www.facebook.com/hocthemtoan
Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 1 ĐỀ TÀI: Người thực hiện : NGUYỄN VŨ THANH Năm học 2009-2010 TRƯỜNG THPT CHUYÊN TIỀN GIANG TỔ HÀNH CHÁNH www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 2 MỤC LỤC I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài 2. Mục tiêu nghiên cứu 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 4. Phương pháp nghiên cứu 5. Một số kết quả đạt được II. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) Chương VII: MỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: SỬ DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 3 I. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài: Từ khi tham dự các hội nghị Chuyên đề Bồi dưỡng học sinh giỏi THPT do trường Đại học Khoa học tự nhiên Hà nội tổ chức hàng năm từ 2002 đến nay,được học tập các chuyên đề do các giảng viên , các chuyên gia Toán của Bộ trình bày và được sự động viên của thầy Trương Thành Phú chuyên viên môn Toán của Sở Giáo dục và đào tạo Tiền Giang chúng tôi có một tâm huyết là sẽ cố gắng thực hiện hoàn chỉnh , cụ thể hoá các chuyên đề phù hợp với trình độ học sinh tỉnh nhà để đóng góp vào thành tích chung của Tỉnh trong các kỳ thi HSG cấp khu vực và cấp quốc gia. Trong những năm gần đây bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang đã có những tiến bộ và đạt được một số thành tích đáng kể trong các kỳ thi HSG khu vực. Nhưng gần đây Bộ đã thay đổi mạnh về quy chế thi HSG cấp Quốc gia đó là không còn phân chia hai bảng A,B như trước mà chỉ có một bảng thống nhất chung toàn quốc. Đề thi khó hơn và số lượng giải ít hơn gây khó khăn cho cả Giáo viên và học sinh môn Toán tỉnh nhà. Trong điều kiện khó khăn đó việc tìm tài liệu và viết các chuyên đề này là việc cần thiết trong tình hình hiện nay.Được sự ủng hộ của các thầy cô trong tổ Toán trường THPT Chuyên Tiền Giang chúng tôi thực hiện viết chuyên đề :” Một số Bất đẳng thức nâng cao”. 2. Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng thức nâng cao mà chỉ học sinh chuyên Toán mới được học như: Bất đẳng thức Côsi mở rộng , Bất đẳng thức Bunhiacopxki mở rộng , Bất đẳng thức Jensen , Bất đẳng thức Tsêbưsep , Bất đẳng thức Schwarz ,… .Giúp cho học sinh có hệ thống kiến thức và biết vận dụng vào việc giải các bài toán đại số đồng thời định hướng suy nghĩ tư duy toán học và khả năng vận dụng sáng tạo trong các bài toán mới. www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày nội dung các bất đẳng thức nâng cao sau đó chứng minh và hướng dẫn giải các bài tập áp dụng Tùy theo từng nội dung của Bất đẳng thức có sự liên hệ với các bất đẳng thức còn lại trong đó có sử dụng nhiều đến phương pháp đạo hàm để chứng minh bất đẳng thức mà trong các kỳ thi học sinh giỏi toán thường hay gặp. Vì đây là chuyên đề nâng cao về bất đẳng thức nên chúng tôi không trình bày các phương pháp chứng minh bất đẳng thức , coi như học sinh chuyên Toán phải nắm để làm cơ sở cho việc học chuyên đề này. Rèn luyện tư duy toán thông qua giải các bài tập về chứng minh bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất đồng thời trao đổi và học tập kinh nghiệm với các thầy cô bộ môn Toán của tỉnh Tiền Giang. 