PP giai va cac dang bai tap vec toToan 10

Choïn heä truïc toïa ñoä Oxy nhö sau: O laø trung ñieåm BC , truïc hoaønh cuøng höôùng vôùi tia OC , truïc tung cuøng höôùng vôùi tia OA.. a.Tìm toïa ñoä caùc ñænh cuûa tam giaùc ABC.[r]

(1)

Các dạng BI TP -PHNG PHP giAI TOA”N VECTO CHƯƠNG I : VECTO

A. Vecto cùng phương , hai vecto b ng nhau:ă

Bài 1: Cho hình bình hành ABCD có tâm O Tìm vectơ từ điểm A, B, C , D , O a) Bằng vectơ AB ; OB

b) Có độ dài OB 

Bài : Cho tam giac ABC Ba m M,N và P l n l t là trung m AB, AC, BC CMR:ê â ươ ê

MN BP

                           

; MA PN  

Bài 3: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N, P, Q laàn lượt trung điểm AB, BC, CD, DA Chứng minh : MNQP; NPMQ

Bai ̀4: Cho tam giác ABC có trực tâm H O tâm đường tròn ngoại tieap Gọi B’ điểm đoai xứng B qua O Chứng minh : AH B'C

Bai ̀ 5: Cho hình bình hành ABCD Dựng AM BA, MN DA, NPDC, PQBC Chứng

minh AQ O

B. CH NG MINH Ư ĐĂNG TH C VECTO:Ư

Bai 1: Cho m b t kì M,N,P,Q ̀ ê â Ch ng minh cac đ ng th c sau:ư ă a) PQ NP MN    MQ; b) NP MN QP MQ    ;

c) MN PQ MQ PN      

;

Bài 2: Cho ng giac ABCDE Ch ng minh r ng:u ă a) AD BA BC ED EC    0

     

; b) AD BC EC BD   AE

    

Bài 3: Cho m M, N, P, Q, R, S Ch ng minh:ê

a) MN PQMQPN b)MPNQRS MSNPRQ

Bài 4: Cho điểm A ; B ; C ; D ; E ; F ; G Chứng minh : a) AB + CD + EA = CB + ED

b) AD + BE + CF = AE + BF + CD

c) AB + CD + EF + GA = CB + ED + GF

d) AB - AF + CD - CB + EF - ED = 0

Bài 5: Cho hình bình hành ABCD, có tâm O CMR: OA OB OC OD   0     

Bài 6: Cho ngũ giác đeàu ABCDE tâm O Chứng minh :

O OE OD OC OB

(2)

Bài 7: Cho lục giác đeàu ABCDEF có tâm O CMR : a) OA +OB +OC +OD +OE +OF =0

b) OA +OC +OE = 0

c) AB +AO +AF =AD

d) MA +MC +ME = MB +MD +MF ( M tùy ý )

Bai 8: ̀ Cho tam giác ABC ; vẽ bên ngồi hình bình hành ABIF ; BCPQ ; CARS Chứng minh : RF + IQ



+ PS =0

Bai ̀ 9: cho t giac ABCD G i I, J l n lư o â ươt là trung m AC và BD G i E là trung m I J CMR:ê o ê

0

EA EB EC ED        

Bài 10: Cho tam giac ABC v i M, N, P là trung m AB, BC, CA CMR:ơ ê a)AN BP CM  0

   

; b)AN AM AP

  

; c) AM BN CP  0

   

Bài 11: Cho hình thang ABCD ( đay l n DC, đay nh AB) g i E là trung m DB CMR:ơ o o ê

EA EB EC ED DA BC          

Bài 12: ( H th c trung m) Cho m A và B.ê ê ê

a) Cho M là trung m AB CMR v i m I b t kì : ê ê â IA IB 2IM

  

b) V i N cho NA2NB

 

CMR v i I b t kì : â IA2IB3IN

  

c) V i P cho PA3PB

 

CMR v i I b t kì : â IA 3IB2IP

  

Bài 13: ( H th c tr ng tâm) Cho tam giac ABC có tr ng tâm G:ê o o a) CMR: GA GB GC  0

   

