Các dạng bài tập VDC mặt trụ, hình trụ và khối trụ - TOANMATH.com

Dạng 3: Bài toán thực tế về khối trụ.[r]

BÀI 2: MẶT TRỤ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM

MẶT TRỤ TRÒN XOAY

Trong mp  P cho hai đường thẳng  l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mp  P xung quanh  đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt mặt trụ

-Đường thẳng  gọi trục -Đường thẳng l gọi đường sinh

-Khoảng cách r gọi bán kính mặt trụđó

HÌNH TRỤ TRỊN XOAY

Ta xét hình chữ nhậtABCD Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnhAB , đường gấp khúc ABCDtạo thành hình gọi hình trụ trịn xoay hay gọi tắt hình trụ

- Đường thẳng AB gọi trục

- Đoạn thẳng CDđược gọi độ dài đường sinh - Độ dài đoạn thẳng AB CD h  gọi chiều cao hình trụ (độ dài đường sinh chiều cao hình trụ) - Hình trịn tâm A, bán kính rAD hình trịn tâmB, bán kính r BC gọi hai đáy hình trụ

- Phần mặt tròn xoay sinh điểm cạnh CD quay quanh AB gọi mặt xung quanh hình trụ KHỐI TRỤ TRỊN XOAY

Phần không gian giới hạn hình trụ trịn xoay kể hình trụđó ta gọi khối trụ tròn xoay hay ngắn gọn khối trụ

Các khái niệm tương tự hình trụ CƠNG THỨC CẦN NHỚ

Cho hình trụ có chiều cao h, bán kính đáy r ta có: - Diện tích xung quanh Sxq 2rh

- Diện tích đáy (hình trịn)Sht r2

- Diện tích tồn phần StpSxq2.SĐ 2rh2r2 - Thể tích khối trụVkt B h r h2

Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình trụ hay khối trụ

A’ B CÁC DẠNG BÀI TẬP

Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, diện tích thiết diện, chiều cao, bán kính đáy, diện tích đáy hình trụ

Bài tập 1: Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ cho mặt phẳng song song với trục cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 18 Diện tích xung quanh hình trụđã cho

A. 6 B. 6 39 C. 3 39 D.12

Hướng dẫn giải Chọn D

Thiết diện thu hình chữ nhật ABCD

 

OO'/ / ABCD , gọi I trung điểm AB Ta có

 

 

    

2

'; ;

.3 18

2 3

2

ABCD

OI ABCD

d OO ABCD d O ABCD OI S AB BC AB

AB AI

r OA OI AI 

   

  

 

 

    

Diện tích xung quanh hình trụđã cho Sxq 2rl12 3

Bài tập 2: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), thiết diện qua trục hình trụ hình vng Gọi A, B hai điểm nằm hai đường tròn (O) (O') Biết AB = 2a khoảng cách hai đường thẳng AB 00' Bán kính đáy

2 a

Bán kính đáy

A. 17

3 a

B. 14

2 a

C. 14

4 a

D. 14

9 a

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi r bán kính đáy

Do thiết diện qua trục hình vng nên độ dài

đường sinh 2r Dựng đường sinh AA' Gọi M trung điểm A' B

Lưu ý:

+ d OO AB = ’,  O'M

+ Góc AB và mặt đáy là gócABA'

 

 

' '

', '

3 '

2 O M AA B d OO AB O M

a O M

 

 

 

Ta có A B'  AB2AA'2  4a24r2

Mặt khác

2

2 2

' ' ' ' '

4 a A M  O A O M  r 

2

2 2 14

4

4

a a

a r r r

     

Bài tập 3: Cho hình trụ có hai đáy hai hình trịn (O) (O'), chiều cao 2R bán kính đáy R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO' tạo với OO' góc 30 Hỏi   cắt đường trịn

đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A. 2

3

R B.

3

R C.

3

R D.

3 R

Chọn A

Gọi I trung điểm OO' Khi đó, mặt phẳng   = IAB

Hạ OH AB OK, IH Dễ thấy H trung điểm AB  

OK  IAB Suy

 

OO',  IO IAB, OI KI, KIO 30 (vì KIO

 vng O) Khi

2

R

KO IO Vì HIO vuông O nên

2 2

1 1

OK OH OI

2

2 2 2

2

2 2

1 1

3

3

2

R OH

OH OK OI R R R

R R

AH OA OH R

R AB

       

     



Bài tập 4: Cho hình trụ có chiều cao Biết mặt phẳng không vuông góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6, dỉện tích hình chữ nhật ABB'A' bằng 60 Bán kính đáy hình trụ

A.5 B.3 C.4 D.

