Các dạng bài tập VDC mặt cầu, mặt trụ, mặt nón - TOANMATH.com

Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là giao điểm của trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực của một cạnh bên Chú ý: Trong khuôn khổ bài tập thường xoay quanh hình[r]

CHƯƠNG 2: MẶT NÓN, MẶT TRỤ, MẶT CẦU BÀI 1: MẶT NÓN A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ là  cắt O và tạo thành góc  với 0    90 Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ thì đường thẳng  sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay (hay đơn giản là mặt nón) Khi đó:  Đường thẳng Δ gọi là trục mặt nón  Đường thẳng  gọi là đường sinh mặt nón  Góc 2 gọi là góc đỉnh mặt nón Nhận xét: Nếu M là điểm tùy ý mặt nón N  khác với điểm O thì đường thẳng OM là đường sinh mặt nón đó HÌNH NÓN TRÒN XOAY Cho OIM vuông I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi là hình nón tròn xoay (gọi tắt là hình nón) Khi đó:  Đường thẳng OI gọi là trục, O là đỉnh, OI gọi là Chú ý: Nếu cắt mặt nón  N  hai mặt đường cao và OM gọi là đường sinh hình nón  Hình tròn tâm I, bán kính r  IM là đáy hình nón phẳng song song  P và  Q  với  P qua O và vuông góc với  thì phần mặt nón  N  giới hạn hai mặt phẳng  P  và  Q  và hình tròn giao tuyến  Q  và mặt nón  N  là hình nón KHỐI NÓN TRÒN XOAY Phần không gian giới hạn hình nón tròn xoay kể hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón Các khái niệm tương tự hình nón Xét khối nón có hình biểu diễn là hình bên thì ta có Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình nón hay khối nón ta thường vẽ hình bên nhận xét: - Nếu mp  P  chứa OI thì thiết diện mp  P  và khối nón là hình tam giác cân O - Nếu mp  P  vuông góc với OI (không chứa O) thì thiết diện mp  P  và khối nón (nếu có) là hình tròn Hình tròn thiết diện này có diện tích lớn mp  P  qua I CÔNG THỨC CẦN NHỚ Hình nón có chiều cao là h, bán kính đáy r và độ dài đường sinh là  thì có: - Diện tích xung quanh: S xq  r - Diện tích đáy (hình tròn): S ht  r - Diện tích toàn phần: Stp  r   r 1 - Thể tích khối nón: V  S ht h  r h 3 SƠ ĐỒ HỆ THỐNG HÓA MẶT NÓN MẶT NÓN TRÒN XOAY Trong mặt phẳng  P  Cho hai đường thẳng Δ và  cắt O và tạo thành góc  Khi quay mặt phẳng  P  xung quanh Δ thì đường thẳng  sinh mặt tròn xoay đỉnh O gọi là mặt nón tròn xoay HÌNH NÓN TRÒN XOAY Cho OMI vuông I quay quanh cạnh góc vuông OI thì đường gấp khúc OMI tạo thành hình, gọi là hình nón tròn xoay KHỐI NÓN TRÒN XOAY Phần không gian giới hạn hình nón tròn xoay kể hình đó ta gọi là khối nón tròn xoay hay ngắn gọn là khối nón CÁC CÔNG THỨC S xq  r  Diện tích xung quanh S ht  r Diện tích đáy Diện tích toàn phần Thể tích Stp  r   r 1 V  S ht h  r h 3 B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, độ dài đường sinh, chiều cao, bán kính đáy, thiết diện hình nón Phương pháp giải Nắm vững các công thức diện tích xung Ví dụ: Tính diện tích xung quanh khối nón quanh, diện tích toàn phần, diện tích đáy có thiết diện qua trục là tam giác vuông cân Biết sử dụng các kết phần kiến thức diện tích 2? quan hệ song song, quan hệ vuông góc, các A S  2 B S  4 hệ thức lượng tam giác… để áp dụng C S  2 D S  2 vào tính toán Hướng dẫn giải Tam giác OAB vuông cân diện tích  OA2  2  OA  OB  AB  22  22  2 hR AB  2 Suy S xq   2.2  2 Chọn A Bài tập Bài tập 1: Cắt hình nón mặt phẳng qua trục ta thiết diện là tam giác cạnh 2a Tính diện tích toàn phần hình nón đó A 6a B 24a C 3a D 12a Hướng dẫn giải Chọn C Ta có h  2a  a 3,   2a, r  a Diện tích toàn phần hình nón là Stp  r   r  .a.2a  .a  3a Bài tập 2: Cho hình nón có đường sinh đường kính đáy, diện tích đáy hình nón 9 Độ dài đường cao hình nón Lưu ý: Diện tích tam giác cạnh x là: S  x2 và độ dài chiều cao là: h x Ở bài toán này x  2a A 3 B C D Hướng dẫn giải Chọn A Gọi r , , h là bán kính đường tròn đáy, đường sinh, chiều cao hình nón đã cho r  9 r  nên  Theo giả thiết ta có    r     Lại có h    r đó h  36   3 Bài tập 3: Thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông Mặt phẳng    qua đỉnh S hình nón đó cắt đường tròn đáy M, N Tính diện tích tam giác SMN, biết góc    và đáy hình nón 60 A B C D Hướng dẫn giải Chọn C Gọi O là tâm đường tròn đáy, H là trung điểm Lưu ý: Tam giác SMN là tam MN giác cân S và Ta có MN là giao tuyến đường tròn đáy và SM  SN  mặt phẳng    , lại có OH  MN , SH  MN Do đó góc  và đáy hình nón là   60 SHO Vì thiết diện qua trục hình nón là tam giác vuông có cạnh góc vuông  SO  Xét SOH vuông O có sin 60  SO SO  SH   sin 60 SH  6 Khi đó MN  SN  SH        2 Vậy diện tích tam giác SMN là S SMN  1 SH MN   2 3 Bài tập 4: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A và B là hai điểm thuộc đường tròn đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng  SAB  a   30 , SAB   60 Độ dài đường sinh hình nón theo a và SAO A a B a C 2a D a Hướng dẫn giải Chọn A Gọi I là trung điểm AB, dựng OH  SI Ta có OH  a   60 nên tam giác SAB Do SAB Lưu ý: Suy SA  SB  AB  Ta có: OH  SI (1) Mặt khác  AB  OI  AB   SOI    AB  SI   30  SO  SA.sin 30  SA SAO  AB  OH (2) SA và OA  SA.cos 30  Từ (1) và (2) suy ra: OH   SAB  , đó Xét tam giác SOI ta có 1 1 1       2 2 2 OH OS OI OS OA  AI    SA   2   SA     SA  2   2   d  O;  SAB    OH  Có thể đặt SA  x a   SA  OH  6a 2 OH SA Bài tập 5: Cho hình nón đỉnh S, đáy là đường tròn tâm O bán kính 2a và độ dài đường sinh a Mặt phẳng  P  qua đỉnh S cắt hình   nón theo thiết diện là tam giác có chu vi  a Khoảng cách d từ O đến mặt phẳng  P  là A d  d a a B d  a D d  a C Hướng dẫn giải Chọn D Giả sử thiết diện là tam giác SAB, đó ta có Do: 1   2 OH OE OS   SA  SB  AB   a  OH    OS OE OS  OE  a  a  AB   a  AB  2a Gọi E là trung điểm AB, ta có AB  SE , mặt khác AB  SO nên AB   SOE  Kẻ OH  SE H, ( H  SE ) Ta thấy OH  AB vì OH   SOE   OH   SAB  Vậy khoảng cách từ S đến  P  là OH (hay d  O;  P    OH ) EB  AB  a, OB  R  2a, OE  OB  EB  4a  a  a SO  SB  OB  5a  4a  a , OH  OS OE OS  OE Vậy d  2  a.a a  3a 2  a a Bài tập 6: Cho hình nón tròn xoay nằm hai mặt phẳng song song P và  Q  hình vẽ Kẻ đường cao SO hình nón và gọi I là trung điểm SO Lấy M   P  , N   Q  , MN  a và qua I cắt mặt nón E và F đồng thời tạo với SO góc  Biết góc đường cao và đường sinh hình nón 45 Độ dài đoạn EF là A EF  2a C EF  a tan 2 a B EF   tan 2 D EF  2a tan 2 Hướng dẫn giải Chọn B Lưu ý: S SFI  S SEI  S SFE (*) S SFI  SF SI sin 45 S SEI  SE.SI sin 45 S SFE  SF SE.sin 90 Xét tam giác NIO có OI  NI cos   a a cos , NO  NI sin   sin  2 Xét tam giác SEF vuông S có   ESM   SME   45  90    135   SEF   SE.tan 135     SE  tan  SF  SE.tan SEF tan    nên Vì SI là độ dài đường phân giác góc FSE SI  SE tan 135    SE.SF a  cos   SE  SF  tan 135      tan   a 1  cos  tan    a sin    SE    tan  1  tan   2 tan   Do đó EF  SE SE a sin  a     tan 2  cos SEF cos 135    1  tan    cos   sin   Bài tập 7: Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, góc mặt bên và mặt đáy 60 Tính diện tích xung quanh S xq hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC A S xq  a B S xq  a 10 C S xq  a D S xq  a Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác ABC, đó SO   ABC  Hình