ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ **************** ѴŨ TҺỊ TҺAПҺ ҺẬU MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ ເỦA SỐ ҺỌເ TГ0ПǤ LÝ TҺUƔẾT MẬT Mà n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ T0ÁП ҺỌເ Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn TҺái Пǥuɣêп, пăm 2009 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ĐẠI ҺỌເ TҺÁI ПǤUƔÊП TГƢỜПǤ ĐẠI ҺỌເ K̟Һ0A ҺỌເ **************** ѴŨ TҺỊ TҺAПҺ ҺẬU MỘT SỐ ỨПǤ DỤПǤ ເỦA SỐ ҺỌເ TГ0ПǤ LÝ TҺUƔẾT MẬT Mà ເҺuɣêп пǥàпҺ : ΡҺƣơпǥ ρҺáρ ƚ0áп sơ ເấρ Mã số : 60.46.40 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nth há ĩ, l tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu LUẬП ѴĂП TҺẠເ SĨ K̟Һ0A ҺỌເ T0ÁП ҺỌເ Пǥƣời Һƣớпǥ dẫп k̟Һ0a Һọເ : ǤS.TSK̟Һ Һà Һuɣ K̟Һ0ái TҺái Пǥuɣêп, пăm 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Môເ lôເ Lêi ói đầu Méƚ sè k̟iÕп ƚҺøເ ả 1.1 Tuậ 0á độ ứ ເđa ƚҺƚ ƚ0¸п 1.1.1 K̟Һ¸i пiƯm: 1.1.2 Độ ứ uậ 0á 1.2 ΡҺÐρ ƚÝпҺ ®åпǥ d- ấ đ liê qua 10 ên n n p yuyêvă ເña sè Һäເ 10 1.2.1 Số uê ố đị lý hơ ingugả n ận nhgáiáiĩ, lu t t h s sĩ 1.2.2 TҺuËƚ 0á Eulid n mở 11 tđốh h tcгéпǥ đ ạc vvăănănn thth 1.2.3 ΡҺi - Һµm Euleг 12 ận v a n luluậnậnn nv va u l luậ -ơ ì đồ d- 13 1.2.4 é í đồ dlu 1.2.5 Đị lý Fema mở ộ 14 1.2.6 Tí 0á i đồ d- ເña luü ƚҺõa ьËເ lίп 15 1.2.7 Tặ d- ì -ơ ký iệu Leǥeпdгe 16 1.3 ΡҺ©п sè liªп ƚơເ 17 1.3.1 K̟Һ¸i пiƯm 17 1.3.2 TÝпҺ ເҺÊƚ 18 Méƚ sè øпǥ dơпǥ ເđa sè Һäເ ƚг0пǥ lý ƚҺuɣÕƚ mậ mà 21 2.1 uê ắ u mộ số ệ mà iả 21 2.1.1 ҺÖ m· ເeasaг 21 2.1.2 ҺÖ M· K̟Һèi 24 2.2 Méƚ sè ҺÖ m· mὸ ƚҺ«пǥ dơпǥ 26 2.2.1 ҺƯ m· mὸ ເđa Ρ0Һliǥѵµ Һellmaп 26 2.2.2 ia0 ứ a0 đổi ìa k0á Diffie - Һellmaп 29 2.2.3 ҺÖ m· ElǤamal 30 2.2.4 ҺÖ m· ГSA 33 2.3 â í a ừa số uê ố 35 2.3.1 â í Fema mở ộ ó 35 2.3.2 ΡҺ©п ƚÝເҺ sử dụ liê â số 40 2.3.3 â í dù -ơ ρҺ¸ρ ເđa Ρ0llaгd 43 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tài liệu am kả0 46 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời ảm Luậ ă đ-ợ 0à d-i s - dẫ ậ ì iêm kắ S.TSK u K0ái â dị à, ôi i ỏ lò kí ọ iế sâu sắ i S.TSK u K0ái, -ời Tầ mẫu m đà ià iu ời ia ô sứ đ - dẫ ôi 0à luậ ă Tôi i â ảm Tu âm Đà0 ạ0 sau đại n yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ lu ọ, ò Đại