Các dạng bài tập VDC mặt nón, hình nón và khối nón - TOANMATH.com

CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện của hình nón 1.. Phương pháp giải Nắm vững các công thức v[r]

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NÓN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ là  cắt O và tạo thành góc  với 0    90 Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ thì đường thẳng  sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi là trục mặt nón  Đường thẳng  gọi là đường sinh mặt nón  Góc 2 gọi là góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M là điểm tùy ý mặt nón N  khác với điểm O thì đường thẳng OM là đường sinh mặt nón đó HÌNH NÓN TRÒN XOAY Cho OIM vuông I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là Chú ý: Nếu cắt mặt nón  N  hai mặt đường cao và OM gọi là đường sinh hình nón  Hình tròn tâm I, bán kính r  IM là đáy hình nón phẳng song song  P và  Q  với  P qua O và vuông góc với  thì phần mặt nón  N  giới hạn hai mặt phẳng  P  và  Q  và hình tròn giao tuyến  Q  và mặt nón  N  là hình nón KHỐI NÓN TRÒN XOAY Phần không gian giới hạn hình nón tròn xoay kể hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối nón ta thường vẽ hình bên nhận xét: - Nếu mp  P  chứa OI thì thiết diện mp  P  và khối nón là hình tam giác cân O - Nếu mp  P  vuông góc với OI (không chứa O) thì thiết diện mp  P  và khối nón (nếu có) là hình tròn Hình tròn thiết diện này có diện tích lớn mp  P  qua I CÔNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là  thì có: - Diện tích xung quanh: S xq  r - Diện tích đáy (hình tròn): S ht  r - Diện tích toàn phần: Stp  r   r 1 - Thể tích khối nón: V  S ht h  r h 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ và  cắt O và tạo thành góc  Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ thì đường thẳng  sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay HÌNH NÓN TRÒN XOAY Cho OMI vuông I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi là hình nón tròn xoay KHỐI NÓN TRÒN XOAY Phần không gian giới hạn hình nón tròn xoay kể hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón CÁC CÔNG THỨC S xq  r  Diện tích xung quanh S ht  r Diện tích đáy Diện tích toàn phần Thể tích Stp  r   r 1 V  S ht h  r h 3 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững các công thức diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón quanh, diện tích toàn phần, diện tích đáy có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân Biết sử dụng các kết phần kiến thức diện tích 2? quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các A S  2 B S  4 hệ thức lượng tam giác… để áp dụng C S  2 D S  2 vào tính toán Hướng dẫn giải Tam giác OAB vuông cân diện tích  OA2  2  OA  OB  AB  22  22  2 hR AB  2 Suy S xq   2.2  2 Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện là tam giác cạnh 2a Tính diện tích toàn phần hình nón đó A 6a B 24a C 3a D 12a Hướng dẫn giải Chọn C Ta có h  2a  a 3,   2a, r  a Diện tích toàn phần hình nón là Stp  r   r  .a.2a  .a  3a Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9 Độ dài đường cao hình nón Lưu ý: Diện tích tam giác cạnh x là: S  x2 và độ dài chiều cao là: h x Ở bài toán này x  2a A 3 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r , , h là bán kính đường tròn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón đã cho r  9 r  nên  Theo giả thiết ta có    r     Lại có h    r đó h  36   3 Bài tập 3: Thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông Mặt phẳng    qua đỉnh S hình nón đó cắt đường tròn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc    và đáy hình nón 60 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm Lưu ý: Tam giác SMN là tam MN giác cân S và Ta có MN là giao tuyến đường tròn đáy và SM  SN  mặt phẳng    , lại có