Một số kỹ thuật sáng tạo bài toán phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của C đi qua xuất phát từ, kẻ từ điểm A x y... Điều kiện 2 tiếp xúc của C với 1 C là hệ phương trình sau có nghiệm2 Nghiệm của hệ phương trình trê

MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TIẾP TUYẾN

Ta sử dụng định lý sau (định lý 3, trang 152, SGK lớp 11 Ban cơ bản)

Định lý: Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C của hàm số yf x( ) tại điểm M x y0 ( ; ) 0 0 là

'

0 ( )( 0 0 )

y y f x x x Trong đó y0 f x( ) 0

Đối với dạng này ta cần tìm đủ 3 yếu tố: '

0 , , ( ) 0 0

x y f x và thế chúng vào phương trình trên.

Để làm được điều đó ta cần biết mối quan hệ của chúng:

Dạng 1.1: Biết tiếp điểm M x y0 ( ; ) 0 0

4 ( )

(1 )

( 1) 1

y f x

x f

Gọi M x y là tọa độ tiếp điểm.0 ( ; ) 0 0

5 ( )

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C đi qua (xuất phát từ, kẻ từ) điểm A x y ( , ) 1 1

Ví dụ 5: Cho hàm số yf x( ) x3  3x 1 có đồ thị ( )C Viết phương trình tiếp tuyến của ( )C ,

biết tiếp tuyến đi qua ( ; 1)2

Ta lập phương trình tiếp tuyến của ( )C tại tiếp điểm M x y nào đó theo một ẩn là 0 ( ; ) 0 0 x 0

Tìm x bằng giả thiết “tiếp tuyến đi qua 0 ( ; 1)2

(0) 3

y x

Với 0 0'

1 1

(1) 0

y x

Phương trình tiếp tuyến của ( )C tại M2 (1; 1)  là: y 1

Dạng 3: Cho đường thẳng :d y ax b Tìm điều kiện của a (hoặc b) để d tiếp xúc với đồ thị ( )C .

Minh họa điều kiện tiếp xúc:

Cho hàm số yf x( ) có đồ thị ( )C Gọi :d y ax b là tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại M x y0 ( ; ) 0 0

Gọi d là pttt chung của ( )C và 1 ( )C tại 2 M Ta có hệ số góc của 0 d là ' '

( ) ( )

kf x g x (c) Mặt khác: M0  ( )C1 và M0  ( )C2 , tức là x là nghiệm của pt 0 f x( ) 0 g x( ) 0 (d)

Như vậy, từ (c)và (d) ta suy ra x là nghiệm của hệ phương trình0

Tóm lại: Cho hàm số yf x( ) có đồ thị ( )C và hàm số 1 y g x ( ) có đồ thị ( )C Điều kiện 2

tiếp xúc của ( )C với 1 ( )C là hệ phương trình sau có nghiệm2

Nghiệm của hệ phương trình trên (nếu có) là hoành độ của tiếp điểm.

Ví dụ 6: Với giá trị nào của m thì đường thẳng y mx  1 tiếp xúc với đồ thị của ( )C của hàm

Ví dụ 8: Cho hàm số y x 3  3x2  5x 1 có đồ thị ( )C Tìm M ( )C sao cho tiếp tuyến tại M

có hệ số góc nhỏ nhất Viết phương trình tiếp tuyến đó.

Như vậy ta cần tìm x sao cho 0 '

0

( )

f x đạt giá trị nhỏ nhất trên  Chú ý: nếu là HS lớp 12, thì ta có thể sử dụng bảng biến thiên.

f x  (điểm uốn) có hệ góc nhỏ nhất nếu a 0 và lớn nhất nếu a 0

B Một số kỹ thuật sáng tạo bài tập.

Trong phần này, nếu ta biết kết hợp linh hoạt, sáng tạo với một số kiến thức về tam giác, góc giữa hai đường thẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, thì có thể có một bài tập hay và

“đẹp” Bên cạnh đó, yếu tố may mắn cũng rất quan trọng.

Dạng 1.1 Biết tiếp điểm M x y0 ( ; ) 0 0

Chọn hàm số yf x( ) , giả sử yf x( ) có tập xác định D Ta lấy x0 D bất kỳ rồi tính y0

.Chẳng hạn:

Ví dụ 9: chọn 3 2

yf x x  x  x có TXĐ 

Ta lấy x  rồi tính được 0 1 y  Ta có bài toán:0 6

Cho hàm số yf x( ) x3  3x2  x 5 có đồ thị ( )C , viết pttt của ( )C tại điểm (1; 6)M  .

