SKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

SKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đốiSKKN Phương pháp giải một số dạng toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

A ĐẶT VẤN ĐỀ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Ở trường Trung học sở, dạy toán dạy hoạt động tốn học cho học sinh; giải tốn hình thức chủ yếu Để rèn luyện kĩ giải tốn cho học sinh, ngồi việc trang bị thật tốt kiến thức bản, người thầy giáo cần giúp em hệ thống hoá dạng tập để em dễ nhớ dễ vận dụng Đầu chương trình Trung học sở, học sinh làm quen với khái niệm giá trị tuyệt đơí Và toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối khơng có kì kiểm tra thơng thường mà cịn gặp kì thi chọn học sinh giỏi toán cấp, thi vào trường chuyên trường khiếu Tuy nhiên học sinh lo sợ gặp toán liên quan đến dấu giá trị tuyệt đối Với lí nêu tơi định sâu nghiên cứu đề tài “Phương pháp giải số dạng tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối” Nhằm giúp em tự tin đứng trước tốn có chứa giá trị tuyệt đối II.MỤC ĐÍCH VÀ NHIỆM VỤ CỦA ĐỀ TÀI Đề tài nêu số dạng tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối, sở lý luận phương pháp giải tập nêu Giúp học sinh dễ hiểu, dễ nhớ Từ em vận dụng linh hoạt kiến thức vào việc giải tập thực tế III ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Đối tượng nghiên cứu Phương pháp giải số tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu tình hình giải tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh lớp lớp IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: - Đọc tài liệu tham khảo liên quan đến việc giải tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối; - Trắc nghiệm khách quan, trao đổi ý kiến; - Kiểm tra thực tế; - Thống kê tổng hợp; V THỜI GIAN NGHIÊN CỨU: - Từ tháng 11 năm 2014 đến tháng 10 năm 2015, nghiên cứu tài liệu có liên quan đến đề tài, thu thập số liệu đánh giá thực tế việc giải toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối học sinh, tìm hiểu ngun nhân sai lầm khó khăn học sinh giải toán dạng - Từ 25 tháng năm 2015 đến25 tháng năm 2015 viết thảo - Từ 06 tháng năm 2015 đến tháng năm 2015 viết VI DỰ KIẾN KẾT QUẢ CỦA ĐỀ TÀI: Khi chưa thực đề tài này, học sinh giải số tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn định hướng giải, lúng túng hay bối rối lựa chọn cách trình bày lời giải Nếu thực đề tài gây hứng thú học tập, giúp học sinh học tập tích cực hơn, đạt kết cao học tập, tự giải tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng tương tự Hạn chế khắc phục nhiều sai lầm học sinh giải tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/ Định nghĩa: Giá trị tuyệt đối số thực x số thực không âm, ký hiệu |x| xác định sau: x x ≥ |x| = -x x < Nhận xét: - Giá trị tuyệt đối số thực x, thực chất ánh xạ: ƒ: R → R+ x ∈ R  y = |x| = x x ≥ -x x < - Với số thực ta biễu diễn thành tổng số thực không âm số thực dương, tức là: x= x+ x + x− x , x+ x ≥ 0; x− x ≤ 0, Với A(x) biểu thức tuỳ ý ta có: A(x) A(x) ≥ A(x) = -A(x) A(x) < - Với x ∈ R, f(x), g(x) biểu thức tuỳ ý, ta có: [ f(x) + g(x) + |f(x) - g(x)| ] Min (f(x); g(x)) = [ f(x) + g(x) - |f(x) - g(x)| ] Max(f(x); g(x)) = 2/ Hệ quả: a) x ≥ với x ∈ R; x = ⇔ x = b) − x = x c) - x ≤ x ≤ x d) x ≥ α > ⇔ x ≥ α x ≤ −α e) x ≤ α ( α > 0) ⇔ −α ≤ x ≤ α f) x y = x y x x g) y = y h) x = x2 j) x = x 3/ Tính chất giá trị tuyệt đối a) Định lí : x, y hai số thực thì: x+ y ≤ x + y x + y = x + y ⇔ x.y ≥ Chứng minh: 2 Ta có: ( x + y ) = x + x y + y = x2+ x y + y2 ≥ x2 + 2xy + y2= ( x + y) Vậy x + y ≤ x + y dấu “=” xẩy x.y=0 II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI CÁC BIỂU THỨC CÓ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Mục đích biến đổi Biến đổi biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm thay đổi chúng biểu thức tương đương khơng cịn chứa dấu giá trị tuyệt đối khỏi biểu thức để tiến hành phép tính đại số quen biết Thông thường ta biểu thức khác nhau(không chứa dấu giá trị tuyệt đối) khoảng khác biến Phương pháp biến đổi Muốn biến đổi biểu thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối nhằm loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phải thiết vào: Định nghĩa giá trị tuyệt đối hệ nêu trên; Quy tắc dấu nhị thức bậc tam thức bậc hai sau: b a * Nhị thức ax + b (a ≠ ) dấu với a x> − , trái dấu với a x ⇒ ax + b dấu với a a ax + b < ⇒ ax + b trái dấu với a - Nếu x < x x- x < ⇒ a * Tam thức bậc hai ax + bx +c (a ≠ ) trái dấu với a khoảng hai - Nếu x > x x − x0 > nghiệm( có) dấu với a trường hợp khác Bài tập áp dụng Bài 1: Tính giá trị nhỏ biểu thức: C = x + x − 17 + x − Giải: Viết lại: C = x + 17 − x + x − Áp dụng bất đẳng thức: a + b + c ≥ a + b + c , ta có: C = x + 17 − x + x − ≥ x + (17 − x ) + x − = Đẳng thức xẩy ra: ⇔ x; 17-2x; x-8 dấu Lập bảng xét dấu x; 17-2x; x-8 Ta có x; 17-2x; x-8 dấu ⇔ ≤ x ≤ 8,5 Bài 2: Rút gọn biểu thức sau: x − + x2 − 4x + A= 2x − Giải: 2 x − + x − 4x + : x≠ ĐKXĐ * Ta có A= = x −1 + x − 2x − 2x − − x + − x − 2x = = −1 +) Nếu x ≤ ta có : A= 2x − 2x − 3 x −1 + − x = +) Nếu 1 , ta có: x − = x +  x≥0 x ≥ ⇔ x − = x + x − = − x − ⇔   x − = x + x − = − x −  x ≥   − = 1(voli ) ⇔   x ≥  2 x = ⇔ x =  * Nếu x< phương trình cho tương đương với: − x −1 = x +1 ⇔ x +1 = x +1 Ta có: A ≥ A dấu “=” xẩy A ≥ Do x + = x + ⇔ x + ≥ ⇔ x ≥ −1 Kết hợp với x< ta có − ≤ x ≤ Vậy tập nghiệm phương trình cho − ≤ x ≤ Bài 2: Giải biện luận phương trình theo tham số m: x − = x + 2m (1) Giải: Ta có:  2m  x ≥ −   3 x + 2m ≥   x = − 2m −  x − = x + m  ⇔  (1) ⇔ 3x + 2m ≥ 2m    x≥−   x − = −3 x − m   − 2m    x = Rõ ràng, để phương trình có nghiệm ta phải có: 2m + 2m − 2m 2m ≥− ≥− 2m + 2m ≥− ⇔ 6m + ≤ m ⇔ m ≤ − a) Nếu − − 2m 2m ≥− ⇔ − 6m ≥ 8m ⇔ 2m ≥ −3 ⇔≤ − b) Nếu − Tóm lại: 2m + 2 − 2m Nếu m > − , phương trình có nghiệm x = − 2 Bài 3: Giải theo m phương trình: m x − = − m (2) Nếu m ≤ − , phương trình có nghiệm x = − Giải: * Nếu m > phương trình (2) có dạng: 0 < m ≤ mx − = − m ⇔  mx − = − m 0 < m ≤  ⇔ 7−m  x = m 0 < m < mx − = m −  0 < m <  m −1   x = m * Nếu m < phương trình (2) có dạng: − mx − = − m ⇔ mx + = − m Rõ ràng với m < 4- m > nên ta có: ⇔ ⇔ m <  mx + = − m m <  1− m   x = m m < mx + = m −  m <  m−7   x = m Tóm lại: 1− m m −1 x = m m 7−m m −1 - Nếu < m ≤ phương trình có nghiệm là: x = x = m m - Nếu m < phương trình có nghiệm là: x = - Nếu m = m > phương trình vơ nghiệm B PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT DẠNG A = B Phương pháp giải: Đối với phương trình bậc dạng A = B A, B nhị thức bậc ẩn số Muốn loại bỏ dấu giá trị tuyệt đối phải biến đổi phương trình cho thành phương trình tương đương sau đây: A = B ⇔ A = B A = -B Một số ví dụ: Bài 2: Giải phương trình x − − = x − (2) Giải: Ta có: ⇔ 5x − − = 4x −  5x − − = − 4x   5x − − = − 4x ⇔  5x − = 4x −   5x − = − x (3) (4)   x ≥ (loai )   4 x − ≥  x =  x − − x − ⇔  (3) ⇔ 4 x − ≥  x≥  5 x − = − x (loai )    x =    x ≤  5 − x ≥   x = x=     (4) ⇔ 5 x − = − x ⇔  ⇔  { x − = x −  x = −4  x ≤    { x = −4  Vậy phương trình có nghiệm x = x = - C PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT DẠNG A + B = C Phương pháp giải: Đối với loại phương trình bậc dạng A + B = C A, B, C nhị thức bậc nên dùng phương pháp lập bảng để biến đổi Một số tập ví dụ: Bài 1: Giải phương trình x − + x − = (1) Giải : Ta lập bảng xét dấu f ( x) = x − + x − x -∞ x−2 2-x x-2 x−3 3-x 3-x f(x) 5-2x +∞ x-2 x-3 2x-5 Theo bảng ta có: - Nếu x < phương trình (1) ⇔ − x = x ⇔ x = ⇔ x = - Nếu ≤ x ≤ ≠ phương trình vơ nghiệm thỗ mãn x < 2 ( thoã mãn x > 3) Tóm lại: Phương trình (1) có nghiệm x = x = 2 Bài 2: Giải phương trình x − + x + − x − = 2005 (2) - Nếu x > phương trình (1) ⇔ x = ⇔ x = Giải: Lập bảng xét dấu vế trái (2) ta được: -∞ x x −1 x+2 −2x−3 VT -2 1-x -x-2 2x-6 -7 1-x x+2 2x-6 2x-5 x-1 x+2 2x-6 4x-5 +∞ x-1 x+2 -2x-6 Theo bảng ta có: - Nếu x ≤ −2 − ≠ 2005 nên phương trình (2) vô nghiệm - Nếu − ≤ x < phương trình (2): ⇔ x − = 2005 ⇔ x = 2008 ⇔ x = 1004 ( khơng thỗ mãn) - Nếu ≤ x < phương trình (2): ⇔ x − = 2005 ⇔ x = 2010 ⇔ x = 1005 (khơng thỗ mãn) - Nếu x ≥ ≠ 2005 nên phương trình (2) vơ nghiệm Tóm lại phương trình (2) vơ nghiệm Bài 3: Giải phương trình: ( m − 1) ( x + x + ) = 3m − Giải: Ta xét trường hợp sau: * Nếu x với x ≠ 1; m< m > 2m − D PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT Bài 1: Giải phương trình: a) x x + − x + x + = b) x − x + = Giải: 1  1 a) Ta có: x + x + = x + 2.x + + =  x +  + > 4  2 2 Do x + x + = x + x + x x + − x2 + x +1 = Suy phương trình: ⇔ x x + = x2 + x +1 +1 ⇔ x x + = x2 + x +1+1 ⇔ x x + = x + x + 2(1) * Nếu x ≥ −3 , phương trình(1) tương đương với phương trình: x( x + 3) = x + x + ⇔ x + 3x = x + x + ⇔ 2x = ⇔ x = (thoã mãn điều kiện xét) * Nếu x < - phương trình (1) tương đương với phương trình: x(-x-3)= x2+ x +2 10 ⇔ − x +1 + − x +1 = Ta có: (*) ⇔ − x +1 = ⇔ x +1 = ⇒ x=3 (loại khơng thỗ mãn − ≤ x < ) 2 ≤ x + ≤ ⇔3≤ x≤8  x ≥ −  Khi đó: (*) ⇔ x + − + − x + = ⇔ = * Nếu Chứng tỏ phương trình có vơ số nghiệm x ∈ [ 3;8]  x +1 > ⇔ x>8  x ≥ −  * Nếu Khi ta có: x +1 − + x +1 − = (*) ⇔ x +1 = ⇔ x +1 = ⇔ x=8 (loại khơng thỗ mãn điều kiện x > ) E PHƯƠNG TRÌNH CĨ CHỨA THAM SỐ Bài 1: Giải biện luận phương trình với tham số m:  x − y = m(1) (A) m x + y = 1(2)  Giải: Từ phương trình (1) ⇒ y = x − m thay vào phương trình (2) ta có: m x + 2( x − m) = ⇔ m x + x = 2m + a) Nếu x ≥ , ta có: mx + 2( x − m) = ⇔ (m + 2) x = 2m + 1(3) * Khi m=-2, phương trình(3) ⇔ x = −3 (vơ lí) Do hệ vơ nghiệm * Khi m ≠ ⇔ x = có: 2m + Để giá trị nghiệm phương trình cần m+2 2m + 1 ≥ ⇒ m ≥ − m m < − 2−m 2m +  x =  m+2  y = x − m  2m +  m >  x = − m +) Nếu  hệ phương trình có nghiệm là:  m a b) B( x) ≥ ta có A( x) > B( x) A(x) B( x) ⇔ A( x) > B( x) A.Bất phương trình có dạng A < B (Tương tự A > B ) Bài 1: Giải bất phương trình 3x − < Giải: Cách 1: Bất phương trình cho tương đương với: 15 − < 3x − < ⇔ −2 < x < ⇔− 2 ⇔ x≤−   3x − <  3 x = >  x < 2 x > − ⇔ − < <  Cách 3: (Theo phương pháp chung) Bất phương trình cho tương đương với 3x − − < Lập bảng biến đổi ta có: −∞ x -2/3 2- 3x 3x − − Nghiệm thích hợp - ⇔  + Nếu m > ⇔ m − > đó: ⇔ ( m − 1) x < m − (2) ⇔ x < m + ⇔ −( m + 1) < x < m + + Nếu m < −1 ⇔ m − < , đó: m2 −1 ⇔ x > = −( m + 1) 1− m (2) ⇔ x > −( m + 1) Hoặc x < m + Vậy bất phương trình (1) có tập nghiệm là: -(m +1) < x < m + m> 1; x > - (m +1) x < m + m < - Bài 2: Giải biện luận bất phương trình: x − 3m < − xm (1) 18 Giải: Bất phương trình (1) tương đương với bất phương trình sau: x + m x < 3m + ⇔ (1 + m ) x < 3m + ⇔ x< 3m + (2) 1+ m 3m + 3m + ⇔− ta có nghiệm: − < x < CHƯƠNG IV: PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + bx + c + A = Phương pháp giải: A nhị thức bậc ta dùng: A A ≥ A = -A A< Rồi giải theo trường hợp tổng hợp kết lại Bài 1: Giải phương trình: x − 3x − + x − = x − 3x − + x − = Giải:  x − x −1 + x −1 = Neux ≥ ⇔ x − x −1 +1 − x = Neux <    x − x − = Neux ≥ ⇔  x − = Neux <  x = −1; x =   x≥  ⇔  x = ; x =5    x<    x = ⇔ x = Bài 2: Xác định m để phương trình: 19 mx − 2(m − 1) + = mx − (1) có nghiệm Giải: (1) ⇔ mx − 2(m − 1) + − mx − = (2) + Với m= 0, phương trình (2) trở thành: x + − = ⇔ x = (nghiệm nhất) Vậy m= giá trị cần tìm + Với m ≠ , đặt t = mx - ⇔ x = t+2 m phương trình (2) trở thành: t + 2 t + 2 m  − 2(m − 1) +2− t =  m   m  ⇔ t + 4t + − 2(m − 1)t − 4(m − 1) + 2m − m t = ⇔ t − 2(m − 3)t + − 2m − m t = 0(*)  t ≥   = 2(m − 3) + − 2m − mt ⇔  t <  t − 2(m − 3)t + − 2m − mt t ≥ 0( I )  t − 3(m − 2)t + − 2m = 0(a ) ⇔ t < 0( II )  t − (m − 6)t + − 2m(b) Phương trình cho có nghiệm phương trình (*) có nghiệm +/ Xét phương trình (b) hệ (II) ta có: t = −2 t = m − (b) ⇔ (t + 2)(t − m + 4) = ⇔  Rõ ràng t=- 2< nghiệm phương trình(*) nên phương trình (*) có m − = −2 m = ⇔ nghiệm cần phải có:  m − ≥ m ≥ *) Nếu m = phương trình (a) trở thành t2+4 = 0, phương trình vơ nghiệm nên hệ (I) vơ nghiệm Do phương trình (*) có nghiệm m = giá trị cần tìm> *) Nếu m= ≥ phương trình (a) có nghiệm khơng âm có tích hai nghiệm P = 8- 2m ≤ nên hệ (I) có nghiệm t ≥ mà hệ (II) có nghiệm t = - Từ suy phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt nên giá trị m ≥ giá trị cần tìm Vậy giá trị cần tìm m = 0; m = 2 B PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ax + bx + c + A + B = 20 Bài 1: Giải phương trình: x − 3x + + x + − − 3x = (1) Giải: a) Nếu x ≤ −1 , (1) ⇔ x − x + − x − + 3x − = ⇔ x2 − x − = ⇔ x=0 x=2 Chỉ có x = -1 thoã mãn b) Nếu − < x ≤ phương trình (1) ⇔ x − 3x + + x + + − 3x = ⇔ x2 + x = ⇔ x=0 x = -1 Chỉ có x = thỗ mãn c) Nếu x > phương trình (1) ⇔ x − 3x + + x + + 3x − ⇔ x2 − 5x + = ⇔ x =1 x = ( thỗ mãn) Tóm lại: Phương trình có tập nghiệm S = { − 1;0;1;4} 2 C PHƯƠNG TRÌNH CĨ DẠNG ax + bx + c + mx + nx + p = Bài 1: Giải phương trình: 3x − − − x + x − = Giải: Ta thấy: - x + x − = −4 − ( x − 1) < Với ∀x Nên phương trình cho tương đương với phương trình 3x − − x + x − = ⇔ x − 5x + = ⇔ x =1 Hoặc x = Vậy tập nghiệm phương trình S = {1; 4} CHƯƠNG V: MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN BẤT ĐẲNG THỨC CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Cách giải: áp dụng cơng thức Cho số a, b ta có: +) a + b ≥ a + b đẳng thức xẩy ⇔ ab ≥ (*) 21 +) a + b ≥ a − b đẳng thức xẩy ⇔ ab ≤ (**) Bài 1: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: A = x2 − 2x + + x2 − x + Giải Ta có: x − x + = x − ; x − x + = x − Từ suy ra: A = x − + x − ≥ ( x − 1) − ( x − 3) = Đẳng thức xẩy ra: ⇔ ( x − 1) ( x − 3) ≤ ⇔ ≤ x ≤ Vậy A = ≤ x ≤ Lưu ý: Bất đẳng thức a + b ≥ a − b Có thể mở rộng cho số a, b, c là: a + b + c ≥ a + b + c , đẳng thức xẩy ⇔ a, b, c dấu Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a) C = x + x − 17 + x − b) D = x + x − 17 + x − Giải a) Viết lại C = x + 17 − x + x − ≥ x + (17 − x) + ( x − 8) =9 Đẳng thức xẩy ra: ⇔ x;17 − x; x − dấu, lập bảng xét dấu x; 17 − x; x − ta có x;17 − x; x − dấu ⇔ ≤ x ≤ b) Ta có: x + x − ≥ x − ( x − 8) = đẳng thức xẩy ⇔ ≤ x ≤ (1) − x ≥ đẳng thức xẩy x = 3,5 (2) Từ (1) (2) suy D ≥ đẳng thức xẩy ⇔ x = 3,5 Tổng quát: Tìm giá trị nhỏ M = x − a + x − b với a < b Ta có: M= x − a + x − b ≥ ( x − a) − ( x − b) = b − a đẳng thức xẩy a ≤ x ≤ b Vậy M=b-a Bài 3: Tìm giá trị nhỏ P = x − + x − + x − + x − Giải Đặt D1= x − + x − ;D2 = x − + x − Ta có: D1= x − + x − 4; ≥ ( x − 1) − ( x − 4) = (1), đẳng thức xẩy ⇔ ≤ x ≤ D2= x − + x − ≥ ( x − 2) − ( x − 3) = (2), đẳng thức xẩy ⇔ ≤ x ≤ Từ (1) (2) ta có: D = D1+ D2 ≥ 4, đẳng thức xẩy ⇔ ≤ x ≤ Vậy D = Mở rộng tốn ta có Bài 4: Tìm giá trị nhỏ M = x + x − + + x − 2005 Giải 22 - Đặt M1 = x + x − 2005 ; M2= x − + x − 2004 ; ; M1003= x − 1002 + x − 1003 - Áp dụng bất đẳng thức M = x − a + x − b ≥ ( x − a) − ( x − b) = b − a(b > a) Ta có M1= x + x − 2005 = 2005 x ∈ [ 0;2005] M2= x − + x − 2004 = 2003 x ∈ [ 0;2004] Min M1003 = x − 1002 + x − 1003 = x ∈ [1002;1003] Vậy M = 1+3-5+ +2005 = 10033 x ∈ [1002;1003] Chú ý:1+3+5+ .+(2x -1) =n2 Thay đổi chút việc áp dụng bất đẳng thức a + b ≥ a + b đẳng thức xẩy ⇔ ab ≥ 0, ta có: Bài 5: Cho biểu thức f ( x) = ax + bx + c thỏa mãn: f ( x) ≤ với ∀x ∈ [ − 1;1] Chúng minh rằng: a + b + c ≤ Giải Trường hợp ab ≥ ta có: a + b = a + b = a + b + c − c ≤ f (1) − f (0) ≤ f (1) + f (0) ≤ 2 Trường hợp ab < ta có a + b = a − b = a − b + c − c ≤ f (−1) − f (0) ≤ Đẳng thức xẩy chẳng hạn a = −2; b = 0; c = Bài 51: Cho tam thức f ( x) = ax + bx + c thỏa mãn: f ( x) ≤ với ∀x ∈ [ − 1;1] Chứng minh rằng: 2ax + bx ≤ với ∀x ∈ [ − 1;1] Giải - Theo tốn có a + b ≤ → a ≤ - Mặt khác, xét hàm số y = g(x) = 2ax+b có đồ thị dường thẳng nên với x ∈ [ − 1;1] max g ( x) = g (1) max g ( x) = g (−1) áp dụng (*) ta có: 2a + b = ( a + b) + a ≤ a + b + a ≤ ( a + b ) + a ≤ + = đẳng thức xẩy chẳng hạn với a = -2, b = 0; c = Bài 52 Cho f ( x) = ax + bx + c a, b ≥ f ( x) ≤ với x ∈ [ − 1;1] Chứng minh rằng: a + b ≤ Gợi ý: - Theo toán 5: a + b ≤ → ≤ a + b ≤ (a, b ≥ 0) - Mặt khác a + b = (a + b)2 − 2ab nên có điều phải chứng minh Bài 6: Tìm tất giá trị x, y thỏa mãn điều kiện:  13 13  y + x + + x − y = + x + x (*)   x + y = 97 ; x < 0; y > (**)  36 Giải Giả sử (x0, y0) nghiệm hệ, đó: 23 y0 + 13 13 + + x0 − y0 = + x0 + (1) x0 6 x0 13 Đặt a = y0 + x , b = + x0 − y0 13 Từ (1) suy ra: a + b = a + b → y0 + x ≥ 0(2); + x0 − y0 ≥ 0(3) 13 Từ (2) (3) → − x ≤ + x0 (4) 13 Mặt khác x0 ≤ nên (4) ⇔ x02 + x0 + ≤ (5) 13 13 13 Ngoài do: < y0 ≤ + x0 nên y02 ≤ ( + x0 ) → x02 + y02 + ( + x0 ) ⇔ 6 97 13  13  ≤ x02 +  + x0  → x02 + x0 + ≥ (6) 36 6  13 Từ (5) (6) x02 + x0 + = → x0 = − x = − 97 Nhưng do: x02 + y02 = y0 > nên ta được: y0 = y0 = (thỏa mãn) 36  2  3 Vậy hệ cho có nghiệm ( x0 , y0 ) =  − ;  ;  − ,   3  2 24 PHẦN III KẾT LUẬN Qua q trình dạy tốn cấp trung học sở, làm quen tiếp xúc với học sinh, rút số điều quan trọng nghiên cứu mảng đề tài “ Phương pháp giải số tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối” Đây toán phức tạp cần có tư tốt kĩ vận dụng lí thuyết tương đối linh hoạt Bởi thế, trình truyền đạt kiến thức cho học sinh, thân thầy giáo cô giáo phải trang bị thật chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng đơn vị kiến thức