200 bài toán hình học trong không gian có đáp án

200 bài toán hình học trong không gian có đáp án

TĐKG 01: VIẾT PHƯƠNG TRÌNH MẶT PHẲNG Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng bằng cách xác định vectơ pháp tuyến

Câu 1 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(2;4;1), B(–1;1;3) và mặt phẳng

(P): x–3y+2 –5 0z = Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua hai điểm A, B và vuông góc với mặt phẳng (P)

· (Q) đi qua A, B và vuông góc với (P) Þ (Q) có VTPT n r=éën AB r P,uuurùû=(0; 8; 12) 0- - ¹r

Þ Q( ) : 2y+3 11 0z- =

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), ( ) : +P x 2y+3z + = 3 0 ĐS: ( ) :Q x-2y z + - = 2 0

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(2;1;3), (1; 2;1)B - và song song với đường thẳng

1

3 2

ì = - +

ï = í

ï = -î

· Ta có BA uur=(1;3;2)

, d có VTCP u (1;2; 2) r= -

Gọi n r là VTPT của (P) Þ n BA

n u

ì ^

í ^ î

uur r

r r Þ chọn n r=éëBA u uur,rùû= -( 10;4; 1)

-Þ Phương trình của (P): x10 -4y z+ -19 0=

Câu 3 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho 2 đường thẳng ( )d1 và ( )d2 có phương trình:

( );

( ) :

-= = Lập phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) và ( )d2

· Chứng tỏ (d 1 ) // (d 2 ) (P): x + y – 5z +10 = 0

Câu 4 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình:

x2+y2+z2-2x+6y-4z- = Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với giá của 2 0 véc tơ v (1;6;2) r= , vuông góc với mặt phẳng( ) :a x+4y z+ -11 0= và tiếp xúc với (S)

· (S) có tâm I(1; –3; 2) và bán kính R = 4 VTPT của ( )a là n r=(1;4;1)

Þ VTPT của (P) là: n r P =[ ]n v r r, =(2; 1;2)- Þ PT của (P) có dạng: x y2 - +2z m + = 0

Vì (P) tiếp xúc với (S) nên d I P( ,( )) 4= m

m 321

é =

-Û ê =ë Vậy: (P): 2x y- +2z + = hoặc (P): x y3 0 2 - +2z-21 0=

Câu 5 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(1; –1; 1) và hai đường thẳng

( ) :

+

- - và

( ) :

-= = Chứng minh rằng điểm M d d, ,1 2 cùng nằm trên một mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng đó

· d1 qua M1(0; 1;0)- và có u r1=(1; 2; 3)- - , d

2 qua M2(0;1;4) và có u r2 =(1;2;5)

u u1 2; ( 4; 8;4) 0

, uuuuuur M M1 2 =(0;2;4)

Þ u u M Méër r1 2; ùû.uuuuuur1 2 =0

Þ d d1 2, đồng phẳng

Gọi (P) là mặt phẳng chứa d d1 2, Þ (P) có VTPT n (1;2; 1) r = - và đi qua M 1 nên có

phương trình x+2y z - + = Kiểm tra thấy điểm M2 0 (1;–1;1) ( )Î P

Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến mặt cầu

Câu 6 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d: x 3 y 3 z

- = - = và mặt cầu (S): x2+y2+z2-2x-2y-4z + = Lập phương trình mặt phẳng (P) song song với d và 2 0

trục Ox, đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S)

· (S) có tâm I(1; 1; 2), bán kính R = 2 d có VTCP u r=(2;2;1)

(P) // d, Ox Þ (P) có VTPT n r r=[ ]u i,r =(0;1; 2)- Þ PT của (P) có dạng: y-2z D + = 0

(P) tiếp xúc với (S) Û d I P ( ,( )) = Û R D

+ Û D- =3 2 5 Û D

D

3 2 5

3 2 5

é = + ê

= -ë

Þ (P): y-2z+ +3 2 5 0= hoặc (P): y-2z+ -3 2 5 0=

Câu 7 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-4y- = và 4 0

mặt phẳng (P): x z 3 0 + - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(3;1; 1)-

vuông góc với mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt cầu (S)

· (S) có tâm I(–1; 2; 0) và bán kính R = 3; (P) có VTPT n r P =(1;0;1)

