Hướng dẫn giải các dạng toán đường thẳng và mặt phẳng trong không gian quan hệ song song

Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh SB và AB và M là một điểm nằm trong hình thang ABCD sao cho đường thẳng K M cắt hai đường thẳng AD và CD.. Tìm thiết diện của hình chóp S.ABC[r]

CHƯƠNG 7 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

TRONG KHÔNG GIAN

BÀI 1. ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT

PHẲNG

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT 1 Mở đầu hình học khơng gian

Đối tượng bản:

Điểm: kí hiệuA,B,C,

Đường thẳng: kí hiệua,b,c,d,

Mặt phẳng: kí hiệu(P),(Q),(α),(β), A B

d

P

Quan hệ bản:

Thuộc: kí hiệu∈ Ví dụA∈d,M∈(P)

Chứa, nằm trong: kí hiệu⊂ Ví dụ:d⊂(P),b⊂(α) Hình biểu diễn hình không gian:

Đường thẳng biểu diễn đường thẳng Đoạn thẳng biểu diễn đoạn thẳng

Hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau) biểu diễn hai đường thẳng song song (hoặc cắt nhau)

Hai đoạn thẳng song song biểu diễn hai đoạn thẳng song song

Dùng nét vẽ liền để biểu diễn cho đường trông thấy dùng nét đứt đoạn (- - - -) để biểu diễn cho đường bị che khuất

2 Các tính chất thừa nhận hình học khơng gian

Có mặt phẳng qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng cho trước

Nếu đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc mặt phẳng điểm đường thẳng thuộc mặt phẳng

Tồn bốn điểm khơng thuộc mặt phẳng

Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng cịn có điểm chung khác

Từ tính chất suy ra: Nếu hai mặt phẳng phân biệt có điểm chung chúng có đường thẳng chung qua điểm chung Đường thẳng chung chứa tất điểm chung hai mặt phẳng Đường thẳng chung gọi giao tuyến hai mặt phẳng

Trên mặt phẳng, kết biết hình học phẳng

A

B C

E G

d

α

A B

d

α

A

B C

D

α

3 Điều kiện xác định mặt phẳng

Mặt phẳng hoàn tồn xác định biết qua ba điểm khơng thẳng hàng

Mặt phẳng hồn tồn xác định biết qua điểm chứa đường thẳng khơng qua điểm

4 Hình chóp hình tứ diện

Cho đa giác A1A2A3 An nằm mặt phẳng (α)và điểm S∉(α) Lần lượt nối điểm S với đỉnh

A1A2A3 An ta đượcntam giácS A1A2,S A2A32, S AnA1 Hình gồm đa giácA1A2A3 Anvàntam giác

S A1A2,S A2A3, S AnA1được gọi hình chóp, kí hiệu hình chóp làS.A1A2A3 An Khi ta gọi:

Slà đỉnh hình chóp

A1A2A3 An mặt đáy hình chóp

Các tam giácS A1A2,S A2A3, S AnA1được gọi mặt bên

Ta gọi hình chóp có đáy tam giác, tứ giác, ngũ giác, , hình chóp tam giác, hình chóp tứ giác, hình chóp ngũ giác,

Cho bốn điểmA,B,C,Dkhơng đồng phẳng Hình gồm4tam giác ABC,ACD,BCD, ABDgọi hình tứ diện (hay ngắn gọn gọi tứ diện) kí hiệu làABCD

Các điểmA,B,C,Dlà bốn đỉnh tứ diện

Các đoạn thẳngAB,BC,CD,D A,C A,BDgọi cạnh tứ diện Hai cạnh không qua đỉnh gọi hai cạnh đối diện tứ diện Các tam giácABC,ACD,ABD,BCDgọi mặt tứ diện Hình tứ diện có bốn mặt tam giác gọi hình tứ diện

A

D

B C

S

D

A B

C

Hình chóp tam giác (Tứ diện) Hình chóp tứ giác

S

D

A B

C

S

A

D

B

C

Hình chóp tứ giác có đáy hình thang Hình chóp tứ giác có đáy hình bình hành

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 1.1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diệnS ABC GọiM,N hai điểm cạnhABvàBCsao choM Nkhơng song song vớiAC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau

(SM N)và(S AC);

1 2 (S AN)và(SCM)

Lời giải.

1 Trong(ABC), gọiK=M N∩AC, ta có

(

S∈(SM N)∩(S AC)S K∈(SM N)∩(S AC)

Vậy giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳngSK 2 Trong(ABC), gọiH=AN∩CM, ta có

(

S∈(S AN)∩(SCM) H∈(S AN)∩(SCM)

Vậy giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳngSH

B M S

A

H

C

N

K

ä VÍ DỤ Cho hình chópS.ABCD, mặt đáyABCDcó cặp cạnh đối khơng song song Gọi điểm M thuộc cạnhS A Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau

(S AC)và(SBD);

1 2 (S AB)và(SCD); 3 (MBC)và(S AD)

Lời giải.

1 Trong(ABCD), gọiE=AC∩BD, ta có

(

S∈(S AC)∩(SBD) E∈(S AC)∩(SBD) Vậy đường thẳng giao tuyến làSE 2 Trong(ABCD), gọiF=AB∩CD, ta có

(

S∈(S AB)∩(SCD) F∈(S AB)∩(SCD) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng làSF 3 Trong(ABCD), gọiK=AD∩CB, ta có

(

M∈(MBC)∩(S AD) K∈(MBC)∩(S AD) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng làMK

M S

A D K

C B

F E

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho tứ diệnS ABC GọiK,Mlần lượt hai điểm cạnh S AvàSC GọiN trung điểm cạnhBC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau

(S AN)và(ABM);

1 2 (S AN)và(BCK)

1 Trong(SBC), gọiE=SN∩BM, ta có

(

A∈(S AN)∩(ABM) E∈(S AN)∩(ABM) Vậy đường thẳng giao tuyến AE

2 Ta có

(

N∈(S AN)∩(BCK) K∈(S AN)∩(BCK) Suy giao tuyến hai mặt phẳng làK N

M S

A

E K

C

N

B

ä BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAB∥CDvàAB>CD Lấy điểmMtrên đoạnBC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD);

1 2 (S AD)và(SBC);

(S AM)và(SBD);

3 4 (SD M)và(S AB)

Lời giải.

Trong(ABCD), gọiE=AC∩BD, ta có

(

S∈(S AC)∩(SBD) E∈(S AC)∩(SBD) Vậy đường thẳng giao tuyến làSE 1

Trong(ABCD), gọiK=AD∩CB, ta có

(

S∈(SBC)∩(S AD) K∈(S AD)∩(SBC) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng làSK 2

Trong(ABCD), gọiF=AM∩DB, ta có

(

S∈(S AM)∩(SBD) F∈(S AM)∩(SBD) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng làSF 3

Trong(ABCD), gọi=D M∩AB, ta có

(

S∈(SD M)∩(S AB) H∈(SD M)∩(S AB) Vậy giao tuyến hai mặt phẳng làSH 4

M S

A B

C D

E

K F

H

ä BÀI Cho tứ diệnS ABC GọiD,E,Flần lượt trung điểm củaAB,BC,S A

Tìm giao tuyếnSHcủa hai mặt phẳng(SCD)và(S AE); 1

Tìm giao tuyếnC I hai mặt phẳng(SCD)và(BFC); 2

Lời giải.

Trong(ABC), gọiH=AE∩CD≡H

Ta có giao tuyến của(SCD)và(S AE)làSH 1

Trong(S AB), gọiI=SD∩BF

Ta có giao tuyến hai mặt phẳng(SCD)và(BFC)làC I 2

Ta cóC IvàSHcùng nằm mặt phẳng(SCD)

Xét tam giácSCDcóI∈SD;H∈CDnênC I vàSHcắt tạiO Ta cóIlà trọng tâm tam giácS ABsuy I D

SD= Hlà trọng tâm tam giácABCsuy DH

CD= Suy I D

SD= DH

CD⇔I H∥SC Vậy OH

OS = I H SC=

I D SD=

1 3

S

A

O

C

B

E F

D

H I

ä 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi Trên cạnhS Alấy điểm M Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD)

1 2 (BCM)và(S AD)

(CD M)và(S AB)

3 4 (BD M)và(S AC)

BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành Trung điểm củaCDlàM Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD)

1 2 (SBM)và(S AC)

(SBM)và(S AD)

3 4 (S AM)và(SBC)

BÀI Cho hình chóp S ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với AB∥CD AB>CD Lấy điểmM nằm đoạn S A Hãy tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(BD M)và(S AC)

1 2 (BCM)và(S AD)

(BCM)và(SCD) 3

BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Lấy điểmMtrên cạnhS A, trung điểmCD làN Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(BM N)và(S AC)

1 2 (BM N)và(S AD)

(MCD)và(SBD)

3 4 (MCD)và(S AB)

BÀI Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD tứ giác có hai cạnh đối diện khơng song song Lấy điểmM thuộc miền tam giácSCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(SBM)và(SCD)

1 2 (ABM)và(SCD)

(ABM)và(S AC) 3

BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà tứ giác lồi LấyIthuộc cạnhS A,Jthuộc cạnhSBsao choI Jkhông song song với AB Lấy K điểm thuộc miền tứ giácABCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(I JK)và(ABCD)

1 2 (I JK)và(S AB)

(I JK)và(S AD)

3 4 (I JK)và(S AC)

(I JK)và(SBD) 5

316 CHƯƠNG ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG TRONG KHÔNG GIAN

(M N K)và(ABC)

1 2 (M N K)và(S AB)

BÀI 11 Cho hình chópS ABC Trên cạnhS A,SClấy điểmM,Nsao choM Nkhơng song song vớiAC GọiOlà điểm thuộc miền tam giácABC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(M NO)và(ABC)

1 2 (M NO)và(S AB)

(SMO)và(SBC)

3 4 (ONC)và(S AB)

BÀI 12 Cho tứ diệnABCDcóMlà điểm cạnhAB,Nlà điểm cạnhADsao choMB=2M A,AN=2N D Gọi Plà điểm nằm tam giácBCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(CM N)và(BCD)

1 2 (M N P)và(S AD)

(M N P)và(ABC) 3

BÀI 13 Cho tứ diệnABCD GọiMlà điểm nằm tam giácABC,Nlà điểm nằm tam giácACD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(CD M)và(ABD)

1 2 (BCN)và(ABD)

(CM N)và(BCD) 3

BÀI 14 Cho tứ diệnS AC Lấy điểmE,F đoạnS A,SBvà điểmGlà trọng tâm tam giácABC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(EFG)và(ABC)

1 2 (EFG)và(SBC)

(EFG)và(SGC) 3

BÀI 15 Cho hình chópS.ABCD Hai điểmG,Hlần lượt trọng tâm4S AB,4SCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(SGH)và(ABCD)

1 2 (S AC)và(SGH)

(S AC)và(BGH)

3 4 (SCD)và(BGH)

BÀI 16 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang có AB∥CD GọiI giao điểm củaADvàBC LấyM thuộc cạnhSC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(S AC)và(SBD)

1 2 (S AD)và(SBC)

(AD M)và(SBC) 3

BÀI 17 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO GọiM,N,Qlần lượt trung điểm cạnh BC,CD,S A Hãy tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(M N P)và(S AB)

1 2 (M N P)và(S AD)

(M N P)và(SBC)

3 4 (M N P)và(SCD)

BÀI 18 Cho hình chópS.ABC Gọi H,K trọng tâm tam giácS AB,SBCvà M trung điểm cạnh AC, I∈SMsao choS I>SM Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau đây:

(I HK)và(ABC)

1 ĐẠI CƯƠNG VỀ ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG 317

{DẠNG 1.2 Tìm giao điểm đường thẳngd và mặt phẳng(α)

d

u I

α β

Tìm mặt phẳng phụ(β)chứa d sao cho dễ tạo giao tuyến với(α) Mặt phẳng thường xác định bởidvà điểm của(α)

Tìm giao tuyếnucủa(α)và(β)

Trong(β),d cắtutạiI, màu⊂(α) Vậydcắt(α)tạiI

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diệnS ABCcóMlà điểm nằm tia đối tiaS A,Olà điểm nằm tam giác ABC Tìm giao điểm

1 Đường thẳngBCvà mặt phẳng(SO A); 2 Đường thẳngMOvà mặt phẳng(SBC); 3 Đường thẳngABvà mặt phẳng(MOC); 4 Đường thẳngSBvà mặt phẳng(MOC)

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiAOcắtBCtạiI Ta có

(

I∈BC

I∈AO⊂(SO A)⇒Ilà giao điểm củaBCvà(SO A)

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaMOlà(SO A), ta có(SO A)∩(SBC)=S I Trong(SO A)≡(SM I), gọiJlà giao điểm củaS IvàMO

Ta có

(

J∈MO

J∈S I⊂(SBC)⇒Jlà giao điểm củaMOvà(SBC) 3 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCO cắtABtạiK

Ta có

(

K∈AB

K∈CO⊂(MOC)⇒K giao điểm ABvà(MOC)

4 Chọn mặt phẳng phụ chứaSBlà(S AB), ta có(S AB)∩(MOC)=MK Trong(S AB)≡(M AB), gọiHlà giao điểm củaSBvàMK

Ta có

(

H∈SB

H∈MK⊂(MOC)⇒Hlà giao điểm củaSBvà(MOC)

A

B

C

K O I

M

H J S

ä VÍ DỤ Cho tứ diệnS ABCcó hai điểmM, N thuộc hai cạnhS A,SBvàOlà điểm nằm tam giácABC Xác định giao điểm

3 Đường thẳngSOvà mặt phẳng(CM N)

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABC), kéo dàiCOcắtABtạiI Ta có

(

I∈AB

I∈CO⊂(SOC)⇒Ilà giao điểm củaABvà(SOC)

2 Chọn mặt phẳng phụ chứaM Nlà(S AB), ta có(S AB)∩(SOC)=S I Trong(S AB), gọiK giao điểm củaS I vàM N

Ta có

(

K∈M N

K∈S I⊂(SOC)⇒K giao điểm củaM Nvà(SOC)

3 Chọn mặt phẳng phụ chứaSOlà(S IC), ta có(S IC)∩(CM N)=K C Trong(S IC), gọiHlà giao điểm củaK CvàSO

Ta có

(

H∈SO

H∈K C⊂(CM N)⇒Hlà giao điểm củaSOvà(CM N)

A

B

C

I O

S

M K

H N

ä 2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC Lấy điểm P cạnh BD cho PB>P D Tìm giao điểm

CDvà(M N P)

1 2 ADvà(M N P)

Lời giải.

A

E

Q D

P C

B N

M

1 Trong mặt phẳng(BCD), xét tam giácBCD có NB NC=16=

PB

PC nênN P vàDC cắt giả sử tạiQ Rõ ràng Q∈CDtheo cách dựng Lại cóQ∈N P⊂(M N P)nênQ∈(M N P) VậyQ=CD∩(M N P)

2 Trong mặt phẳng(ACD)nốiQ vớiM cắt ADtạiE Dễ thấyE∈ADtheo cách dựng Lại có E∈MQ⊂(M N P) nênE∈(M N P) VậyE=AD∩(M N P)

ä BÀI Cho tứ diệnABCD TrênACvà ADlần lượt lấy điểm M,N choM Nkhông song song vớiCD GọiO điểm thuộc miền trong4BCD Tìm giao điểm

BDvà(OM N)

1 2 BCvà(OM N) 3 M Nvà(ABO) 4 AOvà(BM N)

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ACD), vìM Nkhơng song song vớiCDnên ta giả sửM N cắtCDtạiE Trong mặt phẳng(BCD), nốiE vớiOkéo dài cắtBDvàBClần lượt tạiF vàG

1 Ta cóF∈OE⊂(OM N)vàF∈BD Suy raF=BD∩(OM N) 2 Theo cách dựng thìG∈BCvàG∈OE⊂(OM N) VậyG=BC∩

(OM N)

3 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiBOcắtDCtạiH Trong mặt phẳng(ADC)nốiHvớiAcắtM NtạiI VìH∈BO⊂(ABO)nên AH⊂(ABO) Suy raI∈(ABO) VậyI=M N∩(ABO)

F N

A

M

I G

O

H D

J B

E

C

ä BÀI Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành GọiMlà trung điểm SB, N trọng tâm4SCD Xác định giao điểm

M Nvà(ABCD)

1 2 M Nvà(S AC) 3 SCvà(AM N) 4 S Avà(CM N)

Lời giải.

Gọi Ivà J trung điểm cạnhSD DC Trọng tâm tam giácSCDlàN=S J∩C I

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nốiBvới J cắtACvàADlần lượt tạiEvàK VìDK∥BCnên theo Hệ Định lý Talet ta có

JB JK =

JC

JD =1⇒JC=JD

Vậy 4SCD và4SBK có chung đường trung tuyến làS J Vì trọng tâm N 4SCD trọng tâm 4SBK Suy raK∈M N Lúc đóK=M N∩(ABCD)

2 Trong mặt phẳng(SBJ)nốiS vớiEcắtM N tạiF Ta cóF= M N∩(S AC)

H G

S

K I

A

M N

F

J E

C

D

B

3 Trong mặt phẳng (SCD) nối N với D kéo dài cắtSC H VìD∈AK⊂(AM N) nên N D⊂(AM N) Suy H∈(AM N) VậyH=SC∩(AM N)

4 Theo cách dựng ta thấy I K=(CM N)∩(S AD) Trong mặt phẳng(S AD)kéo dài I K cắtS A tạiG Lúc G= S A∩(CM N)

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO TrênS A,SBlần lượt lấy hai điểmMvàN

Tìm giao điểm củaSOvà(CM N)

1 2 Tìm giao tuyến của(S AD)và(CM N)

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC)nốiSvớiOcắtMCtạiI Trong mặt phẳng(SBD)kéo dài I NcắtSDtạiJ Lúc

1 I=SO∩(CM N)

2 J∈(S AD)∩(CM N) Lại cóM∈(S AD)∩(CM N) VậyJ M=(S AD)∩(CM N)

S

A

D J

B

C N

O M

I

ä BÀI Cho hình chópS.ABCD GọiM,Nlần lượt trung điểm cạnhS A,SDvàPlà điểm thuộc cạnhSBsao choSP=3PB

Tìm giao điểmQcủaSCvà(M N P)

1 2 Tìm giao tuyến của(M N P)và(ABCD)

Lời giải.

GọiOlà giao điểm ACvàBD Trong mặt phẳng(SBD)gọiIlà giao điểm N PvớiSO Lúc đóI∈(M N P)vàM I⊂(S AC)

1 Trong mặt phẳng(S AC)gọi Q giao điểm M I SC VìQ∈M I nên Q=SC∩(M N P)

2 Trong mặt phẳng (S AC) gọi G giao điểm M I AC Lúc G∈ (M N P)∩(ABCD) Trong mặt phẳng(S AB),

1= MS M A6=

P S PB =3

nên MP AB cắt Gọi H giao điểm MP AB Ta có H∈ (M N P)∩(ABCD) VậyGH=(M N P)∩(ABCD)

S

P

H M

I

O A

D N

G B

Q C

Tìm giao điểmIcủaSDvới(AM N)

1 Tính tỉ số S I

I D 2

Lời giải.

S

O M

A I

P N

L

C

D J

B

1 Trong mặt phẳng(ABCD)nối AvớiN kéo dài cắtDCtạiJ cắtBCtạiL Trong mặt phẳng(SDC)nối Jvới M kéo dài cắtSDtạiI VìJ∈AN⊂(AM N)nênM J⊂(AM N) Suy raI∈(AM N) VậyI=SD∩(AM N)

2 Trong mặt phẳng(ABCD), vìAB∥D Jnên4N ABđồng dạng với4N JD Suy D J

AB= D N

NB=3⇒D J=3AB=3DC

Trên cạnh SD lấy điểm P cho I trung điểm SP Ta có I M đường trung bình 4SPC nên I M∥PC⇒I M∥I J Áp dụng Định lý Talet trong4D I J ta có

D I DP=

D J

DC=3⇒D I=3DPvàS I=P I=2DP Vậy S I

I D=

ä BÀI Cho hình chópS.ABCcóGlà trọng tâm tam giácABC GọiM điểm cạnhS Asao choM A=2MS,K trung điểmBCvàDlà điểm đối xứng củaGquaA

Tìm giao điểmHcủaSK với(MCD)

1 Tính tỉ số HK

SK 2

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(SDK)kéo dàiD M cắtSK tạiH Lúc đóH=SK∩(MCD)

2 Trong mặt phẳng(SDK)vẽ đường thẳng quaAvà song song với SK cắtDHtạiE Vì AE∥SHnên theo Hệ Định lý Talet ta có

AE SH=

M A

MS =2⇒SH= 2AE

Trong4DHK ta cóAE∥HKnên theo Định lý Talet AE

HK = D A DK =

2

5⇒HK= 2AE Ta cóSK=SH+HK=1

2AE+

2AE=3AE.Vậy HK SK =

5

G D

S

E M

B

K H

A C

ä BÀI Cho tứ diện ABCD GọiI J trung điểm ACvà BC Trên cạnh BD lấy điểm K cho BK=2K D

Tìm giao điểmEcủaCDvới(I JK) Chứng minh:DE=DC 1

Tìm giao điểmF củaADvới(I JK) Chứng minh:F A=2F DvàF K∥I J 2

Lời giải.

