chợ b) Để vào và chợ cổng khác ta thực liên tiếp các bước Vào chợ có cách Ra chợ cổng khác có cách Theo quy tắc nhân, có · = 12 cách vào và chợ hai cổng khác  BÀI Có sách Toán, sách Lí, sách Hóa Một học sinh chọn loại trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn? ĐS: 20 cách Lời giải Để chọn sách loại sách, ta có các phương án + Chọn sách Toán có cách + Chọn sách Lí có cách + Chọn sách Hóa có cách Theo quy tắc cộng, số cách để chọn viên bi để chơi là + + = 20 cách  BÀI Cho sơ đồ mạch điện hình vẽ bên cạnh Hỏi có bao nhiêu cách đóng - mở công tắc để có dòng điện từ A đến B ĐS: 12 cách Lời giải Để dòng điện từ A đến B có phương án B A Phương án công tắc phía trên đóng Khi đó có 22 = trạng thái các công tắc phía Phương án công tắc phía đóng Khi đó có 23 = trạng thái các công tắc phía trên Theo quy tắc cộng, có + = 12 cách để dòng điện từ A đến B  BÀI Đề thi học kỳ môn Hóa gồm hai phần: trắc nghiệm và tự luận Trong ngân hàng đề thi có 15 đề trắc nghiệm và đề tự luận Hỏi có bao nhiêu cách đề? ĐS: 120 cách Lời giải Để tạo đề thi, cần thực hai bước liên tiếp Chọn đề trắc nghiệm có 15 cách 174 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chọn đề tự luận có cách Theo quy tắc nhân, có 15 · = 120 cách đề  BÀI Một ca sĩ có 30 cái áo và 20 cái quần, đó có 18 cái áo màu xanh và 12 cái áo màu đỏ; 12 quần xanh và quần đỏ Có bao nhiêu cách chọn quần áo khác màu để người ca sĩ này trình diễn? ĐS: 240 cách Lời giải Để chọn quần áo khác màu, ta có các phương án Áo màu xanh và quần màu đỏ có 18 · = 144 cách Áo màu đỏ và quần màu xanh có 12 · = 96 cách Theo quy tắc cộng, số cách chọn quần áo là 144 + 96 = 240 cách  BÀI Trong lớp 11A có 39 học sinh đó có học sinh tên Chiến, lớp 11B có 32 học sinh đó có học sinh tên Tranh Có bao nhiêu cách chọn tổ gồm học sinh khác lớp mà không có mặt Chiến và Tranh cùng lúc? ĐS: 1247 cách Lời giải Để chọn tổ gồm học sinh khác lớp, có 39 · 32 = 1248 cách Trong đó có cách chọn tổ có mặt Chiến và Tranh Do đó số cách chọn tổ không có mặt Chiến và Tranh cùng lúc là 1248 − = 1247 cách  BÀI Trong lớp 11A có 50 học sinh, đó có học sinh tên Ưu và Tiên Có bao nhiêu cách chọn học sinh thi mà đó có mặt ít học sinh tên Ưu và tên Tiên? ĐS: 97 cách Lời giải Có phương án chọn Phương án 1: Chọn có Ưu cách, chọn bạn khác Tiên có 48 cách nên có · 48 = 48 cách trường hợp này Phương án 2: Chọn có Tiên cách, chọn bạn khác Tiên có 48 cách nên có · 48 = 48 cách trường hợp này Phương án 3: Có Ưu và Tiên: cách trường hợp này Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề bài là 48 + 48 + = 97 cách thỏa yêu cầu  BÀI Có 20 bông hoa đó có bông hồng, bông cúc, bông đào Chọn ngẫu nhiên bông, hỏi có bao nhiêu cách chọn để đó hoa chọn có đủ ba loại? ĐS: 2380 cách Lời giải Có phương án chọn Phương án 1: Chọn bông hồng, bông cúc, bông đào có trường hợp này 8·7 · · = 980 cách 2! Phương án 2: Chọn bông hồng, bông cúc, bông đào có · trường hợp này 7·6 · = 840 cách 2! Phương án 3: Chọn bông hồng, bông cúc, bông đào có · · trường hợp này 8·7 = 560 cách 2! Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu đề bài là 980 + 840 + 560 = 2380 cách thỏa yêu cầu  CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 175 BÀI 10 Có 12 học sinh giỏi gồm học sinh khối 12, học sinh khối 11, học sinh khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách chọn học sinh cho khối có ít học sinh ? ĐS: 805 cách Lời giải Có phương án chọn Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh có 12 · 11 · 10 · · · = 924 cách 6! Số cách chọn học sinh đó không có học sinh lớp 12 có 9·8·7·6·5·4 = 84 cách 6! Số cách chọn học sinh đó không có học sinh lớp 11 có 8·7·6·5·4·3 = 28 cách 6! Số cách chọn học sinh đó không có học sinh lớp 10 có 7·6·5·4·3·2 = cách 6! Do đó số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là 924 − (84 + 28 + 7) = 805 cách  BÀI 11 Có bao nhiêu biển số xe gồm hai chữ cái đầu (26 chữ cái) và chữ số theo sau (chữ số đầu không thiết khác và chữ số cuối khác 0), cho: Chữ cái tùy ý và bốn chữ số tùy ý tạo thành số chia hết cho theo sau ĐS: 2704000 cách Chữ cái khác và chữ số đôi khác tạo thành số chia hết cho sau ĐS: 291200 cách Lời giải Có bước chọn Chọn chữ cái 262 cách Chọn chữ số có 103 cách Chọn chữ số cuối cùng thuộc {2; 4; 6; 8} có cách Vậy có tất 262 · 103 · = 2704000 cách Có bước chọn Chọn chữ cái có 26 · 25 = 650 cách Chữ số cuối có cách chọn số Chọn chữ số còn lại · · = 448 cách Vậy có tất 26 · 25 · · · · = 291200 cách  BÀI 12 Người ta có thể ghi nhãn cho ghế giảng đường Đại học chữ cái (26 chữ cái) và số nguyên dương theo sau mà không vượt quá 100 Bằng cách ghi vậy, nhiều có bao nhiêu ghế có thể ghi nhãn khác nhau? ĐS: 2600 cách Lời giải Có 26 chữ cái và 100 số thỏa mãn Vậy số cách ghi nhiều là 26 · 100 = 2600 cách  BÀI 13 Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số lấy từ tập A, cho các chữ số này: 176 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Tùy ý ĐS: 90000 số Khác đôi ĐS: 27216 số Khác đôi và năm chữ số này tạo thành số lẻ ĐS: 13440 số Khác đôi và năm chữ số này tạo thành số chia hết cho ĐS: 5712 số Khác đôi và năm chữ số này tạo thành số chia hết cho ĐS: 13776 số Lời giải Gọi abcde là số cần tìm a có cách chọn b có 10 cách chọn c có 10 cách chọn d có 10 cách chọn e có 10 cách chọn Vậy có · 10 · 10 · 10 · 10 = 90000 số thỏa yêu cầu a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn e có cách chọn Vậy có · · · · = 27216 số thỏa mãn yêu cầu e có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Vậy có · · · · = 13440 số thỏa mãn yêu cầu CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 177 Có trường hợp: Trường hợp 1: e = có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Vậy có · · · · = 3024 số trường hợp này Trường hợp 2: e = có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Vậy có · · · · = 2688 số trường hợp này Vậy có tất cả: 3024 + 2688 = 5712 số thỏa mãn yêu cầu Có trường hợp: Trường hợp 1: e = có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Vậy có · · · · = 3024 số trường hợp này Trường hợp 2: e ∈ {2; 4; 6; 8} có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Vậy có · · · · = 10752 số trường hợp này Vậy có tất 3024 + 10752 = 13776 số thỏa mãn yêu cầu  BÀI 14 Từ các chữ số 0, 1, 2, , có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đôi và chữ số chính luôn là số 2? ĐS: 1218 số Lời giải Gọi A = ab2cd (a 6= 0) Xét A = ab2cd, a bất kì, d ∈ {0; 4; 6; 8} Có cách chọn d, cách chọn a, cách chọn b, cách chọn c, nên có · · · = 1344 cách 178 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Xét A = ab2cd, d ∈ {4; 6; 8} và a = Có cách chọn d, cách chọn b, cách chọn c, nên có · · = 126 cách Vậy số cách chọn thỏa yêu cầu bài toán là 1344 − 126 = 1218 số  BÀI 15 Cho tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác đôi từ X, cho ba chữ số đầu tiên phải ĐS: 2280 số Lời giải Đặt số cần tìm là abcde (a 6= 0) + Xét trường hơp a Xếp số vào ba vị trí a, b, c có cách Xếp các số còn lại vào vị trí có 7, 6, 5, cách Do đó có · · · · = 2520 cách xếp + Xét trường hợp a = Xếp số vào hai vị trí b, c có cách Xếp các số còn lại vào vị trí có 6, 5, cách Do đó có · · · = 240 cách Vậy có tất 2520 − 240 = 2280 số xếp thỏa yêu cầu  BÀI 16 Cho sáu chữ số 1; 2; 3; 4; 5; Có thể tạo bao nhiêu số gồm bốn chữ số khác nhau? Trong đó có bao nhiêu số chia hết cho 5? ĐS: 360 số và 60 số Lời giải Gọi số cần tìm là abcd a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn d có cách chọn Do đó có tất · · · = 360 số có chữ số khác Trong đó, các số cha hết cho có dạng abc5 d có cách chọn a có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Do đó có · · · = 60 số thỏa yêu cầu  BÀI 17 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số có nghĩa đôi khác chia hết cho và luôn có chữ số lấy từ tập A? ĐS: 4680 số Lời giải Gọi x = abcde f + Xét số x có dạng abcde0 có · · · · · = 2520 số + Xét số x có dạng abcde5 Xếp số vào vị trí có cách CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 179 Xác vị trí còn lại có 6, 5, 4, cách Do đó có · · · · = 1800 cách + Xét số x dạng 0bcde5 có · · · = 360 cách Vậy có tất 2520 + 1800 − 360 = 3960 số thỏa mãn yêu cầu  BÀI 18 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số đôi khác nhau, đó chữ số phải có mặt hai vị trí đầu? ĐS: 5712 số Lời giải Gọi số cần tìm là x = abcde + Xét x dạng 1bcde có · · · · = 3024 số + Xét x dạng a1cde Với a có · · · · = 3024 số Với a = có · · · · = 336 số Do đó có 3024 − 336 = 2688 số Vậy có tất 3024 + 2688 = 5712 số thỏa mãn yêu cầu  BÀI 19 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số mà đó có hai chữ số chẵn đứng liền nhau, còn chữ số còn lại lẻ? ĐS: 225 số Lời giải Gọi số cần tìm là abc TH1: a, b chẵn, c lẻ có · · = 100 số TH2: a lẻ, b, c chẵn có · · = 125 số Vậy có tất 100 + 125 = 225 số thỏa yêu cầu  BÀI 20 Từ các chữ số 1; 2; 3; 4; có thể lập bao nhiêu số có ba chữ số khác nằm khoảng (300; 500)? ĐS: 24 số Lời giải Gọi số cần tìm là abc a có cách chọn (a = a = 3) b có cách chọn c có cách chọn Vậy có · · = 24 số thỏa mãn yêu cầu  BÀI 21 Cho các chữ số 1; 2; 5; 7; 8, có bao nhiêu cách lập số gồm ba chữ số khác từ năm chữ số trên cho số tạo thành là số nhỏ 278? ĐS: 20 số Lời giải Gọi số cần tìm là abc Trường hợp 1: a = có cách chọn b có cách chọn c có cách chọn Vậy có · · = 12 số trường hợp này Trường hợp 2: 180 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT a = có cách chọn b < có cách chọn c có cách chọn Vậy có · · = số trường hợp này Trường hợp 3: a = có cách chọn b = có cách chọn c ∈ {1; 5} có cách chọn Vậy có · · = số trường hợp này Vậy có tất 12 + + = 20 số thỏa mãn yêu cầu  BÀI 22 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; có thể lập bao nhiêu số lẻ có ba chữ số khác nhỏ 400? ĐS: 35 số Lời giải Gọi số cần tìm là: abc (a ∈ {1; 2; 3}) Trường hợp 1: a ∈ {1; 3} có cách chọn c có cách chọn b có cách chọn Vậy có · · = 20 số trường hợp này Trường hợp 2: a = có cách chọn c có cách chọn b có cách chọn Vậy có · · = 15 số trường hợp này Vậy có tất 20 + 15 = 35 số thỏa mãn yêu cầu  BÀI 23 Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn có năm chữ số khác và nhỏ 34000? ĐS: 3570 số Lời giải Trường hợp 1: Số lập bắt đầu các giá trị sau: 13; 15; 17; 19; 31 Có cách chọn hai chữ số đầu tiên Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng trăm Vậy có · · · = 1050 số có chữ số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 2: Số lập bắt đầu các giá trị sau: 10; 12; 14; 16; 18; 21; 23; 25; 27; 29; 30; 32 Có 12 cách chọn hai chữ số đầu tiên Có cách chọn chữ số hàng đơn vị CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 181 Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng trăm Vậy có 12 · · · = 2016 số có chữ số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 3: Số lập bắt đầu các giá trị sau: 20; 24; 26; 28 Có cách chọn hai chữ số đầu tiên Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng trăm Vậy có · · · = 504 số có chữ số thoả mãn trường hợp này Vậy có tổng cộng 1050 + 2016 + 504 = 3570 số có chữ số thoả mãn BÀI 24 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác mà không bắt đầu 12? 26880 số Lời giải Trước hết ta đếm số các số tự nhiên có chữ số khác  ĐS: Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất · · · · = 27216 số tự nhiên có chữ số khác Tiếp theo, ta đếm số các số tự nhiên có chữ số khác mà bắt đầu 12 Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có tất · · = 336 số tự nhiên có chữ số khác mà bắt đầu 12 Vậy có 27216 − 336 = 26880 số tự nhiên gồm chữ số khác mà không bắt đầu 12  BÀI 25 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác đôi lấy từ tập A và đó có chứa chữ số 4? ĐS: 1560 số Lời giải Trường hợp 1: Chữ số vị trí hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · = 360 số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 2: Chữ số không nằm vị trí hàng chục nghìn 182 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Có cách chọn vị trí cho chữ số Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số thứ ba Có cách chọn chữ số thứ tư Có cách chọn chữ số thứ năm Vậy có · · · · = 1200 số thoả mãn trường hợp này Vậy có tổng cộng 360 + 1200 = 1560 số có chữ số thoả mãn  BÀI 26 Hỏi từ 10 chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; có thể lập bao nhiêu số gồm chữ số khác nhau, cho các chữ số đó có mặt số và số 1? ĐS: 50400 số Lời giải Có cách chọn vị trí cho chữ số Có cách chọn vị trí cho chữ số Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ ba Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ tư Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ năm Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ sáu Vậy có · · · · · = 50400 số có chữ số khác thoả mãn  BÀI 27 Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 6; 7; 8; có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm có sáu chữ số đôi khác nhau, đó phải có mặt chữ số 7? ĐS: 13320 số Lời giải Trường hợp 1: Chữ số vị trí hàng trăm nghìn Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · · = 2520 số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 2: Chữ số không nằm vị trí hàng trăm nghìn Có cách chọn vị trí cho chữ số Có cách chọn chữ số hàng trăm nghìn Có cách chọn chữ số thứ ba Có cách chọn chữ số thứ tư Có cách chọn chữ số thứ năm Có cách chọn chữ số thứ sáu CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN Vậy có · · · · · = 10800 số thoả mãn trường hợp này Vậy có tổng cộng 2520 + 10800 = 13320 số có chữ số thoả mãn 183  BÀI 28 Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau, đó thiết phải có chữ số và 3? ĐS: 480 số Lời giải Có cách chọn vị trí cho chữ số Có cách chọn vị trí cho chữ số Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ ba Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ tư Có cách chọn giá trị cho chữ số thứ năm Vậy có · · · · = 480 số có chữ số khác thoả mãn  BÀI 29 Cho tập hợp A = {0; 1; 2; 3; 4; 5}, từ các chữ số thuộc tập A lập bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số và số đó chia hết cho 3? ĐS: 216 số Lời giải Vì số lập chia hết cho nên các chữ số số đó là 1; 2; 3; 4; 0; 1; 2; 4; Trường hợp 1: Các chữ số số lập là 1; 2; 3; 4; Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · · = 120 số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 2: Các chữ số số lập là 0; 1; 2; 4; Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · · = 96 số thoả mãn trường hợp này Vậy có tổng cộng 120 + 96 = 216 số có chữ số thoả mãn  BÀI 30 Từ các chữ số 0; 1; 2; ; có thể lập bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm năm chữ số khác đôi và chữ số chính luôn là số 2? ĐS: 1218 số Lời giải Trường hợp 1: Chữ số hàng đơn vị là Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn 184 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy có · · · · = 336 số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 2: Chữ số hàng đơn vị khác Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy có · · · · = 882 số thoả mãn trường hợp này Vậy có tổng cộng 336 + 882 = 1218 số có chữ số thoả mãn  BÀI 31 Trong trường THPT A, khối 11 học sinh tham gia hai câu lạc Toán và Tin học Có 160 em tham gia câu lạc Toán, 140 em tham gia câu lạc Tin học, 50 em tham gia hai câu lạc Hỏi khối 11 có bao nhiêu học sinh? ĐS: 250 học sinh Lời giải Số học sinh khối 11 là 160 + 140 − 50 = 250 học sinh  BÀI 32 Một lớp có 40 học sinh, đăng ký chơi ít hai môn thể thao là bóng đá và cầu lông Có 30 em đăng ký môn bóng đá, 25 em đăng ký môn cầu lông Hỏi có bao nhiêu em đăng ký hai môn thể thao? ĐS: 15 học sinh Lời giải Số em học sinh đăng ký hai môn thể thao là 30 + 25 − 40 = 15 học sinh  BÀI 33 Có học sinh, đó có An và Bình Hỏi có bao nhiêu cách xếp học sinh này lên đoàn tàu gồm toa, biết rằng: học sinh lên cùng toa học sinh lên toa đầu và toa người học sinh lên toa khác An và Bình lên cùng toa đầu tiên ĐS: cách ĐS: 120 cách ĐS: 6720 cách ĐS: 512 cách An và Bình lên cùng toa, ngoài không có học sinh nào khác lên toa này.ĐS: 2744 cách Lời giải Có cách chọn toa tàu để học sinh cùng lên toa tàu đó Vậy có cách xếp để học sinh lên cùng toa Có cách chọn học sinh lên toa đầu tiên Có cách chọn học sinh lên toa thứ hai Có cách chọn học sinh lên toa thứ ba Có cách chọn học sinh lên toa thứ tư Có cách chọn học sinh lên toa thứ năm Vậy có · · · · = 120 cách xếp để học sinh lên toa đầu và toa người Có cách chọn toa tàu cho học sinh đầu tiên CÁC QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN 185 Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ hai Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ ba Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ tư Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ năm Vậy có · · · · = 6720 cách xếp để học sinh lên toa khác Có cách chọn toa tàu cho An và Bình Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ ba Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ tư Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ năm Vậy có · · · = 512 cách xếp để An và Bình lên cùng toa đầu tiên Có cách chọn toa tàu cho An và Bình Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ ba Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ tư Có cách chọn toa tàu cho học sinh thứ năm Vậy có · · · = 2744 cách xếp để An và Bình lên cùng toa, ngoài không có học sinh nào khác lên toa này  BÀI 34 Có bao nhiêu số tự nhiên có đúng năm chữ số, cho số đó chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước? ĐS: 126 số Lời giải Vì chữ số đứng sau lớn chữ số đứng liền trước nên các chữ số phải khác Trước tiên ta đếm số các số có chữ số đôi khác và khác Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · · = 15120 có chữ số đôi khác và khác Nhận thấy, với chữ số nào đó thì có · · · · = 120 cách xếp vị trí cho các chữ số đó, nhiên có cách xếp các chữ số thoả mãn 15120 Vậy số các số thoả mãn bài toán là = 126 số  120 BÀI 35 Có 20 thẻ đựng hai hộp khác nhau, hộp chứa 10 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 10 Có bao nhiêu cách chọn hai thẻ (mỗi hộp thẻ) cho tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn ĐS: 75 cách Lời giải Có 10 cách chọn thẻ hộp thứ và có 10 cách chọn thẻ hộp thứ hai, nên có 10 · 10 = 100 cách chọn hai thẻ, hộp thẻ Có cách chọn thẻ có số lẻ hộp thứ và có cách chọn thẻ có số lẻ hộp thứ hai, nên có · = 25 cách chọn hai thẻ, hộp thẻ và tích hai số ghi trên hai thẻ là số lẻ Vậy có 100 − 25 = 75 cách chọn hai thẻ, hộp thẻ và tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn  186 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI 36 Gọi S là tập hợp tất các số tự nhiên gồm hai chữ số phân biệt khác lấy từ tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6} Hỏi S có bao nhiêu phần tử? Có bao nhiêu cách lấy hai phần tử từ tập S cho tích hai phần tử này là số chẵn? ĐS: 1050 cách Lời giải Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy tập S có · = 36 phần tử Ta đếm xem tập S có bao nhiêu số lẻ Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Có cách chọn chữ số hàng chục Vậy tập S có · = 15 số lẻ Có 36 · 35 = 1260 cách chọn hai số từ tập S và có 15 · 14 = 210 cách chọn hai số từ tập S có tích là số lẻ nên có 1260 − 210 = 1050 cách chọn hai số từ tập S có tích là số chẵn  BÀI 37 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm tám chữ số phân biệt cho tổng tám chữ số này chia hết cho ĐS: 181440 số Lời giải Vì số lập chia hết cho nên tổng hai chữ số không xuất số lập phải Trường hợp 1: Hai chữ số và không xuất số lập Có cách chọn chữ số hàng chục triệu Có cách chọn chữ số hàng triệu Có cách chọn chữ số hàng trăm nghìn Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · · · · · = 40320 số có chữ số thoả mãn trường hợp này Trường hợp 21: Hai chữ số không xuất số lập là (1; 8) (2; 7) (3; 6) (4; 5) Có cách chọn hai chữ số không xuất Có cách chọn chữ số hàng chục triệu Có cách chọn chữ số hàng triệu Có cách chọn chữ số hàng trăm nghìn Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn Có cách chọn chữ số hàng nghìn Có cách chọn chữ số hàng trăm Có cách chọn chữ số hàng chục Có cách chọn chữ số hàng đơn vị Vậy có · · · · · · · · = 141120 số có chữ số thoả mãn trường hợp này Vậy có tổng cộng 40320 + 141120 = 181440 số có chữ số thoả mãn  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP BÀI A HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP TÓM TẮT LÝ THUYẾT 187 188 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Định nghĩa (Giai thừa) Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta định nghĩa n giai thừa, ký hiệu n!, là n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · Tính chất Giai thừa có các tính chất sau đây: n! = n · (n − 1)! = n · (n − 1) · (n − 2)! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · · Quy ước 0! = Định nghĩa (Hoán vị) Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1) Ta nói cách xếp thứ tự n phần tử tập hợp A là hoán vị n phần tử này Số các hoán vị n phần tử tập hợp A ký hiệu Pn Các hoán vị khác khác thứ tự xếp các phần tử Ví dụ: Hoán vị phần tử a, b, c gồm: a, b, c; a, c, b; b, a, c; ! Định lí (Số các hoán vị) Số các hoán vị n phần tử tính theo công thức: Pn = n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · Định nghĩa (Chỉnh hợp) Cho tập hợp S gồm n phần tử (n ≥ 1) Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp S và xếp chúng theo thứ tự nào đó gọi là chỉnh hợp chập k n phần tử đã cho Định lí Số các chỉnh hợp chập k n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là: Akn = n(n − 1) (n − k + 1) = ! n! (n − k)! Khi giải bài toán chọn trên tập X có n phần tử, ta dùng chỉnh hợp có dấu hiệu sau: Chỉ chọn k phần tử n phần tử X (1 ≤ k < n) Có thự tự các phần tử đã chọn Định nghĩa (Tổ hợp) Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với ≤ k ≤ n Mỗi tập A có k phần tử gọi là tổ hợp chập k n phần tử A (hay tổ hợp chập k A) Ký hiệu Ckn Định lí Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là Ckn = ! n(n − 1)(n − 2) (n − k + 1) Akn = k! k! Với quy ước C0n = thì với số nguyên k thỏa ≤ k ≤ n ta có Ckn = n! k! · (n − k )! Tính chất Ckn = Cnn−k với ≤ k ≤ n Tính chất (Công thức Pascal) Ckn + Ckn+1 = Ckn+ +1 với ≤ k ≤ n HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP B 189 VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Giả sử muốn xếp bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho bạn ngồi ghế? ĐS: P3 = 3! = L Lời giải Mỗi cách xếp chỗ cho bạn trên gọi là hoán vị vị trí bạn Như ta có số cách xếp chỗ là P3 = 3! = cách  VÍ DỤ Có sách Toán, sách Lý và sách Hóa Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên kệ dài trường hợp sau Các sách xếp tùy ý? Các sách cùng môn xếp cạnh nhau? ĐS: P12 ĐS: P5 · P4 · P3 · P3 L Lời giải Số cách xếp các sách tùy ý là hoán vị 12 phần tử, nên ta có P12 cách xếp Vì các sách cùng môn xếp cạnh nên ta coi các môn là phần tử, ta có P3 cách xếp Ngoài môn, ta có hoán vị sách, đó ta có P5 · P4 · P3 cách xếp Vậy ta có P5 · P4 · P3 · P3 cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề bài  VÍ DỤ Giả sử muốn chọn bạn bạn A, B, C, D, E và bạn này vào bàn dài Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: A35 L Lời giải Mỗi cách xếp bạn bạn vào bàn dài là chỉnh hợp chập phần tử, nên ta có A35 cách  VÍ DỤ Cho tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, cho Đôi khác nhau? Số tự nhiên lẻ và đôi khác nhau? ĐS: A47 ĐS: · A36 L Lời giải Mỗi cách chọn số khác từ số là chỉnh hợp chập phần tử Do đó ta có A47 số tạo thành 190 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số tận cùng là số lẻ, đó ta có cách chọn chữ số tận cùng Mỗi cách chọn chữ số còn lại là chỉnh hợp chập phần tử nên ta có A36 cách Vậy có · A36 số tạo thành  VÍ DỤ Có bao nhiêu cách lập ban chấp hành gồm người chi đoàn có 14 đoàn viên? ĐS: C314 L Lời giải Mỗi cách lập ban chấp hành gồm người là tổ hợp chập 14 nên ta có C314 cách  VÍ DỤ Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán đội bóng vào chung kết? ĐS: C424 L Lời giải Mỗi cách dự đoán đội vào chung kết là tổ hợp chập 24 nên ta có C424 cách  VÍ DỤ Một lớp học có 30 học sinh, cần lập tổ công tác gồm học sinh Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS: C530 L Lời giải Mỗi cách lập tổ công tác là tổ hợp chập 30 nên ta có C530 cách  VÍ DỤ Trong không gian, cho tập hợp X gồm 10 điểm, đó không có điểm nào thẳng hàng Hỏi: Có bao nhiêu đường thẳng tạo thành? ĐS: C210 Có bao nhiêu tam giác tạo thành? ĐS: C310 L Lời giải Để tạo thành đường thẳng, ta chọn điểm 10 điểm nên số đường thẳng tạo thành là C210 Để tạo thành tam giác, ta chọn điểm 10 điểm nên số tam giác tạo thành là C310  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP C 191 DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG 2.1 Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình Bước Tìm điều kiện Ta có các điều kiện thường gặp sau: Các kí hiệu và công thức ◦ n! = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · ◦ Pn = n! n! ◦ Akn = (n − k)! n! ◦ Ckn = (n − k)!k! ◦ Ckn = Cnn−k ◦ Ckn+1 = Ckn + Ckn−1 Điều kiện n∈N n∈N ® n, k ∈ N ®1 ≤ k ≤ n n, k ∈ N ®0 ≤ k ≤ n n, k ∈ N ®0 ≤ k ≤ n n, k ∈ N 1≤k≤n Bước Thu gọn dựa vào công thức trên và đưa phương trình đại số Giải phương trình đại số này tìm biến Bước So với điều kiện để nhận giá trị cần tìm VÍ DỤ 7!4! VÍ DỤ Thu gọn biểu thức D = 10!   