Rèn luyện và nâng cao kĩ năng viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số, áp dụng giải bài toán tính diện tích hình phẳng

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT NÔNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH RÈN LUYỆN VÀ NÂNG CAO KĨ NĂNG VIẾT PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ, ÁP DỤNG GIẢI BÀI TỐN TÍNH DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Người thực hiện: Trần Văn Dũng Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc môn: Tốn THANH HỐ NĂM 2021 MỤC LỤC STT 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 2.1 2.1.1 2.1.2 2.1.3 2.2 NỘI DUNG MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Những điểm SKKN NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Khái niệm tiếp tuyến đường cong phẳng Ý nghĩa hình học đạo hàm Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  f ( x) M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số ( C ) 2.3.2 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: TRANG 1 2 2 2 3 4 y  f ( x) biết trước hệ số góc tiếp tuyến 2.3.3 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( x1 ; y1 ) 2.3.4 Dạng Hai tiếp tuyến đồ thị hàm số vng góc với 2.3.5 Áp dụng viết phương trình tiếp tuyến tính diện tích hình phẳng 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với thân 2.4.2 Đối với đồng nghiệp nhà trường KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 3.2 Kiến nghị Tài liệu tham khảo Danh mục sáng kiến kinh nghiệm xếp giải 12 15 18 18 18 19 19 19 20 21 MỞ ĐẦU 1.1- Lý chọn đề tài: Chúng ta biết rằng: Dạy toán không đơn dạy cho học sinh nắm kiến thức, định lý toán học Điều quan trọng dạy cho học sinh có lực, trí tuệ Năng lực hình thành phát triển học tập, từ lực giúp em có tư tốt q trình học tập nói chung học tập mơn tốn nói riêng Vì cần giúp học sinh phát triển lực trí tuệ chung, bồi dưỡng giới quan vật biện chứng Có thể nói, tốn tiếp tuyến đồ thị hàm số toán thường gặp kì thi tốt nghiệp THPT tuyển sinh ĐHCĐ năm trước đây, từ mơn tốn chuyển sang hình thức thi trắc nghiệm phần tiếp tuyến khơng cịn xuất đề thi song lại thường xuất dạng tốn tính diện tích, hàm số hợp Khơng học sinh cịn lúng túng khơng có nhìn thấu đáo vế tốn này, em thường khơng nhận dạng tốn chưa có phương pháp giải tốn cho dạng tốn khả phân tích đề cịn nhiều khó khăn Sở dĩ học sinh chưa làm tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số vì: Thứ nhất: Bài tốn viết phương trình tiếp tuyến trình bày cuối chương trình 11 nên em chưa luyện tập nhiều chuẩn bị bước vào kì nghỉ hè quên phương pháp, có tâm lí ngại học chờ nghỉ hè Thứ hai: Các em thiếu nhiều tập để rèn luyên kĩ phân tích trình bày tốn Thứ ba: Học sinh cịn nhiều lúng túng gặp tốn tiếp tuyến, khơng biết phân biệt thuộc dạng áp dụng kiến thức để làm Thứ tư: Bài tập tiếp tuyến khơng cịn xuất thường xuyên đề thi Bộ Giáo Dục nên học sinh khơng tâm Chính vậy, thơi thúc tơi tìm hiểu viết đề tài “Rèn luyện nâng cao kĩ viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, áp dụng giải tốn tính diện tích hình phẳng ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn bị tốt nhất, có tảng để tiếp cận kiến thức quan trọng lớp 12 1.2-Mục đích nghiên cứu Đề tài xây dựng hệ thống tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số từ dễ đến khó phân tích đường đưa hướng giải tập Từ tập Rút nhận xét số đặc điểm quan trọng mối liên hệ toán Đưa số tốn vận dụng cao có liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Các toán thường xuất đề thi thử tốt nghiệp 1.3 Đối tượng nghiên cứu Hệ thống tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số