A

I

E

F

N P M

B

J H

Q K

D C

1 Trong mặt phẳng(BCD)kéo dàiJKcắtCDtạiE Lúc đó, dễ thấyE∈CDtheo cách dựng Lại cóE∈K J⊂(I JK) Suy raE=CD∩(I JK)

Trong mặt phẳng(BCD)lấy điểm E0 thuộc đường thẳngDCsao choD trung điểm củaE0C Xét4E0BCcó BDvàE0Jlà đường trung tuyến VìBK=2K DnênKlà trọng tâm4E0BC Suy raE0,K,Jthẳng hàng Từ cóE0=DC∩K J VậyE0≡E Suy raDE=DC

2 Trong mặt phẳng(ACD), nối IvớiEcắt ADtạiF Lúc rõ ràngF∈ADvà F∈E I⊂(I JK)nênF∈(I JK) VậyF=AD∩(I JK)

Trong4AEC, điểmD, Ilần lượt trung điểm củaECvàACnênF=AD∩E Ichính trọng tâm 4AEC Theo tính chất trọng tâm tam giác ta cóF A=2F D

Vì I Jlà đường trung bình tam giácABCnênI J∥AB Mặt khác, DK DB=

DF D A=

1

3 nên theo Định lý Talet ta cóF K∥AB Từ suy raF K∥I J

3 Trong mặt phẳng(BCD)nốiBvớiNcắtK JtạiQ Ta cóQ∈(I JK) Trong mặt phẳng(ADC)nối AvớiNcắtE I tạiP Vì(I JK)≡(I E J)nênP∈E I⊂(I E J)⇒P∈(I JK) Trong mặt phẳng(ABN)nốiPvớiQcắtM NtạiH Lúc đó, vìH∈PQ⊂(I JK)nênH∈(I JK) VậyH=M N∩(I JK)

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAD∥BCvàAD=2BC,Elà trung điểm củaS A Gọi N điểm thuộc đoạnABsao choNB=2N AvàMlà điểm thuộc đoạnCDsao choMD=2MC

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(EM N)và(S AD) 1

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(EM N)và(SCD) 2

Tìm giao điểmLcủa đường thẳngEMvà mặt phẳng(SBC) 3

Tìm giao tuyến của(CDE)và(S AB) Giao tuyến cắtSBtạiP cắtABtạiI Chứng minh:2SB=3SP S4I DE=3S4ICP

4

Lời giải.

1 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiM Nvà ADcắt tạiJ Lúc J∈AD⊂(S AD)và J∈M N⊂(EM N) Vì J∈(S AD)∩(EM N) Dễ thấyE∈(S AD)∩(EM N) VậyE J=(EM N)∩(S AD)

2 Trong mặt phẳng (S AD) kéo dài JE cắt SD Q Vì JE⊂(E J M)≡(EM N) nênQ∈(EM N) Lúc Q M= (EM N)∩(SCD)

3 Trong mặt phẳng (S AB) kéo dài N E SB cắt K Lúc K ∈(EM N)∩(SBC) Trong mặt phẳng (ABCD)kéo dài M NvàBCcắt tạiH Ta cóH∈(EM N)∩(SBC) Suy raGH=(EM N)∩(SBC) Trong mặt phẳng(EM N)kéo dàiK HvàEMcắt tạiL VìK H⊂(SBC)nênL∈(SBC) VậyL=EM∩(SBC)

I Lúc đóI E=(CDE)∩(S AB)

Trong mặt phẳng(ABCD)vìBC∥ADnên áp dụng Định lý Talet với4I ADta có

IB I A =

IC I D=

BC AD=

1

2⇒IB=ABvàI D=2IC

Trong mặt phẳng(S AB)xét4S I A cóB vàE trung điểm cạnhI AvàS A Lúc đóP=I E∩SBlà trọng tâm4S I A Theo tính chất trọng tâm

I E=3

2I Pvà2SB=3SP Ta có

S4I DE=

1

2I E·I D·sinE I D= 2·

3

2I P·2IC·sinE I D =3·1

2·I P·IC·sinP IC=3S4ICP VậyS4I DE=3S4ICP

J

Q K

I

S

A N

H D

C

L B

P E

M

ä BÀI 10 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCDlà hình thang, ABđáy lớn AB=3CD Gọi N trung điểm CD,Mlà điểm cạnhSBthỏaSM=3MB, điểmItrên cạnhS Avà thỏa A I=3I S

Tìm giao điểm đường thẳngM Nvới(S AD) 1

GọiHlà giao điểm củaCBvới(I M N) Tính tỉ số HB HC 2

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB)vì1 3=

I S A I6=

MS

MB=3nênI MvàABcắt GọiJ giao điểm củaI Mvà AB Trong mặt phẳng(ABCD)nốiJ,N cắtADtạiP Trong mặt phẳng(I M N)nốiM,NcắtI PtạiK

1 Theo cách dựng, dễ thấyK∈M N VìK∈I P⊂(S AD)nênK∈(S AD) VậyK=M N∩(S AD)

2 VìHlà giao điểm củaCBvới(I M N)nênH=CB∩N J

Ta cóNC=1 2DC=

1 6AB

VìNC∥BJnên theo Hệ Định lý Talet ta có: HB

HC= BJ NC⇒

HB HC=6·

BJ AB=6·

BJ J A−BJ=6·

1 J A BJ−1

Trong mặt phẳng(S AB)vẽ đường thẳng quaB song song vớiS AcắtI JtạiO

Vì BO∥S I nên áp dụng Hệ Định lý Talet ta có

BO S I =

BM MS =

1

Vì BO∥ A I nên áp dụng Định lý Talet 4J A I ta có

JB J A=

BO I A =

1 3·

BO S I =

1 9⇒

J A BJ=9 Từ có HB

HC=6· J A BJ−1

=6· 9−1=

3

O S

J A

P

M I

B

D

K

N

H

C

ä

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI 11 Cho hình chópS.ABC Trên cạnhS AlấyMsao choS A=3SM, cạnhSClấy điểmNsao choSC=2SN ĐiểmP thuộc cạnhAB Tìm giao điểm của:

M Nvà(ABC)

1 2 BCvà(M N P)

ĐS:

M N∩(ABC)=I 1

BC∩(M N P)=J 2

P S

I J M

C A

N

BÀI 12 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO GọiGlà trọng tâm tam giácS AB Hãy tìm: (SGC)∩(ABCD)=?

1 2 AD∩(SGC)=? 3 SO∩(SGB)=? 4 SD∩(BCG)=?

ĐS:

(SGC)∩(ABCD)=MC 1

AD∩(SGC)=N 2

SO∩(SGB)=S 3

SD∩(BCG)=J 4

S

G A

J I

M N

O

B C

D

BÀI 13 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang, đáy lớn AB GọiI,Jlần lượt trung điểmS AvàSB Lấy điểmMtùy ý trênSD Tìm giao điểm

I Mvới(SBC)

1 2 J Mvới(S AC) 3 SCvới(I J M)

I M∩(SBC)=H 1

J M∩(S AC)=K 2

SC∩(I J M)=P 3

S

J

P M

C K

I

G H

D O

A B

BÀI 14 Cho tứ diệnO ABC GọiM, N,P trung điểm củaO A,OBvà AB Trên cạnhOC lấy điểmQsao choOQ>QC GọiGlà trọng tâm tam giác ABC Tìm giao điểm

E=BC∩(M NQ)

1 2 F=CP∩(M NQ) 3 K=BG∩(M NQ)

ĐS:

O

Q H

G C

A M

E N

B P

F

K

BÀI 15 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiMlà trung điểm củaSBvàGlà trọng tâm tam giácS AD Tìm giao điểm:

K=G M∩(ABCD)

1 2 F=AD∩(OMG) 3 E=S A∩(OMG)

ĐS:

S

K

J

O N

G E

F

B M

A

D C

BÀI 16 Cho tứ diệnS.ABC, lấy điểmMlà trung điểmS A, lấy điểmNlà trọng tâm4SBCvàPnằm trong4ABC Tìm giao điểm củaM Nvà(ABC)

1 2 SB∩(M N P)=?

SC∩(M N P)=?

3 4 N P∩(S AB)=?

Tứ giácABIClà hình ? 5

M N∩(ABC)=I 1

SB∩(M N P)=J 2

SC∩(M N P)=K 3

N P∩(S AB)=O 4

Tứ giác ABIClà hình bình hành 5

Q K

O

C P H

M

A S

B J

N

I

BÀI 17 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành,Mlà trung điểm củaSD TìmI=BM∩(S AC) Chứng minh:BI=2I M

1

TìmE=S A∩(BCM) Chứng minh:Elà trung điểm củaS A 2

ĐS:

S

O E

I A

D M

B

C

BÀI 18 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật tâmO Gọi M trung điểm SB, N điểm thuộc đoạnSDsao choSN=2N D

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(SBD)và(S AC) 1

Tìm giao điểmEcủa đường thẳngM Nvà mặt phẳng(ABCD) Tính EN EM 2

Tìm giao điểmK đường thẳngSCvà mặt phẳng(AM N) GọiJ giao điểm củaAKvàSO Tính tỉ số: JK J A 3

ĐS:

(SBD)∩(S AC)=SO 1

EN EM =

2 2

JK J A=

2 3

S

E

D C

A O J N

K M

B

BÀI 19 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM,N, trung điểm củaS AvàCD Tìm giao điểmEcủaADvới(BM N)

1

ĐS:

S

E

A F

N D

B

C M

BÀI 20 Cho tứ diệnABCD GọiI,Mlần lượt trung điểm củaABvàBC,Glà trọng tâm tam giác ACD

Tìm giao điểmP củaCDvà(I MG)

1 Tính tỉ số: PC

P D 2

ĐS: PC

P D= •

A

I

G

P C B

M J

D

BÀI 21 Cho tứ diện ABCD Gọi I J trung điểm ACvà BC Trên cạnh BD lấy điểmK cho BK=2K D

Tìm giao điểmEcủa đường thẳngCDvà(I JK) Chứng minh:DE=DC 1

Tìm giao điểmF đường thẳngADvà(I JK) Tính tỉ số F A F D 2

ĐS: F A

F D =2 •

A

I

J

E

D K

B C

F

{DẠNG 1.3 Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(α).

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD, đoạnC A, CB,BD lấy điểm M, N, P cho M N không song song vớiAB Gọi(α)là mặt phẳng xác định ba điểmM, N,P Xác định thiết diện tạo bởi(α)và tứ diệnABCD?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(ABC), doM N ABkhông song song nên chúng cắt giả sử tạiE Khi điểmE nằm ngồi đoạnAB

Trong mặt phẳng(ABD), gọiQlà giao điểm củaEP vàAD Ta có

• (M N P)∩(ABC)=M N • (M N P)∩(BCD)=MP • (M N P)∩(ABD)=PQ • (M N P)∩(ACD)=Q N

Vậy thiết diện cắt tứ diện ABCD mặt phẳng (M N P)là tứ giác M NQP Hay hiết diện cắt tứ diện ABCDbởi mặt phẳng(α)là tứ giácM NQP

E

C M

P A

B N

D Q

M

E C

P A

B N

D Q

ä VÍ DỤ Cho tứ diệnS ABCvàOlà điểm thuộc miền tam giácABC GọiM,N hai điểm nằm cạnhS AvàSCsao choM Nkhông song song vớiAC Xác định thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(M NO)?

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AC), doM N vàACkhông song song nên chúng cắt giả sử tạiE Khi điểmEnằm ngồi đoạn AC

Trong mặt phẳng(ABC), gọiP,Qlần lượt giao điểm củaEOvớiBCvàAB Ta có

• (M NO)∩(S AC)=M N • (M NO)∩(SBC)=N P • (M NO)∩(ABC)=PQ • (M NO)∩(S AB)=Q M

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(M NO)là tứ giácM N PQ

S

B

P

Q O

A M

N

C E

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho hình chópS.ABC Trên cạnhS A,SBlần lượt lấy điểm M,N cho M N không song song với AB GọiP điểm thuộc miền tam giácABC Xác định giao tuyến của(M N P)và(ABC)từ suy thiết diện cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P)

Lời giải.

Trong mặt phẳng(S AB), doM Nkhông song song với ABnên chúng cắt giả sử tạiE Khi đóEnằm đoạnAB

Trong mặt phẳng(ABC), gọiK,Hlần lượt giao điểm củaEPvới đoạnBC, AC (VìPthuộc miền tam giác(ABC)) Khi ta có

• (M N P)∩(S AB)=M N • (M N P)∩(SBC)=N K • (M N P)∩(ABC)=K H • (M N P)∩(S AC)=H M

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCbởi mặt phẳng(M N P)là tứ giácM N K H

S

B A

M

N

C P

E K H

BÀI Cho tứ diện S ABC Gọi K, N trung điểm S A, BC M điểm thuộc đoạn SC cho 3SM=2MC

1 Tìm thiết diện hình chóp mặt phẳng(K M N)

2 Mặt phẳng(K M N)cắtABtạiI Tính tỉ số I A

IB ĐS:

I A IB=

2

Lời giải.

S

B

E A

I

N C H

K

M

P

1 Trong mặt phẳng(S AC), SM MC=

2 3⇒

SM SC =

2 56=

1 2=

SK

S A nênK Mkhông song song với AC GọiElà giao điểm củaK M vàAC

Trong mặt phẳng(ABC), gọiIlà giao điểm củaENvàAB, đóIlà giao điểm củaABvới(K M N) Ta có • (K M N)∩(S AC)=MK

• (K M N)∩(S AB)=K I • (K M N)∩(ABC)=I N • (K M N)∩(SBC)=N M

Vậy thiết diện cắt tứ diệnS ABCbởi mặt phẳng(K M N)là tứ giácM N I K 2 TrênSClấy điểmPsao choMlà trung điểm củaSP Khi ta có

• AP∥K Mtheo tính chất đường trung bình tam giácS APnênAP∥EM⇒AC AE=

PC P M =

1 • GọiHlà trung điểm củaAB, đóN H∥AC(Tính chất đường trung bình)

Do I H I A =

N H AE =

1

4⇒A I= 5AH=

2 5AB⇒

A I BI =

2

ä BÀI Cho hình chóp S.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang thỏa mãn AB∥CD, AB>CD Gọi I, J theo thứ tự trung điểm cạnhSB,SC

1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng(S AD)và(SBC) 2 Tìm giao điểm đường thẳngSDvới(A I J)

3 Xác định thiết diện hình chópS.ABCDcắt mặt phẳng(A I J)

Lời giải.

d S

B C

I J

1 Hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)cóSlà điểm chung

Lại có AD∥BCtheo giả thiết vàS∉(ABCD)nên giao tuyến của(S AD)và(SBC)là đường thẳngdđi quaSvà song song với AD,BC

2 DoI Jlà đường trung bình tam giácSBCnênI J∥BCmàI∉(ABCD)⇒I J∥AD Vì vậyA,D,I,Jxác định mặt phẳng(AD J I)hayD∈(A I J)

Mặt khácD∈SDnênDlà giao điểm củaSDvới(A I J) 3 Từ kết ta có

• (A I J)∩(ABCD)=AD • (A I J)∩(SCD)=D J • (A I J)∩(SBC)=J I • (A I J)∩(S AB)=I A

Vậy thiết diện hình chópS.ABCDcắt mặt phẳng(A I J)là hình thangAD J I

ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD Lấy điểmM thuộc miền tam giácSBC Lấy điểm N thuộc miền tam giácSCD

1 Tìm giao điểm củaM Nvà mặt phẳng(S AC) 2 Tìm giao điểm củaSCvà mặt phẳng(AM N)

3 Tìm thiết diện hình chópS.ABCDcắt mặt phẳng(AM N)

Lời giải.

S

B

C E

O

R M

Q

A

I P

D

F N

1 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiOlà giao điểm củaACvàEF Khi đóSO=(S AC)∩(SEF)

Trong mặt phẳng(SEF), gọi{I}=M N∩SO Ta cóI∈SO⇒I∈(S AC) MàI∈M Nnên{I}=M N∩(S AC) 2 Theo chứng minh ta suy A I=(AM N)∩(S AC)

Trong mặt phẳng (S AC) gọi P giao điểm A I SC Khi P∈A I⇒P∈(AM N) Mà P∈SC nên {P}=SC∩(AM N)

3 Do M,P ∈(SBC)nên mặt phẳng (SBC), gọi R giao điểm P M với SB Ta có P M⊂(AM N) nên R∈(AM N)

Tương tự, mặt phẳng(SCD), gọiQlà giao điểm củaP N vớiSDta cóQ∈(AM N) Vì • (AM N)∩(S AB)=AR

• (AM N)∩(SBC)=RP • (AM N)∩(SCD)=PQ • (AM N)∩(S AD)=Q A

Vậy thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(AM N)là tứ giácARPQ

1 Tìm giao điểmIcủaG Mvới(ABCD) Chứng minhIthuộc đường thẳngCDvàIC=2I D

2 Tìm giao điểmJ củaADvà(OMG) Tính tỉ số J A

JD ĐS:

J A JD =2 3 Tìm giao điểmK củaS Avà(OMG) Tính tỉ số K A

K S ĐS:

K A K S =2 4 Tìm thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi mặt phẳng(OMG)

Lời giải.

S

B C

E

O

J

P F

I

G H

A M

D N

K

1 GọiE,Nlần lượt trung điểm củaAD,S A Ta cóMlà trung điểm củaSB,Glà trọng tâm tam giácS AD Trong mặt phẳng(SBE)có SM

SB = 26=

2 3=

SG

SE suy raMGvàBEkhơng song song Do đóMGvàBEcắt Lại doBE⊂(ABCD),{I}=MG∩(ABCD)nênI∈BE

Vậy giao điểmIcủaMGvà(ABCD)là giao điểmIcủaMGvàBE

DoM Nlà đường trung bình tam giácS ABnênM N∥AB⇒M N∥CD Suy raM N,CDxác định mặt phẳng (M N DC)

Lại doGlà trọng tâm tam giácS AD nênG∈N D⇒G∈(M N DC),I∈MG⇒I∈(M N DC) Mặt khác(M N DC)∩(ABCD)=CD,I∈(M N DC),I∈(ABCD)nênI∈CD

MàAD∥BCnênED∥BC⇒I D IC=

ED BC =

1

2⇒IC=2I D

2 Dễ thấyI∈(OMG) Trong mặt phẳng(ABCD), gọiJ0là giao điểm củaADvàOI VìOI⊂(OMG)⇒J0∈(OMG) nênAD∩(OMG)={J0}

MàJ giao điểm củaADvà(OMG)(gt) nênJ0≡J VậyJ giao điểm củaIOvàAD Dễ thấyJlà trọng tâm4I ACnên J A

JD =2

3 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiF giao điểm củaBIvàACsuy ra(SBI)∩(S AC)=SF Trong mặt phẳng(SBI), gọiHlà giao điểm củaM IvàSF Ta cóH∈MG⇒

OH⊂(OMG)vàHthuộc(S AC)

Trong mặt phẳng(S AC), gọi K0 giao điểm củaOH S A Khi K0∈OH⇒K0∈(OMG)⇒S A∩(OMG)={K0}hayK0≡K VậyK giao điểm củaOHvớiS A

Lại cóK,G,Jlà điểm chung hai mặt phẳng(OMG)và(S AD)nên K,G,Jthẳng hàng

GọiQlà trung điểm củaSD, vìJ trọng tâm4I AC Xét4S AD có AG

AQ= 3=

A J

AD⇒G J∥SD⇒K J∥SD⇒ K A K S =

J A JD=2

S

A E J D

Q K

G

4 Từ chứng minh ta suy • (OMG)∩(S AB)=K M • (OMG)∩(SBC)=MP • (OMG)∩(ABCD)=P J • (OMG)∩(S AD)=JK

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,N,P trung điểm củaSB, SDvàOC

1 Tìm giao tuyến mặt phẳng(M N P)với mặt phẳng(S AC)và(ABCD)

2 Tìm giao điểm củaS Avới mặt phẳng(M N P)

3 Xác định thiết diện hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(M N P) Tính tỉ số mà mặt phẳng(M N P)chia

cạnhS A,BCvàCD ĐS: ES

E A= 3,

HB HC=

K D K C=1

Lời giải.

S

B C

O

H

K P

G

F

N I

D E

A M

1 DoM,Nlần lượt trung điểm củaSB,SDnênM Nlà đường trung bình tam giácSBD, suy raM N∥BD Ta có(P M N)∩(SBD)=M N

Trong mặt phẳng(SBD), gọiI giao điểm củaM N vàSO Khi vìI∈SO⇒I∈(S AC),P∈AC⇒P∈(S AC) suy ra(P M N)∩(S AC)=P I

Hai mặt phẳng(P M N)và(ABCD)cóP điểm chung MàM N∥BD,P∉M N,P∉BD nên giao tuyến (P M N)và(ABCD)là đường thẳng quaP, song song vớiM Nvà song song vớiBD, cắt cạnhBC,CDlần lượt tạiHvàK

2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiElà giao điểm củaP IvàS A Ta có

• E∈P I,P I⊂(P M N)⇒E∈(P M N)

• MàE∈S AnênElà giao điểm củaS Avới(P M N)

3 Ta có(P M N)lần lượt giao với cạnhS A,SB,BC,CD,SDtại điểmE,M,H,K,Nnên

• (P M N)∩(S AB)=EM • (P M N)∩(SBC)=MH • (P M N)∩(ABCD)=HK • (P M N)∩(SCD)=K N • (P M N)∩(S AD)=N E

Vậy thiết diện hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(P M N)là ngũ giácEMHK N VìM Nlà đường trung bình tam giác ABDnênIlà trung điểm củaSO

Trong tam giácSOC cóI Plà đường trung bình nênI P∥SC Do tam giácS ACcóP E∥SCsuy ES

E A= PC P A=

1

Lại cóPlà trung điểm củaOC,HKquaP vàHK∥BDnênHKlà đường trung bình tam giácBCD Do HB

HC= K D K C =1

ä BÀI Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Trên cạnhSB, SDta lấy điểmM,N cho SM

SB = 3,

SN SD =

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(AM N)và(SCD)

2 Tìm giao điểmIcủaSCvà mặt phẳng(AM N) Suy thiết diện mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCD

3 GọiK giao điểm củaI NvàCD Tính tỉ số K C

K D ĐS:

K C K D=5

Lời giải.