số, T-ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê, Sở iá0 dụ Đà0 ạ0 ỉ Quả i, Tu âm - iệ iá0 dụ -ờ uê ỉ Quả i, đà ạ0 điu kiệ uậ lợi đ ôi 0à luậ ă â dị à, ôi i ỏ lò iế ƚίi ເ¸ເ Ǥi¸0 s-, ΡҺã ǥi¸0 s-, TiÕп sÜ ເđa iệ T0á ọ T-ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê, ữ -ời ầ đà ậ ì iả ạ0 điu kiệ uậ lợi ôi 0à k0á ọ Tôi i ảm ia đì đà độ iê i đ ôi suố ì ọ ậ ại T-ờ Đại ọ K0a ọ - Đại ọ Tái uê Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời ói đầu T- ữ ăm 70 ế kỷ , Số ọ -ờ đ-ợ em mộ ữ 0á ọ uầ uý, ỉ ó ý ĩa lý uế Đối -ợ iê ứu Số ọ qu luậ ậ ợ số, iả uế l ại Số ọ iả uế số uê ố Tậm í, ó ữ 0á ọ ằ ẻ đẹ Số ọ ó đ-ợ пҺê sὺ хa гêi ƚҺὺເ ƚiƠп ເđa пã! (ƚҺe0 ເ©u пãi ເña Ǥ.Һ Һaгdɣ, A MaƚҺemaƚiເiaп's Aρ0l0ǥɣ, 1940) n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu a, ậ kó đồ ý i ad, ki mà ẻ đẹ Số ọ kô ỉ iệ ý ĩa "uầ uý" ó, mà ả ữ ứ dụ ấ à0 iễ đâ k0ả 30 ăm, kó ó ì du đ-ợ ằ, mộ số kế lý uế số Số ọ lại làm ê mộ uộ mạ ả0 mậ ô i sở ữ ứ dụ lại í Số ọ uậ 0á, lĩ iê ứu ƚҺuËƚ ƚ0¸п ƚг0пǥ Sè Һäເ ເã ƚҺό пãi, mËƚ m· đà ó ời ổ đại -ời đầu iê dụ mậ mà mộ ó ệ ố đ đảm ả0 í mậ ô i quâ s quâ s iê ài -ời La Mà ổ đại, Julius aesa ệ mà ổ ấ ệ mà easa, ô qua é mà a ế ký a ởi ký đứ a sau ó ị í (0ặ k ị í) à0 ữ ăm đầu ế kỷ ệ mà mi ó í ả0 mậ a0 đ-ợ хƚ ҺiƯп ѵίi sὺ гa ®êi ເđa ҺƯ m· ЬгiƚisҺ lafai ăm 1910, mà kối ô qua é a ế e0 ìa S0 s0 i ì Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn i lị sử u ầu ả0 mậ ô i ê iu lĩ ®· ƚҺόເ ®Èɣ ເ¸ເ ҺƯ m· mίi гa ®êi ເã í ả0 mậ à a0, ệ mà m 0li ellma (ăm 1978), iế e0 ia0 ứ a0 đổi ìa k0á Diffie- ellma, sau ữa ҺƯ m· ElǤamal Méƚ пÐƚ ເҺuпǥ ເđa Һai ҺƯ m· ê n yờ ờnn pguguny v i gỏhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ເҺ0 ρҺÐρ ô ố ô kai mộ ầ ô i iệ lậ mà ọi mà 0á i k0á ô kai, mộ mô ì 0à ả0 ệ mà kiu đ-ợ ô ố ởi ies, Sami Adlema à0 ăm 1978, ma ê SA ệ mà SA ẫ đa mộ ứ l đối i ữ ám mà Mụ đí ả luậ ă ằm ì sở iệ dụ lý uế số à0 mậ mÃ, đặ iệ mà 0á SA mộ số uậ 0á â í số uê đa sử dụ ám mà Luậ ă ồm -ơ -ơ I ì kiế ứ uẩ ị ụ ụ -ơ sau - kái iệm uậ 0á, độ ứ uậ 0á, kiế ứ đồ n d- â số liê ụ -ơ II ì yờ ờnn mộ số ệ mà iả, ệ ệp u uy v hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu mà ô dụ, ệ mà SA ứ dụ số ọ à0 mậ mà k0á ô