Ta cũng có thể yêu cầu viết pttt tại điểm là giao điểm của đths với đường thẳng nào đó, chẳng hạn:

Ví dụ 10: chọn hàm số 3 5

1

x y x





 , nếu bạn muốn có hai giao điểm, ta lấy (2;1), (0;5)A B thuộc đths, lập pt đt AB: 2x y  5 0  Ta có bài toán:

Cho hàm số 3 5

1

x y x

Ta làm như dạng 1.1 nhưng không nêu ra y Đặc biệt, ta cũng có thể yêu cầu viết pttt tại 0

điểm có hoành độ là nghiệm của pt '

yf x x  x  có đồ thị ( )C , viết pttt của ( )C tại điểm có hoành độ

là nghiệm của y ' 0(triệt tiêu y').

 ta

tính được duy nhất x Nếu muốn 0 y và 0 x nguyên thì làm như dạng 1.10

Đối với hàm số 3 2

y x bx cx d a  , nếu lấy y bất kỳ, ta luôn tìm được ít nhất một 0 x0

( vì pt bậc lẻ với hệ số thực luôn có ít nhất một nghiệm thực) Vấn đề là với y mà bạn chọn 0

sẽ tính được bao nhiêu x phân biệt, ứng với bao nhiêu tiếp điểm cần lập tiếp tuyến?0

Giả sử ta muốn chọn giá trị y sao cho có được 3 giá trị 0 x , tức là pt (e) có 3 nghiệm phân 0

biệt, dựa vào bảng biến thiên trên tôi lấy  4  y0  0 Ta có thể dùng MTBT(máy tính bỏ túi) để hỗ trợ thêm trong việc tìm x Nhưng ta thấy để tìm được 0 x nguyên là một sự may0

mắn, thậm chí có thể không có x nguyên Để chủ động hơn trong việc có được 0 x 0

nguyên, ta xét ví dụ sau đây:

Ví dụ 14: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung

độ bằng y  sẽ tìm được 3 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là: 0;1; 20 1  ta làm như sau:

Ví dụ 15: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung

độ bằng y  sẽ tìm được 2 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là: 1; 20 1  và tiếp tuyến tại hoành độ bằng  2 là y  , ta làm như sau:1

Ví dụ 16: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, với yêu cầu viết pttt của đths tại điểm có tung

độ bằng y  sẽ tìm được 2 tiếp điểm có hoành độ lần lượt là: 1; 20 0  và tiếp tuyến tại hoành độ bằng  2 là y  , từ ví dụ trên ta có bài toán :0

Cho hàm số y x 3  3x2  4 có đồ thị ( )C Viết pttt của ( )C tại giao điểm của ( )C

Ta xuất phát từ  6(x 1) 2    0 6(x2  2x 1) 0 

2

6x 12x 6 0

Ta tính ( 6  x2  12x 6)dx 2x3  6x2 6x c

Chọn y 2x3  6x2  6x 1

Cho x0   0 y0  1 Ta có bài toán:

Cho hàm số y 2x3  6x2  6x 1 có đồ thị ( )C Viết pttt của ( )C tại điểm có tung

độ bằng  1.

Ví dụ 20: Giả sử cần tìm một hàm bậc 3, không có cực trị, trường hợp y ' 0 vô nghiệm

Ta làm như sau:

Ta chọn , ,a b c sao cho b2  4ac Nếu muốn có hàm số bậc 3 có hệ số nguyên thì , ,a b c

thỏa thêm đk a là bội của 3 , b là bội của 2 Chẳng hạn ta chọn a 3,b 2,c 1 , ta tính

(3x  2x 1)dx x  x  x c

 Chọn y x 3 x2 x2, cho x0   1 y0  1 ta có bài toán:

Cho hàm số y x 3  x2  x 2 có đồ thị ( )C Viết pttt của ( )C tại điểm có tung độ bằng 1.