nón đỉnh S, có đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có đường sinh là SA, bán kính đường tròn đáy là OA Gọi H là trung điểm BC thì   60  SBC  ;  ABC    SHO  Tam giác ABC và O là tâm tam giác nên OH  1 a a AH   ; 3 OA  a AH  3 Thay vào (*) ta SI  SE.SF SE  SF   60 nên Tam giác SOH vuông O và có SHO SO  OH tan 60  a a 3 Tam giác SOA vuông O nên SA  SO  OA2  a 3a a 21   Diện tích xung quanh hình nón là S xq  r   .OA.SA   a a 21 a  6 Dạng 2: Tính thể tích khối nón, bài toán cực trị Phương pháp Ví dụ: Cho hình nón có góc đỉnh 60 , diện tích xung quanh 6a Thể tích V khối nón đã cho là A V  3a C V  3a B V  a D V  a Hướng dẫn giải Nhìn vào công thức tính thể tích khối nón Chọn C 1 Vn  S ht h  r h 3 ta thấy cần xác định chiều cao và diện tích đáy (bán kính đáy) khối nón Đối với bài toán cực trị ta thường tính toán 1 Thể tích V  R h  .OA2 SO 3 vào biến sau đó dùng đánh giá (sử ASB  60   ASO  30 dụng bất đẳng thức, khảo sát hàm số…) Ta có  đưa đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc để tìm kết  tan 30  OA   SO  OA SO Lại có S xq  R  .OA.SA  OA OA2  SO  6a  OA OA2  3OA2  6a  2OA2  6a  OA  a  SO  3a  V  .3a 3a  3a Bài tập Bài tập 1: Cho tam giác ABC có  ABC  45,  ACB  30, AB  Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối tròn xoay có thể tích V A V  C V    1  B V    1  D V    1  24   1  Hướng dẫn giải Lưu ý: V chính là tổng Chọn B Ta có thể tích hai khối AB AC BC   sin 30 sin 45 sin105 nón: Khối nón có chiều cao BH đường sinh AB  AC    5    BC  sin  12 cao CH và đường sinh Gọi H là chân đường cao kẻ từ đỉnh A AC và khối nón có chiều Ta có AH BC  AB AC.sin105  AH  Suy thể tích khối tròn xoay cần tìm là    1 1 V  AH BH  AH CH  AH BC  24 3 Bài tập 2: Cho tứ diện ABCD có cạnh a Hình nón  N  có đỉnh A và đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD Thể tích V khối nón  N  là A V   3a 27 B V  6a 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi O là tâm tam giác BCD Ta có AO  h, OC  r a a r  3 C V   6a D V   6a 27 Suy a 3 2a h  a  r  a       2 1 a a  6a  Vậy thể tích khối nón là V  r h   3 27 Bài tập 3: Cho hình nón  N  có góc đỉnh 60 Mặt phẳng qua trục  N  cắt  N  theo thiết diện là tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp Thể tích khối nón  N  là A V  3 B V  3 C V  3 D V  6 Hướng dẫn giải Chọn C Tam giác SAB vì có SA  SB và  ASB  60 Tâm đường tròn ngoại tiếp SAB là trọng tâm tam giác Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB là r SO   SO  Mà SO  SA.sin 60  SA  SO  2 sin 60 Vậy bán kính đường tròn khối nón là R  Vậy thể tích khối nón là V   AB   2    3 Bài tập 4: Cho hình tứ diện ABCD có AD   ABC  , ABC là tam giác vuông B Biết BC  a, AB  a 3, AD  3a Quay các tam giác ABC và ABD (bao gồm điểm bên hai tam giác) xung quanh đường thẳng AB ta hai khối tròn xoay Thể tích phần chung hai khối tròn xoay đó bằng: A 3a 16 B 3a C 3a 16 Hướng dẫn giải Chọn A D 3a 16 Khi quay tam giác ABD quanh AB ta khối nón đỉnh B có đường cao BA, đáy là đường tròn bán kính AE  cm Gọi I  AC  BE , IH  AB , H Phần chung khối nón quay tam giác ABC và tam giác ABD quanh AB là khối nón đỉnh A và đỉnh B có đáy là đường tròn bán kính IH Ta có IBC đồng dạng với IEA  Mặt khác IH // BC  IC BC    IA  3IC IA AE AH IH AI 3 3a     IH  BC  AB BC AC 4 Gọi V1 ; V2 là thể tích khối nón đỉnh A và B có đáy là hình tròn tâm H 1 V1  IH AH ; V2  IH BH 3  V  V1  V2  V    9a 3a 3 IH AB  V   .a  V  3 16 16 Bài tập 5: Cho hình chóp tam giác S.ABC Hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn nội tiếp tam giác ABC gọi là hình nón nội tiếp hình chóp S.ABC, hình nón có đỉnh S và có đường tròn đáy là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC gọi là hình nón ngoại tiếp hình chóp S.ABC Tỉ số thể tích hình nón nội tiếp và hình nón ngoại tiếp hình chóp đã cho A B C Hướng dẫn giải Chọn D Hai hình nón có cùng chiều cao nên tỉ số thể tích tỉ số diện tích mặt đáy Vì tam giác ABC nên bán kính đường tròn ngoại tiếp D đường cao tam giác, bán kính đường tròn nội tiếp 3 đường cao tam giác Suy r V S     R V2 S Bài tập 6: Cho đồng hồ cát gồm hình nón chung đỉnh ghép lại, đó đường sinh hình nón tạo với đáy góc 60 hình bên Biết chiều cao đồng hồ là 30cm và tổng thể tích đồng hồ là 1000  cm3  Hỏi cho đầy lượng cát vào phần trên thì chảy hết xuống dưới, đó tỉ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ và thể tích phần là bao nhiêu? A 3 B C 27 D 64 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi bán kính hình nón lớn và nón nhỏ là x, y  x  y  Suy chiều cao hình nón lớn và nón nhỏ là x 3, y  x  y  30  Theo giả thiết, ta có  2  x x  y y  1000 3  x  y  10 20 10  x , y 3 3  x  y  1000 3  y Do hai hình nón đồng dạng nên tỉ số cần tính    x Bài tập 7: Trong tất các hình nón có độ dài đường sinh  Hình nón có thể tích lớn A 3 B 23 C 3 27 D 23 27 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi h   h    là chiều cao hình nón, suy bán kính r    h Suy thể tích khối nón là 1 V  r h     h  h3   f  h  3 Xét hàm f  h    h  h3 trên  0;     h  f   h     3h       h    khong thoa man   Lập bảng biến thiên ta    23 Ta thấy max f  h   f    3 3 Vậy Vmax  23  Dấu “=” xảy  h  27 Bài tập 8: Trong các hình nón cùng có diện tích toàn phần S Hình nón có thể tích lớn ( r ,  là bán kính đáy và đường sinh hình nón) A   3r B   2r C   r D   2r Hướng dẫn giải Chọn A Ta có S  r   r    S  r r Thể tích Lưu ý: điều kiện  S  r  2 1 V  r h  r   r  r 3 2 r S  Sr  2r  r  Lập bảng biến thiên cho hàm f  r   Sr  2r trên  0;   , ta thấy hàm số đạt giá trị lớn r  S    3r 4 Bài tập 9: Cho hình nón đỉnh S có đáy là đường tròn tâm O Thiết diện qua trục hình nón là tam giác cân với cạnh đáy a và có diện tích là a Gọi A, B là hai điểm trên đường tròn  O  Thể tích khối chóp S.OAB đạt giá trị lớn A a3 B a3 C a3 12 D a3 12 Hướng dẫn giải Chọn C 1 Tam giác cân SCD, có SSCD  CD.SO  a  a.SO  SO  2a 2 Khối chóp S.OAB có chiều cao SO  2a không đổi nên để thể tích lớn và diện tích tam giác OAB lớn 1 AOB  r sin  AOB (với r là bán kính đường Mà SOAB  OA.OB.sin  2 AOB  Khi đó tròn mặt đáy hình nón) Do đó để S OAB lớn sin  Vmax  a3 12 Bài tập 10: Cho hình nón  N1  có đỉnh S, chiều cao h Một hình nón  N2  có đỉnh là tâm đáy  N1  và có đáy là thiết diện song song với đáy  N  hình vẽ biến khảo sát hàm Khối nón  N  có thể tích lớn chiều cao x A h B h C 2h D h Hướng dẫn giải Chọn B Xét mặt cắt qua trục hình nón và kí hiệu hình vẽ Với O, I là tâm đáy hình nón  N1  ,  N  ; R, r là các bán kính hai đường tròn đáy  N1  ,  N  Ta có R h  x SI r hx r    r  SO R h R h Thể tích khối nón  N  là R 1 R h  x  r x    x x  h  x  2 h 3 3h V N2  Xét hàm f  x   x  h  x   x3  2hx  h x trên  0; h  Ta có x  h f   x   x  4hx  h ; f   x     x  h  2 Lập bảng biến thiên ta có Vậy f  x  đạt giá trị lớn trên khoảng  0; h  x  h Bài tập 11: Xét các hình nón có đường sinh với độ dài 10cm Chiều cao hình nón có thể tích lớn là A cm B 10 cm C cm D 10 cm Hướng dẫn giải Chọn D Xét hình nón có chiều cao là x cm và bán kính đáy là y cm (x, y dương) Ta có x  y  102  y  100  x , ta có điều kiện x, y   0;10  Thể tích khối nón là 1 V  r