PT (Q) đi qua M có dạng: A x( - +3) B y( - +1) C z( 1) 0,+ = A2+B2+C2¹ 0

(Q) tiếp xúc với (S) Û d I Q( ,( ))= Û -R 4A B C+ + =3 A2+B2+C2 (*)

Q P

( ) ( )^ Û r r = Û + = Û = -0 0 (**)

Từ (*), (**) Þ B-5A =3 2A2+B2 Û8B2-7A2+10AB = 0 Û A=2B Ú 7A= -4B

· Với A=2B Chọn B = 1, A = 2, C = –2 Þ PT (Q): x y2 + -2z - = 9 0

· Với 7A= -4B Chọn B = –7, A = 4, C = –4 Þ PT (Q): x4 -7y-4z - = 9 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với ( ) :S x2+y2+z2-2x+4y-4z + = , P5 0 ( ) : 2x y+ -6z+ =5 0, (1;1;2)M

ĐS: ( ) : 2Q x+2y z + - = hoặc Q6 0 ( ) :11x-10y+2z - = 5 0

Câu 8 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2–2x+4y+2 –3 0z =

Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Ox và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có

bán kính r 3=

· (S) có tâm I(1; –2; –1), bán kính R = 3 (P) chứa Ox Þ (P): ay + bz = 0

Mặt khác đường tròn thiết diện có bán kính bằng 3 cho nên (P) đi qua tâm I

Suy ra: –2a – b = 0 Ûb = –2a (a¹0) Þ (P): y – 2z = 0

Câu 9 Trong không gian với hệ trục Oxyz, cho mặt cầu (S): x2+y2+z2+2x-2y+2 –1 0z =

và đường thẳng d x y

x z 2 0

:ì - - =í2 6 0

- - =

î Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn có bán kính r 1=

· (S) có tâm I( 1;1; 1)- - , bán kính R = 2

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹ 0)

Chọn M(2;0; 2), (3;1;0)- N Î d

Ta có:

d I P R2 r2

( ) ( ) ( ,( ))

ì Î

ï Î

í

-î

Û a b cé =ê17a= -,27 ,2b c= - +(a b d= - +(),a b d= - -),3a b= - -3a b (1)(2)

ë

+ Với (1) Þ (P): x y z 4 0 + - - = + Với (2) Þ (P): x7 -17y+5z - = 4 0

Câu 10 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng x y z

2: 1

- - và mặt cầu (S): x2+y2+z2–2x+2y+4 –3 0z = Viết phương trình tiếp diện của mặt cầu (S), biết tiếp diện đó song song với hai đường thẳng D1 và D1

· (P): y z+ + +3 3 2 0= hoặc (P): y z+ + -3 3 2 0=

Câu 11 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình

x2+y2+z2-2x+4y-6 11 0z- = và mặt phẳng (a) có phương trình 2x + 2y – z + 17 = 0

Viết phương trình mặt phẳng (b) song song với (a) và cắt (S) theo giao tuyến là đường tròn

có chu vi bằng p 6p=

· Do (b) // (a) nên (b) có phương trình 2x + 2y – z + D = 0 (D ¹ 17)

(S) có tâm I(1; –2; 3), bán kính R = 5 Đường tròn có chu vi 6p nên có bán kính r = 3 Khoảng cách từ I tới (b) là h = R2-r2 = 52-32 = 4

-Û ê =ë

-Vậy (b) có phương trình x2 +2 – – 7 0y z =

Câu hỏi tương tự:

a) ( ) :S x2+y2+z2 2 4 6 11 0+ x+ y- z- = , ( ): 2a x y+ -2 19 0z+ = , p 8p=

ĐS: ( ) : 2b x y+ -2 1 0z+ =

Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến khoảng cách

Câu 12 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) qua O, vuông

góc với mặt phẳng (Q): x y z 0+ + = và cách điểm M(1; 2; –1) một khoảng bằng 2

· PT mặt phẳng (P) qua O nên có dạng: Ax By Cz+ + = (với A0 2+B2+C2 ¹ ) 0

· Vì (P) ^ (Q) nên: 1.A+1.B+1.C =0 Û C = - - (1) A B

· d M P( ,( ))= 2 Û A B C

A2 B2 C2

+ + Û A( +2B C- )2 =2(A2+B2+C2) (2)

