Một số ứng dụng của lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ***************** MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT BIỂU DIỄN CỦA NHÓM HỮU HẠN Chuyên ngành: Đại số lý thuyết số Mã số: 60.46.05 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ THẾ KHÔI Người thực hiện: TRẦN DANH TUYÊN Thái Nguyên - 2009 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Tai ngay!!! Ban co the xoa dong chu nay!!! http://www.Lrc-tnu.edu.vn Mục lục Lời nói đầu Mét sè vÝ dơ vỊ nhãm vµ tác động nhóm 1.1 1.2 Tác động nhóm 1.3 Nhãm ®èi xøng Các khái niệm đại số sở cđa phÐp biĨu diƠn nhãm 2.1 PhÐp biĨu diƠn tun tính 2.2 Biểu diễn tương đương 2.3 2.4 Nhóm ma trËn C¸c vÝ dơ 10 10 12 13 Tổng tích tenxơ phép biểu diễn - Phép biĨu diƠn th­¬ng 16 2.4.1 Tỉng cđa phÐp biĨu diƠn 2.4.2 TÝch tenx¬ cđa phÐp biĨu diƠn 16 17 2.4.3 PhÐp biĨu diƠn ®èi ngÉu 18 2.4.4 PhÐp biĨu diƠn th­¬ng 18 19 23 2.5 Ph©n tÝch bÊt kh¶ quy cđa mét phÐp biĨu diƠn 2.6 Đặc trưng phép biểu diễn hữu hạn Biểu diễn nhóm hữu hạn công thức Frobenius 3.1 3.2 3.3 3.4 Đặc trưng hệ trực chn BiĨu diƠn chÝnh quy 24 24 28 29 Hệ trực chuẩn đặc trưng số biểu diễn bất khả quy ứ ng dông 32 Tài liệu tham khảo 35 Số hóa Trung tâm Học liệu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn Lời nói đầu Lý thut biĨu diƠn nhãm cã ngn gèc tõ lý thuyết đặc trưng nhóm abel phát biểu cho nhóm cyclic Gauss, Dirichlet sau mở rộng sang cho nhóm abel hữu hạn Frobenius Stickelberger Lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn phát biểu vào cuối kỷ XIX công trình Frobenius, Schur Burnside Nói cách đơn giản, lý thuyết biểu diễn nhóm nghiên cứu cách mà nhóm tác động không gian véctơ tự đẳng cấu tuyến tính Lý thuyết biểu diễn nhóm không phần quan trọng đại số đại mà có nhiều ứng dụng quan trọng lý thuyết số, tổ hợp vật lý Mục đích luận văn đọc hiểu trình bày lại số kiến thức lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn trình bày chøng minh cđa B.Zagier c«ng thøc Frobenius Bè cơc cđa luận văn gồm ba chương: Chương Một số ví dụ nhóm tác động nhóm nhắc lại số khái niệm như: Trong chương Nhóm ma trận, tác động nhóm, nhóm đối xứng Những kiến thức sử dụng phần lại luận văn Chương Các khái niệm đại số sở phép biểu diễn nhóm Trong chương trình bày khái niệm số ví dụ đơn giản để minh hoạ cho khái niệm phép biểu diễn nhóm Chương Biểu diễn nhóm hữu hạn công thức Frobenius chương luận văn Đây Trong chương trình bày lại số kết lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn đặc biệt dà trình bày lại chứng minh công thức Frobenius thông qua lý thuyết biểu diễn nhóm Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu xắc tới người thầy, người hướng dẫn khoa học mình, TS Vũ Thế Khôi, nhờ hướng dẫn S hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn bảo tận tình nghiêm khắc thầy mà luận văn đà hoàn thành cách khoa học