h   100  x  x 3 Xét hàm số f  x   100  x  x  100 x  x3 , x   0;10  ; f   x   100  x ; f   x    x  10 Bảng biến thiên Ta thấy V lớn f  x  lớn x  10 cm Bài tập 12: Giả sử đồ thị hàm số y   m  1 x  2mx  m  có điểm cực trị là A, B, C mà x A  xB  xC Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối tròn xoay đó lớn thuộc khoảng nào các khoảng đây? A  4;6  B  2;  C  2;0  Hướng dẫn giải Chọn B D  0;  y   m  1 x3  4mx  x  m  1 x  m  x  y   x  m  1 x  m     m x   m  0   m 1 2 Với m  thì đồ thị hàm số có điểm cực trị (với x A  xB  xC ) là   m m2 2 A   ;   m   ; B  0; m  1 ; 2  m 1 m 1    m m2 C  ;   m   2  m 1 m 1  Quay ABC quanh AC thì khối tròn xoay có thể tích là 2  m2  m V  r h  BI IC       3  m 1 m 1 Xét hàm f  m   Ta có f   m   m m9  1 m8   m  m  1 m m9  1 ; f   m   m  3 m  0 Ta có bảng biến thiên Vậy thể tích cần tìm lớn m  Bài tập 13: Cho tam giác ABC vuông A, có AB  cm, AC  cm Gọi M điểm di động trên cạnh BC cho MH vuông góc với AB H Cho tam giác AHM quay quanh cạnh AH tạo nên hình nón, thể tích lớn hình nón tạo thành là A  B 4 C 8 D 4 Hướng dẫn giải Chọn C Đặt AH  x  cm  ,  x  Khi đó BH   x  cm  Xét tam giác BHM vuông H  Ta có tan HBM HM BH     x  tan HBM   HM  BH tan HBM AC   tan  Mà tan HBM ABC    AB Do đó HM    x  Thể tích khối nón tạo thành tam giác AHM quay quanh cạnh AH là V    AH .HM  x   x    x  12 x  36 x  (1) 3 12 Xét hàm số f  x   x3  12 x  36 x với  x  , ta có x  f   x   x  24 x  36; f   x    x  24 x  36    x  Bảng biến thiên hàm số f  x   x  12 x  36 x với  x  Từ (1) và bảng biến thiên ta có thể tích lớn khối nón tạo thành là V  8 32  12 Bài tập 14: Cho hình lập phương ABCD ABC D có thể tích Gọi N là hình nón có tâm đường tròn đáy trùng với tâm hình vuông ABCD, đồng thời các điểm A, B, C , D nằm trên các đường sinh hình nón hình vẽ Thể tích khối nón  N  có giá trị nhỏ A 2 B 3 C 9 D 9 16 Hướng dẫn giải Chọn C Xét phần mặt cắt qua trục hình nón và qua mặt phẳng  AAC C  , kí hiệu hình vẽ Với I, H là tâm hình vuông ABCD, ABC D và đỉnh A nằm trên đường sinh EF hình nón Hình lập phương có thể tích nên AA  HI  1, AH  Đặt EH  x  x   Khi đó, ta có EH AH x 2  x 1      FI   r EI FI x  FI  x  Thể tích khối nón  N  là 1  x 1    x  1  r EI      x  1   x  x2 V N  Xét hàm số f  x   Lập bảng biến thiên  x  1 x2 3 trên  0;   Ta có f   x    x   x  1 x3 Ta f  x    0;  27 9 x  Suy V N   Bài tập 15: Một hình nón đỉnh S bán kính đáy R  a , góc đỉnh là 120 Mặt phẳng qua đỉnh hình nón cắt hình nón theo thiết diện là tam giác Diện tích lớn tam giác đó A B 2a 3a C a D 3a Hướng dẫn giải Chọn B Giả sử SAM là thiết diện tạo mặt phẳng và hình nón   Gọi AM  x  x  2a Gọi H là trung điểm AM  OH  AM  AM   SOH   AM  SH AO   SA  sin 60  2a Vì  ASB  120   ASO  60    SO  AO  a tan 60  OH  OA2  AH  3a  S SAM  x2 x2  SH  OH  SO  4a  4 1 x2 AM SH  x 4a  2 Ta có   x2 x2  S    4a  2 x2 4a      2   16a  x  S    x  2a  x2  4a    S max  2a Bài tập 16: Cho mặt cầu  S  bán kính R Hình nón  N  thay đổi có đỉnh và đường tròn đáy thuộc mặt cầu  S  Thể tích lớn khối nón  N  là A 32R 81 B 32 R 81 C 32R 27 D Hướng dẫn giải Chú ý: Sau tính Chọn A Ta có thể tích khối nón đỉnh S lớn thể tích khối nón đỉnh S  Do đó cần xét khối nón đỉnh S có bán kính đường tròn đáy là r và đường cao là SI  h với h  R Thể tích khối nón tạo nên N  là 1 V  hSC   h..r 3  h.  R   h  R         h  2h R  Xét hàm số f  h    h3  2h R với h   R; R  Ta có f   h   3h  4hR 4R f   h    3h  4hR   h  (loại) h  Bảng biến thiên 32 R 27 V     h3  2h R  ta có thể làm sau: V     h3  2h R   h  R  h    h.h  R  2h     h  h  R  2h    6   32R 81 Đẳng thức xảy và h  R  2h  h  4R Ta có max f  h   32 4R R h  27 Vậy thể tích khối nón tạo nên  N  có giá trị lớn là 32 32 4R V   R  R h  27 81 Dạng Bài toán thực tế hình nón, khối nón Bài tập 1: Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tôn hình tròn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau đó người thợ quấn và hàn ba miếng tôn đó để ba cái phễu hình nón Hỏi thể tích V cái phễu đó bao nhiêu? A V  16000 lít B V  16 2 lít C V  16000 2 160 2 lít D V  lít 3 Hướng dẫn giải Chọn B Đổi 60 cm = dm Đường sinh hình nón tạo thành là   dm Chu vi đường tròn ban đầu là C  2R  12 Gọi r là bán kính đường tròn đáy hình nón tạo thành Chu vi đường tròn đáy hình nón tạo thành là 2r  2.6 4  (dm)  4 (dm)  r  2 Đường cao khối nón tạo thành là h    r  62  22  1 16 2 16 2 (lít) Thể tích phễu là V  r h  22.4  dm3    3 3 Bài tập 2: Hai ly đựng chất lỏng giống hệt nhau, có phần chứa chất lỏng là khối nón có chiều cao 2dm (mô tả hình vẽ) Ban đầu ly thứ chứa đầy chất lỏng, ly thứ hai để rỗng Người ta chuyển chất lỏng từ ly thứ sang ly thứ hai cho độ cao cột chất lỏng ly thứ còn 1dm Tính chiều cao h cột chất lỏng ly thứ hai sau chuyển (độ cao cột chất lỏng tính từ đỉnh khối nón đến mặt chất lỏng – lượng chất lỏng coi không hao hụt chuyển Tính gần đúng h với sai số không quá 0,01dm) A h  1, 73 dm B h  1,89 dm C h  1,91 dm D h  1, 41 dm Hướng dẫn giải Chọn C Có chiều cao hình nón đựng đầy nước ly thứ AH  Chiều cao phần nước ly thứ sau đổ sang ly thứ hai AD  Chiều cao phần nước ly thứ hai sau đổ sang ly thứ hai AF  h Theo Ta-lét ta có R AD R AF h R Rh   ,   suy R  , R  R AH R AH 2 Thể tích phần nước ban đầu ly thứ V  2R Thể tích phần nước ly thứ hai V1  R2 h  R h3 Thể tích phần nước còn lại ly thứ V2  R Mà V  V1  V2  R h3 R h3   2R     h   1,91 4 4 Bài tập 2: Một bể nước lớn khu công nghiệp có phần chứa nước là khối nón đỉnh S phía (hình vẽ), đường sinh SA  27 mét Có lần lúc bể chứa đầy nước, người ta phát nước bể không đạt yêu cầu vệ sinh nên lãnh đạo khu công nghiệp cho thoát để làm vệ sinh bể chứa Công nhân cho thoát nước ba lần qua lỗ đỉnh S Lần thứ mực nước tới điểm M thuộc SA thì dừng, lần thứ hai mực nước tới điểm N thuộc SA thì dừng, lần thứ ba thoát Biết lượng nước lần thoát Tính độ dài đoạn MN A 27    m  9 3 B 9 C 3 D 3   1 m  1 m  m Hướng dẫn giải Chọn C Ta gọi V1 , V2 , V là thể tích khối nón có đường sinh là SN, SM, SA Do SEM đồng dạng với SOA nên ta có SM SE EM   SA SO OA 3 .EM SE V2  SA   SM  Lại có         SM  13122 V SM 3 27     .OA SA 3 Tương tự V1  SN   SN        SN  6561 V  SA   27  Vậy MN  SM  SN  13122  6561 BÀI 2: MẶT TRỤ A LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM MẶT TRỤ TRÒN XOAY Trong mp  P  cho hai đường thẳng  và l song song với nhau, cách khoảng r Khi quay mp  P  xung quanh  thì đường thẳng l sinh mặt tròn xoay gọi là mặt trụ tròn xoay hay gọi tắt là mặt trụ - Đường thẳng  gọi là trục - Đường thẳng l gọi là đường sinh - Khoảng cách r gọi là bán kính mặt trụ đó HÌNH TRỤ TRÒN XOAY Ta xét hình chữ nhật ABCD Khi quay hình đó xung quanh đường thẳng chứa cạnh, chẳng hạn cạnh AB , thì đường gấp khúc ABCD tạo thành hình gọi là hình trụ tròn xoay hay gọi tắt là hình trụ - Đường thẳng AB gọi là trục - Đoạn thẳng CD gọi là độ dài đường sinh - Độ dài đoạn thẳng AB  CD  h gọi là chiều cao hình trụ (độ dài đường sinh chiều cao hình trụ) - Hình tròn tâm A, bán kính r  AD và hình tròn tâm B , bán kính r  BC gọi là hai đáy hình trụ - Phần mặt tròn xoay sinh các điểm trên cạnh CD quay