S

K

B C

O

E N

I

A M

D

1 Trong mặt phẳng(SBD) Theo ta có SM SB =

1 3,

SN SD =

2 3⇒

SM SB 6=

SN

SD Do đóM NcắtBDgiả sử tạiE Hai mặt phẳng(AM N)và(ABCD)có hai điểm chungAvàEnên(AM N)∩(ABCD)=AE

Trong mặt phẳng(ABCD), gọiK giao điểm củaAEvàCD Khi • K∈AE⇒K∈(AM N)

• K∈CD⇒K∈(SCD) Suy raK điểm chung của(AM N)và(SCD) • Mặt khác(AM N)và(SCD)có điểmNchung (vìN∈SD)

Vậy giao tuyến hai mặt phẳng(AM N)và(SCD)là đường thẳngK N

2 Trong mặt phẳng(SCD), gọi Ilà giao điểm củaK NvàSC Khi đóI∈K N⇒I∈(AM N) VậyIlà giao điểm SCvà(AM N)

Do(AM N)cắt cạnhS A,SB,SC,SDlần lượt điểmA,M,I,Nnên • (AM N)∩(S AB)=AM

• (AM N)∩(SBC)=M I • (AM N)∩(SCD)=I N • (AM N)∩(S AD)=N A

Suy thiết diện mặt phẳng(AM N)và hình chópS.ABCDlà tứ giácAM I N 3 Ta cóK∈CDvàK,I,N thẳng hàng

Lấy điểmP cạnhSBsao choP D∥M N Khi ta có SM

SP = SN SD =

2 3⇒

MP M M=

1 2⇒

MP MB=

1

4vìBM=2SM Xét tam giácBME, ta cóP D∥MEnên ED

EB = MP MB=

1 Xét tam giácABE, cóK D∥ABnên K D

AB= ED EB=

1 Suy K D

DC = K D

AB= 4⇒

K D K C =

K D K D+DC=

1 1+4=

1 5⇒

K C K D=5

S

B D E

N M

P

ä 3 BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Thiết diện tứ giácM N PQ A

P C

E D

M

B

Q

N

BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAD Lấy điểmMtrên cạnhSB Tìm thiết diện

của hình chóp cắt mặt phẳng(AMD) ĐS:

Thiết diện hình thangAM N D S

B C

M N

A D

BÀI 10 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCD hình bình hành GọiM, N, P điểm nằm cạnhBC,CD,S A Tìm thiết diện hình chópS.ABCDcắt mặt phẳng(M N P) ĐS:

Thiết diện ngũ giácM N HPG S

D N

C M

B E

G

A F

H P

BÀI 11 Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD hình thang đáy lớnAD GọiH,K trung điểm cạnhSBvàABvàM điểm nằm hình thang ABCDsao cho đường thẳngK M cắt hai đường thẳngAD vàCD Tìm thiết diện hình chópS.ABCDkhi cắt mặt phẳng(HK M) ĐS:

Thiết diện ngũ giácHK PQ J S

B C

K I

P M

H

J

Q

A D

N

S

C D

O A

N

B M

Q I

J P

Hình1

S

C D

O

A B

Q

N M I

Hình2 Thiết diện cắt bởi(ABM)là hình thangABMP

Nếu SM SC >

SN

SD thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình1) Nếu SM

SC < SN

SD thiết diện cắt hình chópS.ABCDbởi(AM N)là tứ giácAN MQ(Hình2)

BÀI 13 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành GọiH,K trung điểm củaBCvàCD Lấy điểmMbất kỳ cạnhS A Tìm thiết diện hình chópS.ABCDvới mặt phẳng(MHK) ĐS:

Thiết diện ngũ giácP MQK H S

D

K

C H

B

E

P A

M

F Q

BÀI 14 Cho tứ diện đềuABCDcó cạnh bằnga Gọi Ilà trung điểm AD,J điểm đối xứng vớiDquaC,K điểm đối xứng vớiD quaB Xác định thiết diện tứ diện ABCD cắt mặt phẳng(I JK)và tính diện tích

của thiết diện ĐS:

Thiết diện tam giácI EF cân tạiI S4I EF=

a2

A

J

B I

D F K

C

E

BÀI 15 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành GọiK trọng tâm tam giác S AC GọiI, J trung điểm củaCDvàSD

2 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng(I JK)

ĐS: 1 {H}=SP∩I K

2 Thiết diện hình chóp với mặt phẳng (I JK) ngũ giác I JG MF

S

D

O

I C

F P

E

B K

H

A J

M G

BÀI 16 Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDkhơng hình thang, điểm P nằm tam giácS AB điểm M thuộc cạnhSDsao choMD=2MS

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AB)và(PCD) 2 Tìm giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM)

3 GọiNlà trung điểm củaAD Tìm thiết diện tạo mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCD

ĐS:

S

E C

D A

B P

Hình1

S

B

C O

I

D M

F A

Hình2

S

B

C I0

J0

L G H

P R

N Q

D M

E0

F0

A

Hình3

1 Giao tuyến hai mặt phẳng(S AB)và(PCD)là đường thẳngP E 2 Giao điểm củaSCvới mặt phẳng(ABM)là điểmF

3 Thiết diện tạo mặt phẳng(M N P)và hình chópS.ABCDlà ngũ giácM N HQR

{DẠNG 1.4 Chứng minh ba điểm thẳng hàng

Phương pháp giải

Giả sử chứng minh ba điểmI,J,K thẳng hàng.

Xét hai mặt phẳng(P)và(Q) Chứng minh ba điểmI,J,K là ba điểm chung của(P)và(Q) Khi đóI,J,K thuộc giao tuyến của(P)và(Q)hayI,J,K thẳng hàng.

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diệnS ABC Trên cạnhS A,SB,SC lấy M,N, P choM N cắtABtạiI,N P cắtBCtạiJvàMP cắtACtạiK Chứng minh ba điểmI,J,K thẳng hàng

Xét hai mặt phẳng(ABC)và(M N P) Ta có

(

I∈AB⊂(ABC)

I∈M N⊂(M N P)⇒I∈(ABC)∩(M N P) (1)

(

J∈BC⊂(ABC)

J∈N P⊂(M N P)⇒J∈(ABC)∩(M N P) (2)

(

K∈AC⊂(ABC)

K∈MP⊂(M N P)⇒K∈(ABC)∩(M N P) (3) Từ(1), (2), (3)suy I, J,K thuộc đường thẳng giao tuyến (ABC)và(M N P)

Vậy ba điểmI,J,K thẳng hàng

S

P N

A M

B

I

C K

J

ä VÍ DỤ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâmOhai điểm, M, N trung điểm củaSB,SD, điểmPthuộcSCvà không trung điểm củaSC

1 Tìm giao điểmIcủaSOvới mặt phẳng(M N P) 2 Tìm giao điểmQcủaS Avới mặt phẳng(M N P)

3 GọiF,G,Hlần lượt giao điểm củaQ Mvà AB,QP AC,Q N AD Chứng minh ba điểmF,G,H thẳng hàng

1 Trong mặt phẳng(SBD), gọiI=SO∩M N Ta có

(

I∈SO

I∈M N⊂(M N P)⇒I=SO∩(M N P) 2 Trong mặt phẳng(S AC), gọiQ=S A∩I P

Ta có

(

Q∈S A

Q∈I P⊂(M N P)⇒Q=S A∩(M N P) 3 Xét hai mặt phẳng(ABCD)và(M N PQ) Ta có

(

F∈AB⊂(ABCD) F∈Q M⊂(M N PQ)

⇒F∈(ABCD)∩(M N PQ) (1)

(

G∈AC⊂(ABCD) G∈QP⊂(M N PQ)

⇒G∈(ABCD)∩(M N PQ) (2)

(

H∈AD⊂(ABCD) H∈Q N⊂(M N PQ)

⇒H∈(ABCD)∩(M N PQ) (3) Từ(1),(2),(3)suy raF,G,Hcùng thuộc đường thẳng giao tuyến của(ABCD)và(M N PQ)

Vậy ba điểmF,G,Hthẳng hàng

S

A M

Q F

C B

O G

D N

I

H P

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho tứ diệnABCDcóGlà trọng tâm tam giácBCD GọiM,N,P trung điểm củaAB,BC,CD Tìm giao tuyến của(AD N)và(ABP)

1

Lời giải.

Ta có A∈(AD N)∩(ABP) (1)

Mặt khác

(

G∈D N∈(AD N) G∈BP∈(ABP)

⇒G∈(AD N)∩(ABP) (2)

Từ(1)và(2)suy ra(AD N)∩(ABP)=AG 1

Xét hai mặt phẳng(CD M)và(AD N) Ta có

+D∈(CD M)∩(AD N) (3)

+

(

I∈JD⊂(CD M) I∈AG⊂(AN D)

⇒I∈(CD M)∩(AD N) (4)

+

(

J∈CM⊂(CD M) J∈AN⊂(AN D)

⇒J∈(CD M)∩(AD N) (5)

Từ(3),(4),(5)suy raD,I, Jthẳng hàng 2

A

N M

B J

C G

P

D I

ä

BÀI Cho tứ diệnABCDcóK trung điểm củaAB LấyI,Jlần lượt thuộcAC,BDsao choI A=2ICvàJB=3JD

Tìm giao điểmEcủaADvà(I JK) 1

Tìm giao tuyếndcủa(I JK)và(BCD) 2

GọiOlà giao điểm củadvớiCD Chứng minhI,O,Ethẳng hàng 3

Tính tỉ số OI OE

OC

OD ĐS:

OI OE=

2

OC OD=

3 4

Trong(ABD), gọiAD∩K J=E Ta có

(

E∈AD

E∈K J⊂(I JK) ⇒E=AD∩(I JK)

1

Trong(ABC), gọiK I∩BC=F Ta có +

(

J∈(I JK)

J∈BD⊂(BCD)⇒J∈(I JK)∩(BCD) (1) +

(

F∈K I⊂(I JK)

F∈BC⊂(BCD)⇒F∈(I JK)∩(BCD) (2) Từ(1)và(2)suy ra(I JK)∩(BCD)=F Jhayd≡F J

2

Trong(BCD),O=F J∩CD

Xét hai mặt phẳng(I JK)và(ACD) Ta có +

(

I∈(I JK)

I∈AC⊂(ACD)⇒I∈(I JK)∩(ACD) (3) +

(

O∈F J⊂(I JK)

O∈CD⊂(ACD)⇒O∈(I JK)∩(ACD) (4) +

(

E∈K J⊂(I JK)

E∈AD⊂(ACD)⇒E∈(I JK)∩(ACD) (5) Từ(3),(4),(5)suy raI,O,Ethẳng hàng

3

Áp dụng định lí Menelaus tam giác sau Tam giácABCcóK,I,F thẳng hàng

⇒FC FB·

K B K A·

I A IC=1⇔

FC

FB·1·2=1⇒ FC FB=

1 ⇒Clà trung điểm củaBF

Tam giácBCDcóF,O,J thẳng hàng ⇒OC

OD· JD JB·

FB FC=1⇔

OC OD·

1

3·2=1⇔ OC OD =

3 Tam giácABDcóK,J,Ethẳng hàng

⇒EDE A·K AK B·JDJB=1⇔ED

E A·1·3=1⇔ ED E A =

1 Tam giácA I EcóC,O,Dthẳng hàng

⇒OEOI ·DED A·C AC I =1⇔ OI OE·

1

2·3=1⇔ OI OE=

2 Vậy OI

OE=

OC OD=

3 4

A

J K

B

I

O

C

F

E D

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang,ADlà đáy lớn vàAD=2BC GọiM,Nlần lượt trung điểm củaSB,SCvàO=AC∩BD

Tìm giao tuyến của(ABN)và(SCD) ĐS:(ABN)∩(SCD)=ENvớiE=AB∩CD 1

Tìm giao điểmP củaD N và(S AB) ĐS:P=D N∩SE

2

GọiK=AN∩D M Chứng minhS,K,Othẳng hàng Tính tỉ số K S

K O ĐS:

K S K O=

3 3

Ta cóN∈(ABN)∩(SCD)

Trong(ABCD), gọiAB∩CD=E⇒E∈(ABN)∩(SCD) Suy ra(ABN)∩(SCD)=EN

1

Trong(SCD), gọiD N∩SE=P ⇒P=D N∩(S AB)

2

Xét hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)có

+S∈(S AC)∩(SBD) (1)

+

(

K∈AN⊂(S AC) K∈MD⊂(SBD)

⇒K∈(S AC)∩(SBD) (2)

+

(

O∈AC⊂(S AC) O∈BD⊂(SBD)

⇒O∈(S AC)∩(SBD) (3)

Từ(1),(2),(3)suy raS,K,Othẳng hàng Vì AD∥BCnên4O AD∼ 4OCB

⇒OC O A=

BC AD=

1

Áp dụng định lí Menenalus vào4SOCcóA,K,Nthẳng hàng ⇒K S

K O· AO AC·

NC N S=1⇔

K S K O·

2

3·1=1⇔ K S K O=

3 3

S

A M

B

C O

E

D

K N

P

ä BÀI Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO GọiM, N trung điểm củaS A, SC

Tìm giao tuyến của(BM N)với mặt phẳng(S AB)và(SBC) ĐS:(BM N)∩(S AB)=BMvà (BM N)∩(SBC)=BN

1

TìmI=SO∩(BM N)vàK=SD∩(BM N) ĐS:SO∩M N=IvàSD∩BI=K 2

TìmE=AD∩(BM N)vàF=CD∩(BM N) ĐS:MK∩AD=EvàN K∩CD=F 3

Chứng minh ba điểmB,E,F thẳng hàng ĐS:B,E,F điểm chung của(ABCD)và(M N P) 4

Lời giải.

Ta có(BM N)∩(S AB)=BMvà (BM N)∩(SBC)=BN

1

Trong(S AC), gọiSO∩M N=I ⇒I=SO∩(BM N)

Trong(SBD), gọiSD∩BI=K ⇒K=SD∩(BM N)

2

Trong(S AD), gọiMK∩AD=E ⇒E=AD∩(BM N)

Trong(SCD), gọiN K∩CD=F ⇒F=CD∩(BM N)

3

Xét hai mặt phẳng(ABCD)và(BM N)có +

(

B∈(ABCD)

B∈(BM N) ⇒B∈(ABCD)∩(BM N) (1) +

(

E∈AD⊂(ABCD) E∈(BM N)

⇒E∈(ABCD)∩(BM N) (2) +

(

F∈CD⊂(ABCD) F∈(BM N)

⇒F∈(ABCD)∩(BM N) (3) Từ(1),(2),(3)suy raB,E,F thẳng hàng

4

S

A M

I

E

C B

O

F

D N

K

BÀI Cho hình chópS.ABCD GọiIvàJ hai điểm hai cạnhAD,SB Tìm giao tuyến của(SBI)và(S AC) Tìm giao điểmK củaI J và(S AC) 1

Tìm giao tuyến của(SBD)và(S AC) Tìm giao điểmLcủaD Jvà(S AC) 2

GọiO=AD∩BC,M=O J∩SC Chứng minh rằngA,K,L,Mthẳng hàng ĐS: A,K,L,Mlà điểm chung (S AC)và(AO J)

3

Lời giải.

Ta cóS∈(SBI)∩(S AC)

Trong(ABCD), gọiBI∩AC=E ⇒E∈(SBI)∩(S AC)

Suy ra(SBI)∩(S AC)=SE Trong(SBI), gọiI J∩SE=K ⇒K=I J∩(S AC)

1

Ta cóS∈(SBD)∩(S AC) Trong(ABCD), gọiAC∩BD=F ⇒F∈(SBD)∩(S AC)

Suy ra(SBD)∩(S AC)=SF Trong(SBD), gọiD J∩SF=L ⇒L=D J∩(S AC)

2

Xét(S AC)và(AO J)có

+A∈(S AC)∩(AO J) (1) +

(

K∈SE⊂(S AC) K∈I J⊂(AO J)

⇒K∈(S AC)∩(AO J) (2) +

(

L∈SF⊂(S AC) L∈JD⊂(AO J)

⇒L∈(S AC)∩(AO J) (3) +

(

M∈SC⊂(S AC) M∈O J⊂(AO J)

⇒M∈(S AC)∩(AO J) (4) Từ (1),(2), (3), (4)suy A, K, L, M thẳng hàng

3

S

A

B J

K

D

C I

F E

O L

M

ä BÀI Cho tứ diện ABCD Trên cạnh AB, AC,BD lấy ba điểmE,F,Gsao choAB=3AE, AC=2AF, DB=4DG

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(EFG)và(BCD) 1

Tìm giao điểmHcủa đường thẳngCDvới(EFG) Tính tỉ số HC

HD ĐS:

HC HD =

3 2

Tìm giao điểmIcủa đường thẳngADvới(EFG) Tính tỉ số I A

I D ĐS:

I A I D=

3 3

Chứng minh ba điểmF,H,Ithẳng hàng 4

GọiJlà trung điểm củaBC, A JcắtEFtạiK Tính tỉ số AK

A J ĐS:

AK A J =

2 5

Trong(ABC), gọiEF∩BC=M⇒(EFG)∩(BCD)=MG 1

Trong(BCD), gọiMG∩CD=H⇒H=CD∩(EFG) Áp dụng định lí Menenalus với tam giác sau Tam giácABCcóE,F,Mthẳng hàng

⇒MCMB·EBE A·F AFC=1⇔MC

MB·2·1=1⇔ MC MB=

1 Tam giácBCDcóM,H,Gthẳng hàng

⇒HCHD·GDGB·MBMC=1⇔HC HD·

1

3·2=1⇔ HC HD =

3 2

Trong(ABD), goijAD∩EG=I⇒I=AD∩(EFG) Tam giacsABDcosE,G,Ithẳng hàng

⇒I A I D·

GD GB·

EB E A =1⇔

I A I D·

1

3·2=1⇔ I A I D=

3 3

Xét hai mặt phẳng(ACD)và(EFG)có +

(

F∈AC⊂(ACD)

F∈(EFG) ⇒F∈(ACD)∩(EFG) (1) +

(

H∈CD⊂(ACD)

H∈(EFG) ⇒H∈(ACD)∩(EFG) (2) +

(

I∈AD⊂(ACD)

I∈(EFG) ⇒I∈(ACD)∩(EFG) (3) Từ(1),(2),(3)suy raF,H, Ithẳng hàng

4

Tam giácA JCcóK,F,Mthẳng hàng K A

K J· M J MC·

FC F A=1⇔

K A K J·

3

2·1=1⇔ K A K J =

2 ⇒AK

A J = 5 A G B E F K C J I M D H ä 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Cho hình chópS.ABCDcóADkhơng song song vớiBC LấyMthuộcSBvàOlà giao điểmACvớiBD Tìm giao điểmN củaSCvới(AMD)

1

GọiI=AN∩D M Chứng minhS,I,Othẳng hàng 2

Lời giải.

Trong(ABCD), gọiAD∩BC=E Trong(SBC), gọiSC∩ME=N ⇒N=SC∩(AMD)

1

Xét(S AC)và(SBD)có +S∈(S AC)∩(SBD) +

(

I∈AN⊂(S AC) I∈D M⊂(SBD) ⇒I∈(S AC)∩(SBD) +

(

O∈AC⊂(S AC) O∈BD⊂(SBD) ⇒O∈(S AC)∩(SBD) Suy raS,I,Othẳng hàng 2 S A B M D C O E N I ä BÀI Cho hình chópS.ABCD GọiE,F,Hlần lượt điểm thuộc cạnhS A,SB,SC

GọiO=AC∩BDvàI=EH∩F K Chứng minhS,I,Othẳng hàng 2

GọiM=AD∩BCvàN=EK∩F H Chứng minhS,M,N thẳng hàng 3

GọiP=AB∩CDvàQ=EF∩HK Chứng minhS,P,Qthẳng hàng 4

Lời giải.

Trong(S AC), gọiI=EH∩SO Trong(SBD), gọiF I∩SD=K ⇒K=SD∩(EF H)

1

Hiển nhiênS,I,Othẳng hàng 2

Chứng minhS,M,Nlà điểm chung của(S AD) và(SBC)

3

Chứng minhS,P,Qlà điểm chung của(S AB) và(SCD)

4

S

K

A

B E

F

I

D

C O

P

H

M N

Q

ä BÀI Cho tứ diệnABCD GọiM,N,P điểm thuộc cạnhAB,AC,BDvàM N∩BC=I,MP∩AD=J, N J∩I P=K Chứng minhC,D,K thẳng hàng

Lời giải.

Chứng minhC,D,K điểm chung hai mặt phẳng(ACD) và(BCD)

A

B

C M

N

P

I J

K

D

ä BÀI 10 Cho tứ giác ABCDcó cạnh đối đôi không song song điểmS∉(ABCD) Lấy điểm I thuộc cạnh AD, lấy điểmJthuộc cạnhSB

TìmK=I J∩(S AC) 1

TìmL=D J∩(S AC) 2

GọiO=AD∩BC,M=O J∩SC Chứng minh rằngK,L,Mthẳng hàng 3

GọiAC∩BI=E;I J∩SE=K ⇒K=I J∩(S AC)

1

GọiAC∩BD=F;D J∩SF=L ⇒L=D J∩(S AC)

2

Chứng minhK,L,Mlà điểm chung của(S AC) và(AO J)

3

S

A

B J

E K

D

C I

F

O M

L

ä BÀI 11 Cho hình chópS.ABCD GọiM,Nlà2điểm nằm trên2cạnhBCvàSD

Tìm giao điểmIcủaBN và(S AC) 1

Tìm giao điểmJ củaM Nvà(S AC) 2

Chứng minhI, J,Cthẳng hàng 3

Xác định thiết diện mặt phẳng(BCN)với hình chóp 4

Lời giải.

GọiAC∩BD=O;BN∩SO=I ⇒I=BN∩(S AC)

1

GọiAC∩MD=E;M N∩SE=J ⇒J=M N∩(S AC)

2

Chứng minhI, J,Clà điểm chung của(S AC)và(BCN) 3

GọiC I∩S A=P

Thiết diện mặt phẳng(BCN)với hình chóp tứ giácBCN P 4

S

A

B

I P

J

D

C M

E O

N

ä BÀI 12 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,N trung điểm củaS A, SC Gọi(P)là mặt phẳng quaM,N vàB

Tìm giao tuyến của(P)với mặt phẳng(S AB),(SBC),(S AD),(SDC) 1

TìmI=SO∩(P),K=SD∩(P),E=D A∩(P),F=DC∩(P) 2

Chứng minh ba điểmE,B,F thẳng hàng ĐS:E,B,Flà điểm chung của(P)và(ABCD) 3

Ta có(P)∩(S AB)=BM;(P)∩(SBC)=BN; (P)∩(S AD)=MK;(P)∩(SCD)=N K 1

I=SO∩M N;K=BI∩SD;E=D A∩MK;F=DC∩ N K

2

Chứng minh E, B, F điểm chung (P) (ABCD)

3

S

K

A M

I

E

C B

O

F

D N

ä BÀI 13 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD tứ giác có cặp cạnh đối không song song Gọi M,E trung điểmS A, ACvàF∈CDsao choCD=3CF

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SCD) 1

Tìm giao điểmNcủaSDvà(MEF) Tính tỉ số N S

N D ĐS:

N S N D =

1 2

GọiH=SE∩CM vàK=MF∩N E Chứng minhD,H,K thẳng hàng 3

Tính tỉ số sau H M HC;

HS HE;

K M K F;

K N K E;

K H

K D ĐS:

H M HC =

1 2;

HS HE=2; K M

K F = 2;

K N K E =1;

K H K D=

1 4

Lời giải.