hướng dẫn, đề xuất phương pháp giải dạng tập Từ phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số khai thác số tập nâng cao liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tài liệu, xây dựng sở lí thuyết, sưu tầm tài liệu phục vụ cho việc soạn thảo sáng kiến kinh nghiệm Thực nghiệm trình giảng dạy Thống kê, so sánh xử lí số liệu lớp trực tiếp giảng dạy 1.5 Những điểm sáng kiến kinh nghiệm Xây dựng hệ thống tập viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số đề xuất phương pháp giải nhanh gọn, dễ hiểu cho học sinh Đưa số tập liên quan đến phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.1.1 Khái niệm tiếp tuyến đường cong phẳng Trong mặt phẳng tọa độ 0xy cho đường cong (C): y  f ( x) M  x0 ; f ( x0 )  �(C ) kí hiệu M '( x; f ( x)) điểm di chuyển ( C) y M’ f(x) M f ( x0 ) O x0 x Đường thẳng MM’ cát tuyến ( C) Khi x  x M '( x; f ( x)) di chuyển ( C) tới M  x0 ; f ( x0 )  ngược lại Giả sử MM’ có vị trí giới hạn, kí hiệu MT MT gọi tiếp tuyến ( C) M Điểm M gọi tiếp điểm 2.1.2 Ý nghĩa hình học đạo hàm Định lý: Đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f ( x0 )  2.1.3 Phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Từ định lý ta đến hai toán quan trọng tiếp tuyến Bài toán 1: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) M  x0 ; y0   (C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) M là: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Với: f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến y0  f ( x0 ) Bài toán 2: Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C) A  a; b  Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) biết tiếp tuyến qua A Cách 1: Giả sử M  x0 ; f ( x0 )  toạ độ tiếp điểm tiếp tuyến với (C ) Tiếp tuyến M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Tiếp tuyến qua A  a; b  nên ta có: b  f '( x0 )  a  x0   f ( x0 ) Giải phương trình ta tìm x0 Từ suy tiếp tuyến Cách 2: Đường thẳng (d) qua A có dạng : y  k  x  a   b (d) tiếp tuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm  f ' ( x ) k   f ( x ) k ( x  a )  b Giải hệ phương trình ta tìm k hồnh độ tiếp điểm x 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Năm học 2016-2017 tơi cịn dạy lớp 11C1 trường THPT Nơng Cống Khi ôn thi THPT Quốc gia chuyên đề tiếp tuyến ứng dụng tiếp tuyên, nhận thấy khó khăn thực học sinh học chuyên đề Phần lớn em không nhớ kiến thức bản, không phân dạng bài, khơng có hệ thống tập đưa phương pháp giải cho loại Bản thân làm phép thống kê cho em giải câu 45 phút thu kết Kết qua kiểm tra thử lớp 11C1- Trường THPT Nông Cống 3 Năm học 20162017 Lớp 12C1 Tổng số 47 Điểm trở lên Số Tỷ lệ lượng 18 % Điểm từ đến Điểm Số Số Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng 20 53 % 11 29 % Xuất phát từ sở thực trạng trên, hi vọng sáng kiến kinh nghiệm đóng góp thiết thực cho việc bồi dưỡng học sinh giỏi mơn Tốn trường trung học phổ thơng góp phần ôn thi tốt nghiệp THPT nên tối định lựa chọn đề tài với thành ý muốn chia sẻ kinh nghiệm tới đồng nghiệp ngồi nhà trường với mong muốn giúp đồng nghiệp có thêm tư liệu giải pháp nhằm nâng cao hiệu công tác bồi dưỡng học sinh giỏi ôn thi tốt nghiệp THPT năm tới 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề 2.3.1 Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  f ( x) M ( x0 ; y0 ) thuộc đồ thị hàm số ( C ) * Phương pháp: Áp dụng tốn - Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) M  x0 ; y0   (C ) Phương trình tiếp tuyến ( C ) M là: y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Với: f '( x0 ) hệ số góc tiếp