Phương pháp giải một số bài toán có chứa dấu giá trị tuyệt đối

PHẦN I - ĐẶT VẤN ĐỀ I- Lí chọn đề tài: Tốn học mơn khoa học có từ lâu đời, mơn Tốn tảng mơn khoa học tự nhiên khác có liên quan đến nhiều ngành nhiều lĩnh vực khác Ngày phát triển ngành khoa học ngành cơng nghiệp then chốt khơng thể thiếu tốn học, ứng dụng toán học mang lại hiệu to lớn cho đời sống xã hội Tốn học khơng cung cấp cho học sinh kĩ tính tốn cần thiết mà cịn rèn luyện cho học sinh tư lô-gic, phương pháp luận khoa học Dạy học toán nhằm trang bị cho học sinh hệ thống tri thức khoa học phổ thông tạo điều kiện cho em hình thành phát triển phẩm chất lực trí tuệ đồng thời trang bị cho em hệ thống tri thức đảm bảo đủ để nghiên cứu khám phá giới xung quanh, góp phần cải tạo giới, cải tạo thiên nhiên mang lại sống ấm no hạnh phúc cho người Trong việc dạy Toán học Tốn việc tìm phương pháp dạy học giải tập đòi hỏi giáo viên phải chọn lọc hệ thống tập giúp học sinh khắc sâu kiến thức, góp phần phát triển tư em Trong q trình dạy học tốn, đặc biệt dạy vấn đề tốn học có liên quan đến phần giá trị tuyệt đối cho học sinh, thân chúng tơi thấy rằng, đứng trước vấn đề tốn học nêu học sinh thường lúng túng, đơi có phần e ngại, phạm trù kiến thức tương đối trừu tượng phức tạp Thực tế cho thấy, vấn đề tốn học có liên quan đến giá trị tuyệt đối lại có ứng dụng rộng rãi, đặc biệt ưu việc rèn luyện phẩm chất lực toán học cho học sinh Hiện trường phổ thông học sinh thường ngại học tốn giá trị tuyệt đối kiến thức khơng liền mạch, phương pháp giải tốn hạn chế, việc vận dụng giá trị tuyệt đối để tìm cực trị, vận dụng việc vẽ đồ thị hàm số v.v… lại hạn chế Vì việc phát triển lực tư cho học sinh thông qua việc nghiên cứu vấn đề giá trị tuyệt đối cần thiết Vì với lý nêu trên, định sâu nghiên cứu đề tài “ Phương pháp giải số tốn có chứa dấu giá trị tuyệt đối “ nhằm giúp cho em hiểu rõ hơn, đặc biệt giúp cho em nắm vững, vận dụng linh hoạt phương pháp giải số dạng tập có chứa dấu giá trị tuyệt đối II- Mục đích nghiên cứu: - Đề tài nhằm giúp học sinh học tập mơn tốn nói chung giải tập giá trị tuyệt đối nói riêng, trang bị cho học sinh số kiến thức nhằm nâng cao lực học toán, giúp em tiếp thu chủ động, sáng tạo làm công cụ giải số tập có liên quan đến giá trị tuyệt đối - Gây hưng thú cho học sinh giải tập SGK, Sách tham khảo, giúp học sinh tự giải có hiệu số tập tương tự khác - Giải đáp thắc mắc, sửa chữa sai lầm hay gặp giải toán giá trị tuyệt đối trình dạy học - Giúp học sinh nắm vững cách hệ thống phương pháp vận dụng thành thạo phương pháp để làm tập III- Nhiệm vụ đề tài: - Đề tài đưa số kiến thức giá trị tuyệt đối phù hợp với trình độ nhận thức học sinh - Trang bị cho học sinh dạng toán phương