8! 9! − 3!5! 2!7! ĐS: D = L Lời giải 7!4! D= 10!  8! 9! − 3!5! 2!7!  4! = · · 10  6·7·8 8·9 − 3! 2!  = 4·6·7 3·4 28 − = − = · 10 10 15  VÍ DỤ Giải phương trình ( n + 1) ! = 72 ( n − 1) ! ĐS: n = L Lời giải Điều kiện: n ≥ 1, n ∈ N " n = (nhận) ( n + 1) ! = 72 ⇔ (n + 1)n = 72 ⇔ n + n − 72 = ⇔ ( n − 1) ! n = −9 (loại)  192 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÍ DỤ Giải các phương trình sau: P2 · x2 − P3 · x = 8; ĐS: x = −1 x=4 −3 Cxx + 2Cxx−1 + Cxx−2 = C2x x +2 ; ĐS: x = 72A1x − A3x+1 = 72 C32n = 20C2n ; ĐS: n = P x − P x −1 = ; P x +1 ĐS: x = ĐS: x = L Lời giải " P2 · x2 − P3 · x = ⇔ 2! · x2 − 3! · x − = ⇔ 2x2 − 6x − = ⇔ x = −1 x = Điệu kiện: n ≥ 2, n ∈ N n! 2n(2n − 1)(2n − 2) 20n(n − 1) (2n)! = 20 · ⇔ = 3!(2n − 3)! 2!(n − 2)! "   n = (nhận) ⇔ 2n2 − 36n + 32 = ⇔ ⇔ (2n − 1)(2n − 2) = 30(n − 1) vì n ≥ n = (loại) C32n = 20C2n ⇔ Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ N −3 x x −1 −3 x x −1 2x −3 Cxx + 2Cxx−1 + Cxx−2 = C2x + Cxx−1 + Cxx−2 = C2x x +2 ⇔ C x + C x x +2 ⇔ C x +1 + C x +1 = C x +2  " x = (nhận) x = 2x − −3  ⇔ Cxx+2 = C2x ⇔ ⇔ x +2 x = x + − (2x − 3) x = (loại) Điều kiện: x ≥ 1, x ∈ N " x=3 P x − P x −1 x! ( x − 1) ! 1 1 = ⇔ − = ⇔ − = ⇔ x2 − 5x + = ⇔ P x +1 ( x + 1) ! ( x + 1) ! x + ( x + 1) x x = Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ N 72A1x − A3x+1 = 72 ⇔ 72 · x! ( x + 1) ! − = 72 ⇔ 72x − ( x + 1) x ( x − 1) = 72 ⇔ x3 − 73x + 72 = ( x − 1) ! ( x − 2) !  VÍ DỤ Giải phương trình L Lời giải 14 − x = x x C5 C6 C7 ĐS: x = HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 193 Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ N 14 14 5 14 − = ⇔ − = ⇔ − = 6·7 5! 6! 7! C5x C6x C7x (6 − x ) (6 − x )(7 − x ) x!(5 − x )! x!(6 − x )! x!(7 − x )! " x = 11 (lo 2(6 − x ) 14(7 − x )(6 − x ) ⇔ 5− = ⇔ 15 − (6 − x ) = (7 − x )(6 − x ) ⇔ x2 − 14x + 33 = ⇔ 6·7 x = (nh  VÍ DỤ Giải các bất phương trình sau: A3n + 15 < 15n; ĐS: n = n = 2C2x+1 + 3A2x − 20 < A3n + 5A2n < 21n; ĐS: n = ĐS: x = L Lời giải Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N n! + 15 < 15n ⇔ n(n − 1)(n − 2) + 15 < 15n ( n − 3) ! " n < −3 ⇔ n3 − 3n2 − 13n + 15 < ⇔ (n − 5)(n + 3)(n − 1) < ⇔ < n < A3n + 15 < 15n ⇔ Giao với điều kiện ta ≤ n < 5, n ∈ N hay n = n = Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N n! n! +5· < 21n ⇔ n(n − 1)(n − 2) + 5n(n − 1) < 21n ( n − 3) ! ( n − 2) ! " n < −6 ⇔ n3 + 2n2 − 24n < ⇔ n(n − 4)(n + 6) < ⇔ < n < A3n + 5A2n < 21n ⇔ Giao với điều kiện ta ≤ n < 4, n ∈ N hay n = 3 Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ N 2C2x+1 + 3A2x − 20 < ⇔ · ( x + 1) ! x! +3· − 20 < 2!( x − 1)! ( x − 2) ! ⇔ x ( x + 1) + 3x ( x − 1) − 20 < ⇔ 4x2 − 2x − 20 < ⇔ −2 < x < Giao với điều kiện ta ≤ x < , x ∈ N hay x = 2  VÍ DỤ Giải các hệ phương trình sau: ® y y 2Ax + 5Cx = 90 ; ĐS: x = 5; y = y y 5Ax − 2Cx = 80 ( y −2 5Cx y y −1 = 3Cx y −1 Cx = Cx ĐS: x = 7; y = y y +1 y −1 C x +1 Cx Cx = = ; x = 8; y = ĐS: 194 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT L Lời giải Điều kiện: x ≥ y ≥ và x, y ∈ N  x! x!   = 20 = 20 y y y  2Ax + 5Cx = 90 Ax = 20 ( x − y)! ( x − y)! ⇔ ⇔ ⇔ y y y 20 x!   5Ax − 2Cx = 80 Cx = 10    = 10  = 10 y! y!( x − y)! ® ® ® ® x ( x − 1) = 20 x=5 x = −4 x − x − 20 = ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) ∨ (loại) y! = y=2 y=2 y=2 ® ®     Điều kiện: x ≥ y + 1, y ≥ và x, y ∈ N ( x + 1) ! x! = y y +1 y −1 C x +1 · y!( x − y + 1)! 5( y + 1) ! ( x − y − 1) ! C C = x = x ⇔  ( x + 1) ! x!   = · y!( x − y + 1)! 2( y − 1) ! ( x − y + 1) !  x+1   3y − + 1    6( x − y + 1)( x − y) = 5(y + 1) = 5( y + 1) ⇔ 6(3y − − y + 1)(3y − − y) ⇔ x+1     =1 x = 3y − 3y  ® ® x = 3y − x = 3y − x=8 ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) 1  8y − = 5y + y=3 = · 2(2y − 1) 5( y + 1)     Điều kiện: x ≥ y, y ≥ 2, x, y ∈ N ( y −2 y −1 5Cx = 3Cx y −1 y Cx = Cx x! x! = 3· ( y − 2) ! ( x − y + 2) ! ( y − 1) ! ( x − y + 1) ! ⇔ x! x!    = y!( x − y)! ( y − 1) ! ( x − y + 1) !    5 · ® ® = 3x − 8y = −11 x=7 x−y+2 y−1 ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) 1  x − 2y = −1 y=4   = y x−y+1      BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Thu gọn biểu thức D = Lời giải D= 2011! 2009 · 2010! − 2009! 2011 ĐS: D = 2010 2011! 2009 2011 · 2010 · 2009! 2009 · = · = 2010 2010! − 2009! 2011 2009!(20010 − 1) 2011  HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP BÀI Giải phương trình 195 x! − ( x − 1)! = ( x + 1) ! ĐS: x = x = Lời giải Điều kiện: x ≥ 1, x ∈ N Khi đó, phương trình đã cho tương đương với " x=3 x−1 ( x − 1) ! ( x − 1) = ⇔ = ⇔ 6x − = x2 + x ⇔ x2 − 5x + = ⇔ (nhận) ( x + 1) ! x ( x + 1) x=2  BÀI Giải phương trình 1 − x = x x C4 C5 C6 ĐS: x = Lời giải Điều kiện: ≤ x ≤ và x ∈ N Khi đó phương trình đã cho tương đương với   x!(6 − x )! x!(4 − x )! − x (6 − x )(5 − x ) x!(4 − x )! x!(5 − x )! − = ⇔ − 1− =0 4! 5! 6! 4! 6.5 " x = (nhận) ⇔ 30 − 6(5 − x ) − (6 − x )(5 − x ) = ⇔ − x2 + 17x − 30 = ⇔ x = 15 (loại)  BÀI Giải các phương trình sau: A3n = 20n; ĐS: n = 4C8x = 5C7x−1 ; ĐS: x = 10 A3n + 5A2n = 2(n + 15); ĐS: n = 2C2x−1 − C1x = 79; ĐS: x = 11 2A2x + 50 = A22x ĐS: x = Lời giải Điều kiện: n ≥ và n ∈ N Khi đó phương trình đã cho tương đương với n! = 20n ⇔ n(n − 1)(n − 2) = 20n ( n − 3) !  n = (loại)  ⇔ n(n − 3n + − 20) = ⇔ n(n − 3n − 18) = ⇔ n = (nhận) n = −3 (loại) 2 Điều kiện: x ≥ và x ∈ N Khi đó phương trình đã cho tương đương với 4· x! ( x − 1) ! x = 5· ⇔ · = ⇔ x = 10 (nhận) 8!( x − 8)! 7!( x − 8)! Điều kiện: n ≥ và n ∈ N Khi đó phương trình đã cho tương đương với n! n! +5· = 2(n + 15) ⇔ n(n − 1)(n − 2) + 5n(n − 1) = 2n + 30 ( n − 3) ! ( n − 2) ! ⇔ n3 + 2n2 − 5n − 30 = ⇔ (n − 3)(n2 + 5n + 10) = ⇔ n = (nhận) 196 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Điều kiện: x ≥ và x ∈ N Khi đó phương trình đã cho tương đương với " x = 11 (nhận) ( x − 1) ! 2· − x = 79 ⇔ ( x − 1)( x − 2) − x = 79 ⇔ x2 − 4x − 77 = ⇔ 2!( x − 3)! x = −7 (loại) Điều kiện: x ≥ và x ∈ N Khi đó phương trình đã cho tương đương với " x = (nhận) (2x )! x! + 50 = ⇔ 2x ( x − 1) + 50 = 2x (2x − 1) ⇔ 2x2 − 50 = ⇔ 2· ( x − 2) ! (2x − 2)! x = −5 (loại)  BÀI Giải các bất phương trình sau: A3n < A2n + 12; ĐS: n = A2x − A2x ≤ C3x + 10 x x=4 2C2x+1 + 3A2x < 30; ĐS: x = ĐS: x = Lời giải Điều kiện: n ≥ và n ∈ N Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với n! n! < + 12 ⇔ n(n − 1)(n − 2) < n(n − 1) + 12 ( n − 3) ! ( n − 2) ! ⇔ n3 − 4n2 + 3n − 12 < ⇔ (n − 4)(n2 + 3) < ⇔ n < Kết hợp với điều kiện suy ≤ n < 4, hay n = Điều kiện: x ≥ và x ∈ N Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với 2· ( x + 1) ! x! +3· < 30 ⇔ x ( x + 1) + 3x ( x − 1) < 30 ⇔ 4x2 − 2x − 30 < ⇔ − < x < 2!( x − 1)! ( x − 2) ! Kết hợp với điều kiện suy ≤ x < 3, hay x = Điều kiện: x ≥ và x ∈ N Khi đó bất phương trình đã cho tương đương với (2x )! x! x! · − ≤ · + 10 ⇔ · 2x (2x − 1) − x ( x − 1) ≤ ( x − 1)( x − 2) + (2x − 2)! ( x − 2)! x 3!( x − 3)! ⇔ x (2x − 1) − x2 + x ≤ x2 − 3x + + 10 ⇔ 3x ≤ 12 ⇔ x ≤ Kết hợp với điều kiện suy ≤ x ≤ 4, hay x = x =  BÀI Giải các hệ phương trình sau: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP ® y y 2Ax + Cx = 180 y Ax 197 y − Cx = 36 ( y −3 y −2 7A5x = A5x y −2 y −3 4C5x = 7C5x ; ĐS: x = 9; y = m −1 +1 m Cm n+1 : Cn+1 : Cn+1 = : : 3; ĐS: m = 3; n = ĐS: x = 2; y = Lời giải Điều kiện: y ≤ x và x, y ∈ N, x ≥ Khi đó hệ phương trình tương đương với ® y Ax = 72 y Cx = 36 ® ⇔ y Cx · y! = 72 y Cx = 36 ® ⇔ ® y! = y Cx = 36 ⇔ y=2 C2x = 36 ® ⇔ y=2 (nhận) x=9 Điều kiện: n ≥ m ≥ và n, m ∈ N Khi đó hệ phương trình tương đương với  ( n + 1) ! m!(n − m + 1)!  m +1  m  =1 C n + : C n + =  (m + 1)(n − m)! · ( n + 1) ! ⇔ C m : C m − =  ( m − 1) ! ( n + − m ) ! ( n + 1) !  n +1  n +1 · = m!(n + − m)! ( n + 1) !  n−m+1 ® ® ®  =1  n−m+1 = m+1 n − 2m = m=3 m + ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ (nhận)  3n + − 3m = 5m 3n − 8m = −6 n=6 n + − m = m 3 Điều kiện: 5x ≥ y − 2, y ≥ và x, y ∈ N, x ≥ Khi đó hệ phương trình tương đương với  (5x )! (5x )!   =1 =  (5x − y + 3) (5x − y + 3)! (5x − y + 2)! ⇔   (5x )! (5x )!   4 ·  = = 7· ( y − 2) (5x − y + 3) (5x − y + 2)!(y − 2)! (5x − y + 3)!(y − 3)! ® ® ® 5x − y + = 5x − y = x=2 ⇔ ⇔ ⇔ (nhận) 4(5x − y + 3) = 7(y − 2) 20x − 11y = −26 y=6    7 ·  BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Thu gọn các biểu thức sau: D= ( m + 1) ! 5! · ; m(m + 1) (m − 1)!3! ĐS: D = 20 D= D= 6! ( m + 1) ! · ; m(m + 1) 4!(m − 1)! ĐS: D = 30 D= BÀI Giải các phương trình sau: 7! ( m + 2) ! · ; + m) 4!(m − 1)! D = 210(m + 2) ( m2 (n + 1)C2n n ( n2 − 1) ĐS: ĐS: D = 198 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT n! n! − = 3; ( n − 2) ! ( n − 1) ! ĐS: n = n3 + n! = 10 ( n − 2) ! ĐS: n = BÀI Giải các phương trình sau: x +4 2x −10 C10 + x = C10+ x ; k + Ck +2 = 2Ck +1 ; C14 14 14 ĐS: k = ĐS: n = A3x + Cxx−2 = 14x; ĐS: x = 5 A2x−2 + Cxx−2 = 101; ĐS: x = 10 2C2x−1 − C1x = 79; ĐS: x = 11 Pn +2 = 210; n −4 A n − · P3 ĐS: n = ĐS: x = 14 ∨ x = A3n + 2C2n = 16n; C2x 28 −4 C2x 24 = 225 ; 11 ĐS: n = ĐS: x ∈ ∅ 10 Cxx− +1 + 2Cx −1 = 7( x − 1); ĐS: x = 11 6C2x + 6C3x = 7x2 − 7x; ĐS: x = 12 C1x + 6C2x + 6C3x = 9x2 − 14x; ĐS: x = 13 A3n + 3A2n = Pn+1 ; ĐS: x = 14 2Pn + 6A2n − Pn · A2n = 12 ĐS: x = x=2 x2 − C4x · x + C23 · C13 = 0;
BÀI 10 Giải các phương trình sau: 1 − = ; C x C x +1 6C1x+4 x=3 C1x + C2x + C3x = x; ĐS: x = C4n−1 − C3n−1 − A2n−2 = 0; ĐS: x = 11 x = ĐS: x = 4 Cxx−1 + Cxx−2 + Cxx−3 + · · · Cxx−10 = 1023 ĐS: x = 20 BÀI 11 Giải các bất phương trình sau: ≤ n! + (n + 1)! < 50; ĐS: n = n! ≤ 10; ( n − 2) ! A4x+4 42 ≤ ; ( x + 1) ! Px 12 Cx − 3A2x ≥ A22x − 81; x −2 Ann+ C2n−1 ĐS: n ∈ [−2; 1] ∪ [8; +∞] n=3 n3 + 72A1x − A3x+1 ≤ 72; ≥ 2Pn ; ĐS: x = A4n+4 15 < ; ( n + 2) ! ( n − 1) ! ĐS: x = Pn +5 ≤ 60Akn+ +3 ; (n − k)! ĐS: x ∈ [3; 5] ĐS: ∀n ∈ N C4x−1 − C3x−1 − A2x−2 < 0; ĐS: x ∈ [5; 11] ĐS: n ∈ ∅ 10 BÀI 12 Giải các hệ phương trình sau: ĐS: n ∈ (2; 6) A4n+2 143 − < Pn +2 4Pn−1 ĐS: n ∈ [2; +∞) HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP  x   Ay + Cy− x = 147 y P x +1 ; ĐS: x = 5; y =  P x +1 = 720   Cyx : Cyx+2 = 3; ĐS: x = 4; y =  Cx : Ax = y y 24  x +1   Ay y − x −1 + Cy = 126 ; ĐS: x = 4; y = Px   Px+2 = 720 ( y y +1 Cx − Cx = y y −1 4Cx − 5Cx =0 ; ĐS: x = 17; y = 199 y y +1 C x +1 : C x y −1 : Cx = : : 2; ĐS: x = 8; y =  m +1 m  C n + = C n + Cm ĐS: m = 3; n = ; n +1   m −1 = Cn +1   C4n−1 − C3n−1 < A2n−2 ; ĐS: n =  n − C n+1 ≥ 15 An+1  2 2    Cxx−1 + Cyy−1 = 3Axx−1 · Cyy−1 3   2 C x − = A y − + y x ĐS: x = 1; y = { DẠNG 2.2 Các bài toán sử dụng hoán vị VÍ DỤ VÍ DỤ Có bao nhiêu cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E vào ghế dài cho: Bạn C ngồi chính giữa? ĐS: 24 Hai bạn A và E ngồi hai đầu ghế? ĐS: 12 L Lời giải Xếp bạn C ngồi chính giữa: có cách Xếp bạn còn lại vào vị trí còn lại: có 4! cách Vậy có × 4! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán Xếp hai bạn A và E hai đầu ghế: có 2! cách Xếp bạn còn lại vào vị trí còn lại: có 3! cách Vậy có 2! × 3! = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán  VÍ DỤ Có bao nhiêu cách xếp 12 học sinh đứng thành hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết đó phải có em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400 L Lời giải Chưa kể thứ tự em nhóm “định trước”, để xếp em này đứng kề ta có 8! cách xếp; Lại có 5! cách xếp em này Vậy có tất 5! × 8! = 4838400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán  200 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÍ DỤ Trên kệ sách dài có sách Toán, sách Lí, sách Văn Các sách khác Hỏi có bao nhiêu cách xếp các sách trên: Một cách tùy ý ĐS: 479001600 Theo môn? ĐS: 103680 Theo môn và sách Toán nằm giữa? ĐS: 34560 L Lời giải Trên kệ có tất + + = 12 sách Mỗi cách xếp thứ tự 12 sách chính là hoán vị 12 phần tử Do đó có tất 12! = 479001600 cách xếp Xem loại sách là khối thống nhất, ta có 3! cách xếp khối này Có 5! cách xếp sách toán, có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn Vậy có tất 3! × 5! × 4! × 3! = 103680 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán Xem loại sách là khối thống nhất, ta có 2! cách xếp hai môn còn lại hai bên sách Toán; Ứng với cách, có 5! cách xếp sách Toán; có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn Do đó có 2! × 5! × 4! × 3! = 34560 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán  VÍ DỤ Hỏi có bao nhiêu cách xếp cặp vợ chồng ngồi xung quanh bàn tròn cho: Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? Mỗi bà ngồi cạnh chồng mình? ĐS: 86400 ĐS: 7680 L Lời giải Cố định người, có 5! cách xếp người cùng giới còn lại vào vị trí còn lại; Có 6! cách xếp người khác giới còn lại vào các vị trí xen kẽ Vậy có tất 5! × 6! = 86400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán Ta tiến hành theo hai công đoạn: Công đoạn 1: Xếp người chồng xung quanh bàn tròn: có 5! cách Công đoạn 2: Xếp vợ ngồi gần chồng và hai vợ chồng có thể đổi vị trí cho nhau: có 26 cách Vậy có tất 5! × 26 = 7680 cách  VÍ DỤ Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, biết tổng ba chữ số số này 9? ĐS: 18 L Lời giải Các ba số khác E có tổng là HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 201 Trường hợp 1: + + = Trường hợp 2: + + = Trường hợp 3: + + = Mỗi số đó lập 3! số tự nhiên gồm ba chữ số khác Vậy có × 3! = 18 số  VÍ DỤ Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, thiết lập tất các số có sáu chữ số khác Hỏi các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số và không đứng cạnh nhau? ĐS: 480 L Lời giải Có 6! = 720 số có sáu chữ số khác lập từ các chữ số đã cho Ta xác định các số có chữ số mà và đứng cạnh Có cách chọn vị trí cạnh vị trí Có 2! cách xếp hai chữ số và vào vị trí đó Có 4! cách xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại Suy có × 4! × 2! = 240 các số mà hai chữ số và đứng cạnh Vậy số các số mà hai chữ số và không đứng cạnh là 720 − 240 = 480  VÍ DỤ Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, Có thể lập bao nhiêu số gồm tám chữ số đó chữ số lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng lần? ĐS: 5880 L Lời giải Xét dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, Nếu coi dãy gồm các chữ số khác thì ta lập × 7! = 35280 số Ba chữ số có số lần các số lặp lại là 3! 35280 Vậy có = 5880 số gồm tám chữ số đó chữ số lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt 3! đúng lần  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Có hai dãy ghế, dãy ghế Xếp nam, nữ vào dãy ghế trên Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho: Nam và nữ xếp tùy ý? Nam dãy ghế, nữ dãy ghế? Lời giải Có thảy 10 người gồm nam và nữ Do đó có 10! cách xếp tùy ý 10 người này vào 10 ghế ĐS: 10! ĐS: 28800 202 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chưa kể thứ tự các nam và thứ tự các nữ, có 2! cách xếp nam vào dãy và nữ vào dãy Có 5! cách xếp nam, 5! cách xếp nữ Vậy có 2! × 5! × 5! = 28800 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán  BÀI Cho bàn dài có 10 ghế và 10 học sinh đó có học sinh nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 học sinh cho: Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau? ĐS: 28800 Những học sinh cùng giới thì ngồi cạnh nhau? ĐS: 28800 Lời giải Có 2! cách lựa chọn nam nữ đứng ngoài cùng tính từ bên trái tính qua phải (hoặc từ phải qua trái); Có 5! cách xếp học sinh nam, có 5! cách xếp học sinh nữ Vậy có 2! × 5! × 5! = 28800 cách Chưa kể thứ tự các học sinh cùng giới thì có 2! cách xếp; Ứng với cách xếp trên, có 5! cách xếp nam và 5! cách xếp nữ Vậy có 2! × 5! × 5! = 28800 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán  BÀI Cho tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số khác lấy từ tập A cho tổng các chữ số này 14? ĐS: 72 Lời giải Các bốn số khác A có tổng 14 là Trường hợp 1: + + + = 14 Trường hợp 2: + + + = 14 Trường hợp 3: + + + = 14 Mỗi số đó lập 4! số tự nhiên gồm bốn chữ số khác Vậy có × 4! = 72 số  BÀI Cho hai tập A {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số phân biệt cho: Hai chữ số và đứng cạnh lập từ tập A? ĐS: 240 Chữ số đứng cạnh chữ số lập từ tập B? ĐS: 192 Lời giải Mỗi số có chữ số khác lập từ A là cách xếp chữ số A vào vị trí Có cách chọn vị trí cạnh vị trí Có 2! cách xếp hai chữ số và vào vị trí đó Có 4! cách xếp chữ số còn lại vào vị trí còn lại Suy có × 4! × 2! = 240 các số mà hai chữ số và đứng cạnh Coi hai chữ số 2, đứng cạnh chữ số là x HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 203 Từ chữ số 0, 1, x, 4, lập × 4! = 96 số Có cách đổi vị trí hai chữ số 2, Vậy có × × 4! = 192 số  BÀI Từ tập hợp A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, lập bao nhiêu số tự nhiên chia hết cho 5, gồm năm chữ số đôi khác cho đó luôn có mặt các chữ số 1, 2, và chúng đứng cạnh nhau? ĐS: 66 Lời giải Xét các trường hợp sau: Trường hợp chữ số đứng cuối Có cách chọn vị trí cho ba chữ số 1, 2, Có 3! cách xếp vị trí cho ba chữ số 1, 2, Có cách chọn thêm số ba số 4, 5, và xếp vào vị trí còn lại Suy có × 3!× = 36 số Trường hợp chữ số đứng cuối Coi chữ số 1, 2, đứng cạnh là chữ số x Khi đó số cần lập là số có chữ số dạng ab5 đó có chữ số x Nếu a = x thì có cách chọn b ∈ {0, 4, 6} Nếu b = x thì có cách chọn a ∈ {4, 6} Suy có chữ số cho luôn có mặt chữ số x và chữ số đứng cuối Có 3! cách xếp vị trí cho ba chữ số 1, 2, Do đó có × 3! = 30 số Vậy có 36 + 30 = 66 số thỏa mãn  BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Một trường trung học phổ thông có học sinh giỏi khối 12, có học sinh giỏi khối 11, có học sinh giỏi khối 10 Hỏi có bao nhiêu cách xếp 20 học sinh trên thành hàng ngang để đón đoàn đại biểu, nếu: Các học sinh xếp bất kì? Các học sinh cùng khối phải đứng kề nhau? ĐS: 15! ĐS: 12441600 BÀI Xếp học sinh A, B, C, D, E, F vào ghế dài, có bao nhiêu cách xếp nếu: học sinh này ngồi bất kì? A và F luôn ngồi hai đầu ghế? ĐS: 720 ĐS: 48 A và F luôn ngồi cạnh nhau? ĐS: 240 A, B, C luôn ngồi cạnh nhau? ĐS: 144 A, B, C, D luôn ngồi cạnh nhau? ĐS: 144 BÀI Một hội nghị bàn tròn có phái đoàn các nước gồm: Mỹ người, Nga người, Anh người, Pháp người, Đức người Hỏi có bao nhiêu cách xếp cho thành viên cho người cùng quốc tịch ngồi gần nhau? ĐS: 4! × 5! × 5! × 4! × 6! × 4! 204 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI Xét các số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi các số đó có bao nhiêu số: Bắt đầu chữ số 5? ĐS: 4! ĐS: 5! − 4! Không bắt đầu chữ số 1? Bắt đầu 23? ĐS: 3! ĐS: 5! − 2! Không bắt đầu 234? BÀI 10 Cho tập X = {1; 2; 3; 4; 7} Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số đôi khác chia hết cho lập từ X? ĐS: 24 BÀI 11 Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, biết tổng ba chữ số số này 18 ĐS: 3! × { DẠNG 2.3 Các bài toán sử dụng chỉnh hợp Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng và công thức tính chỉnh hợp Akn = k! (n − k)! VÍ DỤ VÍ DỤ Trong không gian cho bốn điểm A, B, C, D Từ các điểm trên ta lập các véc-tơ khác #» Hỏi có thể có bao nhiêu véc-tơ? ĐS: A24 L Lời giải Chọn cách có thứ tự điểm A, B, C, D ta véc-tơ Do đó số cách chọn véc-tơ từ các điểm trên là A24 cách  VÍ DỤ Một nhóm học sinh có em nam và em nữ Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên hàng ngang, cho hai vị trí đầu và cuối hàng là các em nam và không có em nữ nào ngồi cạnh nhau? ĐS: 7! · A36 L Lời giải Giả sử các em nam vị trí | hình sau: |∗|∗|∗|∗|∗|∗| Khi đó ta cần xếp các em nữ vào vị trí ∗ để thỏa yêu cầu bài toán Do đó số cách xếp em nữ là A36 Số cách xếp em nam là 7! Vậy số cách xếp 10 em này là 7! · A36  VÍ DỤ Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho bạn nữ và bạn nam vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu: Ghế xếp thành hàng ngang? ĐS: 6! · A45 Ghế xếp quanh bàn tròn? ĐS: 5! · A46 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 205 L Lời giải Giả sử các em nam vị trí | hình sau: |∗|∗|∗|∗|∗| Khi đó ta cần xếp các em nữ vào vị trí ∗ để thỏa yêu cầu bài toán Do đó số cách xếp em nữ là A45 Số cách xếp em nam là 6! Vậy số cách xếp 10 em này là 6! · A45 Sắp xếp em nữ vào vị trí khoảng hai dấu chấm để thỏa yêu cầu bài toán Do đó số cách xếp em nữ là A46 Số cách xếp em nam thứ vào bàn là (vì xếp em này ngồi ghế nào nhau) Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là vì còn lại ghế Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là Số cách xếp em nam thứ sáu vào bàn là Do đó số cách xếp các em nam vào bàn tròn là 5! Vậy số cách xếp 10 em này là 5! · A46  VÍ DỤ Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác lập từ X mà chia hết cho 5? ĐS: 1560 L Lời giải Xét số tự nhiên gồm năm chữ số x = a1 a2 a3 a4 a5 , a1 6= thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 1: a5 = Số cách chọn a1 là cách Số cách chọn số còn lại là A36 cách Do đó số cách chọn trường hợp này là · · A36 = 840 cách Trường hợp 2: a5 = Số cách chọn a1 là cách Số cách chọn số còn lại là A36 cách Do đó số cách chọn trường hợp này là · · A36 = 720 cách 206 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 840 + 720 = 1560 cách  VÍ DỤ Cho tập X = {0; 1; ; 9} Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ X và bé 475? ĐS: 268 L Lời giải Xét số tự nhiên gồm ba chữ số x = a1 a2 a3 , a1 6= thỏa yêu cầu bài toán Trường hợp 1: a1 < ⇒ a1 ∈ {1; 2; 3} Số cách chọn chữ số còn lại là A29 Do đó số cách chọn các số x trường hợp này là · A29 = 216 cách Trường hợp 2: a1 = 4, a2 = Khi đó a3 ∈ {0; 1; 2; 3} Do đó số cách chọn các số x trường hợp này là · · = cách Trường hợp 3: a1 = 4, a2 ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 6} Số cách chọn a3 là cách Do đó số cách chọn các số x trường hợp này là · · = 48 cách Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 216 + + 48 = 268 cách  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Từ 20 học sinh cần chọn ban đại diện lớp gồm lớp trường, lớp phó và thư kí Hỏi có cách chọn? ĐS: A320 Lời giải Chọn cách có thứ tự học sinh 20 học sinh ta chọn ban đại diện lớp Do đó số cách chọn ban đại diện lớp là A320 cách  BÀI Có nam, nữ đó có ba bạn tên A, B, C Hỏi có bao nhiêu cách xếp thành hàng dọc để vào lớp cho: Các bạn nữ không đứng cạnh Đầu hàng và cuối hàng luôn là nam ĐS: 6! · A67 ĐS: 10! · A26 Đầu hàng và cuối hàng luôn cùng phái ĐS: · 10! · A26 Đầu hàng và cuối hàng luôn khác phái ĐS: · · · 10! A, B, C luôn đứng cạnh A, B đứng cách đúng người Lời giải Đặt tùy ý các bạn nam có 6! cách Giữa các bạn nam này lại có A67 cách chọn các bạn nữ Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là 6! · A67 cách Chọn có thứ tự bạn nam đầu hàng và cuối hàng có A26 cách Số cách xếp 10 bạn còn lại là 10! cách Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là 10! · A26 cách ĐS: 10! · 3! ĐS: 10 · 10! · 2! HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 207 Trường hợp 1: Đầu hàng và cuối hàng luôn là nam Theo câu trên ta có 10! · A26 cách xếp cho trường hợp này Trường hợp 2: Đầu hàng và cuối hàng luôn là nữ Chọn có thứ tự bạn nữ đầu hàng và cuối hàng có A26 cách Số cách xếp 10 bạn còn lại là 10! cách Do đó có 10! · A26 cách xếp cho trường hợp này Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là · 10! · A26 Trường hợp 1: Đầu hàng là nam, cuối hàng là nữ thì có cách chọn vị trí đầu hàng và cách chọn vị trí cuối hàng Số cách xếp 10 bạn còn lại là 10! cách Do đó có · · 10! cách xếp cho trường hợp này Tương tự cho trường hợp đầu hàng là nữ, cuối hàng là nam ta có · · 10! cách xếp Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là · · · 10! cách Coi A, B, C là nhóm người Khi đó cách xếp