Từ (1) và (2) ta được: 8AB+5B2= 0 Û B

é =

ë

· Từ (3): B = 0 Þ C = –A Chọn A = 1, C = –1 Þ (P): x z - = 0

· Từ (4): 8A + 5B = 0 Chọn A = 5, B = –8 Þ C = 3 Þ (P): x5 -8y+3z = 0

Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho đường thẳng D : x 1 y 3 z

- = - = và điểm M(0; –2; 0) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm M, song song với đường thẳng D, đồng thời khoảng cách d giữa đường thẳng D và mặt phẳng (P) bằng 4

· Phương trình mp (P) đi qua M(0; –2; 0) có dạng: ax by cz+ + + b = ( a0 2+b2+c2¹ ) 0

D đi qua điểm A(1; 3; 0) và có một VTCP u r =(1;1;4)

Ta có:

a2 b2 c2

4 ( ;( ))

ï

î

a 42c

ì =

í =

· Với a=4c Chọn a=4,c= Þ = -1 b 8Þ Phương trình (P): x4 -8y z+ -16 0=

· Với a= -2c Chọn a=2,c = - Þ = 1 b 2 Þ Phương trình (P): x2 +2y z - + = 4 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với :x y z 1; (0;3; 2),M d 3

ĐS: ( ) : 2P x+2y z - - = hoặc P8 0 ( ) : 4x-8y z+ +26 0=

Câu 14 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng

x t

z

1

ì =

ï = - + í

ï = î

và điểm

A( 1;2;3)- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) sao cho khoảng cách từ

điểm A đến mặt phẳng (P) bằng 3

· (d) đi qua điểm M(0; 1;1)- và có VTCT u (1;2;0) r = Gọi n r =( ; ; )a b c với a2+b2+c2 ¹ 0

là VTPT của (P)

PT mặt phẳng (P): a x( - +0) b y( + +1) c z( 1) 0- = Ûax by cz b c+ + + - = (1) 0

Do (P) chứa (d) nên: u n r r = Û +0 a 2b= Û = -0 a 2b (2)

5

Từ (2) và (3), chọn b= -1 Þ a=2,c = - 2 Þ PT mặt phẳng (P): x y2 - -2 1 0z + =

Câu 15 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho các điểm M( 1;1;0), (0;0; 2), (1;1;1)- N - I Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A và B, đồng thời khoảng cách từ I đến (P) bằng 3

· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0)

Ta có:

d I P

( ) ( ) ( ,( )) 3

ì Î

ï Î

í

î

Û aé = -ê5a=7 ,2b c a b d a b b c a b d a b,2 = -= -,, = -= - (1)(2)

+ Với (1) Þ PT mặt phẳng (P): x y z 2 0 - + + =

+ Với (2) Þ PT mặt phẳng (P): x7 +5y z + + = 2 0

Câu 16 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 1;2)- , B(1;3;0), C( 3;4;1)- , D(1;2;1) Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, B sao cho khoảng cách từ C

đến (P) bằng khoảng cách từ D đến (P)

· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹ 0)

Ta có:

( ) ( ) ( ,( )) ( ,( ))

ì Î

ï Î

í

î

Û a b a b d c d

a2 b2 c2 a2 b2 c2

ï + + = ï

ï

î

Û bé =ê =ëc 2 ,2 ,a b a d a c==4 ,a d, = -= -4a7a

+ Với b=2 ,a c=4 ,a d = - 7a Þ (P): x+2y+4z - = 7 0

+ Với c=2 ,a b a d= , = - 4a Þ (P): x y+ +2z - = 4 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với A(1;2;1), ( 2;1;3), (2; 1;1), (0;3;1)B - C - D

ĐS: ( ) : 4P x+2y+7 15 0z- = hoặc P( ) : 2x+3z - = 5 0

Câu 17 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1;2;3) , B(0; 1;2)- ,

C(1;1;1) Viết phương trình mặt phẳng P ( ) đi qua A và gốc tọa độ O sao cho khoảng cách

từ B đến P ( ) bằng khoảng cách từ C đến P( )

· Vì O Î (P) nên P ax by cz( ) : + + = , với a0 2+b2+c2 ¹ 0

Do A Î (P) Þ a+2b+3c=0 (1) và d B P( ,( ))=d C P( ,( ))Û - +b 2c = + + (2) a b c

Từ (1) và (2) Þ b 0= hoặc c 0=

· Với b 0= thì a= -3c Þ P( ) : 3x z - = 0 · Với c 0= thì a= - b Þ P( ) : 2x y - = 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với A (1;2;0), (0;4;0), (0;0;3) B C ĐS: -6x+3y+4z = hoặc x0 6 -3y+4z = 0