V i I b t kì : â IA IB IC  3IG

   

b) M thu c đo n AG và MG = ô a

4GA CMR 2MA MB MC  0

   

c) Cho tam giac DEF có tr ng tâm là G’ CMR:o + AD BE CF  0

   

+ Tìm điều kiện đê tam giac có tr ng tâm.o

Bài 14: ( H th c hình bình hành) Cho hình bình hành ABCD tâm O CMR:ê a) OA OB OC OD   0

    

;

b) v i I b t kì : â IA IB IC ID   4IO

    

C MỘT SỐ BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN ĐỢ DÀI:

Bài 1: Cho tam giác ABC là tam giác đều cạnh 2a Tính độ dài vectơ BA BC,CACB Bài 2: cho hình thoi ABCD cạnh a BAD 600, gọi O là giao điêm của đường chéo Tính:

|AB AD  

| ; BA BC  

; OB DC  .

Bài 3: Cho hình vng ABCD cạnh a Tính:

AC BD  

(3)

Bài 4: Cho tứ giác ABCD Gọi I, J là trung điêm của AC và BD Hãy tính :

IB ID JA JC  

                                                       

D Chứng minh điểm thẳng hàng:

Bài Cho tam giác ABC và M, N là trung điêm AB, AC. a) Gọi P, Q là trung điêm MN và BC CMR : A, P , Q thẳng hàng b) Gọi E, F thoả mãn :

3

ME MN

 

,

3

BF BC

 

CMR : A, E, F thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC, E là trung điêm AB và F thuộc thoả mãn AF = 2FC.

a) Gọi M là trung điêm BC và I là điêm thoả mãn 4EI = 3FI CMR : A, M, I thẳng hàng

b) Lấy N thuộc BC cho BN = NC và J thuộc EF cho 2EJ = 3JF CMR A, J, N thẳng hàng c) Lấy điêm K là trung điêm EF Tìm P thuộc BC cho A, K, P thẳng hàng

Bài Cho tam giác ABC và M, N, P là điêm thoả mãn : MB 3MCO

  

, AN3NC

 

, PBPAO

  

CMR : M, N, P thẳng hàng ( , 1

2

MPCB CA MN CB CA

     

) Bài Cho tam giác ABC và L, M, N thoả mãn LB 2LC,

  1

2

MC MA

 

, NBNAO

  

CM : L, M, N thẳng hàng

Bài Cho tam giác ABC với G là trọng tâm I, J thoả mãn : 2IA3ICO

  

, 2JA5JB3JCO

   

a) CMR : M, N, J thẳng hàng với M, N là trung điêm AB và BC

b) CMR J là trung điêm BI

c) Gọi E là điêm thuộc AB và thoả mãn AEk AB

 

Xác định k đê C, E, J thẳng hàng Bài Cho tam giác ABC I, J thoả mãn : IA2IB, 3JA2JC O=

    

CMR : Đường thẳng IJ qua G

Bài 7: Cho tam giaùc ABC có AM trung tuyến Gọi I trung điểm AM K điểm cạnh AC cho AK =

3

AC Chứng minh ba điểm B, I, K thẳng hàng

Bài 8: Cho tam giác ABC Hai điểm M, N xác định hệ thức

O AC NA

AB O MA

BC  ;    Chứng minh MN // AC

E Phân tích vecto theo các vecto khác phương Xác định vị trí điểm thoả mãn một đẳng thức Vectơ:

Bài 1: Cho điêm A, B, C Tìm vị trí điêm M cho : a) MBMCAB

  

b) 2MAMBMCO

   

c) MA2MBMCO

   

d) MAMB2MCO

   

e) MAMB MCO

   

f) MA2MB MCO

   

Bài 2: Cho tam giacù ABC có I, J , K laàn lượt trung điểm BC , CA , AB G trọng tâm tam giác ABC D, E xác định : AD= 2ABvà AE=52 AC

Tính DEvàDG theo ABvà AC Suy điểm D,G,E thẳng hàng

888=============================8888888888888===============================888

(4)

I.LÝ THÚT: 1.TRỤC TỌA ĐỘ:

Trục tọa độ (Trục , hay trục số ) là đường thẳng ta đã xác định điêm O và vec tơ đơn vi i  i 1

Điêm O gọi là gốc tọa độ , vec tơ i gọi là vec tơ đơn vị của trục tọa độ 2.Tọa độ vec tơ và điểm trục:

Cho vec tơ u nằn trục (O ; i ) Do i và u phương  u ai với a  R Số a gọi là độ dài đại số của u hay tọa độ của u trục (O ; i )

Cho điêm M nằm (O ; i ) =>mR:OM mi

Số m gọi là tọa độ của điêm M 3.Độ dài đại số vec tơ trục :

Trên trục ( O ; i ) có điêm A , B có tọa độ a và b Độ dài đại số của vec tơ AB kyù hiệuAB Ta có : ABb a

Tính chất :

AC BC AB i

O C B A CD

AB CD

AB    ; ; ( ; )::   ;

3.BÀI TÂP Bài 1:

Tìm độ dài đại số của vec tơ AB trục (O ; i ):

Áp dụng cơng thức : AB b a Vớia, blàtọađộcủaAvàB

Thí dụ : Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điêm A ; B ; C có tọ độ là –2 ; và 1.Tính tọa độ vec tơ : AB ; BC;CA 2.Chứng minh B là trung điêm của AC GIẢI:

AC điểm trung B

 

  

  

  

  

BC BA

CA BC

AB

3

6

3 1

Tổng quát :

Cho A ; B trục ( O ; i ) có tọa độ là a và b M là trung điêm của ABa+b = 2m (m là tọa độ của M) Bài 2:

Chứng minh hệ thức liên quan đến độ dài đại số vec tơ trục (O ; i )

Phương pháp:

Tính độ dài đại số vec tơ , chứng minh hệ thức đại số

Chú ý.Chọn điểm điểm gốc tọa độ để độ dài đại số vec tơ đơn giản hơn.

Thí dụ :

Hàng điêm điều hòa : Trên trục tọa độ (O ; i ) cho điêm A ; B ; C ; D có tọa độ là a ; b ;c ; d (ABCD) là hàng điêm đều hòa 

CB CA DB

DA  

AD AC ID

IC IB A I cd

ab d

c b

a 2 1

1        

AB AB) điểm trung I (

) (

) )( ( GIẢI:

O I

(5)

AD AC AB hay d c Chọn ID IC IB IA cd b cd d c b a cd ab b a d b a c cd ab bd ad bc ac cd ab ad cd ab bc cd bd ac ab a c d b c b d a c b c a d b d a CB CA DB DA 1 1 2 2 2                                                                      b bd bc 2cd (1) a có ta độ tọa goac A a cd ab cd) (1)2(ab -b a độ tọa goac AB I điểm trung Chọn ) )( )( ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) )( ( BÀI TẬP:

1.Trên trục tọa độ (O; i ) Cho điêm A và B có tọa độ a và b a)Tìm tọa độ điêm M cho MAkMB (k 1) ĐS: xM =

1   k a kb

b)Tìm tọa độ trung điêm I của AB ĐS:

2 b a xI  

c)Tìm tọa độ điêm N cho 2NA5NB ĐS:

7 5b a

xN

 

2.Trên trục (O ; i ) cho điêm A ; B ; C có tọa độ là a ; b ;c Tìm điêm I cho :

  IB IC

IA ĐS:

3

c b a xI   

3.Trên trục tọa độ cho điêm A ; B ;C ;D a.Chứng minh AB.CDAC.DBAD.BC 0

b.Gọi I,J ,K ,L là trung điêm của AC ; BD;AB và CD Chứng minh IJ và KL có chung trung điêm B.HỆ TRỤC TỌA ĐỘ

I.Lý thuyết :

1.Tọa độ điểm – Tọa độ vec tơ

  ) ; ( : ; ; : ; y x M j y i x OM R y x mpOxy M a a a j a i a a R a a mpOxy a                

 1 2 1 2 1 2

2.Các phép toán vec tơ:

Trong mp Oxy cho vec tơ a (a1;a2) ;b (b1;b2)

bp a a pa pa ap b ab a b a b ab a b a b a b a b a                   b phương cùng ) ; ( ) ; ( ) ;

( 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

2 2

1 1

3.Tọa độ số điểm đặt biệt :

Trong mpOxy cho điêm A(x1;y1) B(x2;y2) và C(x3;y3)

Tọa độ vecto ABx2  x1;y2  y1 Tọa độ M là trung điêm của AB 

       2 2

1 x y y

x

(6)

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC    



    

3

1 x x y y y

x

G ;

II.BÀI TẬP:

Bài Chứng minh vecto u (a1;a2) ;v (b1;b2) phương

Phương Pháp:

Giả sử vecto phương =>

  

   

pb a

pb a vp u

2 2

1 1

Nếu hệ có nghiệm thì vecto phương ; Nếu hệ vơ nghiệm thì vecto khơng phương

Chú ý :Nếu b1; b2 0 thì

2

b a v

u  

1 b a phương

cùng ;

Thí dụ :

Cho vecto u (1;3) ;v (2;6) Xét tính phương của vecto Giải :

2 1 2

1 2 1 6

3 21

  

    

   

 

    

 p

p p p p pu

phương cùng v u sử Giả

Hệ có nghiệm ; u ;v phương Thí dụ 2:

Trong mpOxy cho điêm A(–1; –2) B(3 ; 2) và C(4 ; –1) , Chứng minh ABC là tam giác GIẢI

AC AB AC

AB( ; ) ( ; )   ;

1 5

4 không phương => A ; B ; C không thẳng hàng

Vậy điêm A ; B ; C tạo thành tam giác Thí dụ 3:

Cho u m2 m 2;4 vaøv (m;2)  



 Định m đê vecto phương

GIẢI :

Xét m = =>u ( ; ) ;v ( ; )  u;v 

 

 

4 2

0

(7)

  

   

    

   

   

2

0 2

2

4

2 2

m m

m m m

m v phương m2 ;

u ; m Xeùt

BÀI TẬP:

1.Trong mpOxy cho điêm A (1 ;–2) B(0 ; 3) C(–3; 4) D(–1 ; 8) Bộ ba điêm nào thẳng hàng ĐS: A ; B ;D

2.Trong mpOxy cho điêm A(1 ;–2) B(3 ; –1) C(–3 ; 5) a.Chứng minh ABC là tam giác

b.Tìm tọa độ trọng tâm của tam gia1cABC c)Gọi I(0 ; 2) Chứng minh A ; G; M thẳng hàng d) Gọi D(-5;4) Chứng minh ABCD là hình bình hành Bài 2:Tìm tọa độ vecto:

PP.Áp dụng phép toán của vecto: Thí dụ :

Cho vecto: a 3; 2 b   1;5 c  2;5

Tìm tọa độ của vecto u 2a b  4c vaø v a2b5c

GIẢI

) ; ( )

; ( )

; (

) ; ( )

; ( )

; ( ) ; (

17 15 25

10

10 2

2

29 13 20

8

6

    

   

 

  

  

 

 

v c

b a

u c

b a

Bài tập

1.Cho vecto    6

2 1

2; ;   ; 

 

 

 

 b c

a Tìm tọa độ vecto

) ; ( : 28 32

4

2    

 a b c DS u

u

2.Cho tam giác ABC , G là trọng tâm của tam giác Tính tọa độ vecto u 3GA 2GC4GB ĐS: (1 ;

-14)

Bài 3: Phântíchvecto c (c1;c2) theo2vecto a(a1;a2 )và b (b1;b2) khôngcùng phương

  

 

    

2 2 2

1 1 1

c yb xa

c yb xa by ax

c sử Giả

phaùp Phương

Giải hệ tìm x ; y Thí dụ :

Cho a 3; 2 b   1;5 c  2;5

(8)

b a c y x yx

yx by

ax c sử 2.Giả

phương cùng không b;a 1-31. : GIAÛI

17 11 17 15 17 11 17 15 5

5 2

2 3 5

2

        

   

 

 

      