tuyến y0  f ( x0 ) Nhận xét: tốn có phương trình tiếp tuyến Ví dụ Cho hàm số y  f ( x) có đồ thị (C): y  f ( x)  x3  3x a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M  2;  b Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có hồnh độ x  c Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) điểm có tung độ y  2 d Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao ( C ) với Ox e Viết phương trình tiếp tuyến ( C ) giao ( C ) với Oy Hướng dẫn giải Ta có y '  3x  a Hệ số góc tiếp tuyến M: k  f '(2)  Vậy phương trình tiếp tuyến: y  9( x  2)  � y  x  16 Nhận xét: Ở câu a tốn ngun hình tốn ta cần thay số vào công thức ý nghĩa hình học đạo hàm, sang câu b, c cho trước hồnh độ tung độ tiếp điểm cần hướng dẫn học sinh định hình cơng thức phương trình tiếp tuyến yếu tố biết, yếu tố cần tìm tìm nào? Hướng dẫn giải b Khi cho hoành độ tiếp điểm x  làm để tìm tung độ tiếp điểm? Tại x  thay vào hàm số ta có y  2 Hệ số góc tiếp tuyến k  f '(1)  Vậy phương trình tiếp tuyến y  2 c Khi cho tung độ tiếp điểm y  2 làm để tìm hồnh độ tiếp điểm?  x 1 Tại y  2 ta có phương trình x3  3x  2 � x  3x   �   x  Tại điểm  1; 2  Hệ số góc tiếp tuyến k  f '(1)  Ta có phương trình tiếp tuyến: y  2 Tại điểm (2; 2) Hệ số góc tiếp tuyến k  f '(2)  Ta phương trình tiếp tuyến: y  9( x  2)  � y  x  16 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn toán y  2 y  x  16 Nhận xét: Ở câu d e đề chưa cho tiếp điểm mà gợi ý tiếp điểm ta tìm tiếp điểm nào? Hướng dẫn giải d Làm để tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục Ox? Hoành độ giao điểm ( C ) với Ox nghiệm phương trình  x 0 x3  3x     x 3 Tại điểm (0;0) Hệ số góc tiếp tuyến k  f '(0)  3 Ta phương trình tiếp tuyến y  3x Tại điểm (3;0) Hệ số góc tiếp tuyến k  f '(3)  24 Ta phương trình tiếp tuyến y  24( x  3) � y  24 x  72 Vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn y  3x y  24 x  72 Hướng dẫn giải e Làm để tìm tọa độ giao điểm đồ thị với trục Oy? Tọa độ giao điểm (C) với Oy (0;0) Theo câu d ta Tiếp tuyến (C) (0;0) y  3 x Học sinh vận dụng làm tập tương tự Ví dụ 2: ( Áp dụng tương tự ví dụ 1) Cho hàm số y  f ( x)  x   có đồ 2x 1 thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) A(0;3) b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x  c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ y  d.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao đồ thị (C) với trục Oy e.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao điểm đồ thị (C) với Ox 2.3.2 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  f ( x) biết trước hệ số góc tiếp tuyến Nhận xét: Đạo hàm hàm số y  f ( x) điểm x0 hệ số góc tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f ( x0 )  nên q trình giải tốn có tập đề chưa cho biết tiếp điểm lại cho trước hệ số góc tiếp tuyến địi hỏi ta phải chun đổi, vận dụng cách linh hoạt để chuyển toán Sau ta xét số ví dụ cụ thể Ví dụ Cho hàm số y  f ( x)  x  3x  có đồ thị (C) a.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến có hệ số góc k 9 b.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y  x c.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =  x 1 d.Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng y  x  góc 450 Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 -3 a Nêu mối liên hệ đạo hàm hàm số điểm M  x0 ; f ( x0 )  hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số điểm M  x0 ; f ( x0 )  Vì tiếp tuyến có hệ số góc k  nên hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình  x  3x   � x     x 2 Với x  2 ta có y  ta phương trình tiếp tuyến y  9( x  2)  � y  x  23 Với x  ta có y  ta phương trình tiếp tuyến y  9( x  2)  � y  x  Nhận xét: Ở câu a đề cho trước hệ số góc ta cần sử dụng liên hệ đạo hàm hệ số góc ta chuyển toán 1, câu b, c, d tốn chưa cho hệ số góc mà gợi ý hệ số góc Căn vào đâu để tìm hệ số góc? b Điều kiện để hai đường thẳng song song với nhau? Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  nên tiếp tuyến có hệ số góc k  Nên hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình  x  3x    x     x 1 Với x  1 ta có y  ta phương trình tiếp tuyến: y  Với x = ta có y = ta phương trình tiếp tuyến : y = c Điều kiện để hai đường thẳng vng góc với nhau? Vì tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y =  x  nên tiếp tuyến có hệ số góc k = hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình  x  3x    x    x  Với x   ta y   tiếp tuyến có phương trình y  3x   Với x  ta y    tiếp tuyến có phương trình y  3x   d Yêu cầu nhắc lại cơng thức tính góc hai đường thẳng?  Tiếp tuyến có hệ số góc k có dạng y  kx  b có véc tơ pháp tuyến n1 (k ; 1)  Đường thẳng y  x  có véc tơ pháp tuyến n2 (2; 1) Vì tiếp tuyến tạo với đường thẳng góc 450 nên ta có    x  2k  n1 n2  3k + 8k -3 =   cos45 =   = =  x 1 n1 n 2 5(k  1)  Với k  3 hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình x   3 � x  y  Tiếp tuyến có phương trình y  3 x  Với k  hồnh độ tiếp điểm nghiệm phương trình  10  x  3x      10 x   Với x   10 189  17 10 ta y  Khi tiếp tuyến có phương trình 27 1� 10 � 189  17 10 189  20 10 y � x   �  y  x � � 3� � 27 27 Với x  10 189  17 10 ta y  Khi tiếp tuyến có phương trình 27 1� 10 � 189  17 10 189  20 10 y � x   � y  x � � � 3� � 27 27 Ví dụ Cho (Cm): y  x  (m  2) x  2mx  2m Xác định m để (Cm) tiếp xúc với Ox Nhận xét: Từ áp dụng hệ số góc ta đến tốn quan trọng tiếp tuyến tiếp xúc với Ox Ta phải định hình tốn, trục Ox tiếp tuyến có hệ số góc k=0 Ta đến cách giải tốn Hướng dẫn giải Ta có y '  x  (m  2) x  2m (Cm) tiếp xúc với Ox hệ sau có nghiệm 1  x  (m  2) x  2mx  2m 0 3  x  (m  2) x  2m 0  Giải phương trình x  (m  2) x  2m  ta x  x  m Với x  thay vào phương trình đầu hệ khơng thoả mãn Với x  m thay vào phương trình đầu hệ ta có m3 m3   m  2m  2m 0   m  6m  12m 0  m( m  6m  12) 0  m 0 Vậy với m  (Cm) tiếp xúc với Ox Ví dụ 3.(Tương tự) Cho ( C ): y  4x  x 1 a.Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k  1 b.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng có phương trình y   x  c.Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến vng góc với đường thẳng có phương trình y  x  d Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) biết tiếp tuyến tạo với đường thẳng có phương trình y  3x mơt góc 450 Ví dụ (Tương tự).Cho (Cm): y  x  3mx  x  3m Xác định m để (Cm) tiếp xúc với trục hoành 2.3.3 Dạng Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số: y  f ( x) biết tiếp tuyến qua điểm A( x1; y1 ) *Phương pháp: Áp dụng cách giải tốn Ví dụ 1: Cho hàm số ( C ): y  x3  x  điểm A(2;1) Viết tiếp tuyến (C) qua A Hướng dẫn giải Nhắc lại phương trình đường thẳng qua điểm cho trước có hệ số góc cho trước Đường thẳng qua A(-2;1) có hệ số góc k dạng (d): y  k ( x  2)  d tiếp tuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm  x  x k  k 3 x  x     x  x  k ( x  2)   x  x  (3 x  x)( x  2)   k 3 x  x   x  x  12 x  0 15  x  ; k      x  1; k  15 17 x y  3x  Ví dụ 2.Viết phương trình tiếp tuyến từ A(6; 4) đến đồ thị (C ) hàm số: Vậy có hai tiếp tuyến là: y  x2  2x  y x2 Giải: Ta có y '  x2  x  ( x  2) Đường thẳng qua A(6; 4) có hệ số góc k có dạng (d): y  k ( x  6)  (d) tiếp tuyến đồ thị ( C ) hệ sau có nghiệm  x  4x   