người và nhóm người trên là 10! cách Hoán vị A, B, C ta có 3! cách Do đó số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là 10! · 3! cách Coi A, B và người là nhóm Khi đó số cách chọn người A và B là 10 cách Số cách xếp người còn lại và nhóm trên là 10! cách Hoán vị A và B ta có 2! cách Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là 10 · 10! · 2! cách  BÀI Có bao nhiêu cách xếp bạn nam và bạn nữ ngồi xung quanh bàn tròn cho không có bạn nữ nào ngồi cạnh nhau? ĐS: 4! · A35 Lời giải Khoảng bạn nam có vị trí Sắp xếp các em nữ vào vị trí này để thỏa yêu cầu bài Do đó số cách xếp em nữ là A35 cách Số cách xếp em nam thứ vào bàn là (vì xếp em này ngồi ghế nào nhau) Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là (vì còn lại ghế) Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là Do đó số cách xếp các em nam vào bàn tròn là 4! cách Vậy số cách xếp thỏa yêu cầu bài toán là 4! · A35 cách  BÀI Cho tập X = {0; 1; ; 9} Cho bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số lập từ X cho: Các chữ số khác đôi một? Các chữ số khác đôi và số đó là số lẻ? Các chữ số khác đôi và phải có đủ chữ số 1; 2; 3? Lời giải Xét số cần tìm là x = a1 a2 a3 a4 a5 , a1 6= ĐS: · A49 ĐS: · · A38 ĐS: A35 · A27 − · A34 208 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số cách chọn a1 là cách (vì a1 6= 0) Số cách chọn số còn lại là A49 cách Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài là · A49 cách Số cách chọn a5 là cách (vì a5 ∈ {1; 3; 5; 7; 9} Số cách chọn a1 là cách (vì a1 6= và a1 6= a5 )) Số cách chọn cho số còn lại là A38 cách Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài là · · A38 cách Chọn vị trí chữ số 1; 2; (kể a1 = 0) có A35 cách chọn Chọn chữ số còn lại có A27 cách chọn Trường hợp a1 = 0: chọn vị trí chữ số 1; 2; có A34 cách Số cách chọn số còn lại có cách chọn Vậy số cách chọn x thỏa yêu cầu bài là A35 · A27 − · A34 cách  BÀI Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 5; 7; 8} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác chia hết cho và không lớn 4000 lập từ X? ĐS: 120 Lời giải Xét số cần tìm là x = a1 a2 a3 a4 , a1 6= Do x chia hết cho nên a4 ∈ {0; 5} Do x < 4000 nên a1 ∈ {1; 2; 3} a2 có cách chọn a3 có cách chọn Vậy số cách chọn x thỏa yêu cầu bài là · · · = 120 cách  BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Một khay tròn đựng bánh kẹo ngày Tết có ngăn hình quạt với màu khác Hỏi có bao nhiêu cách bày loại bánh kẹo vào ngăn đó? ĐS: 5! BÀI Có học sinh lớp 11 và học sinh lớp 12 ngồi trên hàng ngang có ghế Hỏi có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho học sinh đó cho học sinh lớp 12 ngồi hai học sinh lớp 11? ĐS: 6! · A35 BÀI Từ các số 1; 3; 5; 6; có thể lập bao nhiêu số có các chữ số khác và lớn số 6000? ĐS: · A34 + A55 BÀI Cho tập X = {0; 1; ; 9} Có bao nhiêu số tự nhiên lẻ gồm năm chữ số khác đôi tạo từ X và lớn 70000? ĐS: 4368 BÀI 10 Có thể lập bao nhiêu số điện thoại di động có 10 chữ số bắt đầu là 0908, các chữ số còn lại khác đôi một, đồng thời khác với chữ số đầu và thiết phải có mặt chữ số 6? ĐS: · A56 BÀI 11 Từ sáu chữ số 0; 1; 3; 5; 7; có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số đôi khác và không chia hết cho 5? ĐS: · · A24 BÀI 12 Với sáu chữ số 0; 1; 2; 3; 4; có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác thỏa điều kiện: Số đó là số chẵn? ĐS: 312 Số đó bắt đầu 24? ĐS: 24 Số đó bắt đầu 345? ĐS: HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 209 BÀI 13 Cho tập hợp X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Có thể lập bao nhiêu số n gồm chữ số khác đôi lấy từ X các trường hợp sau: n là số chẵn? ĐS: 3000 Một ba chữ số đầu tiên phải là số 1? ĐS: 2280 BÀI 14 Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số khác đôi một, đó chữ số đứng liền hai chữ số và 3? ĐS: 7440 BÀI 15 Cho tập E = {1; 2; 3; 4; 7} Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số: Đôi khác nhau? ĐS: A35 Đôi khác và chia hết cho 3? ĐS: 24 BÀI 16 Cho tập A = {0; 1; 2; 3; 4; 5} Từ tập A có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác mà phải có chữ số và chữ số 3? ĐS: A25 · A34 − · A34 { DẠNG 2.4 Các bài toán sử dụng tổ hợp Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng và công thức tính tổ hợp Ckn = k! k! · (n − k)! VÍ DỤ VÍ DỤ Ông X có 11 người bạn Ông muốn mời người số họ chơi xa Trong 11 người đó có có người không muốn gặp Hỏi ông X có bao nhiêu phương án mời người bạn? ĐS: 378 L Lời giải Cách 1: Giả sử hai người không muốn gặp là A, B Nếu chọn người đó không có A và B thì có C59 cách Nếu chọn người đó có hai người A, B thì có C49 · cách Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là 2C49 + C59 = 378 cách Cách 2: Chọn người bất kì có C511 cách Chọn người đó có A và B có C39 cách Vậy có C511 − C39 = 378 cách chọn thỏa yêu cầu bài toán  VÍ DỤ Một nhóm có học sinh nữ và học sinh nam Có bao nhiêu cách chọn tổ học tập có học sinh, đó có tổ trưởng, tổ phó, thủ quỹ và hai tổ viên, biết tổ trưởng phải là nam và thủ quỹ phải là nữ ĐS: C17 · C16 · C111 · C210 L Lời giải Chọn bạn nam làm tổ trưởng, có C17 cách Chọn nữ làm thủ quỹ, có C16 cách 210 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chọn bạn 11 bạn còn lại làm tổ phó, có C111 cách Chọn bạn 10 bạn còn lại làm tổ viên, có C110 cách Theo quy tắc nhân có C17 · C16 · C111 · C110 cách thỏa mãn  VÍ DỤ Một lớp có 20 học sinh đó có 14 nam, nữ Hỏi có bao nhiêu cách lập đội gồm học sinh đó có: Số nam và số nữ nhau? Ít nữ? ĐS: C214 · C26 ĐS: 3844 L Lời giải Chọn ngẫu nhiên học sinh nam, có C214 cách Chọn ngẫu nhiên học sinh nữ, có C26 cách Khi đó, theo quy tắc nhân có C214 · C26 cách thỏa mãn Chọn học sinh bất kì có C420 cách Chọn học sinh đó không có học sinh nữ có C414 cách Vậy có C420 − C414 = 3844 cách lập đội thỏa yêu cầu bài toán  VÍ DỤ Một lớp có 50 học sinh chia thành tổ, tổ có 10 học sinh Có bao nhiêu cách chia tổ? 10 10 10 10 ĐS: C10 50 · C40 · C30 · C20 · C10 L Lời giải Chọn 10 học sinh xếp vào tổ có C10 50 cách Chọn 10 học sinh xếp vào tổ có C10 40 cách Chọn 10 học sinh xếp vào tổ có C10 30 cách Chọn 10 học sinh xếp vào tổ có C10 20 cách Chọn 10 học sinh xếp vào tổ có C10 10 cách 10 10 10 10 Theo quy tắc nhân, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là C10 50 · C40 · C30 · C20 · C10  VÍ DỤ Từ bông hồng vàng, bông hồng trắng, bông hồng đỏ (các bông hồng xem đôi khác nhau) Người ta muốn chọn bó hoa hồng gồm bông Có bao nhiêu cách chọn: 1 bó hoa đó có đúng bông hồng đỏ ĐS: 112 bó hoa đó có ít bông hồng vàng và ít bông hồng đỏ ĐS: 150 L Lời giải Số cách chọn bông hồng đỏ là C14 Số cách chọn bông hồng không phải màu đỏ là C68 Theo quy tắc nhân, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu là C14 · C68 = 112 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 211 Bó hoa bông thỏa mãn yêu cầu bài toán có thể có các trường hợp: ◦ bông vàng, bông đỏ, bông trắng: có C35 · C34 · C13 cách chọn ◦ bông vàng, bông đỏ: có C35 · C44 cách chọn ◦ bông vàng, bông đỏ: có C45 · C34 cách chọn Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là C35 · C34 · C13 + C35 · C44 + C45 · C34 = 150  VÍ DỤ Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} Từ tập X có thể lập bao nhiêu số tự nhiên gồm chữ số đôi khác và số đó có đúng hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ? ĐS: 2592 L Lời giải Trong tập X có số chẵn, số lẻ Giả sử số có chữ số, đôi khác là abcde ( a 6= 0) Chọn chữ số chẵn có C24 cách Chọn vị trí vị trí để xếp số chẵn có A25 cách Chọn chữ số lẻ và vào vị trí còn lại có A34 cách Suy có C24 · A25 · A34 = 2880 cách chọn số có đúng chữ số chẵn và chữ số lẻ Tương tự, ta chọn các số có dạng 0bcde với bcde thỏa mãn có đúng chữ số chẵn, chữ số lẻ có C13 · A14 · A34 = 288 số Vậy ta có 2880 − 288 = 2592 số thỏa mãn yêu cầu bài toán  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Một đội văn nghệ gồm 20 người, đó có 10 nam, 10 nữ Hỏi có bao nhiêu cách chọn người, cho: Có đúng nam người đó? ĐS: 5400 Có ít nam, ít nữ người đó? ĐS: 12900 Lời giải Chọn nam và nữ có C210 · C310 = 5400 cách Các trường hợp chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán: ◦ Chọn nam và nữ, có C210 · C310 cách ◦ Chọn nam và nữ, có C310 · C210 cách ◦ Chọn nam và nữ, có C410 · C110 cách Theo quy tắc cộng, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là C210 · C310 + C310 · C210 + C410 · C110 = 12900  BÀI Một tổ có học sinh trồng cây Khi trồng cây cần có em học sinh Có bao nhiêu cách chia tổ thành cặp vậy? ĐS: 2520 Lời giải Chọn học sinh cho tổ có C28 cách Chọn học sinh cho tổ có C26 cách Chọn học sinh cho tổ có C24 cách Chọn học sinh cho tổ có C22 cách Khi đó, số cách thỏa mãn yêu cầu bài toán là C28 · C26 · C24 · C22 = 2520  212 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI Một hộp đựng 15 viên bi khác gồm bi đỏ, bi trắng và bi vàng Tính số cách chọn viên bi từ hộp đó cho không có đủ màu ĐS: 645 Lời giải Chọn bi bất kì 15 b, có C415 = 1365 cách Các trường hợp chọn bi có đủ ba màu: ◦ bi đỏ, bi trắng, bi vàng: có C24 · C15 · C16 cách ◦ bi đỏ, bi trắng, bi vàng: có C14 · C25 · C16 cách ◦ bi đỏ, bi trắng, bi vàng: có C14 · C15 · C26 cách Vậy có C24 · C15 · C16 + C14 · C25 · C16 + C14 · C15 · C26 = 720 cách Khi đó, số cách chọn bi không có đủ ba màu là 1365 − 720 = 645 cách  BÀI Một hộp đựng 11 viên bi đánh số từ đến 11 Có bao nhiêu cách chọn viên bi cho tổng các số trên bi là số lẻ? ĐS: 160 Lời giải Trong 11 bi đã cho, có bi đánh số lẻ, bi đánh số chẵn Lấy bi, để tổng các số trên bi là lẻ thì các cách có thể chọn: ◦ bi lẻ, bi chẵn: có C16 C35 cách ◦ bi lẻ, bi chẵn: có C36 C15 cách  Khi đó, số cách chọn thỏa mãn là C16 · C35 + C36 · C15 = 160 BÀI Cho 10 điểm không gian, đó không có điểm nào thẳng hàng Có bao nhiêu đường thẳng tạo thành? ĐS: C210 Có bao nhiêu véctơ tạo thành? ĐS: A210 Có bao nhiêu tam giác tạo thành? ĐS: C310 Nếu 10 điểm trên không có điểm nào đồng phẳng, thì có bao nhiêu tứ diện ĐS: C410 tạo thành? Lời giải điểm xác định đường thẳng nên số đường thẳng tạo thành là C210 2 điểm (có kể thứ tự điểm đầu, điểm cuối) xác định véc-tơ nên số véc-tơ tạo thành là A210 3 điểm không thẳng hàng xác định tam giác nên số tam giác có thể tạo thành là C310 Bốn điểm không đồng phẳng xác định tứ diện nên số tứ diện tạo thành là C410  BÀI Trong hộp có 100 viên bi đánh số từ đến 100 Có bao nhiêu cách chọn ba viên bị cho: Ba viên bi bất kì? Tổng ba số trên ba bi chia hết cho 2? Lời giải Chọn viên bất kì 100 viên có C3100 cách Trong 100 bi, có 50 bi đánh số chẵn, 50 bi đánh số lẻ Để chọn bi có tổng các số trên đó chia hết cho thì có thể chọn: ◦ bi đánh số chẵn: có C350 cách ◦ bi đánh số lẻ và bi đánh số chẵn: có C150 · C250 cách Khi đó, số cách chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán là C350 + C150 · C250 ĐS: C3100 ĐS: C350 + C150 · C250 HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP - TỔ HỢP 213  BÀI Cho hai đường thẳng a k b Trên đường thẳng a có điểm phân biệt và trên đường thẳng b có 10 điểm phân biệt Hỏi có thể tạo bao nhiêu tam giác có các đỉnh là các điểm trên hai đường thẳng a và b đã cho? ĐS: 325 Lời giải điểm không thẳng hàng xác định tam giác nên ta có thể chọn: ◦ điểm thuộc đường thẳng a và điểm thuộc đường thẳng b: có C15 · C210 cách ◦ điểm thuộc đường thẳng a và điểm thuộc đường thẳng b: có C25 · C110 cách Vậy số tam giác thỏa mãn yêu cầu bài toán là C15 · C210 + C25 · C110 = 325  BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Một lớp học có 40 học sinh, đó gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm em Hỏi có bao nhiêu cách chọn, nếu: Gồm học sinh tuỳ ý? Có nam và nữ? Có ít nam và nữ? C440 − C425 ĐS: C440 ĐS: C225 · C215 Có nam và nữ? ĐS: C125 · C315 Có ít nam? ĐS: C440 − C415 ĐS: − C415 BÀI Một lớp học có 40 học sinh gồm 25 nam và 15 nữ Giáo viên chủ nhiệm muốn chọn học sinh lập thành đoàn đại biểu để tham gia tổ chức lễ khai giảng Hỏi có bao nhiêu cách: Chọn học sinh, đó có không quá nữ? Chọn học sinh, đó có nam và nữ? Chọn học sinh, đó có ít nam? ĐS: C540 − C125 · C415 − C515 ĐS: C215 · C325 ĐS: C540 − C515 Chọn học sinh, đó anh A và chị B không thể cùng tham gia cùng đoàn đại biểu? ĐS: C338 + C538 BÀI 10 Một đội cảnh sát giao thông gồm 15 người đó có 12 nam Hỏi có bao nhiêu cách phân đội cảnh sát giao thông đó chốt giao thông cho chốt có nam và nữ? ĐS: 4 C12 · C3 · C8 · C2 · C4 · C1 BÀI 11 Có viên bi xanh, viên bi đỏ, bi vàng có kích thước đôi khác Có bao nhiêu cách chọn viên bi cho: Có đúng viên bi màu đỏ? Số bi xanh số bi đỏ? ĐS: C25 · C413 ĐS: C19 · C15 · C44 + C29 · C25 · C24 + C39 · C35 BÀI 12 Trong ngân hàng đề kiểm tra 30 phút môn Vật Lí có 10 câu hỏi, đó có câu lý thuyết và bài tập Người ta cấu tạo thành các đề thi Biết đề thi phải gồm câu hỏi, đó thiết phải có ít câu lý thuyết và bài tập Hỏi có thể tạo bao nhiêu đề thi có dạng trên? ĐS: C24 · C16 + C14 · C26 BÀI 13 Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác và thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình, dễ) và số câu hỏi dễ không ít 2? ĐS: C15 · C110 · C315 + C15 · C210 · C215 + C25 · C110 · C215 214 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI 14 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? ĐS: 1 2 1 C12 − C5 · C4 · C3 − C5 · C4 · C3 − C5 · C4 · C3 BÀI 15 Hội đồng quản trị công ty TNHH A gồm 12 người, đó có nữ Từ hội đồng quản trị đó người ta bầu chủ tịch hội đồng quản trị, phó chủ tịch hội đồng quản trị và ủy viên Hỏi có cách bầu cho người bầu thiết phải có nữ? ĐS: A212 · C210 − A27 · C25 BÀI 16 Giải bóng truyền VTV Cup gồm đội bóng tham dự, đó có đội nước ngoài và đội Việt Nam Ban tổ chức bốc thăm chia làm bảng đấu A, B, C Hỏi có bao nhiêu cách chia cho: ĐS: C39 · C36 · C33 Mỗi bảng ba đội? Mỗi bảng ba đội và đội bóng Việt Nam ba bảng khác nhau? C13 · C26 · C12 · C24 · C11 ĐS: · C22 BÀI 17 Trong thi “Rung chuông vàng”, đội X có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, đó có bạn nữ và 15 bạn nam Để xếp vị trí chơi, ban tổ chức chia các bạn thành nhóm A, B, C, D, nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Hỏi có bao cách chia nhóm, cho: Thành viên nhóm là bất kì? Năm bạn nữ cùng nhóm? ĐS: C520 · C515 · C510 · C55 ĐS: · C515 · C510 · C55 BÀI 18 Trong hộp có 50 thẻ đánh số từ đến 50 Có bao nhiêu cách lấy ba thẻ cho có đúng thẻ mang số chia hết cho 8? ĐS: C26 · C144 BÀI 19 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Có bao nhiêu cách chọn 10 thẻ cho có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho 10? ĐS: C515 · C13 · C412 BÀI 20 Trong hộp có 20 viên bi đánh số từ đến 20 Có bao nhiêu cách lấy viên bi cho có đúng viên bi mang số lẻ, viên bi mang số chẵn đó có đúng viên bi mang số chia hết cho 4? ĐS: C310 · C15 · C15 BÀI 21 Trong hộp có 40 thẻ đánh số từ đến 40 Có bao nhiêu cách chọn thẻ hộp đó thỏa: Ba thẻ bất kì? Tổng ba số ghi trên ba thẻ chia hết cho 3? ĐS: C340 ĐS: C313 + C314 + C313 + C113 · C114 · C113 BÀI 22 Cho hai đường thẳng song song d1 , d2 Trên d1 lấy 17 điểm phân biệt, trên d2 lấy 20 điểm phân biệt Tính số tam giác có các đỉnh là điểm số 37 điểm đã chọn trên d1 và d2 ? ĐS: 1 C17 · C20 + C17 · C20 BÀI 23 Cho hai đường thẳng song song d1 và d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ≥ 2) Biết có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Tìm n ĐS: n = 20 BÀI 24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 10 đường thẳng song song cắt đường thẳng song song khác Hỏi có bao nhiêu hình bình hành tạo thành từ các đường thẳng trên? ĐS: C210 · C28 NHỊ THỨC NEWTON 215 BÀI 25 Cho đường thẳng d1 k d2 Trên đường thẳng d1 có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng d2 có n điểm phân biệt (n ∈ N, n ≥ 2) Biết có 1725 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Hãy tìm n ĐS: n = 15 BÀI 26 Trong không gian cho hai đường thẳng a và b song song với Trên đường thẳng lấy điểm cách khoảng x Hỏi có thể thành lập bao nhiêu hình bình hành tạo thành từ 10 điểm trên? ĐS: 30 BÀI 27 Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Có bao nhiêu số tự nhiên có chữ số có nghĩa, biết chữ số có mặt đúng lần, chữ số có mặt đúng lần, các chữ số còn lại có mặt không quá lần? ĐS: C27 · C35 · A28 − · C26 · C34 BÀI A NHỊ THỨC NEWTON NHỊ THỨC NEWTON Cho a, b là các số thực và n ∈ N∗ Ta có ( a + b)n = n ∑ Ckn an−k bk = C0n an + C1n an−1 b + C2n an−2 b2 + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn k =0 VÍ DỤ Khai triển các nhị thức sau ( x + 1)4  x+ x ( x + 2y)5 6  2x − x 6 L Lời giải ( x + 1)4 = C04 · x4 + C14 · x3 · + C24 · x2 · 12 + C34 · x · 13 + C44 · 14 = x4 + 4x3 + 6x2 + 4x + ( x + 2y)5 = C05 x5 + C15 x4 (2y) + C25 x3 (2y)2 + C35 x2 (2y)3 + C45 x (2y)4 + C55 (2y)5 = x5 + 10x4 y + 40x3 y2 + 80x2 y3 + 80xy4 + 32y5    2  3  4  5  6 1 3 = + C6 x + C6 x + C6 x + C6 x + C6 x x x x x x 15 = x6 + 6x4 + 15x2 + 20 + + + x x x           1 3 2x − = C6 (2x ) + C6 (2x ) − + C6 (2x ) − + C6 (2x ) − + C6 (2x ) − x x x x x  5  6 1 + C56 (2x ) − + C66 − x x 60 12 = 64x6 − 192x4 + 240x2 − 160 + − + x x x  x+ x 6 C06 x6 + C16 x5  Nhận xét 216 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Trong khai triển ( a ± b)n có n + số hạng và các hệ số các cặp số hạng cách số hạng đầu và số hạng cuối thì Tức là Ckn = Cnn−k Số hạng tổng quát là Tk+1 = Ckn an−k bk và số hạng thứ N thì k = N − Trong khai triển ( a − b)n thì dấu đan nhau, nghĩa là +, −, +, Số mũ a giảm dần, số mũ b tăng dần tổng số mũ a và b n Nếu khai triển nhị thức Newton, ta gán cho a và b giá trị đặc biệt thì thu công thức đặc biệt Chẳng hạn • ( a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + · · · + Cnn bn a=1, b=1 =⇒ C0n + C1n + · · · + Cnn = 2n • ( a − b)n = C0n an − C1n an−1 b + · · · + (−1)n Cnn bn B a=1, b=1 =⇒ C0n − C1n + · · · + (−1)n Cnn = TAM GIÁC PASCAL Các hệ số các khai triển ( a + b)0 , ( a + b)1 , ( a + b)2 , , ( a + b)n có thể xếp thành tam giác gọi là tam giác Pascal n n n n n n n n = 0: = 1: = 2: = 3: = 4: = 5: = 6: = 7: 1 1 1 1 HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL 10 15 21 10 20 35 k k Ckn− −1 + Cn −1 = Cn 15 35 21 VÍ DỤ Viết đầy đủ dạng khai triển các nhị thức sau ( a + b )6 ( a + b )7 L Lời giải ( a + b)6 = a6 + 6a5 b + 15a4 b2 + 20a3 b3 + 15a2 b4 + 6ab5 + b6 ( a + b)7 = a7 + 7a6 b + 21a5 b2 + 35a4 b3 + 35a3 b4 + 21a2 b5 + 7ab6 + b7  C DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG 3.1 Tìm hệ số số hạng thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải Bước Viết công thức số hạng tổng quát Bước Dùng các tính chất lũy thừa để rút gọn số hạng tổng quát Bước Dựa vào điều kiện cho trước để tìm số hạng thỏa mãn bài toán NHỊ THỨC NEWTON 217 Chú ý xn √ m Với m ∈ Z, n ∈ N∗ và x > thì n x m = x n Với n ∈ N∗ và x 6= thì x −n = Với các điều kiện xác định thì ! • • am an =  a n b am • n = am−n a am+n = an bn • ( ab)n = an bn • ( am )n = amn = ( an )m n Tính chất phân phối phép nhân phép cộng: x ∑ n ak = k =0 ∑ xak k =0 VÍ DỤ MINH HỌA VÍ DỤ Tìm hệ số số hạng khai triển (2x − 3y)17 3x − x2  x2 √ − x chứa x8 y9
12 chứa x15 10 x −2 + x ĐS: −28 39 C917 , ∀ x 6= 7 ĐS: −39 C312 chứa x11 ĐS: −23 C310 chứa x2 ĐS: C47 L Lời giải k (2x )17−k (−3y )k = Ck 217−k (−3)k x 17−k yk Số hạng tổng quát khai triển (2x − 3y)17 là C17 17 Để có số hạng chứa x8 y9 thì k = Vậy hệ số số hạng chứa x8 y9 là C917 · 28 · (−3)9 = −28 39 C917 Số hạng tổng quát khai triển 3x − x2
12 là  k  k k k 12−k k 12−k C12 (3x )12−k − x2 = C12 (−1)k x12−k x2 = C12 (−1)k x12+k Để có số hạng chứa x15 thì 12 + k = 15 ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x15 là −39 C312  Số hạng tổng quát khai triển k C10 x2 − x 10 là  10−k  k k k 20−3k x2 − (−2)k x20−2k x −k = (−2)k C10 x = C10 x 218 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Để có số hạng chứa x11 thì 20 − 3k = 11 ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x11 là −23 C310 √ 7 Số hạng tổng quát khai triển x −2 + x là  7− k   7− k √ −14+5k x −2 x k = C7k x − C7k x k = C7k x −14 + 5k = ⇔ −14 + 5k = ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x2 là C47 Để có số hạng chứa x2 thì  VÍ DỤ Tìm hệ số số hạng chứa x4 khai triển + x + 3x2
10 ĐS: 1695 L Lời giải Ta có  + x + 3x2 i10  + x + 3x2  k  10  k 10−k = ∑ C10 x + 3x 10 = h k =0 10 = ∑ k =0 10 = k C10 ∑ j =0 j Ck x k − j k  k Ck x k + j ∑ ∑ 3j C10 k =0 Để có số hạng chứa x4 thì ® k j 3x2 j ! ! j =0 k+j =4 ⇔ ( j; k) ∈ {(0; 4), (1; 3), (2; 2)} ≤ j ≤ k ≤ 10 Do đó, số hạng chứa x4 là 30 C410 C04 x4 + 31 C310 C13 x4 + 32 C210 C22 x4 = 1695x4 Vậy hệ số số hạng chứa x4 là 1695
5 VÍ DỤ Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển + x + x2 + x3 L Lời giải Ta có  + x + x2 + x3 5 = = h  i5  5 (1 + x ) + x = (1 + x )5 + x ! !  j 5 j ∑ C5k 15−k xk ∑ C515− j x2 j =0 k =0 = ∑ C5k x k ∑ j =0 k =0 = 5 k =0 j =0 ! j C5 x2j ∑ ∑ C5k C5 xk+2j j !  ĐS: 101 NHỊ THỨC NEWTON 219 Để có số hạng chứa x10 thì   k + 2j = 10 ≤ k ≤ ⇔ ( j; k ) ∈ {(3; 4), (4; 2), (5; 0)}   0≤j≤5 Do đó, số hạng chứa x10 là C45 C35 x10 + C25 C45 x10 + C05 C55 x10 = 101x10 Vậy hệ số số hạng chứa x10 khai triển là 101  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Tìm hệ số số hạng khai triển ( x + y)25 ( x − 3)9 (1 − 3x )11 chứa x12 y13 ĐS: C13 25 chứa x4 ĐS: −35 C59 chứa x6 ĐS: 36 C611
10 x2 − 2x chứa x16   40 x+ , ∀ x 6= chứa x31 x
5 √ + x − 3x2 , ∀ x 6= chứa x2 ĐS: 28 C810 ĐS: C340 ĐS: −230 Lời giải k x 25−k yk Số hạng tổng quát khai triển ( x + y)25 là C25 Để có số hạng chứa x12 y13 thì k = 13 Vậy hệ số số hạng chứa x12 y13 là C13 25 Số hạng tổng quát khai triển ( x − 3)9 là C9k x9−k (−3)k = C9k (−3)k x9−k Để có số hạng chứa x4 thì − k = ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x4 là −35 C59 k 111−k (−3x )k = Ck (−3)k x k Số hạng tổng quát khai triển (1 − 3x )11 là C11 11 Để có số hạng chứa x6 thì k = Vậy hệ số số hạng chứa x6 là 36 C611 Số hạng tổng quát khai triển x2 − 2x
10 là  12−k k k k C10 x2 (−2x )k = C10 (−2)k x24−2k x k = C10 (−2)k x24−k Để có số hạng chứa x16 thì 24 − k = 16 ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x16 là 28 C810   40 Số hạng tổng quát khai triển x + là x  k k 40−k k 40−k −2k k 40−3k C40 x = C40 x x = C40 x x Để có số hạng chứa x31 thì 40 − 3k = 31 ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x31 là C340 220 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Ta có  2+ √ x − 3x2 5 = h 2+ = ∑ k =0 = ∑ k =0 = √ x − 3x2 i5  k C5k 25−k x − 3x2 k k− j  j  j j k+3j C5k Ck x 25−k C5k ∑ Ck x −3x2 j ! j =0 k k =0 j =0 ∑ ∑2 5− k (−3) ! Để có số hạng chứa x2 thì  ®  k + 3j = k + 3j = ⇔ ( j; k) ∈ {(0; 4), (1; 1)} ⇔  0≤j≤k≤5 0≤j≤k≤5 Do đó, số hạng chứa x2 là 21 (−3)0 C45 C04 x2 + 24 (−3)1 C15 C11 x2 = −230x2 Vậy hệ số số hạng chứa x2 là −230  BÀI Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) khai triển nhị thức    9 2x2 − x xy2 − xy ĐS: 23 36 C69 với x 6= 8 ĐS: C48 y4 với xy 6= √ √ + x3 x 17 ĐS: C817 với x > Lời giải  Số hạng tổng quát khai triển C9k  2x2 − x 9 là  9− k   k 2x − = C9k 29−k (−3)k x18−2k x −k = 29−k (−3)k C9k x18−3k x Để có số hạng không chứa x thì 18 − 3k = ⇔ k = Vậy số hạng không chứa x là 23 36 C69  Số hạng tổng quát khai triển C8k  xy  8− k  − xy k xy2 − xy 8 là = C8k (−1)k x8−k y16−2k x −k y−k = (−1)k C8k x8−2k y16−3k Để có số hạng không chứa x thì − 2k = ⇔ k = Vậy số hạng không chứa x là (−1)4 C48 y4 = C48 y4 NHỊ THỨC NEWTON 221  Số hạng tổng quát khai triển k C17  √ x2 √ √ + x3 x 17 là 17−k  √  k k − 23 ·(17−k ) 43 ·k k −13612+17k x x3 = C17 x = C17 x −136 + 17k = ⇔ −136 + 17k = ⇔ k = 12 Vậy số hạng không chứa x là C17 Để có số hạng không chứa x thì  BÀI Tìm số hạng chứa x5 khai triển x (1 − 2x )5 + x2 (1 + 3x )10 Lời giải Ta có x (1 − 2x )5 + x2 (1 + 3x )10 = x ∑ C5 15− j (−2x ) j + x2 j j =0 = ∑ (−2) j C5 x j+1 + j j =0 ĐS: 3310x5 10 k 10−k (3x )k ∑ C10 k =0 10 k k +2 x ∑ 3k C10 k =0 ® ® j+1 = j=4 Để có số hạng chứa thì ⇔ k+2 = k = 4 3 Vậy số hạng chứa x là (−2) C5 x + C10 x5 = 3310x5 x5  BÀI Tìm hệ số số hạng chứa x5 khai triển (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 ĐS: 896 Lời giải Ta có (2x + 1)4 + (2x + 1)5 + (2x + 1)6 + (2x + 1)7 = = ∑ (2x + 1)k k =4 k k =4 j =0 ∑ ∑ ! j Ck 1k− j (2x ) j = k k =4 j =0 ∑ ∑ ! j j Ck x j ® j=5 ⇔ ( j; k) ∈ {(5; 5), (5; 6), (5; 7)} 0≤j≤k≤7 Do đó, số hạng chứa x5 là 25 C55 x5 + 25 C56 x5 + 25 C57 x5 = 896x5 Vậy hệ số số hạng chứa x5 là 896 Để có số hạng chứa x5 thì  BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Tìm hệ số số hạng khai triển (2x + y)13 x3 − xy  √ chứa x6 y7