BÀI TẬP 1.Cho

 ;  b  ;  c  ; .Phântíchvectoa theo2vectob c ĐS:a b c a

10

4

3

1       



2.Cho a 5; 2 b 4;1 c  2;7

a.Chứng minh a ;b khơng phương B.Phân tích vecto b

a c : ÑS b ; a vecto theo

c 2 

Baøi 4:

Tìm tọa độ đỉnh thứ tư hình bình hành ABCD bieat A (x1;y1); B (x2y2 ) ;C(x3;y3)

Phương pháp : Cách

  

  

    

 

 

2 3 1

y y y y

x x x x BC AD haønh

bình hình là ABCD BC

; AD Tính )y; x( D Gọi

-Giải hệ tìm D(x ; y) Cách 2:

-Tìm trung điểm I AC -Tìm D bieat I trung điểm BD

Thí dụ :

Cho tam giác ABC với A(1; –2) B(3 ;–1) C(–3 ; 5) Tìm D cho ABCD hình bình hành GIẢI :

(9)

ABCD hình bình hành => I trung điểm BD => (D );

y x

45 3

1 2 3

  

 

 

 

Bài tập:

1.Cho điểm A(2;1) B(2;–1) C(–2 ;–3)

a.Chứng minh A,B,C không thẳng hàng Tìm D cho ABCD hình bình hành ĐS: D(–2;–1) 2.Cho tam giác ABC với A(–1;–2) B(3;2) C(4 ; -1)

a.Tìm trung điểm I AC b.Tìm D cho ABCD hình bình hành ĐS: I ; D(0; 5)

3

 

  

 



3.Trong mpOxy cho điểm M(-4 ; 1) N(2;4) P(2 ; –2) laàn lượt trung điểm cạnh BC ; CA AB tam giác ABC

a.Tìm A ; B ;C ĐS: A(8;1) B(-4;-5) C(-4;7)

b.Chứng minh tam giác ABC MNP có trọng tâm 4.Cho tam giác ABC với A(–3;6) B(9;–10) C(-5;4) a.Tìm tọa độ trọng tâm G tam giác ABC ĐS: b.Tìm D cho BGCD hình bình hành

5.Cho điểm A(-2 ; -3) B(3;7) C(0;3) vaø D(-4 ; -5)

a.Chứng minh AB //CD b Tìm giao điểm I AD BC ĐS (-12;-13) Hướng dẫn:

I độ tọa tìm hệ Giải -trình

phương hệ

Suy

-BC phương

BI AD phương

AI BC

; AD ; BI ; AI

Tính 



Bài 5: Tìm giao điểm đoạn thẳng AB CD với A(x1;y1) ; B(x1;y2) ; C(x3;y3) ; D(x4;y4)

Cách giải:

Gọi I (x;y) giao điểm đường thẳng AB CD

   

phương cùng

CD ; CI

phương cùng

AB ; AI

Giải tìm I(x;y)

I giao điểm đoạn AB CD 

   

hướng ngược

ID ; IC

hướng ngược

IB ; IA

Thí dụ 1:

Trong mpOxy cho điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) D(0;3) Tìm giao điểm đoạn thẳng AC BD

(10)

       (2) phương cùng BD ;BI )( phương cùng AC ;AI BD AC I Gọi 1 BD AC đoạn điểm giao ; I Vậy BD đoạn thuộc I IB ; ) ; ID ; IB AC đoạn thuộc I IA ; IC ) ; IA ; I x y ) ( ) ; ( BD ) y ; x ( BI y x y x ) ( ) ; ( AC ; ) y ; x ( AI                                                                              3 3 4 3 3 3 2 6

Bài tập :

1 Trong mpOxy cho điểm A(0 ; 1) B(1; 3) C(2 ;7 ) D(0;3).Tìm giao điểm đoạn thẳng ADvà BC (ĐS: Đoạn AD không cắt BC)

2 Trong mpOxy cho điểm A(0 ; 1) B(-1; -2) C(1 ;5 ) vaø D(-1;-1)

a.Tìm giao điểm đoạn thẳng AC BD b, Tìm giao điểm BD AC

Bài 6: Tìm tọa độ điểm mặt phẳng tọa độ:

Để tìm tọa độ điểm M(x ; y) mp Oxy , ta dựng đường vng góc MA1 vơi Ox MA2 với Oy

Ta coù x = OA1 ;yOA2

Thí dụ : Cho hình bình hành ABCD có AD = chieàu cao ứng với cạnh AD = 3, BAD=600 Chọn hệ

trục tọa độ hình vẽ Tìm tọa độ vecto AB;BC; CD; AC

H A x y D B C Bài tập:

Kẻ BH  AD =>BH=3 ;AB=2 ; AH =

   

4 3

(11)

1.Cho tam giác đeàu ABC có cạnh a Chọn hệ trục tọa độ Oxy sau: O trung điểm BC , trục hoành hướng với tia OC , trục tung hướng với tia OA

a.Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC b.Tìm tọa độ trung điểm I AC

c.Tìm tọa độ tâm đường tròn nội tieap tam giác ABC

Bài : Cho tam giác ABC Các điểm M(1; 0) , N(2; 2) , p(-1;3) laàn lượt trung điểm cạnh BC, CA, AB Tìm tọa độ đỉnh tam giác

Bài : Cho A(1; 1); B(3; 2); C(m+4; 2m+1) Tìm m để điểm A, B, C thẳng hàng

Bài : Cho tam giác đeàu ABC cạnh a Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), O trung

điểm BC, i hướng với OC, j hướng OA

a) Tính tọa độ đỉnh tam giác ABC b) Tìm tọa độ trung điểm E AC

c) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tieap tam giác ABC

Bài : Cho lục giác đeàu ABCDEF Chọn hệ trục tọa độ (O; i ; j ), O tâm lục giác đeàu ,

i hướng với OD, j hướng EC

Tính tọa độ đỉnh lục giác đeàu , bieat cạnh lục giác Bài 5:Cho A(-1; 2), B (3; -4), C(5; 0) Tìm tọa độ điểm D neau bieat:

a) AD – 2BD + 3CD = 0

b) AD – 2AB = 2BD + BC

c) ABCD hình bình hành

d) ABCD hình thang có hai đáy BC, AD với BC = 2AD

Bài :Cho hai điểm I(1; -3), J(-2; 4) chia đọan AB thành ba đọan AI = IJ = JB a) Tìm tọa độ A, B

b) Tìm tọa độ điểm I’ đoai xứng với I qua B

c) Tìm tọa độ C, D bieat ABCD hình bình hành tâm K(5, -6) Bài 7: Cho a=(2; 1) ;b=( ; 4) c=(7; 2)

a) Tìm tọa độ vectơ u= 2a - 3b + c

b) Tìm tọa độ vectơ x thỏa x + a =b - c

Tìm soa m ; n thoûa c = ma+ nb

Bài : Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(4 ; 0), B(8 ; 0), C(0 ; 4), D(0 ; 6), M(2 ; 3) a/ Chứng minh rằng: B, C, M thẳng hàng và A, D, M thẳng hàng

b/ Gọi P, Q, R là trung điêm đoạn thẳng OM, AC và BD Chứng minh rằng: điêm P, Q, R thẳng hàng

(12)

Bài 10 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho G(1 ; 2) Tìm tọa độ điêm A thuộc Ox và B thuộc Oy cho G là trọng tâm tam giác OAB

Bài 11 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho A(-4 ; 1), B(2 ; 4), C(2 ; -2) a/ Chứng minh A, B, C là đỉnh của tam giác

b/ Tính chu vi của tam giác ABC

c/ Xác định tọa độ trọng tâm G và trực tâm H

Bài 12 Cho tam giác ABC với A(1 ; 2), B(5 ; 2), C(1 ; -3) a/ Xác định tọa độ điêm D cho ABCD là hình bình hành b/ Xác định tọa độ điêm E đối xứng với A qua B

c/ Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC Bài 13 Cho A(1 ; 3), B(5 ; 1)

a/ Tìm tọa độ điêm I thỏa IOIA IB0

b/ Tìm trục hoành điêm D cho góc ADB vng

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	557,5 KB