x  4x  k k   ( x  2)  ( x  2)     2  x  x  k ( x  6)   x  x   x  x  ( x  6)   x   x  ( x  2)  x  4x  k   ( x  2)     x  x 0    x 0; k    x 3; k 0 Vậy có hai tiếp tuyến là: y  y  x  Ví dụ ( Tương tự) Cho hàm số (C): y  x  3x  a Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua A(1; 2) b Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến qua B(1;0) Nhận xét: Ở ví dụ ta thấy A, B hai điểm nằm đồ thị hàm số nên học sinh dễ nhầm tưởng tiếp điểm nên áp dụng công thức ý nghĩa hình học đạo hàm mà đưa phương trình tiếp tuyến A, B Điều hồn tồn sai ta ý tốn u cầu lập tiếp tuyến qua điểm lập tiếp tuyến điểm Mấu chốt tiếp tuyến qua điểm tiếp tuyến điểm Ta đến cách giải Hướng dẫn giải Ta có y '  3x  x a.Đường thẳng (d) qua A(1; 2) có dạng y  k ( x  1)  Đường thẳng (d) tiếp tuyếncủa (C) hệ phương trình sau có nghiệm  x  x k   x  x  k ( x  1)   k 3 x  x   x  x  0  k 3 x  x    x  x  (3 x  x)( x  1)   x  1; k 9    x 2; k 0 Vậy ta có hai tiếp tuyến qua A y  x  y  2 b.Đường thẳng qua B(1;0) có dạng y = k(x-1) Đường thẳng tiếp tuyến (C) hệ phương trình sau có nghiệm  k 3x  x   x  x  k ( x  1)  k 3x  x   x  x  x  0  k 3 x  x   x  x  (3 x  x)( x  1)  x=1 k = -3 ta tiếp tuyến có phương trình y = -3x+3 10 Nhận xét Ta thấy hai điểm A B nằm (C) Từ A ta vẽ hai tiếp tuyến đến (C) từ B vẽ tiếp tuyến tuyến ta đến tập Ví dụ Tìm đồ thị (C) hàm số y = x - 3x2 +2 điểm mà từ vẽ tiếp tuyến đến (C) Hướng dẫn giải Giả sử M(x0; f(x0)) điểm (C) mà từ vẽ tiếp tuyến đến (C) Khi tiếp tuyến qua M có hệ số góc k có dạng y = k(x-x0) + f(x0) Đường thẳng tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm  k 3x  x  Thay k vào phương trình thứ hai ta có  x  x  k ( x  x )  f ( x0 ) x  3x  (3x  x)( x  x0 )  x03  3x02   ( x  x0 ) ( x  x  3) 0 (*)  x  x0    x   x Để từ M kẻ tiếp tuyến (*) có nghiệm  x0   x0  x 1 Vậy điểm M(1; 0) điểm cần tìm Nhận xét: M điểm uốn đồ thị hàm số Ví dụ ( Tương tự) Cho (C): y = ax +bx2 + cx +d Tìm (C) điểm M để từ vẽ tiếp tuyến với (C) Ví dụ Cho hàm số (C): y = x3 – 3x2 +2 a Lập phương trình tiếp tuyến với ( C ) A(1;0) tìm giao tiếp tuyến với (C) b Lập phương trình tiếp tuyến với (C) B (-1; -2) tìm giao tiếp tuyến với (C) Hướng dẫn giải Ta có y’= 3x2 -6x a Hệ số góc tiếp tuyến A k =f’(1) = -3 Khi tiếp tuyến A có phương trình y = -3x+3 Hoành độ giao điểm tiếp tuyến (C) nghiệm phương trình x3 – 3x2 + = -3x +  x3 – 3x2 + 3x – =  x = Vậy tiếp tuyến cắt đồ thị điểm tiếp điểm A b Hệ số góc tiếp tuyến B k=f’(-1) = Khi tiếp tuyến B có phương trình y = 9(x+1) -2  y = 9x + Hoành độ giao điểm tiếp tuyến (C) nghiệm phương trình 11  x  x3 – 3x2 + = 9x +  x3 – 3x2 - 9x – =    x 5 Vậy tiếp tuyến có hai điểm chung với (C) (-1;-2) (5; 52) Nhận xét: Ở chương trình cấp hai ta tìm hiểu tiếp tuyến Parabol, đường thẳng tiếp tuyến Parabol có điểm chung với Parabol Tuy nhiên tiếp tuyến có nhiều điểm chung với đồ thị hàm số Ở ví dụ A B hai điểm đồ thị tiếp tuyến A có điểm chung với đồ thị cịn tiếp tuyến B có hai điểm chung với đồ thị Trong hai điểm chung tiếp tuyến với đồ thị có điểm tiếp điểm điểm khơng phải tiếp điểm Ví dụ Cho (C): y = x3 – 3x2 +2 M(x0;y0) (C) Tiếp tuyến với (C) M cắt (C) điểm M’ khác M Tìm toạ độ M’ Hướng dẫn giải Ta có y’ = 3x2 – 6x Phương trình tiếp tuyến với (C) M y (3x 02  x )( x  x0 )  x03  3x 02  Hoành độ giao điểm tiếp tuyến (C) nghiệm phương trình x  x  (3 x02  x0 )( x  x0 )  x03  x02   ( x  x0 )( x  xx0  x02 )  3( x  x0 )( x  x0 )  (3x02  x0 )( x  x0 )   x  x0 ( x  x ) ( x  x0  3) 0    x   x0  2   x0   x0 ; f   Với x = x0 = xM Vậy M’      Chú ý: Có thể giao cho học sinh nhà giải tốn trường hợp