15 x xy + y chứa x25 y10 10 + x + 2x2 ĐS: 26 C713 với xy ≥ và y 6=
10 chứa x17 ĐS: C10 15 chứa x6 y2 ĐS: C210 ĐS: 27 C10 10 C10 + C10 C9 222 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT x2 + x −
5 ĐS: C15 C01 + C35 C33 chứa x3
8 chứa x8 + x2 − x3   12 1−x − , x 6= chứa x8 x ĐS: C48 C04 + C38 C23 ĐS: −C412 C14 − C812 C48 − C12 12 C12 BÀI Tìm số hạng không chứa x (độc lập với x) khai triển nhị thức   12 x+ , với x 6= x   x − , với x 6= x   10 2x − , với x 6= x   x 12 + , với x 6= x  10 + x2 , với x 6= x3   12 x+ , với x 6= x   x − , với x 6= x   √ 20 x+ √ , với x > x   √ 12 + x , với x > x   18 10 2x + √ , với x > x   √ 11 x+ √ , với x > x { DẠNG 3.2 Tìm hệ số khai triển nhị thức Niu-tơn ( a + b)n Sử dụng số hạng tổng quát khai triển là Ckn an−k bk Từ giả thiết tìm giá trị k ! Nhị thức Niu-tơn ( a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn n = ∑ Ckn an−k bk k =0 ĐS: C612 ĐS: −C35 ĐS: −25 C510 ĐS: C612 ĐS: C610 ĐS: 23 C312 ĐS: −23 C35 ĐS: 28 312 C12 20 ĐS: C812 ĐS: C15 18 ĐS: C47 NHỊ THỨC NEWTON 223 Hệ Với a = b = 1, ta có 2n = C0n + C1n + · · · + Cnn−1 + Cnn Với a = 1; b = −1, ta có 0n = C0n − C1n + · · · + (−1)k Ckn + · · · + (−1)n Cnn Nếu P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an x n thì tổng các hệ số khai triển là P(1) VÍ DỤ VÍ DỤ 1 Tìm số hạng chứa x10  khai triển x3 − x n , x 6= biết C4n = 13C2n ĐS: −6435x10 Tìm số hạng chứa x2  khai triển x3 + x n , x 6= 0, biết C0n + C1n + C2n = 11 ĐS: 6x2
n Tìm số hạng chứa x8 khai triển x2 + , biết A3n − 8C2n + C1n = 49 ĐS: 280x8 L Lời giải Tìm số hạng chứa x10  khai triển x3 − x n , x 6= biết C4n = 13C2n Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó n(n − 1)(n − 2)(n − 3) n ( n − 1) = 13 · 4! " n = −10 (loại) ⇔ n2 − 5n − 150 = ⇔ n = 15 (nhận) C4n = 13C2n ⇔ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là k ( x3 )15−k C15  − x k Số hạng chứa x10 ứng với 45 − 5k = 10 ⇔ k = Vậy số hạng chứa x10 khai triển là C715 (−1)7 x10 = −6435x10 k (−1)k x45−5k = C15 224 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Tìm số hạng chứa x2 khai triển  x3 + x n , x 6= 0, biết C0n + C1n + C2n = 11 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó n ( n − 1) = 11 " n = −5 (loại) ⇔ n2 + n − 20 = ⇔ n=4 (nhận) C0n + C1n + C2n = 11 ⇔ + n + Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C4k ( x3 )4−k  x2 k = C4k x12−5k Số hạng chứa x2 ứng với 12 − 5k = ⇔ k = Vậy số hạng chứa x2 khai triển là C24 x2 = 6x2
n Tìm số hạng chứa x8 khai triển x2 + , biết A3n − 8C2n + C1n = 49 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó n ( n − 1) + n = 49 ⇔ n3 − 7n2 + 7n − 49 = ⇔ n = (nhận) A3n − 8C2n + C1n = 49 ⇔ n(n − 1)(n − 2) − · Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C7k ( x2 )7−k (2)k = C7k 2k x14−2k Số hạng chứa x8 ứng với 14 − 2k = ⇔ k = Vậy số hạng chứa x8 khai triển là C37 23 x8 = 280x8  VÍ DỤ Xác định số nguyên dương n để khai triển (1 + x2 )n có hệ số x8 lần hệ số x4 ĐS: n = 11 L Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥
k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn x2 = Ckn x2k Hệ số x8 là C4n Hệ số x4 là C2n Do hệ số x8 lần hệ số x4 nên n ( n − 1) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) = 6· 4! 2! " n = −6 (loại) ⇔ n2 − 5n − 66 = n = 11 (nhận) C4n = 6C2n ⇔ Vậy n = 11 là giá trị cần tìm  VÍ DỤ Biết tổng các hệ số khai triển (1 + x2 )n là 1024 Tìm hệ số x12  Tìm hệ số khai triển + x3 x tổng các hệ số khai triển 1024 x6 ĐS: 210 n với n là số nguyên dương và biết ĐS: 120 NHỊ THỨC NEWTON 225 L Lời giải Biết tổng các hệ số khai triển (1 + x2 )n là 1024 Tìm hệ số x12 Đặt P( x ) = (1 + x2 )n Tổng các hệ số khai triển P( x ) là P(1) = 2n Do tổng các hệ số khai triển (1 + x2 )n là 1024 nên 2n = 1024 ⇔ n = 10
k k k x 2k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C10 x2 = C10 Số hạng chứa x12 ứng với 2k = 12 ⇔ k = Vậy hệ số x12 là C610 = 210  n Tìm hệ số x khai triển +x với n là số nguyên dương và biết tổng x các hệ số n 1024  khai triển Đặt P( x ) = + x3 Tổng các hệ số khai triển P( x ) là P(1) = 2n x Do tổng các hệ số khai triển là 1024 nên 2n = 1024 ⇔ n = 10  k
k k k x 2k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C10 x3 = C10 x Số hạng chứa x6 ứng với 2k = ⇔ k = Vậy hệ số x6 là C310 = 120  VÍ DỤ Cho P( x ) = (1 + 2x )n , n ∈ N∗ Khai triển P( x ) ta P( x ) = a0 + a1 x + a2 x2 + a an a a · · · + an x n Tính n và a11 biết a0 + + 22 + 33 + · · · · + n = 4096 ĐS: 24576 2 2 L Lời giải Điều kiện  n∈ N, n ≥ 11 Ta có P = 2n   a a a an Mặt khác P = a0 + + 22 + 33 + · · · · + n = 4096 ⇔ 2n = 4096 ⇔ n = 12 2 2 k (2x )k = Ck (2)k x k Khi đó, số hạng tổng quát khai triển P( x ) là C12 12 11 = 24576 Ta suy a11 = C11 12 Vậy n = 12, a11 = 24576  BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 1 Tìm hệ số x4  khai triển − x3 x n , ∀ x 6= 0, biết Cnn− −4 + n · An = 454 ĐS: −1792  Tìm số hạng không chứa x khai triển √ x+ √ n−5 x n , x > 0, biết C3n = 5C1n ĐS: 35  Tìm số hạng không chứa x khai triển C2n+1 = 18P3 x+ x n , với n ∈ N∗ , x 6= 0, biết A2n+1 + ĐS: 252 226 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Tìm hệ số x10 khai triển  2x3 − x n , ∀ x 6= 0, biết 3C2n + 2A2n = 3n2 + 15 ĐS: 1088640 Lời giải Tìm hệ số x4  khai triển − x3 x n , ∀ x 6= 0, biết Cnn− −4 + n · An = 454 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó (n − 4)(n − 5) + n · n(n − 1) = 454 ⇔ 2n3 − n2 − 9n − 888 = ⇔ n = (nhận) Cnn− −4 + n · An = 454 ⇔ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C8k   8− k
k − x3 = C8k 28−k (−1)k x4k−8 x Số hạng chứa x4 ứng với 4k − = ⇔ k = Vậy hệ số x4 khai triển là C38 25 (−1)3 = −1792  Tìm số hạng không chứa x khai triển Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó C3n = 5C1n ⇔ √ x+ √ n−5 x n , x > 0, biết C3n = 5C1n n(n − 1)(n − 2) = 5n 3!  n = −4 (loại)  (loại) ⇔ n − 3n − 28n = ⇔ n = n=7 (nhận) Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C7k
7− k √ x  √ x k = C7k x 28−7k 12 28 − 7k = ⇔ k = 12 Vậy số hạng không chứa x khai triển là C47 = 35 Số hạng không chứa x ứng với  Tìm số hạng không chứa x khai triển x+ x n , với n ∈ N∗ , x 6= 0, biết A2n+1 + C2n+1 = 18P3 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó n ( n + 1) = 18 · 3! 2! " n = −9 (loại) ⇔ n2 + n − 72 = ⇔ n=8 (nhận) A2n+1 + C2n+1 = 18P3 ⇔ (n + 1)n + Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C8k ( x )8−k  x3 Số hạng không chứa x ứng với − 4k = ⇔ k = Vậy số hạng không chứa x khai triển là C28 32 = 252 k = C8k 3k x8−4k NHỊ THỨC NEWTON 227 Tìm hệ số x10 khai triển  2x3 − x n , ∀ x 6= 0, biết 3C2n + 2A2n = 3n2 + 15 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó n ( n − 1) + · n(n − 1) = 3n2 + 15 2! " n = −3 (loại) ⇔ n2 − 7n − 30 = ⇔ n = 10 (nhận) 3C2n + 2A2n = 3n2 + 15 ⇔ · k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C10
10−k 2x3  − x k k 210−k (−3)k x 30−5k = C10 Số hạng chứa x10 ứng với 30 − 5k = 10 ⇔ k = Vậy hệ số x10 khai triển là C410 26 (−3)4 = 1088640  n biết hệ số x2 khai triển (1 + 3x )n là 90 BÀI Tính A2016 Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn (3x )k = Ckn 3k x k Hệ số x2 là C2n 32 Do hệ số x2 90 nên C2n 32 = 90 ⇔ ĐS: A52016 n ( n − 1) = 10 2! " ⇔ n2 − n − 20 = ⇔ n = −4 (loại) n=5 (nhận) n Vậy A2016 = A52016  BÀI Trong khai triển nhị thức (1 + 2ax )n , ( x 6= 0) ta có số hạng đầu là 1, số hạng thứ hai là 48x, số hạng thứ ba là 1008x2 Tìm n và a ĐS: n = 8, a = Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn (2ax )k = Ckn (2a)k x k Số hạng đầu là nên C0n = Số hạng thứ hai là 48x nên C1n (2a) = 48 Số hạng thứ ba là 1008x2 nên C2n (2a)2 = 1008 Ta suy ® C1n (2a) = 48 C2n (2a)2 = 1008 ® ⇔ n(n − 1) a2 = 2016 ® ⇔ ® Vậy n=8 a = an = 24 an = 24 ⇔ an( an − a) = 504 ® an = 24 ⇔ a=3 ® n=8 a =  228 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT  BÀI Tìm số hạng không chứa x khai triển x+ x n , biết hiệu hệ số số hạng thứ ba và thứ hai 35 Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥ ĐS: 252  k = Ckn x n−2k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn x n−k x Hệ số số hạng thứ ba là C2n Hệ số số hạng thứ hai là C1n Do hiệu hệ số số hạng thứ ba và thứ hai 35 nên C2n − C1n = 35 ⇔ n ( n − 1) − n = 35 " ⇔ n2 − 3n − 70 = ⇔ n = −7 (loại) n = 10 (nhận) Khi đó số hạng không chứa x là C510 = 252  BÀI Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn = 2047.Tìm số hạng chứa x10 y6 khai triển (2x2 + y)n ĐS: 14784x10 y6 Lời giải Do C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn = 2n − = 2047 ⇔ n = 11
k 2x 11−k yk = Ck 211−k x 22−2k yk Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C11 11 Ta suy số hạng chứa x10 y6 khai triển là C611 25 x10 y6 = 14784x10 y6  BÀI Cho khai triển nhị thức: (1 − 2x + x3 )n = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · · · · + a3n x3n Xác định n và  15 a2 a3n a1 + + · · · + 3n = ĐS: −31 tìm a6 , biết rằng: a0 + 2 2 Lời giải    3n 1 n Đặt P( x ) = (1 − 2x + x ) Suy P = 2    15  3n  15 a1 a2 a3n 1 Mặt khác P = a0 + + + · · · + 3n = ⇔ = ⇔ n = 2 2 2 5 k k
5− k Khi đó P( x ) = ∑ C5k x3 (1 − 2x )k = ∑ C5k x15−3k ∑ Cik (−2x )i = ∑ ∑ Cik (−2)i ( x )15−3k+i k =0 k =0 Ta suy a6 = C34 (−2)3 + C05 (−2)0 = −31  i =0 k =0 i =0 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Tìm hệ số số hạng tìm số hạng  n √ Tìm số hạng không chứa x khai triển x + √ , x > 0, biết C6n + 3C7n + 3C8n + x C9n = 2C8n+2 ĐS: 320320 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn− +1 = An + 160 Tìm hệ số x khai triển (1 − 2x3 )(2 + x )n ĐS: −2224 NHỊ THỨC NEWTON 229 Cho n ∈ N∗ và a, b (b > 0) Biết khai triển nhị thức Niu-tơn  chứa a4 b9 , tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ a √ +b b n có hạng tử ĐS: 5005a6 b6 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn−3 − C2n−1 = C1n−1 Cnn+ +3 Tìm hệ số số hạng chứa   x11 khai triển x3 x n−8 − n 3x n , x 6= ĐS: 32440320 Lời giải  Tìm số hạng không chứa x khai triển √ x+ √ x n , x > 0, biết C6n + 3C7n + 3C8n + C9n = 2C8n+2 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó   C6n + 3C7n + 3C8n + C9n = 2C8n+2 ⇔ C6n + C7n + C7n + C8n + C8n + C9n = 2C8n+2 ⇔ C7n+1 + 2C8n+1 + C9n+1 = 2C8n+2 ⇔ C7n+1 + C8n+1 + C8n+1 + C9n+1 = 2C8n+2 ⇔ C8n+2 + C9n+2 = 2C8n+2 ⇔ C9n+2 = C8n+2 ( n + 2) ! ( n + 2) ! ⇔ =· 9!(n − 7)! 8!(n − 6)! ⇔ n − = ⇔ n = 15 (nhận) k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C15
15−k √ x  √ x k k 2k x = C15 5(6− k ) 5(6 − k ) = ⇔ k = 6 Vậy số hạng không chứa x khai triển là C615 26 = 320320 Số hạng không chứa x ứng với Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: 6Cnn− +1 = An + 160 Tìm hệ số x khai triển (1 − 2x3 )(2 + x )n Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó ( n + 1) n = n(n − 1) + 160 2! " n = −10 (loại) ⇔ n2 + 2n − 80 = ⇔ n=8 (nhận) 6Cnn− +1 = An + 160 ⇔ · Khi đó số hạng tổng quát khai triển là (1 − 2x3 )C8k 28−k x k = C8k 28−k x k − C8k 29−k x k+3 Vậy hệ số x7 khai triển là 2C78 − 25 C48 = −2224 Cho n ∈ N∗  và a, b (b > 0) Biết khai triển nhị thức Niu-tơn chứa a4 b9 , tìm số hạng chứa tích a và b với số mũ Điều kiện n ∈ N, n ≥ a √ +b b n có hạng tử ĐS: 5005a6 b6 230 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT  3k −n a n−k k √ b = Ckn an−k b Khi đó số hạng tổng quát khai triển là b  ® n − k = n = 15 ⇔ Trong khai triển có hạng tử chứa a b nên 3k − n  k = 11 =9 3k −15 k a15−k b Khi đó số hạng tổng quát là C15 3k − 15 ⇔ k = Số hạng chứa a và b với số mũ 15 − k = Vậy số hạng chứa a và b với số mũ là C915 a6 b6 = 5005a6 b6 Ckn  Cho n là số nguyên dương thỏa mãn Cnn−3 − C2n−1 = C1n−1 Cnn+ +3 Tìm hệ số số hạng chứa   n 3x Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó x11 khai triển x3 x n−8 − n , x 6= n(n − 1)(n − 2) (n − 1)(n − 2) − = 3! 2! n = −1  ⇔ n3 − 12n2 − n + 12 = ⇔ n = n = 12 Cnn−3 − C2n−1 = C1n−1 Cnn+ +3 ⇔ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là k x3 C12
12−k x4  − x k ( n − 1) · ( n + 3) (loại) (loại) (nhận) k (−4)k x 51−5k = C12 Số hạng chứa x11 ứng với 51 − 5k = 11 ⇔ k = Vậy hệ số x11 khai triển là C812 (−4)8 = 32440320  BÀI Trong khai triển nhị thức (1 + ax )n , ta có số hạng đầu 1, số hạng thứ hai 24x, số hạng thứ ba 252x2 Tìm n và a ĐS: n = 8, a = Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn ( ax )k = Ckn ak x k Số hạng đầu là nên C0n = Số hạng thứ hai là 48x nên C1n a = 24 Số hạng thứ ba là 252x2 nên C2n a2 = 252 Ta suy ® C1n a = 24 C2n a2 = 252 Vậy an = 24 ® n(n − 1) a2 = 504 ® an = 24 n=8 ⇔ a=3 a = ⇔ ⇔ ® ® n=8 a = BÀI Biết hệ số x n−2 khai triển ( x − 2)n 220 Tìm hệ số x2 Lời giải  ĐS: 67584 NHỊ THỨC NEWTON 231 Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn x n−k (−2)k Do hệ số x n−2 khai triển 220 nên C2n (−2)2 = 220 ⇔ n(n − 1) = 110 " ⇔ n2 − n − 110 = ⇔ n = −10 (loại) n = 11 (nhận) 10 Khi đó hệ số x2 là C10 12 (−2) = 67584 BÀI 10 Biết hệ số x n−2 khai triển   x− n 31 Tìm số nguyên dương n n = 32 Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥ Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Ckn x n−k Do hệ số x n−2 khai triển 31 nên C2n  −  − ĐS: k 2 = 31 ⇔ n(n − 1) = 992 " ⇔ n2 − n − 992 = ⇔ n = −31 (loại) n = 32 (nhận) Vậy n = 32   n cho biết tổng hệ số ba số hạng đầu tiên x khai triển trên 97 Tìm hệ số số hạng có chứa x4 ĐS: 1120 Lời giải Điều kiện n ∈ N, n ≥  
n−k k k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là Cn x = Ckn (−2)k x2n−3k − x Do tổng hệ số ba số hạng đầu tiên khai triển trên 97 nên BÀI 11 Trong khai triển nhị thức x2 − C0n + C1n (−2) + C2n (−2)2 = 97 ⇔ − 2n + 2n(n − 1) = 97 " n = −6 (loại) ⇔ 2n − 4n − 96 = ⇔ n=8 (nhận) Khi đó hệ số x4 khai triển là C48 (−2)4 = 1120  BÀI 12 Tìm hệ số số hạng tìm số hạng Biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện C1n + C2n + · · · · · · + Cnn−1 + Cnn = 4095 Tìm hệ số số hạng chứa x8  khai triển P( x ) = √ + x5 x3 n với x > ĐS: 14784 Biết n là số nguyên dương thỏa 3n C0n − 3n−1 C1n + 3n−2 C2n − 3n−3 C3n + · · · + (−1)n Cnn = 2048.Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2 + x )n , ĐS: 1320
n √ Tìm hệ số x10 khai triển x − 3x2 , ( x > 0), biết n là số nguyên dương và tổng các hệ số khai triển −2048 ĐS: −4455 232 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT +1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + · · · + C2n 2n+1 = 1024 Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 − 3x )2n ĐS: −2099520 Lời giải Biết n nguyên dương thỏa mãn điều kiện C1n + C2n + · · · · · · + Cnn−1 + Cnn = 4095 Tìm hệ số √ n số hạng chứa khai triển P( x ) = + x5 với x > x3 Do C1n + C2n + · · · + Cnn−1 + Cnn = 2n − = 4095 ⇔ n = 12  12−k √  k −72+11k k k 212−k x Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C12 = C x 12 x3 −72 + 11k Số hạng chứa x8 khai triển ứng với = ⇔ k = Ta suy hệ số x8 khai triển là C812 24 = 7920 x8  Biết n là số nguyên dương thỏa 3n C0n − 3n−1 C1n + 3n−2 C2n − 3n−3 C3n + · · · + (−1)n Cnn = 2048.Tìm hệ số x10 khai triển nhị thức (2 + x )n Ta có ( a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + C2n an−2 b2 + C3n an−3 b3 + · · · + Cnn bn Cho a = 3, b = −1 ta 3n C0n − 3n−1 C1n + 3n−2 C2n − 3n−3 C3n + · · · + (−1)n Cnn = 2n = 2048 ⇔ n = 11 k 211−k x k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C11 8 Ta suy hệ số x khai triển là C11 = 1320
n √ Tìm hệ số x10 khai triển x − 3x2 , ( x > 0), biết n là số nguyên dương và tổng các hệ số khai triển −2048
n √ Đặt P( x ) = x − 3x2 Tổng các hệ số khai triển P( x ) là P(1) = (−2)n Do tổng các hệ số khai triển là −2048 nên (−2)n = −2048 ⇔ n = 11 11+3k
k √
11−k k k (−3)k x Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C11 x −3x2 = C11 11 + 3k Số hạng chứa x10 ứng với = 10 ⇔ k = Vậy hệ số x10 là C311 (−3)3 = −4455 +1 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + · · · + C2n 2n+1 = 1024 Tìm hệ số x7 khai triển đa thức (2 − 3x )2n +1 2n+1 Ta có ( a + b)2n+1 = C02n+1 a2n+1 + C12n+1 a2n b + C22n+1 a2n−1 b2 + C32n+1 a2n−2 b3 + · · · + C2n 2n+1 b 2n + Cho a = 1, b = ta C02n+1 + C12n+1 + C22n+1 + C32n+1 + · · · + C2n+1 = 22n+1 (1) +1 Cho a = 1, b = −1 ta C02n+1 − C12n+1 + C22n+1 − C32n+1 + · · · − C2n 2n+1 = (2) +1 2n = 1024 ⇔ n = Từ (1) và (2) suy C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + · · · + C2n 2n+1 = k (2)10−k (−3x )k Khi đó số hạng tổng quát khai triển là C10 Ta suy hệ số x7 khai triển là C710 23 (−3)7 = −2099520  { DẠNG 3.3 Chứng minh tính tổng • ( a + b)n = C0n an + C1n an−1 b + C2n an−2 b2 + · · · + Cnn−1 abn−1 + Cnn bn • Ckn = Cnn−k • C0n + C1n + C2n + · · · + Cnn = 2n • C0n − C1n + C2n + · · · + (−1)n Cnn = NHỊ THỨC NEWTON 233 VÍ DỤ VÍ DỤ Chứng minh −1 n + C2n C02n + C12n + C22n + C32n + · · · + C2n 2n = 2n C0n · 3n − C1n · 3n−1 + · · · + (−1)n Cnn = C0n + C1n + · · · + Cnn L Lời giải Xét nhị thức −1 2n ( x + 1)2n = C02n x2n + C12n x2n−1 + C22n x2n−2 + C32n x2n−3 + · · · + C2n 2n x + C2n Thay x = ta −1 2n C02n + C12n + C22n + C32n + · · · + C2n + C2n 2n = 2n −1 n + C2n Vậy C02n + C12n + C22n + C32n + · · · + C2n 2n = 2n Xét nhị thức ( x − 1)n = C0n x n − C1n x n−1 + · · · + (−1)n Cnn Thay x = ta C0n · 3n − C1n · 3n−1 + · · · + (−1)n Cnn = 2n Lại có C0n + C1n + · · · + Cnn = 2n Vậy C0n · 3n − C1n · 3n−1 + · · · + (−1)n Cnn = C0n + C1n + · · · + Cnn  VÍ DỤ Tính các tổng sau S = C05 + C15 + C25 + · · · + C55 S = 2C12010 + 23 C32010 + 25 C52010 + · · · + 22009 C2009 2010 ĐS: S = 32 ĐS: S = 32010 − L Lời giải Ta có S = C05 + C15 + C25 + · · · + C55 = 25 = 32 Xét nhị thức 2009 2010 (1 + x )2010 = C02010 + C12010 x + C22010 x2 + C32010 x3 + · · · + C2009 + C2010 2010 x 2010 x Thay x = ta 2010 2010 C02010 + 2C12010 + 22 C22010 + 23 C32010 + · · · + 22009 C2009 C2010 = 32010 2010 + (1) Thay x = −2 ta 2010 2010 C02010 − 2C12010 + 22 C22010 − 23 C32010 + · · · − 22009 C2009 C2010 = 2010 + Trừ hai vế (1) và (2) suy   2010 2C12010 + 23 C32010 + 25 C52010 + · · · + 22009 C2009 − 2010 = Vậy S = 32010 − (2) 234 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT  VÍ DỤ Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện sau C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn−1 + Cnn = 4095 ĐS: n = 12 +1 C12n+1 + C32n+1 + C52n+1 + C72n+1 + · · · + C2n 2n+1 = 1024 ĐS: n = L Lời giải Ta có C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn−1 + Cnn = 4095 ⇔ C0n + C1n + C2n + C3n + · · · + Cnn−1 + Cnn = 4095 + C0n ⇔ 2n = 4096 = 212 ⇔ n = 12 ( Ta có 2n+1 2n+1 C02n+1 + C12n+1 + C22n+1 + C32n+1 + · · · + C2n 2n+1 + C2n+1 = 2n+1 C02n+1 − C12n+1 + C22n+1 − C32n+1 + · · · + C2n 2n+1 − C2n+1 = Trừ hai vế ta   2n 2n+1 C2n+1 + C2n+1 + · · · + C2n+1 − C2n+1 = 22n+1 2n+1 2n ⇔ C12n+1 + C32n+1 + · · · + C2n 2n+1 − C2n+1 = ⇔ 22n = 1024 = 210 ⇔ n =  VÍ DỤ Chứng minh 2 k (k − 1)Ckn = n(n − 1)Ckn− −2 Ckn = Cnn−k L Lời giải n! n! Ta có Ckn = Cnn−k ⇔ = (luôn đúng) Suy điều phải chứng minh (n − k)!k! k!(n − k)! Ta có n! ( n − 2) ! = n ( n − 1) · (n − k)!k! ( n − k ) ! ( k − 2) ! n(n − 1)(n − 2)! k(k − 1)n! ⇔ = (n − k)!k(k − 1)(k − 2)! ( n − k ) ! ( k − 2) ! n! n! ⇔ = (luôn đúng) ( n − k ) ! ( k − 2) ! ( n − k ) ! ( k − 2) ! k (k − 1)Ckn = n(n − 1)Ckn− −2 ⇔ k ( k − ) · Suy điều phải chứng minh  NHỊ THỨC NEWTON 235  VÍ DỤ Cho khai triển 2x + 3 11 = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + a11 x11 Hãy tìm hệ số lớn các số a0 , a1 , .,a11 ? ĐS: a7 = C811 · 28 C711 · 27 , a = 311 311 L Lời giải  Số hạng tổng quát khai triển Tk+1 = 2x + 3 k C11 11 là  11−k  k 2x 2k k · · = C11 · 11 · x k 3 k · Do đó hệ số số hạng tổng quát là ak = C11 Xét ak a k +1 <1⇔ ak k · 2k C11 k +1 C11 · 2k +1 <1⇔ k · 2k C11 2k = 311 311 k+1 < ⇔ k < Suy a0 < a1 < · · · < a6 < a7 2(11 − k) > ⇔ k > Suy a8 > a9 > · · · > a11 a k +1 a7 Lại có = = ⇒ a7 = a8 , nên a0 < a1 < · · · < a6 < a7 = a8 > · · · > a11 a8 C8 · 28 C · 27 Vậy hệ số lớn là a7 = 1111 và a8 = 1111 3 Tương tự BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Chứng minh 2n−1 C02n + C22n + · · · + C2n = 22n−1 2n = C2n + C2n + · · · + C2n n , ∀ n ≥ 2, n ∈ N (C0n )2 + (C1n )2 + (C2n )2 + · · · + (Cnn )2 = C2n Lời giải ® Ta có 2n −1 C02n + C12n + C22n + C32n + · · · + C2n + C2n 2n = 2n (1) −1 C02n − C12n + C22n − C32n + · · · − C2n + C2n (2) 2n = 2n Cộng hai vế (1) và (2) ta   2n 2n−1 C2n + C2n + · · · + C2n = 22n ⇔ C02n + C22n + · · · + C2n 2n = Trừ hai vế (1) và (2) ta   2n−1 −1 C2n + C2n + · · · + C2n = 22n ⇔ C12n + C32n + · · · + C2n = 22n−1 2n 2n−1 Vậy C02n + C22n + · · · + C2n = 22n−1 2n = C2n + C2n + · · · + C2n  236 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT n x n + · · · + C2n x2n Xét nhị thức (1 + x )2n = C02n + C12n x + · · · + C2n 2n n Trong khai triển trên thì hệ số x n là C2n Mặt khác (1) (1 + x )2n = (1 + x )n · ( x + 1)n     = C0n + C1n x + C2n x2 + · · · + Cnn x n · C0n x n + C1n x n−1 + C2n x n−2 + · · · + C0n Hệ số x n tích trên là (C0n )2 + (C1n )2 + (C2n )2 + · · · + (Cnn )2 Từ (1) và (2) suy (2) n (C0n )2 + (C1n )2 + (C2n )2 + · · · + (Cnn )2 = C2n  BÀI Tính các tổng sau S = C02010 + 2C12010 + 22 C22010 + · · · + 22010 C2010 2010 ĐS: S = 32010 S = C610 + C710 + C810 + C910 + C10 10 ĐS: S = 386 Lời giải Xét nhị thức 2010 (1 + x )2010 = C02010 + C12010 x + C22010 x2 + · · · + C2010 2010 x Thay x = ta 2010 C02010 + 2C12010 + 22 C22010 + · · · + 22010 C2010 2010 = Vậy S = 32010 10 Xét S1 = C010 + C110 + C210 + · · · + C10 10 = Áp dụng công thức Ckn = Cnn−k , ta có S = C610 + C710 + C810 + C910 + C10 10 = C10 + C10 + C10 + C10 + C10 Do đó S1 = 2S + C510 S1 − C510 = 386 ⇒S=  BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Chứng minh −1 + C2n C02n − C12n + C22n − C32n + · · · − C2n 2n = 2n 16 16 316 C016 − 315 C116 + 314 C216 − · · · 3C15 16 + C16 = 2n = 22n−1 · (22n + 1) C02n + C22n · 32 + C42n · 34 + · · · + C2n 2n · 2000 · (22001 − 1) C02001 + 32 C22001 + 34 C42001 + · · · + 32000 C2000 2001 = 2n C0n + 2n−2 C2n + 2n−4 C4n + · · · + Cnn = 3n + BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 237 BÀI Tính các tổng sau S = C05 + 2C15 + 22 C25 + · · · + 25 C55 ĐS: S = 35 S = 40 C08 + 41 C18 + 42 C28 + · · · + 48 C88 ĐS: S = 58 S = C02010 + C12010 + C22010 + · · · + C2010 2010 ĐS: S = 22010 S = C0100 + C2100 + C4100 + · · · + C100 100 S= ĐS: S = 299 1 1 + +···+ + 2! · 2012! 4! · 2010! 2012! · 2! 2014! ĐS: S = 22013 − 2014! BÀI Tìm số nguyên dương n thỏa mãn các điều kiện 3n C0n − 3n−1 C1n + 3n−2 C2n − 3n−3 C3n + · · · + (−1)n Cnn = 2048 ĐS: n = 11 C02n + C22n + C42n + C62n + · · · + C2n 2n = 512 ĐS: n = 503n − C22014 + C42014 + C62014 + C82014 + · · · + C1006 2014 = ĐS: n = 20 n C12n+1 + C22n+1 + C32n+1 + · · · + C2n +1 = − ĐS: n = 10 BÀI Chứng minh Ckn+1 = Ckn + Ckn−1 Ckn + 3Ckn+1 + 3Ckn+2 + Ckn+3 = Ckn+ +3 kCkn = nCnk− −1 k −1 k2 Ckn = n(n − 1)Ckn− −2 + nCn−1 BÀI Cho khai triển (1 + 2x )n = a0 + a1 x + · · · + an x n , với các hệ số a0 , a1 , .,an thỏa mãn an a a0 + + · · · + n = 4096 Hãy tìm số lớn các số a0 , a1 , .,an ? ĐS: n = 12, a8 = C812 · 28 2 BÀI A BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ PHÉP THỬ Định nghĩa Phép thử ngẫu nhiên là phép thử mà ta không đoán trước kết phép thử đó mặc dù biết tập tất các kết phép thử đó VÍ DỤ Phép thử “Gieo súc sắc cân đối và đồng chất” Tìm không gian mẫu phép thử L Lời giải Không gian mẫu phép thử là Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6}  VÍ DỤ Xét phép thử “Gieo hai đồng xu phân biệt” Nếu ký hiệu S là mặt sấp, N là mặt ngửa Tìm không gian mẫu phép thử L Lời giải Không gian mẫu Ω = { NN, SN, NS, SS}  238 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÍ DỤ Xét phép thử T “Gieo đồng xu phân biệt” Tính số phần tử không gian mẫu ĐS: L Lời giải Mỗi đồng xu có hai khả xuất mặt S hay N ⇒ không gian mẫu phép thử là Ω = { NNN, NSN, SNN, SSN, NNS, NSS, SNS, SSS} Do số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = B  BIẾN CỐ Định nghĩa Biến cố là tập không gian mẫu VÍ DỤ Xét phép thử T “Gieo súc sắc cân đối và đồng chất” Gọi A là biến cố “Số chấm trên mặt xuất là số chấm chẵn” Liệt kê tất các kết thuận lợi biến cố A L Lời giải Biến cố A = {2; 4; 6}  Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy hay không xảy A tùy thuộc vào kết T ! Mỗi kết phép thử T làm cho A xảy gọi là kết thuận lợi A Biến cố A có ngoài cách cho mô tả, có thể cho A dạng liệt kê tất các kết thuận lợi A C XÁC SUẤT Định nghĩa Xét phép thử T có không gian mẫu Ω là tập hữu hạn kết đồng khả Biến cố A liên quan đến phép thử, A ⊂ Ω Xác suất biến cố A là P ( A) = n( A) n(Ω) Với biến cố A phép thử có không gian mẫu là Ω Ta luôn có ≤ P ( A) ≤ !
