Một số kỹ thuật sáng tạo bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ KỸ THUẬT SÁNG TẠO BÀI TẬP -A Một số toán liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C ) Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết yếu tố: x0 , y0 , f ' ( x0 ) Ta sử dụng định lý sau (định lý 3, trang 152, SGK lớp 11 Ban bản) Định lý: Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) hàm số y  f ( x ) điểm M ( x0 ; y0 ) y  y0  f ' ( x0 )( x  x0 ) Trong y0  f ( x0 ) ' Đối với dạng ta cần tìm đủ yếu tố: x0 , y0 , f ( x0 ) chúng vào phương trình Để làm điều ta cần biết mối quan hệ chúng: y0 y0 f ( x0 )  k f ' ( x0 ) x0  f ' ( x0 ) Dạng 1.1: Biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) Ví dụ 1: Cho hàm số y  f ( x)  3x 1 có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) 1 x M ( 1;  1) ' Phân tích: sơ đồ x0  f ( x0 ) Trường THPT Vọng Thê Tổ Tốn Giải Theo đề ta có x0  y0  Mặt khác: y '  f ' ( x)  (1  x)  f ' ( 1) 1 Phương trình tiếp tuyến (C ) M ( 1;  1) y  y0  f ' ( x0 )( x  x0 ) y  1( x  1)  y x Dạng 1.2: Biết x0 Ví dụ 2: Cho hàm số y  f ( x)  x  x  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm có hồnh độ x0 1 ' Phân tích: sơ đồ y0  x0  f ( x0 ) Giải: Theo đề ta có x0 1 Thế x0 1 vào y  f ( x)  x  x  ta được: y0  f ( x0 )  f (1)   M (1;  6) Mặt khác: f ' ( x ) 4 x  x  f ' (1)  Phương trình tiếp tuyến (C ) M (1;  6) y  y0  f ' ( x0 )( x  x0 ) y  x  Dạng 1.3: Biết y0 Ví dụ 3: Cho hàm số y  f ( x)  2x  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) x điểm có tung độ Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán ' Phân tích: sơ đồ y0  x0  f ( x0 ) Giải: Theo đề ta có y0 1 Thế y0 1 vào y  f ( x)  2x  ta được: x 2 x0  1  x0 0 x0   M (0;1) Mặt khác: 3 ( x  2)  f ' (0)  f ' ( x)  Phương trình tiếp tuyến (C ) M (0;1) y  y0  f ' ( x0 )( x  x0 ) y  x 1 ' Dạng 1.4 : Biết f ( x0 ) Ví dụ 4: Cho hàm số y  f ( x)  x 1 có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , x biết hệ số góc tiếp tuyến -5 ' Phân tích: sơ đồ y0  x0  f ( x0 ) Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm ' Ta có: f ( x)  5 ( x  2) ' Theo đề ta có: f ( x0 )   x0 1 x0 3 Với x0 1  y0   M (1;  3) Phương trình tiếp tuyến (C ) M (1;  3) Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán y  x  Với x0 3  y0 7  M (3;7) Phương trình tiếp tuyến (C ) M (3;7) y  x  22 Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến (C ) qua (xuất phát từ, kẻ từ) điểm A( x1 , y1 ) Ví dụ 5: Cho hàm số y  f ( x)  x  x  có đồ thị (C ) Viết phương trình tiếp tuyến (C ) , biết tiếp tuyến qua A( ;  1) Phân tích: Cần lưu ý học sinh điểm A( ;  1) (C ) nên không sử dụng định lý (phân biệt loại tiếp tuyến “tại” với “đi qua, kẻ từ, xuất phát từ”) Ta lập phương trình tiếp tuyến (C ) tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) theo ẩn x0 Tìm x0 giả thiết “tiếp tuyến qua A( ;  1) ” Khi có x0 ta quy dạng 1.2 Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm với y0 x0  x0  Phương trình tiếp tuyến d M ( x0 ; y0 ) là: y (3 x0  3)( x  x0 )  x03  x0  2 Do A( ;  1)  d nên  (3 x0  3)(  x0 )  x0  x0  3  x0 ( x0  1) 0  x0 0 x0 1  y0 1 Với x0 0   '  f (0)  Phương trình tiếp tuyến (C ) M (0;1) là: y  x  Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán  y0  Với x0 1   '  f (1) 0 Phương trình tiếp tuyến (C ) M (1;  1) là: y  Dạng 3: Cho đường thẳng d : y ax  b Tìm điều kiện a (hoặc