bản, thể loại tập để học sinh hiểu sâu chất vận dụng tốt kiến thức vào giải toán Xây dựng cho em niềm ham mê hứng thú học tập, trân trọng suy nghĩ, ý kiến phát biểu, sáng tạo cho dù nhỏ em, động viên, khích lệ kích thích khả tự nghiên cứu, tìm tịi em Giáo viên phải thường xuyên đánh giá kết học tập em qua kì thi Bổ sung thiếu sót, sai lầm lệch lạc kiến thức để em rút kinh nghiệm Phải có kế hoạch phân chia thành chuyên đề cụ thể, kết hợp nhuần nhuyễn, lơ gíc dạng khác Nghiên cứu thể đề tài “Phương pháp giải số tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối”, chúng tơi hi vọng sở động lực giúp cho thân có thểm hiểu biết Đồng thời với bạn bè đồng nghiệp, với em học sinh yêu thích tự tin gặp tốn có liên quan đến giá trị tuyệt đối Trên ý tưởng việc làm nhỏ bé qua việc nghiên cứu đề tài khoa học Trong trình thực đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót cấu trúc, ngơn ngữ kiến thức khoa học Vì vậy, chúng tơi mong thầy giáo giáo bạn có ý kiến đóng góp chân thành để giúp chúng tơi hồn thành xuất sắc đề tài 25 TÀI LIỆU THAM KHẢO Chuyên đề bất đẳng thức ứng dụng đại số – Nguyễn Đức Tấn 23 Chuyên đề giải 1001 toán sơ cấp 1- Nguyễn Văn Vĩnh, Nguyễn Đức Đồng Một số vấn đề phát biểu Đại số 8-Vũ Hữu Bình Một số vấn đề phát triển Đại số 9- Vũ Hữu Bình 255 Bài tốn Đại số chọn lọc- Vũ Dương Thuỵ, Trương Công Thành, Nguyễn Ngọc Đạm Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THCS-Đại số – Nguyễn Vũ Thanh Toán nâng cao chuyên đề Đại số 8-Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm Toán nâng cao chuyên đề Đại số 9-Vũ Dương Thụy, Nguyễn Ngọc Đạm 10 Những toán cực trị – Lê Mộng Ngọc 11 Bất đẳng thức bất phương trình Đại số- Nguyễn Thế Hùng 26 MỤC LỤC Nội dung Trang A.Phần mở đầu I Lý chọn đề tài II.Mục đích nhiệm vụ đề tài III.Đối tượng phạm vi nghiên cứu 1.Đối tượng nghiên cứu 2.Phạm vi nghiờn cứu IV.Phương pháp nghiên cứu V.Thời gian nghiờn cứu VI.Dự kiến kết đề tài 1-2 B.Nội dung I Khảo sỏt thực trạng II.Giải phỏp 2-8 III Một số kết đạt 8-9 C.Kết luận 27 ... tự giải tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối dạng tương tự Hạn chế khắc phục nhiều sai lầm học sinh giải tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I: GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I GIÁ TRỊ... b < CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CÓ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI A PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT DẠNG A = B Phương pháp giải: Để giải phương trình bậc tuỳ ý có chứa dấu giá trị tuyệt đối, ta tìm cách... III: BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT CĨ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI Phương pháp chung để giải bất phương trình bậc có chứa A A bậc ẩn số chuyển tất vế trái, vế phải số khơng có dấu giá trị tuyệt đối, theo