Hướng dẫn giải Chọn C

Diện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 (cm2)

nên AB.BB' = 60 6.BB' 60 BB' 10 Ta có MK 5

Chiều cao hình trụ (cm) nên

MO

Lưu ý: Bài tập Bài tập đề cho khác thiết diện giống

2

2

25 18 7;

6

7 OK MK MO

AB KB

BO OK KB

    

  

    

Bài tập 5: Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao a Một hình vng ABCD có AB, CD hai dây cung của đường trịn đáy mặt phẳng ABCD khơng vng góc với đáy Diện tích hình vng

A.

2 5

4

a

B. 5a2 C. 5 2

2

a

D.

2 5

2

a

Hướng dẫn giải Chọn D

Đặt  2  4

ABCD

AB AD x S x

Gọi A', B' hình chiếu vng góc A, B lên mặt

đáy hình trụ

Xét tam giác AA'D vng A' ta có

2 2

' ' 4

A D AD AA  x a

Mặt khác, gọi I trung điểm A D' ta có:

2

2 2 1

' 2 ' 2 ' ' ' 2 ' '

2

A D A I  O A O I  O A   CD

 

2

2 1 2

2 2 2

2

a  x a x

    

 

Do 4x2 a2 2 a2x2 4x2a2 4a2x2

2

2 5

4

2

a x

  Vậy

2 5

2

ABCD a

S  (đvdt)

Bài tập 1: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện hình chữ nhật ABCD có cạnh AB cạnh CD nằm hai đáy khối trụ Biết BD  a 2, DCA 30 Tính theo a thể

tích khối trụ A. 3

48 a B.

3

32 a C

3

16 a D.

3

16 a Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có ACBD a

Mặt khác xét tam giác ADC vuông D, ta có

2

.sin 30

2

AD AC   a h a

6

cos30

2

CD

CD AC   a r  a

Nên

2

2 . 3

4 16

V r h a a a

 

Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 3AB Gọi V th1 ể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB, V th2 ể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AD Tỉ số

2 V V

A.9 B.3 C.

3 D.

1 Hướng dẫn giải

Chọn B

Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy chiều cao r1 AD3AB h; 1 AB

Khi đó, thể tích khối trụ 1 V r h  AB

Khi đó, thể tích khối trụ 2 V r h  AB

Vậy

3

3

9

3

V AB

V AB

 

 

Bài tập 3: Cho hình thang ABCD vng tại Avà B với

2 AD

AB BC  a Quay hình thang miền quanh đường thẳng chứa cạnh BC Thể tích V khối tròn xoay tạo thành

A

3

3 a

V   B

3

3 a

V   C. V a3 D

3 a V   Hướng dẫn giải

Chọn B

Thể tích V V V 1 2 Trong đó V1là thể tích khối trụ có bán kính đáy BA a chiều cao

2 ;

AD a V thể tích khối nón có bán kính đáy 'B D a chiều cao CB'a

Khi

3

2

1

1

.2

3

a V V V  a a a a 

Bài tập 4: Cho hình trụ có bán kính đáy a cắt hình trụ mặt phẳng  P song song với trục hình trụ cách trục hình trụ khoảng

2 a

ta thiết diện hình vng Thể tích khối trụ

A. 3a3 B a3 3 C 3

4 a 

D. a3 Hướng dẫn giải

Giả sử hình vng ABCD thiết diện hình trụ cắt  P hình vẽ Gọi H, K trung điểm AD, BC

Ta có    ; 

2 a OH  ADOH  P d O P OH OH 

Do 2 2 2 2 3

2 a AD AH  OA OH  a Suy OO' ABAD a

Vậy nên V R h2 a a2. 3a3 3

Bài tập 5: Cắt khối trụ cao 18cm mặt phẳng, ta khối hình Biết thiết diện elip, khoảng cách từđiểm thuộc thiết diện gần đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy 8cm 14cm Tỉ số thể tích hai khối chia (khối nhỏ chia khối lớn)

