Hướng dẫn giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian, quan hệ song song - TOANMATH.com

Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB và M là một điểm nằm trong hình thang ABCD sao cho đường thẳng K M cắt hai đường thẳng AD và CD.. Tìm thiết diện của hình chóp S.AB[r]

CHƯƠNG BÀI ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG A TÓM TẮT LÝ THUYẾT Mở đầu hình học không gian Đối tượng bản: Điểm: kí hiệu A , B, C , Đường thẳng: kí hiệu a, b, c, d , Mặt phẳng: kí hiệu (P), (Q), (α), (β), d A B P Quan hệ bản: Thuộc: kí hiệu ∈ Ví dụ A ∈ d , M ∈ (P) Chứa, nằm trong: kí hiệu ⊂ Ví dụ: d ⊂ (P), b ⊂ (α) Hình biểu diễn hình không gian: Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) Hai đoạn thẳng song song biểu diễn hai đoạn thẳng song song và Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường trông thấy và dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểu diễn cho đường bị che khuất Các tính chất thừa nhận hình học không gian Có và mặt phẳng qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng thì điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng đó Tồn bốn điểm không cùng thuộc mặt phẳng Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng còn có điểm chung khác Từ tính chất này suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung thì chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung là chứa tất các điểm chung hai mặt phẳng đó Đường thẳng chung đó gọi là giao tuyến hai mặt phẳng Trên mặt phẳng, các kết đã biết hình học phẳng đúng d E G A α B C d A α B D A α B C Điều kiện xác định mặt phẳng Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết nó qua ba điểm không thẳng hàng Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết nó qua điểm và chứa đường thẳng không qua điểm đó Mặt phẳng hoàn toàn xác định biết nó chứa hai đường thẳng cắt Mặt phẳng hoàn toàn có thể mở rộng đến vô cực 311 312 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Hình chóp và hình tứ diện Cho đa giác A A A A n nằm mặt phẳng (α) và điểm S ∉ (α) Lần lượt nối điểm S với các đỉnh A A A A n ta n tam giác S A A , S A A 2, S A n A Hình gồm đa giác A A A A n và n tam giác S A A , S A A , S A n A gọi là hình chóp, kí hiệu hình chóp này là S.A A A A n Khi đó ta gọi: S là đỉnh hình chóp A A A A n là mặt đáy hình chóp Các tam giác S A A , S A A , S A n A gọi là các mặt bên Ta gọi hình chóp có đáy là tam giác, tứ giác, ngũ giác, , là hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác, Cho bốn điểm A , B, C , D không đồng phẳng Hình gồm tam giác ABC , ACD , BCD , ABD gọi là hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi là tứ diện) và kí hiệu là ABCD Các điểm A , B, C , D là bốn đỉnh tứ diện Các đoạn thẳng AB, BC , CD , D A , C A , BD gọi là các cạnh tứ diện Hai cạnh không qua đỉnh gọi là hai cạnh đối diện tứ diện Các tam giác ABC , ACD , ABD , BCD gọi là các mặt tứ diện Hình tứ diện có bốn mặt là các tam giác gọi là hình tứ diện S A B A B C D C D Hình chóp tam giác (Tứ diện) Hình chóp tứ giác S S B A B A D C Hình chóp tứ giác có đáy là hình thang B D C Hình chóp tứ giác có đáy là hình bình hành DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG 1.1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng Tìm hai điểm chung phân biệt hai mặt phẳng Đường thẳng nối hai điểm đó là giao tuyến chúng ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 313 VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện S ABC Gọi M, N là hai điểm trên cạnh AB và BC cho MN không song song với AC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau (SMN ) và (S AC ); (S AN ) và (SCM ) Lời giải S Trong ( ABC ), gọi K = MN ∩ AC , ta có ( S ∈ (SMN ) ∩ (S AC )S K ∈ (SMN ) ∩ (S AC ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng SK Trong ( ABC ), gọi H = AN ∩ CM , ta có A ( M S ∈ (S AN ) ∩ (SCM ) B H H ∈ (S AN ) ∩ (SCM ) N Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là đường thẳng SH C K ä VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD , đó mặt đáy ABCD có các cặp cạnh đối không song song Gọi điểm M thuộc cạnh S A Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau (S AC ) và (SBD ); (S AB) và (SCD ); ( MBC ) và (S AD ) Lời giải S Trong ( ABCD ), gọi E = AC ∩ BD , ta có ( S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) M E ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) Vậy đường thẳng giao tuyến là SE Trong ( ABCD ), gọi F = AB ∩ CD , ta có ( A D K S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) F ∈ (S AB) ∩ (SCD ) E C Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là SF B Trong ( ABCD ), gọi K = AD ∩ CB, ta có ( F M ∈ ( MBC ) ∩ (S AD ) K ∈ ( MBC ) ∩ (S AD ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là MK ä BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho tứ diện S ABC Gọi K, M là hai điểm trên cạnh S A và SC Gọi N là trung điểm cạnh BC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau (S AN ) và ( ABM ); Lời giải (S AN ) và (BCK ) 314 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN S Trong (SBC ), gọi E = SN ∩ BM , ta có ( A ∈ (S AN ) ∩ ( ABM ) M K E ∈ (S AN ) ∩ ( ABM ) Vậy đường thẳng giao tuyến là AE E Ta có ( A N ∈ (S AN ) ∩ (BCK ) C K ∈ (S AN ) ∩ (BCK ) Suy giao tuyến hai mặt phẳng là K N N B ä BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD và AB > CD Lấy điểm M trên đoạn BC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (S AC ) và (SBD ); (S AD ) và (SBC ); (S AM ) và (SBD ); (SDM ) và (S AB) Lời giải S Trong ( ABCD ), gọi E = AC ∩ BD , ta có ( S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) E ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) Vậy đường thẳng giao tuyến là SE Trong ( ABCD ), gọi K = AD ∩ CB, ta có ( A B H S ∈ (SBC ) ∩ (S AD ) K ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) F Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là SK Trong ( ABCD ), gọi F = AM ∩ DB, ta có ( S ∈ (S AM ) ∩ (SBD ) M E D C K F ∈ (S AM ) ∩ (SBD ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là SF Trong ( ABCD ), gọi = DM ∩ AB, ta có ( S ∈ (SDM ) ∩ (S AB) H ∈ (SDM ) ∩ (S AB) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng là SH ä BÀI Cho tứ diện S ABC Gọi D, E, F là trung điểm AB, BC, S A Tìm giao tuyến SH hai mặt phẳng (SCD ) và (S AE ); Tìm giao tuyến CI hai mặt phẳng (SCD ) và (BFC ); SH và CI có cắt không? Giải thích? Nếu có, gọi giao điểm đó là O , chứng minh I H ∥ SC Tính tỉ số OH OS ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 315 Lời giải S Trong ( ABC ), gọi H = AE ∩ CD ≡ H Ta có giao tuyến (SCD ) và (S AE ) là SH F Trong (S AB), gọi I = SD ∩ BF Ta có giao tuyến hai mặt phẳng (SCD ) và (BFC ) là CI Ta có CI và SH cùng nằm mặt phẳng (SCD ) Xét tam giác SCD có I ∈ SD ; H ∈ CD nên CI và SH cắt O ID = SD DH H là trọng tâm tam giác ABC suy = CD DH ID = ⇔ I H ∥ SC Suy SD CD ID OH I H = = = Vậy OS SC SD O I A C Ta có I là trọng tâm tam giác S AB suy H D E B ä BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Trên cạnh S A lấy điểm M Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (S AC ) và (SBD ) (BCM ) và (S AD ) (CDM ) và (S AB) (BDM ) và (S AC ) BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Trung điểm CD là M Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (S AC ) và (SBD ) (SBM ) và (S AC ) (SBM ) và (S AD ) (S AM ) và (SBC ) BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD và AB > CD Lấy điểm M nằm trên đoạn S A Hãy tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (BDM ) và (S AC ) (BCM ) và (S AD ) (BCM ) và (SCD ) BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Lấy điểm M trên cạnh S A , trung điểm CD là N Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (BMN ) và (S AC ) (BMN ) và (S AD ) ( MCD ) và (SBD ) ( MCD ) và (S AB) BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác có hai cạnh đối diện không song song Lấy điểm M thuộc miền tam giác SCD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (SBM ) và (SCD ) ( ABM ) và (SCD ) ( ABM ) và (S AC ) BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Lấy I thuộc cạnh S A , J thuộc cạnh SB cho I J không song song với AB Lấy K là điểm thuộc miền tứ giác ABCD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: ( I JK ) và ( ABCD ) ( I JK ) và (S AB) ( I JK ) và (S AD ) ( I JK ) và (S AC ) ( I JK ) và (SBD ) BÀI 10 Cho hình chóp S ABC Trên cạnh S A, SC lấy điểm M, N cho MN không song song với AC Gọi K là trung điểm BC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: 316 ( MNK ) và ( ABC ) CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ( MNK ) và (S AB) BÀI 11 Cho hình chóp S ABC Trên cạnh S A, SC lấy điểm M, N cho MN không song song với AC Gọi O là điểm thuộc miền tam giác ABC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: ( MNO ) và ( ABC ) ( MNO ) và (S AB) (SMO ) và (SBC ) (ONC ) và (S AB) BÀI 12 Cho tứ diện ABCD có M là điểm trên cạnh AB, N là điểm trên cạnh AD cho MB = M A, AN = ND Gọi P là điểm nằm tam giác BCD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (CMN ) và (BCD ) ( MNP ) và (S AD ) ( MNP ) và ( ABC ) BÀI 13 Cho tứ diện ABCD Gọi M là điểm nằm tam giác ABC , N là điểm nằm tam giác ACD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (CDM ) và ( ABD ) (BCN ) và ( ABD ) (CMN ) và (BCD ) BÀI 14 Cho tứ diện S AC Lấy điểm E, F trên đoạn S A, SB và điểm G là trọng tâm tam giác ABC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (EFG ) và ( ABC ) (EFG ) và (SBC ) (EFG ) và (SGC ) BÀI 15 Cho hình chóp S.ABCD Hai điểm G, H là trọng tâm 4S AB, 4SCD Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (SGH ) và ( ABCD ) (S AC ) và (SGH ) (S AC ) và (BGH ) (SCD ) và (BGH ) BÀI 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có AB ∥ CD Gọi I là giao điểm AD và BC Lấy M thuộc cạnh SC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: (S AC ) và (SBD ) (S AD ) và (SBC ) ( ADM ) và (SBC ) BÀI 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N,Q là trung điểm các cạnh BC, CD, S A Hãy tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: ( MNP ) và (S AB) ( MNP ) và (S AD ) ( MNP ) và (SBC ) ( MNP ) và (SCD ) BÀI 18 Cho hình chóp S.ABC Gọi H, K là trọng tâm tam giác S AB, SBC và M là trung điểm cạnh AC , I ∈ SM cho SI > SM Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau đây: ( I HK ) và ( ABC ) ( I HK ) và (SBC ) ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 317 { DẠNG 1.2 Tìm giao điểm đường thẳng d và mặt phẳng (α) β d I u α Tìm mặt phẳng phụ (β) chứa d cho dễ tạo giao tuyến với (α) Mặt phẳng này thường xác định d và điểm (α) Tìm giao tuyến u (α) và (β) Trong (β), d cắt u I , mà u ⊂ (α) Vậy d cắt (α) I VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện S ABC có M là điểm nằm trên tia đối tia S A , O là điểm nằm tam giác ABC Tìm các giao điểm Đường thẳng BC và mặt phẳng (SO A ); Đường thẳng MO và mặt phẳng (SBC ); Đường thẳng AB và mặt phẳng ( MOC ); Đường thẳng SB và mặt phẳng ( MOC ) Lời giải M Trong(mặt phẳng ( ABC ), kéo dài AO cắt BC I I ∈ BC Ta có ⇒ I là giao điểm BC và (SO A ) I ∈ AO ⊂ (SO A ) S H Chọn mặt phẳng phụ chứa MO là (SO A ), ta có (SO A ) ∩ (SBC ) = SI Trong((SO A ) ≡ (SM I ), gọi J là giao điểm SI và MO J ∈ MO Ta có ⇒ J là giao điểm MO và (SBC ) J ∈ SI ⊂ (SBC ) Trong(mặt phẳng ( ABC ), kéo dài CO cắt AB K K ∈ AB Ta có ⇒ K là giao điểm AB và ( MOC ) K ∈ CO ⊂ ( MOC ) J A O K C I B Chọn mặt phẳng phụ chứa SB là (S AB), ta có (S AB) ∩ ( MOC ) = MK Trong((S AB) ≡ ( M AB), gọi H là giao điểm SB và MK H ∈ SB Ta có ⇒ H là giao điểm SB và ( MOC ) H ∈ MK ⊂ ( MOC ) ä VÍ DỤ Cho tứ diện S ABC có hai điểm M , N thuộc hai cạnh S A , SB và O là điểm nằm tam giác ABC Xác định giao điểm Đường thẳng AB và mặt phẳng (SOC ); Đường thẳng MN và mặt phẳng (SOC ); 318 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Đường thẳng SO và mặt phẳng (CMN ) Lời giải S Trong(mặt phẳng ( ABC ), kéo dài CO cắt AB I I ∈ AB Ta có ⇒ I là giao điểm AB và (SOC ) I ∈ CO ⊂ (SOC ) N K H Chọn mặt phẳng phụ chứa MN là (S AB), ta có (S AB) ∩ (SOC ) = SI Trong((S AB), gọi K là giao điểm SI và MN K ∈ MN Ta có ⇒ K là giao điểm MN và (SOC ) K ∈ SI ⊂ (SOC ) M A C I Chọn mặt phẳng phụ chứa SO là (SIC ), ta có (SIC ) ∩ (CMN ) = K C Trong((SIC ), gọi H là giao điểm K C và SO H ∈ SO Ta có ⇒ H là giao điểm SO và (CMN ) H ∈ K C ⊂ (CMN ) O B ä BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi M , N là trung điểm AC và BC Lấy điểm P trên cạnh BD cho PB > PD Tìm giao điểm CD và ( MNP ) AD và ( MNP ) Lời giải A M E Q D C P N B NB PB = 6= nên NP và DC cắt giả sử Q Rõ ràng NC PC Q ∈ CD theo cách dựng Lại có Q ∈ NP ⊂ ( MNP ) nên Q ∈ ( MNP ) Vậy Q = CD ∩ ( MNP ) Trong mặt phẳng (BCD ), xét tam giác BCD có Trong mặt phẳng ( ACD ) nối Q với M cắt AD E Dễ thấy E ∈ AD theo cách dựng Lại có E ∈ MQ ⊂ ( MNP ) nên E ∈ ( MNP ) Vậy E = AD ∩ ( MNP ) ä BÀI Cho tứ diện ABCD Trên AC và AD lấy các điểm M , N cho MN không song song với CD Gọi O là điểm thuộc miền 4BCD Tìm giao điểm BD và (OMN ) BC và (OMN ) MN và ( ABO ) AO và (BMN ) Lời giải Trong mặt phẳng ( ACD ), vì MN không song song với CD nên ta giả sử MN cắt CD E Trong mặt phẳng (BCD ), nối E với O kéo dài cắt BD và BC F và G A M Ta có F ∈ OE ⊂ (OMN ) và F ∈ BD Suy F = BD ∩ (OMN ) I Theo cách dựng thì G ∈ BC và G ∈ OE ⊂ (OMN ) Vậy G = BC ∩ (OMN ) Trong mặt phẳng (BCD ) kéo dài BO cắt DC H Trong mặt phẳng ( ADC ) nối H với A cắt MN I Vì H ∈ BO ⊂ ( ABO ) nên AH ⊂ ( ABO ) Suy I ∈ ( ABO ) Vậy I = MN ∩ ( ABO ) N F E G J B C O H D Trong mặt phẳng ( ABH ) nối B với I cắt AO J Rõ ràng J ∈ AO theo cách dựng và J ∈ BI ⊂ (BMN ) Vậy J = AO ∩ (BMN ) ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 319 ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SB, N là trọng tâm 4SCD Xác định giao điểm MN và ( ABCD ) MN và (S AC ) SC và ( AMN ) Lời giải Gọi I và J là trung điểm các cạnh SD và DC Trọng tâm tam giác SCD là N = S J ∩ CI S Trong mặt phẳng ( ABCD ) nối B với J cắt AC và AD E và K Vì DK ∥ BC nên theo Hệ Định lý Talet ta có S A và (CMN ) G I H M JB JC = = ⇒ JC = JD JK JD N F K A Vậy 4SCD và 4SBK có chung đường trung tuyến là S J Vì trọng tâm N 4SCD là trọng tâm 4SBK Suy K ∈ MN Lúc đó K = MN ∩ ( ABCD ) D J E B C Trong mặt phẳng (SBJ ) nối S với E cắt MN F Ta có F = MN ∩ (S AC ) Trong mặt phẳng (SCD ) nối N với D kéo dài cắt SC H Vì D ∈ AK ⊂ ( AMN ) nên ND ⊂ ( AMN ) Suy H ∈ ( AMN ) Vậy H = SC ∩ ( AMN ) Theo cách dựng ta thấy IK = (CMN ) ∩ (S AD ) Trong mặt phẳng (S AD ) kéo dài IK cắt S A G Lúc đó G = S A ∩ (CMN ) ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Trên S A , SB lấy hai điểm M và N Tìm giao điểm SO và (CMN ) Tìm giao tuyến (S AD ) và (CMN ) Lời giải Trong mặt phẳng (S AC ) nối S với O cắt MC I Trong mặt phẳng (SBD ) kéo dài I N cắt SD J Lúc đó S M I = SO ∩ (CMN ) J N I J ∈ (S AD ) ∩ (CMN ) Lại có M ∈ (S AD ) ∩ (CMN ) Vậy J M = (S AD ) ∩ (CMN ) B A O D C ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD Gọi M , N là trung điểm cạnh S A , SD và P là điểm thuộc cạnh SB cho SP = 3PB Tìm giao điểm Q SC và ( MNP ) Tìm giao tuyến ( MNP ) và ( ABCD ) Lời giải Gọi O là giao điểm AC và BD Trong mặt phẳng (SBD ) gọi I là giao điểm NP với SO Lúc đó I ∈ ( MNP ) và M I ⊂ (S AC ) S Trong mặt phẳng (S AC ) gọi Q là giao điểm M I và SC Vì Q ∈ M I nên Q = SC ∩ ( MNP ) M P Trong mặt phẳng (S AC ) gọi G là giao điểm M I và AC Lúc đó G ∈ ( MNP ) ∩ ( ABCD ) Trong mặt phẳng (S AB), vì H I N B A O 1= MS PS 6= =3 M A PB nên MP và AB cắt Gọi H là giao điểm MP và AB Ta có H ∈ ( MNP ) ∩ ( ABCD ) Vậy GH = ( MNP ) ∩ ( ABCD ) D G C Q ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SC , N là trung điểm OB với O là giao điểm AC và BD 320 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Tìm giao điểm I SD với ( AMN ) Tính tỉ số SI ID Lời giải S I M A O P D B N