OH  MN , SH  MN Do đó góc  và đáy hình nón là   60 SHO Vì thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông  SO  Xét SOH vuông O có sin 60  SO SO  SH   sin 60 SH  6 Khi đó MN  SN  SH        2 Vậy diện tích tam giác SMN là S SMN  1 SH MN   2 3 Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  a   30 , SAB   60 Độ dài đường sinh hình nón theo a và SAO A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I là trung điểm AB, dựng OH  SI Ta có OH  a   60 nên tam giác SAB Do SAB Lưu ý: Suy SA  SB  AB  Ta có: OH  SI (1) Mặt khác  AB  OI  AB   SOI    AB  SI   30  SO  SA.sin 30  SA SAO  AB  OH (2) SA và OA  SA.cos 30  Từ (1) và (2) suy ra: OH   SAB  , đó Xét tam giác SOI ta có 1 1 1       2 2 2 OH OS OI OS OA  AI    SA   2   SA     SA  2   2   d  O;  SAB    OH  Có thể đặt SA  x a   SA  OH  6a 2 OH SA Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính 2a và độ dài đường sinh a Mặt phẳng  P  qua đỉnh S cắt hình   nón theo thiết diện là tam giác có chu vi  a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  P  là A d  d a a B d  a D d  a C Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử thiết diện là tam giác SAB, đó ta có Do: 1   2 OH OE OS   SA  SB  AB   a  OH    OS OE OS  OE  a  a  AB   a  AB  2a Gọi E là trung điểm AB, ta có AB  SE , mặt khác AB  SO nên AB   SOE  Kẻ OH  SE H, ( H  SE ) Ta thấy OH  AB vì OH   SOE   OH   SAB  Vậy khoảng cách từ S đến  P  là OH (hay d  O;  P    OH ) EB  AB  a, OB  R  2a, OE  OB  EB  4a  a  a SO  SB  OB  5a  4a  a , OH  OS OE OS  OE Vậy d  2  a.a a  3a 2  a a Bài tập 6: Cho hình nón tròn xoay nằm hai mặt phẳng song song P và  Q  hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón và gọi I là trung điểm SO Lấy M   P  , N   Q  , MN  a và qua I cắt mặt nón E và F đồng thời tạo với SO góc  Biết góc đường cao và đường sinh hình nón 45 Độ dài đoạn EF là A EF  2a C EF  a tan 2 a B EF   tan 2 D EF  2a tan 2 Hướng dẫn giải Chọn B Lưu ý: S SFI  S SEI  S SFE (*) S SFI  SF SI sin 45 S SEI  SE.SI sin 45 S SFE  SF SE.sin 90 Xét tam giác NIO có OI  NI cos   a a cos , NO  NI sin   sin  2 Xét tam giác SEF vuông S có   ESM   SME   45  90    135   SEF   SE.tan 135     SE  tan  SF  SE.tan SEF tan    nên Vì SI là độ dài đường phân giác góc FSE SI  SE tan 135    SE.SF a  cos   SE  SF  tan 135      tan   a 1  cos  tan    a sin    SE    tan  1  tan   2 tan   Do đó EF  SE SE a sin  a     tan 2  cos SEF cos 135    1  tan    cos   sin   Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên và mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq  a B S xq  a 10 C S xq  a D S xq  a Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác ABC, đó SO   ABC  Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA Gọi H là trung điểm BC thì   60  SBC  ;  ABC    SHO  Tam giác ABC và O là tâm tam giác nên OH  1 a a AH   ; 3 OA  a AH  3 Thay vào (*) ta SI  SE.SF SE  SF   60 nên Tam giác SOH vuông O và có SHO SO  OH tan 60  a a 3 Tam giác SOA vuông O nên SA  SO  OA2  a 3a a 21   Diện tích xung quanh hình nón là S xq  r   .OA.SA   a a 21 a  6 Dạng 2: Tính thể tích khối nón, bài toán cực trị Phương pháp Ví dụ: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh 6a Thể tích V khối nón đã cho là A V  3a C V  3a B V  a D V  a Hướng dẫn giải Nhìn vào công thức tính thể tích khối nón Chọn C 1 Vn  S ht h  r h 3 ta thấy cần xác định chiều cao và diện tích đáy (bán kính đáy) khối nón Đối với bài toán cực trị ta thường tính toán 1 Thể tích V  R h  .OA2 SO 3 vào biến sau đó dùng đánh giá (sử ASB  60   ASO  30 dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có  đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc để tìm kết  tan 30  OA   SO  OA SO Lại có S xq  R  .OA.SA  OA OA2  SO  6a  OA OA2  3OA2  6a  2OA2  6a  OA  a  SO  3a  V  .3a 3a  