4. Phương pháp nghiên cứu -Dựa vào các chuyên đề đã học ở Hà Nội và các tài liệu trong tất cả các đợt bồi dưỡng để trình bày hệ thống các Bất đẳng thức nâng cao thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán. -Hướng dẫn học sinh Đội tuyển tìm tài liệu có liên quan,phân loại bài tập,nhận xét cách giải, tạo tình huống có vấn đề để HS cùng trao đổi nghiên cứu. -Hệ thống và sắp xếp các dạng bài tập từ dễ đến khó và có các lời giải cụ thể. -Phương pháp phân tích:giúp học sinh nắm rõ bản chất vấn đề , lựa chọn phương pháp giải phù hợp đồng thời mở rộng và tương tự hoá bài toán. 5.Một số kết quả đạt được www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 5 Giúp cho học sinh đội tuyển có thêm phương pháp và tài liệu cần thiết để giải các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất . Qua chuyên đề này giúp học si nh khắc sâu thêm kiến thức về Bất đẳng thức và đạo hàm. Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để viết các chuyên đề nâng cao khác. II.NỘI DUNG NGHIÊN CỨU 1.Các bài tập về Bất đẳng thức và áp dụng tìm giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp Quốc Gia gần đây.Với mong muốn có một chuyên đề bất đẳng thức phong phú nên chúng tôi viết chuyên đề : ” Một số Bất đẳng thức nâng cao” để phục vụ giảng dạy cho học sinh Đội tuyển tỉnh nhà. 2. Đề tài được chia làm 8 chương: Chương I: BẤT ĐẲ NG THỨC JENSEN Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chương III: BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI M Ở RỘNG Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOP XKI MỞ RỘNG Chương VI: BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (S VACXO) Chương VII: M ỘT MỞ RỘNG CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC SVACXO,TRÊBUSEP,BUNHIACOPSKI Chương VIII: S Ử DỤNG TÍNH CHẤT THỨ TỰ CỦA HAI DÃY BẤT ĐĂNG THỨC. Trong mỗi chương sau phần trình bày Bất đẳng thứ c là phần chứng minh và các bài tập áp dụng. Dù cố gắng nhiều như ng đề tài không tránh khỏi sai sót , rất mong nhận được sự đóng góp từ các đồng nghiệp môn Toán của tỉnh nhà. Sau đây và trình bày phần n ội dung của đề tài. www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 6 Chương I: BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN I.1.Định lý 1: Cho hàm số y = f(x) có với // () 0fx> ( ; ) x ab ∀ ∈ ( hàm số có đồ thị lõm trên (a;b)) Với và là phương trình tiếp tuyến của (C) tại M(c,f(c) thì ( ; )cab∈ / ()( ) ()yfcxc fc=−+ / () ()( ) (), (;) f xfcxcfc xab≥−+∀∈ (1) (Đường cong ( C) luôn ở phía trên mọi tiếp tuyến tại M với ( ; )cab ∈ ) Chứng minh: Với ( ; )cab∈ i/ Với x = c (1) xảy ra dấu bằng ii/ Với x < c : Áp dụng định lí Lagrange : / () () (), (;) fx fc f ddxc xc − =∈ − / f tăng trên (a;b) nên // () () f dfc< / () () ( ) () f xfc xcfc⇒−>− (do x < c) iii/Tương tự với x > c ta cũng có / () () ( ) () f xfc xcfc−>− Vậy / () ()( ) (), (;) f xfcxcfc xab≥−+∀∈ Chú ý : Nếu // () 0 (;) f xxa<∀∈ b thì (1) đổi chiều ( đồ thị ( C) lồi trên (a;b)) I.2.