L J C Trong mặt phẳng ( ABCD ) nối A với N kéo dài cắt DC J và cắt BC L Trong mặt phẳng (SDC ) nối J với M kéo dài cắt SD I Vì J ∈ AN ⊂ ( AMN ) nên M J ⊂ ( AMN ) Suy I ∈ ( AMN ) Vậy I = SD ∩ ( AMN ) Trong mặt phẳng ( ABCD ), vì AB ∥ D J nên N AB đồng dạng với N JD Suy D J DN = = ⇒ D J = AB = 3DC AB NB Trên cạnh SD lấy điểm P cho I là trung điểm SP Ta có I M là đường trung bình 4SPC nên I M ∥ PC ⇒ I M ∥ I J Áp dụng Định lý Talet 4D I J ta có DI DJ = = ⇒ D I = 3DP và SI = P I = 2DP DP DC Vậy SI = ID ä BÀI Cho hình chóp S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC Gọi M là điểm trên cạnh S A cho M A = MS , K là trung điểm BC và D là điểm đối xứng G qua A Tìm giao điểm H SK với ( MCD ) Tính tỉ số HK SK Lời giải Trong mặt phẳng (SDK ) kéo dài DM cắt SK H Lúc đó H = SK ∩ ( MCD ) Trong mặt phẳng (SDK ) vẽ đường thẳng qua A và song song với S SK cắt DH E Vì AE ∥ SH nên theo Hệ Định lý Talet ta có AE M A = = ⇒ SH = AE SH MS M E Trong 4DHK ta có AE ∥ HK nên theo Định lý Talet thì DA AE = = ⇒ HK = AE HK DK 2 Ta có SK = SH + HK = AE + AE = AE Vậy H D C G A HK = SK K B ä BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm AC và BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK = 2K D Tìm giao điểm E CD với ( I JK ) Chứng minh: DE = DC Tìm giao điểm F AD với ( I JK ) Chứng minh: F A = 2FD và FK ∥ I J Gọi M và N là hai điểm bất kì nằm trên hai cạnh AB và CD Tìm giao điểm MN với ( I JK ) ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 321 Lời giải A M P F I H N E D C Q K J B Trong mặt phẳng (BCD ) kéo dài JK cắt CD E Lúc đó, dễ thấy E ∈ CD theo cách dựng Lại có E ∈ K J ⊂ ( I JK ) Suy E = CD ∩ ( I JK ) Trong mặt phẳng (BCD ) lấy điểm E thuộc đường thẳng DC cho D là trung điểm E C Xét 4E BC có BD và E J là các đường trung tuyến Vì BK = 2K D nên K là trọng tâm 4E BC Suy E , K , J thẳng hàng Từ đây có E = DC ∩ K J Vậy E ≡ E Suy DE = DC Trong mặt phẳng ( ACD ), nối I với E cắt AD F Lúc đó rõ ràng F ∈ AD và vì F ∈ EI ⊂ ( I JK ) nên F ∈ ( I JK ) Vậy F = AD ∩ ( I JK ) Trong AEC , vì các điểm D , I là trung điểm EC và AC nên F = AD ∩ EI chính là trọng tâm AEC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có F A = 2FD Vì I J là đường trung bình tam giác ABC nên I J ∥ AB Mặt khác, vì ta có FK ∥ AB Từ đó suy FK ∥ I J DK DF = = nên theo Định lý Talet DB D A 3 Trong mặt phẳng (BCD ) nối B với N cắt K J Q Ta có Q ∈ ( I JK ) Trong mặt phẳng ( ADC ) nối A với N cắt EI P Vì ( I JK ) ≡ ( IE J ) nên P ∈ EI ⊂ ( IE J ) ⇒ P ∈ ( I JK ) Trong mặt phẳng ( ABN ) nối P với Q cắt MN H Lúc đó, vì H ∈ PQ ⊂ ( I JK ) nên H ∈ ( I JK ) Vậy H = MN ∩ ( I JK ) ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD ∥ BC và AD = 2BC , E là trung điểm S A Gọi N là điểm thuộc đoạn AB cho NB = N A và M là điểm thuộc đoạn CD cho MD = MC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (EMN ) và (S AD ) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (EMN )và (SCD ) Tìm giao điểm L đường thẳng EM và mặt phẳng (SBC ) Tìm giao tuyến (CDE ) và (S AB) Giao tuyến này cắt SB P và cắt AB I Chứng minh: 2SB = 3SP và S IDE = 3S ICP Lời giải Trong mặt phẳng ( ABCD ) kéo dài MN và AD cắt J Lúc đó J ∈ AD ⊂ (S AD ) và J ∈ MN ⊂ (EMN ) Vì J ∈ (S AD ) ∩ (EMN ) Dễ thấy E ∈ (S AD ) ∩ (EMN ) Vậy E J = (EMN ) ∩ (S AD ) Trong mặt phẳng (S AD ) kéo dài JE cắt SD Q Vì JE ⊂ (E J M ) ≡ (EMN ) nên Q ∈ (EMN ) Lúc đó QM = (EMN ) ∩ (SCD ) Trong mặt phẳng (S AB) kéo dài NE và SB cắt K Lúc đó K ∈ (EMN ) ∩ (SBC ) Trong mặt phẳng ( ABCD ) kéo dài MN và BC cắt H Ta có H ∈ (EMN ) ∩ (SBC ) Suy GH = (EMN ) ∩ (SBC ) Trong mặt phẳng (EMN ) kéo dài K H và EM cắt L Vì K H ⊂ (SBC ) nên L ∈ (SBC ) Vậy L = EM ∩ (SBC ) Trong mặt phẳng ( ABCD ) kéo dài CD và AB cắt 322 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN K I Lúc đó IE = (CDE ) ∩ (S AB) Trong mặt phẳng ( ABCD ) vì BC ∥ AD nên áp dụng Định lý Talet với I AD ta có BC IB IC = = = ⇒ IB = AB và ID = IC I A ID AD Trong mặt phẳng (S AB) xét 4SI A có B và E là trung điểm các cạnh I A và S A Lúc đó P = IE ∩ SB là trọng tâm 4SI A Theo tính chất trọng tâm thì S Q IE = IP và 2SB = 3SP E Ta có J 1  = · IP · IC · sin EID  S IDE = IE · ID · sin EID 2  = · · IP · IC · sin P IC = 3S ICP A P D N M B C H Vậy S4 IDE = 3S4 ICP I L ä BÀI 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AB đáy lớn và AB = 3CD Gọi N là trung điểm CD , M là điểm trên cạnh SB thỏa SM = MB, điểm I trên cạnh S A và thỏa AI = IS Tìm giao điểm đường thẳng MN với (S AD ) Gọi H là giao điểm CB với ( I MN ) Tính tỉ số HB HC Lời giải IS MS = 6= = nên I M và AB cắt Gọi J là giao điểm I M và AB Trong mặt AI MB phẳng ( ABCD ) nối J , N cắt AD P Trong mặt phẳng ( I MN ) nối M , N cắt IP K Trong mặt phẳng (S AB) vì Theo cách dựng, dễ thấy K ∈ MN Vì K ∈ IP ⊂ (S AD ) nên K ∈ (S AD ) Vậy K = MN ∩ (S AD ) Vì H là giao điểm CB với ( I MN ) nên H = CB ∩ N J Ta có NC = DC = AB Vì NC ∥ BJ nên theo Hệ Định lý Talet ta có: HB BJ HB BJ BJ = ⇒ = 6· = 6· = 6· JA HC NC HC AB J A − BJ −1 BJ ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 323 S Trong mặt phẳng (S AB) vẽ đường thẳng qua B và song song với S A cắt I J O Vì BO ∥ SI nên áp dụng Hệ Định lý Talet ta có I BO BM = = SI MS Vì BO ∥ AI nên áp dụng Định lý Talet J AI ta có M JA JB BO BO = = · = ⇒ = JA I A SI BJ Từ đó có O A HB = 6· = = 6· JA HC 9−1 −1 BJ J B H D P N C K ä BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI 11 Cho hình chóp S.ABC Trên cạnh S A lấy M cho S A = 3SM , trên cạnh SC lấy điểm N cho SC = 2SN Điểm P thuộc cạnh AB Tìm giao điểm của: MN và ( ABC ) BC và ( MNP ) ĐS: S MN ∩ ( ABC ) = I M BC ∩ ( MNP ) = J N P A J C I BÀI 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi G là trọng tâm tam giác S AB Hãy tìm: (SGC ) ∩ ( ABCD ) =? AD ∩ (SGC ) =? SO ∩ (SGB) =? SD ∩ (BCG ) =? ĐS: S (SGC ) ∩ ( ABCD ) = MC SO ∩ (SGB) = S SD ∩ (BCG ) = J J I AD ∩ (SGC ) = N G A D N M O B C BÀI 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, đáy lớn AB Gọi I , J là trung điểm S A và SB Lấy điểm M tùy ý trên SD Tìm giao điểm I M với (SBC ) J M với (S AC ) SC với ( I J M ) ĐS: 324 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN S I M ∩ (SBC ) = H J I J M ∩ (S AC ) = K SC ∩ ( I J M ) = P K M P B A H O D C G BÀI 14 Cho tứ diện O ABC Gọi M , N , P là trung điểm O A , OB và AB Trên cạnh OC lấy điểm Q cho OQ > QC Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm E = BC ∩ ( MNQ ) F = CP ∩ ( MNQ ) K = BG ∩ ( MNQ ) ĐS: O N Q B H F M G C E P A K BÀI 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung điểm SB và G là trọng tâm tam giác S AD Tìm giao điểm: K = GM ∩ ( ABCD ) F = AD ∩ (OMG ) E = S A ∩ (OMG ) ĐS: S M E G J B A N K D F O C BÀI 16 Cho tứ diện S.ABC , lấy điểm M là trung điểm S A , lấy điểm N là trọng tâm 4SBC và P nằm ABC Tìm giao điểm MN và ( ABC ) SB ∩ ( MNP ) =? SC ∩ ( MNP ) =? NP ∩ (S AB) =? Tứ giác ABIC là hình gì ? ĐS: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 325 K MN ∩ ( ABC ) = I SB ∩ ( MNP ) = J O SC ∩ ( MNP ) = K S NP ∩ (S AB) = O J Tứ giác ABIC là hình bình hành M N A B H Q P I C BÀI 17 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, M là trung điểm SD Tìm I = BM ∩ (S AC ) Chứng minh: BI = I M Tìm E = S A ∩ (BCM ) Chứng minh: E là trung điểm S A ĐS: S E I M B A O D C BÀI 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật tâm O Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc đoạn SD cho SN = ND Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBD ) và (S AC ) Tìm giao điểm E đường thẳng MN và mặt phẳng ( ABCD ) Tính EN EM Tìm giao điểm K đường thẳng SC và mặt phẳng ( AMN ) Gọi J giao điểm AK và SO Tính tỉ số: JK JA ĐS: S (SBD ) ∩ (S AC ) = SO EN = EM 3 JK = JA K M J N B A O D C E BÀI 19 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , là trung điểm S A và CD Tìm giao điểm E AD với (BMN ) Tìm giao điểm F SD và (BMN ) Chứng minh rằng: FS = 2FD 326 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN ĐS: S M F B A D C N E BÀI 20 Cho tứ diện ABCD Gọi I , M là trung điểm AB và BC , G là trọng tâm tam giác ACD Tìm giao điểm P CD và ( I MG ) Tính tỉ số: PC PD ĐS: A • PC = PD I G J B D M P C BÀI 21 Cho tứ diện ABCD Gọi I và J là trung điểm AC và BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK = 2K D Tìm giao điểm E đường thẳng CD và ( I JK ) Chứng minh: DE = DC Tìm giao điểm F đường thẳng AD và ( I JK ) Tính tỉ số FA FD ĐS: A • FA = FD I J B F K D E { DẠNG 1.3 Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) Phương pháp giải: Ta tìm các đoạn giao tuyến nối tiếp mặt phẳng (α) với các mặt hình chóp khép kín thành đa giác phẳng Đa giác đó là thiết diện cần tìm và các đoạn giao tuyến chính là các cạnh thiết diện C ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 327 VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD , trên các đoạn C A , CB, BD lấy các điểm M , N , P cho MN không song song với AB Gọi (α) là mặt phẳng xác định ba điểm M , N , P Xác định thiết diện tạo (α) và tứ diện ABCD ? Lời giải Trong mặt phẳng ( ABC ), MN và AB không song song nên chúng cắt giả sử E Khi đó điểm E nằm ngoài đoạn AB Trong mặt phẳng ( ABD ), gọi Q là giao điểm EP và AD Ta có E A A N Q • ( MNP ) ∩ ( ABC ) = MN Q N • ( MNP ) ∩ (BCD ) = MP B P • ( MNP ) ∩ ( ABD ) = PQ • ( MNP ) ∩ ( ACD ) = QN Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD mặt phẳng ( MNP ) là tứ giác MNQP Hay hiết diện cắt tứ diện ABCD mặt phẳng (α) là tứ giác MNQP B D D P M M C C E ä VÍ DỤ Cho tứ diện S ABC và O là điểm thuộc miền tam giác ABC Gọi M , N là hai điểm nằm trên cạnh S A và SC cho MN không song song với AC Xác định thiết diện cắt tứ diện S ABC mặt phẳng ( MNO )? Lời giải Trong mặt phẳng (S AC ), MN và AC không song song nên chúng cắt giả sử E Khi đó điểm E nằm ngoài đoạn AC Trong mặt phẳng ( ABC ), gọi P , Q là giao điểm EO với BC và AB Ta có S M N • ( MNO ) ∩ (S AC ) = MN • ( MNO ) ∩ (SBC ) = NP C A • ( MNO ) ∩ ( ABC ) = PQ O Q • ( MNO ) ∩ (S AB) = QM E P B Vậy thiết diện cắt tứ diện S ABC mặt phẳng ( MNO ) là tứ giác MNPQ ä BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho hình chóp S.ABC Trên các cạnh S A , SB lấy các điểm M , N cho MN không song song với AB Gọi P là điểm thuộc miền tam giác ABC Xác định giao tuyến ( MNP ) và ( ABC ) từ đó suy thiết diện cắt hình chóp S.ABC mặt phẳng ( MNP ) Lời giải S Trong mặt phẳng (S AB), MN không song song với AB nên chúng cắt giả sử E Khi đó E nằm ngoài đoạn AB Trong mặt phẳng ( ABC ), gọi K , H là giao điểm EP với các đoạn BC , AC M (Vì P thuộc miền tam giác ( ABC )) Khi đó ta có • ( MNP ) ∩ (S AB) = MN • ( MNP ) ∩ (SBC ) = NK A H N • ( MNP ) ∩ (S AC ) = HM Vậy thiết diện cắt hình chóp S.ABC mặt phẳng ( MNP ) là tứ giác MNK H C P • ( MNP ) ∩ ( ABC ) = K H K B E ä 328 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN BÀI Cho tứ diện S ABC Gọi K , N là trung điểm S A , BC và M là điểm thuộc đoạn SC cho 3SM = MC Tìm thiết diện hình chóp và mặt phẳng (K MN ) Mặt phẳng (K MN ) cắt AB I Tính tỉ số IA IB ĐS: IA = IB Lời giải S M K P E A C IH N B Trong mặt phẳng (S AC ), vì SM SM SK = ⇒ = 6= = nên K M không song song với AC Gọi E là giao điểm MC SC SA K M và AC Trong mặt phẳng ( ABC ), gọi I là giao điểm EN và AB, đó I là giao điểm AB với (K MN ) Ta có • (K MN ) ∩ (S AC ) = MK • (K MN ) ∩ (S AB) = K I • (K MN ) ∩ ( ABC ) = I N • (K MN ) ∩ (SBC ) = N M Vậy thiết diện cắt tứ diện S ABC mặt phẳng (K MN ) là tứ giác MN IK Trên SC lấy điểm P cho M là trung điểm SP Khi đó ta có • AP ∥ K M theo tính chất đường trung bình tam giác S AP nên AP ∥ EM ⇒ AC PC = = AE P M • Gọi H là trung điểm AB, đó N H ∥ AC (Tính chất đường trung bình) AI IH NH Do đó = = ⇒ AI = AH = AB ⇒ = IA AE 5 BI ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang thỏa mãn AB ∥ CD , AB > CD Gọi I , J theo thứ tự là trung điểm các cạnh SB, SC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng (S AD ) và (SBC ) Tìm giao điểm đường thẳng SD với ( AI J ) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( AI J ) Lời giải S d J I D A B C ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 329 Hai mặt phẳng (S AD ) và (SBC ) có S là điểm chung Lại có AD ∥ BC theo giả thiết và S ∉ ( ABCD ) nên giao tuyến (S AD ) và (SBC ) là đường thẳng d qua S và song song với AD , BC Do I J là đường trung bình tam giác SBC nên I J ∥ BC mà I ∉ ( ABCD ) ⇒ I J ∥ AD Vì A , D , I , J xác định mặt phẳng ( AD J I ) hay D ∈ ( AI J ) Mặt khác D ∈ SD nên D là giao điểm SD với ( AI J ) Từ kết trên ta có • ( AI J ) ∩ ( ABCD ) = AD • ( AI J ) ∩ (SCD ) = D J • ( AI J ) ∩ (SBC ) = J I • ( AI J ) ∩ (S AB) = I A Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( AI J ) là hình thang AD J I ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểm M thuộc miền tam giác SBC Lấy điểm N thuộc miền tam giác SCD Tìm giao điểm MN và mặt phẳng (S AC ) Tìm giao điểm SC và mặt phẳng ( AMN ) Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( AMN ) Lời giải S Q N I P A R D M F B O E C Trong mặt phẳng ( ABCD ), gọi O là giao điểm AC và EF Khi đó SO = (S AC ) ∩ (SEF ) Trong mặt phẳng (SEF ), gọi { I } = MN ∩ SO Ta có I ∈ SO ⇒ I ∈ (S AC ) Mà I ∈ MN nên { I } = MN ∩ (S AC ) Theo chứng minh trên ta suy AI = ( AMN ) ∩ (S AC ) Trong mặt phẳng (S AC ) gọi P là giao điểm AI và SC Khi đó P ∈ AI ⇒ P ∈ ( AMN ) Mà P ∈ SC nên {P } = SC ∩ ( AMN ) Do M, P ∈ (SBC ) nên mặt phẳng (SBC ), gọi R là giao điểm P M với SB Ta có P M ⊂ ( AMN ) nên R ∈ ( AMN ) Tương tự, mặt phẳng (SCD ), gọi Q là giao điểm P N với SD ta có Q ∈ ( AMN ) Vì • ( AMN ) ∩ (S AB) = AR • ( AMN ) ∩ (SBC ) = RP • ( AMN ) ∩ (SCD ) = PQ • ( AMN ) ∩ (S AD ) = Q A Vậy thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng ( AMN ) là tứ giác ARPQ ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung điểm SB và G là trọng tâm tam giác S AD 330 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Tìm giao điểm I GM với ( ABCD ) Chứng minh I thuộc đường thẳng CD và IC = ID Tìm giao điểm J AD và (OMG ) Tính tỉ số JA JD ĐS: JA =2 JD Tìm giao điểm K S A và (OMG ) Tính tỉ số KA KS ĐS: KA =2 KS Tìm thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng (OMG ) Lời giải S K I N M G H A E D J F O B P C Gọi E , N là trung điểm AD , S A Ta có M là trung điểm SB, G là trọng tâm tam giác S AD SM SG Trong mặt phẳng (SBE ) có = 6= = suy MG và BE không song song Do đó MG và BE cắt SB SE Lại BE ⊂ ( ABCD ), { I } = MG ∩ ( ABCD ) nên I ∈ BE Vậy giao điểm I MG và ( ABCD ) là giao điểm I MG và BE Do MN là đường trung bình tam giác S AB nên MN ∥ AB ⇒ MN ∥ CD Suy MN , CD xác định mặt phẳng ( MNDC ) Lại G là trọng tâm tam giác S AD nên G ∈ ND ⇒ G ∈ ( MNDC ), I ∈ MG ⇒ I ∈ ( MNDC ) Mặt khác ( MNDC ) ∩ ( ABCD ) = CD , I ∈ ( MNDC ), I ∈ ( ABCD ) nên I ∈ CD ID ED Mà AD ∥ BC nên ED ∥ BC ⇒ = = ⇒ IC = ID IC BC 2 Dễ thấy I ∈ (OMG ) Trong mặt phẳng ( ABCD ), gọi J là giao điểm AD và OI Vì OI ⊂ (OMG ) ⇒ J ∈ (OMG ) nên AD ∩ (OMG ) = { J } Mà J là giao điểm AD và (OMG ) (gt) nên J ≡ J Vậy J là giao điểm IO và AD JA Dễ thấy J là trọng tâm I AC nên = JD Trong mặt phẳng ( ABCD ), gọi F là giao điểm BI và AC suy (SBI ) ∩ (S AC ) = SF Trong mặt phẳng (SBI ), gọi H là giao điểm M I và SF Ta có H ∈ MG ⇒ OH ⊂ (OMG ) và H thuộc (S AC ) Trong mặt phẳng (S AC ), gọi K là giao điểm OH và S A Khi đó K ∈ OH ⇒ K ∈ (OMG ) ⇒ S A ∩ (OMG ) = {K } hay K ≡ K Vậy K là giao điểm OH với S A Lại có K , G , J là các điểm chung hai mặt phẳng (OMG ) và (S AD ) nên K , G , J thẳng hàng Gọi Q là trung điểm SD , vì J là trọng tâm I AC Xét 4S AD có AG A J KA JA = = ⇒ G J ∥ SD ⇒ K J ∥ SD ⇒ = = AQ AD K S JD S K Q G A Từ chứng minh trên ta suy • (OMG ) ∩ (S AB) = K M • (OMG ) ∩ (SBC ) = MP • (OMG ) ∩ ( ABCD ) = P J • (OMG ) ∩ (S AD ) = JK Vậy thiết diện cắt hình chóp S.ABCD mặt phẳng (OMG ) là tứ giác K MP J E J D ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 331 ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N , P là trung điểm SB, SD và OC Tìm giao tuyến mặt phẳng ( MNP ) với các mặt phẳng (S AC ) và ( ABCD ) Tìm giao điểm S A với mặt phẳng ( MNP ) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( MNP ) Tính tỉ số mà mặt phẳng ( MNP ) chia các ES HB K D cạnh S A , BC và CD ĐS: = , = =1 E A HC K C Lời giải S E N I M D A G K O P B H C F Do M , N là trung điểm SB, SD nên MN là đường trung bình tam giác SBD , suy MN ∥ BD Ta có (P MN ) ∩ (SBD ) = MN Trong mặt phẳng (SBD ), gọi I là giao điểm MN và SO Khi đó vì I ∈ SO ⇒ I ∈ (S AC ), P ∈ AC ⇒ P ∈ (S AC ) suy (P MN ) ∩ (S AC ) = P I Hai mặt phẳng (P MN ) và ( ABCD ) có P là điểm chung Mà MN ∥ BD , P ∉ MN , P ∉ BD nên giao tuyến (P MN ) và ( ABCD ) là đường thẳng qua P , song song với MN và song song với BD , cắt các cạnh BC , CD H và K Trong mặt phẳng (S AC ), gọi E là giao điểm P I và S A Ta có • E ∈ P I, P I ⊂ (P MN ) ⇒ E ∈ (P MN ) • Mà E ∈ S A nên E là giao điểm S A với (P MN ) Ta có (P MN ) giao với các cạnh S A , SB, BC , CD , SD các điểm E , M , H , K , N nên • (P MN ) ∩ (S AB) = EM • (P MN ) ∩ (SBC ) = MH • (P MN ) ∩ ( ABCD ) = HK • (P MN ) ∩ (SCD ) = K N • (P MN ) ∩ (S AD ) = NE Vậy thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (P MN ) là ngũ giác EMHK N Vì MN là đường trung bình tam giác ABD nên I là trung điểm SO Trong tam giác SOC có IP là đường trung bình nên IP ∥ SC ES PC = = EA PA Lại có P là trung điểm OC , HK qua P và HK ∥ BD nên HK là đường trung bình tam giác BCD HB K D Do đó = = HC K C Do đó tam giác S AC có PE ∥ SC suy ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Trên các cạnh SB, SD ta lấy các điểm M , N cho SM SN = , = SB SD 332 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( AMN ) và (SCD ) Tìm giao điểm I SC và mặt phẳng ( AMN ) Suy thiết diện mặt phẳng ( AMN ) và hình chóp S.ABCD Gọi K là giao điểm I N và CD Tính tỉ số KC KD ĐS: KC =5 KD Lời giải S I M N K E A D O B C SM SN SM SN = , = ⇒ 6= Do đó MN cắt BD giả sử E SB SD SB SD Hai mặt phẳng ( AMN ) và ( ABCD ) có hai điểm chung A và E nên ( AMN ) ∩ ( ABCD ) = AE Trong mặt phẳng ( ABCD ), gọi K là giao điểm AE và CD Khi đó Trong mặt phẳng (SBD ) Theo bài ta có • K ∈ AE ⇒ K ∈ ( AMN ) • K ∈ CD ⇒ K ∈ (SCD ) Suy K là điểm chung ( AMN ) và (SCD ) • Mặt khác ( AMN ) và (SCD ) có điểm N chung (vì N ∈ SD ) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng ( AMN ) và (SCD ) là đường thẳng K N Trong mặt phẳng (SCD ), gọi I là giao điểm K N và SC Khi đó I ∈ K N ⇒ I ∈ ( AMN ) Vậy I là giao điểm SC và ( AMN ) Do ( AMN ) cắt các cạnh S A , SB, SC , SD các điểm A , M , I , N nên • ( AMN ) ∩ (S AB) = AM • ( AMN ) ∩ (SBC ) = M I • ( AMN ) ∩ (SCD ) = I N • ( AMN ) ∩ (S AD ) = N A Suy thiết diện mặt phẳng ( AMN ) và hình chóp S.ABCD là tứ giác AM I N Ta có K ∈ CD và K , I , N thẳng hàng S Lấy điểm P trên cạnh SB cho PD ∥ MN SM SN MP MP Khi đó ta có = = ⇒ = ⇒ = vì BM = 2SM SP SD MM MB ED MP Xét tam giác BME , ta có PD ∥ ME nên = = EB MB K D ED Xét tam giác ABE , có K D ∥ AB nên = = AB EB KD KD KD KD 1 KC Suy = = ⇒ = = = ⇒ = DC AB K C K D + DC + KD M P N B D E ä BÀI TẬP TỰ LUYỆN BÀI Cho tứ diện ABCD Trên AB lấy điểm M Trên cạnh BC lấy điểm N thỏa mãn BN = NC Gọi P là trung điểm CD Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( MNP ) ĐS: ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 333 A Thiết diện là tứ giác MNPQ M Q B D E P N C BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD Lấy điểm M trên cạnh SB Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng ( AMD ) ĐS: S Thiết diện là hình thang AMND M N D A B C BÀI 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N , P là các điểm nằm trên các cạnh BC , CD , S A Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng ( MNP ) ĐS: S Thiết diện là ngũ giác MN HPG P H G A F D N B M C E BÀI 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AD Gọi H , K là trung điểm các cạnh SB và AB và M là điểm nằm hình thang ABCD cho đường thẳng K M cắt hai đường thẳng AD và CD Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (HK M ) ĐS: S Thiết diện là ngũ giác HK PQ J J Q H N A D P M K I B C BÀI 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Lấy các điểm M , N trên các cạnh SC và SD Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với các mặt phẳng ( ABM ) và ( AMN ) ĐS: 334 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN S S Q M N I M P I A B J N A B Q O D Hình O D C C Hình Thiết diện cắt ( ABM ) là hình thang ABMP Nếu SM SN > thì thiết diện cắt hình chóp S.ABCD ( AMN ) là tứ giác AN MQ (Hình 1) SC SD Nếu SM SN < thì thiết diện cắt hình chóp S.ABCD ( AMN ) là tứ giác AN MQ (Hình 2) SC SD BÀI 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi H , K là trung điểm BC và CD Lấy điểm M trên cạnh S A Tìm thiết diện hình chóp S.ABCD với mặt phẳng ( MHK ) ĐS: S Thiết diện là ngũ giác P MQK H M Q P A F D K B H C E BÀI 14 Cho tứ diện ABCD có cạnh a Gọi I là trung điểm AD , J là điểm đối xứng với D qua C , K là điểm đối xứng với D qua B Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng ( I JK ) và tính diện tích thiết diện này ĐS: A Thiết diện là tam giác IEF cân I S IEF = a2 I E D F B K C J BÀI 15 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi K là trọng tâm tam giác S AC Gọi I , J là trung điểm CD và SD Tìm giao điểm H đường thẳng IK với mặt phẳng (S AB) ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 335 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( I JK ) ĐS: S { H } = SP ∩ IK Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( I JK ) là ngũ giác I JGMF G M H J K A B P F O E D I C BÀI 16 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD không là hình thang, điểm P nằm tam giác S AB và điểm M thuộc cạnh SD cho MD = MS Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (PCD ) Tìm giao điểm SC với mặt phẳng ( ABM ) Gọi N là trung điểm AD Tìm thiết diện tạo mặt phẳng ( MNP ) và hình chóp S.ABCD ĐS: S S S R M M Q E0 P I D A P F F0 D A B A H O C G J C C E Hình I0 L B Hình D N B Hình Giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (PCD ) là đường thẳng PE Giao điểm SC với mặt phẳng ( ABM ) là điểm F Thiết diện tạo mặt phẳng ( MNP ) và hình chóp S.ABCD là ngũ giác MN HQR { DẠNG 1.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp giải Giả sử chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng Xét hai mặt phẳng (P ) và (Q ) Chứng minh ba điểm I , J , K là ba điểm chung (P ) và (Q ) Khi đó I , J , K thuộc giao tuyến (P ) và (Q ) hay I , J , K thẳng hàng VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện S ABC Trên các cạnh S A , SB, SC lấy M , N , P cho MN cắt AB I , NP cắt BC J và MP cắt AC K Chứng minh ba điểm I , J , K thẳng hàng Lời giải 336 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN S Xét hai mặt phẳng ( ABC ) và ( MNP ) Ta có ( I ∈ AB ⊂ ( ABC ) I ∈ MN ⊂ ( MNP ) ( J ∈ BC ⊂ ( ABC ) J ∈ NP ⊂ ( MNP ) ( K ∈ AC ⊂ ( ABC ) K ∈ MP ⊂ ( MNP ) ⇒ I ∈ ( ABC ) ∩ ( MNP ) (1) ⇒ J ∈ ( ABC ) ∩ ( MNP ) (2) ⇒ K ∈ ( ABC ) ∩ ( MNP ) (3) M P N A J C Từ (1), (2), (3) suy I , J , K cùng thuộc đường thẳng giao tuyến ( ABC ) và ( MNP ) Vậy ba điểm I , J , K thẳng hàng K B I ä VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O hai điểm, M , N là trung điểm SB, SD , điểm P thuộc SC và không là trung điểm SC Tìm giao điểm I SO với mặt phẳng ( MNP ) Tìm giao điểm Q S A với mặt phẳng ( MNP ) Gọi F , G , H là giao điểm QM và AB, QP và AC , QN và AD Chứng minh ba điểm F , G , H thẳng hàng S Trong(mặt phẳng (SBD ), gọi I = SO ∩ MN I ∈ SO Ta có ⇒ I = SO ∩ ( MNP ) I ∈ MN ⊂ ( MNP ) P N Trong(mặt phẳng (S AC ), gọi Q = S A ∩ IP Q ∈ SA Ta có ⇒ Q = S A ∩ ( MNP ) Q ∈ IP ⊂ ( MNP ) I M A Xét hai mặt phẳng ( ABCD ) và ( MNPQ ) Ta có ( F ∈ AB ⊂ ( ABCD ) O Q F ∈ QM ⊂ ( MNPQ ) ⇒ F ∈ ( ABCD ) ∩ ( MNPQ ) ( G ∈ AC ⊂ ( ABCD ) (1) G ∈ QP ⊂ ( MNPQ ) ⇒ G ∈ ( ABCD ) ∩ ( MNPQ ) ( H ∈ AD ⊂ ( ABCD ) (2) H ∈ QN ⊂ ( MNPQ ) ⇒ H ∈ ( ABCD ) ∩ ( MNPQ ) D H G F B C (3) Từ (1), (2), (3) suy F , G , H cùng thuộc đường thẳng giao tuyến ( ABCD ) và ( MNPQ ) Vậy ba điểm F , G , H thẳng hàng BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD Gọi M , N , P là trung điểm AB, BC , CD Tìm giao tuyến ( ADN ) và ( ABP ) Gọi I = AG ∩ MP và J = CM ∩ AN Chứng minh D , I , J thẳng hàng ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 337 Lời giải A Ta có A ∈ ( ADN ) ∩ ( ABP ) ( G ∈ DN ∈ ( ADN ) (1) Mặt khác G ∈ BP ∈ ( ABP ) ⇒ G ∈ ( ADN ) ∩ ( ABP ) M (2) Từ (1) và (2) suy ( ADN ) ∩ ( ABP ) = AG Xét hai mặt phẳng (CDM ) và ( ADN ) Ta có + D ∈ (CDM ) ∩ ( ADN ) ( I ∈ JD ⊂ (CDM ) (3) + I ∈ AG ⊂ ( AND ) ⇒ I ∈ (CDM ) ∩ ( ADN ) ( J ∈ CM ⊂ (CDM ) B D G N P (4) + J ∈ AN ⊂ ( AND ) ⇒ J ∈ (CDM ) ∩ ( ADN ) I J C (5) Từ (3), (4), (5) suy D , I , J thẳng hàng ä BÀI Cho tứ diện ABCD có K là trung điểm AB Lấy I , J thuộc AC , BD cho I A = IC và JB = JD Tìm giao điểm E AD và ( I JK ) Tìm giao tuyến d ( I JK ) và (BCD ) Gọi O là giao điểm d với CD Chứng minh I , O , E thẳng hàng Tính các tỉ số Lời giải OI OC và OE OD ĐS: OI OC = và = OE OD 338 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN A ( Trong ( ABD ), gọi AD ∩ K J = E Ta có E ∈ AD E ∈ K J ⊂ ( I JK ) ⇒ E = AD ∩ ( I JK ) Trong ( ABC ), gọi K I ∩ BC = F Ta có ( J ∈ ( I JK ) + ⇒ J ∈ ( I JK ) ∩ (BCD ) J ∈ BD ⊂ (BCD ) ( F ∈ K I ⊂ ( I JK ) + ⇒ F ∈ ( I JK ) ∩ (BCD ) F ∈ BC ⊂ (BCD ) K (1) D I O (2) E Từ (1) và (2) suy ( I JK ) ∩ (BCD ) = F J hay d ≡ F J Trong (BCD ), O = F J ∩ CD Xét ( hai mặt phẳng ( I JK ) và ( ACD ) Ta có I ∈ ( I JK ) + ⇒ I ∈ ( I JK ) ∩ ( ACD ) I ∈ AC ⊂ ( ACD ) ( O ∈ F J ⊂ ( I JK ) + ⇒ O ∈ ( I JK ) ∩ ( ACD ) O ∈ CD ⊂ ( ACD ) ( E ∈ K J ⊂ ( I JK ) + ⇒ E ∈ ( I JK ) ∩ ( ACD ) E ∈ AD ⊂ ( ACD ) J B C (3) F (4) (5) Từ (3), (4), (5) suy I , O , E thẳng hàng Áp dụng định lí Menelaus các tam giác sau Tam giác ABC có K , I , F thẳng hàng FC K B I A FC FC ⇒ · · =1⇔ ·1·2 = ⇒ = FB K A IC FB FB ⇒ C là trung điểm BF Tam giác BCD có F , O , J thẳng hàng OC JD FB OC OC ⇒ · · =1⇔ · ·2 = ⇔ = OD JB FC OD OD Tam giác ABD có K , J , E thẳng hàng ED K A JB ED ED ⇒ · · =1⇔ ·1·3 = ⇔ = E A K B JD EA EA Tam giác AIE có C , O , D thẳng hàng OI OI OI DE C A · · =1⇔ · ·3 = ⇔ = ⇒ OE D A CI OE OE OI OC Vậy = và = OE OD ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang, AD là đáy lớn và AD = 2BC Gọi M , N là trung điểm SB, SC và O = AC ∩ BD ĐS: ( ABN ) ∩ (SCD ) = EN với E = AB ∩ CD Tìm giao tuyến ( ABN ) và (SCD ) ĐS: P = DN ∩ SE Tìm giao điểm P DN và (S AB) Gọi K = AN ∩ DM Chứng minh S , K , O thẳng hàng Tính tỉ số Lời giải KS KO ĐS: KS = KO ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 339 S Ta có N ∈ ( ABN ) ∩ (SCD ) Trong ( ABCD ), gọi AB ∩ CD = E ⇒ E ∈ ( ABN ) ∩ (SCD ) Suy ( ABN ) ∩ (SCD ) = EN Trong (SCD ), gọi DN ∩ SE = P ⇒ P = DN ∩ (S AB) P M Xét hai mặt phẳng (S AC ) và (SBD ) có + S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) ( K ∈ AN ⊂ (S AC ) (1) N K D A + K ∈ MD ⊂ (SBD ) ⇒ K ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) ( O ∈ AC ⊂ (S AC ) (2) O B + O ∈ BD ⊂ (SBD ) ⇒ O ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) C (3) Từ (1), (2), (3) suy S , K , O thẳng hàng Vì AD ∥ BC nên 4O AD ∼ 4OCB ⇒ OC BC = = O A AD E Áp dụng định lí Menenalus vào 4SOC có A , K , N thẳng hàng ⇒ K S AO NC KS KS · · =1⇔ · ·1 = ⇔ = KO AC NS KO KO ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm S A , SC ĐS: (BMN ) ∩ (S AB) = BM và Tìm giao tuyến (BMN ) với các mặt phẳng (S AB) và (SBC ) (BMN ) ∩ (SBC ) = BN ĐS: SO ∩ MN = I và SD ∩ BI = K Tìm I = SO ∩ (BMN ) và K = SD ∩ (BMN ) ĐS: MK ∩ AD = E và NK ∩ CD = F Tìm E = AD ∩ (BMN ) và F = CD ∩ (BMN ) ĐS: B, E , F là điểm chung ( ABCD ) và ( MNP ) Chứng minh ba điểm B, E , F thẳng hàng Lời giải S Ta có (BMN ) ∩ (S AB) = BM và (BMN ) ∩ (SBC ) = BN K Trong (S AC ), gọi SO ∩ MN = I ⇒ I = SO ∩ (BMN ) Trong (SBD ), gọi SD ∩ BI = K ⇒ K = SD ∩ (BMN ) M I N E D A Trong (S AD ), gọi MK ∩ AD = E ⇒ E = AD ∩ (BMN ) Trong (SCD ), gọi NK ∩ CD = F ⇒ F = CD ∩ (BMN ) Xét hai mặt phẳng ( ABCD ) và (BMN ) có ( B ∈ ( ABCD ) + ⇒ B ∈ ( ABCD ) ∩ (BMN ) B ∈ (BMN ) ( E ∈ AD ⊂ ( ABCD ) O B (1) + E ∈ (BMN ) ⇒ E ∈ ( ABCD ) ∩ (BMN ) ( F ∈ CD ⊂ ( ABCD ) C F (2) + F ∈ (BMN ) ⇒ F ∈ ( ABCD ) ∩ (BMN ) (3) Từ (1), (2), (3) suy B, E , F thẳng hàng ä 340 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN BÀI Cho hình chóp S.ABCD Gọi I và J là hai điểm trên hai cạnh AD , SB Tìm giao tuyến (SBI ) và (S AC ) Tìm giao điểm K I J và (S AC ) Tìm giao tuyến (SBD ) và (S AC ) Tìm giao điểm L D J và (S AC ) Gọi O = AD ∩ BC , M = OJ ∩ SC Chứng minh A , K , L, M thẳng hàng ĐS: A , K , L, M là điểm chung (S AC ) và ( AOJ ) Lời giải S Ta có S ∈ (SBI ) ∩ (S AC ) Trong ( ABCD ), gọi BI ∩ AC = E ⇒ E ∈ (SBI ) ∩ (S AC ) Suy (SBI ) ∩ (S AC ) = SE Trong (SBI ), gọi I J ∩ SE = K ⇒ K = I J ∩ (S AC ) J M L K Ta có S ∈ (SBD ) ∩ (S AC ) Trong ( ABCD ), gọi AC ∩ BD = F ⇒ F ∈ (SBD ) ∩ (S AC ) Suy (SBD ) ∩ (S AC ) = SF Trong (SBD ), gọi D J ∩ SF = L ⇒ L = D J ∩ (S AC ) A I O D E F C Xét (S AC ) và ( AOJ ) có + A ∈ (S AC ) ∩ ( AOJ ) ( K ∈ SE ⊂ (S AC ) (1) K ∈ I J ⊂ ( AOJ ) ⇒ K ∈ (S AC ) ∩ ( AOJ ) ( L ∈ SF ⊂ (S AC ) (2) L ∈ JD ⊂ ( AOJ ) ⇒ L ∈ (S AC ) ∩ ( AOJ ) ( M ∈ SC ⊂ (S AC ) (3) B + + + M ∈ OJ ⊂ ( AOJ ) ⇒ M ∈ (S AC ) ∩ ( AOJ ) (4) Từ (1), (2), (3), (4) suy A , K , L, M thẳng hàng ä BÀI Cho tứ diện ABCD Trên các cạnh AB, AC , BD lấy ba điểm E , F , G cho AB = AE , AC = AF , DB = 4DG Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (EFG ) và (BCD ) Tìm giao điểm H đường thẳng CD với (EFG ) Tính tỉ số Tìm giao điểm I đường thẳng AD với (EFG ) Tính tỉ số HC HD IA ID ĐS: HC = HD ĐS: IA = ID ĐS: AK = AJ Chứng minh ba điểm F , H , I thẳng hàng Gọi J là trung điểm BC , A J cắt EF K Tính tỉ số Lời giải AK AJ ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 341 A Trong ( ABC ), gọi EF ∩ BC = M ⇒ (EFG ) ∩ (BCD ) = MG Trong (BCD ), gọi MG ∩ CD = H ⇒ H = CD ∩ (EFG ) E Áp dụng định lí Menenalus với các tam giác sau Tam giác ABC có E , F , M thẳng hàng K MC MC MC EB F A · · =1⇔ ·2·1 = ⇔ = MB E A FC MB MB Tam giác BCD có M , H , G thẳng hàng HC GD MB HC HC ⇒ · · =1⇔ · ·2 = ⇔ = HD GB MC HD HD ⇒ F G B Trong ( ABD ), goij AD ∩ EG = I ⇒ I = AD ∩ (EFG ) Tam giacs ABD cos E , G , I thẳng hàng I A GD EB IA IA ⇒ · · =1⇔ · ·2 = ⇔ = ID GB E A ID ID D H J C Xét hai mặt phẳng ( ACD ) và (EFG ) có ( F ∈ AC ⊂ ( ACD ) + ⇒ F ∈ ( ACD ) ∩ (EFG ) F ∈ (EFG ) ( H ∈ CD ⊂ ( ACD ) + ⇒ H ∈ ( ACD ) ∩ (EFG ) H ∈ (EFG ) ( I ∈ AD ⊂ ( ACD ) + ⇒ I ∈ ( ACD ) ∩ (EFG ) I ∈ (EFG ) (1) M (2) (3) Từ (1), (2), (3) suy F , H , I thẳng hàng Tam giác A JC có K , F , M thẳng hàng KA KA K A M J FC · · =1⇔ · ·1 = ⇔ = K J MC F A KJ KJ AK ⇒ = AJ I ä BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC Lấy M thuộc SB và O là giao điểm AC với BD Tìm giao điểm N SC với ( AMD ) Gọi I = AN ∩ DM Chứng minh S , I , O thẳng hàng Lời giải S Trong ( ABCD ), gọi AD ∩ BC = E Trong (SBC ), gọi SC ∩ ME = N ⇒ N = SC ∩ ( AMD ) Xét (S AC ) và (SBD ) có +( S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) I ∈ AN ⊂ (S AC ) M + I ∈ DM ⊂ (SBD ) ⇒(I ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) O ∈ AC ⊂ (S AC ) N I A D E + O ∈ BD ⊂ (SBD ) ⇒ O ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) Suy S , I , O thẳng hàng O C B ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD Gọi E , F , H là các điểm thuộc cạnh S A , SB, SC Tìm giao điểm K = SD ∩ (EF H ) 342 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN Gọi O = AC ∩ BD và I = EH ∩ FK Chứng minh S , I , O thẳng hàng Gọi M = AD ∩ BC và N = EK ∩ F H Chứng minh S , M , N thẳng hàng Gọi P = AB ∩ CD và Q = EF ∩ HK Chứng minh S , P , Q thẳng hàng Lời giải S Trong (S AC ), gọi I = EH ∩ SO Trong (SBD ), gọi F I ∩ SD = K ⇒ K = SD ∩ (EF H ) Hiển nhiên S , I , O thẳng hàng Chứng minh S , M , N là điểm chung (S AD ) và (SBC ) N K E I H A M D