GọiAB∩CD=I ⇒(S AB)∩(SCD)=S I 1

GọiAD∩EF=J, SD∩J M=N ⇒N=SD∩(MEF)

N S N D =

1 2

Chứng minhD,H,K điểm chung của(MCD)và(SED) 3

Ta có H M

HC = 2;

HS HE=2; K M

K F = 2;

K N K E =1; K H

K D = 4

S

A

K

B J

H

D

C E

I

F N

M

ä

{DẠNG 1.5 Chứng minh ba đường thẳng đồng quy

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD LấyM,N,P cạnh AB, AC,BD choM N cắtBCtại I, MP cắtADtạiJ Chứng minhP I,N J,CDđồng quy

Lời giải.

Trong(BCD) :GọiK=P I∩CD ⇒

(

K∈P I,P I⊂(M I J) K∈CD,CD⊂(ACD) ⇒ K∈(M I J)∩(ACD) ⇒ K∈N J

VậyP I,N J,CDđồng quy tạiK

A

P

C I B

M

N

D

J K

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho hình chóp S.ABCDcóABkhơng song songCD GọiM trung điểmSCvàOlà giao điểm ACvà BD

1 Tìm giao điểmN củaSDvà(M AB)

2 Chứng minh ba đường thẳngSO, AM,BNđồng quy

Lời giải.

1 Trong(S AC): GọiK=AM∩SO

Trong(SBD) :GọiN=BK∩SD ⇒

(

N∈BK,BK⊂(M AB) N∈SD

⇒ N=SD∩(M AB) 2 Ta cóK=AM∩SO⇒SO, AMđi quaK

MàN=BK∩SD⇒BN quaK

Vậy ba đường thẳngSO,AM,BN đồng quy tạiK

S

O B

C K

A D

M N

ä BÀI Cho hình chópS.ABCD Trên cạnhSClấy điểmEkhơng trùng vớiSvàC

1 Tìm giao điểmFcủa đường thẳngSDvà(ABE)

2 Giả sửABkhơng song songCD Chứng minh ba đường thẳngAB,CD,EF đồng quy

1 Trong(ABCD): GọiI=AC∩BD Trong(S AC): GọiJ=AE∩S I Trong(SBD) :GọiF=BJ∩SD ⇒

(

F∈BJ,BJ⊂(ABE) F∈SD

⇒ F=SD∩(ABE) 2 Ta có

(

E∈(ABE)∩(SCD)

F∈(ABE)∩(SCD)⇒(ABE)∩(SCD)=EF

Trong(ABCD) :GọiK=AB∩CD ⇒

(

K∈AB,AB⊂(ABE) K∈CD,CD⊂(SCD) ⇒ K∈(ABE)∩(SCD) ⇒ K∈EF

VậyAB,CD,EFđồng quy tạiK

S

I

K A

B J

C

D E

F

ä BÀI Cho hình chóp S.ABCD có đáyABCD tứ giác lồi Lấy điểmMtrên cạnhSC GọiN giao điểm củaSB và(AD M) GọiOlà giao điểm ACvàBD Chứng minhSO,AM,D N đồng quy

Lời giải.

Ta cóS∈(S AB)∩(SCD) (1)

Trong(ABCD) :GọiI=AB∩CD ⇒

(

I∈AB,AB⊂(S AB) I∈CD,CD⊂(SCD)

⇒I∈(S AB)∩(SCD) (2)

Từ(1)và(2)⇒(S AB)∩(SCD)=S I Trong(S I D): GọiJ=D M∩S I Trong(S A I) :GọiN=A J∩SB ⇒

(

N∈A J,A J⊂(AD M) N∈SB

⇒ N=SB∩(AD M)

Ta có:

(

S∈(S AC)∩(SBD)

O∈(S AC)∩(SBD)⇒(S AC)∩(SBD)=SO

Trong(A JD) :GọiK=AM∩D N ⇒

(

K∈AM,AM⊂(S AC) K∈D N,D N⊂(SBD) ⇒ K∈(S AC)∩(SBD) ⇒ K∈SO

VậySO, AM,D N đồng quy tạiK

S

O J

M

I K

A

B N

C

D

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó AB∩CD=EvàAD∩BC=K GọiM,N,Plần lượt trung điểm củaS A,SB,SC

1 Tìm giao tuyến của(S AC)và(SBD)

2 Tìm giao tuyến của(M N P)và(SBD)

3 Tìm giao điểmQcủaSDvà(M N P)

4 GọiH=M N∩PQ Chứng minhS,H,Ethẳng hàng

5 Chứng minhSK,Q M,N Pđồng quy

1 Ta cóS∈(S AC)∩(SBD) (1)

Trong(ABCD) :I=AC∩BD ⇒

(

I∈AC,AC⊂(S AC) I∈BD,BD⊂(SBD) ⇒I∈(S AC)∩(SBD) (2)

Từ(1)và(2)⇒(S AB)∩(SCD)=S I

2 Ta cóN∈(M N P)∩(SBD) (3)

Trong(S AC) :GọiJ=MP∩S I ⇒

(

J∈MP,MP⊂(M N P) J∈S I,S I⊂(SBD) ⇒J∈(M N P)∩(SBD) (4)

Từ(3)và(4)⇒(M N P)∩(SBD)=N J

3

Trong(SBD) :GọiQ=N J∩SD ⇒

(

Q∈N J,N J⊂(M N P) Q∈SD

⇒ Q=SD∩(M N P) 4

Trong(M N PQ) :H=M N∩PQ ⇒

(

H∈M N,M N⊂(S AB) H∈PQ,PQ⊂(SCD) ⇒ H∈(S AB)∩(SCD) ⇒ H∈SE

Suy raS,H,Ethẳng hàng

5 Ta cóS∈(S AD)∩(SBC) (5)

Trong(ABCD) :K=AD∩BC ⇒

(

K∈AD,AD⊂(S AD) K∈BC,BC⊂(SBC) ⇒K∈(S AD)∩(SBC) (6)

Từ(5)và(6)⇒(S AD)∩(SBC)=SK Trong(M N PQ) :GọiF=Q M∩P N ⇒

(

F∈Q M,Q M⊂(S AD) F∈P N,P N⊂(SBC) ⇒ F∈(S AD)∩(SBC) ⇒ F∈SK

Suy raSK,Q M,N Pđồng quy tạiF

S

A

M

I J

E C B

N F

K D

Q

H P

ä 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Cho tứ diệnS.ABCvới Ilà trung điểm củaS A,J trung điểm củaBC GọiM điểm di động trênI Jvà N điểm di động trênSC

1 Xác định giao điểmPcủaMCvà(S AB) 2 Tìm giao tuyến của(SMP)và(ABC) 3 Tìm giao điểmEcủaM Nvà(ABC)

BÀI Cho tứ diện ABCD Gọi I,K trung điểm AB,CD Gọi J điểm đoạn ADsao cho AD=3JD

1 Tìm giao điểmF củaI Jvà(BCD)

2 Tìm giao điểmEcủa(I JK)và đường thẳngBC Tính tỉ số EB

EC ĐS:

EB EC=2 3 Chứng minh ba đường thẳng AC,K J,I Eđồng quy điểmH Tính tỉ số HC

H A ĐS:

HC H A=2 4 Chứng minhE J∥HFvà đường thẳngI K qua trung điểm đoạnHF

5 GọiOlà trung điểmI K vàGlà trọng tâm tam giácBCD Chứng minh ba điểm A,O,Gthẳng hàng Tính tỉ số O A

OG ĐS:

CHƯƠNG 8 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG

TRONG KHÔNG GIAN. QUAN HỆ

SONG SONG

BÀI 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG.

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệt Cho hai đường thẳng phân biệta,b

a

b

I a

b

a

b

Định nghĩa

•Hai đường thẳng gọi đồng phẳng chúng nằm mặt phẳng •Hai đường thẳng gọi chéo chúng không đồng phẳng

•Hai đường thẳng gọi song song chúng đồng phẳng khơng có điểm chung 2 Tính chất hai đường thẳng song song

Định lí Trong không gian, qua điểm không nằm đường thẳng cho trước, có một đường thẳng song song với đường thẳng cho.

Định lí (Định lí giao tuyến ba mặt phẳng) Nếu ba mặt phẳng phân biệt đôi cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt ba giao tuyến đồng quy đôi song song với nhau.

α

β

γ

a

b c

α

β

γ

a

b c

Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng trùng với hai đường thẳng

α

β

d d00

d0

α

β

d

d00

d0

α

β

d d0

d00

α

β

γ

a

b c

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 1.1 Chứng minh hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

Cách1 Chứng minh hai đường thẳng a, bđồng phẳng, dùng định lí hình học phẳng, chẳng hạn định lí đường trung bình, định lí đảo Thales, để chứng minha∥b

Cách2 Chứng minh hai đường thẳng song song với đường thẳng thứ ba Chẳng hạn, chứng minh

(

c∥a

c∥b⇒a∥b

Cách3 Áp dụng định lí giao tuyến ba mặt phẳng hệ Chẳng hạn, chứng minh

  

 

b∥c

b⊂(α), c⊂(β) (α)∩(β)=a

⇒



 

a∥b∥c a≡b a≡c

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD có I, J trọng tâm tam giác ABC ABD Chứng minh I J∥CD

Lời giải.

GọiElà trung điểmAB Ta có

(

I∈CE

J∈DE⇒I JvàCDđồng phẳng VìI,Jlần lượt trọng tâm tam giácABCvà ABDnên

E I EC=

E J ED=

1 Theo định lí đảo Thales suy raI J∥CD(đpcm)

A

J

D I

B E

C ä VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, P, Q, R, S trung điểm AB, CD, BC, AD, AC, BD Chứng minhMP NQlà hình bình hành Từ suy ba đoạn thẳngM N,PQ,RScắt trung điểmG đoạn

VìMP đường trung bình của4ABCnên

 



MP∥AC MP=1

2AC (1)

VìNQlà đường trung bình của4ACDnên

 



NQ∥AC NQ=1

2AC (2)

Từ(1)và(2)suy

(

MP∥NQ MP=NQ

Do đó,MP NQlà hình bình hành Suy raM N,PQ cắt trung điểm Gcủa đoạn

Chứng minh tương tự ta P SQR hình bình hành nên PQ, RS cắt trung điểmGcủa đoạn

VậyM N,PQ,RScắt trung điểmGcủa đoạn

A

G

D B

R

C

S N P

Q M

ä Nhận xét. ĐiểmGnói gọi trọng tâm tứ diện.

Trọng tâm tứ diện điểm đồng qui đoạn nối trung điểm cạnh đối, trung điểm của các cạnh này.

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO GọiM, N trung điểm củaS A, SD Chứng minh

M N∥ADvàM N∥BC;

1 2 MO∥SCvàNO∥SB

Lời giải.

1 Xét tam giácS AD có

Mlà trung điểm củaS A(giả thiết); Nlà trung điểm củaSD(giả thiết)

Suy M N đường trung bình của4S AD Do M N∥AD

Ta có

(

M N∥AD(chứng minh trên)

BC∥AD(ABCDlà hình bình hành)⇒M N∥ BC

2 Xét tam giácASCcó

S

O A

D N

M

B

C

Mlà trung điểm củaS A(giả thiết);

Olà trung điểm củaAC(Olà tâm hình bình hành ABCD)

Suy raOMlà đường trung bình của4S AC Do đóMO∥SC

Tương tự,NOlà đường trung bình của4SDBnênNO∥SB ä

BÀI Cho hình chópS.ABCD có đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Gọi M,N trung điểm củaAB, AD GọiI,J,Glần lượt trọng tâm tam giácS AB,S ADvàAOD Chứng minh

I J∥M N;

1 2 I J∥BDvàG J∥SO

1 Xét tam giácSM N có

S I=2

3SM(Ilà trọng tâm của4S AB); S J=2

3SN(Jlà trọng tâm của4S AD) suy raI J∥M N(định lý Ta-lét đảo)

2 VìM Nlà đường trung bình của4ABDnênM N∥BD MàI J∥M N(chứng minh trên) nênI J∥BD

Xét tam giácSONcó NG=1

3NO(Glà trọng tâm của4AOD); N J=1

3SN(J trọng tâm của4S AD) suy raG J∥SO(định lý Ta-lét đảo)

S

N B

A M

I

J

C

G

D O

ä 3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmOvàIlà điểm cạnhSO Tìm giao điểmEvàFcủa mặt phẳng(ICD)lần lượt với đườngS A,SB Chứng minhEF∥AB; 1

GọiK giao điểm củaDEvàCF Chứng minhSK∥BC 2

Lời giải.

1 Vì I∈SOmà SO⊂(SBD)nên I∈(SBD) Do F=D I∩SBvàE=C I∩S A

Ta có

(CD I)∩(ABCD)=CD; (S AB)∩(ABCD)=AB; (CD I)∩(S AB)=EF

Mà AB∥CD (ABCD hình bình hành) nên EF∥AB∥CD(tính chất giao tuyến ba mặt phẳng)

S

E

O B

K

F

C

D I

A 2 Cách 1.Ta có

(

K∈ED⊂(S AD)

K∈F E⊂(SBC) ⇒K điểm chung thứ hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)

(

S∈(S AD)

S∈(SBC) ⇒Slà điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(S AD)và(SBC) Suy raSK giao tuyến hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)

Ta có

     

    

(S AD)∩(ABCD)=AD (SBC)∩(ABCD)=BC (S AD)∩(SBC)=SK AD∥BC

⇒SK∥BC∥AD

VậySK∥BC

Cách 2.Trong4SCDcóEF∥CDnên theo định lý Ta-lét ta có K F

K C= EF

CD (1)

Tương tự, trong4S ABcóEF∥ABnên SF SB=

EF AB=

EF

Từ (1) (2) suy

K F K C=

SF SB⇔

K F FC=

SF FB Xét4F SK và4FBCcó

K F FC=

SF

FB (chứng minh trên);

ƒ

SF K=BFC (đối đỉnh)

Do đó4F SKv4FBC(cạnh - góc - cạnh) suy raSK∥BC

ä BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình thang đáy lớnAB GọiE,F trung điểm củaS Avà SB

Chứng minhEF∥CD

1 2 TìmI=AF∩(SCD) 3 Chứng minhS I∥AB∥CD

Lời giải.

S

F

A B

C D

E

I

1 Ta cóEFlà đường trung bình tam giácS ABnênEF∥AB màAB∥CD(hai đáy hình thang)

nênEF∥CD

2 Hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)cóAB∥CDnên giao tuyến đường thẳngSx∥AB∥CD Kéo dài AFcắtSxtạiI

Ta thấyIlà điểm chung củaAFvà(SCD) 3 Theo ý 2

ä

{DẠNG 1.2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song.

Phương pháp giải:

  

 

A∈(α)∩(β) a⊂(α), b⊂(β) a∥b

⇒(α)∩(β)=AxvớiAx∥a∥b

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành ĐiểmM thuộc cạnhS A ĐiểmE,F trung điểm củaABvàBC

Tìm(S AB)∩(SCD)

1 2 Tìm(MBC)∩(S AD)

Tìm(MEF)∩(S AC)

3 4 Tìm AD∩(MEF)

TìmSD∩(MEF)

Lời giải.

1

  

 

S∈(S AB)∩(SCD) AB⊂(S AB),CD⊂(SCD) AB∥CD

⇒(S AB)∩(SCD)=SxvớiSx∥AB∥CD

2

  

 

M∈(MBC)∩(S AD) BC⊂(MBC), AD⊂(S AD) BC∥AD

⇒(MBC)∩(S AD)=M yvớiM y∥BC∥AD

3

  

 

M∈(MEF)∩(S AC) EF⊂(MEF), AC⊂(S AC) EF∥AC

⇒(MEF)∩(S AC)=M zvớiM z∥EF∥AC 4 Trong(ABCD), gọiI=EF∩AD

MàEF⊂(MEF)nênAD∩(MEF)=I 5 Trong(S AD), gọiN=SD∩I M

MàI M⊂(MEF)nênSD∩(MEF)=N

6 Thiết diện hình chóp cắt (MEF) ngũ giác M N K F E

S

x

y

D K

I A

M

N

z

B F C

E

ä VÍ DỤ Cho hình chópS.ABCD Mặt đáy hình thang có cạnh đáy lớn AD,ABcắtCDtại điểmK GọiM điểm nằm cạnhSD

1 Tìmd=(S AD)∩(SBC)vàN=K M∩(SBC) 2 Chứng minh rằngAM,BN vàd đồng qui

Lời giải.

1 •

  

 

S∈(S AD)∩(SBC) AD⊂(S AD),BC⊂(SBC) AD∥BC

⇒(S AD)∩(SBC)=dvớiS∈d, d∥AD∥BC •Trong(SCD), gọiN=K M∩SC

MàSC⊂(SBC)nênN=K M∩(SBC)

2

  

 

(SBC)∩(S AD)=d (SBC)∩(M AB)=BN (M AB)∩(S AD)=AM

Theo định lí giao tuyến của3mặt phẳng, suy raAM,BN vàdhoặc đồng qui đôi song song

MàAM,dcắt nênAM,BN vàd phải đồng qui

S E d

M

D N

A

K

C B

ä

2 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM,N trung điểm củaS A,SB Gọi Plà điểm cạnhBC Tìm giao tuyến

(SBC)và(S AD);

1 2 (S AB)và(SCD); 3 (M N P)và(ABCD)

1 Ta có

(SBC)∩(ABCD)=BC; (S AD)∩(ABCD)=AD;

AD∥BC(ABCDlà hình bình hành)

Mà Slà điểm chung mặt phẳng(SBC)và(S AD) nên giao tuyến mặt phẳng (SBC) (S AD) đường thẳngSx∥BC∥AD

x

S

O y

Q M

B P

N

C

D A

2 Giao tuyến hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)là đường thẳngS y∥AB∥CD

3 Vì M N∥AB(M Nlà đường trung bình của4S AB) nên quaP kẻPQ∥AB(Q∈AD) Khi giao tuyến hai mặt phẳng(M N P)và(ABCD)là đường thẳngPQ

ä BÀI Cho tứ diệnS ABC GọiEvàF trung điểm cạnhSBvà AB,Glà điểm cạnh AC Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau

(S AC)và(EFC);

1 2 (S AC)và(EFG)

Lời giải.

1 Ta có

(S AC)∩(S AB)=S A; (EFC)∩(S AB)=EF;

S A∥EF(EFlà đường trung bình của4S AB)

Do giao tuyến mặt phẳng(S AC)và(EFC)sẽ song song vớiS AvàEF

MàC điểm chung mặt phẳng(S AC)và(EFC)nên giao tuyến chúng đường thẳngCx∥S A∥EF

2 VìEF∥S A(EF đường trung bình của4S AB) nên quaG kẻGH∥S A(H∈SC) Khi giao tuyến hai mặt phẳng (S AC)và(EFG)là đường thẳngGH

S

B

A C

x H

E

F G

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcóOlà tâm hình bình hànhABCD, điểmMthuộc cạnhS Asao choSM=2M A, N trung điểm củaAD

1 Tìm giao tuyến mặt phẳng(S AD)và(MBC)

2 Tìm giao điểmIcủaSBvà(CM N), giao điểmJcủaS Avà(ICD)

3 Chứng minh ba đường thẳngI D,JC,SOđồng quy tạiE Tính tỉ số SE SO

S F

N

t

J

M

E

A I

B C

O

D P

1 Vì

  

 

M∈(MBC)∩(S AD)

BC⊂(MBC)và AD⊂(S AD) BC∥AD

nên(S AD)∩(MBC)=MP∥BC∥AD(vớiP∈SD)

2 Vì

  

 

S∈(S AD)∩(SBC)

AD⊂(S AD)vàBC⊂(SBC) AD∥BC

nên(S AD)∩(SBC)=St∥AD∥BC GọiF=M N∩St;I=CF∩SB Vì

(

I∈SB

I∈CF⊂(CM N) nênI=SB∩(CM N)

QuaIkẻ đường thẳng song song vớiABcắtS AtạiJ Vì

(

J∈S A

J∈J I⊂(ICD)(vìI J∥CD⇒(I JCD)≡(ICD)) nênJ=S A∩(ICD) 3 Xét3mặt phẳng(S AC),(SBD)và(CD J I), ta có

  

 

SO=(S AC)∩(SBD) I D=(SBD)∩(CD J I) JC=(S AC)∩(CD J I) Do ba đường thẳngI D, JC,SOđồng quy Gọi điểm đồng quy làE Trong mặt phẳng(SF AD), áp dụng định lý Thales (để ý rằngAN∥SF) ta có

M A MS =

AN SF =

1 Suy raSF=AD=BCvàSFBClà hình bình hành

I=SB∩CFnênIlà trung điểm củaSB

4SBDcóD I vàSOlà trung tuyến nênElà trọng tâm của4SBD Vậy SE

SO=

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình thang với ADlà đáy lớn AD=2BC GọiM, N, P thuộc đoạnS A,AD,BCsao choM A=2MS,N A=2N D,PC=2PB

1 Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:(S AD)và(SBC),(S AC)và(SBD)

2 Xác định giao điểmQcủaSBvới(M N P)

3 GọiK trung điểm củaSD Chứng minhCK=(MQK)∩(SCD)

S

N K

t F≡F0

A

C P

E

D Q

K0

B M

O

1 Vì

  

 

S∈(S AD)∩(SBC)

AD⊂(S AD)vàBC⊂(SBC) AD∥BC

nên(S AD)∩(SBC)=St∥AD∥BC GọiO=AC∩BD⇒

(

O∈AC⊂(S AC)

O∈BD⊂(SBD) suy raSO=(S AC)∩(SBD)

2 GọiE=N P∩ABvàQ=EM∩SB Vì

(

Q∈SB

Q∈ME⊂(M N P) nênQ=SB∩(M N P)

3 GọiF=MK∩StvàF0=QC∩St Dựa vào vị trí điểmQ,C,M vàK giả thiết cho, dễ thấyF vàF0 nằm phía so với mặt phẳng(S AB)

Trong mặt phẳng(SF0BC), áp dụng định lý Thales (để ý rằngSF0∥BC) ta có QS

QB= BC SF0 =

1

2 (1)

GọiK0là trung điểm củaS A suy ra MK0 MS =

1

Trong mặt phẳng(SF AD), áp dụng định lý Thales (để ý rằngSF∥K K0) ta có MK0

MS = K K0

SF =

2 (2)

Từ (1), (2) vàAD=2BCsuy raSF=SF0 Do đóF≡F0, suy bốn điểmQ,C,MvàK đồng phẳng VậyCK=(MQK)∩(SCD)

ä

3 BÀI TẬP RÈN LUYỆN

BÀI Cho tứ diệnABCD GọiG,J trọng tâm tam giácBCDvàACD Chứng minhG J∥AB

1 2 Tìm(ABD)∩(G JD)

A

C

M G

B D

x

J

1 GọiMlà trung điểmCD Xét tam giácABMcó MG

MB= M J M A=

1 Suy raG J∥AB

2 Hai mặt phẳng(ABD)và(G JD)có điểmDchung vàG J∥ABnên giao tuyến đường thẳngD x∥G J∥AB

ä BÀI Cho tứ diệnABCD GọiI,J trọng tâm4ABC,4ABDvàE,Flần lượt trung điểmBC, AC

Chứng minhI J∥CD

1 2 Tìm(DEF)∩(ABD)

Lời giải.