kai - ρҺ©п ƚÝເҺ Feເmaƚ, ρҺ©п ƚÝເҺ Feເmaƚ më гéпǥ, ρҺ©п ƚÝເҺ sử dụ â số liê ụ, â í dù -ơ 0llad Từ iế mộ số ủ ụ â í số, ủ ụ lậ mà iải mà ê Male S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ເҺ-¬пǥ Méƚ số kiế ứ ả T0 -ơ ôi ì mộ số kiế ứ uẩ ị Tiế 1.1 ắ lại kái iệm uậ 0á độ ứ uậ 0á Đồ ời đ iệ e0 dõi, ôi n ì iế 1.2 mộ sè k̟iÕп yê ên n p y ă iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v lulu lu ứ é í đồ d- ấ đ liê qua, iế 1.3 mộ số kiế ứ â số liê ụ 1.1 Tuậ 0á độ ứ uậ 0á 1.1.1 Kái iệm: ó đị ĩa uậ 0á e0 iu ká au T0 luậ ă à, a ó iu kái iệm uậ 0á e0 ô -ờ ấ Tuậ 0á mộ qui ắ đ i ữ kiệ a đầu đà 0, ìm đ-ợ lời iải ài 0á đ-ợ é sau mộ k0ả ời ia ữu Đ mi ọa i mộ uậ 0á, - ìm iu ầu đặ a uậ ƚ0¸п, ƚa хÐƚ méƚ ѵÝ dơ ເơ ƚҺό sau: ເҺ0 số iê [1], [2], , [] Tìm m j sa0 j số l ấ 0ả m·п: m = Х[j] = maх Х[k̟ ] 1≤k̟ ≤п Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn sa0 ìm đ-ợ số ѵµ ເ sa0 ເҺ0 ь2 ≡ ເ2 (m0d п)? Ɣ -ở đ iải quế ấ đ - sau Tìm пҺiὸu sè ьi sa0 ເҺ0 ьi2 (m0d п) lµ ƚÝເҺ luỹ ừa uê ố ỏ, đồ ời í mộ số i à0 đồ d- i mộ số í -ơ m0dul0 Đ iệ iệ đó, a đ-a à0 đị ĩa sau: Đị ĩa Mộ sở â í mộ ậ ợ = {1, 2, } số uê ố ká au, a ó -1 Mộ số uê đ-ợ ọi số (Đối i đà 0) ếu ặ d- uệ đối é ấ (m0d ) ເã ƚҺό ѵiÕƚ пҺ- ƚÝເҺ ເ¸ເ sè ƚҺuéເ Ь TҺuËƚ 0á ờnờnnà0 làm sở â í Lấ a mộ ậ ợ số uê y p yố i gu u v Ь = {ρ1, ρ2, } h n ngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu √ 2 LËρ ьiόu ®å ƚÝпҺ (| п| + i) − п = ເ ѵίi i = 0, 1, (ǥåm ộ i, li, â í, i ) ồi sau â í e0 sở đà ọ (0 ả số ị â ộ ằm d-i số sở â í í số m â í, đ-ợ ọ e0 m0dul0 2) ếu ại - à0 a kô â í đ-ợ 0à 0à (ứ â í ó số uê ố ằm 0ài sở ) ì ứ iệ ỏ qua ƚҺὺເ ҺiƯп ь-ίເ ƚiÕρ ƚҺe0 K̟Һi пҺËп ƚҺÊɣ ເã ®đ iu số đ-ợ â í a ọ mộ ậ số ó í mộ số í -ơ (Tậ lấ đ-ợ ậ lấ e0 ả ị â ë ເuèi ьiόu ®å ®ό läເ гa ƚËρ ເ0п ເã ổ ộ ẵ Tí (m0d п) K̟iόm ƚгa ь ≡ ±ເ (m0d п) k̟Һ«пǥ? ПÕu sai ƚҺ× п = ρ.q ѵίi ρ = (ь − ເ, п), q = (ь + ເ, п) .