P ( A) = − P A , đó A là biến cố đối biến cố A Với A, B là hai biến cố ta có n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 239 VÍ DỤ Xét phép thử T: “Gieo đồng thời hai súc sắc cân đối và đồng chất” Tập các kết là tập hợp gồm tất các cặp số cho bảng sau Số chấm (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) Không gian mẫu phép thử là Ω = {(i; j)|i, j = 1; 6} Số phần tử không gian mẫu là 36 Biến cố A: “Tổng số chấm xuất trên mặt 7” Ta có A = {(1; 6); (2; 5); (3; 4); (4; 3); (5; 2); (6; 1)} ⇒ n( A) = n( A) Xác suất biến cố A là P ( A) = = n(Ω) VÍ DỤ Gieo ngẫu nhiên súc sắc cân đối và đồng chất Tính xác suất các biến cố A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện” ĐS: 2 B: “Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3” ĐS: 3 C: “Mặt xuất có số chấm lớn 2” ĐS: L Lời giải A: “Mặt có số chấm lẻ xuất hiện” Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = Biến cố A = {1; 3; 5} ⇒ n( A) = n( A) Xác suất A là P( A) = = n(Ω) 2 B: “Mặt xuất có số chấm chia hết cho 3” Biến cố B = {6; 3} ⇒ n( B) = Xác suất biến cố B là P ( B) = 240 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT C: “Mặt xuất có số chấm lớn 2” Biến cố C = {3; 4; 5; 6} ⇒ P (C ) = n(C ) = n(Ω)  VÍ DỤ Từ hộp chứa cầu trắng, cầu đỏ và cầu xanh Lấy ngẫu nhiên cầu từ hộp Tính xác suất để lấy màu trắng ĐS: lấy cầu xanh ĐS: L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = Quả cầu lấy có màu trắng, số cách lấy là 4 Xác suất lấy cầu trắng là Quả cầu lấy có màu đỏ, số cách lấy là Xác suất lấy cầu đỏ là =  VÍ DỤ Trong đợt kiểm tra vệ sinh an toàn thực phẩm ngành y tế chợ X Ban quản lí chợ lấy 15 mẫu thịt lợn đó có mẫu quầy A, mẫu quầy B và mẫu quầy C Mỗi mẫu thịt này có khối lượng và để hộp kín có kích thước giống hệt Đoàn kiểm tra lấy ngẫu nhiên ba hộp để phân tích, kiểm tra xem thịt lợn có chứa chất tạo nạc (Clenbuterol) hay không Tính xác suất để hộp lấy có đủ 24 ba loại thịt các quầy A, B, C ĐS: 91 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = C315 Gọi X là biến cố “Cả ba hàng có mẫu thịt lấy” Số phần tử X là n ( X ) = C14 C15 · C16 = 120 n( X ) 24 = Xác suất X là P( X ) = n(Ω) 91 VÍ DỤ Trong hộp có chứa 10 cầu có kích thước nhau, đánh số từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên cầu hộp đó Tính xác suất để số ghi trên cầu lấy là độ dài ba cạnh tam giác vuông ĐS: 45 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C310 Giả sử số ghi trên các cầu chọn là a, b, c với a < b < c thỏa mãn a2 + b2 = c2 Có hai khả ( a; b; c) = (3; 4; 5) ( a; b; c) = (6; 8; 10) Gọi X là biến cố: “3 số ghi trên cầu chọn là độ dài cạnh tam giác vuông”  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 241 Số phần tử X là n( X ) = Xác suất biến cố X là P( X ) = n( X ) 2 = = n(Ω) 45 C10  VÍ DỤ 10 Trong hộp viên bi đỏ, viên bi vàng và viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi Tính xác suất để viên lấy không đủ ba màu ĐS: 43 91 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = C415 Gọi A là biến cố: “4 viên lấy không đủ ba màu” Biến cố A xảy các trường hợp Trường hợp 1: viên đúng màu, số cách lấy là C46 + C45 + C44 = 21 Trường hợp 2: viên có đúng hai màu + Hai màu đỏ-vàng, có C411 − C46 − C54 = 310 + Hai màu đỏ-trắng, có C410 − C46 − C44 = 194 + Hai màu vàng-trắng, có C49 − C45 − C44 = 120 Tổng số cách lấy viên đúng hai màu là 310 + 194 + 120 = 624 Số phần tử biến cố A là n( A) = 624 + 21 = 645 n( A) 43 Xác suất biến cố A là P ( A) = = n(Ω) 91  { DẠNG 4.1 Chọn xếp đồ vật D LÍ THUYẾT • Phương pháp: Phương pháp 1: Tính xác suất theo định nghĩa Đếm số phần tử không gian mẫu, số phần tử biến cố P ( A) = n( A) n(Ω) Phương pháp 2: Tính xác suất biến cố đối
P ( A) = − P A Phương pháp này nên dùng xét trực tiếp có nhiều trường hợp khác Phương pháp 3: Áp dụng quy tắc cộng và qua tắc nhân xác suất • Kiến thức bổ sung: Công thức đếm số phần tử hợp hai tập hợp n ( A ∪ B ) = n ( A ) + n ( B ) − n ( A ∩ B ) 242 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Công thức đếm số phần tử hợp ba tập hợp n ( A ∪ B ∪ C ) = n ( A ) + n ( B ) + n ( C ) − n ( A ∩ B ) − n ( B ∩ C ) − n ( C ∩ A ) + n ( A ∩ B ∩ C ) Phương pháp đặt song ánh − Khi cần đếm tập A trực tiếp khó khăn ta có thể tập đó có tương ứng − với tập B và đó cần đếm B E VÍ DỤ VÍ DỤ Một bình đựng viên bi không giống nhau, đó có xanh, vàng và đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất để lấy viên bi xanh ĐS: 15 2 viên bi khác màu ĐS: L Lời giải Xác suất lấy viên bi xanh Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C26 Gọi A là biến cố “2 viên bi lấy là bi xanh” Số phần tử biến cố A là n( A) = C22 n ( A) = Xác suất biến cố A là P ( A) = n (Ω) 15 Xác suất lấy hai viên bi khác màu Gọi B là biến cố “2 viên bi lấy khác màu” Biến cố B xảy viên bi lấy là xanh - vàng; xanh - đỏ; vàng - đỏ Số phần tử B là n( B) = C23 × × = 12 n( B) = Xác suất biến cố B là P ( B) = n(Ω)  VÍ DỤ Một hộp đựng cầu trắng, cấu đỏ, cầu đen, các cầu khác Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để chọn cầu trắng, 20 cầu đỏ và cầu đen ĐS: 77 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C612 Gọi A là biến cố “Lấy cầu trắng, cầu đỏ và cầu đen” Số phần tử biến cố A là n( A) = C36 · C24 · C12 n( A) 20 Xác suất biến cố A là P ( A) = = n(Ω) 77  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 243 VÍ DỤ Cho hộp đựng 12 viên bi, đó có viên bi đỏ, viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên lần viên bi Tính xác suất trường hợp Lấy viên bi màu đỏ ĐS: 44 Lấy ít viên bi màu đỏ ĐS: 11 L Lời giải Xác suất lấy viên bi màu đỏ Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C312 = 220 Gọi A là biến cố “Lấy viên bi màu đỏ” Số phần tử biến cố A là n( A) = C37 = 35 n( A) Xác suất biến cố A là P ( A) = = n(Ω) 44 Xác xuất lấy ít viên bi màu đỏ Gọi B là biến cố “Lấy ít hai viên bi màu đỏ” Số phần tử biến cố B là n( B) = C37 + C27 · C15 = 140 n( B) = Xác suất biến cố B là P ( B) = n(Ω) 11  VÍ DỤ Một hộp chứa các cầu kích thước khác gồm cầu đỏ, cầu xanh và cầu vàng Chọn ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để hai cầu 11 chọn là khác màu ĐS: 17 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C218 = 153 Gọi A là biến cố “Hai cầu chọn không cùng màu” Biến cố đối
A A là “2 viên bi lấy cùng màu” Ta có n A = C23 + C26 + C29 = 54

n A 11 = Xác suất biến cố A là P ( A) = − n A = − n (Ω) 17 ! Có thể tính trực tiếp n ( A) = C13 · C16 + C13 · C19 + C19 · C16  VÍ DỤ Một hộp đựng 15 viên bi, đó có viên bi xanh và viên bi đỏ Lấy ngẫu 12 nhiên viên bi Tính xác suất để viên bi lấy có ít viên bi đỏ ĐS: 13 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C315 = 455 Gọi A là biến cố “Có ít viên bi màu đỏ lấy” 244 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Biến cố đối A là A “3
viên bi lấy màu xanh” Số phần tử A là n A = C37 = 35
n A 12 Xác suất biến cố A là P ( A) = − = n(Ω) 13  VÍ DỤ Một hộp đựng 20 viên bi, đó có viên bi xanh và viên bi đỏ và viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất các trường hợp viên bi lấy có đúng màu ĐS: 297 8398 viên bi lấy có đủ màu ĐS: 8101 8398 L Lời giải Xác suất viên bi lấy có đúng màu Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C920 = 167960 Gọi A là biến cố “9 viên bi lấy có đúng hai màu” Do số viên bi các màu nhỏ nên ta có + Số cách lấy viên có đúng hai màu xanh - đỏ là C915 + Số cách lấy viên có đúng hai màu xanh - vàng là C912 + Số cách lấy viên có đúng hai màu đỏ - vàng là C913 Do đó số phần tử biến cố A là n( A) = C915 + C913 + C912 = 5940 n( A) 297 Xác suất biến cố A là P ( A) = = n (Ω) 8398 Xác suất viên bi lấy có đủ màu Gọi B là biến cố “9 viên bi lấy có đủ màu” Do số viên bi các màu nhỏ nên không thể xảy trường hợp viên màu Do đó số phần tử B là n ( B) = n (Ω) − n ( A) = 162020 8101 n( B) = Xác suất B là P ( B) = n (Ω) 8398  F BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Một hộp chứa 11 viên bi đánh số thứ tự từ đến 11 Chọn viên bi cách ngẫu nhiên cộng các số trên viên bi rút với Tính xác suất để kết thu là 118 số lẻ ĐS: 231 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C611 Gọi m, n là số thẻ có ghi số chẵn, số thẻ có ghi số lẻ chọn Ta có m + n = Do tổng các số trên thẻ là số lẻ nên cặp (m; n) ∈ {(1; 5), (3; 3), (5; 1)} Gọi A là biến cố “Tổng số ghi trên thẻ là số lẻ” Ta có n( A) = C15 · C56 + C35 · C36 + C55 · C16 = 236 n( A) 118 Xác suất cần tính =  n(Ω) 231 BÀI Từ hộp chứa viên bi xanh, viên bi đỏ, viên bi vàng, lấy ngẫu nhiên viên bi Tính xác suất các biến cố BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 245 A: “hai viên bi lấy cùng màu xanh” ĐS: C: “hai viên bi lấy cùng màu” B: “hai viên bi lấy cùng màu đỏ ” ĐS: ĐS: D: “hai viên bi lấy khác màu” 18 12 ĐS: 13 18 Lời giải A: “hai viên bi lấy cùng màu xanh” Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C29 Số phần tử A là n( A) = C24 n( A) = Xác suất biến cố A là P( A) = n(Ω) B: “hai viên bi lấy cùng màu đỏ ” Số phần tử B là n( B) = C23 Xác suất biến cố B là P ( B) = n( B) = n (Ω) 12 C: “hai viên bi lấy cùng màu” Ta có n(C ) = C24 + C23 + C22 = 10 n(C ) = Xác suất C là P (C ) = n(Ω) 18 D: “hai viên bi lấy khác màu” Biến cố đối D là “Hai bi lấy cùng màu” Suy xác suất biến cố D là P( D ) = − P (C ) = 13 18  BÀI Từ hộp 13 bóng đèn, đó có bóng hỏng, lấy ngẫu nhiên bóng khỏi hộp Tính xác suất cho Có nhiều hai bóng hỏng ĐS: 84 143 Có ít bóng không hỏng ĐS: 427 429 Lời giải Xác suất có nhiều hai bóng hỏng lấy Số phần tử không gian mẫu n (Ω) = C513 Gọi A là biến cố “Có nhiều hai bóng hỏng lấy” Số phần tử biến cố A là C16 · C47 + C37 · C26 + C06 · C57 = 756 n( A) 84 Xác suất biến cố A là P( A) = = n(Ω) 143 Có ít bóng không hỏng Gọi B là biến cố “Có ít bóng hỏng lấy bóng lấy ra” Biến cố đối B là B: “Cả
bóng hỏng” Số phần tử B là n B = C56
n B 427 Xác suất B là P ( B) = − B = − = n(Ω) 429  246 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI Trong hộp có viên bi đỏ và viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi từ hộp trên 916 Tính xác suất để viên bi lấy có bi xanh và bi đỏ ĐS: 1001 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n(Ω) = C414 Số phần tử biến cố A: “4 viên bi lấy có bi xanh, bi đỏ” là n( A) = C414 − C48 − C46 = 916 Xác suất biến cố A là P( A) = 916 n( A) = n(Ω) 1001  BÀI Trong hộp có bi đỏ, bi vàng và bi trắng Lấy ngẫu nhiên hộp viên bi 48 Tính xác suất để viên bi lấy không đủ màu ĐS: 91 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C415 Gọi A là biến cố “4 viên bi lấy có đủ màu” Trường hợp 1: Có đúng bi đỏ, số cách lấy là C16 · C25 · C14 + C16 · C15 · C24 = 420 Trường hợp 2: Có đúng bi đỏ chọn, số cách lấy là C26 · C15 · C14 = 300 Số phần tử biến cố A là n( A) = 720 48 n( A) = Xác suất biến cố A là P ( A) = n(Ω) 91 ! Có thể giải bài toán cách gián tiếp Biến cố đối A là “Bốn viên bi chọn có đúng màu đúng hai màu” Điều đó có nghĩa ta đếm số cách chọn bi có đúng màu; số cách chọn bi có đúng hai màu Cách giải này thể ưu điểm số bị chọn lớn  BÀI Một hộp chứa viên bi trắng, viên bi đỏ và viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp 16 viên bi Tính xác suất để viên bi chọn có đủ màu và số bi đỏ nhiều ĐS: 91 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C415 Gọi A là biến cố: “4 viên bi chọn có đủ màu và số bi đỏ là nhiều nhất” Số bi đỏ nhiều và bi chọn đủ ba màu có đúng bi đỏ chọn Do đó, số phần tử biến cố A là n( A) = C25 · C16 · C16 = 240 16 n( A) Xác suất biến cố A là P( A) = =  n(Ω) 91 BÀI Một hộp đựng viên bi xanh, viên bi đỏ và viên bi vàng Lấy ngẫu nhiên viên bi từ 35 hộp Tính xác suất để bi lấy có đủ màu và số bi xanh số bi đỏ ĐS: 132 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là n (Ω) = C512 Gọi A là biến cố “5 viên bi lấy có đủ màu và số bi xanh số bi đỏ” Biến cố A xảy các trường hợp Trường hợp 1: bi đỏ, bi xanh và bi vàng chọn Số cách chọn là C13 · C14 · C35 = 120 Trường hợp 2: bi đỏ, bi xanh và bi vàng chọn Số cách chọn là C23 · C24 · C15 = 90 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ Số phần tử biến cố A là 120 + 90 = 210 n( A) 35 Xác suất biến cố A là P( A) = = n (Ω) 132 247  BÀI Cho hai hộp bi, hộp thứ có viên bi đỏ và viên bi trắng Hộp thứ hai có viên bi đỏ và viên bi trắng Chọn ngẫu nhiên hộp viên Tính xác suất để hai viên bi chọn 10 có cùng màu ĐS: 21 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C17 · C16 = 42 Gọi A là biến cố: "Hai viên bi chọn có cùng màu" Trường hợp 1: Hai bi chọn là màu đỏ: C14 · C12 = Trường hợp 2: Hai bi chọn là màu trắng: C13 · C14 = 12 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C14 · C12 + C13 · C14 = 20 10 n( A) =  Vậy P( A) = n(Ω) 21 BÀI Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta đã gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, sữa dâu và sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm lấy ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp chọn có loại ĐS: 11 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C312 = 220 Gọi A là biến cố: "3 hộp chọn có loại" Số phần tử biến cố A là: n( A) = C15 · C14 · C13 = 60 n( A) =  Vậy P( A) = n(Ω) 11 G BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 10 Trong lô hàng có 12 sản phẩm khác nhau, đó có đúng phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng đó Hãy tính xác suất để sản phẩm lấy có không quá 17 phế phẩm ĐS: 22 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C612 = 924 Gọi A là biến cố: "6 sản phẩm lấy có không quá phế phẩm" Trường hợp 1: sản phẩm lấy không có phế phẩm nào: C610 = 210 Trường hợp 2: sản phẩm lấy có đúng phế phẩm: C12 · C510 = 504 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C610 + C12 · C510 = 714 n( A) 17 Vậy P( A) = =  n(Ω) 22 BÀI 11 Trong đợt kiểm tra chất lượng sản xuất sản phẩm tiêu dùng, đoàn tra lấy ngẫu nhiên sản phẩm từ lô hàng công ty để kiểm tra Tính xác suất để đoàn tra lấy ít phế phẩm Biết lô hàng đó có 100 sản phẩm, đó có 95 chính phẩm 357319 và phế phẩm ĐS: 18821880 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C5100 = 75287520 Gọi A là biến cố: "5 sản phẩm lấy có ít phế phẩm" Suy biến cố đối A là biến cố "5 sản phẩm lấy có không quá phế phẩm" Trường hợp 1: sản phẩm lấy không có phế phẩm nào: C595 = 57940519 Trường hợp 2: sản phẩm lấy có đúng phế phẩm: C15 · C495 = 15917725 248 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số phần tử biến cố A là: n( A) = C595 + C15 · C495 = 73858244 n( A) 357319 Vậy P( A) = − P( A) = − = n(Ω) 18821880  BÀI 12 Một đơn vị vận tải có 10 xe ô tô đó có xe tốt Họ điều động ngẫu nhiên xe 29 công tác Tính xác suất cho xe điều động phải có ít xe tốt ĐS: 30 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C310 = 120 Gọi A là biến cố: "3 xe điều động phải có ít xe tốt" Suy biến cố đối A là biến cố "3 xe điều động không có xe tốt nào" Số phần tử biến cố A là: n( A) = C34 = n( A) 29 Vậy P( A) = − P( A) = − =  n(Ω) 30 BÀI 13 Trên giá sách có sách toán học, Vật lý và Hóa học Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất cho: ít Toán học có đúng Vật lý ĐS: ĐS: 92 99 56 165 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C412 = 495 Gọi A là biến cố: "Lấy ngẫu nhiên sách cho có ít Toán học" Biến cố đối A là biến cố "Lấy ngẫu nhiên sách cho không có Toán học nào" Số phần tử biến cố A là: n( A) = C47 = 35 n( A) 92 = Vậy P( A) = − P( A) = − n(Ω) 99 Gọi B là biến cố: "Lấy ngẫu nhiên sách cho có đúng Vật lý" Số phần tử biến cố B là: n( B) = C24 · C28 = 168 56 n( B) Vậy P( B) = = n(Ω) 165  BÀI 14 Trên kệ sách có 12 sách khác nhau, gồm tiểu thuyết, truyện tranh và truyện cổ tích Lấy ngẫu nhiên từ kệ sách Tính xác suất cho cho lấy: đôi khác loại ĐS: 12 55 đúng cùng loại ĐS: 37 55 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu Ta có n(Ω) = C312 = 220 Gọi A là biến cố "Lấy ngẫu nhiên cho sách đôi khác loại" Số phần tử biến cố A là: n( A) = C14 · C16 · C12 = 48 n( A) 12 Vậy P( A) = = n(Ω) 55 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 249 Gọi B là biến cố "Lấy ngẫu nhiên sách cho có đúng cùng loại" Trường hợp 1: tiểu thuyết, truyện tranh truyện cổ tích: C24 · C18 = 48 Trường hợp 2: truyện tranh, tiểu thuyết truyện cổ tích: C26 · C16 = 90 Trường hợp 3: truyện cổ tích, tiểu thuyết truyện tranh: C22 · C110 = 10 Số phần tử biến cố B là: n( B) = C24 · C18 + C26 · C16 + C22 · C110 = 148 37 n( B) = Vậy P( B) = n(Ω) 55  BÀI 15 Một ngân hàng đề thi gồm có 20 câu hỏi Mỗi đề thi gồm có câu lấy ngẫu nhiên từ ngân hàng đề thi Thí sinh A đã học thuộc 10 câu ngân hàng đề thi Tìm xác suất để thí 229 sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có ít câu đã học thuộc ĐS: 323 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C420 = 4845 Gọi B là biến cố: "Thí sinh A rút ngẫu nhiên đề thi có ít câu đã học" Trường hợp 1: Thí sinh A rút câu đã học thuộc: C210 · C210 = 2025 Trường hợp 2: Thí sinh A rút câu đã học thuộc: C310 · C110 = 1200 Trường hợp 3: Thí sinh A rút câu đã học thuộc: C410 = 210 Số phần tử biến cố B là: n( B) = C210 · C210 + C310 · C110 + C410 = 3435 229 n( B) =  Vậy P( B) = n(Ω) 323 BÀI 16 Mỗi đề thi gồm câu lấy ngẫu nhiên từ 15 câu hỏi ngân hàng đề thi gồm 15 câu hỏi Bạn Thủy đã học thuộc câu ngân hàng đề thi Tính xác suất để bạn Thủy rút 10 ngẫu nhiên đề thi có ít câu đã thuộc ĐS: 13 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C415 = 1365 Gọi A là biến cố "Bạn Thủy rút ngẫu nhiên đề thi có ít câu đã thuộc" Trường hợp 1: Bạn Thủy rút câu đã học thuộc: C28 · C27 = 588 Trường hợp 2: Bạn Thủy rút câu đã học thuộc: C38 · C17 = 392 Trường hợp 3: Bạn Thủy rút câu đã học thuộc: C48 = 70 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C28 C27 + C38 C17 + C48 = 1050 10 n( A) Vậy P( A) = =  n(Ω) 13 BÀI 17 Đề cương ôn tập cuối năm môn Lịch sử 12 có 40 câu hỏi khác Đề thi kiểm tra học kỳ gồm câu hỏi 40 câu hỏi đó Một học sinh học 20 câu đề cương ôn tập Giả sử các câu hỏi đề cương có khả chọn làm câu hỏi thi Tính xác suất để ít có câu hỏi đề thi kiểm tra học kỳ nằm số 20 câu hỏi mà em học sinh đã học ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C340 = 9880 Gọi A là biến cố "ít có câu hỏi đề thi kiểm tra học kỳ nằm số 20 câu hỏi mà em học sinh đã học" Trường hợp 1: Rút câu hỏi số 20 câu đã học: C220 · C120 = 3800 Trường hợp 2: Rút câu hỏi số 20 câu đã học: C320 = 1140 250 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số phần tử biến cố A là: n( A) = C220 C120 + C320 = 4940 n( A) Vậy P( A) = = n(Ω)  BÀI 18 Một đề thi toán học sinh giỏi lớp 12 mà đề gồm câu, chọn từ 15 câu dễ, 10 câu trung bình và câu khó Một đề thi gọi là “Tốt” đề thi có câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít Lấy ngẫu nhiên đề thi đề trên Tìm 625 xác suất để đề thi lấy là đề thi “Tốt” ĐS: 1566 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C530 = 142506 Gọi A là biến cố "đề thi lấy là đề thi Tốt" Vì đề thi Tốt có câu dễ, trung bình và khó, đồng thời số câu dễ không ít nên ta có các trường hợp sau đây thuận lợi cho biến cố A Trường hợp 1: Đề thi gồm câu dễ, trung bình, khó: C315 · C110 C15 = 22750 Trường hợp 2: Đề thi gồm câu dễ, trung bình, khó: C215 · C210 C15 = 23625 Trường hợp 3: Đề thi gồm câu dễ, trung bình, khó: C215 · C110 C25 = 10500 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C315 C110 C15 + C215 C210 C15 + C215 C110 C25 = 56875 625 n( A) =  Vậy P( A) = n(Ω) 1566 BÀI 19 Trong kì thi THPT Quốc Gia, Khoa làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời, đó có phương án đúng, trả lời đúng câu 0, điểm Khoa trả lời hết các câu hỏi và chắn đúng 45 câu, câu còn lại Khoa chọn ngẫu 53 nhiên Tính xác suất để điểm thi Hóa Khoa không 9, điểm ĐS: 512 Lời giải Bạn Khoa không 9, điểm và câu trả lời ngẫu nhiên, khoa trả lời đúng ít câu Xác suất trả lời đúng câu là 0, 25, trả lời sai là 0, 75 45 Xác suất Khoa trả lời đúng câu trên câu là: C35 (0, 25)3 (0, 75)2 = 512 15 Xác suất Khoa trả lời đúng câu trên câu là: C45 (0, 25)4 (0, 75) = 1024 Xác suất Khoa trả lời đúng câu là: C55 (0, 25)5 = 1024 Vậy xác suất Khoa không 9, điểm là: C35 (0, 25)3 (0, 75)2 + C45 (0, 25)4 (0, 75) + C55 (0, 25)5 = 53 512  { DẠNG 4.2 Chọn xếp người H LÍ THUYẾT BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ I 251 VÍ DỤ VÍ DỤ Một lớp có 30 học sinh, đó có em giỏi, 15 em khá và em trung bình Chọn ngẫu nhiên em dự đại hội Tính xác suất để: Cả em là học sinh giỏi ĐS: Có ít học sinh giỏi 145 ĐS: Không có học sinh trung bình ĐS: 18 29 253 580 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C330 = 4060 Gọi A là biến cố: "Cả em chọn là học sinh giỏi", ta có n( A) = C38 = 56 Vậy xác suất biến cố A là: P( A) = n( A) = n(Ω) 145 Gọi B là biến cố: "Trong em chọn có ít học sinh giỏi" Suy B là biến cố "Trong em chọn không có học sinh giỏi", ta có n( B) = C322 = 1540 18 n( B) = Vậy xác suất biến cố B là: P( B) = − P( B) = − n(Ω) 29 Gọi C là biến cố: "Trong em chọn không có học sinh trung bình", ta có n(C ) = C323 = 1771 Vậy xác suất biến cố C là: P(C ) = 253 n(C ) = n(Ω) 580  VÍ DỤ Một đội ngũ cán khoa học gồm nhà toán học nam, nhà vật lý nữ và nhà hóa học nữ Chọn từ đó người công tác Tính xác suất người chọn phải có nữ và có đủ ba môn ĐS: L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C416 = 1820 Gọi A là biến cố: "Trong người chọn phải có nữ và có đủ ba môn" Trường hợp 1: Số cách chọn người đó có nhà toán học, nhà vật lý, nhà hóa học là: C28 · C15 · C13 = 420 Trường hợp 2: Số cách chọn người đó có nhà toán học, nhà vật lý, nhà hóa học là: C18 · C25 · C13 = 240 Trường hợp 3: Số cách chọn người đó có nhà toán học, nhà vật lý, nhà hóa học là: C18 · C15 · C23 = 120 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C28 · C15 · C13 + C18 · C25 · C13 + C18 · C15 · C23 = 780 n( A) Vậy P( A) = =  n(Ω) 252 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT VÍ DỤ Một lớp có 20 nam sinh và 15 nữ sinh Giáo viên gọi ngẫu nhiên học sinh lên 4615 bảng giải bài tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam và nữ ĐS: 5236 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C435 = 52360 Gọi A là biến cố: "4 học sinh gọi lên bảng có nam và nữ" Trường hợp 1: Số cách chọn bạn lên bảng đó có học sinh nam, học nữ là: C320 · C115 17100 Trường hợp 2: Số cách chọn bạn lên bảng đó có học sinh nam, học nữ là: C220 · C215 19950 Trường hợp 3: Số cách chọn bạn lên bảng đó có học sinh nam, học nữ là: C120 · C315 9100 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C320 C115 + C220 C215 + C120 · C315 = 46150 n( A) 4615 Vậy P( A) = = n(Ω) 5236 = = =  VÍ DỤ Một đội văn nghệ có 15 người gồm nam và nữ Chọn ngẫu nhiên người 12 hát đồng ca Tính xác suất để người chọn có số nữ nhiều số nam ĐS: 143 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C815 = 6435 Gọi A là biến cố: "8 người chọn có số nữ nhiều số nam" Trường hợp 1: học sinh nam và học sinh nữ chọn: C29 · C66 = 36 Trường hợp 2: học sinh nam và học sinh nữ chọn: C39 · C56 = 504 Số phần tử biến cố A là n( A) = C29 · C66 + C39 · C56 = 540 12 n( A) = Vậy P( A) = n(Ω) 143  VÍ DỤ Cần chọn ngẫu nhiên học sinh lớp học có 15 nam và 10 nữ để tham gia đồng diễn Tính xác suất cho học sinh chọn có nam lẫn nữ và số học sinh 325 nữ ít số học sinh nam ĐS: 506 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C525 = 53130 Gọi A là biến cố: "5 học sinh chọn có nam lẫn nữ và số học sinh nữ ít số học sinh nam" Trường hợp 1: học sinh nữ và học sinh nam chọn: C110 · C415 = 13650 Trường hợp 2: học sinh nữ và học sinh nam chọn: C210 · C315 = 20475 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C110 · C415 + C210 · C315 = 34125 n( A) 325 Vậy P( A) = =  n(Ω) 506 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ J 253 BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Một chi đoàn có 15 đoàn viên, đó có nam và nữ Người ta chọn người chi đoàn đó để lập đội niên tình nguyện Tính xác suất cho người 38 chọn có ít nữ ĐS: 39 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C415 = 1365 Gọi A là biến cố: "4 người chọn có ít nữ" Suy biến cố đối A là biến cố: "4 người chọn không có nữ nào" Số phần tử biến cố A là: n( A) = C47 = 35 n( A) 38 Vậy P( A) = − P( A) = − =  n(Ω) 39 BÀI Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ Thầy giáo chủ nhiệm chọn học sinh để lập tốp ca chào mừng ngày 22 tháng 12 Tính xác suất cho tốp ca có ít 2273 học sinh nữ ĐS: 2387 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C535 = 324632 Gọi A là biến cố: "5 người chọn có ít nữ" Suy biến cố đối A là biến cố:"5 người chọn không có nữ nào" Số phần tử biến cố A là: n( A) = C520 = 15504 2273 n( A) =  Vậy P( A) = − P( A) = − n(Ω) 2387 BÀI Một đội văn nghệ trường THPT Năng Khiếu gồm học sinh nữ và 10 học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh đội văn nghệ để lập tốp ca Tính xác suất để tốp ca có ít 82 học sinh nữ ĐS: 143 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C815 = 6435 Gọi A là biến cố: "có ít học sinh nữ chọn" Suy biến cố đối A là biến cố:"có không quá học sinh nữ chọn" Trường hợp 1: không có học sinh nữ nào chọn: C810 = 45 Trường hợp 2: học sinh nữ và học sinh nam chọn: C15 · C710 = 600 Trường hợp 3: học sinh nữ và học nam chọn: C25 · C610 = 2100 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C810 + C15 · C710 + C25 · C610 = 2745 n( A) 82 =  Vậy P( A) = − P( A) = − n(Ω) 143 BÀI Một tổ có 11 học sinh, đó có nam và nữ Giáo viên chọn học sinh làm trực tuần 281 Tính xác suất để chọn nhiều học sinh nam ĐS: 462 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C511 = 462 Gọi A là biến cố "5 học sinh chọn có nhiều học sinh nam" Trường hợp 1: không có học sinh nam nào chọn: C56 = Trường hợp 2: học sinh nam và học sinh nữ chọn: C15 · C46 = 75 Trường hợp 3: học sinh nam và học nữ chọn: C25 · C36 = 200 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C56 + C15 · C46 + C25 · C36 = 281 n( A) 281 =  Vậy P( A) = n(Ω) 462 254 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI Trong kì thi thử TN THPT QG lần I năm 2017 trường THPT X có 13 học sinh đạt điểm 9, môn Toán, đó khối 12 có học sinh nam và học sinh nữ, khối 11 có học sinh nam Chọn ngẫu nhiên học sinh để trao thưởng, tính xác suất để học sinh chọn có nam và nữ, có khối 11 và khối 12 ĐS: 286 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C313 = 286 Gọi A là biến cố "3 học sinh chọn có nam và nữ, có khối 11 và khối 12" Trường hợp 1: học sinh nam khối 11 và học sinh nữ khối 12: C12 · C23 = Trường hợp 2: học sinh nam khối 11 và học sinh nữ khối 12 chọn: C22 · C13 = Số phần tử biến cố A là: n( A) = C12 · C23 + C22 · C13 = n( A) Vậy P( A) = =  n(Ω) 286 BÀI Tổ có học sinh nam và học sinh nữ Tổ hai có học sinh nam và học sinh nữ Chọn ngẫu nhiên tổ học sinh làm nhiệm vụ Tính xác suất cho chọn hai học 26 sinh có nam và nữ ? ĐS: 49 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu: n(Ω) = C17 · C17 = 49 Gọi A là biến cố: "Hai học sinh chọn có nam và nữ, có tổ và tổ hai " Trường hợp 1: học sinh nam tổ và học sinh nữ tổ hai: C13 · C12 = Trường hợp 2: học sinh nữ tổ và học sinh nam tổ hai: C14 · C15 = 20 Số phần tử biến cố A là: n( A) = C13 · C12 + C14 · C15 = 26 26 n( A) =  Vậy P( A) = n(Ω) 49 BÀI Trong tổ lớp 12A có 12 học sinh gồm có học sinh nam và học sinh nữ, đó có A (nam) là tổ trưởng và B (nữ) là tổ phó Chọn ngẫu nhiên học sinh tổ để tham gia hoạt động tập thể trường nhân dịp ngày thành lập Đoàn 26 tháng Tính xác suất để cho nhóm học sinh chọn có học sinh nam và học sinh nữ, đó phải có bạn A bạn B 85 không có hai ĐS: P = 396 Lời giải Không gian mẫu là |Ω| = C512 Ta xét hai trường hợp xảy cho yêu cầu bài toán là TH1: Có bạn A không có bạn B, đó ta cần chọn thêm học sinh nam và học sinh nữ Vậy có C26 × C24 cách chọn TH1: Có bạn B không có bạn A, đó ta cần chọn thêm học sinh nam và học sinh nữ Vậy có C36 × C14 cách chọn Vậy số cách chọn để yêu cầu bài toán thỏa mãn là |Ω A | = C26 × C24 + C36 × C14 = 170 170 85 Vậy ta suy xác suất cần tìm là P = = 396 C12  BÀI Một đồn cảnh sát gồm có người, đó có trung tá An và Bình Trong nhiệm vụ cần huy động đồng chí thực nhiệm vụ địa điểm C, đồng chí thực nhiệm vụ địa điểm D và đồng chí còn lại trực đồn Tính xác suất cho hai trung tá An và Bình không 13 cùng khu vực làm nhiệm vụ ĐS: P = 18 Lời giải Số cách chia người làm việc ba địa điểm là C39 × C26 × C44 Xét tình hai trung tá An và Bình cùng làm việc địa điểm, ta có ba trường hợp BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 255 TH1: An và Bình cùng làm việc địa điểm C, ta có C17 × C26 × C44 TH2: An và Bình cùng làm việc địa điểm D, ta có C37 × C44 TH3: An và Bình cùng làm việc địa điểm E, ta có C37 × C24 × C22 Vậy xác suất để phân công nhiệm vụ cho An và Bình không làm chung địa điểm là P = 1− C17 × C26 × C44 + C37 × C44 + C37 × C24 × C22 13 = 18 C39 × C26 × C44  BÀI Bốn bạn nam và bốn bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành hàng ngang, bạn có hai bạn tên An và Bình Tìm xác suất cho Nam nữ ngồi xen kẽ 35 ĐS: P1 = Đầu ghế và cuối ghế bắt buộc phải là nam ĐS: P5 = Tất các bạn nữ không ngồi cạnh ĐS: P4 = ĐS: 13 14 Các bạn nam luôn ngồi cạnh và các bạn nữ luôn ngồi cạnh ĐS: P6 = An và Bình luôn ngồi gần ĐS: P2 = 14 14 ĐS: P3 = Hai đầu ghế phải khác giới Bốn bạn nam luôn ngồi cạnh An và bình không ngồi cạnh 35 ĐS: P8 = P7 = Lời giải Số cách xếp chỗ cách tùy ý cho bạn là 8! cách Để các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ nhau, ta có × 4! × 4! cách, suy xác suất là P1 = × 4! × 4! = 8! 