A

C B

I

D J

x

E

M F

1 GọiMlà trung điểmBD Tam giácAEMcó A I

AE= A J AM=

1

3nênI J∥ME MàME∥CD(đường trung bình)

Suy raI J∥CD

2 Hai mặt phẳng(DEF)và(ABD)có điểm chungDvàEF∥ABnên giao tuyến đường thẳngD x∥AB∥EF

ä BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiMlà trung điểm củaSCvàNlà trọng tâm tam giácABC

TìmI=SD∩(AM N)

1 2 Chứng minhN I∥SB 3 Tìm(AM N)∩(S AD)

S

B C

N O

D M

I

A E

1 GọiOlà giao điểmACvàBD,Elà giao điểmSOvà AM Khi đóN EvàSDcắt tạiI

Ta thấyI∈SDvàI∈N E⊂(AM N)nênI=SD∩(AM N) 2 Tam giácSOBcó OE

OS= ON

OB =

3 nênN E∥SB Suy raN I∥SB

3 Hai mặt phẳng(AM N)và(S AD)có hai điểm chungA,Inên(AM N)∩(S AD)=A I

ä BÀI Cho hình chópS ABCDcó đáy ABCDlà hình thang (AB∥CD) vớiCD=2AB GọiOlà giao điểm ACvà BD,K trung điểmSC,Glà trọng tâm tam giácSCD

Chứng minhOG∥BK

1 2 Tìm(ACG)∩(SBC)

Lời giải.

O S

G

C

B A

K

D

x

1 Ta có4OCDv4O ABdoCODƒ=ƒAOBvàODCƒ=ƒOB A

Suy OD OB =

OC O A =

CD AB=2 Suy raOD=2

3DB Tam giácDBKcó DG

DK = DO DB=

2

3 nênOG∥BK

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)

2 Tìm giao điểmM đường thẳng AE mặt phẳng(SBD) Chứng minh M trung điểm đoạn thẳng SO

Lời giải.

1 Vì

  

 

S∈(S AB)∩(SCD)

AB⊂(S AB)vàCD⊂(SCD) AB∥CD

nên(S AB)∩(SCD)=St∥AB∥CD 2 GọiM=AE∩SO

Vì

(

M∈AE

M∈SO∩(SBD) nênM=AE∩(SBD) GọiIlà trung điểmSC, suy E I

ES=

GọiF=OI∩AE Trong mặt phẳng(S AC), áp dụng định lý Thales (để ý rằngOI∥S A)

F I S A=

E I ES=

1

S

t

F

A

B C

O

D M

E

I

Suy raF I=OI=S A

2 , từ dẫn đếnSFO Alà hình bình hành VậyMlà trung điểm củaSO

ä BÀI 10 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành, gọiM, N,P trung điểm củaSD,CD, BC

1 Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:(S AC)và(SBC),(AM N)và(SBC)

2 Tìm giao điểmIcủa(P M N)và AC,K của(P M N)vàS A

3 GọiF trung điểm củaP M, chứng minh ba điểmK,F,Ithẳng hàng

Lời giải.

S

A

M

t

B P C E

I

N D K

F

1 Dễ thấySC=(S AC)∩(SBC) GọiE=BC∩AN

Ta có

  

 

E∈(SBC)∩(AM N)

SC⊂(SBC)vàM N⊂(AM N) SC∥M N

2 GọiI=AC∩P N⇒

(

I∈AC

I∈P N⊂(P M N)⇒I=AC∩(P M N)

GọiK giao điểm củaS Avới đường thẳng quaIvà song song vớiSC Vì

(

K∈S A

K∈I K⊂(P M N)(vìM N∥SC)nênK=S A∩(P M N)

3 Theo cách dựng ta cóI K∥M N (1)

ABCDlà hình bình hành nênACvàBDcắt trung điểm đường MàP Nlà đường trung bình 4CBDnênACcũng cắtP N tạiIlà trung điểm củaP N

Suy raI Flà đường trung bình của4P M N⇒I F∥M N (2)

(1) (2) suy raK,F,Ithẳng hàng

ä

BÀI 2. ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG

A TĨM TẮT LÝ THUYẾT

1 Vị trí tương đối hai đường thẳng phân biệtCho đường thẳng dvà mặt phẳng(P) Có ba trường hợp xảy ra:

Đường thẳngdvà(P)có2điểm chung phân biệt⇒d⊂(P) Đường thẳngdvà(P)có1điểm chung nhất⇒d∩(P)=A Đường thẳngdvà(P)khơng có điểm chung nào⇒d∥(P)

Định nghĩa Đường thẳngdvà mặt phẳng(P)gọi song song với chúng khơng có điểm chung Các định lý

Định lí Nếu đường thẳng d khơng nằm mặt phẳng(α)và d song song với đường thẳng d0 nằm trong(α)thìdsong song với(α)

Định lí Cho đường thẳngasong song với mặt phẳng(α) Nếu mặt phẳng(β)chứaavà cắt(α)theo giao tuyếnbthìbsong song với(α)

Hệ Nếu hai mặt phẳng phân biệt cắt song song với đương thẳng giao tuyến chúng (nếu có) song song với đường thẳng

Định lí Cho hai đường thẳng chéo Có mặt phẳng chứa đường thẳng song song với đường thẳng kia.

B DẠNG TOÁN VÀ BÀI TẬP

{DẠNG 2.1 Chứng minh dường thẳng a song song với mặt phẳng (P)

Phương pháp: Chứng minh

  

 

a∥b b⊂(P) a∉(P)

⇒a∥(P)

1 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho tứ diệnABCD Gọi MvàNlần lượt trọng tâm tam giác ACDvàBCD Chứng minh rằngM Nsong song với mặt phẳng(ABC)và(ABD)

GọiP,Qlần lượt trung điểm củaBCvàCD Khi đó, ta có Q M

M A= Q N NB=

1

3⇒M N∥AB Vì     

M N6⊂(ABC) AB⊂(ABC) M N∥AB

nênM N∥(ABC)

Tương tự, ta có

  

 

M N6⊂(ABD) AB⊂(ABD) M N∥AB

nênM N∥(ABD)

A B P N D M C Q ä VÍ DỤ Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành GọiM,N trung điểm cạnhABvàCD

Chứng minhM Nsong song với mặt phẳng(SBC)và(S AD) 1

GọiElà trung điểm củaS A Chứng minhSBvàSCđều song song với mặt phẳng(M N E) 2

Lời giải.

Từ giả thiết, ta suy raM N∥BCvàM N∥AD Vì     

M N6⊂(SBC) BC⊂(SBC) M N∥BC

nênM N∥(SBC)

Tương tự, ta có

  

 

M N6⊂(S AD) AD⊂(S AD) M N∥AD

nênM N∥(S AD) 1

Từ giả thiết, ta có AE AS =

AM AB =

1

2⇒ME∥SB Vì     

SB6⊂(M N E) ME⊂(M N E) ME∥SB

nênSB∥(M N E)

Tương tự, gọiOlà tâm hình bình hành Khi AO

AC= AE AS=

1

2⇒EO∥SC Vì     

SC6⊂(M N E) EO⊂(M N E) EO∥SC

nênSC∥(M N E) 2 S O C D N E A B M ä

{DẠNG 2.2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng

Phương pháp: Áp dụng hai cách sau

Cách 1:

  

 

a∥(P) a⊂(Q) M∈(P)∩(Q)

⇒(P)∩(Q)=M x∥a 1

Cách 2:

  

 

a∥(P) a∥(Q) M∈(P)∩(Q)

VÍ DỤ Cho tứ diệnABCDcóGlà trọng tâm4ABC,M∈CDvớiMC=2MD Chứng minhMG∥(ABD)

1 2 Tìm(ABD)∩(BG M) 3 Tìm(ABD)∩(AG M)

Lời giải.

GọiN trung điểm củaAB Trong tam giácCD N, ta có CM CD =

CG CN=

3⇒G M∥N D VìN D⊂(ABD),G M6⊂(ABD)nênG M∥(ABD) 1

Vì

(

G M∥(ABD)

B∈(ABD)∩(BG M)⇒(ABD)∩(BG M)=Bx∥G M∥N D 2

Vì

(

G M∥(ABD)

A∈(ABD)∩(AG M)⇒(ABD)∩(BG M)=A y∥G M∥N D 3

A

y

D M

x B

N

G

C

ä

{DẠNG 2.3 Tìm thiết diện song song với đường thẳng

Phương pháp:Để tìm thiết diện mặt phẳng song song với mặt phẳng(α)đi qua điểm song song với hai đường thẳng chéo hoặc (α)chứa đường thẳng song song với đường thẳng sử dụng tích chất sau:

  

 

M∈(α)∩(β) d∥(α) d⊂(β)

⇒(α)∩(β)=a∥d, (vớiM∈a)

VÍ DỤ Cho tứ diện ABCD Gọi M, Ilần lượt trung điểm BC, AC Mặt phẳng (P)đi qua điểm M, song song vớiBI vàSC Xác định hình vẽ giao điểm của(P)với cạnhAC,S A,SB Từ suy thiết diện của(P)cắt hình chóp

Lời giải.

Vì

(

(P)∥SC

M∈(P)∩(SBC)⇒(P)∩(SBC)=M N∥SC,N∈SB (1) Tương tự,

(

(P)∥BI

M∈(P)∩(ABC)⇒(P)∩(ABC)=MH∥BI,H∈AC (2) Mặt khác,

(

(P)∥(SC)

N∈(P)ca p(S AC)⇒(P)∩(S AC)=HK∥SC,K∈S A(3)Từ(1),(2) và(3)ta có thiết diện của(P)với tư diệnABCDlà tứ giácM N K H

C

B

M I S

H A

K

N

ä

1 BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 550 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,Nlần lượt trung điểmS A,SD Chứng minh rằng:

BC∥(S AD)

1 2 AD∥(SBC) 3 M N∥(ABCD)

M N∥(SBC)

Lời giải.

S

A M

D N

B C

O

BC∥(S AD) Ta có

  

 

BC∥AD AD⊂(S AD) BC6⊂(S AD)

⇒BC∥(S AD) 1

Ta có

  

 

AD∥BC BC⊂(SBC) AD6⊂(SBC)

⇒AD∥(SBC) 2

Ta có SM S A =

SN SD =

1

2⇒M N∥AD Khi

  

 

M N∥AD AD⊂(ABCD) M N6⊂(ABCD)

⇒M N∥(ABCD) 3

Ta có SM S A =

SN

SD ⇒M N∥AD, vìAD∥BCnênM N∥BCKhi

  

 

M N∥BC BC⊂(SBC) M N6⊂(SBC)

⇒M N∥(SBC) 4

Ta có AM AS =

AO AC=

1

2⇒MO∥SC Vì

  

 

MO∥SC SC⊂(SCD) MO6⊂(SCD)

⇒MO∥(SCD) 5

Ta có D N DS =

DO DC=

1

2⇒NO∥SB Vì

  

 

NO∥SB SB⊂(SBC) NO6⊂(SBC)

⇒NO∥(SBC) 6

ä BÀI 551 Cho hình chópS.ABCD có dáy ABCDlà hình chữ nhật GọiG trọng tâm tam giácS AD vàElà điểm cạnhDCsao choDC=3DE,Ilà trung điểm AD

Chứng minhOI∥(S AB)vàOI∥(SCD) 1

Tìm giao điểmP củaI Evà(SBC) Chứng minhGE∥(SBC) 2

Ta có

  

 

OI∥AB AB⊂(S AB) OI6⊂(S AB)

⇒OI∥(S AB)

Tương tự,

  

 

OI∥CD CD⊂(SCD) OI6⊂(SCD)

⇒OI∥(SCD) 1

Vì D I D A=

1 26=

1 3=

DE

DCnênI Ekhơng song song vớiAC Trong hình chữ nhật ABCD, gọiP=I E∩BC⇒P=I E∩(SBC)

GọiK trung điểm củaBC,G0là trọng tâm tam giácSBC Khi SG

0 SK =

SG S I =

G0G K I =

2

3,suy G

0G∥K I∥CE và ⇒G0G=

3K I=

3CD=CE Do dó tứ giácG

0GEClà hình bình hành, suy raCG0∥CE⇒CG∥(SBC).

2

S

A

G

G0

D E

B C

O I

K

ä BÀI 552 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM,Nlần lượt trung điểmABvàCD

Chứng minhM N∥(SBC)vàM N∥(S AD) 1

GọiP trung điểm cạnhS A Chứng minhSB∥(M N P)vàSC∥(M N P) 2

GọiG,Ilà trọng tâm tam giác ABCvàSBC Chứng minhG I∥(M N P) 3

Lời giải.

Từ giả thiết, ta có M N∥AD∥BC VìM N6⊂(SBC), M N6⊂(S AD) nênM N∥(SBC)vàM N∥(S AD)

1

Ta có AP AS=

AM AB =

1

2⇒SB∥P M⇒SB∥(M N P) Tương tự, AO

AC = AP AS =

1

2 ⇒PO∥SC OP ⊂(M N P) nên SC∥ (M N P)

2

3

S

I

G A

M P

D N

B C

O

ä BÀI 553 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình thang đáy lớn AB, với AB=2CD GọiOlà giao điểm ACvà BD,Ilà trung điểm củaS A,Glà trọng tâm tam giácSBCvàElà điểm cạnhSDsao cho3SE=2SD Chứng minh:

D I∥(SBC)

1 2 GO∥(SCD) 3 SB∥(ACE)

GọiN trung điểmSB, I N∥ABvàI N=1

2AB Suy I N∥CD, I N=DC suy tứ giácI NCD hình bình hành, đóI D∥NC VậyI D∥(SBC)

1

GO∥(SCD)

GọiPlà trung điểm củaSC, đóGO∥P D, suy raGO∥(SCD) 2

Ta cóEO∥SB, suy raSB∥(ACE) 3

S

C D

O A

I

P

B E

G

M N

ä BÀI 554 Cho hình chópS.ABCD có đáy hình bình hành tâmO Gọi M,N trung điểm cạnh AB,AD GọiI,J thuộcSM,SNsao cho S I

SM= S J SN=

2

3 Chứng minh M N∥(SBD)

1 2 I J∥(SBD) 3 SC∥(I JO)

Lời giải.

1

Ta cóM,Nlà trung điểm cạnhAB,AD Suy raM N∥BD, màBD⊂(SBD)

NênM N∥(SBD) 2 Ta có S I

SM= S J SN=

2

3⇒I J∥M N HayI J∥BD MàBD⊂(SBD) NênI J∥(SBD)

3 Trong mặt phẳng(ABCD), gọiH giao điểm củaM N AC

Trong mặt phẳng(SM N)gọiK giao điểm củaI JvàSH Dễ thấyHlà trung điểm củaAO, suy HO

HC= Lại cóI J∥M N⇒I K∥MH⇒HK

SH = M I SM=

1 Do HK

HS = HO HC=

1

3⇒K O∥SC MàK O⊂(I JO)⇒SC∥(I JO)

S

K

A

B M

I

D J

C N H

O

ä BÀI 555 Cho tứ diệnABCD,Glà trọng tâm tam giácABDvàIlà điểm cạnhBCsao choBI=2IC Chứng minhIG∥(ACD)

Lời giải.

GọiHlà trung điểm củaBD Trong mặt phẳng(BCD), gọiKlà giao điểm củaH IvàCD

Theo định lý Menelaus có BH HD ·

IC BI·

K D

K C =1⇔1· 2·

K D K C =1⇔ K D

K C=2

Suy raClà trung điểm củaK D, suy raBClà trung tuyến 4BDK

MàBI=2IC, suy raIlà trọng tâm của4BDK Suy H I

HK=

3 Lại cóGlà trọng tâm của4ABD⇒ HG HK=

1 Do đó,G I∥AK, màAK⊂(ACD)⇒IG∥(ACD)

A

D

K

I B

H G

C

Lời giải.

GọiK,Hlần lượt trung điểm củaBCvàCD Suy raK H∥BD (1) Ta cóG,P trọng tâm của4ACD,4ABC

Suy AP AK =

2 3,

AG AH =

2

3⇒PG∥HK (2) Từ (1) (2), suy raGP∥BD

MàBD⊂(BCD),BD⊂(ABD), suy raGP∥(BCD),GP∥(ABD)

A

C B

K P

D H

G

ä BÀI 557 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành,Olà giao điểm củaACvàBD,Mlà trung điểm củaS A

1 Chứng minhOM∥(SCD)

2 Gọi(α)là mặt phẳng quaM, đồng thời song song vớiSCvà AD Tìm thiết diện mặt phẳng(α)với hình chópS.ABCD

Lời giải.

1

Ta cóM,Olà trung điểm củaS Avà AC, suy raMO∥SC MàSC⊂(SCD)⇒OM∥(SCD)

2 VìMO∥SC⇒O∈(α) Ta có

  

 

O∈(α)∩(ABCD) AD∥(α)

AD⊂(ABCD)

⇒(α)∩(ABCD)=PQ VớiPQ∥AD,O∈PQ,Q∈AB,P∈CD

Lại có

  

 

P∈(α)∩(SCD) SC∥(α) SC⊂(SCD)

⇒(α)∩(SCD)=P N, vớiP N∥SC Có(α)∩(S AD)=M N, (α)∩(S AB)=MQ

Nhận thấyP,Qlà trung điểm củaCDvàAB Suy raNlà trung điểm củaSD

Suy raM N∥PQ Vậy thiết diện hình thang M N PQ

S

O C A

B Q

D N

P M

ä BÀI 558 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang đáy lớnAB GọiM trung điểm củaCD,(α)là mặt phẳng quaM, đồng thời song song vớiS AvàBC Tìm thiết điện của(α)với hình chóp S.ABCD Thiết diện hình gì?

Lời giải.

Ta có

  

 

M∈(α)∩(ABCD) BC∥(α)

BC⊂(ABCD)

⇒(α)∩(ABCD)=MK, vớiMK∥BC,K∈AB

Có

  

 

K∈(α)∩(S AB) S A∥(α) S A⊂(S AB)

⇒(α)∩(S AB)=K H, vớiK H∥S A

Lại có

  

 

H∈(α)∩(SBC) BC∥(α) BC⊂(SBC)

⇒(α)∩(SBC)=H I, vớiH I∥BC Do đó,α∩(SCD)=I M, màMK,H Iđều song song vớiBC Vậy thiết diện hình chóp hình thangMK H I

S

B

I

M

D C

K A

H

ä BÀI 559 Cho hình chópS.ABCD GọiM,N thuộc cạnhAB,CD Gọi(α)là mặt phẳng quaM Nvà song song vớiS A

2 Tìm điều kiện củaM Nđể thiết diện hình thang Lời giải. 1 Ta có     

M∈(α)∩(S AB) S A∥(α) S A⊂(S AB)

⇒(α)∩(S AB)=MP, vớiMP∥S A Trong mặt phẳng(ABCD), gọiR=M N∩AC

Ta có     

R∈(α)∩(S AC) S A∥(α) S A⊂(S AC)

⇒(α)∩(S AC)=RQ, vớiRQ∥S A Ta có(α)∩(SCD)=Q N Vậy thiết diện tứ giácM NQP 2 Ta cóM NQPlà hình thang⇒

"

MP∥Q N (1) M N∥PQ (2) Xét (1) ta có

(

S A∥MP

MP∥Q N ⇒S A∥Q N Do

(

S A∥Q N

Q N⊂(SCD)⇒S A∥(SCD)(vô lý)

S D N Q M P B C R A

Xét (2) ta có

  

 

BC=(ABCD)∩(SBC) M N⊂(ABCD) PQ⊂(SBC)

⇒M N∥BC

Ngược lại, nếuM N∥BCthì

  

 

PQ=(α)∩(SBC) M N⊂(α) BC⊂(SBC)

⇒M N∥PQ Vậy để thiết diện hình thang thìM N∥PQ

ä BÀI 560 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành Gọi M trung điểm cạnhSC.(P)là mặt phẳng quaAMvà song song vớiBD

1 Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(P)

2 GọiE,F giao điểm (P)với cạnh SB,SD Tìm tỉ số diện tích của4SMEvới4SBCvà tỉ số diện tích của4SMFvới4SCD

3 GọiK giao điểm củaMEvàCB,J giao củaMF vàCD Chứng minhK,A,J nằm đường thẳng song song vớiEFvà tìm tỉ số EF

K J

Lời giải.