Chứng minh S , P , Q là điểm chung (S AB) và (SCD ) F O Q C B P ä BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P là các điểm thuộc cạnh AB, AC , BD và MN ∩ BC = I , MP ∩ AD = J , N J ∩ IP = K Chứng minh C , D , K thẳng hàng Lời giải A Chứng minh C , D , K là điểm chung hai mặt phẳng ( ACD ) và (BCD ) M B P D N K C I J ä BÀI 10 Cho tứ giác ABCD có các cạnh đối đôi không song song và điểm S ∉ ( ABCD ) Lấy điểm I thuộc cạnh AD , lấy điểm J thuộc cạnh SB Tìm K = I J ∩ (S AC ) Tìm L = D J ∩ (S AC ) Gọi O = AD ∩ BC , M = OJ ∩ SC Chứng minh K , L, M thẳng hàng Lời giải ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 343 S Gọi AC ∩ BI = E ; I J ∩ SE = K ⇒ K = I J ∩ (S AC ) Gọi AC ∩ BD = F ; D J ∩ SF = L ⇒ L = D J ∩ (S AC ) J Chứng minh K , L, M là điểm chung (S AC ) và ( AOJ ) M K A L I O D E F C B ä BÀI 11 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M , N là điểm nằm trên cạnh BC và SD Tìm giao điểm I BN và (S AC ) Tìm giao điểm J MN và (S AC ) Chứng minh I , J , C thẳng hàng Xác định thiết diện mặt phẳng (BCN ) với hình chóp Lời giải S Gọi AC ∩ BD = O ; BN ∩ SO = I ⇒ I = BN ∩ (S AC ) N Gọi AC ∩ MD = E ; MN ∩ SE = J ⇒ J = MN ∩ (S AC ) P Chứng minh I , J , C là điểm chung (S AC ) và (BCN ) A Gọi CI ∩ S A = P D I Thiết diện mặt phẳng (BCN ) với hình chóp là tứ giác BCNP J O E B M C ä BÀI 12 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm S A , SC Gọi (P ) là mặt phẳng qua M , N và B Tìm giao tuyến (P ) với các mặt phẳng (S AB), (SBC ), (S AD ), (SDC ) Tìm I = SO ∩ (P ), K = SD ∩ (P ), E = D A ∩ (P ), F = DC ∩ (P ) Chứng minh ba điểm E , B, F thẳng hàng Lời giải ĐS: E , B, F là điểm chung (P ) và ( ABCD ) 344 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN S Ta có (P ) ∩ (S AB) = BM ; (P ) ∩ (SBC ) = BN ; (P ) ∩ (S AD ) = MK ; (P ) ∩ (SCD ) = NK K I = SO ∩ MN ; K = BI ∩ SD ; E = D A ∩ MK ; F = DC ∩ NK Chứng minh E , B, F là điểm chung (P ) và ( ABCD ) M I N E D A O B C F ä BÀI 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác có các cặp cạnh đối không song song Gọi M , E là trung điểm S A , AC và F ∈ CD cho CD = 3CF Tìm giao tuyến (S AB) và (SCD ) Tìm giao điểm N SD và ( MEF ) Tính tỉ số NS ND ĐS: NS = ND Gọi H = SE ∩ CM và K = MF ∩ NE Chứng minh D , H , K thẳng hàng HM HS K M K N K H ; ; ; ; HC HE K F K E K D KM KN KH = ; = 1; = KF KE KD ĐS: Tính các tỉ số sau HM HS = ; = 2; HC HE Lời giải S Gọi AB ∩ CD = I ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = SI Gọi AD ∩ EF = J , SD ∩ J M = N ⇒ N = SD ∩ ( MEF ) NS = ND N M J A D Chứng minh D , H , K là điểm chung ( MCD ) và (SED ) Ta có HM = ; HC KM = ; KF KH = KD K H E F C HS = 2; HE KN = 1; KE B I { DẠNG 1.5 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy Phương pháp: Tìm giao hai đường thẳng, sau đó chứng minh đường thẳng thứ ba qua giao điểm đó ä ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 345 VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD Lấy M, N, P trên các cạnh AB, AC , BD cho MN cắt BC I , MP cắt AD J Chứng minh P I , N J , CD đồng quy Lời giải A ( Trong (BCD ) : Gọi K = P I ∩ CD ⇒ K ∈ P I, P I ⊂ ( M I J ) M K ∈ CD, CD ⊂ ( ACD ) ⇒ K ∈ ( M I J ) ∩ ( ACD ) ⇒ K ∈ N J N Vậy P I , N J , CD đồng quy K P B D K C I J ä BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho hình chóp S.ABCD có AB không song song CD Gọi M là trung điểm SC và O là giao điểm AC và BD Tìm giao điểm N SD và ( M AB) Chứng minh ba đường thẳng SO , AM , BN đồng quy Lời giải S Trong (S AC ): Gọi K = AM ∩ SO N ( Trong (SBD ) : Gọi N = BK ∩ SD ⇒ ⇒ N ∈ BK, BK ⊂ ( M AB) N ∈ SD N = SD ∩ ( M AB) Ta có K = AM ∩ SO ⇒ SO , AM qua K Mà N = BK ∩ SD ⇒ BN qua K Vậy ba đường thẳng SO , AM , BN đồng quy K M K D A B O C ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD Trên cạnh SC lấy điểm E không trùng với S và C Tìm giao điểm F đường thẳng SD và ( ABE ) Giả sử AB không song song CD Chứng minh ba đường thẳng AB, CD , EF đồng quy Lời giải 346 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN S Trong ( ABCD ): Gọi I = AC ∩ BD Trong (S AC ): Gọi J = AE ∩ SI F ( Trong (SBD ) : Gọi F = BJ ∩ SD ⇒ F ∈ BJ, BJ ⊂ ( ABE ) F ∈ SD F = SD ∩ ( ABE ) ⇒ E J Ta có ( E ∈ ( ABE ) ∩ (SCD ) F ∈ ( ABE ) ∩ (SCD ) ⇒ ( ABE ) ∩ (SCD ) = EF D A ( Trong ( ABCD ) : Gọi K = AB ∩ CD ⇒ K ∈ AB, AB ⊂ ( ABE ) K ∈ CD, CD ⊂ (SCD ) ⇒ K ∈ ( ABE ) ∩ (SCD ) ⇒ K ∈ EF B I C K Vậy AB, CD , EF đồng quy K ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi Lấy điểm M trên cạnh SC Gọi N là giao điểm SB và ( ADM ) Gọi O là giao điểm AC và BD Chứng minh SO , AM , DN đồng quy Lời giải S Ta có S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) (1) ( Trong ( ABCD ) : Gọi I = AB ∩ CD ⇒ I ∈ AB, AB ⊂ (S AB) I ∈ CD, CD ⊂ (SCD ) ⇒ I ∈ (S AB) ∩ (SCD ) Từ (1) và (2) ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = SI Trong (SID ): Gọi J = DM ∩ SI (2) J M ( Trong (S AI ) : Gọi N = A J ∩ SB ⇒ ⇒ N ∈ A J, A J ⊂ ( ADM ) N N ∈ SB K N = SB ∩ ( ADM ) D A ( Ta có : S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) O ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) ⇒ (S AC ) ∩ (SBD ) = SO O B ( Trong ( A JD ) : Gọi K = AM ∩ DN ⇒ K ∈ AM, AM ⊂ (S AC ) C K ∈ DN, DN ⊂ (SBD ) ⇒ K ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) ⇒ K ∈ SO I Vậy SO , AM , DN đồng quy K ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có AB ∩ CD = E và AD ∩ BC = K Gọi M, N, P là trung điểm S A, SB, SC Tìm giao tuyến (S AC ) và (SBD ) Tìm giao tuyến ( MNP ) và (SBD ) Tìm giao điểm Q SD và ( MNP ) Gọi H = MN ∩ PQ Chứng minh S, H, E thẳng hàng Chứng minh SK , QM , NP đồng quy Lời giải ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 347 S Ta có S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) (1) ( Trong ( ABCD ) : I = AC ∩ BD ⇒ I ∈ AC, AC ⊂ (S AC ) I ∈ BD, BD ⊂ (SBD ) M F Q J ⇒ I ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) (2) N P Từ (1) và (2) ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = SI Ta có N ∈ ( MNP ) ∩ (SBD ) ( Trong (S AC ) : Gọi J = MP ∩ SI K (3) ⇒ H D I J ∈ MP, MP ⊂ ( MNP ) J ∈ SI, SI ⊂ (SBD ) ⇒ J ∈ ( MNP ) ∩ (SBD ) A B (4) C Từ (3) và (4) ⇒ ( MNP ) ∩ (SBD ) = N J E Trong (SBD ) : Gọi Q = N J ∩ SD ( Q ∈ N J, N J ⊂ ( MNP ) ⇒ Q ∈ SD Q = SD ∩ ( MNP ) ⇒ ( Trong ( MNPQ ) : H = MN ∩ PQ ⇒ H ∈ MN, MN ⊂ (S AB) H ∈ PQ, PQ ⊂ (SCD ) ⇒ H ∈ (S AB) ∩ (SCD ) ⇒ H ∈ SE Suy S, H, E thẳng hàng Ta có S ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) (5) ( Trong ( ABCD ) : K = AD ∩ BC ⇒ K ∈ AD, AD ⊂ (S AD ) K ∈ BC, BC ⊂ (SBC ) ⇒ K ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) (6) Từ (5) và (6) ⇒ (S AD ) ∩ (SBC ) = SK ( Trong ( MNPQ ) : Gọi F = QM ∩ P N ⇒ F ∈ QM, QM ⊂ (S AD ) F ∈ P N, P N ⊂ (SBC ) ⇒ F ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) ⇒ F ∈ SK Suy SK , QM , NP đồng quy F ä BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Cho tứ diện S.ABC với I là trung điểm S A , J là trung điểm BC Gọi M là điểm di động trên I J và N là điểm di động trên SC Xác định giao điểm P MC và (S AB) Tìm giao tuyến (SMP ) và ( ABC ) Tìm giao điểm E MN và ( ABC ) Gọi F = I N ∩ AC Chứng minh đường thẳng EF luôn qua điểm cố định M, N di động 348 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi I, K là trung điểm AB, CD Gọi J là điểm trên đoạn AD cho AD = JD Tìm giao điểm F I J và (BCD ) Tìm giao điểm E ( I JK ) và đường thẳng BC Tính tỉ số EB EC Chứng minh ba đường thẳng AC , K J , IE đồng quy điểm H Tính tỉ số HC HA ĐS: EB =2 EC ĐS: HC =2 HA Chứng minh E J ∥ HF và đường thẳng IK qua trung điểm đoạn HF Gọi O là trung điểm IK và G là trọng tâm tam giác BCD Chứng minh ba điểm A, O,G thẳng hàng Tính OA OA tỉ số ĐS: =3 OG OG CHƯƠNG BÀI A ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt a Cho hai đường thẳng phân biệt a, b a a I b b b Định nghĩa • Hai đường thẳng gọi là đồng phẳng chúng cùng nằm mặt phẳng • Hai đường thẳng gọi là chéo chúng không đồng phẳng • Hai đường thẳng gọi là song song chúng đồng phẳng và không có điểm chung Tính chất hai đường thẳng song song Định lí Trong không gian, qua điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có và đường thẳng song song với đường thẳng đã cho Định lí (Định lí giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đồng quy đôi song song với c c β β α α b b a a γ γ Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó trùng với hai đường thẳng đó β α d0 d d 00 β α d d 00 d0 β α d d0 d 00 Định lí Hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với 349 350 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG c β α b a γ B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG 1.1 Chứng minh hai đường thẳng song song Phương pháp giải: Cách Chứng minh hai đường thẳng a, b đồng phẳng, dùng các định lí hình học phẳng, chẳng hạn định lí đường trung bình, định lí đảo Thales, để chứng minh a ∥ b Cách Chứng minh hai đường thẳng đó cùng song song với đường thẳng thứ ba Chẳng hạn, chứng minh ( c∥a c∥b ⇒ a ∥ b Cách Áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng và hệ nó Chẳng hạn, chứng minh   a∥b∥c  b ∥ c  b ⊂ (α), c ⊂ (β) ⇒ a ≡ b   (α) ∩ (β) = a a ≡ c VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD có I , J là trọng tâm tam giác ABC và ABD Chứng minh I J ∥ CD Lời giải ( Gọi E là trung điểm AB Ta có I ∈ CE J ∈ DE A ⇒ I J và CD đồng phẳng Vì I , J là trọng tâm tam giác ABC và ABD nên E EI EJ = = EC ED Theo định lí đảo Thales suy I J ∥ CD (đpcm) B J I D C ä VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD Gọi M , N , P , Q , R , S là trung điểm AB, CD , BC , AD , AC , BD Chứng minh MP NQ là hình bình hành Từ đó suy ba đoạn thẳng MN , PQ , RS cắt trung điểm G đoạn Lời giải HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG   MP ∥ AC Vì MP là đường trung bình ABC nên  MP = AC   NQ ∥ AC Vì NQ là đường trung bình ACD nên  NQ = AC ( MP ∥ NQ Từ (1) và (2) suy MP = NQ 351 A (1) (2) Q M R Do đó, MP NQ là hình bình hành Suy MN , PQ cắt trung điểm G đoạn Chứng minh tương tự ta PSQR là hình bình hành nên PQ , RS cắt trung điểm G đoạn Vậy MN , PQ , RS cắt trung điểm G đoạn G B D S P N C ä Nhận xét Điểm G nói trên gọi là trọng tâm tứ diện Trọng tâm tứ diện là điểm đồng qui các đoạn nối trung điểm các cạnh đối, nó là trung điểm các cạnh này BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm S A , SD Chứng minh MN ∥ AD và MN ∥ BC ; MO ∥ SC và NO ∥ SB Lời giải S Xét tam giác S AD có M là trung điểm S A (giả thiết); N là trung điểm SD (giả thiết) M Suy MN là đường trung bình 4S AD Do đó MN ∥ AD ( MN ∥ AD (chứng minh trên) Ta có ⇒ MN ∥ BC ∥ AD ( ABCD là hình bình hành) BC N B A Xét tam giác ASC có O D C M là trung điểm S A (giả thiết); O là trung điểm AC (O là tâm hình bình hành ABCD ) Suy OM là đường trung bình 4S AC Do đó MO ∥ SC Tương tự, NO là đường trung bình 4SDB nên NO ∥ SB ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm AB, AD Gọi I , J , G là trọng tâm các tam giác S AB, S AD và AOD Chứng minh I J ∥ MN ; Lời giải I J ∥ BD và G J ∥ SO 352 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG S Xét tam giác SMN có SM ( I là trọng tâm 4S AB); S J = SN ( J là trọng tâm 4S AD ) SI = I J suy I J ∥ MN (định lý Ta-lét đảo) C B Vì MN là đường trung bình ABD nên MN ∥ BD Mà I J ∥ MN (chứng minh trên) nên I J ∥ BD Xét tam giác SON có M O G A N D NO (G là trọng tâm AOD ); N J = SN ( J là trọng tâm 4S AD ) NG = suy G J ∥ SO (định lý Ta-lét đảo) ä BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O và I là điểm trên cạnh SO Tìm giao điểm E và F mặt phẳng ( ICD ) với các đường S A , SB Chứng minh EF ∥ AB; Gọi K là giao điểm DE và CF Chứng minh SK ∥ BC Lời giải Vì I ∈ SO mà SO ⊂ (SBD ) nên I ∈ (SBD ) Do đó F = D I ∩ SB và E = CI ∩ S A S K Ta có F (CD I ) ∩ ( ABCD ) = CD ; (S AB) ∩ ( ABCD ) = AB; E (CD I ) ∩ (S AB) = EF I Mà AB ∥ CD ( ABCD là hình bình hành) nên EF ∥ AB ∥ CD (tính chất giao tuyến ba mặt phẳng) C B O A Cách Ta có ( K ∈ ED ⊂ (S AD ) K ∈ FE ⊂ (SBC ) ( D ⇒ K là điểm chung thứ hai mặt phẳng (S AD ) và (SBC ) S ∈ (S AD ) ⇒ S là điểm chung thứ hai hai mặt phẳng (S AD ) và (SBC ) S ∈ (SBC ) Suy SK là giao tuyến hai mặt phẳng (S AD ) và (SBC )  (S AD ) ∩ ( ABCD ) = AD     (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC Ta có ⇒ SK ∥ BC ∥ AD  (S AD ) ∩ (SBC ) = SK     AD ∥ BC Vậy SK ∥ BC Cách Trong 4SCD có EF ∥ CD nên theo định lý Ta-lét ta có K F EF = K C CD (1) SF EF EF = = ( AB = CD ) SB AB CD (2) Tương tự, 4S AB có EF ∥ AB nên HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 353 Từ (1) và (2) suy K F SF K F SF = ⇔ = K C SB FC FB Xét 4FSK và 4FBC có K F SF = (chứng minh trên); FC FB ƒ  (đối đỉnh) SFK = BFC Do đó 4FSK v 4FBC (cạnh - góc - cạnh) suy SK ∥ BC ä BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi E , F là trung điểm S A và SB Chứng minh EF ∥ CD Tìm I = AF ∩ (SCD ) Chứng minh SI ∥ AB ∥ CD Lời giải S E I F B A D C Ta có EF là đường trung bình tam giác S AB nên EF ∥ AB mà AB ∥ CD (hai đáy hình thang) nên EF ∥ CD Hai mặt phẳng (S AB) và (SCD ) có AB ∥ CD nên giao tuyến là đường thẳng Sx ∥ AB ∥ CD Kéo dài AF cắt Sx I Ta thấy I là điểm chung AF và (SCD ) Theo ý ä { DẠNG 1.2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song Phương pháp giải:    A ∈ (α) ∩ (β) a ⊂ (α), b ⊂ (β) ⇒ (α) ∩ (β) = Ax với Ax ∥ a ∥ b   a∥b VÍ DỤ VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh S A Điểm E , F là trung điểm AB và BC Tìm (S AB) ∩ (SCD ) Tìm ( MBC ) ∩ (S AD ) Tìm ( MEF ) ∩ (S AC ) Tìm AD ∩ ( MEF ) Tìm SD ∩ ( MEF ) Tìm thiết diện hình chóp cắt ( MEF ) 354 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Lời giải S   S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) AB ⊂ (S AB), CD ⊂ (SCD )   AB ∥ CD ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = Sx với Sx ∥ AB ∥ CD    M ∈ ( MBC ) ∩ (S AD ) BC ⊂ ( MBC ), AD ⊂ (S AD )   BC ∥ AD ⇒ ( MBC ) ∩ (S AD ) = M y với M y ∥ BC ∥ AD    M ∈ ( MEF ) ∩ (S AC ) EF ⊂ ( MEF ), AC ⊂ (S AC )   EF ∥ AC ⇒ ( MEF ) ∩ (S AC ) = M z với M z ∥ EF ∥ AC N y M x K z A I E Trong ( ABCD ), gọi I = EF ∩ AD Mà EF ⊂ ( MEF ) nên AD ∩ ( MEF ) = I Trong (S AD ), gọi N = SD ∩ I M Mà I M ⊂ ( MEF ) nên SD ∩ ( MEF ) = N D B F C Thiết diện hình chóp cắt ( MEF ) là ngũ giác MNK FE ä VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD Mặt đáy là hình thang có cạnh đáy lớn AD , AB cắt CD điểm K Gọi M là điểm nằm trên cạnh SD Tìm d = (S AD ) ∩ (SBC ) và N = K M ∩ (SBC ) Chứng minh AM , BN và d đồng qui Lời giải S   S ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) • AD ⊂ (S AD ), BC ⊂ (SBC )   AD ∥ BC ⇒ (S AD ) ∩ (SBC ) = d với S ∈ d, d ∥ AD ∥ BC • Trong (SCD ), gọi N = K M ∩ SC Mà SC ⊂ (SBC ) nên N = K M ∩ (SBC )   (SBC ) ∩ (S AD ) = d (SBC ) ∩ ( M AB) = BN   ( M AB) ∩ (S AD ) = AM Theo định lí giao tuyến mặt phẳng, suy AM , BN và d đồng qui đôi song song Mà AM , d cắt nên AM , BN và d phải đồng qui d E M N D A B C K ä BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm S A , SB Gọi P là điểm trên cạnh BC Tìm giao tuyến (SBC ) và (S AD ); Lời giải (S AB) và (SCD ); ( MNP ) và ( ABCD ) HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 355 y Ta có S (SBC ) ∩ ( ABCD ) = BC ; x (S AD ) ∩ ( ABCD ) = AD ; AD ∥ BC ( ABCD là hình bình hành) N Mà S là điểm chung mặt phẳng (SBC ) và (S AD ) nên giao tuyến mặt phẳng (SBC ) và (S AD ) là đường thẳng Sx ∥ BC ∥ AD M P B C O A D Q Giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (SCD ) là đường thẳng S y ∥ AB ∥ CD Vì MN ∥ AB ( MN là đường trung bình 4S AB) nên qua P kẻ PQ ∥ AB (Q ∈ AD ) Khi đó giao tuyến hai mặt phẳng ( MNP ) và ( ABCD ) là đường thẳng PQ ä BÀI Cho tứ diện S ABC Gọi E và F là trung điểm các cạnh SB và AB, G là điểm trên cạnh AC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau (S AC ) và (EFC ); (S AC ) và (EFG ) Lời giải S x H Ta có (S AC ) ∩ (S AB) = S A ; (EFC ) ∩ (S AB) = EF ; S A ∥ EF (EF là đường trung bình 4S AB) E Do đó giao