Ví dụ 22: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị y tìm được 3 giá trị 0 x phân biệt,0

Ví dụ 23: Giả sử cần tìm hàm bậc 4, có 3 cực trị, với giá trị y tìm được 2 giá trị 0 x phân biệt 0

là hoành độ của cực trị, tức là tiếp tuyến tại đây song song hoặc trùng với trục 0x Giả sử ta muốn 2 hoành độ cực trị là  1

T xuất phát từ : mx x ( 2 1) 0  (m là một số khác 0 , muốn hệ số nguyên chọn m là bội của 4 ), chọn m 4 ta được 2 3

4 (x x  1) 0   4x  4x 0

Ta tính y(4x3  4 )x dx x 4  2x2 c, thế x 1 y c 1, chọn c 3 ta được bài toán:

Cho hàm số y x 4  2x2  3 có đồ thị ( )C Viết pttt của ( )C tại điểm có tung độ bằng

Ví dụ 24: Giả sử với giá trị k nào đó ta có bài toán: viết pttt của ( )C , biết tiếp tuyến có hệ số

góc bằng k( do tính chất đồ thị của loại hàm số này nên k 0 , tức là không có tiếp tuyến sonh song hoặc trùng với trục Ox) sẽ tìm được 2 giá trị x 1,x 3 Ta làm như sau:

Chẳng hạn ta chọn m 8,k  2 Ta được hàm số dạng a

1

x b y

Dựa vào đây ta có thể chọn c sao cho y y thỏa điều kiện nào đó của bạn Chẳng hạn, ta 1 , 2

chọn c 3 ta có bài toán:

Cho hàm số yx3  3x2  x 3 có đồ thị ( )C Viết pttt của ( )C , biết tiếp tuyến có hệ

số góc bằng 1.(hoặc tiếp tuyến song song : y x  2, hoặc tiếp tuyến vuông góc

:y x 2

   , hoặc tiếp tuyến hợp với chiều dương của trục 0x một góc bằng 45 0

Ta làm tương tự cho trường hợp nghiệm kép.

Nếu ta muốn chỉ có một nghiệm x  và hệ số 1 1 k 2 thì ta có thể chọn q  2

Như vậy ta có: A 1;B 1;m n  4;q 2 , suy ra 3

g x  x  x Lúc này ta tính: y(4x3  2 )x dx x 4  x2 c, giả sử ta muốn với x  , ta tính được tung độ 1 1 tiếp điểm là y  ta chọn 1 2 c 2 (vì y c ) Ta có bài toán:

x   x ) Như vậy ta có A 1;B 1;m n  4;q 1 suy ra g x( ) 4  x3  3x 1

yf x x  x Giả sử ta cần tìm điểm ( ; )A a b không thuộc đths, với yêu

cầu viết pttt của đths đi qua ( ; )A a b sẽ tìm được giá trị hoành độ x nào đó mà ta chọn.0

Gọi ( ; )x y là tọa độ tiếp điểm.0 0

Cho hàm số 3 5

1

x y

Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bài 1: Viết p.tr tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) = x3 – 3x + 5 khi biết:

1, Hoành độ của tiếp điểm là: x1 = -1; x2 = 2

2, Tung độ tiếp điểm là : y1 = 5; y2 = 3

Bài 2: Cho (C): y = f(x) = 2x3 – 3x2 + 9x – 4 Viết p.tr tiếp tuyến của (C) tại cácgiao điểm của (C) với các đồ thị sau:

1,Viết p.tr tiếp tuyến của (Cm) tại giao điểm của (Cm) với oy

2, Tìm m để tiếp tuyến nói trên chắn 2 trục toạ độ tam giác có diện tíchbằng 8

Bài 4: ĐH Thương Mại - 20

Cho điểm A(x0;y0) đồ thị (C): y = x3 – 3x + 1 Tiếp tuyến với (C) tạiA(x0;y0) cắt đồ thị (C) tại điểm B khác điểm A Tìm tọa độ điểm B

Bài 5: ĐH Y Hà nội – 96

Cho (C): y = x3 + 3x2 + 3x + 5

1, CMR không tồn tại 2 điểm nào (C) để 2 tiếp tuyến tại đó  với nhau

2, Tìm k để (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này 

với đường thẳng: y = kx + m

Bài 6:

Cho (Cm): y = f(x) = x3 + 3x2 + m + 1

1, Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = 1 tại 3 điểm phân biệt C(0;1),D, E

2, Tìm m để các tiếp tuyến với (C ) tại D và E vuông góc với nhau

Bài 7: ĐH Quốc gia TP.HCM – 96

1, Cmr: đt ( m): y = m(x+1) + 2 luôn cắt (C) tại điểm A cố định

2, Tìm m để (m) cắt (C) tại A, B,C phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thịtại B và C vuông góc với nhau