b ) để d tiếp xúc với đồ thị (C ) Minh họa điều kiện tiếp xúc: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C ) Gọi d : y ax  b tiếp tuyến đồ thị (C ) M ( x0 ; y0 ) ' Ta biết f ( x0 ) a (a) (C ) d y0là x0 nghiệm pt f ( x0 ) ax0  b (b) Mặt khác: M d M (C ) , tức M ( x0 ; y0 ) x Như vậy, theo (a) (b) ta suy nghiệm hệ phương trình  f ( x0 ) ax0  b  '  f ( x0 ) a x0  f ( x0 ) ax0  b Ngược lại, với x0 thỏa mãn hệ pt  '  f ( x0 ) a Được xem hoành độ tiếp điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) với tiếp tuyến d : y ax  b Mở rộng: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C1 ) hàm số y g ( x) có đồ thị (C2 ) Ta tìm điều kiện tiếp xúc (C1 ) với (C2 ) (C1 ) M0 Trường THPT Vọng Thê x0 d (C2 ) Tổ Toán ' ' Gọi d pttt chung (C1 ) (C2 ) M Ta có hệ số góc d k  f ( x0 ) g ( x0 ) (c) Mặt khác: M (C1 ) M (C2 ) , tức x0 nghiệm pt f ( x0 ) g ( x0 ) (d) Như vậy, từ (c)và (d) ta suy x0 nghiệm hệ phương trình  f ( x0 )  g ( x0 )  ' '  f ( x0 ) g ( x0 )  f ( x0 )  g ( x0 ) Ngược lại, với x0 thỏa mãn hệ pt  ' xem hoành độ tiếp điểm '  f ( x0 ) g ( x0 ) đồ thị hàm số y  f ( x ) với đồ thị hàm số y g ( x) Khi y g ( x) có đồ thị đường thẳng y g ( x) gọi tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x ) ngược lại Tóm lại: Cho hàm số y  f ( x ) có đồ thị (C1 ) hàm số y g ( x) có đồ thị (C2 ) Điều kiện tiếp xúc (C1 ) với (C2 ) hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x)  g ( x)  ' '  f ( x) g ( x) Nghiệm hệ phương trình (nếu có) hồnh độ tiếp điểm Ví dụ 6: Với giá trị m đường thẳng y mx  tiếp xúc với đồ thị (C ) hàm số y 4 x  x Giải: ' Ta có f ( x ) 12 x  Đường thẳng y mx  tiếp xúc với đồ thị (C ) hệ phương trình sau có nghiệm  f ( x) mx  4 x  3x mx  4 x  x (12 x  3) x     ' m 12 x   f ( x) m 12 x  m Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán  m 0 Vậy m 0 giá trị cần tìm Ví dụ 7: Với giá trị m đường thẳng d : y 9 x  m tiếp xúc với đồ thị (C ) hàm số y x  x  Phân tích: ' Theo đề ta có f ( x0 ) 9  x0  y0 ( x0 ; y0 )  d  m Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm ' Theo đề ta có f ( x0 ) 9  x0 2 Với x0 2  y0 3 Do M (2;3)  d nên m  15 Với x0   y0  Do M ( 2;  1)  d nên m 17 Vậy với m  15 m 17 đường thẳng d tiếp xúc với đồ thị (C ) Cách khác: Đường thẳng d : y 9 x  m tiếp xúc với đồ thị (C ) hệ phương trình sau có nghiệm  x  3x  9 x  m  f ( x) g ( x) m x  12 x      '   '  f ( x) g ( x )  x 2 3x  9  m  15  m 17  Dạng 4: Xét hàm số bậc 3, y  f ( x) ax  bx  cx  d (a 0) có đồ thị (C ) Tìm M (C ) cho tiếp tuyến M có hệ số góc (hoặc lớn nhất) Viết phương trình tiếp tuyến Ví dụ 8: Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C ) Tìm M  (C ) cho tiếp tuyến M có hệ số góc nhỏ Viết phương trình tiếp tuyến Phân tích: ' Ta biết hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) f ( x0 ) Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán ' Như ta cần tìm x0 cho f ( x0 ) đạt giá trị nhỏ  Chú ý: HS lớp 12, ta sử dụng bảng biến thiên Giải: Gọi M ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm ' 2 Ta có f ( x0 ) 3 x0  x0  3( x0  1)   8, x0 f ' ( x0 )   x0   y0 8  M ( 1;8) Phương trình tiếp tuyến (C ) M ( 1;8) y  x Bài toán tổng quát: Cho hàm số y  f ( x) ax  bx  cx  d (a 0) Chứng minh tất tiếp tuyến với đồ thị hàm số, tiếp tuyến điểm có hồnh độ nghiệm pt f '' ( x) 0 (điểm uốn) có hệ góc nhỏ a  lớn a  B Một số kỹ thuật sáng tạo tập