3a Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có  ABC  45,  ACB  30, AB  Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối tròn xoay có thể tích V A V  C V    1  B V    1  D V    1  24   1  Hướng dẫn giải Lưu ý: V chính là tổng Chọn B Ta có thể tích hai khối AB AC BC   sin 30 sin 45 sin105 nón: Khối nón có chiều cao BH đường sinh AB  AC    5    BC  sin  12 cao CH và đường sinh Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A AC và khối nón có chiều Ta có AH BC  AB AC.sin105  AH  Suy thể tích khối tròn xoay cần tìm là    1 1 V  AH BH  AH CH  AH BC  24 3 Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón  N  có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón  N  là A V   3a 27 B V  6a 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác BCD Ta có AO  h, OC  r a a r  3 C V   6a D V   6a 27 Suy a 3 2a h  a  r  a       2 1 a a  6a  Vậy thể tích khối nón là V  r h   3 27 Bài tập 3: Cho hình nón  N  có góc đỉnh 60 Mặt phẳng qua trục  N  cắt  N  theo thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Thể tích khối nón  N  là A V  3 B V  3 C V  3 D V  6 Hướng dẫn giải Chọn C Tam giác SAB vì có SA  SB và  ASB  60 Tâm đường tròn ngoại tiếp SAB là trọng tâm tam giác Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là r SO   SO  Mà SO  SA.sin 60  SA  SO  2 sin 60 Vậy bán kính đường tròn khối nón là R  Vậy thể tích khối nón là V   AB   2    3 Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC là tam giác vuông B Biết BC  a, AB  a 3, AD  3a Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối tròn xoay Thể tích phần chung hai khối tròn xoay đó bằng: A 3a 16 B 3a C 3a 16 Hướng dẫn giải Chọn A D 3a 16 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE  cm Gọi I  AC  BE , IH  AB , H Phần chung khối nón quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH Ta có IBC đồng dạng với IEA  Mặt khác IH // BC  IC BC    IA  3IC IA AE AH IH AI 3 3a     IH  BC  AB BC AC 4 Gọi V1 ; V2 là thể tích khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H 1 V1  IH AH ; V2  IH BH 3  V  V1  V2  V    9a 3a 3 IH AB  V   .a  V  3 16 16 Bài tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho A B C Hướng dẫn giải Chọn D Hai hình nón có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích tỉ số diện tích mặt đáy Vì tam giác ABC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp D đường cao tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp 3 đường cao tam giác Suy r V S     R V2 S Bài tập 6: Cho đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh ghép lại, đó đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 hình bên Biết chiều cao đồng hồ là 30cm và tổng thể tích đồng hồ là 1000  cm3  Hỏi cho đầy lượng cát vào phần trên thì chảy hết xuống dưới, đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần là bao nhiêu? A 3 B C 27 D 64 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi bán kính hình nón lớn và nón nhỏ là x, y  x  y  Suy chiều cao hình nón lớn và nón nhỏ là x 3, y  x  y  30  Theo giả thiết, ta có  2  x x  y y  1000 3  x  y  10 20 10  x , y 3 3  x  y  1000 3  y Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính    x Bài tập 7: Trong tất các hình nón có độ dài đường sinh  Hình nón có thể tích lớn A 3 B 23 C 3 27 D 23 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi h   h    là chiều cao hình nón, suy bán kính r    h Suy thể tích khối nón là 1 V  r h     h  h3   f  h  3 Xét hàm f  h    h  h3 trên  0;     h  f   h     3h       h    khong thoa man   Lập bảng biến thiên ta    23 Ta thấy max f  h   f    3 3 Vậy Vmax  23  Dấu “=” xảy  h  27 Bài tập 8: Trong các hình nón cùng có diện tích toàn phần S Hình nón có thể tích lớn ( r ,  là bán kính đáy và đường sinh hình nón) A   3r B   2r C   r D   2r Hướng dẫn giải Chọn A Ta có S  r   r    S  r r Thể tích