pháp giải loại toán liên quan đến giá trị tuyệt đối - Rút số nhận xét ý làm dạng toán - Chọn lọc hệ thống số tập hay gặp cho phù hợp với dạng toán IV- Đối tượng nghiên cứu: - Đối tượng khảo sát: Đề tài áp dụng học sinh lớp 8,9 (trường THCS Nam Hồng – Nam Trực – Nam Định), phân loại theo học lực (đa số em có ý thức học tốn bước đầu thể lực tiếp thu cách ổn định) áp dụng luyện tập, ôn tập học kì,ôn tập cuối năm, bồi dưỡng học sinh giỏi, ôn luyện thi tuyển sinh cấp - Phương pháp tiến hành: Học sinh có kiến thức đưa phương pháp giải, tập áp dụng, sai lầm hay gặp, tập tự giải (học sinh nhà làm tập) V- Phương pháp nghiên cứu: - Tham khảo, thu thập tài liệu - Phân tích, tổng kết kinh nghiệm - Kiểm tra kết quả: Dự giờ, kiểm tra chất lượng học sinh, nghiên cứu hồ sơ giảng dạy, điều tra trực tiếp thông qua học Toán VI- Dự kiến kết đạt đề tài: - Khi chưa thực đề tài, học sinh giải số tập đơn giản, hay mắc sai lầm, hay gặp khó khăn dẫn đến ngại làm tập liên quan đến giá trị tuyệt đối - Nếu thực đề tài học sinh có hứng thú giải tốn liên quan đến giá trị tuyệt đối, làm tập tốt hơn, tự giải tập tương tự, hạn chế tới mức thấp sai lầm giải toán liên quan đến giá trị tuyệt đối PHẦN II - NỘI DUNG ĐỀ TÀI A- NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I) Các định nghĩa: 1) Định nghĩa 1: Giá trị tuyệt đối thực chất ánh xạ R+ | a| f: R a Với giá trị a ∈ R có giá trị f(a) = | a |∈ R+ 2) Định nghĩa 2: Giá trị tuyệt đối số thực a, kí hiệu | a | là: a a ≥ | a| - a a < = * Mở rộng khái niệm ta có giá trị tuyệt đối biểu thức A(x) : A(x) A(x) ≥ | A(x) | = - A(x) A(x) < Ví dụ: 2x - 2x - ≥ | 2x-1 | = - (2x -1) 2x -1 < 2x - x ≥ ½ | 2x-1 | = - (2x -1) x < ½ 3) Định nghĩa 3: a) Giá trị tuyệt đối số nguyên a, kí hiệu | a | số đo (theo đơn vị dài dùng để lập trục số) khoảng cách từ điểm a đến gốc O trục số -a | -a | | a | a 3 | a| =3⇒ a=  − Do đẳng thức cho nghiệm số tương ứng với hai điểm trục số Ví dụ: -3 Tổng quát: a a = b b ⇒ a =  − b  b > b a = b ⇒a = − b b) Tổng quát : a ≤ b ⇔ -b ≤ a ≤ b Ví dụ : a ≤ a ≥ | a| ≤ 3⇒ -a ≤ a < ⇔ ≤ a≤ -3 ≤ a < ⇔ -3 ≤ a ≤ -3 O c)Tổng quát: a ≥ b ⇔ a ≥ b a a ≤ -b Ví dụ : a ≥ ⇒ a ≥ a ≥ - a ≥ a ≤ ⇔ a ≥ a ≥ a ≤ -3 a < ⇔ a ≥ a ≤ -3 II) Hệ quả: 1) | x | ≥ x € R ; | x | = x = 2) |- x | = | x | 3) - | x | ≤ x ≤ | x | ; x = | x | x ≥ 4) | x | ≥ α > x≥ α x ≤ α 5) | x | ≤ α (α > ) khi - α ≤ x ≤ a 6) | x y | = | x | | y | 7) │x / y │= │- x / y │ 8) │x │2 = x II) Một số tính chất giá trị tuyệt đối: 1) Tính chất 1: a > với ∀a 2) Tính chất 2: a = ⇔ a = 3) Tính chất 3: -a ≤ a ≤ a 4) Tính chất 4: a = -a 5) Tính chất 5: a+b ≤ a +b Dấu “=” xảy a.b ≥ Thật : -a ≤ a ≤ a -b ≤ b ≤ b ⇒ -(a + b) ≤ a+b ≤ a+b ⇒a+b ≤ a +b (đpcm) 6) Tính chất 6: a - b≤ a- b≤ a+b Dấu “=” xảy a.b ≥ Thật : a = a – b + b ≤ a- b + b ⇒ a - b≤ a- b (1) a- b = a + (-b) ≤ a+-b= a+b ⇒ a- b ≤ a+b (2) Từ (1) (2) suy : a - b≤ a- b≤ a+b (đpcm) 7) Tính chất 7: a-b ≤ a ± b Thật : a - b≤ a- b (1) b - a≤ b- a =-(a- b) = a- b ⇒ -(a - b)≤ a- b (2) a-b = a - b -(a - b) (3) Từ (1),(2),(3) suy a-b ≤ a - b (4) a-b = a--b≤ a – (-b) = a + b ⇒ a-b ≤ a + b (5) Từ (4),(5) suy : a-b ≤ a ± b (đpcm) 8) Tính chất 8: a.b = a.b Thật vậy: * a = 0; b = a = 0; b ≠ a ≠ 0; b = ⇒ a.b = a.b * Nếu a>0; b>0 ⇒ a= a; b= b a.b > ⇒ a.b = a.b = a.b ⇒ a.b = a.b * Nếu a ⇒ a.b = a.b = (-a).(-b) = a.b ⇒ a.b = a.b * Nếu a> 0; b ⇒ a= a; b= b ⇒ a >0 b a a a = = b b b * Nếu a< 0; b< ⇒ a= -a; b= -b ⇒ a a −a a = = = b b −b b * Nếu a> 0; b< ⇒ a= a; b= -b ⇒ Vậy : a ⇒ a= -a; b= b ⇒ a >0 b a >0 b a a −a a = = = b b −b b a a = ( b ≠ 0) (đpcm) b b * Phương pháp biến đổi biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối Mục đích biến đổi: Biến đổi biểu thức có chứa giá trị tuyệt đối nhằm thay đổi chúng biểu thức tương đương khơng chứa giá trị tuyệt đối, nói cách khác nhằm loại trừ dấu giá trị tuyệt đối khỏi biểu thức để tiến hành phép tính đại số quen biết Thơng thường ta biểu thức khác nhau( không chứa dấu giá trị tuyệt đối) khoảng khác Phương pháp biến đổi: * Nhị thức ax + b (a ≠ ) dấu với a x > - b/a , trái dấu với a x< - b/a Thật vậy: Gọi x nghiệm nhị thức ax + b x = - b/a Xét :(ax + b) / a = x+ b/a = x – x Nếu x > x x – x > ⇒ :(ax + b) / a > ⇒ ax + b dấuvới a Nếu x < x x – x < ⇒ :(ax + b) / a < ⇒ ax + b trái dấu với a Tam thức bậc hai ax + bx + c ( a ≠ 0) trái dấu với a khoảng hai nghiệm (nếu có), dấu với a trường hợp khác Bài tập áp dụng: Bài 1: Cho x , y hai số thoả mãn xy > tính giá trị biểu thức x y B = (│ xy + + │- │x│) + (│ xy − x y − │-│y│) 2 Giải: Biến đổi B ta có x x Đặt B = (│ xy + + y x 2 y x │ + │ xy − − 2 y y │) ≥ B = (│ xy + + │ + │ xy − − │) – ( │x│+│y│) Tính B ta được: - x2 y2 xy xy x y + + x xy + y xy + + xy − x xy − y xy − + + + │2xy B =xy+ 4 2 4 x+ y 2( y )2│= x2 + 2xy + y2 = ( x+ y)2 ( ( x+ y x+ y x+ y ) ≥ xy nên │2xy -2( ) │= 2xy -2( ) – 2xy) 2 suy ra: B = │x + y│ Vậy B = │x+ y│ - (│x│ + │y│) Mặt khác xy ≥ nên x , y dấu, suy │x + y│ = │x│+│y│ Do : B = Bài :Rút gọn biểu thức sau A= x − + x − 4x + 2x − Giải: TXD: x≠3/2 Ta có : A= x −1 + ( x − 2) = x −1 + x − 2x − 2x − − x + − x − 2x = = −1 Nếu x ≤ ta có : A = 2x − 2x − Nếu 1< x < , x≠3/2 Ta có A= Nếu x ≥ ta có A= x −1+ − x 1 = 2x − 2x − x −1 + x − 2x − = =1 2x − 2x − Tóm lại 1< x < ; x ≥ 2x − A= { − x ≤ ; } Bài 3: Cho a, b,c > 0.Rút gọn biểu thức : C= a + b + c + ac + bc + a + b + c − ac + bc Giải: Vì a, b,c > ta có : C= ( a + b ) + ( a + b ) c + c + ( a + b ) − ( a + b ) c + c ⇔C= ⇔ C= ( a+b + c ) a+b + c + + ( a+b − c ) a+b − c Với a + b + c > nên C = a + b + c + a + b − c Nếu a + b ≥ c ⇒ C = a = b + c + a + b − c = a + b Nếu a + b < c ⇒ C = a + b + c + c − a + b = c Tóm lại : C = {2 a + b a + b ≥ c;2 c a+b < c } 4.Bài tập luyện tập: Bài Rút gọn biểu thức: a) A= 4a − 20a + 25 + 2a − 17 với a < b) B = x − 16 x + 64 − x − x + 16 + x c) C= − 2x − x 2x + + x − d)D = xx−2 x − 5x + e) E = │x│+│x-1│ Bài 2: Cho A(x) = x − 2 x − + x + − x − a) Tìm đoạn [ a, b] cho A có giá trị khơng đổi đoạn b) Tìm x cho A(x) > Bài 3: Rút gọn biểu thức a) A = 2b x − x − x2 −1 1 a b  + với x =   2 b a  1 2b  + a  − 4 a  b) B= c) C = 1 −  2  + a  −1 a   4  y−x xy +  − a  a  với < a < y+x y−x y+x − + + + xy z xy xy z x − 25 Với x > ; y = x + 10 x + 25 ; x x − 25 z= x + 15 x + 25 x−5 NỘI DUNG: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I) Cơ sở lý thuyết: 1) | A(x) | = A(x) A(x) ≥ - A(x) A(x) < A(x) biểu thức đại số 2) Định lí dấu nhị thức bậc ax + b (a≠ 0) Nhị thức bậc ax + b (a≠ 0) : + Cùng dấu với a với giá trị x lớn nghiệm nhị thức + Trái dấu với a với giá trị x nhỏ nghiệm nhị thức Giả sử x0 nghiệm ax + b = Khi đó: - Nhị thức dấu với a với giá trị x > x0 - Nhị thức trái dấu với a với giá trị x < x0 3) Định lí dấu tam thức bậc Xét tam thức bậc 2: f(x) = ax2 + bx + c (a≠ 0) - Nếu ∆ < f(x) dấu với a với x - Nếu ∆ ≥ thì: + f(x) dấu với a với x nằm khoảng hai nghiệm + f(x) trái dấu với a với x nằm khoảng hai nghiệm Hay : - Nếu ∆ < a.f(x)> với x - Nếu ∆ ≥ f(x) có hai nghiệm x1< x2 Với x1 0 * Chú ý: Để giải phương trình chứa ẩn dấu giá trị tuyệt đối cần khử dấu giá trị tuyệt đối Giá trị tuyệt đối biểu thức (nếu giá trị biểu thức khơng âm), biểu thức đối (nếu giá trị biểu thức âm) Vì khử dấu giá trị tuyệt đối biểu thức, cần xét giá trị tuyệt đối biến làm cho giá trị biểu thức không âm hay âm (dựa vào định lí dấu nhị thức bậc định lí dấu tam thức bậc 2) Dấu biểu thức thường viết bảng xét dấu II) Một số phương pháp thường dùng giải phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối: 1) Phương pháp 1: Xét giá trị biểu thức nằm dấu giá trị tuyệt đối a Cơ sở toán học: A(x) A(x) ≥ | A(x) | = - A(x) A(x) < b Ví dụ minh họa Ví dụ : Giải phương trình 2x -1+ x = (1) Giải: + Xét 2x -1 ≥ hay x ≥ ½ (2) Ta có:2x -1= 2x -1 phương trình (1) có dạng: ⇔ 2x – + x = 3x = 10 cách dùng phương pháp chung nói phép biến đổi tương đương Ví dụ 1: Giải bất phương trình x – 1 < Giải: Ta có: x – 1 < ⇔ - < x-1 < ⇔- < x < Ví dụ : Giải bất phương trình 2x – 1 < x Giải: Ta có : 2x – 1 < x ⇔ - x < 2x-1 < x − x < x − ⇔ 2 x − < x  x > ⇔ x < ⇔ < x a b f(x)> g(x) -a a a f ( x ) < − g ( x ) ⇔ f ( x ) > g ( x ) Ví dụ : Giải bất phương trình : 3x -5 > 10 Giải: Ta có : 3x -5 > 10 