tiến độ Xin chân thành cảm ơn thầy cô công tác Viện Toán, trường Đại học thuộc Đại học Thái Nguyên đà trực tiếp giảng dạy quan tâm Xin cảm ơn anh Phạm Hồng Nam, giảng viên khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, cảm ơn bạn bè đồng nghiệp gia đình đà động viên, giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập nghiên cứu Thái Nguyên, tháng 09 năm 2009 Học Viên Trần Danh Tuyên S húa bi Trung tõm Hc liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn Ch­¬ng Mét số ví dụ nhóm tác động nhóm Ta nhắc lại số kiến thức cần dùng luận văn 1.1 Nhóm ma trận Cho cấp C trường số phức, kí hiệu mìn C trường hợp định Mm,n (C) m = n Mm,n (C) lập nên ta kí hiệu tập hợp tất ma trận C-không Mn (C) gian véc tơ thay cho mìn Mn,n (C) chiều, Ta xác nhãm tuyÕn tÝnh: GL(n, C) := {A ∈ Mn (C), detA 6= 0} Ta xác định nhóm tuyến tính đặc biÖt, SL(n, C) := {A ∈ Mn (C); detA = 1} Ta xác định nhóm trực giao: O(n) := {A ∈ Mn (R); t AA = En }, vµ cho n=p+q , th× ta cã: O(p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q }, Dp,q ma aii = 1, i = p + 1, n trận đường Và xác định chÐo mµ aii = 1, ∀i = 1, p nhãm unita: U (n) := {A ∈ Mn (C); t AA = En } Số hóa Trung tâm Học liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn nhóm khả nghịch Cho n=p+q nhóm U (p, q) := {A ∈ Mn (R); t ADp,q A = Dp,q } Từ nhóm O(n) ta xác định nhãm SO(n) cña nhãm O(n) nh­ sau: SO(n) := {A ∈ O(n); detA = 1} A(n) := {D(a1 , , an ); a1 , , an ∈ C∗ } phần tử 1.2 a1 , , an ma trận đường chéo với nằm đường chéo Tác động nhóm Trong phần cho G nhóm, phần tử đơn vị e tập Định nghĩa 1.2.1 G gọi tác động trái tồn ánh xạ Gì (g, x) g à x thoả mÃn điều kiện sau: i) ii) g · (g · x) = (gg ) · x e·x=x víi mäi g, g G, x Chú ý: Đặt Aut tập hợp tất song ánh từ vào từ định nghĩa ta đồng cÊu nhãm ϕ :G → Autχ g 7→ g · x ã Trong trường hợp ã Tác động nhóm gọi cho G tác động trái bắc cầu ta gọi cặp x, x0 Gtập trái tồn x0 = g · x Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn g∈G ã Với x0 ta xác định tËp G · x0 cña χ : G · x0 := {g · x0 ; g ∈ G}, G à x0 ã gọi Với x0 G quỹ đạo (chứa x0 ) ta xác định nhóm Gx0 := {g G, g à x0 = x0 } gọi Ví dụ 1.2.2 trái nhóm đẳng hướng Cho hay G = GL(n, C) nhóm ổn định Cn x0 , ta xác định tác động ánh xạ: Gì (A, x) A à x với x Cn Định nghĩa 1.2.3 nhóm G gọi tác động bắc cầu Định nghĩa 1.2.4 đạo x Mét tËp χ vµ cho Chó ý: χG Víi tập, ta xác định /G G có cấu trúc đại số, ví dụ tập điểm bất động với có gÃx=x Nếu G không gian hay G tập G quỹ , nghĩa tập phần tử gG không gian véc tơ trường hợp ánh xạ: :G x g à x tuyến tính với Định nghĩa 1.2.5 xạ ánh xạ x f gG Cho gọi đẳng biến G hay tập trái Gđồng cấu f : ánh với gG , ta cã : g · f (x) = f (g · x) Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn vµ Cho H lµ nhóm G , ta định nghĩa nhóm cđa G H lµ NG (H) := {g ∈ G; gHg −1 = H} Râ rµng Aut(G/H) chuÈn