Câu 18 Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1;1; 1) - , B(1;1;2) ,

C( 1;2; 2)- - và mặt phẳng (P): x-2y+2 1 0z+ = Viết phương trình mặt phẳng ( )a đi qua

A, vuông góc với mặt phẳng (P), cắt đường thẳng BC tại I sao cho IB=2IC

· PT ( )a có dạng: ax by cz d+ + + = , với a0 2+b2+c2¹ 0

Do A(1;1; 1) ( )- Î a nên: a b c d 0+ - + = (1); ( ) ( )a ^ P nên a-2b+2c=0 (2)

IB=2IC Þ d B( ,( )) 2 ( ;( ))a = d C a Þ a b c d a b c d

a2 b2 c2 a2 b2 c2

2

=

a b c d

Từ (1), (2), (3) ta có 2 trường hợp sau :

TH1 :

a b c d

í

î

Chọn a= Þ = -2 b 1;c= -2;d = - 3 Þ ( ) a : x y2 - -2z - = 3 0

TH2 :

a b c d

í

î

Chọn a= Þ =2 b 3;c=2;d = -3Þ ( ) a : x2 +3y+2z - = 3 0

Vậy: ( )a : x y2 - -2z - = hoặc 3 0 ( )a : x2 +3y+2z - = 3 0

Câu 19 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương

- Viết phương trình mặt phẳng cách đều hai đường thẳng d d1 2,

· Ta có d1 đi qua A(2;2;3) , có u r d1=(2;1;3), d

2 đi qua B(1;2;1) và có u r d2 =(2; 1;4)-

Do (P) cách đều d d1 2, nên (P) song song với d d1 2, Þ n r P =éëu u r r d1, d2ùû=(7; 2; 4)

-Þ PT mặt phẳng (P) có dạng: x7 -2y-4z d + = 0

Do (P) cách đều d d1 2, suy ra d A P( ,( ))=d B P( ,( ))

Û 7.2 2.2 4.3 d 7.1 2.2 4.1 d

2

Û - = - Û =

Þ Phương trình mặt phẳng (P): x14 -4y-8z + = 3 0

Câu 20 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d d1 2, lần lượt có phương trình

z

1

1

1

ì = +

ï = -í

ï = î

- Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d1 và d2, sao cho khoảng cách từ d1 đến (P) gấp hai lần khoảng cách từ d2 đến (P)

· Ta có : d1 đi qua A(1;2;1) và có VTCP u r1=(1; 1;0)

d2 đi qua B(2;1; 1) - và có VTCP là u r2 =(1; 2;2)

-Gọi n r là VTPT của (P), vì (P) song song với d

1 và d2 nên n r=éëu u r r1 2, ùû= - - -( 2; 2; 1)

Þ Phương trìnht (P): x2 +2y z m + + = 0

m

d d P( ,( ))1 d A P( ;( )) 7

3

+

( ,( )) ( ,( ))

3

+

d d P( ,( )) 2 ( ,( ))1 = d d P2 Û +7 m =2 5+m m m

3

-+ Với m= -3Þ P( ) : 2x+2y z+ –3 0= + Với m 17

3

= - Þ P( ) : 2x 2y z 17 0

3

Câu 21 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua hai điểm

A(0; 1;2)- , B(1;0;3) và tiếp xúc với mặt cầu (S): x( -1)2+ -(y 2)2+ +( 1)z 2 = 2

· (S) có tâm I(1;2; 1)- , bán kính R= 2

PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹ 0)

Ta có:

( ) ( ) ( ,( ))

ì Î

ï

Î í

î

Û aé = -ê3a= -b c8 ,,b c= - -= - -a b d a b d, ,=2=a2+a3+b3b (1)(2)

ë

+ Với (1) Þ Phương trình của (P): x y 1 0 - - =

+ Với (2) Þ Phương trình của (P): x8 -3y-5z + = 7 0

Câu 22 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1;1)- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm A và cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất

· Ta có d O P( ,( )) £OA Do đó d O P( ,( ))max =OA xảy ra ÛOA^( )P nên mặt phẳng (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và vuông góc với OA Ta có OA (2; 1;1) uuur=