35 Xem bốn bạn nam là nhóm, ta xếp nhóm đó với các bạn nữ thì có 5! cách xếp Trong nhóm bốn bạn nam, có 4! cách đổi chỗ các bạn, nên có tổng cộng 5! × 4! cách xếp để bốn bạn 5! × 4! = nam luôn ngồi cạnh Suy xác suất là P2 = 8! 14 Để chọn hai bạn nam cho vị trí đầu và cuối, ta có A24 cách, xếp bạn còn lại vào các vị trí giữa, ta có 6! cách xếp Vậy có A24 × 6! cách, suy xác suất là P3 = A24 × 6! = 8! 14 Xem bốn bạn nữ là nhóm, ta xếp nhóm đó với các bạn nam thì có 5! cách xếp Trong nhóm bốn bạn nữ, có 4! cách đổi chỗ các bạn, nên có tổng cộng 5! × 4! cách xếp để bốn bạn nữ ngồi cạnh Suy xác suất để tất các bạn nữ không ngồi cạnh là 5! × 4! 13 P4 = − = 8! 14 Hai đầu ghế khác giới nên có hai trường hợp xảy ra, có × × cách xếp cho hai ghế đầu Các ghế còn lại có 6! cách xếp, nên có × × × 6! cách xếp × × × 6! = Suy xác suất là P5 = 8! 256 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Xem bốn bạn nam là nhóm, bốn bạn nữ là nhóm, xếp hai nhóm đó ta có 2! cách xếp, nhóm, có 4! cách xếp chỗ các thành viên đó, nên tổng cộng có 2! × 4! × 4! cách xếp 2! × 4! × 4! = Suy xác suất là P6 = 8! 35 Xem hai bạn An và Bình là nhóm, xếp nhóm đó chung với các bạn còn lại có 7! cách, sau đó hai bạn đổi chỗ với nên có 2! cách xếp Vậy tổng cộng có 7! × 2! cách xếp, suy 7! × 2! xác suất là P7 = = 8! Xem hai bạn An và Bình là nhóm, xếp nhóm đó chung với các bạn còn lại có 7! cách, sau đó hai bạn đổi chỗ với nên có 2! cách xếp Vậy tổng cộng có 7! × 2! cách xếp, suy 7! × 2! = xác suất để An và Bình không ngồi cạnh là P8 = − 8!  BÀI 10 Xếp ngẫu nhiên người đàn ông, người phụ nữ và đứa bé vào ngồi trên cái ghế xếp thành hàng ngang Tính xác suất cho Đứa bé ngồi hai người phụ nữ P1 = 15 ĐS: Đứa bé ngồi hai người đàn ông ĐS: P2 = Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho người là 6! cách Để đứa bé ngồi hai người phụ nữ, ta xem đứa bé và hai người phụ nữ là nhóm Ta xếp nhóm đó với người đàn ông, có 4! cách Trong nhóm em bé và phụ nữ, ta có 2! cách xếp vị trí cho hai người phụ nữ 4! × 2! = Vậy có 4! × 2! cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai phụ nữ là P1 = 6! 15 Để đứa bé ngồi hai người đàn ông, ta xem đứa bé và hai người đàn ông là nhóm Để chọn hai đàn ông đứng hai bên em bé, ta có A23 cách, xếp nhóm đó với người phụ nữ và người đàn ông còn lại, có 4! cách A2 × 4! Vậy có A23 × 4! cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai đàn ông là P2 = = 6!  K BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 11 Trong Thể dục, tổ I lớp 11A có 12 học sinh gồm học sinh nam và học sinh nữ tập trung ngẫu nhiên theo hàng dọc Tính xác suất để người đứng đầu hàng và cuối hàng là học sinh nam ĐS: P = 22 Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho 12 học sinh đó là 12! cách Để người đứng đầu hàng và cuối hàng là nam, ta có A27 cách chọn học sinh xếp vào hai vị trí đó Các học sinh còn lại xếp vào giữa, có 10! cách xếp A2 × 10! Suy xác suất để bài toán xảy là P = =  12! 22 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 257 BÀI 12 Đội tuyển học sinh giỏi trường THPT X có học sinh nam và học sinh nữ Trong buổi lễ trao phần thưởng, các học sinh trên xếp thành hàng ngang Tính xác suất để 14 xếp cho hai học sinh nữ không đứng cạnh ĐS: P = 55 Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho 12 học sinh đó là 12! cách Ta xếp học sinh nam vào hàng ngang, có 8! cách xếp Các học sinh nữ xếp vào các khe hỡ các bạn nam, có vị trí để các bạn nữ có thể đứng, nên có A49 cách xếp các bạn nữ 8! × A49 14 =  Suy xác suất để bài toán xảy là P = 12! 55 BÀI 13 Xếp ngẫu nhiên học sinh nam và học sinh nữ thành hàng ngang Tính xác suất để có học sinh nữ đứng cạnh ĐS: P = Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho học sinh đó là 5! cách Ta xem hai học sinh nữ là nhóm, xếp nhóm đó chung với các bạn nam, ta có 4! cách xếp Trong nhóm hai học sinh nữ, hai bạn có 2! cách để đổi chỗ cho 4! × 2! Suy xác suất để bài toán xảy là P = =  5! BÀI 14 Một tổ học sinh có em nữ và em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để 14 không có hai em nữ nào đứng cạnh nhau? ĐS: P = 143 Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho 13 học sinh đó là 13! cách Ta xếp học sinh nam vào hàng ngang, có 8! cách xếp Các học sinh nữ xếp vào các khe hỡ các bạn nam, có vị trí để các bạn nữ có thể đứng, nên có A59 cách xếp các bạn nữ 8! × A59 14 =  Suy xác suất để bài toán xảy là P = 13! 143 BÀI 15 Một tổ học sinh có em nữ và em nam xếp thành hàng dọc Tính xác suất để có hai em nữ A và B đứng cạnh nhau, còn các em nữ còn lại không đứng cạnh và không đứng cạnh A và B ĐS: P = 21 Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho học sinh đó là 9! cách Ta xếp học sinh nam vào hàng ngang, có 5! cách xếp Các học sinh nữ xếp vào các khe hỡ các bạn nam, có vị trí để các bạn nữ có thể đứng Xét hai bạn A và B là nhóm, ta có có A46 cách xếp các bạn nữ Ở vị trí nhóm hai bạn A và B đứng, hai bạn có 2! cách đổi chỗ cho nhau, nên có tất A46 × 2! cách xếp nữ thỏa yêu cầu bài toán 5! × A46 × 2! Suy xác suất để bài toán xảy là P = =  9! 21 BÀI 16 Xếp ngẫu nhiên người đàn ông, người đàn bà và đứa bé vào ngồi trên cái ghế xếp quanh bàn tròn Tính xác suất cho: Đứa bé ngồi hai người đàn bà P1 = 10 ĐS: Đứa bé ngồi hai người đàn ông ĐS: P2 = Lời giải Số cách xếp chỗ tùy ý cho người lên bàn tròn là 5! cách 10 258 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Để đứa bé ngồi hai người phụ nữ, ta xem đứa bé và hai người phụ nữ là nhóm Ta xếp nhóm đó với người đàn ông vào bàn tròn, có 3! cách Trong nhóm em bé và phụ nữ, ta có 2! cách xếp vị trí cho hai người phụ nữ 3! × 2! = Vậy có 3! × 2! cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai phụ nữ là P1 = 5! 10 Để đứa bé ngồi hai người đàn ông, ta xem đứa bé và hai người đàn ông là nhóm Để chọn hai đàn ông đứng hai bên em bé, ta có A23 cách, xếp nhóm đó với người phụ nữ và người đàn ông còn lại, có 3! cách A2 × 3! = Vậy có A23 × 3! cách, suy xác suất để đứa bé ngồi hai đàn ông là P = 5! 10  BÀI 17 Có bạn nam và bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn Tính xác suất cho nam, nữ ngồi xen kẽ ĐS: P = 126 Lời giải Số cách ngồi tùy ý 10 bạn là |Ω| = 9! Để xếp chỗ cho các bạn nam và nữ ngồi xen kẽ nhau, ta làm qua hai bước là Xếp bạn nam vào bàn tròn, ta có 4! cách xếp Để xếp các bạn nữ xen kẽ với các bạn nam, ta xếp các bạn nữ ngồi xen kẽ vào các bạn nam, vì có 5! cách xếp các bạn nữ 4! × 5! =  9! 126 BÀI 18 Trong giải cầu lông kỷ niệm ngày truyền thống học sinh – sinh viên có người tham gia, đó có hai bạn tên Việt và Nam Các vận động viên chia làm hai bảng A và B, bảng gồm người Giả sử việc chia bảng việc bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để hai bạn Việt và Nam nằm chung bảng đấu ĐS: P = Lời giải Số cách chia người thành hai bảng đấu cách tùy ý là C48 × C44 Để A và B cùng thuộc vào bảng đấu, ta làm các bước sau Vậy nên ta có 4! × 5! cách xếp thỏa bài toán, suy xác suất cần tìm là P = Chọn bảng đấu có A và B đó, ta có cách để chọn Trong bảng đã có A và B, chọn thêm hai người nữa, ta có C26 cách chọn Bốn người còn lại bảng còn lại nên có cách chọn Vậy có × C26 cách chia bảng để A và B thuộc cùng bảng đấu, suy xác suất là P = × C26 = C48 × C44  BÀI 19 Chuẩn bị đón tết Bính Thân 2016, đội niên tình nguyện trường THPT X gồm học sinh, đó có học sinh nữ chia thành tổ làm công tác vệ sinh môi trường nghĩa trang liệt sĩ huyện Tính xác suất để tổ có đúng nữ ĐS: P = 28 Lời giải Số cách chia ba nhóm làm việc là C39 × C36 × C33 cách Để chia việc thỏa mãn nhu cầu bài toán thì ta cần chia tổ hai bạn nam và bạn nữ Vậy nên có C26 × C13 × C24 × C12 × C22 × C11 cách, suy xác suất cần tìm là C26 × C13 × C24 × C12 × C22 × C11 P= = 3 28 C9 × C6 × C3 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 259  BÀI 20 Trong giải bóng truyền VTV Cup gồm 12 đội bóng tham dự, đó có đội nước ngoài và đội Việt Nam Ban tổ chức cho bốc thăm để chia thành bảng A, B, C, bảng đội 16 Tính xác suất để đội bóng Việt Nam bảng khác ĐS: P = 55 Lời giải Số cách chia 12 đội thành ba bảng đấu cách tùy ý là C412 × C48 × C44 Để ba đội bóng Việt Nam thuộc vào ba bảng đấu khác nhau, ta làm các bước sau Chia ba đội Việt Nam ba bảng đấu, ta có 3! cách chia Trong bảng chọn thêm ba đội nữa, ta có C39 × C36 × C33 cách chọn Vậy có 3! × C39 × C36 × C33 cách chia bảng để các đội Việt Nam thuộc ba bảng đấu khác nhau, suy 3! × C39 × C36 × C33 16 xác suất là P = =  4 55 C12 × C8 × C4 BÀI 21 Trong thi “Tìm kiếm tài Việt”, có 20 bạn lọt vào vòng chung kết, đó có bạn nữ và 15 bạn nam Để xếp vị trí thi đấu, ban tổ chức chia thành nhóm A, B, C, D, nhóm có bạn Việc chia nhóm thực cách bốc thăm ngẫu nhiên Tính xác suất để bạn nữ thuộc cùng nhóm ĐS: P = 3876 Lời giải Số cách chia 20 bạn thành bốn nhóm cách tùy ý là C520 × C515 × C510 × C55 Để bạn nữ cùng thuộc nhóm, ta làm các bước sau Ta có cách chọn nhóm cho bạn nữ Chọn thêm ba nhóm nữa, ta có C515 × C510 × C55 cách chọn Vậy có × C515 × C510 × C55 cách chia nhóm để các bạn nữ thuộc cùng nhóm, suy xác suất là × C515 × C510 × C55  P= = 5 3876 C20 × C15 × C10 × C5 BÀI 22 Để chuẩn bị tiêm phòng dịch Sởi – Rubella cho học sinh khối 11 và khối 12 Bệnh viện tỉnh A điều động 12 bác sỹ đến truờng THPT B để tiêm phòng dịch gồm bác sỹ nam và bác sỹ nữ Ban đạo chia 12 bác sỹ đó thành nhóm, nhóm bác sỹ làm công việc khác 16 Tính xác suất để chia ngẫu nhiên ta nhóm có đúng bác sỹ nữ ĐS: P = 55 Lời giải Số cách chia ba nhóm làm việc là C412 × C48 × C44 cách Để chia việc thỏa mãn nhu cầu bài toán thì ta cần chia tổ ba bác sĩ nam và bác sĩ nữ Vậy nên có C39 × C13 × C36 × C12 × C33 × C11 cách, suy xác suất cần tìm là P= C39 × C13 × C36 × C12 × C33 × C11 16 = 4 55 C12 × C8 × C4  BÀI 23 Trong giải thể thao cấp toàn quốc, có 17 thí sinh tham gia và đó có thí sinh nữ Ban tổ chức tiến hành chia thí sinh vào hai bảng A và B, bảng có thí sinh, còn lại thí sinh đặc cách vào vòng Tính xác suất để thí sinh đặc cách là nữ và thí sinh nữ còn lại nằm bảng A ĐS: P = 442 Lời giải Số cách chia bảng tùy ý là C817 × C89 Để yêu cầu bài toán xảy ra, ta thực các bước sau 260 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Chọn thí sinh đặc cách, ta có cách chọn Chọn thêm thí sinh cho bảng A, ta có C412 cách chọn Khi đó các thí sinh nam còn lại vào bảng B Vậy có × C412 × C412 cách chia nhóm thỏa bài toán, suy xác suất là P = = 442 C17 × C9  BÀI 24 Trong buổi giao lưu văn nghệ, có giáo viên Toán, giáo viên Văn, giáo viên Ngoại Ngữ đăng kí hát song ca Nhằm tạo không khí giao lưu thân mật, ban tổ chức tiến hành bốc thăm ngẫu nhiên chia thành cặp đánh số theo thứ tự từ đến Tính xác suất để cặp gồm giáo viên dạy khác môn ĐS: P = 945 Lời giải Số cách chia thành cặp tùy ý là C210 × C28 × C26 × C24 × C22 Để cặp là hai giáo viên khác môn thì giáo viên Toán hát chung với mốn khác Vậy có 5! cách chia giáo viên môn Văn và Ngoại Ngữ hát chung với giáo viên Toán 5!  Suy xác suất là P = = 2 2 945 C10 × C8 × C6 × C4 × C2 BÀI 25 Trong giải quần vợt quốc tế, có 16 vận động viên mà đó có vận động viên là các “hạt giống” số 1, 2, mùa giải Vận động viên X là số 16 vận động viên đó và không phải là hạt giống Ban tổ chức chia ngẫu nhiên các vận động viên vào bốn bảng A, B, C, D, và bảng có vận động viên Tính xác suất để X không chung bảng với bất kì vận động viên 41 hạt giống nào ĐS: P = 91 Lời giải Số cách chia bảng tùy ý là C416 × C412 × C48 × C44 Để yêu cầu bài toán xảy ra, ta thực các bước sau Ta có cách chọn bảng cho thí sinh X Chọn thêm thí sinh cho bảng thí sinh X, ta có C312 cách chọn Ta chia các vận động viên còn lại (có A, B, C, D) thành ba nhóm, có C412 × C48 ×44 cách chia Vậy có × C312 × C412 × C48 ×44 cách chia nhóm thỏa bài toán, suy xác suất là P= × C312 × C412 × C48 × C44 44 = 4 4 91 C16 × C12 × C8 × C4  BÀI 26 Một tàu điện gồm toa tiến vào sân ga, đó có 12 hành khách chờ lên tàu Giả sử hành khách lên tàu cách ngẫu nhiên và độc lập với nhau, toa còn ít 12 chổ trống Tìm xác suất xảy các tình sau Tất cùng lên toa thứ II P1 = ĐS: Tất cùng lên toa ĐS: P2 = 531441 Toa I có người, toa II có người, còn lại toa III 3080 ĐS: P3 = 59049 Hai hành khách A và B cùng lên toa ĐS: P5 = 177147 Toa I có người P4 = C412 × 28 312 ĐS: ≈ 0,238 Một toa người, toa người, toa người ĐS: P6 = 6160 19683 BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 261 Lời giải Số cách chọn toa để ngồi cách tùy ý các hành khách là 312 1 Để tất cùng lên toa thứ II, ta có đúng cách chọn, suy xác suất là P1 = 12 = 531441 3 Để tất cùng lên toa, ta có cách chọn, suy xác suất là P2 = 12 = 177147 3 Ta có C412 cách chọn hành khách cho toa I, có C58 cách chọn hành khách cho toa II, còn lại ngồi vào toa thứ III Vậy có C412 × C58 cách xếp chỗ, suy xác suất là P3 = C412 × C58 3080 = 12 59049 Ta có C412 cách chọn hành khách cho toa I, các hành khách còn lại ngồi tùy ý toa thứ II và thứ III nên có 28 cách chọn Vậy có C412 × 28 cách xếp chỗ, suy xác suất là P4 = C412 × 28 312 Để chọn toa cho hai hành khách A và B, ta có cách chọn Các hành khách còn lại lên tàu cách tùy ý nên có 310 cách chọn Suy xác suất là P5 = × 310 = 12 3 Để chia 12 người thành ba nhóm đề bài, ta có C412 × C58 × C33 Phân phối các nhóm C412 × C58 × C33 × 3! 6160 = người đó lên ba toa tàu, ta có 3! cách Suy xác suất là P6 = 12 19683  BÀI 27 Bốn bạn nam và bốn bạn nữ, xếp ngồi ngẫu nhiên vào ghế xếp thành hai dãy đối diện Tính xác suất cho Nam nữ ngồi đối diện ĐS: P1 = 35 Nữ ngồi đối diện ĐS: P2 = 35 Lời giải Xem hai dãy ghế đối diện là A1 , B1 , C1 , D1 và A2 , B2 , C2 , D2 Số cách xếp tùy ý bạn vào hai dãy ghế là 8! cách Vị trí A1 có cách chọn, suy vị trí A2 có cách chọn Vị trí B1 có cách chọn, suy vị trí B2 có cách chọn Vị trí C1 có cách chọn, suy vị trí C2 có cách chọn Vị trí D1 có cách chọn, suy vị trí D2 có cách chọn 8×4×6×3×4×2×2×1 = Vậy xác suất là P1 = 8! 35 Do nữ ngồi đối diện nên hai nam ngồi đối diện Chọn hai cặp vị trí đối diện cho nữ ngồi, ta có A24 cách, sau đó, ta có 4! cách xếp bạn nữ vào vị trí đó Ở các vị trí còn lại là dành cho nam, ta có 4! cách xếp bạn nam vào vị trí đó Vậy xác suất là P2 = A24 × 4! × 4! = 8! 35  262 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT { DẠNG 4.3 Chọn xếp số L LÍ THUYẾT • Một số kiến thức liên quan Cho m ∈ N, ta có m ⇔ chữ số hàng đơn vị m là chữa số chẵn Cho m ∈ N, ta có m ⇔ chữ số hàng đơn vị m Cho m ∈ N, ta có m ⇔ hai chữ số cuối tạo thành số chia hết cho Cho m ∈ N, ta có m ⇔ tổng các chữ số m chia hết cho Cho m ∈ N, ta có m ⇔ tổng các chữ số m chia hết cho Cho m ∈ N, ta có m 11 ⇔ tổng các chữ số hàng chẵn tổng các chữ số hàng lẻ (tính từ trái qua phải) i i i Cho m ∈ N, m phân tích thành thừa số nguyên tố dạng m = p11 p22 · · · pnn Khi đó ước số m ứng với ( j1 ; j2 ; ; jn ) đó ≤ j1 ≤ i1 ; ; ≤ jn ≤ in Số nghiệm nguyên dương phương trình x1 + x2 + · · · xn = m, (m, n ∈ N, n ≤ m) là Cnm−−11 Mỗi n số thực luôn có cách xếp thứ tự từ bé đến lớn 10 Cho n là số tự nhiên khác 0, tập số tự nhiên N phân lớp thành các tập: + X0 gồm các số chia m hết cho n, m = k · n, k ∈ N + X1 gồm các số tự nhiên m chia n dư 1, m = k · n + 1, k ∈ N + Xn−1 gồm các số tự nhiên m chia n dư n − 1, m = k (n − 1), k ∈ N M VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tập hợp A gồm tất các số tự nhiên có ba chữ số khác đôi lập từ các số 1; 2; 3; 4; 5; Chọn ngẫu nhiên phần tử A Tính xác suất để phần tử đó là số chẵn ĐS: P = L Lời giải BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 263 Gọi abc là số thuộc vào tập A, ta có A36 = 120 số Vậy số cách chọn tùy ý số từ tập A là 120 cách Gọi cde là các số chẵn thuộc vào tập A, ta có × A25 = 60 số 60 Suy xác suất để chọn số thỏa mãn bài toán là P = = 120  VÍ DỤ Gọi S là tập hợp tất các số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ các chữ số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác suất để chọn là số chẵn ĐS: P = L Lời giải Gọi abc là số thuộc vào tập S, ta có A37 = 210 số Vậy số cách chọn tùy ý số từ tập S là 210 cách Gọi cde là các số thỏa mãn yêu cầu bài toán và thuộc vào tập S, ta có × A26 = 90 số 90 = Suy xác suất để chọn số thỏa mãn bài toán là P = 210  VÍ DỤ Cho tập hợp A gồm tất các số tự nhiên có bốn chữ số đôi khác lập từ các số 0; 1; 2; 3; 4; 5; Chọn ngẫu nhiên từ A hai phần tử Tính xác suất để hai phần 175 tử lấy từ A có số chẵn và số lẻ ĐS: P = 719 L Lời giải Gọi abcd là số thuộc vào tập A, ta có × A36 = 720 số Vậy số cách chọn tùy ý hai số tùy ý từ tập A là A2720 cách Gọi cde là các số lẻ thuộc vào tập A, ta có × × A25 = 300 số, có 720 − 300 = 420 số chẵn tập A 300 × 420 175 Suy xác suất để chọn hai số thỏa mãn bài toán là P =  = 719 A720 VÍ DỤ Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn ĐS: P = 26 L Lời giải Số cách chọn tùy ý thẻ là C416 cách Do có số chẵn các số từ đế 16 nên để chọn thẻ đánh số chẵn, ta có C48 cách C4 Suy xác suất để chọn thẻ mang số chẵn là P = 48 = 26 C16 VÍ DỤ Gọi X là tập hợp các số gồm hai chữ số khác lấy từ 0; 1; 2; 3; 4; 5; Lấy ngẫu nhiên hai phần tử X Tính xác suất để hai số lấy là số chẵn ĐS: P = L Lời giải  264 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Gọi ab là số thuộc vào tập X, ta có × = 36 số Vậy số cách chọn tùy ý hai số từ tập X là C236 Gọi cd là các số chẵn thuộc vào tập X TH1: Số có dạng c0, ta có số TH2: Xét d 6= 0, ta có × = 15 số Vậy có + 15 = 21 số chẵn tập hợp X Suy xác suất để chọn hai số chẵn từ tập X là P = C221 = C36  VÍ DỤ Gọi S là tập hợp các số tự nhiên gồm có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ S Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng đơn vị và hàng chục là chữ số chẵn ĐS: P= L Lời giải Gọi ab là số thuộc vào tập S, ta có × 10 = 90 số Vậy số cách chọn tùy ý số từ tập S là 90 cách Gọi cd là các số thỏa mãn yêu cầu bài toán và thuộc vào tập S, ta có × = 20 số 20 Suy xác suất để chọn số thỏa mãn bài toán là P = = 90  VÍ DỤ Cho E là tập hợp các số có chữ số khác đôi lấy từ: 0, 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên phần tử E Tính xác suất để phần tử chọn là số có chữ số chẵn ĐS: 25 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên phần tử E” Gọi A là biến cố “số chọn là số có chữ số chẵn” Giả sử số có ba chữ số thuộc E có dạng abc, ta có a có cách chọn, b có cách chọn, c có cách chọn Do đó, số phần tử không gian mẫu là nΩ = · · = 100 Số chọn ( abc) có chữ số chẵn lấy từ các số {0, 2, 4} Do đó a có cách chọn, b có cách chọn và c có cách chọn Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · · = Suy ra, xác suất cần tìm là P( A) = nA = = nΩ 100 25 Vậy xác suất để chọn số có chữ số chẵn từ E là 25 VÍ DỤ Có 20 thẻ đựng hộp khác nhau, hộp chứa 10 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 10 Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp (mỗi hộp thẻ) Tính xác suất lấy hai thẻ có tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn ĐS:  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 265 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp (mỗi hộp thẻ)” Gọi A là biến cố “lấy hai thẻ có tích hai số trên hai thẻ là số chẵn” Để có thể lấy hai thẻ có tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn, ta có các trường hợp sau đây: Hai thẻ lấy là thẻ chẵn, có · = 25 (cách) Thẻ lấy hộp thứ là thẻ chẵn, hộp thứ hai là thẻ lẻ, có · = 25 (cách) Thẻ lấy hộp thứ là thẻ lẻ, hộp thứ hai là thẻ chẵn, có · = 25 (cách) Do vậy, số kết thuận lợi biến cố A là n A = 25 + 25 + 25 = 75 Lại có, số phần tử không gian mẫu là nΩ = 10 · 10 = 100 Suy ra, xác suất cần tìm: n 75 P( A) = A = = nΩ 100 Vậy xác suất để lấy hai thẻ có tích hai số ghi trên hai thẻ là số chẵn là  VÍ DỤ Một hộp gồm có thẻ đánh số liên tiếp từ đến Rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thứ tự), nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với Tính xác suất để kết 13 nhận là số chẵn ĐS: 18 L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “rút ngẫu nhiên hai thẻ (không kể thứ tự), nhân hai số ghi trên hai thẻ lại với nhau” Gọi A là biến cố “lấy hai thẻ có tích các số ghi trên hai thẻ là số chẵn” Ta có Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C29 = 36 Trong hai thẻ lấy ra, ta xét các trường hợp sau đây: Một thẻ lẻ và thẻ chẵn, có C15 · C14 = 20 (cách) Hai thẻ mang số chẵn, có C24 = (cách) Do vậy, số kết thuận lợi biến cố A là n A = 26 Suy ra, xác suất cần tìm là P( A) = nA 26 13 = = nΩ 36 18  VÍ DỤ 10 Gọi S là tất các số tự nhiên gồm chữ số khác lập từ 0, 1, 2, 3, 4, 5, Chọn ngẫu nhiên số từ tập S Tích xác suất để tích số chọn là số chẵn ĐS: L Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ tập S” Gọi A là biến cố “tích số chọn là số chẵn” Giả sử số có hai chữ số thuộc S có dạng ab Ta có: 266 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số phần tử S là nS = · = 36 Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C236 = 630 Số các số chẵn thuộc S (xét hai trường hợp b = và b 6= 0) là + · = 21 Số các số lẻ thuộc S là 36 − 21 = 15 Trong hai số chọn, ta xét các trường hợp sau: Có số chẵn và số lẻ, có C121 · C115 = 315 (cách) Có hai số chẵn, có C221 = 210 (cách) Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = 315 + 210 = 525 Xác suất cần tìm là P( A) = 525 nA = = nΩ 630  N BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Gọi S là tập hợp tất các số tự nhiên gồm chữ số đôi khác tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp S Tính xác suất để số 10 chọn chứa chữ số lẻ ĐS: 21 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ tập X” Khi đó, số phần tử không gian mẫu số cách đưa số vào chỗ nên nΩ = A69 = 60480 Gọi A là biến cố “số chọn chứa chữ số lẻ” Chọn số lẻ đôi từ các số 1, 3, 5, 7, có C35 (cách) Chọn số chẵn đôi khác từ các số 2, 4, 6, có C34 (cách) Sắp xếp các chữ số trên để số thỏa mãn biến cố A có 6! (cách) Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = C35 · C34 · 6! = 28800 Vậy xác suất cần tìm là P( A) = 28800 10 nA = = nΩ 60048 21  BÀI Cho 100 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 100, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để tổng các số ghi trên thẻ chọn là số chia hết cho ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba thẻ từ 100 thẻ” Khi đó: nΩ = C3100 = 161700 Gọi A là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chọn là số chia hết cho ® ≤ x, y, z ≤ 100 2” Gọi x, y, z là ba số ghi trên ba thẻ rút Khi đó x + y + z chia hết cho Từ đến 100 có 50 số chia hết cho ( N1 ), 50 số chia cho dư Ta xét các trường hợp sau: Cả số x, y, z cùng thuộc loại N1 có: C350 = 19600 (cách) Trong số x, y, z có số chia hết chia và số chia dư 1, có: C150 · C250 = 61250 (cách) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ ⇒ Số kết thuận lợi biến cố A là n A = 19600 + 61250 = 80850 80850 n = Vậy xác suất cần tìm là P( A) = A = nΩ 161700 267  BÀI Trong hộp có 40 thẻ đánh số từ đến 40, chọn ngẫu nhiên thẻ hộp Tính 127 xác suất để tổng số trên thẻ lấy là số chia hết cho ĐS: 380 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba thẻ từ 40 thẻ” Khi đó, số phần tử không gian mẫu là nΩ = C340 = 9880 Gọi A là biến cố “tổng các số ghi trên thẻ chọn là số chia hết cho 3” ® ≤ x, y, z ≤ 40 Gọi x, y, z là ba số ghi trên ba thẻ rút Khi đó x + y + z chia hết cho Từ đến 40 có 13 số chia hết cho ( N1 ), 14 số chia cho dư ( N2 ), 13 số chia cho dư (N3 ) Ta xét các trường hợp sau: Cả số x, y, z cùng thuộc loại N1 , N2 N3 có: C313 + C314 + C313 = 936 (cách) số x, y, z số thuộc loại, có: C113 · C114 · C113 = 2366 (cách) ⇒ Số kết thuận lợi biến cố A là n A = 936 + 2366 = 3302 n 3302 127 Vậy xác suất cần tìm là P( A) = A = = nΩ 9880 380  BÀI Trong hộp có 50 viên bi đánh số từ đến 50, chọn ngẫu nhiên viên bi hộp 796 Tính xác suất để tổng số trên viên bi chọn là số chia hết cho ĐS: 2450 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba viên bi từ 50 viên bi” Khi đó, số phần tử không gian mẫu là nΩ = C350 = 19600 Gọi A là biến cố “tổng các số ghi trên viên bi chọn là số chia hết cho 3” ® ≤ x, y, z ≤ 50 Gọi x, y, z là ba số ghi trên ba viên bi chọn Khi đó: x + y + z chia hết cho Từ đến 50 có 16 số chia hết cho ( N1 ), 17 số chia cho dư ( N2 ), 16 số chia cho dư (N3 ) Ta xét các trường hợp sau: Cả số x, y, z cùng thuộc loại N1 , N2 N3 có: C316 + C317 + C316 = 1800 (cách) số x, y, z số thuộc loại, có: C116 · C117 · C116 = 4352 (cách) ⇒ Số kết thuận lợi biến cố A là n A = 1800 + 4352 = 6152 n 6152 796 Vậy xác suất cần tính là P( A) = A = = nΩ 19600 2450  BÀI Gọi X là tập hợp các số tự nhiên gồm có chữ số khác đôi tạo thành từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên từ tập X số Hãy tính xác suất để lấy số tự nhiên từ tập X có tổng các chữ số 14 ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên từ tập X số”, gọi A là biến cố “số chọn có tổng các chữ số 14 Ta có Số phần tử tập X là A46 = 360 Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C1360 = 360 Để tổng các chữ số số chọn 14, ta có các số: {2, 3, 4, 5}, {1, 2, 5, 6}, {1, 3, 4, 6} Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = 4! + 4! + 4! = 72 268 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Xác suất cần tìm là P( A) = nA 72 = = nΩ 360  BÀI Chọn ngẫu nhiên số từ tập S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} Tính xác suất để tổng 14 số chọn 12 ĐS: 55 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên ba số từ tập S” Gọi A là biến cố “tổng các số được chọn là có tổng 12” Ta có: Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C311 = 165 Để tổng ba số chọn 12, ta có các số: {1, 2, 9}, {1, 3, 8}, {1, 4, 7}, {1, 5, 6}, {2, 3, 7}, {2, 4, 6}, {3, 4, 5} Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 3! = 42 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 42 14 = = nΩ 165 55  BÀI Cho tập hợp E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} và M là tập hợp tất các số gồm chữ số phân biệt thuộc tập E Lấy ngẫu nhiên số thuộc M Tính xác suất để tổng hai chữ số số chọn có giá trị lớn ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số thuộc M”, gọi A là biến cố “tổng hai chữ số số chọn lớn 7” Ta có: Số phần tử M là A26 = 30 Số phần tử không gian mẫu là C130 = 30 Để tổng các chữ số số chọn lớn 7, ta có các số: {2, 6}, {3, 5}, {3, 6}, {4, 5}, {4, 6}, {5, 6} Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 2! = 12 Xác suất cần tìm là P( A) = 12 nA = = nΩ 30  BÀI E là tập các số tự nhiên gồm chữ số khác lấy từ các số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} Lấy 13 ngẫu nhiên số E tính xác suất để lấy số chia hết cho ĐS: 49 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn số tự nhiên có chữ số lập từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}”, gọi A là biến cố “số chọn chia hết cho 5” Gọi số có chữ số thuộc E có dạng a1 a2 a3 a4 a5 Ta có: Số phần tử không gian mẫu là nΩ = A58 − A47 = 5880 Để số trên chia hết cho 5, ta có: – a5 là 5, a1 có cách chọn, a2 có cách chọn, a3 có cách chọn, a4 có cách chọn – a5 là 0, a1 có cách chọn, a2 có cách chọn, a3 có cách chọn, a4 có cách chọn Số kết thuận lợi biến cố A là · · · + · · · = 1560 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 1560 13 = = nΩ 5880 49  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 269 BÀI Gọi E là tập hợp số tự nhiên gồm chữ số phân biệt lập từ các số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên hai số khác thuộc tập E Tính xác suất để hai số chọn có đúng số có chữ số ĐS: 0,488 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên hai số tự nhiên có chữ số lập từ {1, 2, 3, 4, 5}”, gọi A là biến cố “hai số chọn có đúng số có chữ số 5” Gọi số có ba chữ số thuộc E có dạng a1 a2 a3 Ta có: Số phần tử E là A35 = 60 Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C260 = 1770 Chọn ba vị trí để đưa số vào có cách chọn Đưa số còn lại vào vị trí có A24 cách Do đó, có tất · A24 = 36 số thuộc E mà có mặt chữ số Để số có ba chữ số từ E là số không có mặt 5, ta có: a1 , a2 , a3 là các số thuộc {1, 2, 3, 4} Do đó, có tất A34 = 24 số Số kết thuận lợi biến cố A là C136 · C124 = 864 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 864 144 = = ≈ 0,488 nΩ 1770 295  BÀI 10 Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có ba chữ số đôi khác lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Tập E