Bài 11:

Cho đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0)

Cmr trên (C) có vô số các cặp điểm mà tiếp tuyến tại từng cặp điểm songsong với nhau đồng thời các đường thẳng nối các cặp tiếp điểm này đồng quy tạimột điểm cố định

Bài 12: ĐH ngoại thương TP.HCM – 98

Cho đồ thị (C): y= x3 + 3x2 – 9x + 5 Tìm tiếp tuyến với (C) có hệ số gócmin

Cmr trong tất cả các tiếp tuyến của đồ thị (C), tiếp tuyến tại điểm uốn có

hệ số góc min nếu a>0 và lớn nhất nếu a<0

Bài 15: HV Công Nghệ BCVT TP.HCM – 99

Giả sử 3 điểm A, B,C thẳng hàng và cùng thuộc đồ thị (C): y = x3 – 3x – 2Các tiếp tuyến với (C) tại A,B,C cắt đồ thị (C) tại A1,B1,C1 Cmr A1,B1,C1 thẳnghàng

Bài 16:

1, Viết ptr tiếp tuyến (t) tại giao của (C) với Oy

2, Tìm k để (t) chắn trên Ox, Oy một tam giác có diện tích bằng 8

Bài 20: ĐH An ninh – 20

Cho (Cm): y = x3 + mx2 – m – 1

1, Viết p.tr tiếp tuyến của (Cm) tại các điểm cố định mà (Cm) đi qua

2, Tìm quỹ tích giao điểm các tiếp tuyến đó

Bài 21: ĐH Công đoàn – 01

Tìm điểm M  (C): y = 2x3 + 3x2 – 12x – 1 sao cho tiếp tuyến của (C) tạiđiểm M đi qua gốc tọa độ

Viết ptr tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị

Bài 2: ĐH Dân lập Đông Đô – 01

Viết p.tr tiếp tuyến với đồ thị (C): y = x3 – 3x2 + 1 biết t.tuyến // y = 9x +2001

Bài 3:

Cho đồ thị (C): y = x3 – 3x + 7

1, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến // với y = 6x – 1

2, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến  y = - 91x + 2

3, Viêt ptr tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x+3 góc 450

1, Viết p.tr tiếp tuyến // với y = 6x – 4

2, Viết p.tr tiếp tuyến y = - 31x + 2

3, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với y = -21 x + 5 góc 450

Bài 9:

Cho đồ thị (C): y = 13x3 – 2x2 + x – 4

1, Viết p.tr tiếp tuyến có hệ số góc k = -2

2, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 600

3, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 150

4, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với trục hoành Ox góc 750

5, Viết p.tr tiếp tuyến // với đt y = -x + 2

6, Viết p.tr tiếp tuyến  với đt y = 2x – 3

7, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với đt y = 3x + 7 góc 450

8, Viết p.tr tiếp tuyến tạo với đt y = -12 x + 3 góc 300

Bài 10: ĐH Bách Khoa HN – 90

Cho (C): y = 13x3 + x2 – 8x + 15

Lấy điểm A bất kì thuộc (C) nằm ở giữa CĐ và CT CMR luôn tìm được 2 điểm B1

và B2 (C) sao cho các tiếp tuyến của (C) tại B1,B2 vuông góc với tiếp tuyến tại A

Bài 11:

Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 + 2 Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết tiếptuyến  với đt (d): 3x – 5y – 4 = 0

Bài 12:

Cho hàm số (C): y = x3 -3x Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết

1, Tiếp tuyến // với đt (d1): x + 3y – 1 = 0

2, Tiếp tuyến  với đt (d2): x – y – 2 = 0

b) Tìm k để trên (C) có nhất một điểm mà tiếp tuyến tại đó vuông góc với đt y kx b  .