tuyến mặt phẳng (S AC ) và (EFC ) song song với S A và EF Mà C là điểm chung mặt phẳng (S AC ) và (EFC ) nên giao tuyến chúng là đường thẳng Cx ∥ S A ∥ EF A G Vì EF ∥ S A (EF là đường trung bình 4S AB) nên qua G kẻ GH ∥ S A (H ∈ SC ) Khi đó giao tuyến hai mặt phẳng (S AC ) và (EFG ) là đường thẳng GH C F B ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có O là tâm hình bình hành ABCD , điểm M thuộc cạnh S A cho SM = M A , N là trung điểm AD Tìm giao tuyến mặt phẳng (S AD ) và ( MBC ) Tìm giao điểm I SB và (CMN ), giao điểm J S A và ( ICD ) Chứng minh ba đường thẳng ID , JC , SO đồng quy E Tính tỉ số Lời giải SE SO 356 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG t S F J M I P E N A D O B C    M ∈ ( MBC ) ∩ (S AD ) Vì BC ⊂ ( MBC ) và AD ⊂ (S AD )   BC ∥ AD nên (S AD ) ∩ ( MBC ) = MP ∥ BC ∥ AD (với P ∈ SD )   S ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) Vì AD ⊂ (S AD ) và BC ⊂ (SBC )   AD ∥ BC nên (S AD ) ∩ (SBC ) = St ∥ AD ∥ BC Gọi(F = MN ∩ St; I = CF ∩ SB I ∈ SB Vì nên I = SB ∩ (CMN ) I ∈ CF ⊂ (CMN ) Qua ( I kẻ đường thẳng song song với AB cắt S A J Vì J ∈ SA J ∈ J I ⊂ ( ICD )(vì I J ∥ CD ⇒ ( I JCD ) ≡ ( ICD )) nên J = S A ∩ ( ICD ) Xét mặt phẳng (S AC ), (SBD ) và (CD J I ), ta có   SO = (S AC ) ∩ (SBD ) ID = (SBD ) ∩ (CD J I )   JC = (S AC ) ∩ (CD J I ) Do đó ba đường thẳng ID , JC , SO đồng quy Gọi điểm đồng quy là E Trong mặt phẳng (SF AD ), áp dụng định lý Thales (để ý AN ∥ SF ) ta có M A AN = = MS SF Suy SF = AD = BC và SFBC là hình bình hành I = SB ∩ CF nên I là trung điểm SB 4SBD có D I và SO là trung tuyến nên E là trọng tâm 4SBD Vậy SE = SO ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC Gọi M , N , P thuộc các đoạn S A , AD , BC cho M A = MS , N A = ND , PC = 2PB Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau: (S AD ) và (SBC ), (S AC ) và (SBD ) Xác định giao điểm Q SB với ( MNP ) Gọi K là trung điểm SD Chứng minh CK = ( MQK ) ∩ (SCD ) Lời giải HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 357 F ≡ F0 t S M K K0 N A Q D O B P C E   S ∈ (S AD ) ∩ (SBC ) Vì AD ⊂ (S AD ) và BC ⊂ (SBC )   AD ∥ BC nên (S AD ) ∩ (SBC ) = ( St ∥ AD ∥ BC O ∈ AC ⊂ (S AC ) Gọi O = AC ∩ BD ⇒ suy SO = (S AC ) ∩ (SBD ) O ∈ BD ⊂ (SBD ) Gọi E = NP ∩ AB và Q = EM ∩ SB Vì ( Q ∈ SB Q ∈ ME ⊂ ( MNP ) nên Q = SB ∩ ( MNP ) Gọi F = MK ∩ St và F = QC ∩ St Dựa vào các vị trí các điểm Q , C , M và K giả thiết cho, dễ thấy F và F cùng nằm phía so với mặt phẳng (S AB) Trong mặt phẳng (SF BC ), áp dụng định lý Thales (để ý SF ∥ BC ) ta có BC QS = = QB SF Gọi K là trung điểm S A suy (1) MK = MS Trong mặt phẳng (SF AD ), áp dụng định lý Thales (để ý SF ∥ K K ) ta có MK K K = = MS SF (2) Từ (1), (2) và AD = 2BC suy SF = SF Do đó F ≡ F , suy bốn điểm Q , C , M và K đồng phẳng Vậy CK = ( MQK ) ∩ (SCD ) ä BÀI TẬP RÈN LUYỆN BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi G , J là trọng tâm tam giác BCD và ACD Chứng minh G J ∥ AB Lời giải Tìm ( ABD ) ∩ (G JD ) 358 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG A x J B D G M C Gọi M là trung điểm CD MG M J Xét tam giác ABM có = = MB M A Suy G J ∥ AB Hai mặt phẳng ( ABD ) và (G JD ) có điểm D chung và G J ∥ AB nên giao tuyến là đường thẳng Dx ∥ G J ∥ AB ä BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi I , J là trọng tâm ABC , ABD và E , F là trung điểm BC , AC Chứng minh I J ∥ CD Tìm (DEF ) ∩ ( ABD ) Lời giải A x F J I M B D E C Gọi M là trung điểm BD AI AJ Tam giác AEM có = = nên I J ∥ ME AE AM Mà ME ∥ CD (đường trung bình) Suy I J ∥ CD Hai mặt phẳng (DEF ) và ( ABD ) có điểm chung D và EF ∥ AB nên giao tuyến là đường thẳng Dx ∥ AB ∥ EF ä BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC và N là trọng tâm tam giác ABC Tìm I = SD ∩ ( AMN ) Lời giải Chứng minh N I ∥ SB Tìm ( AMN ) ∩ (S AD ) HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG 359 S I M E D A N O B C Gọi O là giao điểm AC và BD , E là giao điểm SO và AM Khi đó NE và SD cắt I Ta thấy I ∈ SD và I ∈ NE ⊂ ( AMN ) nên I = SD ∩ ( AMN ) Tam giác SOB có Suy N I ∥ SB OE ON = = nên NE ∥ SB OS OB 3 Hai mặt phẳng ( AMN ) và (S AD ) có hai điểm chung A , I nên ( AMN ) ∩ (S AD ) = AI ä BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thang ( AB ∥ CD ) với CD = AB Gọi O là giao điểm AC và BD , K là trung điểm SC , G là trọng tâm tam giác SCD Tìm ( ACG ) ∩ (SBC ) Chứng minh OG ∥ BK Lời giải x S K G A B O D C ƒ=ƒ ƒ = OBA ƒ Ta có 4OCD v 4O AB COD AOB và ODC OD OC CD Suy = = = OB O A AB Suy OD = DB DG DO Tam giác DBK có = = nên OG ∥ BK DK DB Hai mặt phẳng (SBC ) và ( ACG ) có điểm C chung và OG ∥ BK nên giao tuyến là đường thẳng Cx ∥ OG ∥ BK ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và O là giao điểm hai đường chéo AC và BD Lấy điểm E trên cạnh SC cho EC = 2ES 360 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (SCD ) Tìm giao điểm M đường thẳng AE và mặt phẳng (SBD ) Chứng minh M là trung điểm đoạn thẳng SO Lời giải S   S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) Vì AB ⊂ (S AB) và CD ⊂ (SCD )   AB ∥ CD nên (S AB) ∩ (SCD ) = St ∥ AB ∥ CD Gọi(M = AE ∩ SO M ∈ AE Vì M ∈ SO ∩ (SBD ) F t E M I nên M = AE ∩ (SBD ) EI = ES Gọi F = OI ∩ AE Trong mặt phẳng (S AC ), áp dụng định lý Thales (để ý OI ∥ S A ) Gọi I là trung điểm SC , suy A D O FI EI B C = = S A ES SA Suy F I = OI = , từ đó dẫn đến SFO A là hình bình hành Vậy M là trung điểm SO ä BÀI 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành, gọi M , N , P là trung điểm SD , CD , BC Tìm giao tuyến các cặp mặt phẳng sau: (S AC ) và (SBC ), ( AMN ) và (SBC ) Tìm giao điểm I (P MN ) và AC , K (P MN ) và S A Gọi F là trung điểm P M , chứng minh ba điểm K , F , I thẳng hàng Lời giải S K M t F A D N I B P Dễ thấy SC = (S AC ) ∩ (SBC ) Gọi E  = BC ∩ AN  E ∈ (SBC ) ∩ ( AMN ) SC ⊂ (SBC ) và MN ⊂ ( AMN ) Ta có   SC ∥ MN suy (SBC ) ∩ ( AMN ) = Et ∥ SC ∥ MN C E ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG ( 361 I ∈ AC ⇒ I = AC ∩ (P MN ) I ∈ P N ⊂ (P MN ) Gọi(K là giao điểm S A với đường thẳng qua I và song song với SC K ∈ SA Vì nên K = S A ∩ (P MN ) K ∈ IK ⊂ (P MN ) (vì MN ∥ SC ) Gọi I = AC ∩ P N ⇒ (1) Theo cách dựng ta có IK ∥ MN ABCD là hình bình hành nên AC và BD cắt trung điểm đường Mà P N là đường trung bình 4CBD nên AC cắt P N I là trung điểm P N Suy IF là đường trung bình 4P MN ⇒ IF ∥ MN (2) (1) và (2) suy K , F , I thẳng hàng ä BÀI A ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG TÓM TẮT LÝ THUYẾT Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P ) Có ba trường hợp xảy ra: Đường thẳng d và (P ) có điểm chung phân biệt ⇒ d ⊂ (P ) Đường thẳng d và (P ) có điểm chung ⇒ d ∩ (P ) = A Đường thẳng d và (P ) không có điểm chung nào ⇒ d ∥ (P ) Định nghĩa Đường thẳng d và mặt phẳng (P ) gọi là song song với chúng không có điểm chung Các định lý Định lí Nếu đường thẳng d không nằm mặt phẳng (α) và d song song với đường thẳng d nằm (α) thì d song song với (α) Định lí Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (α) Nếu mặt phẳng (β) chứa a và cắt (α) theo giao tuyến b thì b song song với (α) Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt và cùng song song với đương thẳng thì giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng đó Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP { DẠNG 2.1 Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P)   a ∥ b Phương pháp: Chứng minh b ⊂ (P ) ⇒ a ∥ (P )   a ∉ (P ) VÍ DỤ VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh MN song song với các mặt phẳng ( ABC ) và ( ABD ) Lời giải 362 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG A Gọi P , Q là trung điểm BC và CD QM QN Khi đó, ta có = = ⇒ MN ∥ AB M A NB    MN 6⊂ ( ABC ) Vì AB ⊂ ( ABC ) nên MN ∥ ( ABC )   MN ∥ AB    MN 6⊂ ( ABD ) Tương tự, ta có AB ⊂ ( ABD ) nên MN ∥ ( ABD )   MN ∥ AB M B P D N Q C ä VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm các cạnh AB và CD Chứng minh MN song song với các mặt phẳng (SBC ) và (S AD ) Gọi E là trung điểm S A Chứng minh SB và SC song song với mặt phẳng ( MNE ) Lời giải S Từ giả thiết, ta suy MN ∥ BC và MN ∥ AD    MN 6⊂ (SBC ) Vì BC ⊂ (SBC ) nên MN ∥ (SBC )   MN ∥ BC E    MN 6⊂ (S AD ) Tương tự, ta có AD ⊂ (S AD ) nên MN ∥ (S AD )   MN ∥ AD AE AM Từ giả thiết, ta có = = ⇒ ME ∥ SB AS AB  SB ⊂ ( MNE )   Vì ME ⊂ ( MNE ) nên SB ∥ ( MNE )   ME ∥ SB Tương tự, gọi O là tâm hình bình hành AO AE Khi đó = = ⇒ EO ∥ SC AC AS   SC 6⊂ ( MNE ) Vì EO ⊂ ( MNE ) nên SC ∥ ( MNE )   EO ∥ SC D A M B N O C ä { DẠNG 2.2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng Phương pháp: Áp dụng hai cách sau   a ∥ (P ) Cách 1: a ⊂ (Q ) ⇒ (P ) ∩ (Q ) = Mx ∥ a   M ∈ (P ) ∩ (Q )   a ∥ (P ) Cách 2: a ∥ (Q ) ⇒ (P ) ∩ (Q ) = Mx ∥ a   M ∈ (P ) ∩ (Q ) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 363 VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm ABC , M ∈ CD với MC = MD Chứng minh MG ∥ ( ABD ) Tìm ( ABD ) ∩ (BGM ) Tìm ( ABD ) ∩ ( AGM ) Lời giải A Gọi N là trung điểm AB Trong tam giác CDN , ta có CM CG = = CD CN ⇒ GM ∥ ND Vì ND ⊂ ( ABD ), GM 6⊂ ( ABD ) nên GM ∥ ( ABD ) ( GM ∥ ( ABD ) Vì ⇒ ( ABD ) ∩ (BGM ) = Bx ∥ GM ∥ ND B ∈ ( ABD ) ∩ (BGM ) ( GM ∥ ( ABD ) Vì ⇒ ( ABD ) ∩ (BGM ) = A y ∥ GM ∥ ND A ∈ ( ABD ) ∩ ( AGM ) y N G B D M x C ä { DẠNG 2.3 Tìm thiết diện song song với đường thẳng Phương pháp: Để tìm thiết diện mặt phẳng song song với mặt phẳng (α) qua điểm và song song với hai đườngthẳng chéo (α) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng sử dụng tích chất sau:   M ∈ (α) ∩ (β) d ∥ (α) ⇒ (α) ∩ (β) = a ∥ d , (với M ∈ a)   d ⊂ (β) VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD Gọi M , I là trung điểm BC , AC Mặt phẳng (P ) qua điểm M , song song với BI và SC Xác định trên hình vẽ các giao điểm (P ) với các cạnh AC , S A , SB Từ đó suy thiết diện (P ) cắt hình chóp Lời(giải (P ) ∥ SC Vì M ∈ (P ) ∩ (SBC ) ( (P ) ∥ BI Tương tự, Mặt khác, ⇒ (P ) ∩ (SBC ) = MN ∥ SC , N ∈ SB M ∈ (P ) ∩ ( ABC ) ( (P ) ∥ (SC ) S (1) ⇒ (P ) ∩ ( ABC ) = MH ∥ BI , H ∈ AC (2) K ⇒ (P ) ∩ (S AC ) = HK ∥ SC , K ∈ S A (3) Từ (1), (2) N ∈ (P ) cap(S AC ) và (3) ta có thiết diện (P ) với tư diện ABCD là tứ giác MNK H N I H C A M B ä BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 550 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm S A , SD Chứng minh rằng: BC ∥ (S AD ) AD ∥ (SBC ) MN ∥ ( ABCD ) MN ∥ (SBC ) MO ∥ (SCD ) NO ∥ (SBC ) 364 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Lời giải S N M D A O B C BC ∥ (S AD )   BC ∥ AD Ta có AD ⊂ (S AD ) ⇒ BC ∥ (S AD )   BC 6⊂ (S AD )    AD ∥ BC Ta có BC ⊂ (SBC ) ⇒ AD ∥ (SBC )   AD 6⊂ (SBC )    MN ∥ AD SM SN = = ⇒ MN ∥ AD Khi đó AD ⊂ ( ABCD ) ⇒ MN ∥ ( ABCD ) Ta có  SA SD  MN 6⊂ ( ABCD )    MN ∥ BC SM SN = ⇒ MN ∥ AD , vì AD ∥ BC nên MN ∥ BC Khi đó BC ⊂ (SBC ) ⇒ MN ∥ (SBC ) Ta có  SA SD  MN 6⊂ (SBC )    MO ∥ SC AM AO = = ⇒ MO ∥ SC Vì SC ⊂ (SCD ) ⇒ MO ∥ (SCD ) Ta có  AS AC  MO 6⊂ (SCD )    NO ∥ SB DN DO = = ⇒ NO ∥ SB Vì SB ⊂ (SBC ) ⇒ NO ∥ (SBC ) Ta có  DS DC  NO 6⊂ (SBC ) ä BÀI 551 Cho hình chóp S.ABCD có dáy ABCD là hình chữ nhật Gọi G là trọng tâm tam giác S AD và E là điểm trên cạnh DC cho DC = 3DE , I là trung điểm AD Chứng minh OI ∥ (S AB) và OI ∥ (SCD ) Tìm giao điểm P IE và (SBC ) Chứng minh GE ∥ (SBC ) Lời giải ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 365 S   OI ∥ AB Ta có AB ⊂ (S AB) ⇒ OI ∥ (S AB)   OI 6⊂ (S AB)   OI ∥ CD Tương tự, CD ⊂ (SCD ) ⇒ OI ∥ (SCD )   OI 6⊂ (SCD ) G DI 1 DE Vì = 6= = nên IE không song song với AC Trong hình D A DC chữ nhật ABCD , gọi P = IE ∩ BC ⇒ P = IE ∩ (SBC ) Gọi K là trung điểm BC , G là trọng tâm tam giác SBC SG SG G0G Khi đó = = = ,suy G G ∥ K I ∥ CE và ⇒ G G = SK SI KI 2 K I = CD = CE Do dó tứ giác G GEC là hình bình hành, suy 3 CG ∥ CE ⇒ CG ∥ (SBC ) G0 D A I E O B K C ä BÀI 552 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm AB và CD Chứng minh MN ∥ (SBC ) và MN ∥ (S AD ) Gọi P là trung điểm cạnh S A Chứng minh SB ∥ ( MNP ) và SC ∥ ( MNP ) Gọi G , I là trọng tâm tam giác ABC và SBC Chứng minh G I ∥ ( MNP ) Lời giải S Từ giả thiết, ta có MN ∥ AD ∥ BC Vì MN 6⊂ (SBC ), MN 6⊂ (S AD ) nên MN ∥ (SBC ) và MN ∥ (S AD ) AP AM = = ⇒ SB ∥ P M ⇒ SB ∥ ( MNP ) AS AB AO AP Tương tự, = = ⇒ PO ∥ SC vì OP ⊂ ( MNP ) nên SC ∥ AC AS ( MNP ) Ta có P D A I M N O G B C ä BÀI 553 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang đáy lớn AB, với AB = 2CD Gọi O là giao điểm AC và BD , I là trung điểm S A , G là trọng tâm tam giác SBC và E là điểm trên cạnh SD cho 3SE = 2SD Chứng minh: D I ∥ (SBC ) Lời giải GO ∥ (SCD ) SB ∥ ( ACE ) 366 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG S Gọi N là trung điểm SB, đó I N ∥ AB và I N = AB Suy I N ∥ CD , I N = DC suy tứ giác I NCD là hình bình hành, đó ID ∥ NC Vậy ID ∥ (SBC ) GO ∥ (SCD ) Gọi P là trung điểm SC , đó GO ∥ PD , suy GO ∥ (SCD ) N I P Ta có EO ∥ SB, suy SB ∥ ( ACE ) G E B A M O D C ä BÀI 554 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm các cạnh AB, AD Gọi I, J thuộc SM, SN cho MN ∥ (SBD ) SI SJ = = Chứng minh SM SN I J ∥ (SBD ) SC ∥ ( I JO ) Lời giải S Ta có M, N là trung điểm các cạnh AB, AD Suy MN ∥ BD , mà BD ⊂ (SBD ) Nên MN ∥ (SBD ) SI SJ = = ⇒ I J ∥ MN Hay I J ∥ BD SM SN Mà BD ⊂ (SBD ) Nên I J ∥ (SBD ) Ta có Trong mặt phẳng ( ABCD ), gọi H là giao điểm MN và AC Trong mặt phẳng (SMN ) gọi K là giao điểm I J và SH HO Dễ thấy H là trung điểm AO , suy = HC HK MI Lại có I J ∥ MN ⇒ IK ∥ MH ⇒ = = SH SM HK HO = = ⇒ KO ∥ SC Do đó HS HC Mà KO ⊂ ( I JO ) ⇒ SC ∥ ( I JO ) J K I A N D H M O B C ä BÀI 555 Cho tứ diện ABCD , G là trọng tâm tam giác ABD và I là điểm trên cạnh BC cho BI = IC Chứng minh IG ∥ ( ACD ) Lời giải A Gọi H là trung điểm BD Trong mặt phẳng (BCD ), gọi K là giao điểm H I và CD Theo định lý Menelaus có KD BH IC K D · · = ⇔ 1· · =1⇔ HD BI K C KC KD = KC Suy C là trung điểm K D , suy BC là trung tuyến 4BDK Mà BI = IC , suy I là trọng tâm 4BDK HI HG Suy = Lại có G là trọng tâm ABD ⇒ = HK HK Do đó, G I ∥ AK , mà AK ⊂ ( ACD ) ⇒ IG ∥ ( ACD ) K G B I C H D ä BÀI 556 Cho tứ diện ABCD Gọi G và P là trọng tâm tam giác ACD và ABC Chứng minh GP ∥ (BCD ), GP ∥ ( ABD ) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Lời giải Gọi K, H là trung điểm BC và CD Suy K H ∥ BD Ta có G, P là trọng tâm ACD, ABC 367 A (1) AP AG = , = ⇒ PG ∥ HK (2) AK AH Từ (1) và (2), suy GP ∥ BD Mà BD ⊂ (BCD ), BD ⊂ ( ABD ), suy GP ∥ (BCD ),GP ∥ ( ABD ) Suy P B G K D H C ä BÀI 557 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành, O là giao điểm AC và BD , M là trung điểm S A Chứng minh OM ∥ (SCD ) Gọi (α) là mặt phẳng qua M , đồng thời song song với SC và AD Tìm thiết diện mặt phẳng (α) với hình chóp S.ABCD Lời giải S Ta có M, O là trung điểm S A và AC , suy MO ∥ SC Mà SC ⊂ (SCD ) ⇒ OM ∥ (SCD ) Vì MO ∥ SC ⇒ O ∈ (α)   O ∈ (α) ∩ ( ABCD ) ⇒ (α) ∩ ( ABCD ) = PQ Ta có AD ∥ (α)   AD ⊂ ( ABCD ) Với PQ∥ AD, O ∈ PQ,Q ∈ AB, P ∈ CD  P ∈ (α) ∩ (SCD ) SC ∥ (α) Lại có   M ⇒ (α) ∩ (SCD ) = P N , với P N ∥ SC D A SC ⊂ (SCD ) Có (α) ∩ (S AD ) = MN, (α) ∩ (S AB) = MQ Nhận thấy P,Q là trung điểm CD và AB Suy N là trung điểm SD Suy MN ∥ PQ Vậy thiết diện là hình thang MNPQ N Q P O B C ä BÀI 558 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi M là trung điểm CD , (α) là mặt phẳng qua M , đồng thời song song với S A và BC Tìm thiết điện (α) với hình chóp S.ABCD Thiết diện là hình gì? Lời giải    M ∈ (α) ∩ ( ABCD ) Ta có BC ∥ (α) ⇒ (α) ∩ ( ABCD ) = MK ,   BC ⊂ ( ABCD ) với  MK ∥ BC, K ∈ AB  K ∈ (α) ∩ (S AB) Có S A ∥ (α) ⇒ (α) ∩ (S AB) = K H , với K H ∥ S A   S A ⊂ (S AB)    H ∈ (α) ∩ (SBC ) Lại có BC ∥ (α) ⇒ (α) ∩ (SBC ) = H I , với H I ∥ BC   BC ⊂ (SBC ) Do đó, α ∩ (SCD ) = I M , mà MK, H I song song với BC Vậy thiết diện hình chóp là hình thang MK H I S H A K B I D M C ä BÀI 559 Cho hình chóp S.ABCD Gọi M , N thuộc cạnh AB, CD Gọi (α) là mặt phẳng qua MN và song song với S A Tìm thiết diện (α) với