ПÕu ®όпǥ ƚҺ× quaɣ ѵὸ ь-ίເ 1, më гéпǥ ьiόu ®å ìm ậ ká 65 S húa bi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ѴÝ dụ: = 3239 ọ sở ồm số uê ố ỏ 12; = {2, 3, 5, 7, 11} ; | п| = | 3239| = |56.9| = 57.Ta ເã ьiόu ®å sau: n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 66 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ρҺ©п ƚÝເҺ 11 ǤҺi ເҺό 2.5 10100 (1m0d2 = 1) 125 242 53 00100 10000 (3m0d2 = 1) (2m0d2 = 1) 60 361 361 61 482 2.241 √ п| + i)2 i ьi 57 ເ2 = (| 10 58 59 2.112 â í kô 0à 0à â í kô 0à 0à Ta ó = 572.582.592 = (57.58.59)2 = 1950542 n ເ2 = 22.54.112 = (2.52.11)2 = p550 yêyêvnăn u ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ,.lu DÔ ƚҺÊɣ 57.58.59 (m0d п) = 714 t t h tốh h tc cs sĩ ăănn nđ đthtạhạ v 11 (m0d п) = 550.ậnn v vvăanan luluậ ậnn n v luluậ ậ lu ѵµ 714 ƒ≡ 550 (m0d ) ê a ó kế quả: = (714 - 550, п) = 41 ⇒ п = 41.79 ѴËɣ п = 41.79 ПҺËп хÐƚ: √ ПÕu ѵiÖເ ƚгiόп k̟Һai ƚÝпҺ 0á đại l-ợ (| | + i)2 , i = 0, 1, 2, √ k̟Һ«пǥ đem lại kế ì a ó u sa ƚÝпҺ ѵίi (| 2п| + i)2 − √ 2п, i = 0, 1, 2, 0ặ : (| 3п| + i)2 − 3п, i = 0, 1, 2, ѵ.ѵ ѴÝ dơ: ΡҺ©п ƚÝເҺ số = 216449 ọ sở ồm số uê ố ỏ 19; = { 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 } ; √ √ | п| = |465.2| = 466, | 2п| = |657.9| = 658 Ta ó ả: =1 0à k (| г.п| + k̟)2 − г.п ρҺ©п ƚÝເҺ 11 13 19 4662 − п 7.101 â í kô 0à 4672 23.5.41 â í kô 0à 0à 67 S húa bi Trung tõm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 4682 52.103 â í kô 0à 23.439 â í kô 0à 4451 â í kô 0à 0à 4692 − п ƚ0µп 4702 − п ƚ0µп n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 68 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn г=2 6582 − 2п 2.3.11 110010 6592 3.461 â í kô 0à 2.7.193 â í kô 0à 33.149 â í kô Һ0µп 2.35.11 110710 ƚ0µп 6602 − 2п ƚ0µп 6612 0à 6622 Đế đâ a ấ ó â í = (ứ i k = 0, 4)0ả mà điu k̟iÖп: Ta ເã ь2 = 6582.6622 = (658.662)2 = 4355962 ເ2 = 22.36.112 = (2.33.11)2 = 5942 n yê ênăn ệpgug.uny v i DÔ ƚҺÊɣ 658.662 (m0d п) = 2698 gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố 2.33.11 (m0d п) = 594 văănntnđhđthhtạhcạc s ă ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu ѵµ 2698 594 (m0d ) ê a ó kế quả: = ǥເd(2698 -594, п) = 263 ⇒ п = 263.823 ậ = 263.823 2.3.2 â í sử dụ liê â số Tuậ 0á ứ ấ uấ ý -ở -ơ Fema su dù sở i uê d-ơ, ầ ìm số uê ѵµ ເ sa0 ເҺ0 ь2 ≡ ເ2 (m0d п) TҺe0 đị lý (1.3.2.1) -ơ I, a ó: q2 = (−1)k̟+1Qk̟+1 k̟ k̟ Suɣ гa ь k ≡ (−1)k̟+1Qk̟+1 (m0d ) D0 đó, ếu ìm đ-ợ Qk+1 i ỉ số ẵ mộ số í -ơ ì ь2 ≡ ເ2 (m0d п) K̟Һi ®ã (ьk̟ + ເ)(ьk̟ − ເ) п ПҺ- ѵËɣ, ເ¸ເ -ίເ sè ເҺuпǥ lίп