A. 11 B. C. 11 D. 11 Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi V1;V2 thể tích khối nhỏ khối lớn

Ta tích khối trụ   2 14 11 R

V    R (với R bán kính khối trụ)

Thể tích   2 14 11 R

V    R

Vậy

2

1

2

2

18 11

11 11

V V V R R

V V R

 



 

  

Bài tập 6: Cho tam giác vng cân ABC có AB AC a 2và hình chữ nhật MNPQvới MQ = 3MN được xếp chồng lên cho M,N trung điểm AB, AC (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể trịn xoay quay mơ hình quanh trục AI, với / trung điểm PQ

A

3 11 .

6 a V  

B a V  

C 11 a V  

D 17 24 a V  

Chọn D

Ta có BC AB2AC2 2aMN a MQ, 2 a Gọi E, F trung điểm MN BC

3 ,

2

a

AFa EF  IF a

Vậy thể tích cần tìm tổng thể tích khối nón có chiều cao AF bán kính đáy FB thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ

2

2 2

1 17

3 2 24

a

V  AF FB IF IQ   a a  a    a

 

Bài tập 7: Cho lăng trụđứng ABC A B C ' ' 'có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông cân A, góc AC' mặt phẳng BCC B' 'bằng 30 (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C ' ' '

A.a3 B. 2a3 C. 4a3 D. 3a3

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi bán kính hình trụ R Ta có CC'ABCCC' AI

AC’ mặt phẳng BCC B' 'là IC A'

Xét tam giác AIC' ta có IC ' AI R tan IC 'A

 

Xét tam giác CIC ' ta cóIC'2 IC2CC'23R2R24a2 R a 2 Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A B C ' ' ' V R h2 4a3

Bài tập 8: Trong tất khối trụ có thể tích 330, xác định bán kính đáy khối trụ có diện tích tồn phần nhỏ

A. 3165

 B.

165

 C 3

330

 D.

330  Hướng dẫn giải

Chọn A

2

2 330

330 330

V h R h

R 



    

Khi diện tích tồn phần khối trụ

2

2

330 660

.2 2

S h R R

S R R S R

R R

 

  



 

     

Ta xem S hàm sốẩn R Xét S' 6602 R

R 

  

3

3

2

660 660 165

' R

S R R

R R

 



 

        

Lập bảng biến thiên ta có

Bài tốn hỏi bán kính đáy nên ta xem bán kính đáy ẩn, tính diện tích xung quanh

theo bán kính đáy

Vậy S đạt giá trị nhỏ R 3165  

A.

4

9 R 

B

8

3 R 

C.

27 R 

D.

8

9 R  Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi X khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt đáy hình trụ (0 < X <R) Bán kính đáy hình trụ r R2x2

Thể tích khối trụ V r h2 r2.2x2R2x x2  f x 

  2  

' ; '

3 R

f x  R  x f x   x (vì x0)

Ta có bảng biến thiên sau

Vậy thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R

max

3

3

R R

V  f  

 

Dạng 3: Bài toán thực tế khối trụ

tích tổng thể tích hai bể Bán kính đáy bể nước dựđịnh làm gần với kết

nào đây?

A.1,6m B. 2,5m C.1,8m D. 2,1m

Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi r bán kính bể dựđịnh làm, h chiều cao bể Ta có: 12 1,52 1 1,52 1,8 

m

r h h r

      

Bài tập Cho một bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a Người ta muốn tạo bìa thành hình khơng đáy hình vẽ

dưới đây, có hai hình trụ có chiều cao 3a, 6a hai hình lăng trụ tam giác có chiều cao 3a, 6a

Trong bốn hình H1, H2, H3, H4 theo thứ tự tích lớn nhỏ A.H1, H4 B.H1, H3 C.H2, H3 D H2, H4

Hướng dẫn giải Chọn A

Gọi R R1, 2 bán kính hai hình trụở hình H1, H2 Gọi V V1, thể tích hai hình trụở hình H1, H2

1,

C C chu vi đáy hai hình trụở hình H1, H2 Ta có: 1 1 1 ; 2 2 2

2

a a

C R a R C R a R

 

       

2 3 3

1

3 27 27

3 ;

2

a a a a

V a V a

   

   

       

   