tắc hoá NG (H) nhóm chuẩn tắc tối đại đẳng cấu với NG (H)/H G , gọi nhóm Ta xác định nhóm CG (H) := {g ∈ G; ghg −1 = h, ∀h ∈ H} H H nhóm tâm G Trong trường hợp đặc biệt H=G nhóm tâm hoá xác định bởi: CG (G) = {g ∈ G; gh = hg, ∀h ∈ H} =: C(G) Hoàn toàn tương tự ta có nhóm tác động phải nhóm G tập : Định nghĩa 1.2.6 G gọi tác động phải tồn ánh xạ Gì (g, x) x à g thoả mÃn điều kiÖn sau: i) ii) (x · g) · g = x · (gg ) x · e = x ∀x ∈ χ, g, g ∈ G Chó ý: , Ta đưa nhóm tác động phải tác động trái ngược lại nhờ phản ®¼ng cÊu: G→G g 7→ g −1 Do ®ã cho G tập phải tác động trái cho bëi: g · x := x · g −1 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 1.3 Nhãm ®èi xøng Sn Định nghĩa 1.3.1 Nhóm đối xứng n nhóm tạo song ánh Rõ ràng Aut {1, 2, , n} nhóm hoán vị, nghĩa phần tử nhóm song ánh từ tập Sn = Autn vào tập dạng , chọn n := Chú ý: ã Số phần tử nhóm ã Mỗi phần tử Sn Sn #Sn = n! viết tích chuyển vị, nghĩa hoán vị có hai phần tử chuyển chỗ cho ã Cho Sn , ta xác định hàm dấu Sign() := ε(σ) := • σ bëi: σ(i) − σ(j) i j 1i= (1/m) χ(t−1 )χ(t) = (1/m) Aii (t−1 )Ajj (t) Ta cã: P vµ vµ suy t∈G t∈G P = (1/n) ij δij δij < χ, χ >= (1/m) X =1 −1 χ (t )χ(t) = (1/m) G, ([4], Hệ 1) với đặc trưng đặc tr­ng χi := χπi XX t∈G t∈G HƯ qu¶ 3.1.4 Cho χ := χπ vµ ij (π, V ) (πi , Vi ) Bii (t−1 )Ajj (t) ij lµ phép biểu diễn hữu hạn chiều phép biểu diễn bất khả quy với V = V1 ⊕ Vk Cho (π , V ) phép biểu diễn bất khả quy với đặc trưng χ0 = χπ0 Khi ®ã: #{Vi , Vi ' V } =< χ0 , χ > Chøng minh Ta cã χ= P i χi suy < χ, χ0 >= X < χ0 , χi > i là i thành phần bất khả quy i Hệ 3.1.5 = Hệ 3.1.6 khả quy ([4], vµ HƯ π0 chøa 3) χ0 ∼ χ i π Suy < χ0 , χ > tương đương với Nếu hai phép biểu diễn số thoả mÃn tương đương ([4], Hệ 4) , , h Nếu phân tích thành phép biểu diễn bất với số(bội) thành phần i xt hiƯn lµ mi , nghÜa lµ : V = m1 V1 ⊕ ⊕ mh Vh , hc cã thÓ viÕt V = V1m1 ⊕ ⊕ Vhmh , Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 28 ®ã < χ, χ >= h X m2i i=1 HƯ qu¶ 3.1.7 3.2 π ([4], Hệ 7) bất khả quy < , >= Biểu diễn quy Định nghĩa 3.2.1 Một biểu diễn không gian véc tơ V et gọi quy với sở nhóm hữu hạn mà tG G , nghĩa #G = m V =< et >tG với nÕu λ(g)et := egt , nghÜa lµ ta cã λ(g)v = X z(g−1 t) et , ∀ zt ∈ C t∈G víi v= V P t∈G zt et , zt ∈ C H X X −1 λ(g)u = u(g t)et , ∀ u = u(t)t ∈ H cã thÓ ®ång nhÊt víi th× ta cã t∈G NÕu chÐo g 6= e chÝnh , ta cã cña λ(g) t∈G gt 6= t lµ víi mäi b»ng Cơ t∈G , phần tử đường thể, ta có T rλ(g) = víi g 6= e vµ T rλ(e) = T rEm = m VËy ta ®· chứng minh mệnh đề sau: Mệnh đề 3.2.2 quy Đặc trưng ([4], Mệnh đề 2.3) phép biểu diễn G cho bởi: (e) = #G = m, χλ (g) = 0, ∀ g 6= e MƯnh ®Ị 3.2.3 Mäi phÐp biĨu diễn bất khả quy ([4], Mệnh đề 2.4) chứa phÐp biĨu diƠn chÝnh quy víi sè béi Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên i mult(i , ) = ni = dim Vi http://www.Lrc-tnu.edu.vn 29 Chứng minh áp dụng Hệ 