có bao nhiêu phần tử? Chọn ngẫu nhiên phần tử E, tính xác suất chọn chia hết cho ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số tự nhiên có chữ số khác lập từ {1, 2, 3, 4, 7}”, gọi A là biến cố “số chọn chia hết cho 3” Gọi số có ba chữ số thuộc E có dạng a1 a2 a3 Ta có: Số phần tử E là A35 = 60 Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C160 = 60 ® Gọi x, y, z là ba số số chọn thỏa mãn yêu cầu bài toán Khi đó x, y, z ∈ {1, 2, 3, 4, 7} x + y + z chia hết cho Ta có: Có số: {1, 2, 3}, {1, 4, 7}, {2, 3, 4}, {2, 3, 7} lập thành số có chữ số chia hết cho Đưa số vào ba chỗ a1 a2 a3 có 3! cách Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là · 3! = 24 Xác suất cần tìm là P( A) = O nA 24 = = nΩ 60  BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI 11 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Hãy tìm xác suất để có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho 10 ĐS: 0,148 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên 10 thẻ từ 30 đã cho”, gọi A là biến cố “có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho 10” Ta có: 270 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số phần tử không gian mẫu là C10 30 = 30045015 Trong 30 thẻ đã cho có 15 thẻ lẻ, 12 thẻ chẵn không chia hết cho 10, thẻ chẵn chia hết cho 10 Số kết thuận lợi biến cố A là C515 · C412 · C13 = 4459455 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 99 4459455 = ≈ 0,148 = nΩ 300450015 667  BÀI 12 Có 40 thẻ đánh số thứ tự từ đến 40 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tính xác suất để lấy thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho ĐS: 0,11 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên 10 thẻ từ 40 đã cho”, gọi A là biến cố “có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho 6” Ta có: Số phần tử không gian mẫu là C10 40 Trong 40 thẻ đã cho có 20 thẻ lẻ, 14 thẻ chẵn không chia hết cho 6, thẻ chẵn chia hết cho Số kết thuận lợi biến cố A là C520 · C414 · C16 Xác suất cần tìm là P( A) = C5 · C414 · C16 126 nA = 20 10 ≈ 0,11 = nΩ 1147 C40  BÀI 13 Có 20 thẻ đánh số liên tiếp từ đến 20 Chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho ĐS: 0,193 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên thẻ từ 20 đã cho”, gọi A là biến cố “có thẻ mang số lẻ, thẻ mang số chẵn đó có đúng thẻ mang số chia hết cho 4” Ta có: Số phần tử không gian mẫu là C520 = 15504 Trong 20 thẻ đã cho có 10 thẻ lẻ, thẻ chẵn không chia hết cho 4, thẻ chẵn chia hết cho Số kết thuận lợi biến cố A là C310 · C15 · C15 = 3000 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 3000 125 = = ≈ 0,193 nΩ 15504 646  BÀI 14 Gọi E là tập hợp các số có tám chữ số đôi khác Chọn ngẫu nhiên số từ tập E Tính xác suất để chọn số thuộc E và số đó chia hết cho ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử: “Chọn ngẫu nhiên số từ tập E” Gọi A là biến cố “số chọn chia hết cho 9” Ta có Số phần tử không gian mẫu là nΩ = · · · · · · = · 9! Do + + · · · + = 45 chia hết cho Do đó, để có số có chữ số đôi khác chia hết cho thì: BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 271 Trong 10 số từ đến cần bỏ số có tổng 9, cụ thể ta bỏ các cặp số: {0, 9}, {1, 8}, {2, 7}, {3, Có số có mặt chữ số 0, có · 7! số Bộ không có số là (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8) có 8! số Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · · 7! + 8! = 181440 nA 181440 = =  · 9! nΩ BÀI 15 Cho tập hợp X = {0, 1, 2, 4, 5, 7, 8} Ký hiệu G là tập hợp tất các số có bốn chữ số đôi khác lấy từ tập X, chia hết cho Lấy ngẫu nhiên số tập G, tính xác suất để lấy số không lớn 4000 ĐS: 11 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số tập G” Gọi A là biến cố “lấy số không lớn 4000” Gọi abcd là số có chữ số khác đôi lấy từ các chữ số trên và chia hết cho Ta có: Xác suất cần tìm là P( A) = Nếu d = thì abc có A36 = 120 cách chọn Nếu d = thì a có cách chọn, b có cách chọn và c có cách chọn ⇒ có 100 số Do đó, tập G có tất 220 số Giả sử abcd ∈ G và abcd ≤ 4000 Khi đó: a ∈ {1, 2, 3} nên có cách chọn d có cách chọn bc có A25 = 20 cách chọn Vậy nên có tất 120 số lấy từ G mà nhỏ 4000 Xác suất cần tìm là P( A) = 120 nA = = nΩ 220 11  BÀI 16 Gọi E là tập hợp tất các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ các số lập đó Tính xác suất để số chọn có chữ số hàng nghìn nhỏ ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ các số thuộc E” Gọi A là biến cố “số chọn có chữ số hàng nghìn nhỏ 5” Gọi số thỏa mãn bài toán có dạng abcd Ta có: Số phần tử không gian mẫu nΩ = A47 = 840 Số a ∈ {1, 2, 3, 4} nên có cách chọn Đưa số còn lại vào vị trí có A36 cách Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là · A36 = 480 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 480 = = nΩ 840  BÀI 17 Gọi E là tập hợp tất các số tự nhiên gồm bốn chữ số phân biệt chọn từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, Chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp E Tính xác suất để số chọn là số lớn số 2016 ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ tập hợp E” Gọi A là biến cố “số chọn là số lớn số 2016” Ta có: 272 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Số phần tử không gian mẫu là nΩ = A47 Số nhỏ 2016 thì số đầu tiên bắt đầu là số 1, số cách đưa các số còn lại vào ba chỗ trống là A36 Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = A36 Xác suất cần tìm là P( A) = − P( A) = − nA A3 = − 64 = nΩ A7  BÀI 18 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập các số có chữ số khác Lấy ngẫu nhiên số các số lập, tính xác suất để số lấy có chữ số chẵn, chữ số lẻ ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số có chữ số khác lấy từ {1, 2, 3, 4, 5, 6}” Gọi A là biến cố “số lấy có chữ số chẵn, chữ số lẻ” Gọi số có chữ số thỏa mãn bài toán là a1 a2 a3 a4 Ta có: Số phần tử không gian mẫu là nΩ = A46 = 360 Chọn hai số chẵn từ {2, 4, 6} có C23 = cách Chọn chỗ để đưa hai số chẵn vào có C24 = cách Đưa hai số chẵn vào hai chỗ có 2! cách Đưa ba số lẻ từ {1, 3, 5} vào vị trí còn lại có A23 = cách Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là · · · = 216 Xác suất cần tìm là P( A) = 216 nA = = nΩ 360  BÀI 19 Gọi X là tập các số tự nhiên gồm chữ số phân biệt từ các chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, Lấy ngẫu nhiên số từ X Tính xác suất để lấy số có mặt chữ số ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số từ X” Gọi A là biến cố “số chọn có mặt chữ số 6” Ta có số phần tử X là A46 = 360 Số kết thuận lợi biến cố A = A45 = 120 Xác suất cần tìm là n 120 P( A) = − P( A) = − A = − = nΩ 360  BÀI 20 Cho tập X gồm các số có chữ số đôi khác lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, Lấy ngẫu nhiên số từ X Tìm xác suất để số lấy có ít số chẵn ĐS: 0,77 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên hai số từ X” Gọi A là biến cố “có ít số chẵn hai số chọn” Ta có, số phần tử X là n X = · · · · = 300 Giả sử b1 b2 b3 b4 là số lẻ thuộc tập X Khi đó, b4 có cách chọn, b1 có cách chọn, b2 có cách chọn, b3 có cách chọn Suy ra, số phần tử biến cố A là n A = · · · = 144 Suy ra, xác suất để chọn hai số lẻ là P( A) = Xác suất cần tìm là P( A) = − P( A) = nA C2 132 = 144 = nΩ 575 C300 443 ≈ 0,77 575  BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 273 BÀI 21 Gọi E là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ E Tính xác suất để số chọn có đúng chữ số lẻ và chữ số đứng chữ số lẻ (các chữ liền trước và liền sau chữ số là các chữ số lẻ) ĐS: 54 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ E”, gọi A là biến cố “số chọn có đúng chữ số lẻ và chữ số đứng chữ số lẻ” Xét các số có chữ số khác nhau, ta có: Có cách chọn chữ số vị trí đầu tiên Có A89 cách để đưa chữ số còn lại vào vị trí còn lại Do đó, số phần tử không gian mẫu là nΩ = · A89 = 3265920 Xét các số thỏa mãn bài toán: Đầu tiên ta xếp vị trí cho chữ số 0, chữ số không thể đứng đầu và đứng cuối nên có cách xếp Ta có A25 cách chọn số lẻ và đưa vào hai vị trí bên cạnh chữ số Chọn hai vị trí còn lại có C26 cách Chọn hai số lẻ còn lại đưa vào hai vị trí vừa chọn có A23 cách Vậy có tất C26 · A23 = 90 cách để chọn hai số lẻ và xếp vào hai vị trí còn lại Cuối cùng, đưa chữ số chẵn còn lại vào vị trí có 4! cách Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = · A25 · 90 · 4! = 302400 Vậy xác suất cần tìm là P( A) = nA 302400 = = nΩ 3265920 54  BÀI 22 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, có thể lập bao nhiêu số tự nhiên có chữ số, đó chữ số có mặt đúng lần, các chữ số còn lại có mặt không quá lần Trong các số tự nhiên nói trên, chọn ngẫu nhiên số, tìm xác suất để số chọn chia hết cho ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số có chữ số theo yêu cầu bài toán” Gọi A là biến cố “số chọn chia hết cho 3” Ta có: Chọn ba vị trí để đưa ba chữ số vào có C35 cách Chọn số để đưa vào vị trí còn lại có A24 cách Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C35 · A24 = 120 Để số chọn chia hết cho thì tổng các chữ số phải chia hết cho Do số chọn luôn có chữ số nên hai số còn lại phải chia hết cho Ta có: Chọn ba vị trí để đưa ba chữ số vào có C35 cách Hai số còn lại thuộc các số: (1, 2), (1, 5), (2, 4) Số kết thuận lợi biến cố A là C35 · · 2! = 60 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 60 = = nΩ 120  274 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI 23 Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, có thể lập bao nhiêu số có chữ số đó chữ số có mặt đúng lần, các chữ số còn lại có mặt đúng lần Trong các số tự nhiên trên, chọn ngẫu 41 nhiên số, tìm xác suất để số chọn không bắt đầu số 12 ĐS: 42 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên số từ các số có chữ số lập từ 1, 2, 3, 4, 5, thỏa mãn đề bài” Gọi A là biến cố “số chọn không bắt đầu số 12” Gọi số có chữ số thuộc không gian mẫu có dạng a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 , ta có: Chọn vị trí để đưa số vào có C27 cách Đưa chữ số còn lại vào vị trí còn lại có 5! cách Do đó, số phần tử không gian mẫu là nΩ = C27 · 5! = 2520 Xét trường hợp số có chữ số trên bắt đầu số 12 thì: Đưa số 12 vào vị trí a1 a2 có cách chọn Chọn vị trí vị trí còn lại để đưa hai số vào có C25 cách Đưa số còn lại vào vị trí còn lại có 3! cách Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = nΩ − n A = 2520 − C25 · 3! = 2460 Xác suất cần tìm là P( A) = 41 nA 2460 = = nΩ 2520 42  BÀI 24 Gọi E là tập hợp các số tự nhiên có chữ số khác thành lập từ các chữ số {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} Chọn ngẫu nhiên phần tử tập E Tìm xác suất để phần tử đó là số 11 không chia hết cho ĐS: 36 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn số tự nhiên có chữ số lập từ {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}”, gọi A là biến cố “số chọn chia hết cho 5” Gọi số cần tìm có dạng a1 a2 a3 a4 a5 Ta có: Số phần tử không gian mẫu là nΩ = A57 − A46 = 2160 Để số trên chia hết cho 5, ta có: – a5 là 5, a1 có cách chọn, a2 có cách chọn, a3 có cách chọn, a4 có cách chọn – a5 là 0, a1 có cách chọn, a2 có cách chọn, a3 có cách chọn, a4 có cách chọn Số kết thuận lợi biến cố A là · · · + · · · = 660 Xác suất cần tìm là P( A) = 660 11 = 2160 36  BÀI 25 Có 12 số tự nhiên khác đó có số chẵn và số lẻ, chọn ngẫu nhiên số Tính 23 xác suất để tổng số chọn là số chẵn ĐS: 44 Lời giải Không gian mẫu Ω có tổng số phần tử là nΩ = C312 = 220 Gọi A là biến cố “tổng ba số chọn là số chẵn” Ta xét các trường hợp sau: Chọn ba số chẵn, có: C35 = 10 (cách) Chọn số chẵn và hai số lẻ, có: C15 · C27 = 105 (cách) BIẾN CỐ VÀ XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ 275 Số kết thuận lợi biến cố A là 10 + 105 = 115 115 23 n = Xác suất cần tìm là P( A) = A = nΩ 220 44  BÀI 26 Gieo súc sắc cân đối đồng chất hai lần Tính xác suất cho: Tổng số chấm lần gieo ĐS: Ít lần gieo xuất mặt chấm ĐS: 3 Tổng số chấm ĐS: Tổng số chấm nhỏ ĐS: Tổng số chấm chia hết cho ĐS: Lần đầu là số nguyên tố, lần sau là số chẵn ĐS: Có đúng mặt chấm xuất ĐS: 18 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “gieo xúc sắc cân đối đồng chất hai lần” Ta có nΩ = · = 36 Gọi A là biến cố “tổng số chấm lần gieo 6” Ta có: Các số có tổng số chấm là: {1, 5}, {2, 4}, {3, 3} Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 2! = Xác suất cần tìm là P( A) = nA = = nΩ 36 Gọi A là biến cố “ít lần gieo xuất mặt chấm” Ta có: Các số có xuất mặt chấm là: {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {1, 5}, {1, 6} Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 2! = 12 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 12 = = nΩ 36 3 Gọi A là biến cố “tổng số chấm lần gieo 7” Ta có: Các số có tổng số chấm là: {1, 6}, {2, 5}, {3, 4} Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 2! = Xác suất cần tìm là P( A) = nA = = nΩ 36 Gọi A là biến cố “tổng số chấm lần gieo nhỏ 6” Ta có: Các số có tổng số chấm nhỏ là: {1, 1}, {1, 2}, {1, 3}, {1, 4}, {2, 2}, {2, 3} Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 2! = 12 276 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Xác suất cần tìm là P( A) = nA 12 = = nΩ 36 Gọi A là biến cố “tổng số chấm lần gieo chia hết cho 5” Ta có: Các số có tổng số chấm chia hết cho là: {1, 4}, {2, 3} Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · 2! = Xác suất cần tìm là P( A) = nA = = nΩ 36 Gọi A là biến cố “lần gieo đầu là số nguyên tố, lần là số chẵn” Ta có: Các số nguyên tố nhỏ có ba số là {2, 3, 5} Từ đến có tất số chẵn Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · = Xác suất cần tìm là P( A) = nA = = nΩ 36 Gọi A là biến cố “có đúng mặt chấm xuất hiện” Ta có: Các số có xuất đúng số là: {6, 1}, {6, 2}, {6, 3}, {6, 4}, {6, 5} Số kết thuận lợi biến cố A là n A = · = 10 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 10 = = nΩ 36 18  BÀI 27 Gọi E là tập hợp các số tự nhiên gồm chữ số khác mà chữ số lớn Hãy xác định số phần tử tập E Chọn ngẫu nhiên phần tử tập E, tính xác suất để số chọn có ba chữ số lẻ đứng kề ĐS: 10 Lời giải Lập số tự nhiên gồm chữ số khác từ số {5, 6, 7, 8, 9} Số phần tử E là 5! = 120 Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “chọn ngẫu nhiên phần tử thuộc E”, gọi A là biến cố “số chọn có ba chữ số lẻ đứng kề nhau” Xét các số thỏa mãn đề bài có dạng abcde Ta xét các trường hợp: abc là chữ số lẻ Chọn abc có 3! = cách Chọn de có 2! = Do đó, số kết trường hợp này là · = 12 Các trường hợp bcd và cde là các số lẻ có kết tương tự trường hợp trên Vậy số kết thuận lợi biến cố A là n A = 12 · = 36 Số phần tử không gian mẫu là nΩ = C1120 = 120 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 36 = = nΩ 120 10  BÀI 28 Cho tập hợp E = {1, 2, 3, 4, 5, 6} Gọi M là tập hợp các số tự nhiên có nhiều ba chữ số, các chữ số đôi khác thành lập từ tập E Lấy ngẫu nhiên số thuộc tập hợp M Tính xác suất lấy số thuộc tập M, cho tổng các chữ số số đó 10.ĐS: Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên số thuộc tập M”, gọi A là biến cố “tổng các chữ số số chọn là 10” Ta có: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 277 Số phần tử M là A36 + A26 + A16 = 156 Số phần tử không gian mẫu là C1156 = 156 Để tổng các chữ số số chọn là 10, ta có các số: {4, 6}, {1, 3, 6}, {1, 4, 5}, {2, 3, 5}, {3, 4, 5} Do đó, số kết thuận lợi biến cố A là n A = 2! + · 3! = 26 Xác suất cần tìm là P( A) = nA 26 = = nΩ 156  BÀI 29 Gọi E là tập hợp các số có ba chữ số khác lập từ các chữ số 1, 2, 3, 4, Chọn ngẫu nhiên ba số từ tập hợp E, tính xác suất để ba số chọn có đúng số có mặt chữ số ĐS: 0,29 Lời giải Gọi Ω là không gian mẫu phép thử “lấy ngẫu nhiên ba số từ tập E”, gọi A là biến cố ‘trong ba số chọn có đúng số có mặt chữ số 4” Ta có: Số phần tử tập E là A35 = 60 Số phần tử không gian mẫu là C360 = 34220 Các số thuộc E không có chữ số là A34 = 24 Các số thuộc E có mặt chữ số là 60 − 24 = 36 Số kết thuận lợi biến cố A là n A = C136 · C224 = 9936 Xác suất cần tìm là P( A) = BÀI A 9936 nA = ≈ 0,29 nΩ 34220  CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT TÓM TẮT LÝ THUYẾT QUY TẮC CỘNG XÁC SUẤT Định nghĩa (Biến cố hợp) Cho hai biến cố A và B Biến cố “A B xảy ra”, kí hiệu là A ∪ B gọi là hợp hai biến cố A và B Khi đó Ω A ∪ Ω B ⊂ Ω ΩA ΩB VÍ DỤ Chọn ngẫu nhiên bạn học sinh lớp 11 trường Gọi A là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi toán” và B là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Lý” Khi đó A ∪ B là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Toán giỏi Lý” Định nghĩa (Biến cố xung khắc) Cho hai biến cố A và B Hai biến cố A và B gọi là xung khắc biến cố này xảy thì biến cố không xảy Khi đó Ω A ∩ B = ∅ 278 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT ΩA ΩB VÍ DỤ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11 trường Gọi A là biến cố: “Bạn đó là học sinh lớp 11C1 ” và B là biến cố: “Bạn đó là học sinh lớp 11C2 ” Khi đó A và B là hai biến cố xung khắc Định nghĩa (Quy tắc cộng xác suất hai biến cố xung khắc) Nếu A và B là hai biến cố xung khắc thì xác suất biến cố A ∪ B là P( A + B) = P( A) + P( B ) Cho n biến cố A1 , A2 , , An đôi là các biến cố xung khắc với Khi đó P( A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ ∪ A n ) = P( A1 ) + P( A2 ) + P( A ) + + P( A n ) VÍ DỤ Cho hộp đựng viên bi xanh và bi đỏ Lấy ngẫu nhiên viên bi Tính 22 xác suất để có ít viên bi xanh ĐS: 35 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n(Ω) = C37 = 35 Gọi A là biến cố: “3 viên bi lấy có ít viên bi xanh” Có các trường hợp sau: Lấy viên bi xanh và viên bi đỏ, số cách chọn là C24 · C13 = 18 Lấy viên bi xanh, số cách chọn là C34 = Theo quy tắc cộng ta có n( A) = 18 + = 22 n( A) 22 Vậy xác suất A là P( A) = = n(Ω) 35 VÍ DỤ Trên kệ sách có sách Toán, sách Lý và sách Hóa Lấy ngẫu nhiên từ kệ sách đó hai sách Tính xác suất để lấy hai 21 sách cùng môn ĐS: 68 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n(Ω) = C217 = 136 Gọi A là biến cố: “Lấy hai sách cùng môn” Có các trường hợp sau: Lấy sách Toán, có C27 = 21 cách Lấy sách Lý, có C26 = 15 cách  CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 279 Lấy sách Hóa, có C24 = cách Theo quy tắc cộng ta có n( A) = 21 + 15 + = 42 42 21 n( A) = = Vậy xác suất A là P( A) = n(Ω) 136 68  Định nghĩa (Biến cố đối) Cho A là biến cố Khi đó biến cố “không A”, kí hiệu là A, đươc gọi là biến cố đối A Ta nói A và A là hai biến cố đối Khi đó Ω A = Ω \ Ω A ⇒ P( A) = − P( A) Ω A A Câu hỏi 1: Hai biến cố đối có phải là hai biến cố xung khắc? Lời giải Hai biến cố đối là hai biến cố xung khắc Câu hỏi 2: Hai biến cố xung khắc có phải là hai biến cố đối? Lời giải Hai biến cố xung khắc không phải là hai biến cố đối VÍ DỤ Một xạ thủ bắn vào bia viên đạn với xác suất trượt là bao nhiêu?   Khi đó xác suất bắn ĐS: L Lời giải Gọi A là biến cố: “Một xạ thủ bắn vào bia viên đạn” thì P( A) = Khi đó xác suất bắn trượt là P( A) = − P( A) = − =  7 VÍ DỤ Từ hộp có cầu trắng và cầu xanh, lấy ngẫu nhiên cùng lúc Tính xác suất cho: a) Bốn lấy cùng màu ĐS: 105 b) Bốn lấy có đủ hai màu ĐS: 97 105 L Lời giải Số phần tử không gian mẫu là: n(Ω) = C410 = 210 a) Gọi A là biến cố: “Bốn lấy cùng màu” Có hai trường hợp: Bốn lấy cùng màu trắng, có C46 = 15 cách chọn 280 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Bốn lấy cùng màu xanh, có C44 = cách chọn Theo quy tắc cộng thì n( A) = 15 + = 16 cách chọn Vậy xác suất A là P( A) = n( A) 16 = = n(Ω) 210 105 b) Gọi B là biến cố: “Bốn lấy có đủ hai màu” thì B = A 97 = Suy P( B) = P( A) = − P( A) = − 105 105  QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT Định nghĩa (Biến cố giao) Cho hai biến cố A và B Biến cố “A và B cùng xảy ra”, kí hiệu là A ∩ B (hay AB) gọi là giao hai biến cố A và B ΩA Ω A ∩ ΩB ΩB VÍ DỤ Chọn ngẫu nhiên học sinh lớp 11 trường Gọi A là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Toán” và gọi B là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Lý” Khi đó: A ∩ B là biến cố: “Bạn đó là học sinh giỏi Toán và giỏi Lý” Định nghĩa (Hai biến cố độc lập) VÍ DỤ Gieo đồng xu liên tiếp lần Gọi A là biến cố: “Lần gieo thứ xuất mặt sấp” và gọi B là biến cố: “Lần gieo thứ hai xuất mặt ngửa” Khi đó A và B là biến cố độc lập Hai biến cố gọi là độc lập với việc xảy hay không xảy biến cố này không làm ảnh hưởng xác suất xảy biến cố Nếu hai biến cố A và B độc lập với thì A và B, A và B, A và B là độc lập Nếu A và B là hai biến Định nghĩa (Quy tắc nhân xác suất hai biến cố độc lập) cố độc lập với thì ta luôn có: P( AB) = P( A) · P( B) Cho n biến cố A1 , A2 , A3 , An độc lập với đôi  Khiđó: P( A1 A2 A3 · · · An ) = P( A1 ) · P( A2 ) · P( A3 ) · · · P( An ) hay P n ∏ Ai i =1 n = ∏ P ( Ai ) i =1 VÍ DỤ Một cầu thủ sút bóng vào cầu môn hai lần Biết xác suất sút vào cầu môn là Tính xác suất để cầu thủ đó sút hai lần bóng vào cầu môn.ĐS: 64 L Lời giải CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 281 Gọi A là biến cố: “Cầu thủ sút bóng vào cầu môn lần thứ nhất” thì P( A) = Gọi B là biến cố: “Cầu thủ sút bóng vào cầu môn lần thứ hai” thì P( B) = Suy AB là biến cố: “Cầu thủ sút hai lần bóng vào cầu môn” 3 Vì A và B là hai biến cố độc lập nên xác suất AB là P( AB) = P( A) · P( B) = · = 8 64  VÍ DỤ 10 Có hai xạ thủ bắn bia Xác suất xạ thủ thứ bắn trúng bia là 0,8 Xác suất xạ thủ thứ hai bắn trúng bia là 0,7 Tính xác suất để: a) Cả hai xạ thủ bắn trúng ĐS: 0,56 b) Cả hai xạ thủ không bắn trúng bia ĐS: 0,06 c) Có ít xạ thủ bắn trúng bia ĐS: 0,94 L Lời giải Gọi A là biến cố: “Xạ thủ thứ bắn trúng” và B là biến cố: “Xạ thủ thứ hai bắn trúng” thì P( A) = 0,8 và P( B) = 0,7 Ta có A và B là hai biến cố độc lập a) Biến cố: “Cả hai xạ thủ bắn trúng” là AB nên P( AB) = P( A) · P( B) = 0,8 · 0,7 = 0,56 b) Biến cố: “Cả hai xạ thủ không bắn trúng bia” là AB Do A và B là độc lập nên A và B độc lập Suy P( AB) = P( A) · P( B) = 0,2 · 0,3 = 0,06 c) Biến cố: “Có ít xạ thủ bắn trúng bia” là A ∪ B P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) = 0,8 + 0,7 − 0,56 = 0,94  Áp dụng các nguyên tắc tính xác suất để giải bài toán, thường ta làm theo các bước sau: Bước Gọi A là biến cố cần tính xác suất và Ai , (i = 1, n) là các biến cố liên quan đến A cho: + Biến cố A biểu diễn theo các biến cố Ai , ( A1 , A2 , , An ) ! + Hoặc xác suất các biến cố Ai tính toán dễ dàng so với A Bước Biểu diễn biến cố A theo các biến cố Ai Bước Xác định mối liên hệ các biến cố và áp dụng các nguyên tắc: + Nếu A1 , A2 xung khắc ( A1 ∩ A2 = ∅) thì P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) + Nếu A1 , A2 thì P( A1 ∪ A2 ) = P( A1 ) + P( A2 ) − P( A1 · A2 ) + Nếu A1 , A2 độc lập thì P( A1 · A2 ) = P( A1 ) · P( A2 + Nếu A1 , A2 đối thì P( A1 ) = − P( A2 ) 282 B CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Một cặp vợ chồng mong muốn sinh trai (sinh trai thì không sinh nữa, chưa sinh thì sinh tiếp) Xác suất sinh trai lần sinh là 0,51 Tìm xác suất cho cặp vợ chồng đó mong muốn sinh trai lần sinh thứ ĐS: 0,2499 Lời giải Xác suất sinh gái là − 0,51 = 0,49 Xác suất để cặp vợ chồng đó sinh trai lần sinh thứ là 0,49 · 0,51 = 0,2499  BÀI Ba xạ thủ độc lập cùng bắn vào cái bia Xác suất bắn trúng mục tiêu xạ thủ là 0,6 Tính xác suất để xạ thủ bắn có đúng xạ thủ bắn trúng mục tiêu ĐS: 0,288 Muốn mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn phải có ít hai xạ thủ bắn trúng mục tiêu Tính xác suất để mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn ĐS: 0,648 Lời giải Gọi Xi là xạ thủ thứ i bắn trúng bia Khi đó Xi là xạ thủ thứ i không bắn trúng bia Ta có P( Xi ) = 0,6; P( Xi ) = 0,4 Gọi A là biến cố "3 xạ thủ bắn có đúng xạ thủ bắn trúng mục tiêu" Ta có P( A) = P( X1 X2 · X3 ) + P( X1 · X2 · X3 ) + P( X1 · X2 · X3 ) = 0,6 · 0,4 · 0,4 + 0,4 · 0,6 · 0,4 + 0,4 · 0,4 · 0,6 = 0,288 Gọi B là biến cố "mục tiêu bị phá hủy hoàn toàn" P( B) = P( X1 X2 · X3 ) + P( X1 X2 · X3 ) + P( X1 · X2 · X3 ) + P( X1 · X2 · X3 ) = 0,63 + · 0,6 · 0,6 · 0,4 = 0,648  BÀI Hai xạ thủ A và B cùng bắn vào bia người phát Xác suất bắn trúng bia xạ thủ A là 0,7 Tìm xác suất bắn trúng bia xạ thủ B Biết xác suất có ít người bắn trúng bia là 0,94 ĐS: 0,8 Lời giải Gọi X A là xạ thủ A bắn trúng bia ⇒ X A là xạ thủ A không bắn trúng bia ⇒ P( X A ) = 0,7, P( X A ) = 0,3 Gọi XB là xạ thủ B bắn trúng bia ⇒ XB là xạ thủ B không bắn trúng bia Gọi E là biến cố "có ít người bắn trúng bia" E là biến cố "không bắn trúng bia" ⇒ P( E) = 0,94 ⇒ P( E) = 0,06 Ta có P( E) = P( X A ) · P( XB ) = 0,3 · P( XB ) = 0,06 ⇒ P( XB ) = 0,2 ⇒ P( XB ) = 0,8  BÀI Hai người độc lập cùng bắn người viên đạn vào bia Xác suất ban trúng bia 1 họ là và Tính xác suất các biến cố sau A: "cả hai bắn trúng" ĐS: 15 B: "cả hai bắn trượt" ĐS: 15 C: "ít người bắn trúng" ĐS: 15 D: "có đúng người bắn trúng" ĐS: CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 283 Lời giải 1 · = 15     1 · 1− = = · = B: "cả hai bắn trượt" Khi đó P( B) = − 15 15 A: "cả hai bắn trúng" Khi đó P( A) = C: "ít người bắn trúng" Ta có biến cố B chính là biến cố đối C Khi đó P( C ) = − P( B ) = − = 15 15 D: "có đúng người bắn trúng" tức là người thứ bắn trúng người thứ bắn trật người thứ bắn trật người thứ hai bắn trúng Ta có P( D ) = 2 · + · = 5  BÀI Có người cùng câu cá; xác suất Câu cá người thứ là 0,5; xác suất câu cá người thứ hai là 0,4; xác suất câu cá người thứ ba là 0,2 Tính xác suất biến cố: Có đúng người câu cá ĐS: 0,46 Có đúng người câu cá ĐS: 0,26 Người thứ luôn luôn câu cá ĐS: 0,2 Có ít người câu cá ĐS: 0,76 Lời giải Gọi Xi là người thứ i câu cá Khi đó Xi là người thứ i không câu cá Ta có P( X1 ) = 0,5; P( X2 ) = 0,4; P( X3 ) = 0,2; P( X1 ) = 0,5; P( X2 ) = 0,6; P( X3 ) = 0,8 Gọi A là biến cố "có đúng người câu cá" Ta có P( A) = P( X1 X2 · X3 ) + P( X1 · X2 · X3 ) + P( X1 · X2 · X3 ) = 0,5 · 0,6 · 0,8 + 0,5 · 0,4 · 0,8 + 0,5 · 0,6 · 0,2 = 0,46 Gọi B là biến cố "có đúng người câu cá" Ta có P( B) = P( X1 · X2 · X3 + X1 X2 · X3 ) + P ( X1 · X2 · X3 ) + P ( X1 · X2 · X3 ) = = 0,5 · 0,4 · 0,2 + 0,5 · 0,6 · 0,2 + 0,5 · 0,4 · 0,8 = 0,26 Gọi C là biến cố "người thứ luôn luôn câu cá" Khi đó P( D ) = P( X3 ) = 0,2 Gọi D là biến cố "có ít người câu cá" ⇒ D là biến cố "không câu cá" Ta có P( D ) = − P( D ) = P( X1 ) · P( X2 ) · P( X3 ) = − 0,5 · 0,6 · 0,8 = − 0,24 = 0,76  BÀI Một xạ thủ bắn vào bia lần độc lập; xác suất bắn trúng lần là 0,3 Tính xác suất biến cố: Cả lần bắn trượt ĐS: 0,2401 Có đúng lần bắn trúng ĐS: 0,0756 Lần thứ bắn trúng, lần thứ bắn trượt Ít lần bắn trúng ĐS: 0,21 ĐS: 0,2601 284 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Lời giải Gọi Xi là xạ thủ bắn trúng bia lần thứ i Khi đó Xi là xạ thủ không bắn trúng bia lần thứ i Ta có P( Xi ) = 0,3, P( Xi ) = 0,7 Gọi A là biến cố "Cả lần bắn trượt" Ta có P( A) = P( X1 · X2 · X3 · X4 ) = 0,7 · 0,7 · 0,7 · 0,7 = 0,2401 Gọi B là biến cố "Có đúng lần bắn trúng" ⇒ P( B) = 4.(0,7 · 0,33 ) = 0,0756 Gọi C là biến cố "Lần thứ bắn trúng, lần thứ bắn trượt" ⇒ P(C ) = 0,3 · 0,7 = 0,21 Gọi D là biến cố "Ít lần bắn trúng" P ( D ) = P ( X1 · X2 · X3 · X4 ) + P ( B ) + + ( P ( X1 · X2 · X3 · X4 ) + P ( X1 · X2 · X3 · X4 ) + P ( X1 · X2 · X3 · X4 ) + P ( X1 · X2 · X3 · X4 ) + P( X1 · X2 · X3 · X4 ) + P( X1 · X2 · X3 · X4 )) = (0,3)4 + 0,0756 + 4.