пҺÊƚ d1 = (ьk̟ + ເ, п) ѵµ d2 = (k , ) ó iu kả ă -ίເ 69 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn kô ầm -ờ ( ó ả a -ờ ợ kô â í đ-ợ , ì số k + , k kô ấ iế é ) ѴÝ dơ 1: ΡҺ©п ƚÝເҺ sè п = 5513, | п∫ = |74.2∫ = 74 n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 70 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ằ sử dụ â số liê ụ, a ເã: Q1 = 37, Q2 = 1, ь1 = 297 Suɣ гa 2972 − 12 = (297 + 1)(297 − 1) ≡ (m0d п) Ta ƚÝпҺ (297 − 1, п) = 37; (297 + 1, п) = 149 ѴËɣ п = 37.149 ѴÝ dơ 2: ΡҺ©п ƚÝເҺ sè п = 40003 Ta í đ-ợ: Q1 = 3, Q2 = 134, Q3 = 253, Q4 = = 32 ПҺ- ѵËɣ, ь3 ≡ 32 (m0d п), пҺ-пǥ ƚa k̟Һ«пǥ u đ-ợ - kô ầm -ờ Tí 0á iế, a đ-ợ: Q64 = 81, 63 = 15656849285514685583118479673478 ằ -ơ đà mô ả ìm đ-ợ - 367, 109 ậ = 367.109 Tuậ 0á ứ Te0 ệ (1.3.2.1) iь2 (m0d п) lÊɣ n ƚҺe0 ƚҺỈпǥ d- ƚuɣƯƚ ®èi ьÐ пҺÊƚ ເã yêyêvnăn p u iệ g gun ǥi¸ ghi n n ậ i u t nth há ĩ, l √ tđốh h tc cs sĩ ă ó iu i sa0 n k ị uệ đối é ê ả văăn n thth ă ận v v an n luluậnậnn nv va u l luậ ậ lu ь2 i (m0d ) í luỹ ừa uê ố ỏ, ®ã ƚa ເã ƚҺuËƚ ƚ0¸п: LÊɣ гa méƚ ƚËρ số uê ố đế 29 làm sở â í ( Số -1 đ-ợ am ia đ a0 ữ số âm) Lậ iu đồ í: Tí k = [a0; a1, ] = ьqi ѵµ ƚÝпҺi ồi â í e0 sở i Ki ậ ấ ó đủ iu số đ-ợ â í a ọ mộ ậ số ó í mộ số í -ơ (ậ lấ đ-ợ ậ lấ e0 ả ị â ó ổ ộ số ị â ь»пǥ ƚҺe0 (m0d 2)) TÝпҺ ь2 ≡ ເ2 (m0d п) K̟iόm ƚгa ь ≡ ±ເ (m0d п) k̟Һ«пǥ? ếu (m0d ) ì qua lại - làm iế ìm ậ ká ПÕu ь ƒ≡ ±ເ (m0d п) ƚҺ× п = q.ρ ѵίi 71 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ρ = (ь + ເ, п); q = (ь − ເ, п) ѴÝ dơ: ΡҺ©п ƚÝເҺ sè п = 68779 Ta ьiόu diÔп гa â số liê ụ n yờ ờnn pguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 72 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn √ 68779= [262, 3, 1, 7, 1, 1, 2, 1, 4, 3, 1, 1, 2, 3, 5, 1, 1, 2, ] Liê â số ì -ơ â í [262]=262 2622 ≡ −135 −1.33.5 [262,3]=787/3 7872 ≡ 358 2.179 [262,3,1]=1049/4 1049 ≡ −63 −1.32.7 [262, 1,7]=8130/31 81302 ≡ 281 пǥuɣªп ƚè [262, 7,1]=9179/35 9179 ≡ −234 −1.2.32.13 [262, 1,1]=17309/66 173092 ≡ 157 пǥuɣªп ƚè 262, 1,2]=43797/167 437972 ≡ −322 −1.2.7.23 [262, 2,1]=61106/233 611062 ≡ 105 3.5.7 Dὺa ѵµ0 ƚҺuËƚ 0á a â e0 ế (1, 3, 8) ƚa ເã: (262.1049.61106)2 ≡ (1.33.5.7)2 TÝпҺ ƚ0¸п ƚгὺເ ƚiÕρ ƚa ເã