Bài 18: Cho hàm số y x 3  4x 1 Viết pttt của đồ thị hàm số trong các th sau:

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1.

b) Tiếp tuyến có hệ số góc k=31.

c) Song song với đt y=7x+3

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước đến đồ thị

Bài 1: ĐH Quốc gia TP.HCM – A – 01

Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(1219;4) đến (C): y = 2x3 – 3x2 + 5

1, Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(239 ;-2) đến (C)

2, Tìm trên đt y = -2 các điểm kẻ đến (C) hai tiếp tuyến  với nhau

Tìm trên đt y = -4 các điểm kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 6: ĐH Ngoại Thương HN – 20

Cho (C): y = x3 – 6x2 + 9x – 1

Từ một điểm bất kì trên đt x = 2 kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C)

Bài 7:

Tìm trên đồ thị (C): y = f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a 0) Các điểm kẻđược đúng một tiếp tuyến đến (C)

Bài 11: ĐH Dân lập Đông Đô – 20

Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(0,-1) đến y = 2x3 + 3x2 – 1

Bài 12: ĐH Dân lập Đông Phương – 01

Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A(-1,2) đến y = x3 – 3x2 + 2

Tìm các điểm (C) để kẻ được đúng một tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 19: ĐH Ngoại thương HN – 96

Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(94 ; 34 ) đến (C): y = 31x3 – 2x2 + 3x + 4

Bài 23: Phân viện báo chí – 01

Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua A(1;-4) đến (C): y = 2x3 + 3x2 – 5

Viết p.tr tiếp tuyến đi qua A( 2 ; 6 3) đến y = x3 - 3x2 – 6x + 8

Bài 28: ĐH Nông Lâm TP.HCM – 01

Tìm tất cả các điểm trên trục hoành mà từ đó kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồthị (C): y = x3 + 3x2 trong đó có 2 tiếp tuyến  với nhau.

CHỦ ĐỀ 2: TIẾP TUYẾN HÀM ĐA THỨC BẬC 4

Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

Bài 4: ĐH Thái Nguyên – 01 – D

Cho đồ thị (C): y= f(x) = -x4 + 2x2.Viết ptr tiếp tuyến tại A( 2 ; 0)

1, Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đt y = 2(x-1) tại điểm có hoành độ x = 1

2, Cmr (Cm) đi qua hai điểm cố định

Bài 9: Cho hàm số yf x( ) x4  3x2  1 ( ).C Gọi d là tiếp tuyến của (C) tại M(2; )y0 ,

d cắt 0x tại A, cắt 0y tại B Tính diện tích tam giác AOB

Bài toán 2: Viết Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc cho trước

Cho (Cm): y = x4 + mx2 – m + 1 Tìm m để tiếp tuyến với đồ thị tại A //với đt y = 2x với A là điểm cố định có hoành độ dương của (Cm).

Bài 5:

Cho hàm số (C): y = x4 – x2 + 3 Lập p.tr tiếp tuyến của đồ thị biết

1, Tiếp tuyến // với đt (d1): 2x - y – 6 = 0

2, Tiếp tuyến  với đt (d2): x – 2y – 3 = 0

Bài toán 3: Phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm cho trước

CHỦ ĐỀ 3: TIẾP TUYẾN HÀM PHÂN THỨC

BẬC NHẤT /BẬC NHẤT Bài toán 1: Phương trình tiếp tuyến tại một điểm thuộc đồ thị

cắt Oy tại A(0;-1) đồng thời tiếp tuyến tại

A có hệ số góc bằng 3

Bài 2:

Tìm m để tại giao điểm của (C): y =

m x

m m x m







 1 ) 23

( (m≠0) với trục Oxtiếp tuyến này của (C) // với (): y + 10 = x Viết ptr tiếp tuyến

và điểm M bất kì thuộc (C) Gọi I là giao của

2 tiệm cận.Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

1, Cmr: M là trung điểm của AB

2, Cmr: diện tích (IAB) = hằng số (conts)

và điểm M bất kì thuộc (C) Gọi I là giao điểm của

2 tiệm cận Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiệm cận tại A và B

1, Cmr: M là trung điểm của AB

2, Cmr: diện tích (IAB) = hằng số (conts)

Tìm m để tiếp tuyến bất kì của (Cm) cắt 2đường tiệm cận tạo nên 1 tam giác có diện tích bằng 8

Bài 8: ĐH Thương mại – 94

Cho đồ thị (Cm): y = m x m x m





 1 ) 3 (

.Tìm m để tiếp tuyến tại giao điểm của(Cm) với Ox // với y = -x -5

Bài 9: ĐH Lâm nghiệp – 01

1, Cmr: M là trung điểm của AB

2, Cmr: diện tích (IAB) = hằng số (conts)

Bài toán 2: Viêt Phương trình tiếp tuyến theo hệ số góc k cho trước

3, Tiếp tuyến tạo với (d): y = -2x góc 450

4, Tiếp tuyến tạo với (d): y = -x góc 600

Bài 7:

Cho hàm số 2 1

2

x y x