quanh AB gọi là mặt xung quanh hình trụ KHỐI TRỤ TRÒN XOAY Phần không gian giới hạn hình trụ tròn xoay kể hình trụ đó ta gọi là khối trụ tròn xoay hay ngắn gọn là khối trụ Các khái niệm tương tự hình trụ CÔNG THỨC CẦN NHỚ Cho hình trụ có chiều cao là h, bán kính đáy r thì ta có: - Diện tích xung quanh S xq  2 rh - Diện tích đáy (hình tròn) Sht   r - Diện tích toàn phần Stp  S xq  2.S Đ  2 rh  2 r Chú ý: Vẽ hình biểu diễn hình trụ hay khối trụ - Thể tích khối trụ Vkt  B.h   r h ta thường vẽ hình bên B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần, diện tích thiết diện, chiều cao, bán kính đáy, diện tích đáy hình trụ Bài tập 1: Cho hình trụ có chiều cao 3 Cắt hình trụ đã cho mặt phẳng song song với trục và cách trục khoảng 1, thiết diện thu có diện tích 18 Diện tích xung quanh hình trụ đã cho A 6 B 6 39 C 3 39 D 12 Hướng dẫn giải Chọn D Thiết diện thu là hình chữ nhật ABCD và OO'/ /  ABCD  , gọi I là trung điểm AB Ta có OI   ABCD   d  OO ';  ABCD    d  O;  ABCD    OI  S ABCD  AB.BC  AB.3  18  AB   AI   r  OA  OI  AI  Diện tích xung quanh hình trụ đã cho là S xq  2 rl  12 Bài tập 2: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), thiết diện qua trục hình trụ là hình vuông Gọi A, B là hai điểm nằm trên hai đường tròn (O) và (O') Biết AB = 2a và khoảng cách hai đường thẳng AB và 00' Bán kính đáy A a 17 B a 14 C a 14 a Bán kính đáy D a 14 Hướng dẫn giải Lưu ý: + d  OO’, AB  = Chọn C Gọi r là bán kính đáy Do thiết diện qua trục là hình vuông nên độ dài đường sinh 2r Dựng đường sinh AA' Gọi M là trung điểm A' B A’ O'M + Góc AB và đáy là mặt  góc ABA ' + Góc AB và A ' AB OO' là góc   O ' M   AA ' B   d  OO ', AB   O ' M  O 'M  a Ta có A ' B  AB  AA '2  4a  4r Mặt khác A ' M  O ' A '2  O ' M '2  r   4a  4r  r  3a a 14 3a r 4 Bài tập 3: Cho hình trụ có hai đáy là hai hình tròn (O) và (O'), chiều cao 2R và bán kính đáy R Một mặt phẳng   qua trung điểm OO ' và tạo với OO ' góc 30 Hỏi   cắt đường tròn đáy theo dây cung có độ dài bao nhiêu? A 2R B 4R 3 C 2R Hướng dẫn giải D 2R Chọn A Gọi I là trung điểm OO ' Khi đó, mặt phẳng   =  IAB  Hạ OH  AB, OK  IH Dễ thấy H là trung điểm AB và OK   IAB  Suy   30 (vì  OO ',      IO,  IAB     OI , KI   KIO KIO vuông O) Khi đó KO  R IO  Vì HIO vuông O nên 2 1   2 OK OH OI  1 R2        OH OH OK OI R R R  AH  OA2  OH  R  AB  R2 R  3 2R Bài tập 4: Cho hình trụ có chiều cao Biết mặt phẳng không vuông góc với đáy và cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song AB, A'B' mà AB = A'B' = 6, dỉện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 Bán kính đáy hình trụ là A C B D Hướng dẫn giải Chọn C Diện tích hình chữ nhật ABB'A' 60 (cm2) nên AB.BB' = 60  6.BB '  60  BB '  10 Ta có MK  Chiều cao hình trụ (cm) nên MO  Lưu ý: Bài tập và Bài tập đề cho khác thiết diện giống Ở Bài tập đây thêm cách hỏi khác dù thiết diện là OK  MK  MO  25  18  7; AB   KB  BO  OK  KB    Bài tập 5: Một hình trụ có bán kính đáy chiều cao và a Một hình vuông ABCD có AB, CD là hai dây cung đường tròn đáy và mặt phẳng ABCD không vuông góc với đáy Diện tích hình vuông đó A 5a B 5a C 5a 2 Hướng dẫn giải Chọn D Đặt AB  AD  x  S ABCD  x Gọi A', B' là hình chiếu vuông góc A, B lên mặt đáy hình trụ Xét tam giác AA'D vuông A' ta có A ' D  AD  AA '2  x  a Mặt khác, gọi I là trung điểm A ' D thì ta có: 1  A ' D  A ' I  O ' A '  O ' I  O ' A '   CD  2  2 2 1   a   2x   a2  x2 2  Do đó 4x2  a2  a2  x2  x2  a2   a2  x2   x2  5a 5a Vậy S ABCD  (đvdt) 2 Dạng 1: Thể tích khối trụ, bài toán cực trị D 5a 2 Bài tập 1: Cắt khối trụ mặt phẳng qua trục ta thiết diện là hình chữ nhật ABCD có   30 Tính theo a thể cạnh AB và cạnh CD nằm trên hai đáy khối trụ Biết BD  a , DCA tích khối trụ A 3 a 48 B 3 a 32 C 3 a 16 D a 16 Hướng dẫn giải Chọn C Ta có AC  BD  a Mặt khác xét tam giác ADC vuông D, ta có AD  AC.sin 30  2 ah a và 2 CD  AC cos30  CD ar  a 2   3 a  a a Nên V   r h    16   2 Bài tập 2: Cho hình chữ nhật ABCD có AD = 3AB Gọi V1 là thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật quay xung quanh cạnh AB, V2 là thể tích khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật V quay xung quanh cạnh AD Tỉ số là V2 A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AB có bán kính đáy và chiều cao là r1  AD  AB; h1  AB Khi đó, thể tích khối trụ này là V1   r12 h1  9 AB Khối trụ tạo thành cho hình chữ nhật ABCD quay xung quanh cạnh AD có bán kính đáy và chiều cao là r2  AB; h2  AD  AB Khi đó, thể tích khối trụ này là V2   r2 h2  3 AB Vậy V1 9 AB   V2 3 AB AD a Quay hình thang và miền nó quanh đường thẳng chứa cạnh BC Thể tích V khối tròn xoay tạo thành là Bài tập 3: Cho hình thang ABCD vuông Avà B với AB  BC  A V  4 a 3 B V  5 a 3 C V   a D V  7 a 3 Hướng dẫn giải Chọn B Thể tích V  V1  V2 Trong đó V1 là thể tích khối trụ có bán kính đáy là BA  a và chiều cao AD  2a;V2 là thể tích khối nón có bán kính đáy là B ' D  a và chiều cao CB '  a 5 a Khi đó V  V1  V2   a 2a   a a  3 Bài tập 4: Cho hình trụ có bán kính đáy a cắt hình trụ mặt phẳng  P  song song với trục hình trụ và cách trục hình trụ khoảng a ta thiết diện là hình vuông Thể tích khối trụ A 3 a B  a 3 C  a3 Hướng dẫn giải Chọn B D  a Giả sử hình vuông ABCD là thiết diện hình trụ cắt  P  hình vẽ Gọi H, K là trung điểm AD, BC Ta có OH  AD  OH   P   d  O;  P    OH  OH  Do đó AD  AH  OA2  OH  a a a Suy OO '  AB  AD  a Vậy nên V   R h   a a   a 3 Bài tập 5: Cắt khối trụ cao 18cm mặt phẳng, ta khối hình đây Biết thiết diện là elip, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần đáy và điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy là 8cm và 14cm Tỉ số thể tích hai khối chia (khối nhỏ chia khối lớn) là A 11 B C 11 D 11 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi V1;V2 là thể tích khối nhỏ và khối lớn Ta có thể tích khối trụ là V   R   14   11 R (với R là bán kính khối trụ) Thể tích V2  Vậy  R   14   11 R V1 V  V2 18 R  11 R    V2 V2 11 R 11 Bài tập 6: Cho tam giác vuông cân ABC có AB  AC  a và hình chữ nhật MNPQ với MQ = 3MN xếp chồng lên cho M,N là trung điểm AB, AC (như hình vẽ) Tính thể tích V vật thể tròn xoay quay mô hình trên quanh trục AI, với / là trung điểm PQ A V  11 a B V  5 a C V  11 a D V  17 a 24 Hướng dẫn giải Chọn D Ta có BC  AB  AC  2a  MN  a, MQ  2a Gọi E, F là trung điểm MN và BC AF  a, EF  a  IF  a 2 Vậy thể tích cần tìm là tổng thể tích khối nón có chiều cao là AF bán kính đáy FB và thề tích khối trụ có chiều cao IF bán kính IQ 1  a  17 V   AF FB   IF IQ   a.a   a.    a 3 2 24 Bài tập 7: Cho lăng trụ đứng ABC A ' B ' C ' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC là tam giác vuông cân A, góc AC' và mặt phẳng  BCC ' B '  30 (tham khảo hình vẽ) Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' A  a B 2 a C 4 a Hướng dẫn giải Chọn C Gọi bán kính hình trụ là R Ta có CC '   ABC   CC '  AI Lại có tam giác ABC là tam giác vuông cân A nên AI  BC đó AI   BCC ' B ' hay góc D 3 a  AC’ và mặt phẳng  BCC ' B '  là IC 'A Xét tam giác AIC ' ta có IC '  AI R  tan IC 'A Xét tam giác CIC ' ta có IC '2  IC  CC '2  3R  R  4a  R  a Thể tích khối trụ ngoại tiếp lăng