-Vậy phương trình mặt phẳng (P): 2x y z - + - = 6 0

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(10; 2; –1) và đường thẳng d có

phương trình: x 1 y z 1

- Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d

và khoảng cách từ d tới (P) là lớn nhất

· Gọi H là hình chiếu của A trên d Þ d(d, (P)) = d(H, (P)) Giả sử điểm I là hình chiếu của

H lên (P), ta có AH HI³ Þ HI lớn nhất khi A I º Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A

và nhận uuur AH

làm VTPT Þ (P): x y7 + -5z-77 0=

Câu 24 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng (d) có phương trình tham số

{x= - +2 ;t y= -2 ;t z= + Gọi D là đường thẳng qua điểm A(4;0;–1) song song với (d) 2 2t

và I(–2;0;2) là hình chiếu vuông góc của A trên (d) Viết phương trình của mặt phẳng chứa

D và có khoảng cách đến (d) là lớn nhất

· Gọi (P) là mặt phẳng chứa D, thì P( ) ( )P d hoặc ( ) ( )P É d Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên (P) Ta luôn có IH IA£ và IH ^AH

Mặt khác d d P d I P IH

H( ,( ))( )P ( ,( ))

í Î î

Trong (P), IH IA£ ; do đó maxIH = IAÛH A º Lúc này (P) ở vị trí (P 0 ) ^ IA tại A Vectơ pháp tuyến của (P 0 ) là n IA r uur= =(6;0; 3- )

, cùng phương với v r=(2;0; 1- )

Phương trình của mặt phẳng (P 0 ) là: 2(x- -4) 1.( 1) 2z+ = x z - - = 9 0

Câu 25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d:x 1 y z 2

và điểm

A(2;5;3) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn

nhất

· PT mặt phẳng (P) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0)

(P) có VTPT n r =( ; ; )a b c , d đi qua điểm M(1;0;2) và có VTCP u (2;1;2) r=

Vì (P) É d nên Mì Îín u. =( )P0

îr r Þ aì +í2a b+ +2c d+ =2c=00

î Þ cì = -í = +îd a b2 (2a b+ ) Xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu b = 0 thì (P): x z 1 0 - + = Khi đó: d A P( ,( )) 0=

TH2: Nếu b ¹ 0 Chọn b 1= ta được (P): 2ax+2y-(2a+1)z+2a + = 2 0

Khi đó: d A P

a

2 2

Vậy max ( ,( )) 3 2d A P = Û a2 1 0 a 1

+ = Û = - Khi đó: (P): x-4y z + - = 3 0

Câu hỏi tương tự:

a) d: x 1 y 1 z 2, (5;1;6)A

b) d: x 1 y 2 z, (1;4;2)A

Câu 26 Trong không gian toạ độ Oxyz, cho hai điểm M(0; 1;2)- và N( 1;1;3)- Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua M, N sao cho khoảng cách từ điểmK(0;0;2) đến mặt phẳng (P)

là lớn nhất

· PT (P) có dạng: Ax B y+ ( + +1) C z( -2) 0= Û Ax By Cz B+ + + -2C = 0

N( 1;1;3) ( )- Î P Û - + +A B 3C B+ -2C= Û =0 A 2B C+

B C BC

B

( ,( ))

2 2

4 2 4

=

+ +

· Nếu B = 0 thì d(K, (P)) = 0 (loại)

· Nếu B 0¹ thì d K P B

B

( ,( ))

2

Dấu “=” xảy ra khi B = –C Chọn C = 1 Khi đó PT (P): x y z+ – + = 3 0

Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng liên quan đến góc

Câu 27 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt phẳng (a) chứa đường thẳng ():

- - và tạo với mặt phẳng (P) : 2x-2y z- + = một góc 601 0 0 Tìm tọa độ giao điểm M của mặt phẳng (a) với trục Oz

· ( ) qua điểm A(1;0;0) và có VTCP u (1; 1; 2) r= - - (P) có VTPT n r¢ = - -(2; 2; 1)

Giao điểm M (0;0; ) cho AM m uuuur= -( 1;0; )m

(a) có VTPT n r =éëuuur ur AM u, ùû=( ;m m-2;1)

(a) và (P): x2 -2y z - + = tạo thành góc 601 0 0 nên :

2 2

Kết luận : M(0;0;2- 2) hay M(0;0;2+ 2)