3.4.1 ta cã M ult(πi , λ) =< χπi , χλ > L¹i cã M ult(πi , λ) = (1/m) X χλ (t−1 )χπi (t) t∈G suy M ult(πi , λ) = (1/m) · m · χπi (e) = ni MƯnh ®Ị 3.2.4 ([4], MƯnh ®Ị 2.5) diƠn bÊt kh¶ quy cđa i) Ph i=1 ni Ph i=1 ni χπi (t) X ni χi (t), ∀ t ∈ G X n2i = m , suy t 6= e , suy X 3.3 = Theo Mệnh đề 3.2.3 ta có (t) = Cho thì: = m Chøng minh t=e π1 , , πh lµ hệ đầy đủ phép biểu G Khi với ni = dim Vi ii) NÕu t ∈ G, t 6= e th× cho Cho ni χi (t) = Hệ trực chuẩn đặc trưng số biểu diễn bất khả quy Nhắc lại hàm với f G gọi hàm lớp f (g) = f (tgt−1 ) g, t ∈ G MƯnh ®Ị 3.3.1 Cho ([4], MƯnh ®Ị 2.6) lµ phÐp biĨu diƠn cđa G Cho πf f lµ hàm lớp tự đẳng cấu f := X V G (, V ) xác định bëi: f (t)π(t) t∈G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 30 NÕu π dim V = n bất khả quy với đặc trưng , f bội ánh f = λidV , víi X λ = (1/n) χ(t)f (t) = (m/n) < , f > xạ đồng nhất, nghÜa lµ t∈G Chøng minh Ta cã −1 π(s) πf π(s) = X X −1 f (t)π(s) π(t)π(s) = t∈G t∈G V× f f (t)π(s−1 ts) t 7→ s−1 ts = t0 X −1 f (t0 )π(t0 ) = πf π(s) πf π(s) = lµ hµm líp, ta cã ánh xạ , suy t0 G Theo Bổ đề Schur's T rλid = nλ ta πf = λid cã bội ánh xạ đồng Ta có vµ T rπf = X f (t)T rπ(t) = X f (t)χ(t) suy λ = (1/n) X f (t)χ(t) = (m/n) < , f > đặc trưng lớp hàm, phần tử Định lý 3.3.2 ([4], Định lý 2.2) Chứng minh Cần chứng minh f H0 Lấy tuỳ ý G , đặt π (χi ) lµ hƯ sinh cđa trùc giao tíi tất f = bất khả quy Vì f = , , h xác định sở trực H0 chuẩn diễn Đặc trưng H0 P f (t)π(t) χi Theo H0 Bổ đề Với phép biểu 3.3.1 f = suy phép biểu diƠn chÝnh quy, nghÜa lµ πf e = X f (t)λ(t)e1 = t πf = suy lµ phân tích thành phép biểu diễn bất khả quy, X = xác định sở véc tơ không gian biểu diễn cho Vì πf e = suy f (t)et t f (t) = 0, ∀t ∈ G Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Suy f =0 http://www.Lrc-tnu.edu.vn 31 HƯ qu¶ 3.3.3 Số biểu diễn bất khả quy ([4], Hệ 1) G số lớp liên hợp HƯ qu¶ 3.3.4 Cho ([4], HƯ qu¶ 2) g ∈G Ph 0 i=1 χi (g)χi (g ) = m/c(g) nÕu g Ph 0 ii) i=1 χi (g)χi (g ) = nÕu g 6∼ g Chøng minh g0 ∼ g vµ Cho fg fg (g ) = c(g) := #{g ; g g} = g hàm đặc trưng lớp cđa nÕu g 6∼ g lµ sè g , phần tử lớp liên hợp i) fg H0 Vì fg = h X g , nghÜa lµ fg (g ) = , theo định lý ta viết: λ i χi i=1 víi λi =< χi , fg >= (c(g)/m)i (g) Với tG fg (t) = (c(g)/m) h X χi (g)χi (t) i=1 V× fg (t) = Chó ý: víi Cho biĨu diƠn Cho t∼g suy π1 , , πh (i) U1 , , Uk V = U1 Uk , Ui fg (t) = víi t 6∼ g suy phép biểu diễn bất khả quy, phép biểu diễn bất khả quy Cho đẳng cấu với Vi , xác định Wi (, V ) tổng trực tiếp phân tích i = 1, , h (ii) V phép thành tỉng trùc tiÕp Th× V = W1 ⊕ Wh Định lý 3.3.5 Phân tích ([4], Định lý 2.3) thuộc vào cách chọn phân tích Định lý 3.3.6 V không phụ thành không gian bất khả quy Cho ([5], Định lý A.1.5) cấu đại số đẳng biến V = W1 Wh G nhóm hữu hạn tồn đẳng G ì G tắc M C[G] = EndC (Vi ) i∈I Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn 32 [g] 7−→ (i )iI 3.4 i ánh xạ tuyến tÝnh πi (g) : Vi −→ Vi øng dông Nh­ ta ®· biÕt ®ã N (G, C1 , , Ck ) := #{(c1 , , ck ) ∈ C1 × Ck | c1 ck = 1} C1 , , Ck lớp liên hợp tuỳ ý thuộc G hệ số đặc trưng phép biểu diƠn bÊt kh¶ quy Chó ý r»ng N (G, C1 , , Ck ) ta đồng vị Ci Ci+1 không phụ thuộc vào thứ tự cđa Ci Ci+1 vµ , −1 Ci Ci+1 = Ci+1 (Ci+1 Ci Ci+1 ) Do ta phép hoán Định lý 3.4.1 ((Công nhóm hữu hạn thức C1 , , Ck Frobenius), [5], Định lớp liên hợp N (G, C1 , , Ck ) = lý Cho A.1.9) G G | C1 | | Ck | X χ(C1 ) (Ck ) |G| (1)k2 chạy khắp tập đặc tr­ng cđa phÐp biĨu diƠn bÊt kh¶ quy cđa G Chứng minh Nếu C lớp liên hợp G với phần tử eG = P [g] gG tâm Theo bổ đề Schur tác động phép biến đổi bất khả quy G bội vô hướng v (G) Vì gC có vÕt lµ gièng nhau, suy χπ (g) = χπ (C), X | C | χπ (C) = χπ (g) = tr(π(eC ), V ) = tr(vπ (C).Id, V ) = vπ (C) dim π ta t×m g∈C vπ (C) = |C| χπ (C) χπ (C) = |C| dim π χπ (1) Víi Ng (G, C1 , , Ck ) := #{(a1 , , ag , b1 , , bg , c1 , , ck ) ∈ G2g × C1 × Ck | [a1 , b1 ] [ag , bg ]c1 ck = 1} ta có công thức mở réng cđa c«ng thøc Frobenius: Số hóa Trung tâm Hc liu i hc Thỏi Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 33 Định lý 3.4.2 Với ký hiệu định lý với ([5], Định lý A.1.10) g ta cã Ng (G, C1 , , Ck ) =| G |2g−1 | C1 | | Ck | X χ(C1 ) χ(Ck ) χ Chøng minh Ta cã χ(1)g−2 −1 −1 [a1 , b1 ] [ay , by ] = a1 (b1 a1 b−1 ) ag (bg ag bg ) Ng (G; C1 , , Ck ) = X A1 , ,Ag ∈C Cho G G −1 N (G; A1 , A−1 , , Ag , Ag , C1 , , Ck ) A1 Ag p dụng công thức Frobenius ta có g1 Ng (G; C1 , , Ck ) =| G | | C1 | | Ck | X | A1 | | Ag | A1 , ,Ag ∈C  χ(A1 )χ(A1 ) χ(Ag ).χ(Ag )χ(C1 ) χ(Ck ) χ(1)k+2g−2 χ g X χ(C1 ) χ(Ck )  X =| G |g−1 | C1 | | Ck | | A | χ(A)χ(A) k+2g−2 χ(1) χ X A∈C Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyờn http://www.Lrc-tnu.edu.vn 34 Kết luận Trong luận văn này, đà hoàn thành công việc đọc hiểu trình hữu bày hạn lại Chúng số kết trình bày lại lý thut biĨu mét sè chøng minh diƠn cđa cđa c«ng Frobenius th«ng qua lý thut biĨu diƠn nhãm Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên nhóm http://www.Lrc-tnu.edu.vn thức Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà nội, 1999 [2] Hoàng Xuân Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất giáo dục, Hà nội, 1999 [3] Đại số tuyến tính, Ngô Việt Trung, Nhà xuất Đại học quốc gia, Hà nội, 2002 [4] Berndt, Rolf Representations of linear groups An introduction based on examples from physics and number theory [5] Don B Zagier, Vieweg, Wiesbaden, 2007 Applications of the Representation Theory of Finite Groups, an appendix in Lando, Sergei K.; Zvonkin, Alexander K Graphs on surfaces and their applications, Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 141 Low-Dimensional Topology, II Springer-Verlag, Berlin, 2004 35 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.Lrc-tnu.edu.vn