tổng qt Ví dụ ( Tương tự) Cho (C): y = ax 3+bx2+cx+d điểm M(x0; y0) Tiếp tuyến với (C) M cắt (C) điểm M’ khác M tìm toạ độ M’ 2.3.4 Dạng Hai tiếp tuyến đồ thị hàm số vng góc với Chú ý: Cho hai đường thẳng (d1): y=k1x+b1 có hệ số góc k1 (d2): y=k2x+b2 có hệ số góc k2 Hai đường thẳng vng góc với k 1.k2=-1 Sau ta xét số ví dụ hai tiếp tuyến với 3 1 Ví dụ Cho (C): y=x2 -3x +2 Chứng minh từ điểm M  ;  vẽ 2 2 hai tiếp tuyến đến đồ thị hai tiếp tuyến vng góc với Hướng dẫn giải 12 3 3 1  Giải Đường thẳng qua M  ;  có hệ số góc k có dạng y k  x    2 2  2 Đường thẳng tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm  k 2 x   x 1; k   3      x 2; k 1  x  x  k  x       Vậy có hai tiếp tuyến với đồ thị (d1): y = -x+1 có hệ số góc k1=-1 (d2): y = x-2 có hệ số góc k2=1 Ta có k1.k2 = -1 nên hai tiếp tuyến vng góc với Ví dụ Chứng minh từ A(1;-1) kẻ hai tiếp tuyến vuông góc với đến đồ thị hàm số (C): y = x2  x 1 x 1 Hướng dẫn giải Giải Đường thẳng qua A có dạng y = k(x-1) – Đường thẳng tiếp tuyến (C) hệ sau có nghiệm  f ' ( x) k   f ( x) k ( x  1)   x  2x k   ( x  1)   Thay k từ phương trình thứ  x  x  k ( x  1)   x  vào phương trình thứ hai ta phương trình: x2 + 3x+ = (1) Nhận xét Nếu ta làm giống hồn tồn ví dụ Từ phương trình (1) ta giải  x   hai nghiệm  nên ln có hai tiếp tuyến qua A thay x =  x    3 x =   ta hai hệ số góc k1 k2 sau k1.k2=-1 Tuy nhiên x số chứa nên việc tính k k2 khó khăn Ta giải vấn đề đơn giản cách dùng hệ thức viét hệ số góc hai tiếp tuyến x 22  x x12  x1 k1  k  ( x1  1) ( x  1) ( x1 x )  x1 x ( x1  x )  x1 x Ta có k1.k2 = Áp dụng hệ thức viét ( x1 x  x1  x  1)  x1  x    x1 x 1 1  Khi k1.k2 = (1   1)  Vậy hai tiếp tuyến vng góc với Nhận xét: Ở ví dụ ta thấy áp dụng quan trọng hệ thức viet vào tốn tiếp tuyến Sau ta tìm hiểu thêm ví dụ áp dụng hệ thức viet 13 Ví dụ Cho (Cm): y = x3 +mx2 + Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng y = -x+1 điểm A(0;1); B C cho tiếp tuyến với (C m) B C vuông góc với Hướng dẫn giải Giải Hồnh độ giao điểm ( Cm) đường thẳng nghiệm phương trình  x 0 x3 +mx2 +1 = -x+1  x(x2 +mx+1) =    x  mx  0 (Cm) cắt đường thẳng ba điểm phân biệt g(x) = x + mx+1=0 có hai nghiệm phân biệt khác   0     g (0) 0  m2    m   2; m    0 Khi A(1;0) B(xB;yB); C(xC;yC) với xB, xC nghiệm phương trình g(x)=0 Hệ số góc tiếp tuyến B C kB = 3x B2  2mx B , kC = 3xC2  2mxC Hai tiếp tuyến vng góc với   K B K C   x B2  2mx B (3 xC2  2mxC )   9( x B xC )  6mx B xC ( x B  xC )  4m x B xC   x B  xC   m Thay vào ta  x B xC 1 Áp dụng hệ thức Viét   6m  4m  1 � 2m  10 � m  � m  � thoả mãn điều kiện x  2mx  m Ví dụ 4.(Tương tự).Cho đồ thị ( Cm): y  xm a.Chứng minh ( Cm) cắt Ox x0 tiếp tuyến với (Cm) điểm x  2m có hệ số góc k0  x  m b.Tìm m để ( Cm) cắt Ox hai điểm tiếp tuyến hai điểm vng góc với Ví dụ Cho hàm số y  f ( x) có đạo hàm R Gọi 1  tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f ( x) y  g ( x)  x f (3 x  4) điểm có hồnh độ Biết 1  vng góc với  f (2) �1 Viết phương trình 1  Nhận xét Ở toán đề lại khai thác góc độ khác Đề yêu cầu viết phương trình tiếp tuyến hai đồ thị song không cho đồ thị mà 14 cho mối liên hệ hai đồ thị cho hoành độ tiếp điểm ta nhìn vào phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 Rõ ràng ta biết x0 , ta cần tìm y0 , f '( x0 ) Nghĩa không thiết ta phải tìm hàm số f ( x) g ( x) Hướng dẫn giải Ta có g (2)  12 f (2) , g '( x)  x f (3x  4)  x f '(3 x  4) � g '(2)  12 f (2)  36 f '(2)  12 f (2)  36 36 � g '(2)   12 f (2) �12 g '(2) f '(2) �  g '(2)  6 �0 � g '(2)  � f '(2)   � f (2)  1 Khi 1 : y  f '(2)( x  2)  f (2)    x      x  6  : y  