17 3x − ≥ 10 ⇔ 3x − ≤ 10 x ≥ ⇔ x ≤ −  Vậy nghiệm bất phương trình cho x ≥ x ≤ − Ví dụ 2: Giải bất phương trình x2 -2x- 2≤ Giải: Ta có x2 -2x- 2≤ ⇔ -1 ≤ x2 -2x- ≤ x − 2x − ≥ −1 ⇔ x − 2x − ≤ +) Từ x2 -2x- ≤ ⇔ x2 -2x- ≤ ⇔ -1 ≤ x ≤ +) Từ x2 -2x- ≥ -1 ⇔ x2 -2x- ≥ x ≤ − ⇔  x ≥ + Kết luận: Nghiệm bất phương trình cho là: − ≤ x ≤ − ;1 + ≤ x ≤ III- Một số tập áp dụng: Bài 1: Giải bất phương trình a) 2x -1≤ b) 2x -3-4x 10 Bài : Giải bất phương trình sau: a) 3x-2< b) 3-2x< x+1 c) 3x-1> d) x3 + 1≥ x +1 18 NỘI DUNG: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA CÁC BIỂU THỨC CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I- Cơ sở lí thuyết: Khi giải b tồn tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối cần lưu ý đến bất đẳng thức sau: a) A≥ Đẳng thức xảy A = b) A+B ≤ A +B Đẳng thức xảy A.B≥ c) A-B≤ A+B Đẳng thức xảy A.B≥ d) A-B ≤ A-B Đẳng thức xảy A.B≥ e) A-B≤ A+B Đẳng thức xảy A.B≥ f) A-B≤ A-B Đẳng thức xảy A.B≥ 1) a) Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A khoảng (a,b) cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ rằng: A≥ k (k số) với giá trị biến thuộc khoảng (a,b) - Chỉ trường hợp xảy đẳng thức b) Để tìm giá trị lớn biểu thức A khoảng (a,b) cần chứng minh hai bước: - Chứng tỏ rằng: A≤ k (k số) với giá trị biến thuộc khoảng (a,b) - Chỉ trường hợp xảy đẳng thức * Lưu ý: Khi làm toán tìm Min, Max khơng thiếu bước hai bước II- Một số ý tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức chứa dấu trị tuyệt đối 1) Khi giải toán cực trị, nhiều ta cần xét khoảng giá trị biến, sau so sánh giá trị biểu thức khoảng để tìm giá trị nhỏ nhất, lớn Ví dụ1: Tìm giá trị nhỏ A = x-2 + x-3 Giải: + Xét x < ta có A = 2-x +3-x = 5-2x Do x -4 ⇒A>1 (1) + Xét khoảng 2≤ x≤ ta có A = x-2+3-x = (2) + Xét khoảng x>3 ta có A = x-2+x-3 19 Do x>3 nên 2x>6 ⇒A> (3) So sánh (1),(2),(3) ta có giá trị nhỏ A = 2≤ x ≤ Ví dụ 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x+x-1 Giải: Xét khoảng giá trị biến x x x-1 +Xét khoảng x< ta có B= -x-(x-1) = -2x+1 Do x < ⇒ -2x>0 ⇒ B> 1 + - + + (1) + Xét khoảng 0≤ x ≤ ta có B = x-(x-1) = + Xét khoảng x>1 ta có B = x+x-1 = 2x-1 Do x>1 nên 2x>2 ⇒B>1 (2) (3) So sánh (1),(2),(3) ta thấy MinB = ⇔ 0≤ x≤ Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhât biểu thức M = với x ∈Z x −3 Giải + Xét x> ⇒ M>0 với x >3 + Xét x0 - Dựng phần đồ thị bên trái đối xứng với phần đồ thị bên phải qua trục Oy 2) Ví dụ minh họa Ví dụ:Dựng đồ thị hàm số y = 2x -2 Giải 23 2x − với x≥ Ta có y =2x -2=  − 2x − với x 0 x -2 Với x< hàm số dạng y2 = 2x-2 có đồ thị đối xứng với y qua Oy Đồ thị hàm số y = 2x -2 phần in đậm -4 II- Đồ thị hàm số y = f(x) 1) Cơ sở lý thuyết f(x)≥ f ( x ) + Ta có y = f(x) =  − f ( x ) f(x)