(0,3 · 0,3 · 0,7 · 0,7) = 0,2601  BÀI Có hai hộp đựng thẻ, hộp đựng 12 thẻ đánh số từ đến 12 Từ hộp rút ngẫu 23 nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ rút có ít thẻ đánh số 12 ĐS: 144 Lời giải Gọi Xi là từ hộp thứ i rút thẻ ghi số 12 Khi đó Xi là từ hộp thứ i rút 11 ⇒ P ( Xi ) = thẻ không ghi số 12 Ta có P( Xi ) = 12 12 Gọi A là biến cố "2 thẻ rút có ít thẻ đánh số 12" ⇒ A là biến cố "2 thẻ rút không có thẻ đánh số 12" 121 23 11 11 121 · = ⇒ P( A ) = − P( A ) = − =  Ta có P( A) = P( X1 · X2 ) = 12 12 144 144 144 BÀI Có ba xạ thủ cùng bắn vào bia Xác suất trúng đích người là 0,6; 0,7 và 0,8 Tính xác suất để có ít người bắn trúng bia ĐS: 0,976 Lời giải Gọi Xi là xạ thủ thứ i bắn trúng bia Khi đó Xi là xạ thủ thứ i không bắn trúng bia Ta có P( X1 ) = 0,6; P( X2 ) = 0,7; P( X3 ) = 0,8, P( X1 ) = 0,4; P( X2 ) = 0,3; P( X3 ) = 0,2 Gọi A là biến cố "có ít người bắn trúng bia" ⇒ A là biến cố không bắn trúng bia Ta có P( A) = − P( A) = P( X1 ) · P( X2 ) · P( X3 ) = − 0,4 · 0,3 · 0,2 = − 0,024 = 0,976  BÀI Có xạ thủ tập bắn, bắn vào bia Xác suất trúng đích là 0,2 Tính xác suất để ba lần bắn: Ít lần trúng bia Bắn trúng bia đúng lần thứ ĐS: 0,488 ĐS: 0,2 Lời giải Gọi Xi là lần thứ i xạ thủ bắn trúng bia Khi đó Xi là lần thứ i xạ thủ không bắn trúng bia Ta có P( Xi ) = 0,2; P( Xi ) = 0,8 Gọi A là biến cố "ít lần trúng bia" ⇒ A là biến cố không bắn trúng bia Ta có P( A) = − P( A) = P( X1 ) · P( X1 ) · P( X1 ) = − 0,83 = − 0,512 = 0,488 Gọi B là biến cố "bắn trúng bia đúng lần thứ nhất" Ta có P( B) = P( X1 ) = 0,2  CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 285 BÀI 10 Việt và Nam thi đấu với trận bóng bàn, người nào thắng trước séc thì thắng trận Xác suất Nam thắng séc là 0,4 (giả sử không có séc hòa) Tính xác suất Nam thắng trận? ĐS: 0,11008 Lời giải Xác suất Nam thắng séc là 0,4, xác suất Nam không thắng séc là − 0,4 = 0,6 Xác suất Nam thắng séc đầu: 0,43 = 0,064 Xác suất Nam thắng séc séc đầu: 0,43 · 0,6 = 0,0384 Xác suất Nam thắng séc séc: 0,43 · 0,62 = 0,02304 Vậy xác suất Nam thắng trận là: 0,064 + 0,0384 + 0,02304 = 0,11008  BÀI 11 Một nhóm xạ thủ gồm có 10 người đó có xạ thủ loại I và xạ thủ loại I I Xác suất bắn trúng đích lần bắn xạ thủ loại I và loại I I là 0,9 và 0,8 Chọn ngẫu nhiên xạ thủ 10 người và cho bắn viên đạn Tính xác suất để viên đạn trúng đích? ĐS: 0,83 Lời giải · 0,9 = 0,27 Xác suất chọn xạ thủ loại I và bắn trúng là 10 · 0,8 = 0,56 Xác suất chọn xạ thủ loại I I và bắn trúng là 10 Vậy xác suất để viên đạn trúng đích là 0,27 + 0,56 = 0,83  BÀI 12 Có ba lô hàng Người ta lấy cách ngẫu nhiên từ lô hàng sản phẩm Biết xác suất để sản phẩm có chất lượng tốt lô hàng là 0,5; 0,6 và 0,7 Tính xác suất để ba sản phẩm lấy có ít sản phẩm có chất lượng tốt? ĐS: 0,94 Lời giải Gọi Xi là biến cố chọn sản phẩm có chất lượng tốt lô hàng thứ i Khi đó Xi là biến cố chọn sản phẩm có chất lượng chưa tốt lô hàng thứ i Ta có P( X1 ) = 0,5, P( X2 ) = 0,6, P( X3 ) = 0,7, P( X1 ) = 0,5, P( X2 ) = 0,4, P( X3 ) = 0,3 Gọi A là biến cố "lấy có ít sản phẩm có chất lượng tốt" ⇒ A là biến cố "lấy có ít sản phẩm có chất lượng chưa tốt"  Ta có P( A) = − P( A) = P( X1 ) · P( X2 ) · P( X3 ) = − 0,5 · 0,4 · 0,3 = − 0,06 = 0,94 BÀI 13 Một hộp chứa 11 bi đánh số từ đến 11 Chọn bi cách ngẫu nhiên, cộng 118 các số trên bi rút với Tính xác suất để kết thu là số lẻ ĐS: 231 Lời giải Từ đến 11 có số lẻ, số chẵn Số phần tử không gian mẫu n(Ω) = C611 = 462 Gọi A là biến cố chọn bi cách ngẫu nhiên, cộng các số trên bi rút với số lẻ Trường hợp 1: số lẻ, số chẵn C16 · C55 = Trường hợp 2: số lẻ, số chẵn C36 · C35 = 200 Trường hợp 3: số lẻ, số chẵn C56 · C15 = 30 ⇒ n( A) = + 200 + 30 = 236 Vậy xác suất để kết thu là số lẻ là P( A) =  n( A) 118 = n(Ω) 231 BÀI 14 Một hộp có đựng chính phẩm và phế phẩm Lấy ngẫu nhiên sản phẩm một, không bỏ trở lại để kiểm tra lấy hai phế thì thôi Tính xác suất biến cố việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ ĐS: Lời giải 286 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 2 = , xác suất lấy phế phẩm = 6 1 Vậy xác suất biến cố việc kiểm tra dừng lại sản phẩm thứ là · = 3 Xác suất lấy chính phẩm  BÀI 15 Một thủ kho có chùm chìa khóa gồm 10 hình thức giống đó có chìa là mở kho Anh ta mở ngẫu nhiên chìa khóa mở kho Tính xác suất để: Anh ta mở kho lần thứ ĐS: 0,147 Anh ta mở kho mà không quá lần mở ĐS: 0,657 Lời giải Gọi Xi là biến cố chọn chìa khóa thứ i mở kho Khi đó Xi là biến cố chọn chìa khóa thứ i không mở kho Ta có P( Xi ) = 0,3; P( Xi ) = 0,7 Gọi A là biến cố "mở kho lần thứ 3" ⇒ A là biến cố không bắn trúng bia Ta có P( A) = P( X1 ) · P( X2 ) · P( X3 ) = 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,147 Gọi B là biến cố "mở kho mà không quá lần mở" Ta có P( B) = 0,3 + 0,7 · 0,3 + 0,7 · 0,7 · 0,3 = 0,657  BÀI 16 Một nồi có van bảo hiểm hoạt động độc lập với xác suất hỏng van 1, van 2, van khoảng thời gian t tương ứng là 0,1; 0,2 và 0,3 Nồi hoạt động an toàn ít van không hỏng Tìm xác suất để nồi hoạt động an toàn khoảng thời gian t? ĐS: 0,994 Lời giải Gọi Xi là biến cố van thứ i bị hỏng Khi đó Xi là biến cố van thứ i không bị hỏng Ta có P( X1 ) = 0,1; P( X2 ) = 0,2; P( X3 ) = 0,3 Gọi A là biến cố "nồi hoạt động an toàn khoảng thời gian t" ⇒ A là biến cố van bị hỏng Ta có  P( A) = − P( A) = P( X1 ) · P( X2 ) · P( X3 ) = − 0,1 · 0,2 · 0,3 = − 0,006 = 0,994 BÀI 17 Trong thời gian có dịch bệnh vùng dân cư Cứ 100 người bệnh thì phải có 20 người cấp cứu Xác suất để gặp người cấp cứu mắc phải dịch bệnh vùng đó là 0,08 Tìm tỉ lệ mắc bệnh vùng dân cư đó ĐS: 0,016 Lời giải 20 Tỉ lệ mắc bệnh vùng dân cư đó là · 0,08 = 0,016  100 BÀI 18 Một máy bay có động gồm động bên cánh trái và hai động bên cánh phải Mỗi động bên cánh phải có xác suất bị hỏng là 0,09; động bên cánh trái có xác suất hỏng là 0,04 Các động hoạt động độc lập với Máy bay thực chuyến bay an toàn ít hai động làm việc Tính xác suất để máy bay thực chuyến bay an toàn ĐS: 0,9999590464 Lời giải Gọi A là biến cố máy bay bay an toàn Khi đó A là biến cố máy bay bay không an toàn Trường hợp 1: động hỏng 0,093 · 0,042 Trường hợp 2: động hỏng 0,093 · 0,04 · 0,96 + 0,092 · 0,91 · 0,042 ⇒ P( A) = 0,093 · 0,042 + 0,093 · 0,04 · 0,96 + 0,092 · 0,91 · 0,042 ⇒ P( A) = − P( A) = 0,9999590464  CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 287 BÀI 19 Ba cầu thủ sút phạt luân lưu 11 mét, người đá lần với xác suất làm bàn tương ứng là x; y và 0,6 (với x > y) Biết xác suất để ít ba cầu thủ ghi bàn là 0,976 và xác suất để ba cầu thủ đêu ghi bàn là 0,336 Tính xác suất để có đúng hai cầu thủ ghi bàn? ĐS: Lời giải Xác suất để cầu thủ cùng ghi bàn là x · y · 0,6 = 0,336 ⇔ x · y = 0,56 (1) Xác suất để không có cầu thủ nào ghi bàn là (1 − x )(1 − y)(1 − 0,6) = − 0,976 (2)  ® ® ®   x = xy = 0,56 xy = 0,56 x · y = 0,56 ⇔ ⇔ ⇔ Từ (1), (2) ta có  x + y = 1, − x − y + xy = −0,94 (1 − x )(1 − y) = 0,06 y = 10  BÀI 20 Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn đó có đáp án đúng Giả sử câu trả lời đúng điểm và câu trả lời sai trừ điểm Một học sinh không học bài nên đánh hú họa câu trả lời Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm 85293 ĐS: 1048576 Lời giải Gọi x là số câu trả lời đúng (0 ≤ x ≤ 10), đó số câu trả lời sai là 10 − x Để học sinh làm điểm thì số câu trả lời đúng thỏa mãn bất phương trình 5x + (10 − x )(−2) < ⇔ 7x < 21 ⇔ x < ⇒ x ∈ {0; 1; 2}}  10 x = không có câu đúng    9 x = có câu đúng 4  2  8 3 x = có câu đúng 4  10    9  2  8 3 85293 Vậy xác suất để học sinh này nhận điểm là + + = 4 4 1048576  BÀI 21 Trong lớp học có 60 sinh viên, đó có 40 sinh viên học tiếng Anh, 30 sinh viên học tiếng Pháp và 20 sinh viên học hai tiến Anh và Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tính xác suất các biến cố sau: A: "Sinh viên chọn học tiếng Anh" ĐS: B: "Sinh viên chọn học tiếng Pháp" ĐS: C: "Sinh viên chọn học tiếng Anh lẫn tiếng Pháp" ĐS: D: "Sinh viên chọn không học tiếng Anh và Tiếng Pháp" ĐS: Lời giải Theo đề số học sinh học tiếng Anh là 40, số học sinh học tiếng Pháp là 30, số học sinh học môn Anh, Pháp là 20, số học sinh không học môn Anh, Pháp là 60 − (40 + 30 − 20) = 10 40 Xác suất chọn sinh viên học tiếng Anh là = 60 288 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT 30 = 60 20 = Xác suất chọn sinh viên học tiếng Anh là 60 Xác suất chọn sinh viên học tiếng Pháp là Xác suất chọn sinh viên không học tiếng Anh và Tiếng Pháp là 10 = 60  BÀI 22 Trong kì kiểm tra chất lượng hai khối lớp, khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt Lý, 10% trượt Lý lẫn Toán Từ khối chọn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất cho: 1 Hai học sinh đó trượt Toán ĐS: 16 Hai học sinh đó bị trượt môn nào đó ĐS: Hai học sinh đó không bị trượt môn nào ĐS: 4 Có ít hai học sinh bị trượt ít môn ĐS: Lời giải Kí hiệu A1 , A2 , A3 là các biến cố: Học sinh chọn từ khối I trượt Toán, Lí Hóa; B1 , B2 , B3 , là các biến cố: Học sinh chọn từ khối I I trượt Toán, Lí Hóa Rõ ràng với (i, j), các biến cố Ai và Bj độc lập Ta có P( A1 B1 ) = P( A1 ) · P( B1 ) = 1 · = 4 16 Xác suất cần tính là P (( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) ∩ ( B1 ∪ B2 ∪ B3 )) = P ( A1 ∪ A2 ∪ A3 ) · ( B1 ∪ B2 ∪ B3 ) 1 = · = 2 Đặt A = A1 ∪ A2 ∪ A3 , B = B1 ∪ B2 ∪ B3
Cần tính P A ∩ B Do A, B độc lập, ta có:


P A∩B = P A ·P B  2 1 = [1 − P( A)] = = Cần tính P( A ∪ B) Ta có: P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( AB) 1 = + − = 2 4 CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT 289  BÀI 23 Trong kì thi THPT Quốc Gia, bạn X làm đề thi trắc nghiệm môn Hóa Đề thi gồm 50 câu hỏi, câu có phương án trả lời, đó có phương án đúng, trả lời đúng câu 0,2 điểm Bạn X trả lời hết các câu hỏi và chắn đúng 45 câu, câu còn lại X chọn ngẫu nhiên 53 Tính xác suất để điểm thi Hóa X không 9,5 điểm ĐS: 512 Lời giải Thí sinh X không 9,5 điểm và câu trả lời ngẫu nhiên có ít câu đúng Xác suất trả lời đúng câu hỏi là , trả lời sai là Ta có các trường hợp: 4  3  2 3 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên câu là C5 ·  4 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên câu là C45 ·  5 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên câu là C55  5  4  3  2 3 53  · + C45 · + C55 = Vậy xác suất cần tính P = C35 4 4 512 BÀI 24 Trong kì thi THPT Quốc Gia, bạn X dự thi hai môn trắc nghiệm môn Hóa và Lí Đề thi câu gồm 50 câu hỏi, câu hỏi có phương án lựa chọn, đó có phương án đúng, làm đúng câu 0,2 điểm Mỗi môn thi bạn X làm hết các câu hỏi và chắn đúng 45 câu, câu còn lại X chọn ngẫu nhiên Tính xác suất để tổng hai môn thi X không 19 81922 điểm ĐS: 10 Lời giải Thí sinh X không 19 điểm và 10 câu trả lời ngẫu nhiên hai môn Hóa và Lí có ít câu đúng Xác suất trả lời đúng câu hỏi là , trả lời sai là Ta có các trường hợp: 4  5  5 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên 10 câu là C510 ·  6  4 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên 10 câu là C610 ·  7  3 · Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên 10 câu là C710  8  2 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên 10 câu là C810 ·  9 Xác suất thí sinh X trả lời đúng trên 10 câu là C910 · 4 104 Xác suất thí sinh X trả lời đúng 10 trên 10 câu là C10 10 Vậy xác suất cần tính là  5  5  6  4  7  3  8  2  9 3 3 P = C10 · + C10 · + C10 · + C10 · + C10 · 4 4 4 4  10 81922 10 + C10 = 10  4 290 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG BÀI Xếp ngẫu nhiên ba người nam và hai người nữ vào dãy năm ghế kê theo hàng ngang Tính xác suất để kiểu xếp mà hai người nam có đúng người nữ ĐS: 10 Lời giải Số cách xếp nam và nữ vào ghế là 5! cách Gọi A là biến cố hai người nam có đúng người nữ: Xếp nam vào ghế số 1, 3, là 3! cách Xếp nữ vào vào ghế số 2, là 2! cách Suy n( A) = 3!2! 3!2! Vậy P( A) = =  5! 10 BÀI Gọi A là tập hợp tất các số gồm năm chữ số mà chữ số có mặt đúng lần, hai chữ số còn lại khác và thuộc tập hợp các chữ số 1, 2, 4, Chọn ngẫu nhiên số từ A Tính xác suất để số chọn chia hết cho ĐS: Lời giải Gọi A là tập hợp các số x có dạng abcde thỏa yêu cầu Ta có n(Ω) = C35 A24 Để x chia hết cho thì ( a + b + c + d + e) 3, đó hai chữ số năm chữ số chọn số {1; 2}, {1; 5}, {2; 4}, {4; 5} Do đó n( A) = C35 C14 2! C3 C1 2! Vậy P( A) = 53 = C5 A4  BÀI Trong kì thi THTP Quốc Gia, Thành đoàn thành lập tổ công tác gồm người chọn ngẫu nhiên từ 15 cán đoàn trường học và 10 cán các quận, huyện để tìm các chỗ trọ miễn phí cho thí sinh có điều kiện khó khăn Tính xác suất để người chọn có không 381 quá cán đoàn trường ĐS: 1265 Lời giải Ta có n(Ω) = C525 Gọi A là biến cố người chọn có không quá cán đoàn trường, có phương án: Trong người chọn không có cán đoàn trường: C510 Trong người chọn có cán đoàn trường: C410 C115 Trong người chọn có cán đoàn trường: C310 C215 Do đó n( A) = C510 + C410 C115 + C310 C215 C5 + C410 C115 + C310 C215 381 = Vậy P( A) = 10 1265 C25  BÀI Trong dự án nhà xã hội gồm có tầng, tầng gồm có hộ loại A và hộ loại B Một người mua nhà rút ngẫu nhiên hộ mình Tính xác suất để hộ rút 17 tầng hộ loại A ĐS: 30 Lời giải Kí hiệu A, B, là các biến cố: rút hộ tầng 1, rút hộ loại A Cần tính P( A ∪ B) Ta có: n(Ω) = 60, n( A ∪ B) = n( A) + n( B) − n( A ∩ B) = 10 + 30 − = 34 34 17 Vậy P( A ∪ B) = =  60 30 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 291 BÀI Thực đơn ăn sáng tự chọn khách sạn gồm món xúp, món bánh và món cơm Một khách hàng chọn ngẫu nhiên món Tính xác suất để món chọn có xúp, bánh và cơm ĐS: 33 Lời giải Gọi A là biến cố chọn món khác Ta có số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C311 Số phần tử biến cố A : n( A) = C14 C15 C12 C14 C15 C12 =  Vậy P( A) = 33 C11 BÀI Trong kì thi THPT Quốc Gia, hội đồng coi thi có 216 thí sinh tham gia dự thi để xét công nhận tốt nghiệp THPT, đó trường X có 65 thí sinh dự thi Sau buổi thi môn Toán, phóng viên vấn ngẫu nhiên học sinh Tính xác suất để học sinh vấn có ít 208 học sinh trường X ĐS: 963 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C3216 Gọi A là biến cố “có ít học sinh trường X” Số phần tử biến cố A : n( A) = C265 C1151 + C365 C265 C1151 + C365 208 Vậy P( A) =  = 963 C3216 BÀI Có hai đơn vị cung cấp thực phẩm phục vụ ăn trưa cho công nhân nhà máy Đơn vị thứ cung cấp loại thực phẩm, đơn vị thứ hai cung cấp loại thực phẩm Người phụ trách bếp ăn lấy loại thực phẩm mẫu để kiểm tra và người kiểm tra chọn mẫu Tính xác suất để hai đơn vị cung cấp có mẫu chọn ĐS: Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C37 Gọi A là biến cố “cả hai đơn vị cung cấp có mẫu chọn” Có hai phương án: Có loại đơn vị thứ và loại đơn vị thứ hai: C13 C24 Có loại đơn vị thứ và loại đơn vị thứ hai: C23 C14 Số phần tử biến cố A : n( A) = C13 C24 + C23 C14 C1 C2 + C2 C1 Vậy P( A) = 3 = C7  BÀI Trong đợt tình nguyện tiếp sức mùa thi, trường học có em lớp 11A, em lớp 11B, em lớp 11C đăng kí tham dự Hỏi có bao nhiêu cách cử em làm nhiệm vụ cổng trường đại 661 học X cho lớp có ít em ĐS: 715 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C715 Gọi A là biến cố “mỗi lớp có ít em chọn” Thì A là biến cố “có ít lớp không có em nào chọn” Do đó n( A) = C79 + C710 + C711 C7 + C710 + C711 661 Vậy P( A) = − P( A) = − =  715 C15 BÀI Ban chấp hành Đoàn trường THPT cần chọn nhóm học sinh tình nguyện gồm học sinh từ học sinh lớp 10 và học sinh lớp 11 Tính xác suất để nhóm chọn 101 có ít học sinh lớp 11 ĐS: 104 292 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C516 Gọi A là biến cố “có ít học sinh lớp 11 chọn” Thì A là biến cố “không có học sinh nào lớp 11 chọn” Do đó n( A) = C59 C5 101 Vậy P( A) = − P( A) = − 59 = 104 C16  BÀI 10 Trong buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, đó có cặp vợ chồng Chọn ngẫu nhiên ba người để biểu diễn tiết mục văn nghệ Tính xác suất để người chọn không có cặp 89 vợ chồng nào ĐS: 95 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C320 Gọi A là biến cố “không có cặp vợ chồng nào người chọn” Thì A là biến cố “có cặp vợ chồng người chọn” Cách chọn: Bước : Chọn cặp vợ chồng từ cặp: C14 Bước : Chọn người thứ ba từ 18 người còn lại: C118 Do đó n( A) = C14 C118 Vậy P( A) = − P( A) = − C14 C118 89 = 95 C320  BÀI 11 Một lớp học có 40 học sinh, đó có cặp anh em sinh đôi Trong buổi họp đầu năm, thầy giáo chủ nhiệm lớp muốn chọn học sinh để làm cán lớp gồm có lớp trưởng, lớp phó và bí thư Tính xác suất để chọn học sinh làm cán lớp mà không có cặp anh em sinh đôi 64 nào ĐS: 65 Lời giải Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C340 (Có xét hay không xét thứ tự không làm xác suất thay đổi) Gọi A là biến cố “trong học sinh không có cặp sinh đôi nào” Thì A là biến cố “trong học sinh có cặp sinh đôi” Cách chọn: Bước : Chọn cặp sinh đôi từ cặp: C14 Bước : Chọn người thứ ba từ 38 người còn lại: C138 Do đó n( A) = C14 C138 Vậy P( A) = − P( A) = − C14 C138 64 = 65 C340  BÀI 12 Một người có 10 đôi giày khác và lúc du lịch vội vã lấy ngẫu nhiên 99 Tính xác suất để giày lấy có ít đôi ĐS: 323 Lời giải Cách 1: Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C420 Gọi A là biến cố “trong giày lấy có ít đôi” Thì A là biến cố “không có đôi nào giày lấy ra” Cách chọn: Lấy giày không có nào cùng đôi chứng tỏ đó lấy từ đôi khác đôi một, có C410 cách chọn Mỗi đôi lại có cách chọn giày đơn nên đôi có 24 cách chọn BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG Do đó n( A) = 24 C410 Vậy P( A) = − P( A) = − 293 24 C410 99 = 323 C20 Cách 2: Số phần tử không gian mẫu: n(Ω) = C420 = 4845 Gọi A là biến cố “trong giày lấy có ít đôi” Thì A là biến cố “không có đôi nào giày lấy ra” Cách chọn: Chiếc thứ có 20 cách chọn Chiếc thứ có 18 cách chọn (do đã loại đôi) Chiếc thứ có 16 cách chọn (do đã loại đôi) Chiếc thứ có 14 cách chọn (do đã loại đôi) Do cách chọn giày không xét tính thứ tự nên thực tế n( A) = 99 3360 Vậy P( A) = − P( A) = − = 4845 323 20 · 18 · 16 · 14 = 3360 4! BÀI 13 Tìm số nguyên dương n để: C0n + 2C1n + 4C2n + + 2n C0n = 243 Lời giải Ta có: ( x + 1) n =  ĐS: n = n ∑ Ckn xk k =0 Cho x = ta được: 3n = n ∑ Ckn 2k = C0n + 2C1n + 4C2n + + 2n C0n k =0 n ⇒ = 243 = 35 ⇔ n =  BÀI 14 Cho đa giác A1 A2 A2n , (n > 2, n ∈ Z+ ) nội tiếp đường tròn (O) Biết số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1 A2 A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1 A2 A2n Tìm n? ĐS: n = Lời giải Số tam giác có các đỉnh là 2n điểm A1 , A2 , A2n là C32n Gọi đường chéo đa giác A1 A2 A2n qua tâm đường tròn (O) là đường chéo lớn thì đa giác đã cho có n đường chéo lớn Mỗi hình chữ nhật có các đỉnh là 2n điểm A1 A2 A2n có các đường chéo là đường chéo lớn Ngược lại, với cặp đường chéo lớn ta có các đầu mút chúng là đỉnh hình chữ nhật Vậy số hình chữ nhật nói trên số cặp đường chéo lớn đa giác A1 A2 A2n tức C2n Theo giả thiết thì: C32n = 20C2n ⇔ n! 2n(2n − 1)(2n − 2) n ( n − 1) (2n)! = 20 ⇔ = 20 ⇔ 2n − = 3!(2n − 3)! 2!(2n − 3)! 15 ⇔ n =  294 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT   x −1  x  n −1 x −1 n −1 x x x −1 x −1 BÀI 15 Cho khai triển nhị thức: 2 + 2− = C0n 2 + C1n 2( ) 2− + + Cnn−1 2 2− + n x Cnn 2(− ) (với n là số nguyên dương), biết khai triển đó: C3n = 5C1n và số hạng thứ tư 20n Tìm n và x ĐS: n = 7, x = Lời giải Từ C3n = 5C1n ta có n ≥ và n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 ⇔ = 5n ⇔ n2 − 3n − 28 = 3!(n − 3)! ( n − 1) ! ⇒ n1 = −4 (loại) n2 = Với n = ta có  x −1   − x  C37 2 23 = 140 ⇔ 35 · 22x−2 · 2−x = 140 ⇔ 2x−2 = ⇔ x = BÀI 16 Tìm hệ số số hạng chứa x8 khai triển nhị thức Newton  n Cnn+ +4 − Cn+3 = 7( n + 3), (n là số nguyên dương và x > 0) Lời giải Ta có   n √ + x5 , biết x3 ĐS: 495 n! n! n(n − 1)(n − 2) =5 ⇔ = 5n ⇔ n2 − 3n − 28 = 3!(n − 3)! ( n − 1) ! (n + 2)(n + 3) ⇒ = 7(n + 3) ⇔ n + = · 2! = 14 ⇔ n = 12 2!
k  12−k − k x 60−211k x · x2 = C12  k Số hạng tổng quát khai triển là C12 60 − 11k 60−11k = ⇒ k = Ta có x = x8 ⇒ 12! Do đó hệ số số hạng chứa x8 là C412 = = 495 4!(12 − 4)! BÀI 17 Với n là số nguyên dương, gọi a3n−3 là hệ số x3n−3 khai triển thành đa thức
n x2 + ( x + 2)n Tìm n để a3n−3 = 26n ĐS: n = Lời giải Ta có " "  n  2 n  k # n   n n n n 1 2 i n 3n 3n k 3n i −2i x + ( x + 2) = x 1+ 1+ =x =x ∑ Cn x ∑ Cn x ∑ Cn x ∑ C x x i =0 i =0 k =0 k =0 Trong khai triển trên, lũy thừa x là 3n − −2i − k = −3, hay 2i + k = Ta có hai trường hợp thỏa điều kiện này là i = 0, k = i = 1, k = Nên hệ số x3n−3 là a3n−3 = C0n · C3n · 23 + C1n · C1n · n=5 2n(2n2 − 3n + 4)  Do đó a3n−3 = 26n ⇔ = 26n ⇔ n=− Vậy n = là giá trị cần tìm (vì n nguyên dương)  8 BÀI 18 Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức + x2 (1 − x ) Lời giải  ĐS: a8 = 238 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG h + x (1 − x ) i8 295 = C08 + C18 x2 (1 − x ) + C28 x4 (1 − x )2 + C38 x6 (1 − x )3 + C48 x8 (1 − x )4 + C58 x10 (1 − x )5 + C68 x12 (1 − x )6 + C78 x14 (1 − x )7 + C88 x16 (1 − x )8 Bậc x số hạng đầu nhỏ 8, bậc x số hạng cuối lớn Vậy x8 có các số hạng thứ tư, thứ năm, với hệ số tương ứng là C38 · C23 , C48 · C04 Suy a8 = 168 + 70 = 238  BÀI 19 Trong môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hỏi khó, 10 câu hỏi trung bình, 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi đó có thể lập bao nhiêu đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thi thiết phải có đủ loại (khó, trung bình, dễ) và số câu dễ không ít 2? ĐS: 56875 Lời giải Mỗi đề kiểm tra phải có số câu dễ là nên có các trường hợp sau Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó thì số các chọn là C215 · C210 · C15 = 23625 Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó thì số các chọn là C215 · C110 · C25 = 10500 Đề có câu dễ, câu trung bình, câu khó thì số các chọn là C315 · C110 · C15 = 22750 Vì các cách chọn trên đôi khác nau nên số đề kiểm tra có thể lập là 23625 + 10500 + 22750 = 56875   7 √ BÀI 20 Tìm số hạng không chứa x khai triển x + √ với x > ĐS: 35 x Lời giải Số hạng tổng quát khai triển là   √ 7− k k 28−7k 7− k − k k √ C7 ( x ) = C7k x x = C7k x 12 , (k ∈ Z, ≤ k ≤ 7) x Số hạng không chứa x là số hạng tương ứng với k, (k ∈ Z, ≤ k ≤ 7) thỏa mãn: 28 − 7k = ⇔ k = 12 Số hạng không chứa x cần tìm là C47 = 35  BÀI 21 Tìm số nguyên dương n, biết +1 C12n+1 − · 2C22n+1 + · 22 C32n+1 − · 23 C42n+1 + · · · + (2n + 1) · 22n C2n 2n+1 = 2005 ĐS: 1002 Lời giải +1 2n+1 Ta có (1 + x )2n+1 = C02n+1 + C12n+1 x + C22n+1 x2 + C32n+1 x3 + + C2n 2n+1 x Đạo hàm hai vế ta ∀ x ∈ R +1 2n (2n + 1)(1 + x )2n = C12n+1 + 2C22n+1 x + 3C32n+1 x2 + + (2n + 1)C2n 2n+1 x , ∀ x ∈ R Thay x = −2 ta có +1 C12n+1 − 2.2C22n+1 + 3.22 C32n+1 − 4.23 C42n+1 + + (2n + 1) · 22n C2n 2n+1 = 2n + Theo giả thiết ta có 2n + = 2005 ⇔ n = 1002  BÀI 22 Một đội niên tình nguyện có 15 người gồm 12 nam và nữ Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội niên tình nguyện đó giúp đỡ tỉnh miền núi, cho tỉnh có nam và nữ? ĐS: 207900 Lời giải 296 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT Có C13 C412 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ Với cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ thì có C12 C48 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ hai Với cách phân công các niên tình nguyện tỉnh thứ nhất, thứ hai thì có C11 C44 cách phân công niên tình nguyện tỉnh thứ ba Số cách phân công đội niên tình nguyện tỉnh thỏa mãn yêu cầu bài toán là C13 · C412 · C12 · C48 · C11 · C44 = 207900  A4n+1 + 3A3n , biết số nguyên dương n thỏa mãn : ( n + 1) ! ĐS: BÀI 23 Tính giá trị biểu thức : M = C2n+1 + 2C2n+2 + 2C2n+3 + C2n+4 = 149 Lời giải Điều kiện n ≥ Ta có C2n+1 + 2C2n+2 + 2C2n+3 + C2n+4 = 149 ( n + 2) ! ( n + 3) ! ( n + 4) ! ( n + 1) ! +2 +2 + = 149 ⇔ 2!(n − 1)! 2!n! 2!(n + 1)! 2!(n + 2)! ⇔ n " + 4n − 45 = n=5 (nhận) ⇔ n = −9 (loại) Với n = ta M = A46 + 3A35 6! 5! 6! +3· 2! = = 2! 6! BÀI 24 Tìm hệ số số hạng chứa x26   khai triển nhị thức Niutơn n +x , biết x4 ĐS: 210 n 20 C12n+1 + C22n+1 + C32n+1 + · · · + C2n +1 = − Lời giải 2n−1 n +1 n Ta có Ckn = Cnn−k nên C12n+1 = C2n 2n+1 , C2n+1 = C2n+1 , , C2n+1 = C2n+1 2n−1 n +1 n 2n Suy C12n+1 + C22n+1 + + C2n +1 = C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 Ta có     n 2n 2n−1 n +1 2n+1 (1 + x )2n+1 = C02n+1 + C12n+1 + C22n+1 + + C2n + C + C + + C +1 2n+1 2n+1 2n+1 + C2n+1   n = + C2n+1 + C2n+1 + + C2n+1 22n+1 220
221  + x7 x 10 Cho x = ta = 2+2 −1 = ⇔ n = 10 ⇒  10  k  10−k 10 10
10 k −4 k 70−11k − Ta có +x = x +x = ∑ C10 x x = ∑ C10 x x k =0 k =0 Số hạng chứa x26 ứng với 70 − 11k = 26 ⇔ k = Vậy hệ số số hạng chứa x26 là C410 = 210  BÀI 25 Đội niên xung kích trường phổ thông có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B và học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ, cho học sinh này thuộc không quá lớp trên Hỏi có bao nhiêu cách chọn vậy? ĐS: 225 BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 297 Lời giải Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh đã cho là C412 = 495 số cách chọn học sinh mà lớp có ít em tính sau: Lớp A có học sinh, các lớp B, C lớp có học sinh, số cách chọn là C25 · C14 · C13 = 120 Lớp B có học sinh, các lớp A, C lớp có học sinh, số cách chọn là C15 · C24 · C13 = 90 Lớp C có học sinh, các lớp A, B lớp có học sinh, số cách chọn là C15 · C14 · C23 = 60 Số cách chọn học sinh mà lớp có ít học sinh là 120 + 90 + 60 = 270 Vậy, số cách chọn phải tìm là 495 − 270 = 225  BÀI 26 Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton (2 + x )n , biết 3n · C0n + 3n−1 · C1n + 3n−2 · C2n − 3n−3 · C3n + · · · + (−1)n · Cnn = 2048 ĐS: 2C10 11 Lời giải Trong khai triển nhị thức Newton ( a + b)n cho a = 3, b = −1 ta kết (3 − 1)n = 3n C0n − 3n−1 C1n + 3n−2 C2n − 3n−3 C3n + + (−1)n Cnn = 2048 = 211 ⇒ n = 11 Do đó tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển (2 + x )11 là 2C10 11 BÀI 27 Tìm hệ số số x5 khai triển x · (1 − 2x )5 + x2 · (1 + 3x )10 Lời giải Hệ số x5 khai triển x · (1 − 2x )5 là (−2)4 C45 = 80 Hệ số x5 khai triển x2 · (1 + 3x )10 là 33 C310 = 3240 Hệ số x5 khai triển x · (1 − 2x )5 + x2 · (1 + 3x )10 là 80 + 3240 = 3320  ĐS: 3320  BÀI 28 Cho khai triển (1 + 2x )n = a0 + a1 x + · · · + an x n , đó n ∈ N∗ và các hệ số a0 , a1 , a2 , a2 an a + · · · · + n = 4096 Tìm số lớn các hệ số a0 , a1 , , an thỏa mãn hệ thức a0 + + a2 , , a n ĐS: 126720 Lời giải Ta có (1 + 2x )n = C0n + 2C1n x + 22 C2n x2 + + 2n Cnn x n an a Theo đề (1 + 2x )n = a0 + a1 x + a2 x2 + + an x n suy a0 = C0n , = C1n , , n = Cnn 2 a1 an n n 12 + + n = 4096 ⇔ Cn + Cn + + Cn = 4096 ⇔ = ⇔ n = 12 Vì a0 + 2 Khi đó ta có khai triển (1 + 2x )12 = 12 k k k k k x ⇒ ak = C12 ∑ C12 k 2k < Ck +1 2k +1 ⇔ k < 23 Xét bất phương trình ak < ak+1 ⇔ C12 12 23 Tương tự ak > ak+1 ⇔ k > Do k ∈ Z nên k = Do đó a0 < a1 < < a7 < a8 > và a8 > a9 > a10 > > a12 Vậy hệ số lớn các hệ số a0 , a1 , , an là a8 = 28 C812 = 126720 + C + C + · · · + C 2n−1 = 2048 BÀI 29 Tìm số nguyên dương n thỏa C2n 2n 2n 2n Lời giải Ta có  ĐS: n = −1 = (1 − 1)2n = C02n − C12n + − C2n + C2n 2n 2n −1 22n = (1 + 1)2n = C02n + C12n + + C2n + C2n 2n 2n −1 ⇒ C12n + C32n + + C2n = 22n−1 2n Từ giả thiết suy 22n−1 = 2048 ⇔ n =  298 CHƯƠNG TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT BÀI 30 Cho n là số nguyên dương thỏa mãn 5Cnn−1 = C3n Tìm số hạng chứa x5 khai triển  n nx 35 nhị thức Newton: − , ∀ x 6= ĐS: − x5 14 x 16 Lời giải n(n − 1)(n − 2) 5Cnn−1 = C3n ⇔ 5n = ⇔ n = (vì n nguyên dương)  n  7    7− k  7 (−1)k Ck 1 nx x k x k 14−3k Khi đó − − x = = ∑ C7 − = ∑ 7− k 14 x x x k =0 k =0 Số hạng chứa x5 ứng với 14 − 3k = ⇔ k = (−1)3 · C37 35 Do đó số hạng cần tìm là x = − x5  16 BÀI 31 Trong lớp học gồm có 15 học sinh nam và 10 học sinh nữ Giáo viên gọi ngẫu nhiên 443 học sinh lên bảng giải bài tập Tính xác suất để học sinh gọi có nam và nữ ĐS: 506 Lời giải Số cách chọn học sinh lớp là C425 = 12650 Số cách chọn học sinh có nam và nữ là C115 · C310 + C215 · C210 + C315 · C110 = 11075 11075 443 =  Vậy xác suất cần tính là P = 12650 506 BÀI 32 Gọi S là tập hợp tất số tự nhiên gồm ba chữ số phân biệt chọn từ các số 1; 2; 3; 4; 5; 6; Xác định số phần tử S Chọn ngẫu nhiên số từ S, tính xác xuất để số chọn là số chẵn ĐS: Lời giải Số phần tử S là A37 = 210 Số cách chọn số chẵn từ S là · · = 90 90 =  Xác suất cần tính 210 BÀI 33 Có hai hộp chứa bi Hộp thứ chứa viên bi đỏ và viên bi trắng, hộp thứ hai chứa viên bi đỏ và viên bi trắng Lấy ngẫu nhiên từ hộp viên bi Tính xác suất để lấy 10 hai viên bi cùng màu ĐS: 21 Lời giải Số cách chọn viên bi, viên từ hộp là · = 42 Số cách chọn viên bi đỏ, viên từ hộp là · = Số cách chọn viên bi trắng, viên từ hộp là · = 12 + 12 10 Xác suất để viên bi lấy có cùng màu là P = =  42 21 BÀI 34 Để kiểm tra chất lượng sản phẩm từ công ty sữa, người ta gửi đến phận kiểm nghiệm hộp sữa cam, hộp sữa dâu và hộp sữa nho Bộ phận kiểm nghiệm chọn ngẫu nhiên hộp sữa để phân tích mẫu Tính xác suất để hộp sữa chọn có loại ĐS: 11 Lời giải Số phần tử không gian mẫu là C312 = 220 60 Số cách chọn hộp sữa có đủ loại là C15 · C14 · C13 = 60 Do đó xác suất cần tính là P = = 220 11  BÀI 35 Từ hộp chứa 16 thẻ đánh số từ đến 16, chọn ngẫu nhiên thẻ Tính xác suất để thẻ chọn đánh số chẵn? ĐS: 26 Lời giải BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG 299 Số phần tử không gian mẫu là C416 = 1820 Gọi E là biến số “4 thẻ đánh số chẵn” Số kết thuận lợi cho biến cố “4 thẻ đánh số chẵn” là C48 = 70 n( E) 70 Xác suất cần tính là P( E) = = = n(Ω) 1820 26  BÀI 36 Trong đợt ứng phó dịch MERS – CoV, Sở Y tế thành phố đã chọn ngẫu nhiên ba đội phòng chống dịch động số đội Trung tâm y tế dự phòng thành phố và 20 đội các trung tâm y tế sở để kiểm tra công tác chuẩn bị Tính xác suất để có ít hai đội các 209 trung tâm y tế sở chọn ĐS: 230 Lời giải Không gian mẫu Ω có số phần tử là n(Ω) = C325 = 2300 Gọi E là biến cố: có ít hai đội các trung tâm y tế sở chọn Số kết thuận lợi cho biến cố E là C220 · C15 + C320 = 2090 n( E) 2090 209 Vậy P( E) = = =  n(Ω) 2300 230 BÀI 37 Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học lớp mình Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến và không có hai nút nào ghi cùng số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số trên nút đó theo thứ tự đã nhấn tạo thành dãy số tăng và có tổng 10 Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác trên bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa vào phòng học đó ĐS: 90 Lời giải Không gian mẫu Ω có số phần tử là n(Ω) = A310 = 720 Gọi E là biến cố: “B mở cửa phòng học” Ta có E = {(0; 1; 9), (0; 2; 8), (0; 3; 7), (0; 4; 6), (1; 2; 7), (1; 3; 6), (1; 4; 5), (2; 3; 5)} Do đó n( E) = Vậy P( E) = n( E) = n(Ω) 90