1

Trong mặt phẳng (ABCD) gọi AC∩BD=O,

trong mặt phẳng (S AC), gọi AM∩SO=I

Ta có     

I∈(P)∩(SBD) BD∥(P) BD⊂(SBD)

⇒ (P)∩(SBD) = EF, với I ∈ EF,E∈SB,F∈SD

Ta có (P)∩(S AB) = AE, (P)∩ (SBC)=EM, (P)∩(SCD)=MF Vậy thiết diện tứ giácAEMF

S J K D C O B I A E F M

2 Trong4S AC, có Ilà trọng tâm tam giác⇒SOS I =23⇒SESB=SDSF =EFBD=23 (1)

Do S4AME S4SBC =

2 3· 2= 3,

S4SMF

S4SCD =

3 Ta có

(

(MEF)∩(ABCD)=AK

(MEF)∩(ABCD)=A J ⇒K,A,J thẳng hàng Theo định lý Menelaus, xét4SBCta có MS

MC· EB ES·

K C

K B=1⇔1· 2·

K C K B=1⇔

K C K B=2 HayBlà trung điểm củaK C Tương tự, ta cóDlà trung điểm củaC J

Do đó,BDlà đường trung bình của4K C J⇒

 



BD∥K J BD=1

2·K J (2) MàBD∥EF VậyA,K,J nằm đường song song vớiEF Từ (1) (2), suy EF

K J = 3· 2= ä BÀI 561 Cho tứ diện ABCD Gọi Mvà N hai điểm nằm cạnhBCvà AD Xác định thiết diện tứ diện cắt mặt phẳng(α)quaM Nvà song song vớiCD Xác định vị trí hai điểmM,Nđể thiết diện hình bình hành Lời giải. Ta có     

M=(α)∩(BCD) CD∥(α)

CD⊂(BCD)

⇒(α)∩(BCD)=M I, vớiM I∥CD

  

 

N=(α)∩(ACD) CD∥(α) CD⊂(ACD)

⇒(α)∩(ACD)=N K, vớiN K∥CD Ta có(α)∩(ABD)=N I, (α)∩(ABC)=MK

Vậy thiết diện hình thangM I N K, (vìM I∥N K) Lại có

(

M I∥CD K N∥CD⇒

       M I CD= BM CB K N CD = AN AD A C I B M K D N

Để thiết diệnM I N Klà hình bình hành khiM I=N K⇔BM CD =

AN AD VậyM,Nlần lượt hai điểm nằm trênBCvàADvà BM

CD = AN AD

ä BÀI 562 Cho tứ diệnABCD GọiI,J trung điểm củaABvàCD,Mlà điểm đoạnI J Gọi(P)là mặt phẳng quaMvà song song với ABvàCD

1 Tìm giao tuyến mặt phẳng(P)và(ICD)

2 Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng(P) Thiết diện hình gì?

Lời giải.

1 Gọi∆1=(P)∩(ICD), ta có

(

M∈(P)

M∈I J,I J⊂(ICD)⇒M∈∆1

  

 

(P)∥CD CD⊂(ICD) (P)∩(ICD)=∆1

⇒∆1∥CD

Vậy∆1là đường thẳng quaMvà song song vớiCD

GọiE=∆1∩IC,F=∆1∩T D, ta được(P)∩(ICD)=EF

2 Gọi∆2=(P)∩(ABD), ta có

(

F∈(P)

F∈I D,I D⊂(ABD)⇒F∈∆2

  

 

(P)∥AB AB⊂(ABD) (P)∩(ABD)=∆2

⇒∆2∥AB

Vậy∆2là đường thẳng quaF song song vớiAB

GọiG=∆2∩BD,P=∆2∩AD, ta được(P)∩(ICD)=GP

C J A M I F H G D P B E Q

Gọi∆3=(P)∩(ABC), ta có

(

E∈(P)

Ta có

  

 

(P)∥AB AB⊂(ABC) (P)∩(ABC)=∆3

⇒∆3∥AB

Vậy∆3là đường thẳng quaEvà song song với AB

GọiH=∆3∩BC,Q=∆3∩AC, ta được(P)∩(ABC)=HQ

Giao tuyến của(P)với mặt phẳng (BCD), (ABD), (ACD), (ABC) làGH,GP,PQ,QH Do thiết diện tứ diện với mặt phẳng(P)là tứ giácHGPQ

Ta có

  

 

(P)∥CD CD⊂(ACD) (P)∩(ACD)=PQ

⇒PQ∥CD

  

 

(P)∥CD CD⊂(BCD) (P)∩(BCD)=HG

⇒HG∥CD

Ta có

(

HG∥PQ(cùng song song vớiCD)

HQ∥PG(cùng song song vớiAB)⇒tứ giácHGPQlà hình bình hành

ä BÀI 563 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiK vàJ trọng tâm tam giácABCvàSBC

1 Chứng minhK J∥(S AB)

2 Gọi(P)là mặt phẳng chứaK Jvà song song với AD Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(P)

Lời giải.

1 Gọi H trung điểm BC, theo tính chất trọng tâm ta có HK

H A = H J HS =

1

3⇒K J∥S A (Định lý Ta-lét đảo) Ta có

  

 

K J∥S A S A⊂(S AB) K J6⊂(S AB)

⇒K J∥(S AB) 2 Gọi∆1=(P)∩(ABCD), ta có

(

K∈K J,K J⊂(P)

K∈(ABCD) ⇒K∈∆1

  

 

(P)∥AD AD⊂(ABCD) (P)∩(ABCD)=∆1

⇒∆1∥AD

Vậy∆1là đường thẳng quaK song song với AD

GọiE=∆1∩AB,F=∆1∩CD, ta

(P)∩(ABCD)=EF

A M

E

B H C

D N

F S

O J

K

Gọi∆2=(P)∩(SBC), ta có

(

J∈K J,K J⊂(P)

J∈(SBC) ⇒K∈∆2 Và

  

 

(P)∥AD∥BC BC⊂(ABCD) (P)∩(ABCD)=∆2

⇒∆2∥BC

Vậy∆2là đường thẳng quaJ song song vớiBC

GọiM=∆2∩SB,N=∆1∩SD, ta được(P)∩(SBC)=M N

Ta có giao tuyến của(P)với mặt phẳng(ABCD), (SCD), (SBC), (S AB)lần lượt làEF,F N,N M,N E, thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(P)là tứ giácM N F E

BÀI 564 Cho tứ diện ABCD GọiG1,G2 trọng tâm tam giác ACD vàBCD Chứng minh

G1G2∥(ABC)vàG1G2∥(ABD) Lời giải.

Xét tam giácABMta có MG2

MB =

3 (G2là trọng tâm4BCD) MG1

M A =

3 (G1là trọng tâm4ACD) Suy MG2

MB = MG1

M A ⇒G1G2∥AB(Định lý Ta-lét đảo) Ta có     

G1G2∥AB

AB⊂(ABC) G1G26⊂(ABC)

⇒G1G2∥(ABC)

Ta có     

G1G2∥AB

AB⊂(ABD) G1G26⊂(ABD)

⇒G1G2∥(ABD)

A B G1 D C G2 M ä BÀI 565 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCD hình bình hành GọiG trọng tâm của4S AB,Ilà trung điểm AB, lấy điểmMtrong đoạnADsao choAD=3AM

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AD)và(SBC)

2 Đường thẳng quaMvà song song vớiABcắtC I tạiN Chứng minhNG∥(SCD) 3 Chứng minhMG∥(SCD)

Lời giải.

1 Gọi∆=(S AD)∩(SBC), ta cóS∈∆ Ta có           

AD∥BC AD⊂(S AD) BC⊂(SBC) (S AD)∩(SBC)=∆

⇒∆∥AD

Vậy∆là đường thẳng quaSvà song song vớiAD

2 Hình thang A ICD có M N∥A I∥CD nên I N IC =

AM AD =

1 (Định lí Ta-lét)

4S ABcóGlà trọng tâm nên IG I S =

1 4I SCcó I N

IC= IG I S =

1

3⇒NG∥SC(Định lý Ta-lét đảo)

A I B N C D E S G M ∆ Ta có     

NG∥SC SC⊂(SCD) NG6⊂(SCD)

⇒NG∥(SCD)

3 GọiElà giao điểm củaI MvàCD VìA I∥DEnên ta cóI M ME=

AM MD=

1

2 (Định lý Ta-lét) Xét4ASEcó IG

GS= I M ME=

1

2⇒G M∥SE Ta có     

MG∥SE SE⊂(SCD) MG6⊂(SCD)

⇒MG∥(SCD)

ä BÀI 566 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với đáy lớnADvàAD=2BC GọiOlà giao điểm ACvàBD,Glà trọng tâm tam giácSCD

1 Chứng minhOG∥(SBC)

2 ChoMlà trung điểm củaSD Chứng minhCM∥(S AB)

Lời giải.

1 GọiNlà trung điểmSC, vìGlà trọng tâm4SCDnênNG GD=

1 Ta cóBC∥AD⇒BO

OD = CO AO=

BC AD=

1

2 (Định lí Ta-lét) 4BN Dcó NG

GD= BO OD =

1

2⇒OG∥BN (Định lí Ta-lét đảo) Ta có

  

 

OG∥BN BN⊂(SBC) OG6⊂(SBC)

⇒OG∥(SBC)

2 GọiElà trung điểm củaS A, theo tính chất đường trung bình ta cóME∥ADvàME=1

2AD

 



ME=BC=1 2AD ME∥BC(∥AD)

⇒Tứ giácMEBC hình bình hành B C

D M

N

A I E

S

G

O

Suy raCM∥BE Ta có

  

 

CM∥BE BE⊂(S AB) CM6⊂(S AB)

⇒CM∥(S AB)

3 Ta có2SC=3S I⇔2S I+2IC=3S I⇔S I=2IC Xét4S ACcó C I

I S= CO O A=

1

2⇒OI∥S A(Định lí Ta-lét đảo) Ta có

  

 

S A∥BI BI⊂(BD I) AB6⊂(BD I)

⇒AB∥(BD I)

ä BÀI 567 Cho hình chópS.ABCD, đáy ABCDlà hình bình hành Gọi M,N,P trung điểm cạnh AB,AD,SB

1 Chứng minhBD∥(M N P)

2 Tìm giao điểm của(M N P)vớiBC

3 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(M N P)và(SBD) 4 Tìm thiết diện hình chóp với(M N P)

Lời giải.

A P

H

B C

D Q

S

N

M

K

1 4ABDcóM Nlà đường trung bình nênM N∥BDvàM N=1 2BD Ta có

  

 

BD∥M N M N⊂(M N P) BD6⊂(M N P)

2 Trong(ABCD), dựngH=M N∩BC, ta có

(

H∈BC

H∈M N,M N⊂(M N P)⇒H=(M N P)∩BC

3 Gọi∆=(M N P)∩(SBD), ta có

(

P∈(SBD)

P∈(M N P)⇒P∈∆ Ta có

  

 

M N∥BD

M N⊂(M N P), (BD)⊂(SBD) (M N P)∩(SBD)=∆

⇒∆∥M N

Vậy∆là đường thẳng quaP song song vớiM N GọiQ=∆∩SD, ta được(M N P)∩(SBD)=PQ

4 Trong(SBC), dựngK=HP∩SC Giao tuyến của(M N P)với mặt phẳng(ABCD), (S AB), (SBC), (SCD), (SD A) làM N,P M,P K,KQ,Q N Vậy thiết diện hình chóp với(M N P)là ngũ giácP M NQK

ä BÀI 568 Cho tứ diệnABCD GọiM điểm thuộcBCsao choMC=2MB GọiN,P trung điểm củaBDvà AD

1 Chứng minhN P∥(ABC)

2 Tìm giao điểmQcủaACvới(M N P)và tính Q A

QC Suy thiết diện hình chóp bị cắt bởi(M N P) 3 Chứng minhMG∥(ABD), vớiGlà trọng tâm tam giácACD

Lời giải.

1 4ABD có N P đường trung bình nên N P∥AB N P=

2AB Ta có

  

 

N P∥AB AB⊂(ABC) N P6⊂(ABC)

⇒N P∥(ABC) 2 Gọi∆=(M N P)∩(ABC), ta có

(

M∈(SBD)

M∈BC,BC⊂(ABC)⇒M∈∆

  

 

N P∥(ABC) N P⊂(M N P) (M N P)∩(ABC)=∆

⇒∆∥AB

Vậy∆là đường thẳng quaMvà song song với AB Trong(ABC)dựngQ=∆∩AC, ta có

(

Q∈AC

Q∈∆,∆⊂(M N P)⇒Q=AC∩(M N P)

A

G B

M Q

D P

C

N

Ta cóMC=2MB⇔MC+MB=3MB⇔BC=3MB⇔MB BC =

1 Xét4ABCcóQ M∥AB⇒Q A

QC= BM

BC =

Ta có giao tuyến của(M N P)với mặt phẳng(ABC), (ACD), (ABD), (BCD)lần lượt làQ M,QP,P N,M N Vậy thiết diện cùa hình chóp bị cắt bởi(M N P)là tứ giácM N PQ

3 VìGlà trọng tâm4ACDnên PG PC =

1 Xét4BCPcó PG

PC = BM

BC =

3⇒MG∥BP(Định lí Ta-lét đảo) Ta có

  

 

MG∥BP BP⊂(ABD) MG6⊂(ABD)

⇒MG∥(ABD)

BÀI 569 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành 1 Tìm giao tuyến của(S AC)và(SBD);(S AB)và(SCD)

2 Một mặt phẳng quaBCvà song song với ADcắtS AtạiE, (E6=S,E6=A), cắtSDtạiF, (F6=S,F6=D) Tứ giác BEFClà hình gì?

3 GọiMthuộc đoạnADsao cho AD=3AMvàGlà trọng tâm tam giácS AB,Ilà trung điểm AB Đường thẳng quaMvà song song ABcắtC ItạiN Chứng minhNG∥(SCD)vàMG∥(SCD)

Lời giải.

S

M G

F

A

O

B

E

D

H

C N

I ∆

1 Ta cóS∈(S AC)∩(SBD)

Trong(ABCD), dựngO=AC∩BD, ta có

(

O∈AC,AC⊂(S AC)

O∈BD,BD⊂(SBD)⇒O∈(S AC)∩(SBD) Vậy(S AC)∩(SBD)=SO

Gọi∆=(S AB)∩(SCD), ta cóS∈∆

Ta có

     

    

AB∥CD AB⊂(S AB) CD⊂(SCD) (S AB)∩(SCD)=∆

⇒∆∥AB

Vậy∆là đường thẳng quaSvà song song vớiAB 2 Ta có

     

    

BC∥AD BC⊂(BCF E) AD⊂(S AD)

(BCF E)∩(S AD)=EF

⇒EF∥AD∥BC

Vậy tứ giácBCF Elà hình thang

3 Xét hình thangA ICDcóM N∥A I⇒AM AD =

I N IC =

1

3(Định lí Ta-lét) VìGlà trọng tâm tam giácS ABnên IG

I S = Xét4I SCta có

IG I S =

I N IC =

1

Ta có

  

 

G N∥SC SC⊂(SCD) NG6⊂(SCD)

⇒NG∥(SCD)

Trong(ABCD), dựngH=I M∩CD VìA I∥D Mnên ta có I M I H =

AM AD =

1

3 (Định lí Ta-lét) Xét4I SHta có

IG I S =

I M I H=

1

3⇒G M∥SH(Định lí Ta-lét đảo) Ta có

  

 

MG∥SH SH⊂(SCD) MG6⊂(SCD)

⇒MG∥(SCD)

ä BÀI 570 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,N,P trung điểm S A,BC,CD

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AC)và(SBD)

2 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AB)và(SCD)

3 Tìm giao điểmEcủaSBvà(M N P)

4 Chứng minhN E∥(S AP)

Lời giải.

A

C

D F

S

B E

Q

M

O P

N

1 Ta cóO=AC∩BD⇒

(

O∈AC⊂(S AC) O∈BC⊂(SBD)

Do đóOlà điểm chung hai mặt phẳng(S AC)và(SBD) màSlà điểm chung thứ hai hai mặt phẳng(S AC)và(SBD) nênSO=(S AC)∩(SBD)

2 Ta có

     

    

AB∥CD AB⊂(S AB) CD⊂(SCD) S∈(S AB)∩(SCD)

⇒(S AB)∩(SCD)=Sx∥ABvàSx∥CD

3 GọiQ=N P∩AB⇒Qlà điểm chung của(S AB)và(M N P) màM điểm chung thứ hai nên(S AB)∩(M N P)=MQ Trong mặt phẳng(S AB)gọiE=MQ∩SB

Ta có

(

E∈SB

4 Ta cóNlà trung điểm củaBCvàBQ∥CPnênBQ=CPvàNQ=N P (1) GọiF trung điểm củaAB, ta cóAF=BF=AB

2 = CD

2 =CP=BQ

Ta cóM,F trung điểm củaS Avà ABnênMF đường trung bình tam giácS ABnênMF∥SB Trong tam giácQ MFcóBlà trung điểmQFvàBE∥MF nênElà trung điểmMQ (2)

Từ(1)và(2)ta cóENlà đường trung bình tam giácQ MP⇒EN∥MP Mặt khác, doMP⊂(S AP)nênN E∥(S AP)

ä BÀI 571 Cho tứ diệnABCD Lấy điểmMtrên cạnhABsau choAM=2MB GọiGlà trọng tâm4BCDvàIlà trung điểmCD,Hlà điểm đối xứng củaGquaI

1 Chứng minhGD∥(MCH)

2 Tìm giao điểmK củaMGvới(ACD) Tính tỉ số GK G M

Lời giải.

1 Ta cóIC=I DvàIG=I HnênGDHClà hình bình hành Do đóGD∥CH

màCH⊂(MCH)nênGD∥(MCH) 2 Trong mp(ABI), gọiK=A I∩MG, ta có

(

K∈A I⊂(ACD) K∈MG

⇒K=MG∩(ACD)

Trong mp(ABI), kẻGE∥AB,(E∈A I) Xét tam giácABI, cóGE∥AB, suy GE

AB= IG IB=

1 3⇒

GE AM=

1 Xét tam giácAK M, cóGE∥AM, suy KG

K M = GE AM=

1 2⇒

GK G M=1

B M

D

K E

C I G

H A

ä BÀI 572 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiI,K trung điểm củaBCvàCD

1 Tìm giao tuyến của(S I K)và(S AC),(S I K)và(SBD)

2 GọiMlà trung điểm củaSB Chứng minhSD∥(ACM)

3 Tìm giao điểmF củaD M và(S I K) Tính tỉ số MF MD

Lời giải.

A M

C

D S

K

x

F

B

O

I

1 Ta cóS∈(S I K)∩(S AC)

Trong mp(ABCD), gọiE=I K∩AC⇒

(

E∈I K⊂(S I K)

E∈AC⊂(S AC)⇒E∈(S I K)∩(S AC) Suy raSE=(S I K)∩(S AC)

Ta có

(

S∈(S I K)∩(SBD)

BD∈(SBD),I K∈(S I K),BD∥I K ⇒(S I K)∩(SBD)=Sx, (vớiSx∥BD∥I K) 2 Trong mp(ABCD), gọiO=AC∩BD, ta cóSD∥MO MàMO⊂(ACM), suy raSD∥(ACM)

3 Trong mp(SBD), gọiF=Sx∩D M⇒

(

S∈D M

S∈Sx⊂(S I K)⇒F=D M∩(S I K) Ta cóSF∥BD⇒MF

MD= MS MB=1

ä BÀI 573 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO GọiGlà trọng tâm4S AB, ADlấy điểmEsao choAD=3AE GọiMlà trung điểm AB

1 Chứng minhEG∥(SCD)

2 Đường thẳng quaEsong song ABcắtMCtạiF Chứng minhGF∥(SCD)

3 GọiIlà điểm thuộc cạnhCDsao choC I=2I D Chứng minhGO∥(S A I)

Lời giải.

C

D

K S

E L

H

B

G

M

A

O F

I N

1 GọiHlà trọng tâm tam giácSCD, ta cóGH∥M Nvà GH M N =

2 Lại cóED∥M Nvà ED

M N = ED AD=

2

Suy raGH∥EDvàGH=ED Suy raGHDElà hình bình hành Ta có

(

EG∥DH

DH⊂(SCD)⇒EG∥(SCD) 2 Ta cóM A∥EF∥CD, suy MF

MC= AE AD=

1 Xét tam giácMSCcó MF

MC= MG MS =

1

3, suy raGF∥SC MàSC⊂(SCD) VậyGF∥(SCD)

3 Trong mp(ABCD), gọiK=A I∩M N Ta cóSK=(SM N)∩(S A I)

GọiLlà trung điểm củaA I, ta cóOLlà đường trung bình hình thangAM N I, suy

OL=AM+N I

2 =

AM+CD

2 =

AM+AB

2 =

AM+AM

2 =

2AM ⇒

OL AM=

Xét tam giácAK M, cóOL∥AM, suy K O K M =

OL AM=

2 Xét tam giácSMK, có SG

SM= K O K M =

2

3, suy raGO∥SK MàSK⊂(S A I) VậyGO∥(S A I)

ä BÀI 574 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiMlà trung điểm củaSCvàN trọng tâm tam giácABC

1 Chứng minhSB∥(AM N)

2 Tìm giao tuyến(AM N)và(S AB)

3 Tìm giao điểmIcủaSDvới(AM N) Tính tỉ số I S I D 4 GọiQlà trung điểm củaI D Chứng minhQC∥(AM N)

Lời giải.

C

D M

x S

I

F

Q

A

B

E

N O

G

T

1 Trong mp(ABCD), gọiO=AC∩BD

Trong mp(S AC), gọiE=AM∩SO, ta cóElà trọng tâm tam giácS AC Suy OE OS=

1 Ta cóNlà trọng tâm tam giác ABCnênON

OB = Xét tam giácOSBcó OE

OS = ON OB =

1

3 Suy raN E∥SB MàN E⊂(AM N) VậySB∥(AM N)

2 Ta có

(

A∈(S AB)∩(AM N)

SB⊂(S AB),SB∥(AM N)⇒(S AB)∩(AM N)=Ax, (vớiAx∥SB)

3 Trong mp(SBD), gọiI=N E∩SD⇒

(

I∈N E⊂(AM N)

I∈SD ⇒I=SD∩(AM N)

Ta cóN E∥SB⇒N I∥SB⇒ I S I D=

BN N D=

BN BD−BN=

2BO 2BO−2BO

3 =12

4 Trong mp(SBD), gọiF=N E∩BQ

Trong mp(ABCD), gọiG=AN∩BC, vìNlà trọng tâm tam giác ABCnênGlà trung điểm củaBC Ta cóFG=(AM N)∩(BQC)

Xét tam giácD N I cóQT∥N I, suy N T D N =

IQ D I =

1 Mà BN

N D =

2 nênBN=N T, hayNlà trung điểm củaBT (2) Từ (1) (2), ta cóFlà trung điểm củaBQ

Do đóGF đường trung bình tam giácBQC Suy raQC∥GF MàGF⊂(AM N) VậyQC∥(AM N)

ä BÀI 575 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM,Nlần lượt trung điểm củaBC,CD

1 Tìm giao tuyến của(SMD)và(S AB) 2 Tìm giao tuyến của(SM N)và(SBD)

3 GọiHlà điểm cạnhS Asao choH A=2HS Tìm giao điểmKcủaMHvà(SBD) Tính tỉ số K H K M 4 GọiGlà giao điểm củaBNvàD M Chứng minhHG∥(SBC)

Lời giải.