hình chóp 368 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Tìm điều kiện MN để thiết diện là hình thang Lời giải    M ∈ (α) ∩ (S AB) Ta có S A ∥ (α) ⇒ (α) ∩ (S AB) = MP , với MP ∥ S A   S A ⊂ (S AB) Trongmặt phẳng ( ABCD ), gọi R = MN ∩ AC  R ∈ (α) ∩ (S AC ) S A ∥ (α) Ta có S ⇒ (α) ∩ (S AC ) = RQ , với RQ ∥ S A   S A ⊂ (S AC ) Ta có (α) ∩ (SCD ) = QN Vậy thiết diện là tứ giác MNQP " MP ∥ QN (1) Ta có MNQP là hình thang ⇒ MN ∥ PQ (2) ( S A ∥ MP Xét (1) ta có ⇒ S A ∥ QN MP ∥ QN ( S A ∥ QN Do đó ⇒ S A ∥ (SCD ) (vô lý) QN ⊂ (SCD )   BC = ( ABCD ) ∩ (SBC ) Xét (2) ta có MN ⊂ ( ABCD ) ⇒ MN ∥ BC   PQ ⊂ (SBC )   PQ = (α) ∩ (SBC ) Ngược lại, MN ∥ BC thì MN ⊂ (α) ⇒ MN ∥ PQ   BC ⊂ (SBC ) Vậy để thiết diện là hình thang thì MN ∥ PQ A Q P D N M R C B ä BÀI 560 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm cạnh SC (P ) là mặt phẳng qua AM và song song với BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) Gọi E, F là giao điểm (P ) với các cạnh SB, SD Tìm tỉ số diện tích 4SME với 4SBC và tỉ số diện tích 4SMF với 4SCD Gọi K là giao điểm ME và CB, J là giao MF và CD Chứng minh K, A, J nằm trên đường thẳng song EF song với EF và tìm tỉ số KJ Lời giải S Trong mặt phẳng ( ABCD ) gọi AC ∩ BD = O , mặt phẳng (S AC ), gọi AM ∩ SO  = I   I ∈ (P ) ∩ (SBD ) Ta có BD ∥ (P )   BD ⊂ (SBD ) ⇒ (P ) ∩ (SBD ) = EF , với I ∈ EF, E ∈ SB, F ∈ SD Ta có (P ) ∩ (S AB) = AE, (P ) ∩ (SBC ) = EM, (P ) ∩ (SCD ) = MF Vậy thiết diện là tứ giác AEMF M E F I A D O K Trong 4S AC , có I là trọng tâm tam giác ⇒ Do đó S AME 1 S 4SMF 1 = · = , = · = S 4SBC 3 S 4SCD 3 J B SI SE SF EF = ⇒ = = = SO SB SD BD C (1) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Ta có ( ( MEF ) ∩ ( ABCD ) = AK ( MEF ) ∩ ( ABCD ) = A J 369 ⇒ K, A, J thẳng hàng MS EB K C KC KC · · = ⇔ 1· · =1⇔ = MC ES K B KB KB Hay B là trung điểm K C Tương tự, ta có D là trung điểm C J BD ∥ K J Do đó, BD là đường trung bình 4K C J ⇒ BD = · K J (2) Mà BD ∥ EF Vậy A, K, J nằm trên đường song song với EF EF 1 Từ (1) và (2), suy = · = KJ 3 Theo định lý Menelaus, xét 4SBC ta có ä BÀI 561 Cho tứ diện ABCD Gọi M và N là hai điểm nằm trên cạnh BC và AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng (α) qua MN và song song với CD Xác định vị trí hai điểm M, N để thiết diện là hình bình hành Lời giải    M = (α) ∩ (BCD ) CD ∥ (α) ⇒ (α) ∩ (BCD ) = M I , với M I ∥ CD   CD ⊂ (BCD )  N = ( α ) ∩ ( ACD )   A Ta có CD ∥ (α) N ⇒ (α) ∩ ( ACD ) = NK , với NK ∥ CD K   CD ⊂ ( ACD ) Ta có (α) ∩ ( ABD ) = N I, (α) ∩ ( ABC ) = MK Vậy thiết diện là hình  thang M I NK , (vì M I ∥ NK ) M I BM  (  =  M I ∥ CD CD CB Lại có ⇒  K N AN K N ∥ CD   = CD AD B D I M C BM AN Để thiết diện M I NK là hình bình hành và M I = NK ⇔ = CD AD BM AN Vậy M, N là hai điểm nằm trên BC và AD và = CD AD ä BÀI 562 Cho tứ diện ABCD Gọi I, J là trung điểm AB và CD , M là điểm trên đoạn I J Gọi (P ) là mặt phẳng qua M và song song với AB và CD Tìm giao tuyến mặt phẳng (P ) và ( ICD ) Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P ) Thiết diện là hình gì? Lời giải Gọi ∆1 = (P ) ∩ ( ICD ), ta có ( M ∈ (P ) ⇒ M ∈ ∆1 M ∈ I J, I J ⊂ ( ICD )   (P ) ∥ CD A CD ⊂ ( ICD ) ⇒ ∆1 ∥ CD   (P ) ∩ ( ICD ) = ∆1 Vậy ∆1 là đường thẳng qua M và song song với CD Gọi E = ∆1 ∩ IC, F = ∆1 ∩ TD , ta (P ) ∩ ( ICD ) = EF I P F Gọi ( ∆2 = (P ) ∩ ( ABD ), ta có F ∈ (P ) ⇒ F ∈ ∆2 F ∈ ID, ID ⊂ ( ABD )   (P ) ∥ AB Q M B AB ⊂ ( ABD ) ⇒ ∆2 ∥ AB   (P ) ∩ ( ABD ) = ∆2 Vậy ∆2 là đường thẳng qua F và song song với AB Gọi G = ∆2 ∩ BD, P = ∆2 ∩ AD , ta (P ) ∩ ( ICD ) = GP Gọi ∆3 = (P ) ∩ ( ABC ), ta có ( E ∈ (P ) E ∈ IC, IC ⊂ ( ABC ) J H C ⇒ E ∈ ∆3 D G E 370 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Ta có   (P ) ∥ AB AB ⊂ ( ABC ) ⇒ ∆3 ∥ AB   (P ) ∩ ( ABC ) = ∆3 Vậy ∆3 là đường thẳng qua E và song song với AB Gọi H = ∆3 ∩ BC,Q = ∆3 ∩ AC , ta (P ) ∩ ( ABC ) = HQ Giao tuyến (P ) với các mặt phẳng (BCD ), ( ABD ), ( ACD ), ( ABC ) là GH, GP, PQ, QH Do đó thiết diện tứ diện với mặt phẳng (P ) là tứ giác HGPQ Ta có   (P ) ∥ CD CD ⊂ ( ACD ) ⇒ PQ ∥ CD   (P ) ∩ ( ACD ) = PQ và   (P ) ∥ CD CD ⊂ (BCD ) ⇒ HG ∥ CD   (P ) ∩ (BCD ) = HG ( Ta có HG ∥ PQ (cùng song song với CD ) HQ ∥ PG (cùng song song với AB) ⇒ tứ giác HGPQ là hình bình hành ä BÀI 563 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi K và J là trọng tâm các tam giác ABC và SBC Chứng minh K J ∥ (S AB) Gọi (P ) là mặt phẳng chứa K J và song song với AD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) Lời giải S Gọi H là trung điểm BC , theo tính chất trọng tâm ta HK HJ có = = ⇒ K J ∥ S A (Định lý Ta-lét đảo) Ta có H A HS  K J ∥ S A   S A ⊂ (S AB) ⇒ K J ∥ (S AB)   K J 6⊂ (S AB) ( Gọi ∆1 = (P ) ∩ ( ABCD ), ta có K ∈ K J, K J ⊂ (P ) ⇒ K ∈ ∆1 K ∈ ( ABCD )   (P ) ∥ AD AD ⊂ ( ABCD ) J M ⇒ ∆1 ∥ AD N D A   (P ) ∩ ( ABCD ) = ∆1 Vậy ∆1 là đường thẳng qua K và song song với AD Gọi E = ∆1 ∩ AB, F = ∆1 ∩ CD , ta (P ) ∩ ( ABCD ) = EF O E B Gọi ∆2 = (P ) ∩ (SBC ), ta có ( J ∈ K J, K J ⊂ (P ) J ∈ (SBC ) K F H C ⇒ K ∈ ∆2 Và   (P ) ∥ AD ∥ BC BC ⊂ ( ABCD ) ⇒ ∆2 ∥ BC   (P ) ∩ ( ABCD ) = ∆2 Vậy ∆2 là đường thẳng qua J và song song với BC Gọi M = ∆2 ∩ SB, N = ∆1 ∩ SD , ta (P ) ∩ (SBC ) = MN Ta có giao tuyến (P ) với các mặt phẳng ( ABCD ), (SCD ), (SBC ), (S AB) là EF, F N, N M, NE , đó thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) là tứ giác MNFE ä ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 371 BÀI 564 Cho tứ diện ABCD Gọi G , G là trọng tâm các tam giác ACD và BCD Chứng minh G G ∥ ( ABC ) và G G ∥ ( ABD ) Lời giải Xét tam giác ABM ta có A MG = (G là trọng tâm 4BCD ) MB MG 1 = (G là trọng tâm ACD ) MA G1 MG MG = ⇒ G G ∥ AB (Định lý Ta-lét đảo) MA  MB  G G ∥ AB Ta có AB ⊂ ( ABC ) ⇒ G G ∥ ( ABC )   G G 6⊂ ( ABC )   G G ∥ AB Ta có AB ⊂ ( ABD ) ⇒ G G ∥ ( ABD )   G G 6⊂ ( ABD ) Suy B D G2 M C ä BÀI 565 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm 4S AB, I là trung điểm AB, lấy điểm M đoạn AD cho AD = AM Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AD ) và (SBC ) Đường thẳng qua M và song song với AB cắt CI N Chứng minh NG ∥ (SCD ) Chứng minh MG ∥ (SCD ) Lời giải ∆ Gọi ∆  = (S AD ) ∩ (SBC ), ta có S ∈ ∆ AD ∥ BC      AD ⊂ (S AD ) Ta có ⇒ ∆ ∥ AD BC ⊂ (SBC )     (S AD ) ∩ (SBC ) = ∆ Vậy ∆ là đường thẳng qua S và song song với AD Hình thang AICD có MN ∥ AI ∥ CD nên (Định lí Ta-lét) 4S AB có G là trọng tâm nên E G IN AM = = IC AD D I N I N IG ISC có = = ⇒ NG ∥ SC (Định lý Ta-lét đảo) IC IS    NG ∥ SC Ta có SC ⊂ (SCD ) ⇒ NG ∥ (SCD )   NG 6⊂ (SCD ) IG IM = = ⇒ GM ∥ SE GS ME    MG ∥ SE Ta có SE ⊂ (SCD ) ⇒ MG ∥ (SCD )   MG 6⊂ (SCD ) M A IG = IS 3 Gọi E là giao điểm I M và CD Vì AI ∥ DE nên ta có S B C IM AM = = (Định lý Ta-lét) ME MD Xét ASE có ä BÀI 566 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 2BC Gọi O là giao điểm AC và BD , G là trọng tâm tam giác SCD Chứng minh OG ∥ (SBC ) Cho M là trung điểm SD Chứng minh CM ∥ (S AB) Gọi I là điểm trên cạnh SC cho 2SC = 3SI Chứng minh S A ∥ (BD I ) 372 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Lời giải S NG 1 Gọi N là trung điểm SC , vì G là trọng tâm 4SCD nên = GD BO CO BC Ta có BC ∥ AD ⇒ = = = (Định lí Ta-lét) OD AO AD NG BO 4BND có = = ⇒ OG ∥ BN (Định lí Ta-lét đảo) GD OD   OG ∥ BN Ta có E M N BN ⊂ (SBC ) ⇒ OG ∥ (SBC )   OG 6⊂ (SBC ) I A Gọi E là trung điểm S A , theo tính chất đường trung bình ta có ME ∥ AD và ME = AD   ME = BC = AD ⇒ Tứ giác MEBC là hình bình hành  ME ∥ BC (∥ AD ) G D O B C Suy raCM ∥ BE  CM ∥ BE Ta có BE ⊂ (S AB) ⇒ CM ∥ (S AB)   CM 6⊂ (S AB) Ta có 2SC = 3SI ⇔ 2SI + IC = 3SI ⇔ SI = IC CI CO Xét 4S AC có = = ⇒ OI ∥ S A (Định lí Ta-lét đảo) IS O A   S A ∥ BI Ta có BI ⊂ (BD I ) ⇒ AB ∥ (BD I )   AB 6⊂ (BD I ) ä BÀI 567 Cho hình chóp S.ABCD , đáy ABCD là hình bình hành Gọi M, N, P là trung điểm các cạnh AB, AD, SB Chứng minh BD ∥ ( MNP ) Tìm giao điểm ( MNP ) với BC Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( MNP ) và (SBD ) Tìm thiết diện hình chóp với ( MNP ) Lời giải S K Q P A N D M H B C 1 ABD có MN là đường trung bình nên MN ∥ BD và MN = BD   BD ∥ MN Ta có MN ⊂ ( MNP ) ⇒ BD ∥ ( MNP )   BD 6⊂ ( MNP ) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 373 Trong ( ABCD ), dựng H = MN ∩ BC , ta có ( H ∈ BC H ∈ MN, MN ⊂ ( MNP ) ( Gọi ∆ = ( MNP ) ∩ (SBD ), ta có P ∈ (SBD ) P ∈ ( MNP ) ⇒ H = ( MNP ) ∩ BC ⇒ P ∈ ∆ Ta có    MN ∥ BD MN ⊂ ( MNP ), (BD ) ⊂ (SBD ) ⇒ ∆ ∥ MN   ( MNP ) ∩ (SBD ) = ∆ Vậy ∆ là đường thẳng qua P và song song với MN Gọi Q = ∆ ∩ SD , ta ( MNP ) ∩ (SBD ) = PQ Trong (SBC ), dựng K = HP ∩ SC Giao tuyến ( MNP ) với các mặt phẳng ( ABCD ), (S AB), (SBC ), (SCD ), (SD A ) là MN, P M, PK, KQ, QN Vậy thiết diện hình chóp với ( MNP ) là ngũ giác P MNQK ä BÀI 568 Cho tứ diện ABCD Gọi M là điểm thuộc BC cho MC = MB Gọi N, P trung điểm BD và AD Chứng minh NP ∥ ( ABC ) Tìm giao điểm Q AC với ( MNP ) và tính QA Suy thiết diện hình chóp bị cắt ( MNP ) QC Chứng minh MG ∥ ( ABD ), với G là trọng tâm tam giác ACD Lời giải ABD có NP là đường trung bình nên NP ∥ AB và NP = AB    NP ∥ AB Ta có AB ⊂ ( ABC ) ⇒ NP ∥ ( ABC )   NP 6⊂ ( ABC ) ( Gọi ∆ = ( MNP ) ∩ ( ABC ), ta có M ∈ (SBD ) ⇒ M ∈ ∆ M ∈ BC, BC ⊂ ( ABC )    NP ∥ ( ABC ) NP ⊂ ( MNP ) A Q P G B ⇒ ∆ ∥ AB D M   ( MNP ) ∩ ( ABC ) = ∆ Vậy ∆ là đường thẳng qua M và song song với AB Trong ( ABC ) dựng Q = ∆ ∩ AC , ta có ( Q ∈ AC ⇒ Q = AC ∩ ( MNP ) Q ∈ ∆, ∆ ⊂ ( MNP ) Ta có MC = MB ⇔ MC + MB = MB ⇔ BC = MB ⇔ N C MB = BC Q A BM = = QC BC Ta có giao tuyến ( MNP ) với các mặt phẳng ( ABC ), ( ACD ), ( ABD ), (BCD ) là QM, QP, P N, MN Vậy thiết diện cùa hình chóp bị cắt ( MNP ) là tứ giác MNPQ Xét ABC có QM ∥ AB ⇒ Vì G là trọng tâm ACD nên PG = PC PG BM = = ⇒ MG ∥ BP (Định lí Ta-lét đảo) PC BC    MG ∥ BP Ta có BP ⊂ ( ABD ) ⇒ MG ∥ ( ABD )   MG 6⊂ ( ABD ) Xét 4BCP có ä 374 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI 569 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Tìm giao tuyến (S AC ) và (SBD ); (S AB) và (SCD ) Một mặt phẳng qua BC và song song với AD cắt S A E, (E 6= S, E 6= A ), cắt SD F, (F 6= S, F 6= D ) Tứ giác BEFC là hình gì? Gọi M thuộc đoạn AD cho AD = AM và G là trọng tâm tam giác S AB, I là trung điểm AB Đường thẳng qua M và song song AB cắt CI N Chứng minh NG ∥ (SCD ) và MG ∥ (SCD ) Lời giải S ∆ H F E G A M D O I N B C Ta có S ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) Trong ( ABCD ), dựng O = AC ∩ BD , ta có ( O ∈ AC, AC ⊂ (S AC ) O ∈ BD, BD ⊂ (SBD ) ⇒ O ∈ (S AC ) ∩ (SBD ) Vậy (S AC ) ∩ (SBD ) = SO Gọi ∆  = (S AB) ∩ (SCD ), ta có S ∈ ∆ Ta có AB ∥ CD      AB ⊂ (S AB)  CD ⊂ (SCD )     (S AB) ∩ (SCD ) = ∆ ⇒ ∆ ∥ AB Vậy ∆ là đường thẳng qua S và song song với AB Ta có  BC ∥ AD     BC ⊂ (BCFE ) ⇒ EF ∥ AD ∥ BC  AD ⊂ (S AD )     (BCFE ) ∩ (S AD ) = EF Vậy tứ giác BCFE là hình thang AM I N = = (Định lí Ta-lét) AD IC IG Vì G là trọng tâm tam giác S AB nên = IS Xét ISC ta có IG I N = = ⇒ GN ∥ SC (Định lí Ta-lét đảo) IS IC 3 Xét hình thang AICD có MN ∥ AI ⇒ ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 375 Ta có   GN ∥ SC SC ⊂ (SCD ) ⇒ NG ∥ (SCD )   NG 6⊂ (SCD ) Trong ( ABCD ), dựng H = I M ∩ CD Vì AI ∥ DM nên ta có Xét ISH ta có I M AM = = (Định lí Ta-lét) IH AD IG I M = = ⇒ GM ∥ SH (Định lí Ta-lét đảo) IS IH Ta có    MG ∥ SH SH ⊂ (SCD ) ⇒ MG ∥ (SCD )   MG 6⊂ (SCD ) ä BÀI 570 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N , P là trung điểm S A , BC , CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AC ) và (SBD ) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AB) và (SCD ) Tìm giao điểm E SB và ( MNP ) Chứng minh NE ∥ (S AP ) Lời giải S M A D E F B N Q Ta có O = AC ∩ BD ⇒ P O ( O ∈ AC ⊂ (S AC ) O ∈ BC ⊂ (SBD ) Do đó O là điểm chung hai mặt phẳng (S AC ) và (SBD ) mà S là điểm chung thứ hai hai mặt phẳng (S AC ) và (SBD ) nên SO = (S AC ) ∩ (SBD )  AB ∥ CD      AB ⊂ (S AB) Ta có ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = Sx ∥ AB và Sx ∥ CD  CD ⊂ (SCD )     S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) Gọi Q = NP ∩ AB ⇒ Q là điểm chung (S AB) và ( MNP ) mà M là điểm chung thứ hai nên (S AB) ∩ ( MNP ) = MQ Trong(mặt phẳng (S AB) gọi E = MQ ∩ SB E ∈ SB Ta có ⇒ E = SB ∩ ( MNP ) E ∈ MQ ⊂ ( MNP ) C 376 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Ta có N là trung điểm BC và BQ ∥ CP nên BQ = CP và NQ = NP (1) AB CD Gọi F là trung điểm AB, ta có AF = BF = = = CP = BQ 2 Ta có M , F là trung điểm S A và AB nên MF là đường trung bình tam giác S AB nên MF ∥ SB Trong tam giác QMF có B là trung điểm QF và BE ∥ MF nên E là trung điểm MQ (2) Từ (1) và (2) ta có EN là đường trung bình tam giác QMP ⇒ EN ∥ MP Mặt khác, MP ⊂ (S AP ) nên NE ∥ (S AP ) ä BÀI 571 Cho tứ diện ABCD Lấy điểm M trên cạnh AB sau cho AM = MB Gọi G là trọng tâm 4BCD và I là trung điểm CD , H là điểm đối xứng G qua I Chứng minh GD ∥ ( MCH ) Tìm giao điểm K MG với ( ACD ) Tính tỉ số GK GM Lời giải A Ta có IC = ID và IG = I H nên GDHC là hình bình hành Do đó GD ∥ CH mà CH ⊂ ( MCH ) nên GD ∥ ( MCH ) ( K ∈ AI ⊂ ( ACD ) Trong mp( ABI ), gọi K = AI ∩ MG , ta có K ∈ MG ⇒ K = MG ∩ ( ACD ) Trong mp( ABI ), kẻ GE ∥ AB, (E ∈ AI ) GE IG GE Xét tam giác ABI , có GE ∥ AB, suy = = ⇒ = AB IB AM KG GE GK Xét tam giác AK M , có GE ∥ AM , suy = = ⇒ = K M AM GM M E B D G I H C K ä BÀI 572 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi I , K là trung điểm BC và CD Tìm giao tuyến (SIK ) và (S AC ), (SIK ) và (SBD ) Gọi M là trung điểm SB Chứng minh SD ∥ ( ACM ) Tìm giao điểm F DM và (SIK ) Tính tỉ số MF MD Lời giải x S F M A D K O B E I C ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 377 Ta có S ∈ (SIK ) ∩ (S AC ) ( Trong mp( ABCD ), gọi E = IK ∩ AC ⇒ E ∈ IK ⊂ (SIK ) E ∈ AC ⊂ (S AC ) ⇒ E ∈ (SIK ) ∩ (S AC ) Suy SE = (SIK ) ∩ (S AC ) ( Ta có S ∈ (SIK ) ∩ (SBD ) BD ∈ (SBD ), IK ∈ (SIK ), BD ∥ IK ⇒ (SIK ) ∩ (SBD ) = Sx, (với Sx ∥ BD ∥ IK ) Trong mp( ABCD ), gọi O = AC ∩ BD , ta có SD ∥ MO Mà MO ⊂ ( ACM ), suy SD ∥ ( ACM ) ( S ∈ DM Trong mp(SBD ), gọi F = Sx ∩ DM ⇒ ⇒ F = DM ∩ (SIK ) S ∈ Sx ⊂ (SIK ) Ta có SF ∥ BD ⇒ MF MS = = MD MB ä BÀI 573 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi G là trọng tâm 4S AB, trên AD lấy điểm E cho AD = AE Gọi M là trung điểm AB Chứng minh EG ∥ (SCD ) Đường thẳng qua E song song AB cắt MC F Chứng minh GF ∥ (SCD ) Gọi I là điểm thuộc cạnh CD cho CI = ID Chứng minh GO ∥ (S AI ) Lời giải S H G E A D L I M N O F B C Gọi H là trọng tâm tam giác SCD , ta có GH ∥ MN và GH = MN ED ED = = MN AD Suy ra(GH ∥ ED và GH = ED Suy GHDE là hình bình hành EG ∥ DH Ta có ⇒ EG ∥ (SCD ) DH ⊂ (SCD ) Lại có ED ∥ MN và MF AE = = MC AD MF MG Xét tam giác MSC có = = , suy GF ∥ SC MC MS Mà SC ⊂ (SCD ) Vậy GF ∥ (SCD ) Ta có M A ∥ EF ∥ CD , suy Trong mp( ABCD ), gọi K = AI ∩ MN Ta có SK = (SMN ) ∩ (S AI ) Gọi L là trung điểm AI , ta có OL là đường trung bình hình thang AMN I , suy AM + N I OL = = CD AB AM AM + AM + = = = AM ⇒ OL = 2 AM AM + K 378 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Xét tam giác AK M , có OL ∥ AM , suy KO OL = = K M AM SG KO = = , suy GO ∥ SK SM K M Mà SK ⊂ (S AI ) Vậy GO ∥ (S AI ) Xét tam giác SMK , có ä BÀI 574 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC và N là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh SB ∥ ( AMN ) Tìm giao tuyến ( AMN ) và (S AB) Tìm giao điểm I SD với ( AMN ) Tính tỉ số IS ID Gọi Q là trung điểm ID Chứng minh QC ∥ ( AMN ) Lời giải S I Q M E D A F T O N B x G C Trong mp( ABCD ), gọi O = AC ∩ BD Trong mp(S AC ), gọi E = AM ∩ SO , ta có E là trọng tâm tam giác S AC Suy Ta có N là trọng tâm tam giác ABC nên ON = OB OE = OS OE ON = = Suy NE ∥ SB OS OB Mà NE ⊂ ( AMN ) Vậy SB ∥ ( AMN ) ( A ∈ (S AB) ∩ ( AMN ) Ta có ⇒ (S AB) ∩ ( AMN ) = Ax, (với Ax ∥ SB) SB ⊂ (S AB), SB ∥ ( AMN ) ( I ∈ NE ⊂ ( AMN ) ⇒ I = SD ∩ ( AMN ) Trong mp(SBD ), gọi I = NE ∩ SD ⇒ I ∈ SD 2BO IS BN BN Ta có NE ∥ SB ⇒ N I ∥ SB ⇒ = = = = 2BO ID ND BD − BN 2BO − Xét tam