Định lý 2:(BĐT Jensen) Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b) a/ Nếu với // () 0fx> ( ; ) x ab∀∈ thì ( ; ) , 1,2, , i x ab i n ∀ ∈= và (0;1) i α ∀∈ thỏa 1 1 n i i α = = ∑ ta có : 11 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) nn n n f xx x fx fx fx α αααα α +++ ≤ + ++ (2) Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12 n x xx=== b/ Nếu với // () 0fx< ( ; ) x ab∀∈ thì (2) đổi chiều. Chứng minh: www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 7 ba/ Đặt .Theo định lí 1 ta có 1 (;) n ii i cxa α = =∈ ∑ / () ()( ) (), (;) f xfcxcfc xab≥−+∀∈ Thay x= x i : // ( ) ()( ) (), (;) ( ) () () () ii iiiiii / f x fcx c fc x ab fx fc x cfc fc ααα ≥−+∀∈⇒≥ −+ α 1 n i i Lấy tổng ta được: // 111 ( ) () () () nnn ii ii i iii fx f c x cf c fc α αα === ≥−+ ∑∑∑ α = ∑ Vì 1 n ii i cx α = = ∑ và nên 1 1 n i i α = = ∑ // 11 ( ) () () () ( ) ( ) nn ii ii ii ii fx cf c cf c fc fx f x αα == ≥−+⇒ ≥ ∑∑ 1 n i α = ∑ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x i = c hay 12 n x xx = == b/ Chứng minh tương tự Đặc biệt : Nếu 12 1 n n αα α ==== thì BĐT (2) thành : 12 1 2 ( ) ( ) ( ) () nn ff f f nn α αααα +++ + ++ ≤ α (3) Chú ý : Bằng quy nạp ta CM được nếu (3) đúng với n=2 thì (3) đúng với mọi n tự nhiên lớn hơn 2 I.3.BĐT Jensen dạng tổng quát ; Cho hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp 2 trên (a ;b) a/ Nếu với // () 0fx> ( ; ) x ab∀∈ thì ( ; ) , 1,2, , i x ab i n ∀ ∈= và 0 i α ∀> ta có : 11 2 2 1 1 2 2 12 12 ( ) ( ) ( ) () nn n n nn xx x fx fx fx f α αααα α αα α αα α +++ + ++ ≤ +++ +++ (4) www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 8 b/ Nếu với // () 0fx< ( ; ) x ab∀∈ thì (4) đổi chiều. Chứng minh: Áp dụng BĐT Jensen với , i i k i α β α = ∀ ∑ I.4. Chứng minh các BĐT cổ điển bằng cách áp dụng BĐT Jensen: a/BĐT CôSi : Cho n số dương ta có 12 , , , n aa a 12 12 n n n aa a aa a n + ++ ≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12 n aa a=== Chứng minh: Xét hàm số f(x)=lnx với x > 0 Ta có /// 2 11 () , () 0 0 f xfx x xx ==−<∀>.Áp dụng BĐT Jensen ta có : 1 2 12 1 2 12 12 12 ( ) ( ) ( ) ln ln ln () ln ln ln nn n n n n n f afa fa aa a a a a aa a f nnn aa a aa a n +++ +++ +++ +++ ≤⇒ ≤ +++ ⇒≤ n Vậy 12 12 n n n aa a aa a n +++ ≥ , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12 n aa a=== b/BĐT Bunhiacopxki: Xét hàm số 2 () f xx= có . Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có: // () 2 0fx=> () 12 12 2 22 2 12 11 2 2 12 12 2 22 11 2 2 1 2 1 2 ( )( ) n n n nn nn nn n n xx x xx x xx x x x x αα α αα α αα α αα α αα α αα αα α α +++ ⎛⎞ +++ ≤ ⎜⎟ +++ +++ ⎝⎠ ⇔ + ++ ≤ + ++ + ++ 2 www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 9 Đặt i i i a x b = và ta có : 2 i b α = i () ( ) ( ) 2 22 222 2 11 2 2 1 2 1 2 nn n n ab a b a b a a a b b b+++ ≤+++ +++ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 12 12 12 n n n aa a xx x bb b = == ⇔ = == c/BĐT Holder Cho ; p > 0 , q > 0 và 0; 0 ( 1,2, , ) ii ab i>>= n 11 1 pq + = .Ta có : 11 111 nnn p q pq ii i i iii ab a b === ⎛⎞⎛ ≤ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ∑∑∑ ⎞ ⎟ ⎠ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi : 1 1 p p n qq n a a bb == Chứng minh: Ta có p > 1 .Xét hàm số () , 0. p fx x x=> Ta có // 2 () ( 1) , 0. p fx pp x x − =− ∀> Áp dụng BĐT Jensen dạng tổng quát (4) ta có: 12 12 12 11 2 2 12 12 11 1 11 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) n n p pp p n nn nn pp p pp nn n n xx x xx x xx x x x x αα α αα α αα α αα α αα α αα α α α α − +++ ⎛⎞ +++ ≤ ⎜⎟ +++ +++ ⎝⎠ ⇔ + ++ ≤ + ++ + ++ () () 1 1 p p q ii i ii xx ααα ⇔≤ ∑∑∑ www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh 10 Chọn Ta có 1 ; qq iii ii bxab α − == 11 111 nnn p q pq ii i i iii ab a b === ⎛⎞⎛ ≤ ⎜⎟⎜ ⎝⎠⎝ ∑∑∑ ⎞ ⎟ ⎠ I.5.Bài tập áp dụng : Bài 1 :Cho 0, 1 i x r>> .CMR: 11 r nn r ii ii xx nn == ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑∑ Hướng dẫn :Xét hàm số .Ta có () , 0 r fx x x=> // 2 () ( 1) , 0 r fx rr x x − = −∀> Áp dụng BĐT Jensen ta có : () r r iiii x fx x x f nn n ⎛⎞ ⎛⎞ ≤⇒≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑ ∑ ∑ n Chú ý : Nếu 0 < r < 1 thì BĐT đổi chiều Bài 2: Cho 0, 0; , i x pq pqN>≥> ∈ .CMR: 11 nn qp ii qp ii xx nn == ≤ ∑ ∑ Hướng dẫn : Áp dụng bài 1 với ; q i p ry q == i x ta có : 11 1 1 pp p nn n n qq qp q ii i i ⇒ ii i i yy x x nnnn == = = ⎛⎞ ⎛⎞ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ≤⇒ ≤ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ⎝⎠ ∑∑∑∑ 11 nn qp ii qp ii xx nn == ≤ ∑ ∑ www.VNMATH.com [...]... ∑ (ai + bi ) p ⎤ ≤ ( ∑ aip ) + ( ∑ bip ) ⎣ ⎦ 1 p Chương V: BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG V.1 BẤT ĐẲNG THỨC BUNHIACOPXKI MỞ RỘNG Cho m dãy số thực không âm: a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn ; ; c1 , c2 , , cn Ta có: ( a1.b1 c1 + a2 b2 c2 + + an bn cn ) m m m m m m m ≤ ( a1m + a2 + + an )(b1m + b2 + + bn ) (c1m + c2 + + cn ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a1 : b1 : : c1 = a2 : b2 : : c2... + m ⎟ y z ⎠ ⎝x ≤ ( ax n + by n + cz ) n m ⎛ p q r ⎞ + m+ m⎟ ⎜ m y z ⎠ ⎝x n n p q r 1 ⇒ m+ m+ m≥ n x y z dm Chương VI: ) n+ m ( n+m a m p n + n+ m b m q n + n+ m c m r n ) 1+ m n BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) VI.1 BẤT ĐẲNG THỨC SCHWARZ (SVACXO) 2 ⎛ n ⎞ ∑ ai ⎠ n ai2 ⎜ i =1 ⎟ Cho b1 , b2 , , bn > 0,ta có BĐT : ∑ ≥ ⎝ n Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi bi i =1 ∑ bi i =1 ai a j = i, j ∈ {1,2, , n} bi b j... Chuyên Tiền Giang Nguyễn Vũ Thanh n ai ∑ p − 2a i =1 n n−2 ≥ i Chương IV: BẤT ĐẲNG THỨC CÔSI MỞ RỘNG IV.1.Chứng minh BĐT Côsi bằng phương pháp đạo hàm: a/ Bằng cách lập bảng biến thiên hàm số f(x) = ex - x-1 trên R ta chứng minh được BĐT: e x ≥ x + 1 (1) với mọi x ∈ R , dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = 0 b/ BĐT Côsi :Cho các số dương a1 , a2 , , an Ta có a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an , dấu n bằng xảy... + ln(1 + ) + + ln(1 + ) ⎥ ⎟ n a1 a2 an ⎦ ⎣ ⎠ ⎛ ∑ xi ⎞ ⎟≤ n ⎠ ⎝ Xét hàm số f ( x) = ln(1 + e x ), x > 0 , f ⎜ ∑ f ( x ) , x = ln b i n i i ai Chương II: BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI II.1.