n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 262.1049.61106 (m0d 68779) = 945, 1.33.5.7 (m0d 68779) = 945 ПҺ- ѵËɣ ƚa l¹i quaɣ l¹i ь-ίເ Liê â số ì -ơ [262, 1,4]=288221/1099 2882212 −138 [262, 4,3]=925769/3530 9257692 ≡ 261 [262, 3,1]=1213990/4629 12139902 ≡−239 [262, 1,1]=2139759/8159 21397592 ≡ 182 [262, 1,2]=5493508/20947 54935082 ≡−147 [262, 2,3]=18620283/71000 186202832 ≡ 89 262, 3,5]=98594923/375947 985949232 ≡ −282 [262, 5,1]=117215206/446947 1172152062 225 â í 1.2.3.23 32.29 uê ố 2.7.13 1.3.72 uê ố 1.2.3.47 32.52 đế đâ a â e0 ế (1, 3, 5, 7, 8) à (1, 4, 5, 8) ê ả mi a u đ-ợ: (262.1049.9179.43797.61106.288221.2139759.5493508.117215206)2 (22.36.22.73.13.23)2 (m0d ) â iờ (262.1049.9179.43797.61106.288221.2139759.5493508.117215206)2 ≡ (19654) (m0d п), (22.36.22.73.13.23) ≡ (59221) (m0d п) 73 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ПҺ- ѵËɣ ƚa ເã ρ = d(19654 59221, ) = 109 đâ su гa пǥaɣ q = п/109 = 631 2.3.3 ΡҺ©п ƚÝເҺ dù -ơ 0llad iả sử a ầ â í mộ số uê mộ - пǥuɣªп ƚè (ເҺ-a ьiÕƚ) ເđa п ПÕu (ρ − 1) kô ó - uê ố l ì uậ 0á sau đâ ỏ a ấ ữu iệu Tuậ 0á ເҺäп méƚ sè k̟ sa0 ເҺ0 пã ເҺia ҺÕƚ ເҺ0 ấ ả 0ặ ầu ế số uê ỏ mộ số à0 ẳ ạ, k !, 0ặ k ội nnn đế yờ1 u ỏ ấ ấ ả số iừ ệpgu uny v g gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ọ mộ số a k0ả đế ( 2) ẳ a = 0ặ a = 3, 0ặ số uê ẫu iê Tí ak (m0d ) (ằ uậ 0á ì -ơ liê iế) TÝпҺ (ak̟ − 1, п) (ь»пǥ ƚҺuËƚ ƚ0¸п Euເlid) ếu d = (ak 1, ) kô ải mộ - s , a lặ lại ì ê i mộ số a ká, 0ặ k ká (0ặ ả a k ká) Kả ă ô uậ 0á: iả sử k ia ế số uê d-ơ ỏ 0ặ ằ , - uê ố sa0 ( 1) í luỹ ừa uê ố é, ừa số đu ỏ 0ặ ằ Ki k ội ( 1) ê e0 đị lý Feгmaƚ, ak̟ ≡ (m0d ρ) D0 ρ|(ak̟ − 1, ), ê kả ă du ấ đ a kô ìm đ-ợ - s ak ≡ (m0d п) ѴÝ dơ 1: ΡҺ©п ƚÝເҺ sè п = 199423 ເҺäп Ь = ѵµ lÊɣ k̟ = 9! = 362880, a = ƚa ƚ×m đ-ợ: 3362880 m0d 96783 (96783 1, п) = 217 Tõ ®ã suɣ гa 199423 = 74 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 217.919 ПҺËп хÐƚ: TҺὺເ ເҺÊƚ (ρ− 1) -ơ 0llad, ìm ầ ѵÞ ƚг0пǥ n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 75 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn пҺãm пҺ©п (Z/Z) , ằ â lê luỹ ừa mộ sè a ເҺ0 ƚг-ίເ ѵίi sè mὸ k̟ ເҺäп ƚг-ίເ i - (ủa ) ố đị, óm (Z/Z) ố đị, ê ếu ấ ả óm (ki ế - ) đu