Lưu ý: điều kiện  S  r  2 1 V  r h  r   r  r 3 2 r S  Sr  2r  r  Lập bảng biến thiên cho hàm f  r   Sr  2r trên  0;   , ta thấy hàm số đạt giá trị lớn r  S    3r 4 Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân với cạnh đáy a và có diện tích là a Gọi A, B là hai điểm trên đường tròn  O  Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a3 B a3 C a3 12 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Tam giác cân SCD, có SSCD  CD.SO  a  a.SO  SO  2a 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO  2a không đổi nên để thể tích lớn và diện tích tam giác OAB lớn 1 AOB  r sin  AOB (với r là bán kính đường Mà SOAB  OA.OB.sin  2 AOB  Khi đó tròn mặt đáy hình nón) Do đó để S OAB lớn sin  Vmax  a3 12 Bài tập 10: Cho hình nón  N1  có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón  N2  có đỉnh là tâm đáy  N1  và có đáy là thiết diện song song với đáy  N  hình vẽ biến khảo sát hàm Khối nón  N  có thể tích lớn chiều cao x A h B h C 2h D h Hướng dẫn giải Chọn B Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu hình vẽ Với O, I là tâm đáy hình nón  N1  ,  N  ; R, r là các bán kính hai đường tròn đáy  N1  ,  N  Ta có R h  x SI r hx r    r  SO R h R h Thể tích khối nón  N  là R 1 R h  x  r x    x x  h  x  2 h 3 3h V N2  Xét hàm f  x   x  h  x   x3  2hx  h x trên  0; h  Ta có x  h f   x   x  4hx  h ; f   x     x  h  2 Lập bảng biến thiên ta có Vậy f  x  đạt giá trị lớn trên khoảng  0; h  x  h Bài tập 11: Xét các hình nón có đường sinh với độ dài 10cm Chiều cao hình nón có thể tích lớn là A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Chọn D Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán kính đáy là y cm (x, y dương) Ta có x  y  102  y  100  x , ta có điều kiện x, y   0;10  Thể tích khối nón là 1 V  r h   100  x  x 3 Xét hàm số f  x   100  x  x  100 x  x3 , x   0;10  ; f   x   100  x ; f   x    x  10 Bảng biến thiên Ta thấy V lớn f  x  lớn x  10 cm Bài tập 12: Giả sử đồ thị hàm số y   m  1 x  2mx  m  có điểm cực trị là A, B, C mà x A  xB  xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối tròn xoay đó lớn thuộc khoảng nào các khoảng đây? A  4;6  B  2;  C  2;0  Hướng dẫn giải Chọn B D  0;  y   m  1 x3  4mx  x  m  1 x  m  x  y   x  m  1 x  m     m x   m  0   m 1 2 Với m  thì đồ thị hàm số có điểm cực trị (với x A  xB  xC ) là   m m2 2 A   ;   m   ; B  0; m  1 ; 2  m 1 m 1    m m2 C  ;   m   2  m 1 m 1  Quay ABC quanh AC thì khối tròn xoay có thể tích là 2  m2  m V  r h  BI IC       3  m 1 m 1 Xét hàm f  m   Ta có f   m   m m9  1 m8   m  m  1 m m9  1 ; f   m   m  3 m  0 Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích cần tìm lớn m  Bài tập 13: Cho tam giác ABC vuông A, có AB  cm, AC  cm Gọi M điểm di động trên cạnh BC cho MH vuông góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành là A  B 4 C 8 D 4 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt AH  x  cm  ,  x  Khi đó BH   x  cm  Xét tam giác BHM vuông H  Ta có tan HBM HM BH     x  tan HBM   HM  BH tan HBM AC   tan  Mà tan HBM ABC    AB Do đó HM    x  Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH là V    AH .HM  x   x    x  12 x  36 x  (1) 3 12 Xét hàm số f  x   x3  12 x  36 x với  x  , ta có x  f   x   x  24 x  36; f   x    x  24 x  36    x  Bảng biến thiên hàm số f  x   x  12 x  36 x với  x  Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn khối nón tạo thành là V  8 32  12 Bài tập 14: Cho hình lập phương ABCD ABC D có thể tích Gọi N là hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A, B, C , D nằm trên các đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón  N  có giá trị nhỏ A 2 B 3 C 9 D 9 16 Hướng dẫn giải Chọn C Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và qua mặt phẳng  AAC C  , kí hiệu hình vẽ Với I, H là tâm hình vuông ABCD, ABC D và