trụ ABC A ' B ' C ' là V   R h  4 a Bài tập 8: Trong tất các khối trụ có cùng thể tích 330, xác định bán kính đáy khối trụ có diện tích toàn phần nhỏ A 165  B 165 C  330  D 330  Hướng dẫn giải Chọn A V  330  h R  330  h  330  R2 Khi đó diện tích toàn phần khối trụ là S  h.2 R  2 R 330 660 S 2 R  2 R  S   2 R 2 R R Ta xem S là hàm số ẩn R Xét S '   660  4 R R2 660 660  4 R 165 S '     4 R   0R  R R Lập bảng biến thiên ta có Bài toán hỏi bán kính đáy nên ta xem bán kính đáy là ẩn, tính diện tích xung quanh theo bán kính đáy Vậy S đạt giá trị nhỏ và R  165  Bài tập 9: Thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R A 4 R 3 B 8 R 3 C 8 R 27 D 8 R 3 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi X là khoảng cách từ tâm I mặt cầu đến mặt đáy hình trụ (0 < X <R) Bán kính đáy hình trụ là r  R  x Thể tích khối trụ là V   r h   r 2 x  2  R  x  x  f  x  f '  x   2 R  6 x ; f '  x    x  R (vì x  ) Ta có bảng biến thiên sau Vậy thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu bán kính R là  R  4 R 3 Vmax  f      Dạng 3: Bài toán thực tế khối trụ Ví dụ: Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m và 1,5m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có cùng chiều cao và có thể tích tổng thể tích hai bể trên Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết nào đây? A 1, m B 2,5 m C 1,8 m D 2,1 m Hướng dẫn giải Chọn C Gọi r là bán kính bể dự định làm, h là chiều cao các bể Ta có:  r h   12  1,52  h  r   1,52  1,8  m Bài tập Cho bìa hình chữ nhật có kích thước 3a, 6a Người ta muốn tạo bìa đó thành hình không đáy hình vẽ đây, đó có hai hình trụ có chiều cao 3a, 6a và hai hình lăng trụ tam giác có chiều cao 3a, 6a Lưu ý: Không phải cắt nhỏ bìa để tạo hình bên vì không thỏa đề bài mà lấy bìa tạo thành hình đề bài Trong bốn hình H1, H2, H3, H4 theo thứ tự có thể tích lớn và nhỏ là A H1, H4 B H1, H3 C H2, H3 D H2, H4 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi R1 , R2 là bán kính hai hình trụ hình H1, H2 Gọi V1 , V2 là thể tích hai hình trụ hình H1, H2 C1 , C2 là chu vi đáy hai hình trụ hình H1, H2 Ta có: C1  2 R1  6a  R1  3a  ; C2  2 R2  3a  R2  3a 2 27 a 27 a  3a   3a   V1  3a    ;V2  6a   2     2  Do hai hình H3, H4 là hai hình lăng trụ tam giác nên ta có độ dài các cạnh đáy hai hình H3, H4 là 2a;a Thể tích hình H3, H4 là: 1 3 V3  3a .2a.2a.sin 60  3a ;V4  6a .a.a.sin 60  a 2 Từ đó ta có hai hình có thể tích lớn và nhỏ theo thứ tự là H1, H4 Bài tập Một người thợ có khối đá hình trụ Kẻ hai đường kính MN, PQ hai đáy cho MN  PQ Người thợ đó cắt khối đá theo các mặt cắt qua điểm M, N, P, Q để khối đá có hình tứ diện MNPQ Biết MN = 60 cm và thể tích khối tứ diện MNPQ 30 dm3 Thể tích lượng đá cắt bỏ là bao nhiêu? (Làm tròn đến chữ số thập phân sau dấu phẩy) A 101,3 dm3 B 111,4 dm3 C 121,3 dm3 D 141,3 dm3 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi O, O là tâm đáy trên và đáy hình trụ Ta có: MN  (OPQ)  VMNPQ = 2VN OPQ   NO.S OPQ  2.SOPQ   OO   30  OO  Ta có thể tích khối trụ là: VKT  OO   R  5.32.  45 Vậy thể tích lượng đá cắt bỏ là: 45  30  111,  dm3  Bài tập Một khối đồ chơi gồm hai khối trụ  H1  ,  H  xếp chồng lên nhau, có bán kính đáy và chiều cao tương ứng là r1 , h1 , r2 , h2 thỏa mãn r2  h1 ; h2  2h1 (tham khảo hình vẽ bên) Biết thể tích toàn khối đồ chơi 30cm3, thể tích khối trụ  H1  A 24cm3 B 15cm3 C 20cm3 D 10cm3 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi thể tích toàn khối đồ chơi là V, thể tích khối và khối trên là V1 và V2 Ta có: V  V1  V2 Mà r2  1 1 r1 , h2  2h1 nên V2  h2   r22  2h1     r12  h1    r12  V1 2  30  V1  V1  V1  20 Bài tập Cho dụng cụ đựng chất lỏng tạo hình trụ và hình nón lắp đặt hình sau Bán kính đáy hình nón bán kính đáy hình trụ Chiều cao hình trụ chiều cao hình nón và h Trong bình, lượng chất lỏng có chiều cao chiều cao hình trụ Lật ngược 24 dụng cụ theo phương vuông góc với mặt đất Độ cao phần chất lỏng hình nón theo h là A h B 3h h C D h Hướng dẫn giải Chọn C Thể tích chất lỏng V   r 1 h   r h 24 24 Khi lật ngược bình, thể tích phần hình nón chứa chất lỏng là V '   r 2 h Mà r  h h  h  h3   r    r Do dó V      r   h   r  r h h h  h h3 1 h Theo bài V   V   r    r h  h3  h3  h  h 24 Bài tập Công ty ông Bình dự định đóng thùng phi hình trụ (có đáy và nắp đậy phía trên) thép không gỉ để đựng nước Chi phí trung bình cho m2 thép không gỉ là 350000 đồng Với chi phí bỏ để làm cái thùng phi không quá 6594000 đồng, hỏi công ty ông Bình có thể có thùng phi đựng tối đa bao nhiêu mét khối nước? (Lấy   3,14 ) A 12,56 B 6, 28 C 3,14 D 9,52 Hướng dẫn giải Chọn B Gọi R, h là số đo bán kính và chiều cao thùng phi hình trụ Với giả thiết trên thì diện tích thép không gỉ dùng tối đa là A 6594000 471  m  350000 25 Ta có Stp  2 R( R  h)  A  h  A R 2 R  A  A  R   R   R (coi V là hàm số biến R ) Thể tích thùng phi là V   R h   R   2 R  V  A A  3 R ;V    R  , ( R  0) 6 Bảng biến thiên Dựa vào bảng biến thiên ta có, giá trị !ớn thể tích là max V  A A  6, 28 m3 6 Bài tập Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ (như hình vẽ) có thể tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy và nắp thùng và đắt gấp lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi chiều cao thùng là h và bán kính đáy là r Tỉ số A h  r h cho chi phí vật liệu Sản xuất thùng là nhỏ là bao nhiêu? r B h 2 r C Hướng dẫn giải h 6 r D h 3 r Chọn C Ta có V   h  r  h  V h V   r r r Giá thành vật liệu để làm thùng là  2V  V V  T   2 rh  6 r   A    6  r   A     6 r   A, đó A là giá đơn  r  r r  vị diện tích vật liệu làm mặt xung quanh thùng Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương V V , , 6 r T  3 6 V r r Dấu “  ” xảy V V  6 r   r r Vậy chi phí vật liệu sản xuất thùng là nhỏ h 6 r BÀI 3: MẶT CẦU – KHỐI CẦU A LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM Ta thường vẽ hay biểu diễn mặt - Tập hợp các điểm không gian cách điểm O cố cầu hay khối cầu hình sau: định khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán Định nghĩa kính R, kí hiệu là: S  O; R  Khi đó S  O; R   M OM  R - Khối cầu hay hình cầu S  O; R  là tập hợp tất các điểm M cho OM  R Vị trí tương đối mặt cầu và điểm Cho mặt cầu S  O; R  và điểm A Nếu: +) OA  R thì điểm A nằm trên mặt cầu S  O; R  +) OA  R thì ta nói điểm A nằm ngoài mặt cầu S  O; R  +) OA  R thì ta nói điểm A nằm mặt cầu S  O; R  Vị trí tương đối mặt cầu và đường thẳng Cho mặt cầu S  I ; R  và đường thẳng  Gọi H là hình chiếu I lên  hay d  I ;    IH Nếu: +) IH  R :  không cắt mặt cầu hay mặt cầu S  I ; R  và đường thẳng  không có điểm chung +) IH  R thì  với mặt cầu S  I ; R  có điểm chung là H Ta nói  là tiếp tuyến mặt cầu S  I ; R  và H là tiếp điểm +) IH  R :  cắt mặt cầu S  I ; R  hai điểm phân biệt Nhận xét: +) IAB I, điểm H là điểm cân trung AB và  AB  R  IH  AH  IH      Vị trí tương đối mặt cầu và mặt phẳng Cho mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng  P  Gọi H là hình chiếu vuông góc I lên  P  hay d  I ;  P    IH Nếu: +) IH  R : Mặt cầu S  I ; R  và mặt phẳng P không có điểm chung +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P