Trong phần này, ta biết kết hợp linh hoạt, sáng tạo với số kiến thức tam giác, góc hai đường thẳng, vị trí tương đối hai đường thẳng, có tập hay “đẹp” Bên cạnh đó, yếu tố may mắn quan trọng Dạng 1.1 Biết tiếp điểm M ( x0 ; y0 ) Chọn hàm số y  f ( x ) , giả sử y  f ( x ) có tập xác định D Ta lấy x0  D tính y0 Chẳng hạn: Ví dụ 9: chọn y  f ( x)  x  x  x  có TXĐ  Ta lấy x0 1 tính y0  Ta có tốn: Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  x  có đồ thị (C ) , viết pttt (C ) điểm M (1;  6) Ta yêu cầu viết pttt điểm giao điểm đths với đường thẳng đó, chẳng hạn: Ví dụ 10: chọn hàm số y  3x  , bạn muốn có hai giao điểm, ta lấy A(2;1) , B(0;5) thuộc x đths, lập pt đt AB : x  y  0 Ta có toán: Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán Cho hàm số y  3x  có đồ thị (C ) , viết pttt giao điểm (C ) với đt x d : x  y  0  x  t Bạn cho đt d dạng tham số d :   y 5  2t Còn bạn muốn có giao điểm, ta chọn đt d : x 2 Đối với hàm số y  ax  b (c 0, ad  bc 0) , bạn muốn tiếp điểm có tọa độ nguyên ta cx  d cần tìm tọa độ điểm nguyên thuộc đồ thị hàm số Chẳng hạn: Ví dụ 11: Ta xuất phát từ hàm số y 3  3x   có tọa độ điểm nguyên thuộc đồ thị x x hàm số là: A(2;1) , B(0;5), C (3; 2), D(  1; 4) Ta yêu cầu viết pttt điểm Đặc biệt bạn chọn x0 0  D u cầu: viết pttt giao điểm đths với trục tung Dạng 1.2 Biết x0 Ta làm dạng 1.1 không nêu y0 Đặc biệt, ta yêu cầu viết pttt ' điểm có hồnh độ nghiệm pt y 0 (tiếp tuyến song song trùng với Ox ), y '' 0 Chẳng hạn: Ví dụ 12: Ta muốn chọn hàm số bậc có hai cực trị yêu cầu viết pttt đó, tơi làm sau: Ta muốn hồnh độ cực trị -2 0, ta xuất phát từ pt 3x ( x  2) 0  x  x 0 Ta tính (3x 2  x )dx x  3x  c Ta đặt y x  x  c x1 0, x2  ta  y1 c   y2 c  Dựa vào bạn chọn c cho tung độ điểm cực trị thỏa điều kiện bạn Chẳng hạn, tơi lấy c  Ta có tốn: Trường THPT Vọng Thê Tổ Tốn 10 Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  có đồ thị (C ) , viết pttt (C ) điểm có hồnh độ nghiệm y ' 0 (triệt tiêu y ' ) Dạng 1.3 Biết y0 * Đối với hàm số y  ax  b a (c 0, ad  bc 0) , dựa vào dạng đồ thị ta cần lấy y0  ta cx  d c tính x0 Nếu muốn y0 x0 nguyên làm dạng 1.1 Đối với hàm số y ax  bx  cx  d (a 0) , lấy y0 bất kỳ, ta ln tìm x0 ( pt bậc lẻ với hệ số thực ln có nghiệm thực) Vấn đề với y0 mà bạn chọn tính x0 phân biệt, ứng với tiếp điểm cần lập tiếp tuyến? Đối với hàm số y ax  bx  c (a 0) , vấn đề đặt tương tự Để trả lời câu hỏi trên, ta xét ví dụ sau đây: *Đối với hàm số y ax  bx  cx  d (a 0) Ví dụ 13:Ta xét hàm số y  f ( x)  x  x  có đồ thị (C ) , ta biết hàm có hai cực trị, ta có bảng biến thiên x 2  y'  y      4 Xét pt x  3x   y0 (e) Giả sử ta muốn chọn giá trị y0 cho có giá trị x0 , tức pt (e) có nghiệm phân biệt, dựa vào bảng biến thiên lấy   y0  Ta dùng MTBT(máy tính bỏ túi) để hỗ trợ thêm việc tìm x0 Nhưng ta thấy để tìm x0 nguyên may mắn, chí khơng có x0 nguyên Để chủ động việc có x0 nguyên, ta xét ví dụ sau đây: Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 10 17 Pttt đths ( x0 ; y0 ) là: y (3 x0  3)( x  x0 )  3x02  3x0  Vì tiếp tuyến qua A(a; b) nên : b (3x0  3)(a  x0 )  x0  3x0    x03  3ax0  3a  b  0 (3) Giả sử pt (3) có nghiệm x 0 suy 3a  b  0 Ta có: Pt (3)  x0 (  x0  3ax) 0  x0 0   x0  3a  Nếu muốn có hai hồnh độ tiếp điểm x0 0, x0 1 ta có 3a 1  a  , từ 3a  b  0 ta có b  Ta có tốn: Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  có đồ thị (C), viết pttt đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A( ;  1) Nếu pt (3) có nghiệm x0 1 ta có b  Pt (3)  ( x0  1)   x0  (3a  2) x  3a   0  x0 1    x0  (3a  2) x  3a  0 (4) 2 Pt (4) có nghiệm  9a  12a  12 0  a  ( ;  2]  [ ; ) Ta lấy a  pt (4) có nghiệm kép x0  , suy A( 2;  1) ( ta x0 1 x0  ) Ta có tốn: Cho hàm số y  f ( x)  x3  x  có đồ thị (C), viết pttt đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A( 2;  1) Dạng 3: Cho đường thẳng d : y ax  b Tìm điều kiện a (hoặc b ) để d tiếp xúc với đồ thị (C ) Ví dụ 28: Từ tốn ví dụ 24: Trường THPT Vọng Thê Tổ Tốn 17 18 Cho hàm số y   3x  có đồ thị (C ) Viết pttt (C ) , biết tiếp tuyến có hệ số góc 1 x -2 Ta tìm hai tiếp tuyến y  x  y  x  13 Từ ta có tốn mới: Cho hàm số y   3x  có đồ thị (C ) Tìm điều kiện m để đường thẳng 1 x y  x  m tiếp xúc với đồ thị (C) ( m  3, m 13) C) BÀI TÂP CHỦ ĐỀ 1: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến điểm thuộc đồ thị Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + biết: 1, Hoành độ tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2, Tung độ tiếp điểm : y1 = 5; y2 = Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – Viết p.tr tiếp tuyến (C) giao điểm (C) với đồ thị sau: 1, Đường thẳng d: y = 7x + 2,Parapol P: y = -x2 + 8x – 3, Đường cong (C): y = x3 -4x2 + 6x – Bài 3: Học viện quân y – 98 Cho hàm số: (Cm): y= x3 + – m(x + 1) 1,Viết p.tr tiếp tuyến (Cm) giao điểm (Cm) với oy 2, Tìm m để tiếp tuyến nói chắn trục toạ độ tam giác có diện tích Bài 4: ĐH Thương Mại - 20 Cho điểm A(x0;y0)  đồ thị (C): y = x3 – 3x + Tiếp tuyến với (C) A(x0;y0) cắt đồ thị (C) điểm B khác điểm A Tìm tọa độ điểm B Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96 Cho (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 1, CMR không tồn điểm  (C) để tiếp tuyến  với 2, Tìm k để (C) ln có điểm cho tiếp tuyến điểm  với đường thẳng: y = kx + m Bài 6: Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + m + 1, Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = điểm phân biệt C(0;1),D, E 2, Tìm m để tiếp tuyến với (Cm) D E vng góc với Trường THPT Vọng Thê Tổ Toán 18 19 Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96 Cho (Cm): y = f(x) = x3 + mx2 + Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x + điểm phân biệt A(0;1), B,C cho tiếp tuyến với (Cm) B C vng góc với Bài 8: HV Công nghệ BCVT HN – 01 Cho hàm số (C) : y = x3 – 3x 1, Cmr: đt (  m): y = m(x+1) + cắt (C) điểm A cố định 2, Tìm m để (  m) cắt (C) A, B,C phân biệt cho tiếp tuyến với đồ thị B C vng góc với Bài 9: ĐH Ngoại ngữ HN – 01 Tìm điểm đồ thị (C): y = 1 x3 – x + mà tiếp tuyến  với đường thẳng y = - x  Bài 10: Cho đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x2 + Cmr (C) có vô số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đường thẳng nối cặp tiếp điểm đồng quy điểm cố định Bài 11: Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Cmr (C) có vơ số cặp điểm mà tiếp tuyến cặp điểm song song với đồng thời đường thẳng nối cặp tiếp điểm đồng quy điểm cố định Bài 12: ĐH ngoại thương TP.HCM – 98 Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số góc Bài 13: HV QHQT – 01 Cho đồ thị (C): y = x3 – mx2 –x + m – Tìm t.tuyến với (C) có hệ số góc Bài 14: ĐH mỏ địa chất – 94 Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Cmr tất tiếp tuyến đồ thị (C), tiếp tuyến điểm uốn có hệ số góc a>0 lớn a