A H

C

D S

N x

B

K

F O

M

E

G

1 Trong mp(ABCD), gọiE=MD∩AB⇒

(

E∈MD⊂(SMD)

E∈AB⊂(S AB) ⇒E∈(SMD)∩(S AB) màS∈(S AB)∩(SMD)⇒SE=(S AB)∩(SMD)

2 Ta có

  

 

M N∥BD

M N⊂(SM N),BD⊂(SBD) S∈(SM N)∩(SBD)

⇒(SM N)∩(SBD)=Sx∥BD∥M N

3 Trong mp(ABCD), gọiF=AM∩BD Trong mp(S AM), gọiK=MH∩SF⇒

(

K∈SF⊂(SBD)

K∈MH ⇒K=MH∩(SBD)

4 Trong tam giácBCD,BNvàD Mlà hai trung tuyến nênGlà trọng tâm Từ ta có GC CO=

2 3⇒

GC AC=

1 Mặt khác, doH A=2HSnên HS

S A= 3⇒

GC AC=

HS

S A ⇒HG∥SC⇒HG∥(SBC)

1 Chứng minhOG∥(SBC)

2 GọiMlà trung điểm cạnhSD Chứng minhCM∥(S AB)

3 Giả sử điểmItrên đoạnSCsao cho2SC=3S I Chứng minhS A∥(BI D)

4 Xác định giao điểmKcủaBGvà mặt phẳng(S AC) Tính tỉ số K B KG

Lời giải.

A I

N

D S

G M

B

P

C O

1 Ta cóAD∥BC⇒OD OB =

AD BC =2

Mặt khác, gọiN trung điểmSC VìGlà trọng tâm4SCDnên GD G N =2 ⇒GD

G N = OD

OB⇒OG∥BN⇒OG∥(SBC)

2 GọiP trung điểmS A, ta có ngayP Mlà đường trung bình của4S AD Suy raP M= AD

2 =BCvàP M∥AD∥BC Do đóP MCBlà hình bình hành VậyCM∥BP⇒CM∥(S AB)

3 Ta cóAD∥BC⇒O A OC =2 Mặt khác, vì2SC=3S I nên S I

IC=2⇒ S I IC=

O A

OC⇒OI∥S A⇒S A∥(BI D) 4 Trong mp(BCMP), gọiK=BG∩CP

màCP∈(S AC)⇒K=BG∩(S AC) Ta lại cóCG∥BP⇒K B

KG = BP CG =

CM CG =

3

ä BÀI 577 Cho hình chópS.ABCGọiM,P, Ilần lượt trung điểm củaAB,SC,SB Một mặt phẳng(α)quaMP song song vớiACvà cắt cạnhS A,BCtạiN,Q

1 Chứng minhBC∥(I MP)

2 Xác định thiết diện của(α)với hình chóp Thiết diện hình gì? 3 Tìm giao điểm đường thẳngCNvà mặt phẳng(SMQ)

N

B P

C S

x D

A

M

I

Q

1 Ta cóI P đường trung bình tam giácSBCnênI P∥BC⇒BC∥(I MP)

2 Ta có(α)cắtBCtạiQnên(α)∩(SBC)=PQvà(α)∩(ABC)=MQ Ta lại có(α)cắtS AtạiN nên(α)∩(S AB)=M Nvà(α)∩(S AC)=P N Vậy thiết diện cần tìm tứ giácM N PQ

Mặt khác,

(

(α)∥AC

AC⊂(ABC)⇒(α)∩(ABC)=MQ∥AC⇒Qlà trung điểmBC Tương tự ta chứng minh đượcN P∥ACvàN trung điểmS A

Lúc nàyN PvàMQlà đường trung bình tam giácS ACvàABCnênN P=MQ=AC

2 vàN P∥MQ Suy raM N PQlà hình bình hành

3 Ta có

  

 

AC∥MQ

AC⊂(S AC),MQ⊂(SMQ) S∈(S AC)∩(SMQ)

⇒(S AC)∩(SMQ)=Sx∥AC

Trong mp(S AC), gọiD=CN∩Sx Ta cóD∈Sx⊂(SMQ)vàD∈CNnênD=CN∩(SMQ)

ä BÀI 578 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình tứ giác lồi GọiM, N trung điểm củaSCvàCD Gọi(α)là mặt phẳng quaM,Nvà song song với đường thẳngAC

1 Tìm giao tuyến của(α)với(ABCD) 2 Tìm giao điểm củaSBvà(α)

3 Tìm thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(α)

Lời giải.

M

D H

S

A

B y z

Q

C N P

1 Ta có

  

 

AC∥(α) AC⊂(ABCD) N∈(α)∩(ABCD)

⇒(α)∩(ABCD)=N x∥AC GọiP=N x∩ADta có(α)∩(ABCD)=N P

2 Ta cóM Nlà đường trung bình tam giácSCDnênSD∥M N⇒SD⇒SD∥(α) GọiK=N P∩BD, ta có

  

 

SD∥(α) SD⊂(SBD) K∈(α)∩(SBD)

⇒(α)∩(SBD)=K y∥SD GọiH=K y∩SB Ta cóH∈K y⊂(α)vàH∈SB⇒H=SB∩(α)

3 Ta có

  

 

SD∥(α) SD⊂(S AD) P∈(α)∩(S AD)

⇒(α)∩(SBD)=P z∥SD GọiQ=P z∩S A (α)và(S AB)cóH,Qlà điểm chung nên giao tuyến làQH (α)và(S AD)cóP,Qlà điểm chung nên giao tuyến làPQ (α)và(ABCD)cóP,Nlà điểm chung nên giao tuyến làP N (α)và(SCD)cóM,Nlà điểm chung nên giao tuyến làM N (α)và(SBC)cóH,Mlà điểm chung nên giao tuyến làH M Vậy thiết diện cần tìm ngũ giácM N PQH

ä BÀI 579 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang vớiAB∥CD GọiM,N,I, trung điểm AD,BC,S A

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(I M N)và(S AC);(I M N)và(S AB)

2 Tìm giao điểm củaSBvà(I M N)

3 Tìm thiết diện mặt phẳng(I D N)với hình chópS.ABCD

Lời giải.

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(I M N)và(S AC);(I M N)và(S AB) (a) Tìm giao tuyến của(I M N)và(S AC)

Ta cóI∈(S AC)∩(I M N)

Trong(ABCD)gọiE=AC∩M N⇒E∈(S AC)∩(I M N) VậyI E=(I M N)∩(S AC)

(b) Ta cóI∈(I M N)∩(S AB)vàM Nlà đường trung bình hình thang ABCDnênM N∥AB Nên giao tuyến của(I M N)và(S AB)là đường thẳngađi quaIsong song vớiAB

2 Ta thấySB⊂(S AB)và a=(I M N)∩(S AB) Gọi J=SB∩a, J=SB∩ (I M N)

3 Ta thấy

I J=(S AB)∩(I D N),I D=(S AD)∩(I D N),D N=(ABCD)∩(I D N),N J=(SBC)∩(I D N) Vậy thiết diện của(I D N)và hình chópS.ABCDlà tứ giácI J N D

C D

I

M E N

S

I J

A B

a

ä BÀI 580 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiGlà trọng tâm4S AB;Nlà điểm thuộc đoạnACsao cho AN

AC=

3;Ilà trung điểm củaAB 1 Chứng minhOI∥(S AD)vàG N∥SD

2 Gọi(α)là mặt phẳng quaO, song song với S AvàBC Mặt phẳng(α)cắtSB, SClần lượt Lvà K Xác định thiết diện cắt mặt phẳng(α)với hình chóp

1 Chứng minhOI∥(S AD)vàG N∥SD (a) Chứng minhOI∥(S AD)

Ta cóOI∥BC(OIlà đường trung bình trong4ABC) nênOI∥ AD(vìAD∥BC) màAD⊂(S AD)suy raOI∥(S AD)

(b) Chứng minhG N∥SD Do AN

AC = 3⇒

AN AO =

2

3 suy raN trọng tâm4ABD Từ ta có I N

I D = 3=

IG

I S⇒G N∥SD 2 Xác định giao điểmL=SB∩(α)

Ta thấy (α)là (K I H)với H, K trung điểmCD, SC Ta thấy SB⊂(SBC), K =(α)∩(SBC) I H∥BC nên giao tuyến (α)và(SBC)là đường thẳng d qua K song song vớiBC Khi L=d∩SBsuy raLlà trung điểmSB

Ta thấy

(α)∩(ABCD)=H I, (α)∩(SBC)=K L, (α)∩(S AB)=LI Vậy thiết diện của(α)với hình chóp hình thangLK H I

B

C D

O I

H N A

S

L K

G

ä BÀI 581 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiH,K trung điểm cạnh S A,SBvàMlà điểm thuộc cạnhCD, (MkhácCvàD)

1 Tìm giao tuyến của(K AM)và(SBC),(SBC)và(S AD)

2 Tìm thiết diện tạo bởi(HK O)với hình chópS.ABCD Thiết diện hình gì?

3 GọiLlà trung điểm đoạnHK TìmI=OL∩(SBC) Chứng minhS I∥BC

Lời giải.

1 Tìm giao tuyến của(K AM)và(SBC),(SBC)và(S AD) Tìm giao tuyến của(K AM)và(SBC)

Ta cóK∈(K AM)∩(SBC) Trong(ABCD)gọiF=AM∩BC, nên F∈(K AM)∩(SBC) Suy raK F=(K AM)∩(SBC)

Tìm giao tuyến của(SBC)và(S AD)

Ta thấy S∈(SBC)∩(S AD), mà BC∥AD nên giao tuyến (SBC)và(S AD)là đường thẳngd quaS song song vớiAD vàBC

2 Tìm thiết diện tạo bởi(HK O)với hình chópS.ABCD Thiết diện hình gì?

Ta thấy(HK O)và(ABCD)chứa có chung điểmOvà chứa HKvà ABsong song với nên giao tuyến đường thẳngađi quaOsong song với ABcắtADvàBClần lượt tạiEvàG Ta thấy (HK O)∩(ABCD)=EG, (HK O)∩(S AD)=HE,

(HK O)∩(S AB)=HK, (HK O)∩(SBC)=KG.Vậy thiết diện của(HK O) hình chóp hình thang HKGE HK∥AB mà AB∥EG nên HK∥EG

3 TìmI=OL∩(SBC) Chứng minhS I∥BC Trong(HKGE)gọiI=OL∩GK

màGK⊂(SBC)⇒I∈OL∩(SBC)

Trong (S AB) gọi J=SL∩AB L trung điểm AB HK∥AB

Xét(S JO)và(SBC)ta thấy cóSlà điểm chung vàO J∥BCnên giao tuyến đường thẳng đidđi quaS song song vớiBC Mặt khác I∈(S JO)∩(SBC)nênS I≡d VậyS I∥BC

B

C D

F

G E

J S

I

H

A

M

K L

O

d

ä BÀI 582 Cho tứ diệnABCD, cóM,N trung điểm củaAB,BCvàGlà trọng tâm tam giác ACD

2 Tìmd=(M NG)∩(BCD) Giả sửd∩CD=P Chứng minhGP∥(ABC)

3 Gọi(α)là mặt phẳng chứaM Nvà song song với AD Tìm thiết diện của(α)với tứ diện

Lời giải.

1 Tìm giao điểmEcủaMGvà(BCD)

Ta thấy (ABF)chứa MG với F trung điểm củaDC BF=(ABF)∩ (BCD) GọiE=MG∩BF⇒E=MG∩(BCD)

2 Tìmd=(M NG)∩(BCD) Giả sửd∩CD=P Chứng minhGP∥(ABC) Ta có N∈(BCD)∩(M NG)và E∈MG⊂(M NG); E∈BF⊂(BCD) Suy d≡N E=(M NG)∩(BCD)

Ta thấy

(ABC)∩(EM N)=M N, (D AC)∩(ABC)=AC, (EM N)∩(D AC)=GP màM N∥ACnênGP∥AC⇒GP∥(ABC)

3 GọiK trung điểm củaBD, do(α)chứaM N song song vớiADnên (α)đi quaK Ta thấy

(α)∩(ABD)=N K, (α)∩(ABC), (α)∩(BCD)=K N Vậy thiết diện của(α)và hình chóp tam giácM N K

B

M N

D

E

A K C

F P G

ä BÀI 583 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành Điểm Mthuộc cạnhS Athỏa mãn3M A=2MS Hai điểmEvàFlần lượt trung điểm ABvàBC

1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng(MEF)và(S AC)

2 Xác định giao điểmKcủa mặt phẳng(MEF)với cạnhSD Tính tỉ số K S K D 3 Tìm giao điểmIcủaMFvới(SBD) Tính tỉ số I M

I F

4 Tìm thiết diện tạo mặt phẳng(MEF)với hình chópS.ABCD

Lời giải.

1 Xác định giao tuyến hai mặt phẳng(MEF)và(S AC)

Ta thấyM∈(MEF)∩(S AC)vàEF∥ACvớiEF⊂(MEF),AC∥(S AC) nên giao tuyến (MEF) (S AC)là đường thẳng d qua M song song vớiAC

2 Xác định giao điểmK mặt phẳng(MEF)với cạnhSD Tính tỉ số K S

K D

Ta thấySD⊂(SBD), gọiH=EF∩BD,O=AC∩BD,L=d∩SO Khi đóHL=(MEF)∩(SBD), gọiK=HL∩SD⇒K=SD∩(MEF) DoML∥ACnên M A

MS = LO LS=

3

Xét tam giác SOD (SBD) K, L, H thẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta có SK

K D· HD HO·

LO LS =1⇒

SK K D·3·

3 2=1⇒

SK K D=

2 3 Tìm giao điểmIcủaMFvới(SBD) Tính tỉ số I M

I F

Trong(MEF)gọiI=HL∩MFmàHL⊂(SBD)⇒I=MF∩(SBD) DoML∥ACvàEF∥ACnênML∥EF Từ ta suy I M

I F = ML HF = HL

AO: HF AO =

2 5:

1 2=

4

4 Tìm thiết diện tạo mặt phẳng(MEF)với hình chópS.ABCD GọiN=ML∩SC Ta thấy(MEF)∩(S AB)=EM,

(MEF)∩(ABCD)=EF, (MEF)∩(S AD)=MK,

(MEF)∩(SCD)= K N, (MEF)∩(SBC)= N F Vậy thiết diện (MEF)với hình chóp ngũ giácEMK N F

A

B C

E F H

O S

N I

D K

M L

BÀI 584 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,Nlà trung điểm củaS A,SD

1 Xác định giao điểm củaNCvà(OMD)

2 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng(P)quaM Nvà song song vớiSC

Lời giải.

1 Xác định giao điểm củaNCvà(OMD)

Ta thấy CN⊂(SCD), OM∥SC mà OM⊂(OMD), SC⊂(SCD) O∈(OMD)∩(SCD)nên giao tuyến (OMD)và(SCD)là đường thẳng d quaD song song vớiOM, SC GọiK=d∩NC⇒K= NC∩(OMD)

2 Xác định thiết diện hình chóp với mặt phẳng (P)quaM N song song vớiSC

Ta thấy(P)≡(OM N)

Xác định giao tuyến của(OM N)và(SCD)

Ta thấyN∈(OM N)∩(SCD)vàOM∥SCnên giao tuyến của(OM N) và(SCD)là đường thẳng quaNsong song vớiSCcắtCDtạiIlà trung điểmCD

GọiJ=OI∩AB Ta thấy(OM N)∩(S AB)=J M,

(OM N)∩(S AD)=M N, (OM N)∩(SCD)=I N, (OM N)∩(ABCD).Vậy thiết diện mặt phẳng(P)với hình chóp hình thangM N I J

A

B C

D

O I

J

S

K

M N

ä

BÀI 585 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM trung điểm củaSC,(P)là mặt phẳng quaAMvà song song vớiBD

1 Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(P)

2 GọiE,F giao điểm của(P)với cạnhSBvàSD Hãy tìm tỉ số diện tích tam giácSMEvới diện tích tam giácSBCvà tỉ số diện tích tam giácSMFvà diện tích tam giácSCD

3 GọiK giao điểm củaMEvàCB, Jlà giao điểm củaMF vàCD Chứng minh ba điểmK,A, Jnằm đường thẳng song song vớiEFvà tìm tỉ số EF

K J

1 Xác định thiết diện hình chóp cắt mặt phẳng(P)

Trong(ABCD)quaAkẻ đường thẳng song song BD cắtBC CD K J Khi (P)≡(MK J) Gọi E=MK∩SB, F =CD∩SD Khi đó, ta thấy(P)∩(S AB)=E A, (P)∩(SBC)= EM, (P)∩(SCD)=MF, (P)∩(S AD)=AF Vậy thiết diện (P) với hình chóp tứ giác AEMF

2 Tính tỉ số diện tích tam giácSMEvới diện tích tam giác SBC tỉ số diện tích tam giácSMFvà diện tích tam giácSCD

Ta cóS4SME S4SBC =

SE SB· SM SC = 3· 2=

3 (VìElà giao điểm hai đường trung tuyếnK MvàSBnên Elà trọng tâm tam giácSCK.)

Tương tự ta cóS4SMF S4SCD =

SF SD· SM SC = 3· 2= (Vì F giao điểm hai đường trung tuyếnJ M vàSDnênF trọng tâm tam giácSC J.) 3 Chứng minh ba điểm K, A, J nằm

đường thẳng song song vớiEF tìm tỉ số EF K J Ta có SE SB= 3= SF

SD⇒EF∥K J⇒ EF K J=

ME MK = A B C D K S F J M E ä BÀI 586 Cho hình chópS.ABCDcóG trọng tâm4ABC Gọi M, N, P,Q, R, Hlần lượt trung điểm S A, SC,CB,B A,Q N,AG

1 Chứng minh rằngS,R,Gthẳng hàng vàSG=2MH=4RG

2 GọiG0là trọng tâm4SBC Chứng minh rằngGG0∥(S AB)vàGG0∥(S AC).

Lời giải.

1 Chứng minh rằngS,R,Gthẳng hàng vàSG=2MH=4RG GọiE,F trung điểm củaACvàSBkhi ta cóQEN F hình bình hành (doEQ=N F=1

2BC, EQ∥BC∥N F) nên R trung điểm củaEF Ta thấyS∈(SQC)∩(SEB),G∈(SQC)∩(SEB), R∈(SQC)∩(SEB)suy raS,R,Gthẳng hàng

VìM,Hlần lượt trung điểm củaS A, AGnênSG=2MH Xét4SGB vìE,R,Fthẳng hàng nên theo định lí Menelaus ta có

RS RG·

EG EB·

FB F S=1⇒

RS RG·

1

3·1=1⇒ RS

RG=3⇒SG=4RG 2 Chứng minh rằngGG0∥(S AB)vàGG0∥(S AC).

Xét4S AP có PG P S =

1 3=

PG P A ⇒GG

0∥S A màS A⊂(S AB)vàS A⊂ (S AC)nên suy raGG0∥(S AB),GG0∥(S AC).

C D E G H S F B P G0 N Q M A R ä

BÀI 3. HAI MẶT PHẲNG SONG SONG

1 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI MẶT PHẲNG PHÂN BIỆT

Cho đường thẳngdvà mặt phẳng(P) Có ba trường hợp xảy ra:

P

Q

(P),(Q)có điểm chung:(P)∩(Q)=a

P

Q

(P),(Q)khơng có điểm chung:(P)∥(Q) Định nghĩa Hai mặt phẳng gọi song song chúng khơng có điểm chung

2 CÁC ĐỊNH LÍ

Định lí Nếu mặt phẳng (α) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng(β)thì(α)song song với(β) α

M

a b

β

!

Muốn chứng minh hai mặt phẳng song song, ta phải chứng minh có hai đường thẳng cắt thuộc mặt phẳng song song với mặt phẳng

Muốn chứng minh đường thẳng a∥(Q), ta chứng minh đường thẳng a nằm mặt phẳng (P)∥(Q)

Định lí Qua điểm nằm mặt phẳng cho trước có chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng cho. α

A

β

Hệ Nếu đường thẳngdsong song với mặt phẳng(α)thì trong(α)có đường thẳng song song vớidvà quad có mặt phẳng song song với(α) Do đường thẳngd song song với(α)ta phải chứng minhdthuộc mặt phẳng(β)và có(α)∥(β)⇒d∥(α)

Hai mặt phẳng phân biệt song song với mặt phẳng thứ ba song song với

Cho điểm Akhông nằm mặt phẳng(α) Mọi đường thẳng qua Avà song song với(α)đều nằm mặt phẳng quaAvà song song với(α)

Định lí Cho hai mặt phẳng song song Nếu mặt phẳng cắt mặt phẳng này cắt mặt phẳng hai giao tuyến song song với nhau.

α

β

A A0

B B0

a b

Định lí Định lí Thales: Ba mặt phẳng đôi song song chắn hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. α

β

γ

A A

0

B B0

C

C0

3 VÍ DỤ

VÍ DỤ Cho hình chópS.ABCDvới đáyABCDlà hình thang màAD∥BCvàAD=2BC GọiM, Nlần lượt trung điểm củaS AvàAD Chứng minh:(BM N)∥(SCD)

Lời giải.

VìNlà trung điểm củaADnênN A=N D=AD =BC

Tứ giácNBCDcóN D=BCvàN D∥BCnênNBCDlà hình bình hành, suy raNB∥CD⇒NB∥(SCD)

Tam giácS AD có M, N trung điểm AS ADnên M N đường trung bình của4ADS, suy raM N∥SD⇒M N∥(SCD)

Từ

(

M N∥(SCD), M N⊂(BM N)

BN∥(SCD), BN⊂(BM N) ⇒(BM N)∥(SCD)

S

M

B C

N

A D

ä B BÀI TẬP ÁP DỤNG

BÀI 587 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO GọiM,N,P trung điểmS A,SB,SD vàK,Ilà trung điểm củaBC,OM

Chứng minh(OM N)∥(SCD)

1 2 Chứng minh(P M N)∥(ABCD)

Chứng minhK I∥(SCD) 3

Lời giải.

1 Ta có O, M trung điểm ACvà S A nênOM∥SC, suy raOM∥(SCD) Tương tự ON∥ (SCD)

Khi đó(OM N)∥(SCD)

2 Ta có N, M trung điểm củaSBvà S A nênM N∥AB, suy raM N∥(ABCD) Tương tựP M∥ (ABCD) Vậy(P M N)∥(ABCD)

3 Ta cóO, K trung điểm AC vàBC nênOK∥AB, suy raOK∥M N Khi 5điểm M, N,K,O,Iđồng phẳng

Từ câu trên(OM N)∥(SCD), thìK I∥(SCD)

M

N Q P

S

A

B O

C D

K I

1 Chứng minh(OM N)∥(SBC)

2 GọiP,Q,Rlần lượt trung điểm AB,ON,SB Chứng minhPQ∥(SBC)và(ROM)∥(SCD)

Lời giải.