g '(2)( x  2)  g (2)  6( x  2)  12  x 2.3.5 Áp dụng viết phương trình tiếp tuyến tính diện tích hình phẳng Trong năm gần với việc đề thi mơn tốn chuyển sang hình thức trắc nghiệm Bài tốn tính diện tích hình hay xuất đề thi thử có yếu tố liên quan đến phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Nếu em không nắm phương trình tiếp tuyến giải tập Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn Parabol y  x  x  , tiếp tuyến đồ thị điểm M  3;5  trục tung Nhận xét Đây toán quan ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng, tốn có liên quan đến tiếp tuyến đồ thị hàm số Việc viết phương trình tiếp tuyến trở thành trọng tâm toán Hướng dẫn giải Ta có y '  x  Hệ số góc tiếp tuyến M  3;5  k  y '(3)  Suy phương trình tiếp tuyến y  4( x  3)   x  Vậy diện tích cần tìm   S � x  x   x  dx  Ví dụ (Tương tự ví dụ 1) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bới Parabol y   x  x  tiếp tuyến điểm A(0; 3) B (3;0) 15 Ví dụ Cho đa thức f ( x) với hệ số thực thỏa mãn điều kiện f ( x)  f (1  x)  x , x �R Biết tiếp tuyến điểm có hồnh độ x  đồ thị hàm số y  f  x  tạo với hai trục tọa độ tam giác Tính diện tích tam giác Nhận xét: Bài tốn đề khơng u cầu viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số song muốn tính diện tích tam giác tạo tiếp tuyến hai trục tọa độ trước hết ta phải lập phương trình tiếp tuyến Trong trước viết phương trình tiếp tuyến đề cho sẵn hàm số ta cần biến đổi, suy luận giả thiết suy cách giải đến đề lại chưa cho biết hàm số, đề cho ta biểu thức liên hệ hàm số Muốn lập tiếp tuyến rõ ràng ta phải tìm hàm số Hướng dẫn giải Ta thay x  x ta hệ � f ( x)  f (1  x)  x � � f ( x )  x  x  Từ ta lập phương trình � f (1  x )  f ( x)  (1  x ) �   tiếp tuyến f ( x)  x 3 1 2 Suy diện tích tam giác S    Ví dụ Cho f ( x) hàm đa thức bậc ba có đồ thị hình vẽ Tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm M có hồnh độ 2 cắt đồ thị điểm thứ hai N (1;1) cắt trục Ox điểm có hồnh độ Biết diện tích phần gạch chéo 16 Tính �f ( x)dx 1 Nhận xét: Đây tốn quan ứng dụng tích phân tính diện tích, tốn thường xuất đề thi THPT Quốc Gia Muốn 16 tính tích phân ta phải tìm hàm f ( x) , muốn tìm hàm f ( x) ta cần phải sử dụng đến kiến thức phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số Hướng dẫn giải Từ giả thiết đường thẳng qua điểm (2; 2) điểm  4;0  có phương trình (d ) : x  3y   � y   x  3 Vì f ( x) hàm bậc ba nên f ( x)  ax  bx  cx  d � f '( x)  3ax  2bx  c Đồ thị hàm số tiếp xúc với đường thẳng (d ) điểm x  2 nên ta có hệ � 1  8a  4b  2c � a � 12 �  abc � � 1 � � b � y  x3  x  x  1�� � 12 12a  4b  c   � � � � c �d  � � Từ ta �1 � x �f ( x)dx  � 12 � 1 1  � 13 x  x  1� dx  � Ví dụ 5: Cho hàm số y  x có đồ thi (C), biết tồn hai điểm A, B thuộc (C) cho tiếp tuyến A, B đường thẳng vng góc với hai tiếp tuyến A, B tạo thành hình chữ nhật (H) có chiều dài gấp đôi chiều rộng Gọi S1 diện tích giới hạn đồ thị (C) hai tiếp tuyến, S2 diện tích hình chữ nhật (H) S1 Tính tỉ số S Hướng dẫn giải Gọi d1 đường tiếp tuyến với (C) A, d đường tiếp tuyến với (C) B d1 : y  2ax  a , d : 2bx  b 17 d1  d nên (2a)(2b)  1 � b   x �  d2  : y    Khi 4a 2a 16a �4a  1 � d1 cắt d E � ;  �� chiều dài hình chữ nhật D 4� � 8a rộng R   4a  1 16a Từ D=2R suy a  � S Suy d1 : y  x , d : �  4a   1 128a 3   4a  1 chiều 8a 125 128 x �3 �  ;E � ; � 16 �8 � � x � 125 � dx  � x   x  1 � dx  � � � � 768 �2 16 � � � x2  �  Suy S1  � � S � 1 Vậy tỉ số S  2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 2.4.1 Đối với thân Năm học 2020 -2021 phân công giảng dạy lớp 11C1 trường THPT Nông Cống Từ thực tế