Do hai hình H3, H4 hai hình lăng trụ tam giác nên ta có độ dài cạnh đáy hai hình H3, H4 2a;a

Thể tích hình H3, H4 là:

3

3

1 3

3 2 sin 60 3 ; sin 60

2 2

V  a a a  a V  a a a  a

Từđó ta có hai hình tích lớn nhỏ theo thứ tự H1, H4

Lưu ý: Không phải cắt nhỏ

tấm bìa để tạo hình bên không thỏa

đề mà lấy bìa lần lượt tạo thành hình

Bài tập Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính MN, PQ hai đáy cho MN  PQ Người thợ cắt khối đá theo mặt cắt qua điểm M, N, P, Q để

khối đá có hình tứ diện MNPQ Biết MN = 60 cm thể tích khối tứ diện MNPQ bằng 30 dm3 Thể tích lượng đá cắt bỏ

bao nhiêu? (Làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A.101,3 dm3. B.111,4 dm3.

C.121,3 dm3. D.141,3 dm3.

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi ,O O tâm đáy đáy hình trụ

Ta có: ( ) .

3

=

MNPQ N OPQ OPQ

MN  OPQ V V   NO S

2 30

2

OPQ

S OO OO

       

Ta tích khối trụ là: . 5.3 2 45

KT

V OOR     Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ là: 45 30 111, 4 3

dm

  

Bài tập Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ  H1 ,  H2 xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy chiều cao tương ứng r h r h1, , ,1 2 thỏa mãn

2

1

r  h; h2 2h1 (tham khảo hình vẽ bên) Biết thể tích tồn khối đồ chơi 30cm3, thể tích khối trụ  

1

H

A. 24cm3. B.15cm3. C. 20cm3 D 10cm3. Hướng dẫn giải Chọn C

Gọi thể tích tồn khối đồ chơi V, thể tích khối khối V1

Ta có: V V V 1 2 Mà 2 1, 2 1

2

r  r h  h nên 2

2 2 1 1

1 1

2

4 2

V  h r  h     r h    r V

1 1

1

30 20

2

V V V

    

Bài tập Cho một dụng cụđựng chất lỏng tạo hình trụ hình nón lắp đặt

hình sau Bán kính đáy hình nón bán kính đáy hình trụ Chiều cao hình trụ chiều cao hình nón h Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao

24 chiều cao hình trụ Lật ngược dụng cụ theo phương vng góc với mặt đất Độ cao phần chất lỏng hình nón theo h

A h

B.

h

C h

D. h

Hướng dẫn giải Chọn C

Thể tích chất lỏng 2. 1 2. 24 24 V r h r h

Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng ' V  r h 

Mà r h r h r

r h h

   

    Do dó

2

2

1

3

h h

V r h r

h h

    

      

 

Theo

3

2 3

2

1 1

3 24

h h

V V r r h h h h

h

  

        

Với chi phí bỏ để làm thùng phi không 6594000 đồng, hỏi công ty ông Bình có

được thùng phi đựng tối đa mét khối nước? (Lấy 3,14  )

A.12,56 B. 6,28

C. 3,14 D. 9,52

Hướng dẫn giải Chọn B

Gọi R, h sốđo bán kính chiều cao thùng phi hình trụ Với giả thiết diện tích thép khơng gỉđược dùng tối đa

 2 6594000 471

m 350000 25

A 

Ta có ( )

2

tp

A

S R R h A h R

R 



     

Thể tích thùng phi 2

2

A A

V R h R R R R

R

  



 

     

  (coi V hàm số biến R)

3 ; ,( 0)

2

A A

V R V R R



     

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có, giá trị !ớn thể tích

max 6, 28

3 A A

V m



 

Bài tập Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi chiều cao thùng h bán kính đáy r Tỉ số h

r cho chi phí vật liệu Sản xuất thùng nhỏ bao nhiêu?

A. h

r  B.

h

r  C.

h

r  D 3

Chọn C

Ta có

2

V h V

V h r h

r r r



 

     

Giá thành vật liệu để làm thùng

2 6 2 2V 6 V V 6 ,

T rh r A r A r A

r r r

       

          

    A giá đơn vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh thùng Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho số

dương V V, , 6 r2 r r 

3

3 T  V Dấu “ ” xảy

3

6

V V

r

r   r 