1 Ta có O, M trung điểm AC vàS A nênOM∥SC, suy raOM∥(SBC) Tương tựON∥ (SBC)

Khi đó(OM N)∥(SBC)

2 Ta cóO, P trung điểm AC B A nên OP∥CB, suy OP∥(SBC) hay P∈(OM N) Mặt khácQ∈(OM N)

Theo trên(OM N)∥(SBC)thìPQ∥(SBC)

Ta có R, Olần lượt trung điểm SB vàBD nênRO∥SD, suy raRO∥(SCD)

Theo trênOM∥SCnênOM∥(SCD) Vậy(ROM)∥(SCD)

M

N

Q

R S

A

B P

O

C D

ä BÀI 589 Cho hai hình bình hànhABCDvàABEF có chung cạnhABvà khơng đồng phẳng GọiI, J,K trung điểmAB,CD,EF Chứng minh

(ADF)∥(BCE)

1 2 (D I K)∥(JBE)

Lời giải.

1 Ta có AD∥BC, suy raAD∥(BCE) Tương tự AF∥(BCE)

Khi đó(ADF)∥(BCE)

2 Trong hình bình hànhABCDcóI,Jlần lượt trung điểm AB CD nênBI=D J Do đóIBJD hình bình hành Suy raD I∥ BJnênD I∥(JBE)

Trong hình bình hànhABEFcóI,Klần lượt trung điểm AB EF nên I K ∥EF, suy raI K∥(JBE)

Vậy(D I K)∥(JBE)

K

J

I F

A B

E

C D

ä BÀI 590 Cho hai hình bình hành ABCDvà ABEF nằm hai mặt phẳng khác Trên đường chéoAC, BFlấy điểmM,Nsao choMC=2AM,N F=2BN QuaM,Nlần lượt kẻ đường thẳng song song với cạnhAB, cắt cạnhAD,AF theo thứ tự tạiM1,N1 Chứng minh

M N∥DE

1 2 M1N1∥(DEF) 3 (M N M1N1)∥(DEF)

Lời giải.

M

N

M1

N1

F

A B

E

1 GọiIlà giao điểm củaBMvớiCD Khi ta có BM M I =

AM MC =

1

2 Mặt khác BN N F=

1 Khi đóM N∥I F

Theo AM MC=

1 2nên

AB C I =

1

2 Suy raD I=CD=AB Lại cóD I∥EF Do đóDEF Ilà hình bình hành, hayF I∥DE VậyM N∥DE

2 Theo giả thiết thìM M1∥N N1(vì song song vớiAB) nênM,M1,N,N1đồng phẳng

Lại cóM M1∥(DEF)(vìM M1∥CD∥AB) theo câu thìM N∥DEnênM N∥(DEF)

Vậy(M M1N1N)∥(DEF), suy raM1N1∥(DEF)

3 Đã chứng minh câu

ä BÀI 591 Cho hai hình bình hànhABCD ABEF nằm hai mặt phẳng phân biệt Gọi I, J,K theo thứ tự trọng tâm tam giácADF, ADC,BCE Chứng minh rằng(I JK)∥(CDF E)

Lời giải.

Ta có CD∥EF∥AB nên CD EF đồng phẳng

GọiM, N trung điểm củaDF, CD Khi đó, I, J trọng tâm tam giácADF,ADCnên

A I AM=

2 3=

A J

AN ⇒I J∥M N⇒I J∥(CDEF) Mặt khác, gọiP trung điểmCE Khi BK

BP =

Ta cóABCD,ABEFlà hình bình hành nên CDF Ecũng hình bình hành Khi với M, P trung điểm hai cạnh đối hình bình hànhCDF E nênMP∥CD∥AB suy raI K∥MP∥AB Do đóABP K hình bình hành Ta có A I

AM= 3=

BK BP Suy raI K∥M N Khi đóI K∥(CDF E)

Vậy(I JK)∥(CDF E)

M

N

P K

J I

F

A B

E

C D

ä BÀI 592 Cho hình chópS.ABCDcó đáy hình bình hành tâmO GọiM,N,Plần lượt trung điểmS A,BC,CD

1 Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AD)và(MOP)

2 GọiElà trung điểm củaSCvàIlà điểm cạnhS AthỏaA I=3I S TìmK=I E∩(ABC)vàH=AB∩(E I N) Tính tỉ số AH

AB

3 GọiGlà trọng tâm tam giácSBC Tìm thiết diện hình chópS.ABCbị cắt bởi(I MG)

Lời giải.

M

N Q

P S

H G E

A B

O

C D

1 Ta cóO,P trung điểm củaACvàCDnênOP∥AD, suy raOP∥(S AD)

Khi giao tuyến của(S AD)và(OMP)là đường thẳng quaM song song với ADvà cắtSD trung điểm QcủaSD

2 Xét mặt phẳng(S AC)có S I S A=

1 46=

1 2=

SE

SC suy raI EcắtACtạiK Khi đóK=I E∩(ABC)

Áp dụng định lý Menelaus tam giácS ACvới ba điểmK,E,Ithẳng hàng có K C

K A· I A I S·

ES EC=1⇔

K C K A·

3

1·1=1⇔ K C K A =

1 Áp dụng định lý Menelaus tam giácABCvới ba điểmK,N,Hthẳng hàng có

K C K A·

H A HB·

NB NC=1⇔

1 3·

H A

HB·1=1⇔ H A HB=3 Khi AH

AB=

3 Ta thấy mặt phẳng(I MG)cũng mặt phẳng(S AG)

VìGlà trọng tâm tam giácSBCvàN trung điểmBCnên(I MG)∩(SBC)=SN Vậy thiết diện hình chópS.ABCbị cắt bởi(I MG)là tam giácS AN

ä BÀI 593 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiM,N trung điểm củaS A vàCD GọiElà giao điểm củaADvà(BM N),Ilà trung điểm củaMEvàG=AN∩BD

Tìm điểmEvà giao điểmF củaSDvới mặt phẳng(BM N) Chứng minhF S=2F D 1

Chứng minhFG∥(S AB)và(CD I)∥(S AB) 2

GọiHlà giao điểm củaM NvàSG Chứng minhOH∥GF 3

Lời giải.

S

E F

A

I

B C

O N

D M

H G

1 Trong mặt phẳng(ABCD)kéo dàiBN cắt đường thẳngADtạiE Khi đóElà giao điểm của(BM N)vớiAD GọiF giao điểm củaMEvớiSD Khi đóF giao điểm củaSDvới(BM N)

Vì ED E A =

D N AB =

1

2 nênD trung điểm đoạn AE Từ suy raSD vàEM đường trung tuyến tam giácS AE Suy raF trọng tâm tam giácS AE VậyF S=2F D

2 Tam giácDG Nvà tam giácBG Ađồng dạng nên GD GB=

D N B A =

1 Từ suy GD

GB= F D

F S NênFG∥SB⇒FG∥(S AB) Ta cóCD∥ABvàD I∥M A Từ suy ra(CD I)∥(S AB)

3 Ta cóGlà trọng tâm tam giác ACD Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácS AGvới ba điểm thẳng hàng M,H,N, ta có

NG N A·

M A MS ·

HS HG=1⇔

1 3·1·

HS HG=1⇔

HS HG =3 Ta có OG

OB= OG OD=

1

3⇒OH∥SB

Theo chứng minh ta cóGF∥SB VậyOH∥GF

BÀI 594 Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCDlà hình bình hành tâmO Gọi Mlà trung điểm củaSC, N điểm đường chéoBDsao choBD=3BN

Xác định giao tuyến mặt phẳng(SCD)và(S AB)và tìmT=D M∩(S AB) TínhT M

T D ĐS:

T M T D =

1 1

GọiK=AN∩BC Chứng minh rằngMK∥(SBD) 2

GọiI=AN∩DC,L=I M∩SD Tính tỉ số LS LD

SI K M

SI AL

ĐS: LS

LD= 2;

SI K M

SI AL =

3 3

Lời giải.

S

d

T

D M

B

I

C L

O N

A

K

1 Mặt phẳng(S AB)và(SCD)lần lượt chứa hai đường thẳng song song ABvàCD nên giao tuyến chúng đường thẳngd quaSvàd∥AB∥CD

Trong mặt phẳng(SCD)kéo dàiD McắtdtạiT Khi đóT∈d⇒T∈(S AB) VậyT=D M∩(S AB) DoCD∥STnên hai tam giácMCDvàMSTđồng dạng Do MT

MD= MS

MC=1 Vậy T M T D =

1 2 Vì BN

BD = 3⇒

BN BO =

2

3 Do đóN trọng tâm tam giácABC

Suy raK trung điểm củaBC Dẫn đếnMK đường trung bình tam giácSBC NênMK∥SB⇒MK∥(SBD)

3 Tam giácI K Cvà tam giác I ADđồng dạng nên IC I D=

K C AD=

1

Áp dụng định lý Menelaus tam giácSCDvới điểm thẳng hàng I,M,Lta có LS

LD· I D IC·

MC MS=1⇔

LS

LD·2·1=1⇔ LS LD=

1

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácI DLvới ba điểm thẳng hàngS,M,Cta có SD

SL· ML M I ·

C I

CD=1⇔3· ML

M I ·1=1⇔ ML

M I = Từ suy raI M=3

4I L

Gọih,klà lượt độ dài đường cao tam giác I K M vàI ALkẻ từM vàL Dễ thấy h k=

I M I L =

3 Vậy

SI K M

SI AL =

1 2h·I K

1 2k·I A

=34·12=38

Chứng minh rằng(ADF)∥(BCE)

1 2 Chứng minh rằng(CDF)∥(M M0N0N).

Lời giải.

A M0 N0

M

B

C D

E F

N

1 Ta có

  

 

AD∥BC AF∥BE AD∩AF=A

⇒(ADE)∥(BCF)

2 Ta có

M M0∥CD⇒AM AC =

AM0

AD (1)

Ta có

N N0∥AB⇒BN BF =

AN0

AF (2)

Mà từ giả thiết ta có

AM AC =

BN BF ⇒

AM0 AD =

AN0

AF (3)

Từ(3)suy raM0N0∥DF Ta cóM M0∥N N0∥DC∥F E. Vậy(CDF)∥(M M0N0N).

ä BÀI 596 Cho hình lăng trụABC.A0B0C0 Gọi I, J,K lần lượt trọng tâm tam giácABC,ACC0, A0B0C0 Chứng minh rằng(I JK)∥(BCC0B0)và(A0JK)∥(A IB0).

Lời giải.

A C

M

N

B I

J

A0 C0

P K

B0

1 GọiM,N,P trung điểm củaBC,CC0vàB0C0 Theo tính chất trọng tâm tam giác ta có A I

AM = A J

AN ⇒I J∥M N Tứ giác AMP A0là hình bình hành có A I

AM = AK AP =

2

3⇒I K∥MP Vậy(I JK)∥(BCC0B0)

2 Chú ý mặt phẳng(A IB0)chính mặt phẳng(AMB0) Mặt phẳng(A0JK)chính mặt phẳng(A0CP) Vì AM∥A0P,MB0∥CP(do tứ giácB0MCP hình bình hành) Vậy ta có(A0JK)∥(A IB0)

BÀI 597 Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang với đáy lớn ADvà AD=2BC,M∈BC Gọi(P)là mặt phẳng quaM,(P)∥CD, (P)∥SC,(P)cắtAD,S A,SBlần lượt tạiN,P,Q

Chứng minh rằngNQ∥(SCD)vàN P∥SD 1

GọiH,K trung điểm củaSDvàAD Chứng minh rằng(CHK)∥(S AB) 2

Lời giải.

A

B Q

E

C M

N

K D

P S

H

1 - TừMta kẻ đường thẳng song song vớiCDcắtADtạiNvà cắtABtạiE TừMkẻ đường thẳng song song vớiSCcắtSBtạiQ Kéo dàiEQcắtS AtạiP Theo cách dựng ta suy ra(EP N)∥(SCD)vàNQ⊂(EP N) VậyNQ∥(SCD)

- Do(P)∥(SCD) hai mặt phẳng cắt(S AD) theo giao tuyến N P SD Do ta suy N P∥SD

2 Ta cóHKlà đường trung bình tam giácS AD nênHK∥S A (1) VìK trung điểm củaADnênAK=BC Do tứ giácABCK hình bình hành Suy raCK∥AB (2) Từ(1)và(2)suy ra(CK H)∥(S AB)

ä BÀI 598 Cho hình chópS ABC cóGlà trọng tâm tam giác ABC Trên đoạn S Alấy hai điểmM, N choSM= M N=N A

Chứng minh rằngG M∥(SBC) 1

GọiDlà điểm đối xứng vớiAquaG Chứng minh rằng(MCD)∥(NBG) 2

GọiH=D M∩(SBC) Chứng minh rằngHlà trọng tâm tam giácSBC 3

Lời giải.

A M

N

B G

E

C D H

S

1 GọiElà trung điểm củaBC Khi ta có AG AE=

AM AS =

2

2 Từ giả thiết ta suy raG,Nlần lượt trung điểm củaADvàAM Do đóNG∥MD (1) (1) Từ giácBDCGcóElà trung điểm hai đường chéo nên hình bình hành Suy raBG∥CD (2) Từ(1)và(2)suy ra(MCD)∥(NBG)

3 Ta có AElà đường trung tuyến tam giácSBC (3)

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giácS AEvới ba điểm thẳng hàngM,H,Dta có HS

HE· · DE D A·

M A MS =1⇔

HS HE·

1

4·2=1⇔ HS

HE=2 (4)

Từ(3)và(4)suy raHlà trọng tâm tam giácSBC

BÀI 4. BÀI TẬP ƠN CUỐI CHƯƠNG 2 BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SCD) 1

GọiElà trung điểm củaSC Chứng minhOE∥(S AB) 2

GọiF điểm đoạnBDsao cho3BF=2BD Tìm giao điểmM củaSBvà(AEF) Tính tỉ số SM SB 3

Lời giải.

Ta có

  

 

AB∥(SCD) AB⊂(S AB) S∈(S AB)∩(SCD)

⇒(S AB)∩(SCD)=Sx∥AB 1

Ta có

  

 

OE∥S A (đường trung bình) S A⊂(S AB)

OE6⊂(S AB)

⇒OE∥(S AB) 2

Trong mặt phẳng(S AC)cóI=SO∩AE Suy

(

I∈(SBF) I∈(AEF)

  

 

SB⊂(SBF)

F I=(SBF)∩(AEF) M=F I∩SB

⇒M∈SB∩(AEF) Ta có

3BF=2BD ⇒ 3(OB+OF)=4OD ⇒ 3OD+3OF=4OD ⇒ 3OF=OD

⇒ OF

OD=

3 (8.1)

Mặt khác4IOEv4I SM(g.g), suy OE SM=

OI S I =

1 2suy OI

OS=

3 (2)

Từ (1) (2) suy raF I∥SD, suy raMF∥AD MàF D=2

3OD=

3BD, suy raSM= 3SB Vậy SM

SB = 3

x

F I

M

A

B

O

C

D S

E

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành tâmO GọiI,Jlần lượt trọng tâm tam giácS AB vàS AD GọiM,Nlần lượt trung điểm củaS A,SB

Chứng minhI J∥(ABCD)

1 2 Chứng minh(OM N)∥(SDC)

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SDC)

3 4 Tìm giao điểm củaBCvà(OM N)

GọiP,Qlần lượt trung điểm củaABvàAD, ta có: S I

SP = S J SQ=

2 Suy raI J∥PQ

  

 

I J∥PQ PQ⊂(ABCD) I J6⊂(SBCD)

⇒I J∥(ABCD) 1

Xét hai mặt phẳng(OM N)và(SCD)có:

  

 

M N∥CD (cùng song song AB) MO∥SC

M=M N∩MO

⇒

  

 

M N∥(SCD) MO∥(SCD) M=M N∩MO

⇒(OM N)∥ (SCD)

2

Ta có

  

 

AB∥(SCD) AB⊂(S AB) S∈(S AB)∩(SCD)

⇒(S AB)∩(SCD)=Sx∥AB 3

GọiR trung điểmBC, dễ dàng chứng minhM N∥RQ Ta có

  

 

BC⊂(ABCD)

(OM N)∩(ABCD)=RQ R=BC∩RQ

⇒R=BC∩(OM N) 4

A N

P

B

O

R C

D J

M S

I Q

x

ä

BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáy ABCD hình bình hành tâmO GọiH, I, K, Llần lượt trung điểm S A,SC,OB,SD

Xác định giao tuyến mặt phẳng(S AC)và(SBD);(H I K)và(SBD) 1

Chứng minhOLsong song với(H I K) 2

Xác định thiết diện hình chópS.ABCDbị cắt mặt phẳng(H I K) 3

Ta có

(

SO⊂(S AC)

SO⊂(SBD)⇒SO=(S AC)∩(SBD) GọiMlà giao điểm củaSOvàH I, ta có:

     

    

K∈BO⊂(SBD) K∈(H I K) M∈SO⊂(SBD) M∈H I⊂(H I K)

⇒MK=(H I K)∩(SBD) 1

Trong tam giác S AC có H I∥AC nên theo định lí Talet ta có SM

SO =

2, suy Mlà trung điểmSO

Trong tam giácSOB cóMK∥SB (tính chất trung bình), tam giácSBD cóOL∥SB (tính chất trung bình) Do đó,OL∥ MK

Ta có

  

 

OL∥MK MK⊂(H I K) OL6⊂(H I K)

⇒OL∥(H I K) 2

GọiN,P trung điểm củaABvàBC, từ dễ dàng chứng minh đượcN, K, P thẳng hàng GọiQ giao điểm MK vàSD

Suy raN P∥AC⇒N P∥H I(tính chất trung bình)

Ta có

        

       

H N=(H I K)∩(S AB) P I=(H I K)∩(SBC) Q I=(H I K)∩(SCD) HQ=(H I K)∩(S AD) N P=(H I K)∩(ABCD)

Do đó, thiết diện tạo (H I K)và hình chóp S.ABCD ngũ giácH N P IQ

3

M Q

H

N A

B

O K

P C

D I

S

L

ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình thang cạnh đáy lớnAD GọiE,F điểm hai cạnhS A,SDthỏa mãn điều kiện SE

S A= SF SD=

1

3 GọiGlà trọng tâm tam giácABC

Tìm giao tuyến của(S AB)và(SCD), của(S AD)và(SBC) 1

Tìm giao điểmHcủaCDvà(EFG) 2

Chứng minhEG∥(SBC) 3

Xác định thiết diện hình chópS.ABCDbị cắt bởi(EFG) Nó hình gì? 4

GọiIlà giao điểm củaABvàCD, ta có:

     

    

S∈(S AB) S∈(SCD) I∈AB⊂(S AB) I∈CD⊂(SCD)

⇒S I=(S AB)∩(SCD)

Ta có

     

    

BC∥AD AD⊂(S AD) BC⊂(SBC) S∈(S AB)∩(SBC)

⇒(S AD)∩(SBC)=Sx∥BC 1

Theo định lí Talet thìEF∥AD, lấy điểmK trênABsao cho AK AB=

2 3, đó:

Cũng theo định lí Talet thìKG∥BCmàBC∥ABnênEF∥KG GọiHlà giao điểm củaKGvàCD, ta có:

(

H∈CD

H∈K H⊂(EFG)⇒H∈CD∩(EFG) 2

Ta có

  

 

EF∥BC⊂(SBC) EK∥SB⊂(SBC) E=EF∩EK

⇒(EFG)∥(SBC)⇒EG∥(SBC) 3

Ta có

          

         

EF=(EFG)∩(S AD) F H=(EFG)∩(SBD) K H=(EFG)∩(ABCD) EK=(EFG)∩(S AB) ∅=(EFG)∩(SBC) EF

Vậy mặt phẳng(EFG)cắt hình chópS.ABCDlà hình thangEF HK 4

A E

G K

x

B

I

C

D

H S

F

ä

BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiGlà trọng tâm4S AB Lấy điểmMthuộc cạnh ADsao choAD=3AM

Tìm giao tuyến hai mặt phẳng(S AD)và(GCD) 1

Tìm giao điểmIcủaCDvà mặt phẳng(SG M) 2

Chứng minhMGsong song(SCD) 3

Lấy điểmNtrênS Asao choSN=2

3S A, ta có:

(

G N∥AB

AB∥CD ⇒G N∥CD⇒G N⊂(GCD)

Do đó,           

N∈S A⊂(S AD) N∈GD⊂(GCD) D∈(S AD) D∈(GCD)

⇒N D=(GCD)∩(S AD) 1

GọiPlà trung điểmABvàIlà giao điểm củaP MvàCD, ta có:

(

I∈CD

I∈P M⊂(SG M)⇒I∈CD∩(SG M) 2 Ta có     

CD∥G N G N⊂(G M N) CD6⊂(G M N)

⇒CD∥(G M N) (1)

AN AS =

AM AD =

1

3, theo định lí Talet ta đượcM N∥SD

  

 

SD∥M N M N⊂(G M N) SD6⊂(G M N)

⇒SD∥(G M N) (2)

Từ (1) (2) suy ra,(SCD)∥(G M N)⇒G M∥(SCD) 3 N M I A G P B O C D S ä BÀI Cho hình chópS.ABCDcó đáyABCDlà hình bình hành GọiM,N trung điểmS A,SB

Tìm giao tuyến của(MBC)và(S AD) 1

Chứng minh(M N∥(SCD) 2

GọiI=D M∩CN Chứng minhS I∥(N AD) 3

Lời giải.

GọiP trung điểm củaSD, ta có:

(

MP∥AD

AD∥BC ⇒MP∥BC⇒MP⊂(MBC)

          

M∈(MBC) M∈(S AD) P∈SD⊂(S AD) P∈MP⊂(MBC)

⇒MP=(MBC)∩(S AD) 1 Ta có     

M N∥AB∥CD CD⊂(SCD) M N6⊂(SCD)

⇒M N∥(SCD) 2

Ta có M N=1 2AB=

1

2CD suy M N đường trung bình của4ICD, đóMlà trung điểm I D

Dễ dàng chứng minh4MS I= 4M AD(c.g.c) Suy raS I M=AD Mƒ⇒S I∥AD(so le trong) 

 

 

S I∥AD AD⊂(N AD) S I6⊂(N AD)