tiếp xúc mặt cầu S  I ; R  Lúc này ta nói mặt phẳng  P  là mặt phẳng tiếp diện mặt cầu và H là tiếp điểm Lưu ý: IH   P  +) Nếu IH  R : Mặt phẳng  P  cắt mặt cầu theo thiết diện là đường tròn có tâm I   I   H  và bán kính r  R  IH  R  I I Nhận xét: Đường tròn giao tuyến có diện tích lớn mặt phẳng  P  qua tâm I mặt cầu S  I ; R  Đường tròn này ta gọi là đường tròn lớn Công thức cần nhớ Cho mặt cầu S  I ; R  - Diện tích mặt cầu S  4 R - Thể tích khối cầu V   R B CÁC DẠNG BÀI TẬP Dạng Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện Các khái niệm cần lưu ý: - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện: là mặt cầu mà nó qua tất các đỉnh hình đa diện Tâm mặt cầu ngoại tiếp cách tất các đỉnh hình đa diện - Trục đa giác: là đường thẳng qua tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác và vuông góc với mặt phẳng chứa đa giác Mọi điểm nằm trên trục thì cách các đỉnh đa giác và ngược lại - Mặt phẳng trung trực đoạn thẳng: Là mặt phẳng qua trung điểm đoạn thẳng và vuông góc với đoạn thẳng đó Mọi điểm nằm trên mặt phẳng trung trực đoạn thẳng thì cách hai điểm mút đoạn thẳng và ngược lại Phương pháp giải Đối với bài toán mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện thì mấu chốt vấn đề là phải xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện đó Khi xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp thì ta có thể tính các yếu tố còn lại bán kính, diện tích mặt cầu, thể tích khối cầu Bài tập: Cho hình hộp chữ nhật có ba kích thước là 2a, 4a, 4a, với  a  R Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật đã cho A 6a B 4a C 3a D 2a Hướng dẫn giải Giả sử hình hộp chữ nhật là ABCD.A'B'C'D' Dễ thấy điểm O là trung điểm AC’ là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật là R  OA R   1 AC   2  AA   AC   AA   AD    DC   2  2a    4a    4a  Chọn C Bài tập mẫu 2 2  3a Cách Tìm điểm cách các đỉnh khối đa diện theo định nghĩa mặt cầu Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là điểm I với A I là trung điểm đoạn thẳng SD B I là trung điểm đoạn thẳng AC C I là trung điểm đoạn thẳng SC D I là trung điểm đoạn thẳng SB Hướng dẫn giải  BC  AB Từ giả thiết ta có   BC  SA  BC   SAB   BC  SB   90o  SBC 1 Chứng minh tương tự ta có   90o CD  SD  SDC  2   90o Do SA   ABCD   SA  AC  SAC  3 Từ (1), (2) và (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là mặt cầu đường kính SC nên tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm I đoạn thẳng SC Chọn C Bài tập Cho khối chóp S.ABCD có tất các cạnh a Thể tích V khối cầu ngoại tiếp hình chóp là A V  3 a B V   a C V   a3 Hướng dẫn giải Vì S.ABCD là hình chóp nên SO   ABCD  Ta có OD  1 a BD  a  , 2 SO  SD  OD  a Vậy OS  OA  OD  OB  OC , nên O là tâm mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Vậy thể tích khối cầu cần tìm là V   SO   a (đvtt) Chọn B Lưu ý: Công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp chóp đều: R a2 2h D V  3 a với a: độ dài cạnh bên, h: chiều cao hình chóp Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, SA   ABCD  và SA  AB  a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là A a B a C a D a Hướng dẫn giải Chứng minh tương tự Bài tập ta kết  Ba đỉnh A, B, D nhìn cạnh SC góc vuông  Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là trung điểm SC và SC bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R  Ta có ABCD là hình vuông cạnh a  AC  a Xét tam giác SAC vuông A có SC  a  2a  a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là R  a Chọn B Bài tập Cho tứ diện ABCD có các mặt ABC và BCD là các tam giác cạnh 2, hai mặt phẳng (ABD) và (ACD) vuông góc với Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 2 B C 2 D Hướng dẫn giải Ta có ABC, BCD AC  CD   ACD cân C cạnh nên Gọi I là trung điểm AD  CI  AD  ACD    ADB   Lại có  ACD    ADB   AD  CI   ABD   IC  AD   CI  IB  IB   ABD   1 Ta có ACD  ABD  c.c.c   CI  IB  2 Từ (1) và (2) ta có ACB vuông cân I  CB  IB  IB  CB    IC 2 DIB vuông I  ID  BD  IB   AD  ID  2 Xét ADB có AB  DB  2; AD  2  ABD vuông B  ABD  90o   ACD  90o Suy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có đường kính là AD nên bán kính là R  ID  Chọn B Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  , tam giác ABC vuông B Biết SA  4a, AB  2a, BC  4a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là A 3a B 2a C a D 6a Hướng dẫn giải  BC  AB Ta có   BC   SAB   BC  SB  BC  SA  SA   ABC   SA   ABC   SA  AC Suy hai điểm A, B cùng nhìn SC góc vuông Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm SC, bán kính SC mặt cầu là R  Ta có AC  AB  BC  4a  16a  20a  SC  SA2  AC  16a  20a  6a   / / BD  BD / / EF Vậy R  3a   SBD      EF Chọn A Bài tập 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông B, AC  a 3,  ACB  30o Góc đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) 60° Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC A a 21 B a 21 C 3a D a 21 Hướng dẫn giải Trong tam giác vuông ABC có AB  AC.sin 30o  a Vì AB   ABC    A và hình chiếu B lên mặt phẳng (ABC) là B nên góc đường thẳng AB' và mặt phẳng (ABC) góc hai  AB (vì tam giác AB'B vuông đường thẳng AB' và AB, và góc B  AB  60o B) Do đó B Trong tam giác vuông AB'B có BB  AB.tan 60o  a 3a tan 60o  2 Trong tam giác vuông AA'C có  3a  AC  AA2  AC        3a   21 a ABC  90o Mà Ta có BC  AB và BC  AA nên BC   ABBA  , suy BC  AB hay   AAC  90o , suy hai điểm A, B cùng nhìn A'C góc vuông Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện A'ABC R  AC 21  a Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy là hình vuông cạnh a, SA  a và vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M là trung điểm cạnh SC Mặt phẳng () qua A và M đồng thời song song với đường thẳng BD cắt SB, SD E, F Bán kính mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F nhận giá trị nào sau đây? A a B a C a D a Hướng dẫn giải Gọi I là giao điểm AM và SO Dễ thấy I là trọng tâm tam giác SAC và I, E, F thẳng hàng Lại có SF SI 2    SF  SD SD SO 3 2 SD   SA2  AD   2a 3  SF SD  SA  SF SD  Xét tam giác vuông SAD có SF SD  SA2  AF là đường cao tam giác AF  SF Chứng minh tương tự ta có AE  SB Tam giác SA  AC  a nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao tam giác AM  SC  AM  SM  Ta có  AF  SF nên mặt cầu qua điểm S, A, E, M, F có tâm là trung điểm SA và bán kính  AE  SE  SA a  2 Chọn C Chú ý: Ta có thể làm sau Do EF      SBD  và   / / BD nên EF / / BD Ta có BD  AC , BD  SA  BD   SAC   EF   SAC   EF  SC Tam giác SAC có SA  AC  a nên AM  SC Do đó SC   AMEF   SC  AE 1 Lại có BC  AB, BC  SA nên BC   SAB   BC  AE  2 Từ (1) và (2) suy AE   SBC   AE  SB Chứng minh tương tự, ta AF  SD Từ đây, suy kết cách bên Cách Tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện là giao điểm trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và mặt phẳng trung trực cạnh bên Chú ý: Trong khuôn khổ bài tập thường xoay quanh hình chóp, hình lăng trụ nên đa giác đáy ta nói đến đây là đáy hình chóp hay hình lăng trụ Bài tập Cho hình chóp S.ABC có cạnh đáy a, cạnh bên hợp với mặt đáy góc 60° Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S) A 