giác OSB có Trong mp(SBD ), gọi F = NE ∩ BQ Trong mp( ABCD ), gọi G = AN ∩ BC , vì N là trọng tâm tam giác ABC nên G là trung điểm BC Ta có FG = ( AMN ) ∩ (BQC ) Kẻ QT ∥ F N , (T ∈ BD ) (1) ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Xét tam giác DN I có QT ∥ N I , suy 379 NT IQ = = DN D I BN = nên BN = NT , hay N là trung điểm BT ND Từ (1) và (2), ta có F là trung điểm BQ Mà (2) Do đó GF là đường trung bình tam giác BQC Suy QC ∥ GF Mà GF ⊂ ( AMN ) Vậy QC ∥ ( AMN ) ä BÀI 575 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm BC , CD Tìm giao tuyến (SMD ) và (S AB) Tìm giao tuyến (SMN ) và (SBD ) Gọi H là điểm trên cạnh S A cho H A = HS Tìm giao điểm K MH và (SBD ) Tính tỉ số KH KM Gọi G là giao điểm BN và DM Chứng minh HG ∥ (SBC ) Lời giải S x H K A D N O F G B M C E ( E ∈ MD ⊂ (SMD ) ⇒ E ∈ (SMD ) ∩ (S AB) E ∈ AB ⊂ (S AB) mà S ∈ (S AB) ∩ (SMD ) ⇒ SE = (S AB) ∩ (SMD )    MN ∥ BD Ta có MN ⊂ (SMN ), BD ⊂ (SBD ) ⇒ (SMN ) ∩ (SBD ) = Sx ∥ BD ∥ MN   S ∈ (SMN ) ∩ (SBD ) Trong mp( ABCD ), gọi E = MD ∩ AB ⇒ Trong mp( ABCD ), gọi F = AM ∩ BD ( Trong mp(S AM ), gọi K = MH ∩ SF ⇒ K ∈ SF ⊂ (SBD ) K ∈ MH ⇒ K = MH ∩ (SBD ) Trong tam giác BCD , BN và DM là hai trung tuyến nên G là trọng tâm Từ đó ta có Mặt khác, H A = 2HS nên HS GC HS = ⇒ = ⇒ HG ∥ SC ⇒ HG ∥ (SBC ) SA AC S A GC GC = ⇒ = CO AC ä BÀI 576 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AD là đáy lớn và AD = 2BC Gọi O là giao điểm AC và BD , G là trọng tâm tam giác SCD 380 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Chứng minh OG ∥ (SBC ) Gọi M là trung điểm cạnh SD Chứng minh CM ∥ (S AB) Giả sử điểm I trên đoạn SC cho 2SC = 3SI Chứng minh S A ∥ (BID ) Xác định giao điểm K BG và mặt phẳng (S AC ) Tính tỉ số KB KG Lời giải S M P N G I A D O B Ta có AD ∥ BC ⇒ C OD AD = = OB BC Mặt khác, gọi N là trung điểm SC Vì G là trọng tâm 4SCD nên ⇒ GD OD = ⇒ OG ∥ BN ⇒ OG ∥ (SBC ) GN OB GD =2 GN Gọi P là trung điểm S A , ta có P M là đường trung bình 4S AD AD Suy P M = = BC và P M ∥ AD ∥ BC Do đó P MCB là hình bình hành Vậy CM ∥ BP ⇒ CM ∥ (S AB) Ta có AD ∥ BC ⇒ OA = OC Mặt khác, vì 2SC = 3SI nên SI SI O A =2⇒ = ⇒ OI ∥ S A ⇒ S A ∥ (BID ) IC IC OC Trong mp(BCMP ), gọi K = BG ∩ CP mà CP ∈ (S AC ) ⇒ K = BG ∩ (S AC ) K B BP CM Ta lại có CG ∥ BP ⇒ = = = KG CG CG ä BÀI 577 Cho hình chóp S.ABC Gọi M , P , I là trung điểm AB, SC , SB Một mặt phẳng (α) qua MP và song song với AC và cắt các cạnh S A , BC N , Q Chứng minh BC ∥ ( I MP ) Xác định thiết diện (α) với hình chóp Thiết diện này là hình gì? Tìm giao điểm đường thẳng CN và mặt phẳng (SMQ ) Lời giải ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG x 381 S D N P I A C Q M B Ta có IP là đường trung bình tam giác SBC nên IP ∥ BC ⇒ BC ∥ ( I MP ) Ta có (α) cắt BC Q nên (α) ∩ (SBC ) = PQ và (α) ∩ ( ABC ) = MQ Ta lại có (α) cắt S A N nên (α) ∩ (S AB) = MN và (α) ∩ (S AC ) = P N Vậy thiết diện(cần tìm là tứ giác MNPQ (α) ∥ AC Mặt khác, ⇒ (α) ∩ ( ABC ) = MQ ∥ AC ⇒ Q là trung điểm BC AC ⊂ ( ABC ) Tương tự ta chứng minh NP ∥ AC và N là trung điểm S A AC Lúc này NP và MQ là đường trung bình tam giác S AC và ABC nên NP = MQ = và NP ∥ MQ Suy MNPQ là hình bình hành    AC ∥ MQ Ta có AC ⊂ (S AC ), MQ ⊂ (SMQ ) ⇒ (S AC ) ∩ (SMQ ) = Sx ∥ AC   S ∈ (S AC ) ∩ (SMQ ) Trong mp(S AC ), gọi D = CN ∩ Sx Ta có D ∈ Sx ⊂ (SMQ ) và D ∈ CN nên D = CN ∩ (SMQ ) ä BÀI 578 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình tứ giác lồi Gọi M , N là trung điểm SC và CD Gọi (α) là mặt phẳng qua M , N và song song với đường thẳng AC Tìm giao tuyến (α) với ( ABCD ) Tìm giao điểm SB và (α) Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (α) Lời giải S z y Q H M A D P K N B C 382 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG    AC ∥ (α) Ta có AC ⊂ ( ABCD ) ⇒ (α) ∩ ( ABCD ) = N x ∥ AC Gọi P = N x ∩ AD ta có (α) ∩ ( ABCD ) = NP   N ∈ (α) ∩ ( ABCD ) Ta có MN là đường trung bình tam giác SCD nên SD ∥ MN ⇒ SD ⇒ SD ∥ (α)  SD ∥ (α)  Gọi K = NP ∩ BD , ta có SD ⊂ (SBD ) ⇒ (α) ∩ (SBD ) = K y ∥ SD Gọi H = K y ∩ SB   K ∈ (α) ∩ (SBD ) Ta có H ∈ K y ⊂ (α) và H ∈ SB ⇒ H = SB ∩ (α)   SD ∥ (α) Ta có SD ⊂ (S AD ) ⇒ (α) ∩ (SBD ) = P z ∥ SD Gọi Q = P z ∩ S A   P ∈ (α) ∩ (S AD ) (α) và (S AB) có H , Q là điểm chung nên giao tuyến là QH (α) và (S AD ) có P , Q là điểm chung nên giao tuyến là PQ (α) và ( ABCD ) có P , N là điểm chung nên giao tuyến là P N (α) và (SCD ) có M , N là điểm chung nên giao tuyến là MN (α) và (SBC ) có H , M là điểm chung nên giao tuyến là HM Vậy thiết diện cần tìm là ngũ giác MNPQH ä BÀI 579 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB ∥ CD Gọi M , N , I , là trung điểm AD , BC , S A Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( I MN ) và (S AC ); ( I MN ) và (S AB) Tìm giao điểm SB và ( I MN ) Tìm thiết diện mặt phẳng ( IDN ) với hình chóp S.ABCD Lời giải Tìm giao tuyến hai mặt phẳng ( I MN ) và (S AC ); ( I MN ) và (S AB) S (a) Tìm giao tuyến ( I MN ) và (S AC ) Ta có I ∈ (S AC ) ∩ ( I MN ) Trong ( ABCD ) gọi E = AC ∩ MN ⇒ E ∈ (S AC ) ∩ ( I MN ) Vậy IE = ( I MN ) ∩ (S AC ) (b) Ta có I ∈ ( I MN ) ∩ (S AB) và MN là đường trung bình hình thang ABCD nên MN ∥ AB Nên giao tuyến ( I MN ) và (S AB) là đường thẳng a qua I song song với AB Ta thấy SB ⊂ (S AB) và a = ( I MN ) ∩ (S AB) Gọi J = SB ∩ a, J = SB ∩ ( I MN ) I J a I B A M D Ta thấy N E C I J = (S AB)∩( IDN ), ID = (S AD )∩( IDN ), DN = ( ABCD )∩( IDN ), N J = (SBC )∩( IDN ) Vậy thiết diện ( IDN ) và hình chóp S.ABCD là tứ giác I J ND ä BÀI 580 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi G là trọng tâm 4S AB; N là điểm thuộc đoạn AC cho AN = ; I là trung điểm AB AC Chứng minh OI ∥ (S AD ) và GN ∥ SD Gọi (α) là mặt phẳng qua O , song song với S A và BC Mặt phẳng (α) cắt SB, SC L và K Xác định thiết diện cắt mặt phẳng (α) với hình chóp Lời giải ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 383 Chứng minh OI ∥ (S AD ) và GN ∥ SD S (a) Chứng minh OI ∥ (S AD ) Ta có OI ∥ BC (OI là đường trung bình ABC ) nên OI ∥ AD (vì AD ∥ BC ) mà AD ⊂ (S AD ) suy OI ∥ (S AD ) (b) Chứng minh GN ∥ SD L AN AN = ⇒ = suy N là trọng tâm ABD Từ đó ta Do AC AO I N IG = = ⇒ GN ∥ SD có ID IS Xác định giao điểm L = SB ∩ (α) Ta thấy (α) là (K I H ) với H , K là trung điểm CD , SC Ta thấy SB ⊂ (SBC ), K = (α) ∩ (SBC ) và I H ∥ BC nên giao tuyến (α) và (SBC ) là đường thẳng d qua K song song với BC Khi đó L = d ∩ SB suy L là trung điểm SB K G A I N B O D H C Ta thấy (α) ∩ ( ABCD ) = H I, (α) ∩ (SBC ) = K L, (α) ∩ (S AB) = LI Vậy thiết diện (α) với hình chóp là hình thang LK H I ä BÀI 581 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi H , K là trung điểm các cạnh S A , SB và M là điểm thuộc cạnh CD , ( M khác C và D ) Tìm giao tuyến (K AM ) và (SBC ), (SBC ) và (S AD ) Tìm thiết diện tạo ( HKO ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện là hình gì? Gọi L là trung điểm đoạn HK Tìm I = OL ∩ (SBC ) Chứng minh SI ∥ BC Lời giải I Tìm giao tuyến (K AM ) và (SBC ), (SBC ) và (S AD ) S Tìm giao tuyến (K AM ) và (SBC ) Ta có K ∈ (K AM ) ∩ (SBC ) Trong ( ABCD ) gọi F = AM ∩ BC , nên F ∈ (K AM ) ∩ (SBC ) Suy K F = (K AM ) ∩ (SBC ) d Tìm giao tuyến (SBC ) và (S AD ) Ta thấy S ∈ (SBC ) ∩ (S AD ), mà BC ∥ AD nên giao tuyến (SBC ) và (S AD ) là đường thẳng d qua S song song với AD và BC A Tìm thiết diện tạo ( HKO ) với hình chóp S.ABCD Thiết diện là hình gì? Ta thấy (HKO ) và ( ABCD ) chứa có chung điểm O và chứa HK và AB song song với nên giao tuyến là đường thẳng a qua O song song với AB cắt AD và BC E và G Ta thấy ( HKO ) ∩ ( ABCD ) = EG, ( HKO ) ∩ (S AD ) = HE, ( HKO )∩(S AB) = HK, ( HKO )∩(SBC ) = KG Vậy thiết diện ( HKO ) và hình chóp là hình thang HKGE HK ∥ AB mà AB ∥ EG nên HK ∥ EG L H K J B O E D G M C F Tìm I = OL ∩ (SBC ) Chứng minh SI ∥ BC Trong (HKGE ) gọi I = OL ∩ GK mà GK ⊂ (SBC ) ⇒ I ∈ OL ∩ (SBC ) Trong (S AB) gọi J = SL ∩ AB đó L là trung điểm AB HK ∥ AB Xét (S JO ) và (SBC ) ta thấy có S là điểm chung và OJ ∥ BC nên giao tuyến là đường thẳng d qua S và song song với BC Mặt khác I ∈ (S JO ) ∩ (SBC ) nên SI ≡ d Vậy SI ∥ BC BÀI 582 Cho tứ diện ABCD , có M , N là trung điểm AB, BC và G là trọng tâm tam giác ACD Tìm giao điểm E MG và (BCD ) ä 384 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Tìm d = ( MNG ) ∩ (BCD ) Giả sử d ∩ CD = P Chứng minh GP ∥ ( ABC ) Gọi (α) là mặt phẳng chứa MN và song song với AD Tìm thiết diện (α) với tứ diện Lời giải E Tìm giao điểm E MG và (BCD ) Ta thấy ( ABF ) chứa MG với F là trung điểm DC và BF = ( ABF ) ∩ (BCD ) Gọi E = MG ∩ BF ⇒ E = MG ∩ (BCD ) D Tìm d = ( MNG ) ∩ (BCD ) Giả sử d ∩ CD = P Chứng minh GP ∥ ( ABC ) Ta có N ∈ (BCD ) ∩ ( MNG ) và E ∈ MG ⊂ ( MNG ); E ∈ BF ⊂ (BCD ) Suy d ≡ NE = ( MNG ) ∩ (BCD ) F Ta thấy G ( ABC ) ∩ (EMN ) = MN, (D AC ) ∩ ( ABC ) = AC, (EMN ) ∩ (D AC ) = GP P K A C mà MN ∥ AC nên GP ∥ AC ⇒ GP ∥ ( ABC ) Gọi K là trung điểm BD , (α) chứa MN và song song với AD nên (α) qua K Ta thấy M N B (α) ∩ ( ABD ) = NK, (α) ∩ ( ABC ), (α) ∩ (BCD ) = K N Vậy thiết diện (α) và hình chóp là tam giác MNK ä BÀI 583 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Điểm M thuộc cạnh S A thỏa mãn M A = MS Hai điểm E và F là trung điểm AB và BC Xác định giao tuyến hai mặt phẳng ( MEF ) và (S AC ) Xác định giao điểm K mặt phẳng ( MEF ) với cạnh SD Tính tỉ số Tìm giao điểm I MF với (SBD ) Tính tỉ số KS KD IM IF Tìm thiết diện tạo mặt phẳng ( MEF ) với hình chóp S.ABCD Lời giải Xác định giao tuyến hai mặt phẳng ( MEF ) và (S AC ) Ta thấy M ∈ ( MEF ) ∩ (S AC ) và EF ∥ AC với EF ⊂ ( MEF ), AC ∥ (S AC ) nên giao tuyến ( MEF ) và (S AC ) là đường thẳng d qua M song song với AC Xác định giao điểm K mặt phẳng ( MEF ) với cạnh SD Tính tỉ KS số KD Ta thấy SD ⊂ (SBD ), gọi H = EF ∩ BD , O = AC ∩ BD , L = d ∩ SO Khi đó HL = ( MEF ) ∩ (SBD ), gọi K = HL ∩ SD ⇒ K = SD ∩ ( MEF ) M A LO Do ML ∥ AC nên = = MS LS Xét tam giác SOD (SBD ) vì K , L, H thẳng hàng nên theo SK HD LO SK SK định lí Menelaus ta có · · =1⇒ ·3· = ⇒ = K D HO LS KD KD IM Tìm giao điểm I MF với (SBD ) Tính tỉ số IF Trong ( MEF ) gọi I = HL ∩ MF mà HL ⊂ (SBD ) ⇒ I = MF ∩ (SBD ) I M ML Do ML ∥ AC và EF ∥ AC nên ML ∥ EF Từ đó ta suy = = IF HF HL HF : = : = AO AO 5 Tìm thiết diện tạo mặt phẳng ( MEF ) với hình chóp S.ABCD Gọi N = ML ∩ SC Ta thấy ( MEF ) ∩ (S AB) = EM, ( MEF ) ∩ ( ABCD ) = EF, ( MEF ) ∩ (S AD ) = MK, ( MEF ) ∩ (SCD ) = K N, ( MEF ) ∩ (SBC ) = NF Vậy thiết diện ( MEF ) với hình chóp là ngũ giác EMK NF S K M L N I D A E O H B F C ä ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG 385 BÀI 584 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm S A , SD Xác định giao điểm NC và (OMD ) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P ) qua MN và song song với SC Lời giải K Xác định giao điểm NC và (OMD ) Ta thấy CN ⊂ (SCD ), OM ∥ SC mà OM ⊂ (OMD ), SC ⊂ (SCD ) và O ∈ (OMD ) ∩ (SCD ) nên giao tuyến (OMD ) và (SCD ) là đường thẳng d qua D và song song với OM , SC Gọi K = d ∩ NC ⇒ K = NC ∩ (OMD ) Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P ) qua MN và song song với SC Ta thấy (P ) ≡ (OMN ) Xác định giao tuyến (OMN ) và (SCD ) Ta thấy N ∈ (OMN ) ∩ (SCD ) và OM ∥ SC nên giao tuyến (OMN ) và (SCD ) là đường thẳng qua N song song với SC cắt CD I là trung điểm CD Gọi J = OI ∩ AB Ta thấy (OMN ) ∩ (S AB) = J M, (OMN ) ∩ (S AD ) = MN, (OMN ) ∩ (SCD ) = I N, (OMN ) ∩ ( ABCD ) Vậy thiết diện mặt phẳng (P ) với hình chóp là hình thang MN I J S N M D A J B I O C ä BÀI 585 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm SC , (P ) là mặt phẳng qua AM và song song với BD Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) Gọi E , F là giao điểm (P ) với cạnh SB và SD Hãy tìm tỉ số diện tích tam giác SME với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện tích tam giác SMF và diện tích tam giác SCD Gọi K là giao điểm ME và CB, J là giao điểm MF và CD Chứng minh ba điểm K , A , J nằm trên EF đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số KJ Lời giải 386 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng (P ) Trong ( ABCD ) qua A kẻ đường thẳng song song BD cắt BC và CD K và J Khi đó (P ) ≡ ( MK J ) Gọi E = MK ∩ SB, F = CD ∩ SD Khi đó, ta thấy (P ) ∩ (S AB) = E A, (P ) ∩ (SBC ) = EM, (P ) ∩ (SCD ) = MF, (P ) ∩ (S AD ) = AF Vậy thiết diện (P ) với hình chóp là tứ giác AEMF Tính tỉ số diện tích tam giác SME với diện tích tam giác SBC và tỉ số diện tích tam giác SMF và diện tích tam giác SCD S 4SME SE SM 1 = · = · = (Vì E là giao Ta có S 4SBC SB SC 3 điểm hai đường trung tuyến K M và SB nên E là trọng tâm tam giác SCK ) SF SM 1 S 4SMF = Tương tự ta có · = · = (Vì S 4SCD SD SC 3 F là giao điểm hai đường trung tuyến J M và SD nên F là trọng tâm tam giác SC J ) S J F M E D A K B C Chứng minh ba điểm K , A , J nằm trên EF đường thẳng song song với EF và tìm tỉ số KJ Ta có SE SF EF ME = = ⇒ EF ∥ K J ⇒ = = SB SD K J MK ä BÀI 586 Cho hình chóp S.ABCD có G là trọng tâm ABC Gọi M , N , P , Q , R , H là trung điểm S A , SC , CB, BA , QN , AG Chứng minh S , R , G thẳng hàng và SG = MH = 4RG Gọi G là trọng tâm 4SBC Chứng minh GG ∥ (S AB) và GG ∥ (S AC ) Lời giải Chứng minh S , R , G thẳng hàng và SG = MH = 4RG Gọi E , F là trung điểm AC và SB đó ta có QENF là hình bình hành (do EQ = NF = BC , EQ ∥ BC ∥ NF ) nên R là trung điểm EF Ta thấy S ∈ (SQC ) ∩ (SEB), G ∈ (SQC ) ∩ (SEB), R ∈ (SQC ) ∩ (SEB) suy S , R , G thẳng hàng Vì M , H là trung điểm S A , AG nên SG = MH Xét 4SGB vì E , R , F thẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta có RS EG FB RS RS · · =1⇒ · ·1 = ⇒ = ⇒ SG = 4RG RG EB FS RG RG Chứng minh GG ∥ (S AB) và GG ∥ (S AC ) PG PG Xét 4S AP có = = ⇒ GG ∥ S A mà S A ⊂ (S AB) và S A ⊂ PS PA (S AC ) nên suy GG ∥ (S AB), GG ∥ (S AC ) S M F Q A R B N G H G P E D C ä BÀI A TÓM TẮT LÝ THUYẾT HAI MẶT PHẲNG SONG SONG HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 387 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG PHÂN BIỆT Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P ) Có ba trường hợp xảy ra: Q P P Q (P ), (Q ) có điểm chung: (P ) ∩ (Q ) = a (P ), (Q ) không có điểm chung: (P ) ∥ (Q ) Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi là song song chúng không có điểm chung CÁC ĐỊNH LÍ M Định lí Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (β) thì (α) song song với (β) a α b β ! Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng này song song với mặt phẳng Muốn chứng minh đường thẳng a ∥ (Q ), ta chứng minh đường thẳng a nằm mặt phẳng (P ) ∥ (Q ) A Định lí Qua điểm nằm ngoài mặt phẳng cho trước có và mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho α β Hệ Nếu đường thẳng d song song với mặt phẳng (α) thì (α) có đường thẳng song song với d và qua d có mặt phẳng song song với (α) Do đó đường thẳng d song song với (α) ta phải chứng minh d thuộc mặt phẳng (β) và có (α) ∥ (β) ⇒ d ∥ (α) Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với Cho điểm A không nằm trên mặt phẳng (α) Mọi đường thẳng qua A và song song với (α) nằm mặt phẳng qua A và song song với (α) b a Định lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng này thì cắt mặt phẳng và hai giao tuyến song song với A0 A α B B0 β Hệ Hai mặt phẳng song song chắn trên hai cát tuyến song song đoạn thẳng 388 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Định lí Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn trên hai cát tuyến bất kì đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ A0 A α B0 B β C C0 γ VÍ DỤ VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là hình thang mà AD ∥ BC và AD = 2BC Gọi M , N là trung điểm S A và AD Chứng minh: (BMN ) ∥ (SCD ) Lời giải AD S Vì N là trung điểm AD nên N A = ND = = BC Tứ giác NBCD có ND = BC và ND ∥ BC nên NBCD là hình bình hành, suy NB ∥ CD ⇒ NB ∥ (SCD ) Tam giác S AD có M , N là trung điểm AS và AD nên MN là đường ( trung bình ADS , suy MN ∥ SD ⇒ MN ∥ (SCD ) MN ∥ (SCD ), MN ⊂ (BMN ) Từ BN ∥ (SCD ), BN ⊂ (BMN ) M ⇒ (BMN ) ∥ (SCD ) A D N B C ä B BÀI TẬP ÁP DỤNG BÀI 587 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M , N , P là trung điểm S A , SB, SD và K , I là trung điểm BC , OM Chứng minh (OMN ) ∥ (SCD ) Chứng minh (P MN ) ∥ ( ABCD ) Chứng minh K I ∥ (SCD ) Lời giải S Ta có O , M là trung điểm AC và S A nên OM ∥ SC , suy OM ∥ (SCD ) Tương tự ON ∥ (SCD ) Khi đó (OMN ) ∥ (SCD ) M P Ta có N , M là trung điểm SB và S A nên MN ∥ AB, suy MN ∥ ( ABCD ) Tương tự P M ∥ ( ABCD ) Vậy (P MN ) ∥ ( ABCD ) Ta có O , K là trung điểm AC và BC nên OK ∥ AB, suy OK ∥ MN Khi đó điểm M , N , K , O , I đồng phẳng Từ câu trên (OMN ) ∥ (SCD ), thì K I ∥ (SCD ) N Q I B A O D K C ä BÀI 588 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M , N là trung điểm S A , SD HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 389 Chứng minh (OMN ) ∥ (SBC ) Gọi P , Q , R là trung điểm AB, ON , SB Chứng minh PQ ∥ (SBC ) và (ROM ) ∥ (SCD ) Lời giải S Ta có O , M là trung điểm AC và S A nên OM ∥ SC , suy OM ∥ (SBC ) Tương tự ON ∥ (SBC ) Khi đó (OMN ) ∥ (SBC ) M R N Ta có O , P là trung điểm AC và BA nên OP ∥ CB, suy OP ∥ (SBC ) hay P ∈ (OMN ) Mặt khác Q ∈ (OMN ) Theo trên (OMN ) ∥ (SBC ) thì PQ ∥ (SBC ) Ta có R , O là trung điểm SB và BD nên RO ∥ SD , suy RO ∥ (SCD ) Theo trên OM ∥ SC nên OM ∥ (SCD ) Vậy (ROM ) ∥ (SCD ) P A B Q O D C ä BÀI 589 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng Gọi I , J , K là trung điểm AB, CD , EF Chứng minh ( ADF ) ∥ (BCE ) (D IK ) ∥ ( JBE ) Lời giải F K E Ta có AD ∥ BC , suy AD ∥ (BCE ) Tương tự AF ∥ (BCE ) Khi đó ( ADF ) ∥ (BCE ) Trong hình bình hành ABCD có I , J là trung điểm AB và CD nên BI = D J Do đó IBJD là hình bình hành Suy D I ∥ BJ nên D I ∥ ( JBE ) Trong hình bình hành ABEF có I , K là trung điểm AB và EF nên IK ∥ EF , suy IK ∥ ( JBE ) Vậy (D IK ) ∥ ( JBE ) I A D B C J ä BÀI 590 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác Trên các đường chéo AC , BF lấy các điểm M , N cho MC = AM , NF = 2BN Qua M , N kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD , AF theo thứ tự M1 , N1 Chứng minh MN ∥ DE M1 N1 ∥ (DEF ) ( MN M1 N1 ) ∥ (DEF ) Lời giải F E N1 N B A M1 M I D C 390 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG Gọi I là giao điểm BM với CD Khi đó ta có Khi đó MN ∥ IF BN BM AM = = Mặt khác = MI MC NF AM AB = nên = Suy D I = CD = AB MC CI Lại có D I ∥ EF Do đó DEF I là hình bình hành, hay F I ∥ DE Vậy MN ∥ DE Theo trên Theo giả thiết thì MM1 ∥ N N1 (vì cùng song song với AB) nên M , M1 , N , N1 đồng phẳng Lại có MM1 ∥ (DEF ) (vì MM1 ∥ CD ∥ AB) và theo câu trên thì MN ∥ DE nên MN ∥ (DEF ) Vậy ( MM1 N1 N ) ∥ (DEF ), suy M1 N1 ∥ (DEF ) Đã chứng minh câu ä BÀI 591 Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt Gọi I , J , K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF , ADC , BCE Chứng minh ( I JK ) ∥ (CDFE ) Lời giải F E Ta có CD ∥ EF ∥ AB nên CD và EF đồng phẳng Gọi M , N là trung điểm DF , CD Khi đó, vì I , J là trọng tâm tam giác ADF , ADC nên AJ AI = = ⇒ I J ∥ MN ⇒ I J ∥ (CDEF ) AM AN M P I B A Mặt khác, gọi P là trung điểm CE Khi đó BK = BP Ta có ABCD , ABEF là hình bình hành nên CDFE là hình bình hành Khi đó với M , P là trung điểm hai cạnh đối hình bình hành CDFE nên MP ∥ CD ∥ AB suy IK ∥ MP ∥ AB Do đó ABPK là BK AI = = Suy hình bình hành Ta có AM BP IK ∥ MN Khi đó IK ∥ (CDFE ) Vậy ( I JK ) ∥ (CDFE ) K J D C N ä BÀI 592 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O Gọi M , N , P là trung điểm S A , BC , CD Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AD ) và ( MOP ) Gọi E là trung điểm SC và I là điểm trên cạnh S A thỏa AI = IS Tìm K = IE ∩ ( ABC ) và H = AB ∩ (EI N ) AH Tính tỉ số AB Gọi G là trọng tâm tam giác SBC Tìm thiết diện hình chóp S.ABC bị cắt ( I MG ) Lời giải S I M Q E G A H N O D P B C K HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 391 Ta có O , P là trung điểm AC và CD nên OP ∥ AD , suy OP ∥ (S AD ) Khi đó giao tuyến (S AD ) và (OMP ) là đường thẳng qua M và song song với AD và cắt SD trung điểm Q SD Xét mặt phẳng (S AC ) có SI 1 SE = 6= = suy IE cắt AC K S A SC Khi đó K = IE ∩ ( ABC ) Áp dụng định lý Menelaus tam giác S AC với ba điểm K , E , I thẳng hàng có K C I A ES KC KC · · =1⇔ · ·1 = ⇔ = K A IS EC KA KA Áp dụng định lý Menelaus tam giác ABC với ba điểm K , N , H thẳng hàng có HA HA K C H A NB · · =1⇔ · ·1 = ⇔ = K A HB NC HB HB Khi đó AH = AB Ta thấy mặt phẳng ( I MG ) chính là mặt phẳng (S AG ) Vì G là trọng tâm tam giác SBC và N là trung điểm BC nên ( I MG ) ∩ (SBC ) = SN Vậy thiết diện hình chóp S.ABC bị cắt ( I MG ) là tam giác S AN ä BÀI 593 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M, N là trung điểm S A và CD Gọi E là giao điểm AD và (BMN ), I là trung điểm ME và G = AN ∩ BD Tìm điểm E và giao điểm F SD với mặt phẳng (BMN ) Chứng minh FS = 2FD Chứng minh FG ∥ (S AB) và (CD I ) ∥ (S AB) Gọi H là giao điểm MN và SG Chứng minh OH ∥ GF Lời giải S M F I H A E D G N O B C Trong mặt phẳng ( ABCD ) kéo dài BN cắt đường thẳng AD E Khi đó E là giao điểm (BMN ) với AD Gọi F là giao điểm ME với SD Khi đó F là giao điểm SD với (BMN ) ED DN Vì = = nên D là trung điểm đoạn AE Từ đó suy SD và EM là các đường trung tuyến EA AB tam giác S AE Suy F là trọng tâm tam giác S AE Vậy FS = 2FD Tam giác DGN và tam giác BG A đồng dạng nên GD DN = = GB BA GD FD = Nên FG ∥ SB ⇒ FG ∥ (S AB) GB FS Ta có CD ∥ AB và D I ∥ M A Từ đó suy (CD I ) ∥ (S AB) Từ đó suy Ta có G là trọng tâm tam giác ACD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác S AG với ba điểm thẳng hàng M, H, N , ta có NG M A HS HS HS · · = ⇔ ·1· =1⇔ = N A MS HG HG HG OG OG = = ⇒ OH ∥ SB OB OD Theo chứng minh trên ta có GF ∥ SB Vậy OH ∥ GF Ta có ä 392 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI 594 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi M là trung điểm SC , N là điểm trên đường chéo BD cho BD = 3BN Xác định giao tuyến mặt phẳng (SCD ) và (S AB) và tìm T = DM ∩ (S AB) Tính TM TD ĐS: TM = TD 2 Gọi K = AN ∩ BC Chứng minh MK ∥ (SBD ) Gọi I = AN ∩ DC , L = I M ∩ SD Tính tỉ số LS S IK M và LD S I AL ĐS: LS S IK M = = ; LD S I AL Lời giải d S T L M D A N B O C K I Mặt phẳng (S AB) và (SCD ) chứa hai đường thẳng song song là AB và CD nên giao tuyến chúng là đường thẳng d qua S và d ∥ AB ∥ CD Trong mặt phẳng (SCD ) kéo dài DM cắt d T Khi đó T ∈ d ⇒ T ∈ (S AB) Vậy T = DM ∩ (S AB) Do CD ∥ ST nên hai tam giác MCD và MST đồng dạng Do đó MT MS TM = = Vậy = MD MC TD BN BN = ⇒ = Do đó N là trọng tâm tam giác ABC BD BO Suy K là trung điểm BC Dẫn đến MK là đường trung bình tam giác SBC Nên MK ∥ SB ⇒ MK ∥ (SBD ) Vì Tam giác IK C và tam giác I AD đồng dạng nên IC K C = = ID AD Áp dụng định lý Menelaus tam giác SCD với điểm thẳng hàng I , M , L ta có LS ID MC LS LS · · =1⇔ ·2·1 = ⇔ = LD IC MS LD LD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác IDL với ba điểm thẳng hàng S, M, C ta có SD ML CI ML ML · · = ⇔ 3· ·1 = ⇔ = SL M I CD MI MI 3 Từ đó suy I M = IL Gọi h, k là lượt là độ dài đường cao các tam giác IK M và I AL kẻ từ M và L Dễ thấy Vậy h IM = = k IL h · IK 3 S IK M = = · = S I AL k·IA ä BÀI 595 Cho hai hình vuông ABCD và ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên các đường chéo AC và BF lấy các điểm M , N cho AM = BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M , N cắt AD và AF M và N HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 393 Chứng minh (CDF ) ∥ ( MM N N ) Chứng minh ( ADF ) ∥ (BCE ) Lời giải F E N N0 A M0 B M D C    AD ∥ BC Ta có AF ∥ BE ⇒ ( ADE ) ∥ (BCF )   AD ∩ AF = A Ta có MM ∥ CD ⇒ AM AM = AC AD (1) N N ∥ AB ⇒ BN AN = BF AF (2) Ta có Mà từ giả thiết ta có AM AN AM BN = ⇒ = AC BF AD AF (3) Từ (3) suy M N ∥ DF Ta có MM ∥ N N ∥ DC ∥ FE Vậy (CDF ) ∥ ( MM N N ) ä 0 0 0 BÀI 596 Cho hình lăng trụ ABC.A B C Gọi I , J , K là trọng tâm các tam giác ABC , ACC , A B C Chứng minh ( I JK ) ∥ (BCC B0 ) và ( A JK ) ∥ ( AIB0 ) Lời giải C0 A0 K P B0 N J C A I M B Gọi M , N , P là trung điểm BC , CC và B0 C Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có AI AJ = ⇒ I J ∥ MN AM AN Tứ giác AMP A là hình bình hành và có Vậy ( I JK ) ∥ (BCC B0 ) AI AK = = ⇒ IK ∥ MP AM AP Chú ý mặt phẳng ( AIB0 ) chính là mặt phẳng ( AMB0 ) Mặt phẳng ( A JK ) chính là mặt phẳng ( A CP ) Vì AM ∥ A P , MB0 ∥ CP (do tứ giác B0 MCP là hình bình hành) Vậy ta có ( A JK ) ∥ ( AIB0 ) ä 394 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI 597 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn AD và AD = 2BC , M ∈ BC Gọi (P ) là mặt phẳng qua M , (P ) ∥ CD, (P ) ∥ SC , (P ) cắt AD , S A ,SB N , P , Q Chứng minh NQ ∥ (SCD ) và NP ∥ SD Gọi H , K là trung điểm SD và AD Chứng minh (CHK ) ∥ (S AB) Lời giải S P H Q A B K M D N C E - Từ M ta kẻ đường thẳng song song với CD cắt AD N và cắt AB E Từ M kẻ đường thẳng song song với SC cắt SB Q Kéo dài EQ cắt S A P Theo cách dựng ta suy (EP N ) ∥ (SCD ) và NQ ⊂ (EP N ) Vậy NQ ∥ (SCD ) - Do (P ) ∥ (SCD ) và hai mặt phẳng này cùng cắt (S AD ) theo các giao tuyến là NP và SD Do đó ta suy NP ∥ SD Ta có HK là đường trung bình tam giác S AD nên HK ∥ S A Vì K là trung điểm AD nên AK = BC Do đó tứ giác ABCK là hình bình hành Suy CK ∥ AB Từ (1) và (2) suy (CK H ) ∥ (S AB) (1) (2) ä BÀI 598 Cho hình chóp S ABC có G là trọng tâm tam giác ABC Trên đoạn S A lấy hai điểm M , N cho SM = MN = N A Chứng minh GM ∥ (SBC ) Gọi D là điểm đối xứng với A qua G Chứng minh ( MCD ) ∥ ( NBG ) Gọi H = DM ∩ (SBC ) Chứng minh H là trọng tâm tam giác SBC Lời giải S M N H C A G E D B Gọi E là trung điểm BC Khi đó ta có AG AM = = ⇒ GM ∥ SE Vậy GM ∥ (SBC ) AE AS HAI MẶT PHẲNG SONG SONG 395 Từ giả thiết ta suy G, N là trung điểm AD và AM Do đó NG ∥ MD (1) Từ giác BDCG có E là trung điểm hai đường chéo nên đó là hình bình hành Suy BG ∥ CD Từ (1) và (2) suy ( MCD ) ∥ ( NBG ) (1) (2) Ta có AE là đường trung tuyến tam giác SBC Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác S AE với ba điểm thẳng hàng M, H, D ta có (3) HS DE M A HS HS ·· · =1⇔ · ·2 = ⇔ =2 HE D A MS HE HE (4) Từ (3) và (4) suy H là trọng tâm tam giác SBC ä 396 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG BÀI BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Tìm giao tuyến (S AB) và (SCD ) Gọi E là trung điểm SC Chứng minh OE ∥ (S AB) Gọi F là điểm trên đoạn BD cho 3BF = 2BD Tìm giao điểm M SB và ( AEF ) Tính tỉ số SM SB Lời giải S    AB ∥ (SCD ) ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = Sx ∥ AB Ta có AB ⊂ (S AB)   S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) M   OE ∥ S A (đường trung bình) Ta có S A ⊂ (S AB) ⇒ OE ∥ (S AB)   OE 6⊂ (S AB) x E I Suy I ∈ ( AEF )  SB ⊂ ( SBF )   F O F I = (SBF ) ∩ ( AEF ) ⇒ M ∈ SB ∩ ( AEF )   D A Trong mặt phẳng (S AC ) có I = SO ∩ AE ( I ∈ (SBF ) B C M = F I ∩ SB Ta có 3BF = 2BD ⇒ 3(OB + OF ) = 4OD ⇒ 3OD + 3OF = 4OD ⇒ 3OF = OD OF = OD ⇒ Mặt khác IOE v ISM (g.g), suy (8.1) OE OI = = suy SM SI OI = OS (2) Từ (1) và (2) suy F I ∥ SD , suy MF ∥ AD 3 Mà FD = OD = BD , suy SM = SB Vậy SM = SB ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi I , J là trọng tâm tam giác S AB và S AD Gọi M , N là trung điểm S A , SB Chứng minh I J ∥ ( ABCD ) Chứng minh (OMN ) ∥ (SDC ) Tìm giao tuyến (S AB) và (SDC ) Tìm giao điểm BC và (OMN ) Lời giải BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 397 S Gọi P , Q là trung điểm AB và AD , ta có: SI SJ = = SP SQ M Suy I J ∥ PQ  x   I J ∥ PQ PQ ⊂ ( ABCD ) ⇒ I J ∥ ( ABCD )   I J 6⊂ (SBCD ) I MO ∥ SC M = MN ∩ MO (SCD ) Q A Xét hai mặt phẳng (OMN ) và (SCD ) có:      MN ∥ CD (cùng song song AB)  MN ∥ (SCD )   J N MO ∥ (SCD ) ⇒   P O ⇒ (OMN ) ∥ M = MN ∩ MO B D R C    AB ∥ (SCD ) Ta có AB ⊂ (S AB) ⇒ (S AB) ∩ (SCD ) = Sx ∥ AB   S ∈ (S AB) ∩ (SCD ) Gọi R là trung điểm BC , dễ dàng chứng minh MN ∥ RQ   BC ⊂ ( ABCD ) Ta có (OMN ) ∩ ( ABCD ) = RQ ⇒ R = BC ∩ (OMN )   R = BC ∩ RQ ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O Gọi H , I , K , L là trung điểm S A , SC , OB, SD Xác định giao tuyến mặt phẳng (S AC ) và (SBD ); ( H IK ) và (SBD ) Chứng minh OL song song với ( H IK ) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt mặt phẳng ( H IK ) Lời giải 398 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG S ( Ta có SO ⊂ (S AC ) SO ⊂ (SBD ) Q ⇒ SO = (S AC ) ∩ (SBD ) Gọi M là giao điểm SO và H I , ta có:   K ∈ BO ⊂ (SBD )   K ∈ ( H IK ) ⇒ MK = ( H IK ) ∩ (SBD )  M ∈ SO ⊂ (SBD )     M ∈ H I ⊂ ( H IK ) Trong tam giác S AC có H I ∥ AC nên theo định lí Talet ta có SM = , suy M là trung điểm SO SO Trong tam giác SOB có MK ∥ SB (tính chất trung bình), tam giác SBD có OL ∥ SB (tính chất trung bình) Do đó, OL ∥ MK   OL ∥ MK Ta có L H M I D A N O K B P C MK ⊂ ( H IK ) ⇒ OL ∥ ( H IK )   OL 6⊂ ( H IK ) Gọi N , P là trung điểm AB và BC , từ đó dễ dàng chứng minh N , K , P thẳng hàng Gọi Q là giao điểm MK và SD Suy raNP ∥ AC ⇒ NP ∥ H I (tính chất trung bình)  HN = ( H IK ) ∩ (S AB)    P I = ( H IK ) ∩ (SBC )    Ta có Q I = (H IK ) ∩ (SCD )     HQ = ( H IK ) ∩ (S AD )     NP = ( H IK ) ∩ ( ABCD ) Do đó, thiết diện tạo (H IK ) và hình chóp S.ABCD là ngũ giác HNP IQ ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cạnh đáy lớn AD Gọi E , F là các điểm trên hai cạnh S A , SD thỏa mãn điều kiện SE SF = = Gọi G là trọng tâm tam giác ABC S A SD Tìm giao tuyến (S AB) và (SCD ), (S AD ) và (SBC ) Tìm giao điểm H CD và (EFG ) Chứng minh EG ∥ (SBC ) Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD bị cắt (EFG ) Nó là hình gì? Lời giải BÀI TẬP ÔN CUỐI CHƯƠNG 399 S Gọi I là giao điểm AB và CD , ta có:  S ∈ (S AB)     S ∈ (SCD ) ⇒ SI = (S AB) ∩ (SCD )  I ∈ AB ⊂ (S AB)     I ∈ CD ⊂ (SCD )  BC ∥ AD      AD ⊂ (S AD ) Ta có ⇒ (S AD ) ∩ (SBC ) = Sx ∥ BC  BC ⊂ (SBC )     S ∈ (S AB) ∩ (SBC ) H ∈ CD H ∈ K H ⊂ (EFG ) F E D A K G B AK 2 Theo định lí Talet thì EF ∥ AD , lấy điểm K trên AB cho = , AB đó: Cũng theo định lí Talet thì KG ∥ BC mà BC ∥ AB nên EF ∥ KG Gọi H là giao điểm KG và CD , ta có: ( x H C I ⇒ H ∈ CD ∩ (EFG )   EF ∥ BC ⊂ (SBC ) Ta có EK ∥ SB ⊂ (SBC ) ⇒ (EFG ) ∥ (SBC ) ⇒ EG ∥ (SBC )   E = EF ∩ EK Ta có  EF = (EFG ) ∩ (S AD )      F H = (EFG ) ∩ (SBD )     K H = (EFG ) ∩ ( ABCD )  EK = (EFG ) ∩ (S AB)       ∅ = (EFG ) ∩ (SBC )    EF Vậy mặt phẳng (EFG ) cắt hình chóp S.ABCD là hình thang EF HK ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi G là trọng tâm 4S AB Lấy điểm M thuộc cạnh AD cho AD = AM Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (S AD ) và (GCD ) Tìm giao điểm I CD và mặt phẳng (SGM ) Chứng minh MG song song (SCD ) Lời giải 400 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG S Lấy điểm N trên S A cho SN = S A , ta có: ( GN ∥ AB ⇒ GN ∥ CD ⇒ GN ⊂ (GCD ) AB ∥ CD  N ∈ S A ⊂ (S AD )      N ∈ GD ⊂ (GCD ) Do đó, ⇒ ND = (GCD ) ∩ (S AD )  D ∈ (S AD )     D ∈ (GCD ) I N D A P Gọi P là trung điểm AB và I là giao điểm P M và CD , ta có: ( I ∈ CD ⇒ I ∈ CD ∩ (SGM ) I ∈ P M ⊂ (SGM )   CD ∥ GN Ta có GN ⊂ (GMN ) ⇒ CD ∥ (GMN )   CD 6⊂ (GMN ) AN AM = = , theo định lí Talet ta MN ∥ SD AS AD   SD ∥ MN O C B (1) MN ⊂ (GMN ) ⇒ SD ∥ (GMN )   M G (2) SD 6⊂ (GMN ) Từ (1) và (2) suy ra, (SCD ) ∥ (GMN ) ⇒ GM ∥ (SCD ) ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M , N là trung điểm S A , SB Tìm giao tuyến ( MBC ) và (S AD ) Chứng minh ( MN ∥ (SCD ) Gọi I = DM ∩ CN Chứng minh SI ∥ ( N AD ) Lời giải S I Gọi P là trung điểm SD , ta có: ( MP ∥ AD ⇒ MP ∥ BC ⇒ MP ⊂ ( MBC ) AD ∥ BC  M ∈ ( MBC )      M ∈ (S AD ) ⇒ MP = ( MBC ) ∩ (S AD )  P ∈ SD ⊂ (S AD )     P ∈ MP ⊂ ( MBC )    MN ∥ AB ∥ CD ⇒ MN ∥ (SCD ) Ta có CD ⊂ (SCD )   MN 6⊂ (SCD ) P M N A D O B C 1 AB = CD suy MN là đường trung 2 bình ICD , đó M là trung điểm ID Dễ dàng chứng minh MSI = M AD (c.g.c)  ƒ ⇒ SI ∥ AD (so le trong) Suy SI M = ADM   SI ∥ AD Ta có MN = AD ⊂ ( N AD ) ⇒ SI ∥ ( N AD )   SI 6⊂ ( N AD ) ä