Định lí: Cho x > -1 và α ∈ R Ta có: a/ (1 + x)α ≥ 1 + α x , với mọi α < 0 hoặc α > 1 b/ (1 + x)α ≤ 1 + α x , với mọi 0 < α < 1 Chứng minh: Xét hàm số f ( x) = (1 + x)α với x > -1 Ta có f / ( x) = α (1 + x)α −1; f // ( x)... tan + tan ≥ 3 2 2 2 BẤT ĐẲNG THỨC CHEBYSHEV( Tsêbưsep) III.1.BĐT CHEBYSHEV 1/Cho hai dãy n số a1 , a2 , , an và b1 , b2 , , bn đều tăng hoặc đều giảm tức là : ⎧a1 ≤ a2 ≤ ≤ an ⎧a ≥ a2 ≥ ≥ an hoặc ⎨ 1 thì ta có : ⎨ b1 ≤ b2 ≤ ≤ bn b1 ≥ b2 ≥ ≥ bn ⎩ ⎩ a1b1 + a2b2 + + anbn a1 + a2 + + an b1 + b2 + + bn ≥ n n n Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = = an hoặc b1 = b2 = = bn 2/Cho hai dãy n số a1 , a2 , , an... 3:Cho các số dương a1,a2,…,an.CMR: k k k k ⎛ a1 + a2 + + an ⎞ a1 + a2 + + an ⎜ ⎟ ≤ n n ⎝ ⎠ Giải: Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( a1 + a2 + + an ) k = ( a11 1 + a21 1 + + an1 1) k k ≤ ( a1k + a2 + + an )(1k + 1k + + 1k ) k −1 k k k ≤ n k −1 ( a1k + a2 + + an ) k k k k ⎛ a1 + a2 + + an ⎞ a1 + a2 + + an ⇒⎜ ⎟ ≤ n n ⎝ ⎠ Dấu đẳng thức xảy ra khi và khi a1 = a2= …= an Bài 4:Cho các số dương... ( a1m + a2 + + an )(b1m + b2 + + bn ) (c1m + c2 + + cn ) Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xi = yi =…= zi hay ai : bi : : ci = A : B : : C tức là a1 : b1 : : c1 = a2 : b2 : : c2 = = an : bn : : cn V.2.BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1:CMR nếu x,y,z là 3 số không âm thì ta có : x n y m + y n z m + z n xm ≤ x n+ m + y n+m + z n+m với m , n là 2 số tự nhiên Giải : Áp dụng BĐT Bunhiacopxki mở rộng ta có : ( xnym... +1 www.VNMATH.com Trường THPT Chuyên Tiền Giang HD:Xét hàm số f ( x) = Nguyễn Vũ Thanh 1 , x>0 xk Bài 6:Cho a, b, c > 0, a + b + c = 1.CMR: (a + b) 4 + (b + c) 4 + (c + a ) 4 ≥ 16 27 HD: Xét hàm số f ( x) = (a + b + c − x) 4 , x ∈ (0;1) Bài 7:Cho tam giác nhọn ABC.CMR: 2(sin A + sin B + sin C ) + (tan A + tan B + tan C ) ≥ 6 3 HD: Xét hàm số f ( x) = 2sin x + tan x , x ∈ (0;π ) Bài 8:Cho tam giác ABC... an Xét dãy bk=ak Bài 2:Cho a + b ≥ 2 CMR: a n + b n ≤ a n +1 + b n +1 với mọi số tự nhiên n Bài 3:Cho x,y > 0.CMR: ( x + y )( x 3 + y 3 )( x 7 + y 7 ) ≤ 4( x11 + y11 ) Bài 4:Cho m lẻ và a1 + a2 + + an ≥ n CMR: n n k =1 k =1 ∑ akm ≤ ∑ akm+1 HD:Giả sử a ≥ b thì a n ≥ b n Bài 5:Cho n số a1 , a2 , , an không âm CMR với mọi số nguyên dương m ta có : m m a1m + a2 + + an ⎛ a1 + a2 + + an ⎞ ≥⎜ ⎟ n n ⎝ ⎠... Giả sử ( 1 m m n A = a + a + + a m 1 m 2 ) ( 1 m m n ≠ 0 ; B = b + b + + b m 1 m 2 ) ( 1 m m n ≠ 0 ; C = c + c + + c m 1 m 2 ) (Vì nếu một trong các số A,B,C bằng 0 thì BĐT đúng ) ai bi ci ( i = 1, 2, , n) Khi đó Đặt xi = ; yi = ; ; zi = A B C Theo BĐT Côsi cho m số không âm xim , yim , , zim 26 n ∑x i =1 m i n n = ∑ y = = ∑ zim = 1 i =1 m i ( i=1,2,…,n) ta có: i =1 ≠0 www.VNMATH.com Trường THPT . đẳng thức nâng cao . 2. Mục tiêu nghiên cứu: Nhằm hệ thống và phân loại kiến thức các bài tập có sử dụng một số bất đẳng thức nâng cao mà chỉ học. 4 3. Nhiệm vụ nghiên cứu: Trình bày nội dung các bất đẳng thức nâng cao sau đó chứng minh và hướng dẫn giải các bài tập áp dụng Tùy theo từng