32 a 81 B 32 a 77 C 64 a 77 D 72 a 39 Hướng dẫn giải Gọi H là tâm tam giác ABC, SH là trục đường tròn ngoại tiếp ABC, mặt phẳng trung trực SA qua E là trung điểm SA và cắt SH I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Xét tam giác SAH ta có SH  AH.tan 60o  a SH 2a  tan 60o  a; SA  o sin 60 Xét hai tam giác đồng dạng SEI và SHA 2a 2a SI SE SA.SE 3  2a Ta có   SI   SA SH SH a R 2a 3  2a  32 a Suy thể tích khối cầu tạo nên mặt cầu (S)       81 Chọn A Bài tập Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất các cạnh a A 7 a B 7 a C 7 a Hướng dẫn giải Gọi O1, O2 là tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ  O1O2 là trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I là trung điểm O1O2  IA  IB  IC  IA  IB  IC  Suy trung điểm I O1O2 là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ Bán kính D 3 a 2 a 3 a OO  R  IA  AO  IO  AO           a  12   3  2 2 2 2 2 Do đó diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ có tất các cạnh a là   7 a S  4 R  4  a    12  Chọn B Lưu ý: Mặt phẳng trung trực cạnh bên cắt O1O2 I là trung điểm O1O2 Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông A, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và AB  2, AC  4, SA  Mặt cầu qua các đỉnh hình chóp S.ABC có bán kính là A R  25 B R  C R  D R  10 Hướng dẫn giải Gọi M, H là trung điểm BC, SA Ta có tam giác ABC vuông A suy A là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Qua M kẻ đường thẳng d cho d   ABC   d là trục đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng kẻ đường trung trực  đoạn SA, cắt d I  IA  IB  IC   IA  IB  IC  IS  IA  IS  I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Dễ thấy tứ giác HAMI là hình chữ nhật Ta có 1 BC   42  5, 2 IM  SA  2 AM  Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là R  AI  AM  IM   5  Chọn B Lưu ý: có thể thay mặt phẳng trung trực SA đường trung trực SA xét mặt phẳng (SAM) Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có tất các cạnh a Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là A a B a C a Hướng dẫn giải D 2a Gọi O là tâm hình vuông ABCD  SO   ABCD  Vậy SO là trục đường tròn ngoại tiếp hình vuông ABCD Trong (SAC) gọi (d) là trung trực SA và I là giao điểm (d) với SO  I   SO   IA  IB  IC  ID    IA  IS  I   d   IA  IB  IC  ID  IS Vậy I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Bán kính mặt cầu là R  SA2 SA2   SO SA2  AO a2 a 2 a      a 2 Chọn C Bài tập Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy 2a, các mặt bên tạo với đáy góc 60° Diện tích Smc mặt cầu ngoại tiếp hình chóp là A S mc  25 a B S mc  32 a C S mc  8 a D S mc  a2 12 Hướng dẫn giải Trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy là SO Mặt phẳng trung trực SB cắt SO I, cắt SB K thì I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp   60o Gọi H là trung điểm BC thì SHO Xét tam giác vuông SHO, ta có tan 60o  SO  SO  a OH Từ đó suy SB  SO  OB  3a  2a  a Ta có SKI ∽ SOB  g g  SK SI SK SB    SI   SI  SO SB SO a  5a  5a a a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S mc 75a 25 a  4 R  4  36 Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có cạnh đáy a 2, cạnh bên 2a Gọi M, N, P, Q là trung điểm SA, SB, SC, SD Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện ABCDMNPQ A R  a B R  a C R  a D R  a 10 Hướng dẫn giải Ta có  ABCD  / /  MNPQ  Gọi O  AC  BD Mà S.ABCD là hình chóp tứ giác nên SO   ABCD  Nên SO là trục hai đáy (ABCD) và (MNPQ) Trong mặt phẳng (SAO) kẻ đường trung trực d đoạn thẳng AM cắt SA, SO H, I Khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCDMNPQ và bán kính là IA Ta có SA  SB  SC  SD  2a AB  BC  CD  DA  a Lại có SH  3 3a a  HA  SA  SA  2a  4  AC  AB  2a  AO  a  SO  SA2  AO  a 3a HI SH OA.SH 3a Mặt khác SHI ∽ SOA  g g     HI    OA SO SO a a  a   a 2 Bán kính mặt cầu cần tìm là R  AI  HI  HA        a   2 2 Chọn B Cách Dựa vào trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và trục đường tròn ngoại tiếp mặt bên Bài tập Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật, AB  2a, BC  a, hình chiếu S lên mặt phẳng (ABCD) là trung điểm H AD, SH  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD bao nhiêu? A 16 a B 16 a C 4 a D 4 a Hướng dẫn giải Gọi I là giao điểm AC và BC, qua I dựng đương thẳng d song song với SH  d   ABCD  Gọi M là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAD, qua M kẻ đường thẳng d' vuông góc với mp(SAD), d' cắt d O  O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD và bán kính R  OS  MO  MS Với OM  IH  AB  a, MS  r (r là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB) Lại có, SAD cân A, cạnh AD  a, đường cao SH  a suy tam giác SAD r  AM  a 4a (R là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình SH   R2  3 chóp S.ABCD) Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD S  4 R  16 a Chọn A Bài tập Cho hình chóp S.ABC có SA   ABC  Gọi M, N là hình chiếu A trên SB,    , BC  a Diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là SC Biết BAC A  a2 cos  B  a2 sin  C 4 a2 cos  D 4 a2 sin  Hướng dẫn giải +) Gọi K, P là trung điểm AC và AB ACN vuông N  K là tâm đường tròn ngoại tiếp ACN ABM vuông M  P là tâm đường tròn ngoại tiếp ABM +) Hai mặt phẳng (SAB), (ABC) vuông góc và cắt theo giao tuyến AB nên gọi d1 là trục đường tròn ngoại tiếp ABM thì d1 qua P, d1   ABC  và d1  AB Tương tự, gọi d2 là trục đường tròn ngoại tiếp ACN thì d2 qua K , d   ABC  và d  AC +) Rõ ràng, mặt phẳng (ABC) thì d1d2 là đường trung trực các cạch AB, AC nên hai đường này cắt tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Do đó, tâm mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC, bán kính R mặt cầu này chính là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC +) Áp dụng định lí sin cho ABC ta R  BC a  2sin A 2sin  Vây diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là S  4 R   a2 sin  Chọn B Lưu ý: Cách 2: Vẽ đường kính AE đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Khi đó A, M, N, B, C cùng nhìn AE góc 90° Áp dụng định lí sin cho ABC ta R BC a  2sin A 2sin  Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện ABCMN là S  4 R   a2 sin  Dạng Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Mặt cầu nội tiếp khối đa diện là mặt cầu tiếp xúc với tất các mặt khối đa diện Phương pháp giải Xác định và hiểu rõ khoảng cách từ tâm mặt cầu nội tiếp khối đa diện tới các mặt khối đa diện chính là bán kính mặt cầu nội tiếp khối đa diện Từ đó có thể tính bán kính, diện tích xung quanh mặt cầu, thể tích khối cầu và giải các bài toán liên quan Ví dụ: Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương có cạnh là A  12 B  C 2 D  Hướng dẫn giải Khối cầu nội tiếp hình lập phương có tâm trùng với tâm hình lập phương và tiếp xúc với các mặt hình lập phương tâm các hình vuông là các mặt hình lập phương Suy bán kính R  4 1  Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương là V   R      3 2 Chọn D Bài tập mẫu Bài tập Cho hình lập phương có thể tích 64a3 Thể tích khối cầu nội tiếp hình lập phương đó A V  64 a B V  8 a3 C V  32 a D V  16 a Hướng dẫn