đỉnh A nằm trên đường sinh EF hình nón Hình lập phương có thể tích nên AA  HI  1, AH  Đặt EH  x  x   Khi đó, ta có EH AH x 2  x 1      FI   r EI FI x  FI  x  Thể tích khối nón  N  là 1  x 1    x  1  r EI      x  1   x  x2 V N  Xét hàm số f  x   Lập bảng biến thiên  x  1 x2 3 trên  0;   Ta có f   x    x   x  1 x3 Ta f  x    0;  27 9 x  Suy V N   Bài tập 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R  a , góc đỉnh là 120 Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác Diện tích lớn tam giác đó A B 2a 3a C a D 3a Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử SAM là thiết diện tạo mặt phẳng và hình nón   Gọi AM  x  x  2a Gọi H là trung điểm AM  OH  AM  AM   SOH   AM  SH AO   SA  sin 60  2a Vì  ASB  120   ASO  60    SO  AO  a tan 60  OH  OA2  AH  3a  S SAM  x2 x2  SH  OH  SO  4a  4 1 x2 AM SH  x 4a  2 Ta có   x2 x2  S    4a  2 x2 4a      2   16a  x  S    x  2a  x2  4a    S max  2a Bài tập 16: Cho mặt cầu  S  bán kính R Hình nón  N  thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu  S  Thể tích lớn khối nón  N  là A 32R 81 B 32 R 81 C 32R 27 D Hướng dẫn giải Chú ý: Sau tính Chọn A Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn thể tích khối nón đỉnh S  Do đó cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI  h với h  R Thể tích khối nón tạo nên N  là 1 V  hSC   h..r 3  h.  R   h  R         h  2h R  Xét hàm số f  h    h3  2h R với h   R; R  Ta có f   h   3h  4hR 4R f   h    3h  4hR   h  (loại) h  Bảng biến thiên 32 R 27 V     h3  2h R  ta có thể làm sau: V     h3  2h R   h  R  h    h.h  R  2h     h  h  R  2h    6   32R 81 Đẳng thức xảy và h  R  2h  h  4R Ta có max f  h   32 4R R h  27 Vậy thể tích khối nón tạo nên  N  có giá trị lớn là 32 32 4R V   R  R h  27 81 Dạng Bài toán thực tế hình nón, khối nón Bài tập 1: Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau đó người thợ quấn và hàn ba miếng tôn đó để ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích V cái phễu đó bao nhiêu? A V  16000 lít B V  16 2 lít C V  16000 2 160 2 lít D V  lít 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đổi 60 cm = dm Đường sinh hình nón tạo thành là   dm Chu vi đường tròn ban đầu là C  2R  12 Gọi r là bán kính đường tròn đáy hình nón tạo thành Chu vi đường tròn đáy hình nón tạo thành là 2r  2.6 4  (dm)  4 (dm)  r  2 Đường cao khối nón tạo thành là h    r  62  22  1 16 2 16 2 (lít) Thể tích phễu là V  r h  22.4  dm3    3 3 Bài tập 2: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng là khối nón có chiều cao 2dm (mô tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ còn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm) A h  1, 73 dm B h  1,89 dm C h  1,91 dm D h  1, 41 dm Hướng dẫn giải Chọn C Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ AH  Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai AD  Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai AF  h Theo Ta-lét ta có R AD R AF h R Rh   ,   suy R  , R  R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ V  2R Thể tích phần nước ly thứ hai V1  R2 h  R h3 Thể tích phần nước còn lại ly thứ V2  R Mà V  V1  V2  R h3 R h3   2R     h   1,91 4 4 Bài tập 2: Một bể nước lớn khu công nghiệp có phần chứa nước là khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA  27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát để làm vệ sinh bể chứa Công nhân cho thoát nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần thoát Tính độ dài đoạn MN A 27    m  9 3 B 9 C 3 D 3   1 m  1 m  m Hướng dẫn giải Chọn C Ta gọi V1 , V2 , V là thể tích khối nón có đường sinh là SN, SM, SA Do SEM đồng dạng với SOA nên ta có SM SE EM   SA SO OA 3 .EM SE V2  SA   SM  Lại có         SM  13122 V SM 3 27     .OA SA 3 Tương tự V1  SN   SN        SN  6561 V  SA   27  Vậy MN  SM  SN  13122  6561