Câu 28 Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua giao

tuyến d của hai mặt phẳng ( ) : 2 – –1 0a x y = , ( ) : 2 –b x z = và tạo với mặt phẳng 0

( ) : –2 +2 –1 0= một góc j mà cos 2 2

9

j =

· Lấy A (0;1;0), (1;3;2)Î (P) qua A Þ PT (P) có dạng: Ax By Cz B B d + + – = 0

(P) qua B nên: A+3B+2 –C B=0 Þ A= -(2B+2 )C

Þ P( ) : (2- B+2 )C x By Cz B+ + – = 0

B C 2 B2 C2

cos

9

3 (2 2 )

+ + + Û B13 2+8BC–5C2 = 0

Chọn C 1 B 1; B 5

13

+ Với B C 1= = Þ P( ) : 4- x y z+ + –1 0=

+ Với B 5 , 1C

13

= = Þ P( ) : 23- x+5y+13 –5 0z =

Câu 29 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A( 1;2; 3), (2; 1; 6)- - B - - và mặt phẳng ( ) :P x+2y z+ - = Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa AB và tạo với mặt 3 0 phẳng (P) một góc a thoả mãn cos 3

6

a =

· PT mặt phẳng (Q) có dạng: ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2¹0)

Ta có:

A Q

B ( )( )Q

3 cos

6

a

ì Î

ï Î

ï

í

ïî

Û a b b c d c d

a2 b2 c2

6

1 4 1

ï - - + = ï

î

Û aé = -ê = -ëa 4 ,b c b c, == -0,d3 ,b d= -b= -15b

Þ Phương trình mp(Q): x y4 - +3 15 0z+ = hoặc (Q): x y - - = 3 0

Câu hỏi tương tự:

a) A (0;0;1), (1;1;0), P B ( ) (Oxy),cos 1

6

a

ĐS: (Q): 2x y z - + - = hoặc (Q): x1 0 -2y z - + = 1 0

Câu 30 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d x y z

x y z 3 0

:ì + + - =í2 4 0 + + - =

phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc

0

60

a =

· ĐS: P( ) : 2x y z+ + - 2 2 0- = hoặc P( ) : 2x y z- - - 2 2 0+ =

Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng ( ) : 5P x-2y+5 1 0z- = và

( ) : -4 -8 12 0+ = Lập phương trình mặt phẳng R( ) đi qua điểm M trùng với gốc tọa

độ O, vuông góc với mặt phẳng (P) và tạo với mặt phẳng (Q) một góc a =450

· Giả sử PT mặt phẳng (R): ax by cz d+ + + =0 (a2+b2+c2 ¹0)

Ta có: ( ) ( )R ^ P Û5a-2b+5c = (1); 0

0

cos(( ),( )) cos45

2 9

Từ (1) và (2) Þ 7a2+6ac c- 2= Û ê =0 é = -ëa c 7a c

· Với a = - : chọn a c =1,b=0,c = - 1 Þ PT mặt phẳng R x z( ) : - = 0

· Với c= a : chọn a=1,b=20,c = 7 Þ PT mặt phẳng R x( ) : +20y+7z = 0

Câu hỏi tương tự:

a) Với ( ) :P x y- -2z=0,( ) (Q º Oyz M), (2; 3;1),- a =450

ĐS: ( ) :R x y + + = hoặc R1 0 ( ) : 5x-3y+4z-23 0=

Câu 32 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai đường thẳng có phương trình:

2:

- Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa D và 1 tạo với D một góc 2 a =300

· Đáp số: (P): x5 +11y+2z + = hoặc (P): x y z4 0 2 - - - = 2 0

Câu hỏi tương tự:

- ,

0 30

=

a ĐS: (P): x-2y-2z + = hoặc (P): x2 0 +2y z + - = 4 0

0 30

=

ĐS: (P): (18+ 114)x+21y+(15 2 114)+ z- -(3 114) 0=

hoặc (P): (18- 114)x+21y+(15 2 114)- z- +(3 114) 0=

Câu 33 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm

M(1;2;3) và tạo với các trục Ox, Oy các góc tương ứng là 45 , 30 0 0

· Gọi n r =( ; ; )a b c là VTPT của (P) Các VTCP của trục Ox, Oy là i r =(1;0;0),r j =(0;1;0)

Ta có: Ox P

Oy P

2 sin( ,( ))

2 1 sin( ,( ))

2

ì

= ïï

í

ïî

c b2

ì =

í = î