giải Hình lập phương có thể tích 64a , suy cạnh hình lập phương là 4a Khối cầu nội tiếp hình lập phương có bán kính cạnh hình lập phương  R  2a 32 a Vậy V   R  3 Chọn C Bài tập Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông B, AB  8, BC  Biết SA  và SA vuông góc với mp(ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần không gian bên hình chóp và tiếp xúc với tất các mặt hình chóp S.ABC A 16  B 625  81 C 256  81 D 25  Hướng dẫn giải Gọi I và r là tâm và bán kính hình cầu tiếp xúc với tất các mặt hình chóp S.ABC Khi đó r.S VS ABC  VI ABC  VI SBC  VI SAB  VI SAC  r  S ABC  S SAB  S SBC  S SAC   TP 3 3V  r  S ABC STP 1 VS ABC  SA.SABC  .8.6  48; 3 S ABC  S SAB  24; S SBC  S SAC  30  STP  108 Vậy r  3VS ABC 3.48 4 256    Vmc   r   STP 108 3 81 Chọn C Dạng Bài toán cực trị Phương pháp giải Tương tự bài toán cực trị hình nón, hình trụ ta thường đánh giá trực tiếp dựa vào hình biểu diễn hay quy đại lượng cần tìm cực trị phụ thuộc vào yếu tố sau đó đánh giá tìm đáp án Ví dụ: Cho mặt cầu bán kính R  5cm Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là đường tròn (C) có chu vi 8cm Bốn điểm A, B, C, D thay đổi cho A, B, C thuộc đường tròn (C), điểm D thuộc  S   D   C   và tam giác ABC Thể tích lớn tứ diện ABCD A 20 3cm3 B 32 3cm3 C 60 3cm3 D 96 3cm3 Hướng dẫn giải Gọi H là hình chiếu D trên mặt phẳng (P) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có chu vi 8cm Suy bán kính đường tròn R  8   cm  2 Suy cạnh tam giác ABC  cm  Suy S ABC 4 3   12  cm  không đổi Do đó thể tích khối tứ diện ABCD lớn d  D,  ABC   lớn  D và O nằm cùng phía SO với mặt phẳng (P) và D, O, H thẳng hàng  DH  DO  OH  DO  OA2  AH   25  16  Khi đó Vmax  12 3.8  32  cm3  Chọn B Bài tập mẫu Bài tập Cho hai mặt cầu  S1  ,  S  có cùng tâm I và bán kính là và 10 Các điểm A, B thay đổi thuộc  S1  còn C, D thay đổi thuộc  S  cho có tứ diện ABCD Khi thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn thì khoảng cách hai đường thẳng AB và CD A 10 B C D Hướng dẫn giải Để có tứ diện ABCD thì AB và CD không đồng phẳng Gọi R1, R2 là bán kính các mặt cầu  S1  và  S   R1  2; R2  10 Gọi K là trung điểm CD và h là khoảng cách hai đường thẳng AB và CD Ta CD  2CK , AB  R1  4,sin  AB, CD   Thể tích khối tứ diện ABCD là VABCD  1 AB.CD.sin  AB, CD  d  AB, CD   4.CD.h 6 Co  si  4 h  CK  IK  CK 3 Xét ICK vuông K có IK  CK  CI  R22 Khi đó VABCD  4 R2  10 3  AB  CD  Dấu “=” xảy   AB   h  IK  CK  Chọn C Bài tập 2: Cho tam giác ABC cạnh a, đường thẳng d qua A và vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi S là điểm thay đổi trên đường thẳng d, H là trực tâm tam giác SBC Biết S thay đổi trên đường thẳng d thì điểm H nằm trên đường (C) Trong số các mặt cầu chứa đường (C), bán kính mặt cầu nhỏ là A a B a C a 12 D a Hướng dẫn giải Gọi M là trung điểm BC suy AM  BC ; SM  BC Gọi AM  G là trọng tâm tam giác ABC, vì a a a2 ; MG  MA  suy MG.MA  tam giác ABC cạnh a nên Mặt khác H trực tâm tam giác SBC nên tam giác BMH và tam giác SMC là hai tam giác đồng dạng nên BM MH a2   MH MS  BM MC  SM MC MH MA nên tam giác MHG và tam  MG MS giác MAS đồng dạng suy GH  SM Do đó MH MS  MG.MA hay Vì H thuộc (SAM) cố định S thay đổi trên d và GH  SM nên (C) là phần đường tròn đường kính GM đó các mặt cầu chứa (C), mặt cầu có bán kính nhỏ là mặt cầu nhận GM làm đường kính nên bán kính mặt cầu R GM a  12 Chọn C Dạng Bài toán thực tế Phương pháp giải Nắm vững kiến thức các dạng toán trên để giải bài toán thực tế liên quan đến mặt cầu EV0   33  36  cm3  Bài tập: Người ta thả viên bi có dạng hình cầu với bán kính 3cm vào cái ly dạng hình trụ chứa nước Người ta thấy viên bi chìm xuống đáy ly và chiều cao mực nước dâng lên thêm 1cm Biết chiều cao mực nước ban đầu ly 7,5cm Tính thể tích V khối nước ban đầu ly (kết lấy xấp xỉ) A V  282, 74cm3 B V  848, 23cm3 C V  636,17cm3 D V  1272,35cm3 Hướng dẫn giải Gọi V0 là thể tích viên bi Gọi R là bán kính cái ly (không tính vỏ) Theo bài ta có thể tích cột nước dâng lên 1cm thể tích viên bi nên ta có  R  36  R   cm  Suy thể tích V khối nước ban đầu ly  R h   36.7,5  848, 23  cm3  Chọn B Bài tập mẫu Bài tập 1: Cho ba hình cầu tiếp xúc ngoài với đôi và cùng tiếp xúc với mặt phẳng Các tiếp điểm các hình cầu trên mặt phẳng lập thành tam giác có các cạnh là 4, và Tích bán kính ba hình cầu trên là A 12 B C Hướng dẫn giải D Gọi  O , r1  ,  O2 , r2  ,  O3 , r3  là hình cầu thỏa mãn Gọi A, B, C là hình chiếu O1; O2; O3 trên mặt phẳng Giả sử AB  4, BC  2, AC  Ta có O1 A  r1 ; O2 B  r2 ; O3C  r3 ; O1O2  r1  r2 ; O2O3  r2  r3 ; O3O1  r3  r1 Kẻ O1 H  BO2  H  BO2   BH  r1 ; O2 H  r2  r1 Theo định lý Py-ta-go ta có O1O2  O1 H  O2 H   r1  r2   AB   r2  r1   r1r2  Tương tự ta có r2 r3  Vậy r1r2 r3  AB BC AC ; r3r1  4 AB BC 2CA2  64 Chọn B Bài tập Cho địa cầu có độ dài đường kinh tuyến 30° Đông là 40cm (tham khảo hình vẽ) Độ dài đường xích đạo là: A 40 3 cm B 40 cm C 80 cm D 80 cm Hướng dẫn giải Đường xích đạo là đường vĩ tuyến lớn Độ dài đường xích đạo gấp hai lần đường kinh tuyến 30° Đông Vậy độ dài đường xích đạo là: 2.40  80  cm  Chọn C Bài tập Quả bóng đá dùng thi đấu các giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm là 68,5cm Quả bóng ghép nối các miếng da hình lục giác màu trắng và đen, miếng có diện tích 49,83cm2 Hỏi cần ít bao nhiêu miếng da để làm bóng trên? A  40 (miếng da) B  20 (miếng da) C  35 (miếng da) D  30 (miếng da) Hướng dẫn giải Vì thiết diện qua tâm là đường tròn có chu vi là 68,5cm, nên giả sử bán kính mặt cầu là R ta có 2 R  68,5  R  68,5 2  68,5  Diện tích mặt cầu: S xq  4 R  4    1493,59  cm   2  Vì miếng da có diện tích 49,83cm2 nên để phủ kín mặt bóng thì số miếng da 1493,59 cần là  29,97 Vậy phải cần  30 miếng da 49,83 Chọn D Dạng Dạng toán tổng hợp Phương pháp giải Sử dụng kiến thức hình nón, hình trụ, hình cầu các dạng toán trên để giải bài toán tổng hợp Ví dụ: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I đường kính AA', M là trung điểm BC Khi quay tam giác ABM cùng với nửa hình tròn đường kính AA' xung quanh đường thẳng AM, ta V khối nón và khối cầu có thể tích là V1 và V2 Tỷ số V2 A B 49 C 27 32 Hướng dẫn giải Chọn D a a a Gọi a là cạnh ABC đều, suy BM  ; AM  ; IA  2 D 32 a a  BM AM 2 V Ta có      V2 a 3 32  IA3     Bài tập Bài tập Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh là 2a, có thể tích V1 và hình V cầu có đường kính chiều cao hình nón, có thể tích V2 Khi đó tỉ số thể tích bao nhiêu? V2 A V1  V2 B V1  V2 C V1  V2 D V1  V2 Hướng dẫn giải Chọn B Cho hình nón có thiết diện qua trục là tam giác cạnh là 2a 3  I  2a, R  a, h  a  V1  a 3 a  a ; 3 a 3 3 V2    a     Vậy V1  V2 Bài tập Một cái bồn chứa nước gồm hai nửa hình cầu và hình trụ (như hình vẽ) Đường sinh hình trụ hai lần đường kính hình cầu Biết thể tích bồn chứa nước là 128 m Tính diện tích xung quanh cái bồn chứa nước theo đơn vị m2 A 48 m2 B 50 m2 C 40 m2 Hướng dẫn giải Chọn A D 64 m2 Gọi x là bán kính hình cầu Ta có lt  2d c  Rc  Rt  x Thể tích bể nước là 4 128 V  Vt  Vc   Rt2lt   Rc3   x x   x3  3 3  x   x  Diện tích xung quanh bể nước là S  2 Rt lt  4 Rc2  2.2  4 22  48  m 