dạy trường THPT Nông Cống Ngay từ đầu năm học viết nên sáng kiến cho lớp 11C1 làm kiểm tra 45 phút câu giống câu lớp 11C1 trường THPT Nông Cống thu kết Kết kiểm tra thử lớp 11C1- Trường THPT Nông Cống Điểm từ đến Điểm trở lên Điểm Năm Tổng Lớp Số Số Số học số Tỷ lệ Tỷ lệ Tỷ lệ lượng lượng lượng 2020- 11C1 43 15 35% 24 56% 9% 2021 2.4.2 Đối với đồng nghiệp nhà trường: - SKKN áp dụng cho tất trường THPT - SKKN cung cấp cho đồng nghiệp biện pháp rèn luyện nâng cao kĩ viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số - Giới thiệu cho đồng nghiệp học sinh nguồn tập để ôn thi học sinh giỏi thi tốt nghiệp THPT KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: 18 Trên đường giúp học sinh học tốt phần tiếp tuyến đúc rút suốt q trình giảng dạy trường THPT Nơng Cống sau ba năm giảng dạy trường THPT Nông Cống Tiếp tuyến nội dung quan trọng chương trình mơn tốn lớp 11 nói riêng bậc THPT nói chung Nhưng chương trình học khố nghiên cứu sơ sài song nghiên cứu sâu vấn đề khó học sinh, vấn đề thường xuyên liên quan đến kì thi học sinh giỏi thi tốt nghiệp đại học, phần nhiều thầy cô giáo quan tâm ôn luyện cho học sinh thi tốt nghiệp đại học Theo tơi tốn tiếp tuyến giáo viên không nên vội đưa học sinh vào tập khó mà bước dẫn dắt học sinh đến tốn khó từ tập đễ, nhằm tạo cho học sinh có nhiều hứng thú học tiếp tuyến 3.2 Kiến nghị đề xuất: Đề nghị cấp lãnh đạo tạo điều kiện giúp đỡ học sinh giáo viên có nhiều tài liệu sách tham khảo đổi phòng thư viện để nghiên cứu học tập nâng cao kiến thức chuyên môn nghiệp vụ Nhà trường cần tổ chức bổi trao đổi phương pháp giảng dạy Có tủ sách lưu lại tài liệu chuyên đề bồi dưỡng ôn tập giáo viên hàng năm để làm cở sở nghiên cứu phát triển chuyên đề Học sinh cần tăng cường học tập trao đổi, học nhóm nâng cao chất lượng học tập Mặc dù cố gắng tìm tịi, nghiên cứu song chắn cịn có nhiều thiếu sót hạn chế Tơi mong quan tâm tất đồng nghiệp bổ sung góp ý cho tơi Tơi xin chân thành cảm ơn ! Nông Cống, ngày 15 tháng 05 năm 2021 HIỆU TRƯỞNG CAM KẾT KHÔNG COPY Người viết sáng kiến kinh nghiệm Trần Văn Dũng TÀI LIỆU THAM KHẢO + Sách giáo khoa đại số 11- Nhà xuất giáo dục 19 + Sách giáo viên đại số giải tích 11 - Nhà xuất giáo dục + Tài luệu tập huấn sách giáo khoa - Nhà xuất Giáo dục + Các chuyên đề hàm số - Nhà Xuất giáo dục + Các đề thi đại học năm trước + Đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác + Tuyển tập đề thi trắc nghiệm tốt nghiệp THPT Quốc Gia đề thi thử tốt nghiệp trường THPT nước DANH MỤC 20 CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM Đà ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Trần Văn Dũng Chức vụ đơn vị cơng tác: Giáo viên Tốn trường THPT Nông Cống TT Tên đề tài SKKN SKKN “Giúp học sinh tiếp cận nâng cao kĩ tính tích phân hàm hữu tỉ” Cấp đánh giá xếp loại (Phòng, Sở, Tỉnh ) Kết đánh giá xếp loại (A, B, C) Năm học đánh giá xếp loại Ngành C 2014 21 ... nâng cao kĩ viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, áp dụng giải tốn tính diện tích hình phẳng ” nhằm giúp em học sinh nắm kiến thức tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, để em có chuẩn... tiếp tuyến đồ thị hàm số hướng dẫn, đề xuất phương pháp giải dạng tập Từ phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số khai thác số tập nâng cao liên quan đến viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số... A(0;3) b .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có hồnh độ x  c .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) điểm có tung độ y  d .Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) giao đồ thị