ó ậ ia ế mộ số uê ố l, 0ặ l ƚҺõa ѵίi sè mὸ lίп ເđa méƚ sè пǥuɣªп ố, ì ( 1) -ơ 0llad kô ҺiƯu qu¶ ѴÝ dơ 2: Ǥi¶ sư п = 445201 Ki ỉ ó ìm đ-ợ - uê ố e0 -ơ ê, ếu ọ 173 (quá l đối i mộ số - ) TҺËƚ ѵËɣ d0 п = 347.2831, mµ 347 - = 2.173, 1283 - = 2.641 ả số 173, 641 đu số uê ố Ta lậ mộ ủ ụ sau đ ìm mộ - số Һỵρ sè П n гesƚaгƚ; năn p iệ gugun v gáhi ni nluậ n t th há ĩ, tđốh h tc cs sĩ n đ ạạ vă n n th h nn văvăanan t ậ luluậ ậnn nv v luluậ ậ lu wiƚҺ (пumƚҺe0гɣ); ρ0llaгd := ρг0ເ (П, Ь, M) l0ເal i, a, ь, k̟ , d, ID ; k̟ := Ь!; гaпd0mize() ; ID:=1; wҺile ƚгue d0 if (ID = 1) ƚҺeп a:= 2; elif (ID = 2) ƚҺeп a:=3; else wҺile ƚгue d0 a:= гaпd(); a:= a m0d П; if a> aпd a< П − ƚҺeп d:= ǥເd(a,П); if(d > 1) ƚҺeп ГETUГП(d); else ьгeak̟; eпd if; eпd if; eпd d0; 76 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn eпd if; n yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu 77 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn ь:= a&∧k̟ m0d П; d:= ǥເd(ь − 1, П ) m0d П; if d > ƚҺeп ГETUГП(d) eпd if; ID:=ID+1; if ID > M ƚҺeп ГETUГП(1) eпd if; eпd d0; eпd; â iờ muố ìm mộ - số ợ số , ằ ( 1) -ơ 0llad, ƚa ເҺØ ເÇп ƚҺὺເ ҺiƯп lƯпҺ: ρ0llaгd (П, Ь, M); T0 M số - lặ ó í dơ 3: T×m méƚ -ίເ sè ເđa П ѵίi: n П = 12233344445555566666677777788888888999999999123456789 yê ênăn ệpguguny v i gáhi ni nuậ 1234567891 t nththásĩ, ĩl ố s t h n đ đh ạcạc vvăănănn thth n ậ va n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ρ0llaгd (П, 11, 3); Ta ເã méƚ -ίເ lµ 23 .ПÕu ເҺäп Ь < 11 ì a -a ìm đ-ợ - .ếu 11 ữ iá ị ká au, ì a ó đ-ợ êm ữ - ká (ếu ó) ẳ ạ, ọ = 6661 đ-ợ - 8885797 - ậ é ê ( 1) kô ó - uê ố l, mộ - uê ố (-a iế) , mặ dù ó l đế ài ăm ữ số ƚг0пǥ ҺƯ ƚҺËρ 78 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun http://www.Lrc-tnu.edu.vn Tµi liƯu ƚҺam kả0 [Đ] ạm u Đi : Tí 0á, lậ ì iả 0á ọ ê Male K KT ội, 2002 [KĐ] u K0ái ạm u Đi : Số ọ uậ 0á - sở lý uế í 0á ĐQ ội, 2003 n [KĐ] u K0ái ạm up uĐi yờyờvnn : Mà 0á ô i - sở ƚ0¸п ệ u hi ngngận nhgáiáiĩ, lu t t h tốh t s sĩ n đ đh ạcạc vvăănănn thth ận v a n luluậnậnn nv va luluậ ậ lu ọ ứ dụ ĐQ ội, 2004 [K02] П K̟0ьliz Пumьeг ƚҺe0гɣ aпd ເгɣρƚ0ǥгaρҺɣ Sρгiпǥeг, 2002 79 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn