Đang tải... (xem toàn văn)
SKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trìnhSKKN Phương pháp giải một số hệ phương trình
Trường THPT Phan Đình Phùng HỆ PHƯƠNG TRÌNH A ĐẶT VẤN ĐỀ Đổi phương pháp dạy học nhiệm vụ quan trọng giáo viên nay, điều ảnh hưởng lớn đến kết dạy học Để trình dạy học đạt kết tốt, người giáo viên cần trang bị cho học sinh kiến thức vững chắc, bồi dưỡng lực, tu độc lập, tư sáng tạo cho học sinh Muốn vậy, trình dạy học, nội dung kiến thức phải lựa chọn cung cấp cho học sinh từ đến nâng cao, có liên kết có tính kế thừa Đồng thời, người giáo viên phải biết cách định hướng, giúp học sinh chủ động tìm tòi khám phá tìm chất vấn đề Muốn làm tốt điều này, đứng trước toán, giáo viên phải giúp học sinh phân tích xem xét tốn nhiều góc độ khác nhau, kích thích liên tưởng, kết nối kiện yêu cầu toán, toán chưa biết cách giải toán quen thuộc Hệ phương trình phần quan trọng chương trình tốn phổ thơng thường gặp kỳ thi học sinh giỏi, tuyển sinh đại học, cao đẳng Hệ phương trình, đề cập nhiều tài liệu tham khảo với nhiều phương pháp giải đa dạng phong phú Tuy nhiên, đa phần tài liệu thường đưa tập trình bày cách giải, thiếu tính hệ thống, khiến học sinh lúng gặp tốn tương tự tốn có thay đổi kiện Trong nguồn suy nghĩ đó, để giúp học sinh có cách nhìn tổng quan Hệ phương trình, tơi chọn đề tài: Phương pháp giải số hệ phương trình Nội dung đề tài trình bày thành ba phần chính, phần tác giả trình bày theo trình tự: Kiến thức sở, số ví dụ có lời giải cụ thể tập đề nghị Ở ví dụ phần, tác giả dẫn ví dụ “Một số ví dụ hệ phương trình bậc hai hai ẩn, trang 98, sách giáo khoa Đại số 10 nâng cao”, phát triển dần ví dụ mức độ cao với phương pháp giải khác Các ví dụ tác giả tâm trình bày cụ thể, gọn, rõ ràng bước theo sở lý thuyết nhằm giúp học sinh dể hiểu, đặc biệt sau ví dụ có tập tự luyện mà phương pháp tương tự với ví dụ tương ứng nhằm giúp học sinh rèn luyện nắm vũng kiến thức, phương pháp Mặc dù thân cố gắng nhiều viết thiếu sót, mong quý thầy cô bạn bè đồng nghiệp góp ý để viết sửa chữa hồn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà tĩnh, ngày 16 tháng 04 năm 2013 Tác giả Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng B NỘI DUNG I HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Phương pháp: Lấy phương trình rút y theo x (hoặc rút x theo y ) vào phương trình Sau ta phương trình ẩn số Áp dụng phương pháp biết để giải phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình x + y = ( 1) 2 x + y − xy = ( ) (Ví dụ 1, trang 98, sách Đại số 10 nâng cao) - Cơ sở lý thuyết Ta có, ( 1) ⇔ x = − y Thế vào phương trình ( ) , ta ( − 2x) + y − y ( − y ) = ⇔ 10 y − 30 y + 20 = y =1 ⇔ y = - Lời giải x + y = x = − y ⇔ x + y − xy = 10 y − 30 y + 20 = Ta có, 2 x = x = ⇔ y =1 y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 3;1) ; ( 1; ) Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình 3 x − y = 1) 2 3 x + y − xy + x − y = ; x − y = x + + y − = 2) - Nhận xét: Nếu hệ phương trình phương pháp phân tích thành nhân tử phương trình hệ biến đổi tương đương thành tích thừa số dạng ax + by + c Ta đưa hệ phương trình hay nhiều hệ phương trình tương tự Ví dụ từ giải hệ phương trình Ví dụ Giải hệ phương trình y = ( x + ) ( − x + ) ( 1) 2 y − x − xy + 16 x − y + 16 = ( ) Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng - Cơ sở lý thuyết Nếu phương trình dạng ax + bx + c = ( a ≠ ) ( *) có ∆ = b − 4ac = A2 ( *) ⇔ x = −b ± A × Xét phương trình ( ) phương trình bậc hai y x tham số, ta có ( ) ⇔ y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 = ∆ ' = ( x + ) − ( −5 x + 16 x + 16 y ) = ( y ) Do đó, y = −x + y = x + ( 2) ⇔ - Lời giải 2 Ta có, ( ) ⇔ y − ( x + ) y − x + 16 x + 16 = ∆ ' = ( x + ) − ( −5 x + 16 x + 16 y ) = ( y ) Do đó, y = −x + y = x + ( 2) ⇔ Với y = − x + vào phương trình ( 1) ta có ( − x + 4) − x + = = ( 5x + 4) ( − x + 4) ⇔ − x + = 5x + x = ⇔ x = x = x = nghiệm hệ y = y = Do đó, Với y = x + vào phương trình ( 1) ta có ( 5x + 4) 5 x + = = ( 5x + 4) ( − x + 4) ⇔ 5 x + = − x + 4 x=− ⇔ x = x = x = − nghiệm hệ Do đó, y = y = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ ( 0; ) ; ( 4;0 ) ; − ;0 ÷ Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình x = ( y − ) ( −2 y + ) 2 x − y − xy + x − 11y + 10 = - Nhận xét: Đối với hệ phương trình Ví dụ ta thay phương trình ( ) phương trình chứa sau ta phương trình vơ tỷ Ví dụ Giải hệ phương trình xy + x + y = x − y ( 1) x y − y x − = x − y ( ) (Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối D năm 2008) - Lời giải Ta có, xy + x + y = x − y ⇔ x − xy − y − x − y = ⇔ ( x + y ) ( x − y − 1) = x = −y ⇔ x = y +1 Với x = − y, vào phương trình ( ) ta có y = − y y − y − y − = −4 y ⇔ y + − y − = ⇔ y = Do đó, x = y = nghiệm hệ Với x = y + 1, vào phương trình ( ) ta có ( y + 1) y ≥ y − y y = y + ⇔ y + = y = ⇔ y = x = nghiệm hệ y = Do đó, Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 5; ) } Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng xy − x + y = x − y ; 1) ( x + 1) y − y x = x − y + x − y − xy − x + 11y − = 2) x − y + + x + y − = x + y − - Nhận xét: Một hệ phương trình gồm phương trình đa thức phương trình chứa thức, thơng thường phương trình đa thức đưa phương trình tích biểu thức bậc Ví dụ Giải hệ phương trình 6x x+ y + = 6x x+ y x + y − xy = - Lời giải 6x , ta có phương trình(1) trở thành x+ y Đặt u = u+ = ⇔ 2u − 5u + = u u = ⇔ u = Với u = 2, suy y = 2x 6x 6x =2⇔ =4⇔ x+ y x+ y x ≠ Thế y = x vào phương trình (2) ta có phương trình x − x = ⇔ x − x + = (vô nghiệm) Với u = , suy y = 23x 6x 6x = ⇔ = ⇔ x+ y x+ y x ≠ Thế y = 23x vào phương trình (2) ta có phương trình 24 x − 23 x = ⇔ 23 x − 24 x + = (vơ nghiệm) Vậy hệ phương trình vơ nghiệm Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình x+ y x− y +3 =4 x+ y ; 1) x − y 2 x + y + 4x − y = x y −1 −3 = −1 2 y − x ; 3) x + y − + x − y + 12 = Thái Anh Tuấn x +1 y + = x +1 ; 2) y x + y + xy = x − y − xy = 4) x − − y − = Trường THPT Phan Đình Phùng - Nhận xét: Có thể nhìn nhận ví dụ với phương pháp chung là: Từ phương trình hệ phương pháp ta rút x theo y dạng x = ay + b vào phương trình lại hệ, từ phương pháp giải phương trình Có nhiều tốn ban đầu khơng có dạng nói phương pháp đổi biến ta đưa hệ cho hệ có dạng để giải Ví dụ Giải hệ phương trình x ( x + y + 1) − = ( x + y ) − + = x (Đề tuyển sinh Đại học khối D năm 2009) Lời giải Ta có, x ( x + y + 1) − = x + y − +1 = ( 1) x ⇔ ( *) 5 x + y − + = ( ) ( x + y ) − + = ( ) x2 x2 x + y = u , điều kiện v ≠ Đặt x = v Hệ phương trình trở thành u − 3v + = u = 3v − ⇔ 2 u − 5v + = 4v − 6v + = u = u = ⇔ v = v = × x + y = u = x = , ta có ⇔ Với v = y = x = 1 u = , ta có Với v = x = x + y = ⇔ 1 = y = − x Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ∈ ( 1;1) ; 2; − ÷ Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng - Nhận xét: Ta rút x + y phương trình ( 1) vào phương trình ( 2) đưa phương trình bậc hai ×Do ta giải Ví dụ x sau: Lời giải x ( x + y + 1) − = x + y − +1 = ( 1) x ⇔ ( x + y ) − + = ( x + y ) − + = ( ) x x2 Ta có, x Từ phương trình ( 1) hệ ( *) ta có, ( 1) ⇔ x + y = − , vào phương trình ( 2) ta é1 ê =1 5 êx +1- +1 = Û - + + = Û ê Û x x x x ê1 ê =ê ëx éx = ê ê êx =- × ê ë Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) ∈ ( 1;1) ; 2; − ÷ Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình x + + y + xy = y ; 2) y x + y − = 1+ x xy + x + = y ; 1) 2 x y + xy + = 13 y x − xy + x + y = ; 3) 2 x − x y + x + y = x + y + xy + = y 4) 2 y ( x + y ) = x + y + - Nhận xét: Nếu hai phương trình hệ chứa biểu thức ta dùng phương pháp cách rút biểu thức từ phương trình đơn giản vào phương trình lại Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x + x y + x y = x + ( *) x + xy = x + (Đề tuyển sinh Đại học, Cao đẳng khối B năm 2008) Lời giải Ta có, ( x + xy ) = x + ( 1) ( *) ⇔ x2 xy = − + 3x + ( ) Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng Thế xy = − x2 + 3x + vào phương trình ( 1) , ta 2 x2 + 3x + ÷ = x + ⇔ x + 12 x + 48 x + 64 x = ⇔ x ( x + 4) = x = ⇔ x = −4 Với x = 0, khơng thoả mãn phương trình ( ) Với x = −4, thay vào phương trình ( ) , ta có y = Vậy hệ phương trình ( *) có nghiệm ( x; y ) = 4; 17 ì 17 ữ 4 Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình x ( y + 1) ( x + y + 1) = 3x − x + 1) xy + x + = x Hướng dẫn: Thế y + từ phương trình (2) vào phương trình (1) x − xy + 2000 y = 2) y − yx − 500 x = Hướng dẫn: Thế x − y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta có x2 = y2 x + y − xy = 3) 2 x + + y + = Hướng dẫn: Bình phương phương trình (2) sau x + y phương trình (1) vào ta phương trình ẩn xy x y + xy = x + y 4) 7 y + = x + x Hướng dẫn: Rút y từ phương trình (1) vào phương trình (2) ta phương trình tích với nhân tử chung x + 2, x − II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I ìï f ( x, y ) = ï Dạng hệ phương trình: íï ïỵ g ( x, y ) = Phương pháp giải hệ bản: Thái Anh Tuấn ìï f ( x, y ) = f ( y, x ) ï í ïï g ( x, y ) = g ( y , x ) ỵ Trường THPT Phan Đình Phùng ïì S = x + y ( *) +) Đặt: ïíï ïỵ P = xy ìï F ( S , P ) = ï ( I) +) Đưa hệ cho hệ theo S P : íï ïỵ G ( S , P ) = +) Giải hệ ( I ) tìm S P +) Khi x, y có nghiệm phương trình X - SX + P = Ví dụ Giải hệ phương trình x + xy + y = xy + x + y = (Ví dụ 2, trang 98, sách Đại số 10 nâng cao) Lời giải Đặt x + y = S , xy = P Hệ phương trình trở thành S = S − P = P = − S P = ⇔ ⇔ S = −3 S + P = S + S − = P = S = , ta có x, y hai nghiệm phương trình P = Với X = X − 2X = ⇔ X = Do đó, ( x; y ) ∈ { ( 0; ) ; ( 2;0 ) } nghiệm hệ S = −3 , ta có S < P (loại) P = Với Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 0; ) ; ( 2;0 ) } Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình x + y + xy = 1) 2 x + y + xy = x + y + xy = 4) 3 x + y = x y + xy = 30 2) 3 x + y = 35 x + xy + y = x + xy + y = −3 5) xy ( x − y ) = −2 3) 3 x + y = x + 3xy + y = + 6) 2 x + y = - Nhận xét: Áp dụng phương pháp ta dễ dàng giải hệ phương ìï u + v = ( *) Bây ta thay u = x - 2, v = y - biến đổi ta trình: ïíï ïỵ uv + ( u + v ) = Thái Anh Tuấn Trường THPT Phan Đình Phùng đưa hệ ( *) hệ phương trình phức tạp mà bạn đọc tiếp cận mà khơng phát điều việc giải tốn vơ khó khăn Ví dụ Giải hệ phương trình 2 x − x + y − y + = 2 x y + x + y − 22 = - Lời giải 2 2 x − x + y − x + = ( x − ) + ( y − 3) = ( I) ⇔ 2 x y + x + y − 22 = ( x − ) ( y − 3) + ( x − ) + ( y − 3) − = Đặt u = x − 2; v = y − , điều kiện u ≥ −2 Hệ phương trình ( I ) trở thành u + v = ( u + v ) − 2uv = ⇔ ( II ) uv + ( u + v ) = uv + ( u + v ) = Đặt u + v = S ; uv = P hệ ph ( II ) trở thành S − 2P = S + 4P = ⇔ P + 4S = S + 8S − 20 = S = S = −10 (loại đk) ⇔ P = P = −48 S = , ta có ( u; v ) ∈ { ( 2;0 ) ; ( 0; ) } P = Với x2 − = u = x = ±2 ⇔ Với , ta có v = y = y −3 = x = ± x2 − = u = ⇔ Với , ta có y = v = y −3 = { } Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ ( 2;3) ; ( −2;3) ; ( 2;5 ) ; ( − 2;5 ) - Nhận xét: Như hệ phương trình phức tạp ta hướng chuyển hệ quen thuộc Sau xin đưa vài ví dụ: Ví dụ Giải hệ phương trình x+ + x+ y −3 = y ( *) 2 x + y + = y Lời giải Thái Anh Tuấn 10 Trường THPT Phan Đình Phùng y Đặt u = x + ; v = x + y − 3, hệ phương trình ( *) trở thành u + v = u + v = ⇔ 2 uv = u + v = u = u = ⇔ v = v = u = , ta có v = Với 1 x + =1 x + =1 y y ⇔ x + y − = x + y −3 = y2 − y −1 = ⇔ x = − y x = − 10 x = + 10 ⇔ y = + 10 y = − 10 u = , ta có v = Với 1 x+ =4 x+ =2 y y ⇔ x + y − = x + y −3 =1 y2 −1 = ⇔ x = − y x = x = ⇔ y =1 y = −1 Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) Ỵ {( 3;1) ;( 5; - 1) ; ( - 10;3 + 10 ) ; ( + 10;3 - 10 ) } Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình xy − x − y = 16 ; 1) 2 x + y − x − y = 33 x + y + x + y − = 2) ( x + 1) + y = 16 Ví dụ Giải hệ phương trình Thái Anh Tuấn 11 Trường THPT Phan Đình Phùng 8 x y + 27 = 18 y ( *) 2 x y + x = y Lời giải 27 8 x + y = 18 Ta có, ( *) ⇔ x + x = y y2 2 x = u Đặt = v, hệ trở thành y u + v = 18 ( u + v ) = 27 ⇔ uv ( u + v ) = uv ( u + v ) = u + v = ⇔ uv = 3+ 3− u = u = 2 ⇔ v = − v = + × 2 Do hệ phương trình ( *) có nghiệm ( x; y ) ∈ 3− + ; ; ; ÷ ÷ 3− ÷ 3+ ÷ Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình 2 x y + y + xy + x = 18 xy 1) 2 2 x y + y + x y + x = 208 x y Hướng dẫn: Chia Phương trình (1) cho xy ; phương trình (2) cho x y ta hệ phương trình đối xứng loại I 27 x y + 125 = y 2) 2 45 x y + 75 x = y Hướng dẫn: Phương trình (1) chia cho y 3; phương trình (2) chia cho y3 sau đặt u = 3x v = y đưa hệ đối xứng loại I Thái Anh Tuấn 12 Trường THPT Phan Đình Phùng - Nhận xét: Nhiều lúc gặp tốn hệ phương trình dạng ( II ) để biều diễn theo S = x + y P = xy ta phải thơng qua bước biến đổi Bài tốn sau ví dụ: Ví dụ Giải hệ phương trình x + y − xy = x + + y + = (Đề Đại học, Cao đẳng khối A năm 2006) - Lời giải x ≥ −1 Điều kiện: y ≥ −1 xy ≥ x + y − xy = x + y − xy = ⇔ x + + y + = x + y + xy + x + y + = 14 x + y = S , hệ phương trình ( *) trở thành xy = P Đặt S − P = ( 1) S + S + P + = 14 ( ) Ta có, S ≥ ( 1) ⇔ P = S − 6S + ( 3) Thế ( 3) vào ( ) , ta S + S − 5S + 10 = 14 ⇔ S − 5S + 10 = 14 − S S ≤ 14 S =6 ⇔ S = − 51 ⇔ S = (thoả mãn đk S ≥ ) Với S = ⇒ P = 9, ta có x + y = ⇔ x = y = xy = Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) = ( 3;3) Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình Thái Anh Tuấn 13 Trường THPT Phan Đình Phùng ( ( x + y ) = 3 x y + xy x + y = 10 x + y = ; 2) ; 3) 1) x + + y + = 14 x + + y + = x + y = II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II ìï f ( x, y ) = ( 1) ï ( *) Dạng hệ phương trình: íï ïỵ f ( y, x ) = ( 2) Phương pháp giải hệ đa thức: +) Lấy ( 1) trừ ( 2) vế với vế ta có f ( x, y ) - f ( y, x ) = Û ( x - y ) h ( x, y ) = éx = y Û ê êh ( x, y ) = ë +) Kết hợp với mơt phương trình hệ giải tiếp Ví dụ Giải hệ phương trình x − x = y ( 1) (Ví dụ 3, trang 99, sách Đại số 10 nâng cao) y − y = x ( ) - Lời giải Lấy phương trình ( 1) trừ phương trình ( ) vế với vế ta có x = y x − y − x + y = y − x ⇔ ( x − y ) ( x + y − 1) = ⇔ x = − y y=0 y = Với x = y, vào phương trình ( ) ta có y − y = ⇔ Do đó, ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 3;3) } nghiệm hệ 1± Với x = − y, vào phương trình ( ) ta có y − y − = ⇔ y = −1 − + −1 − + ; ; ÷; ÷ nghiệm hệ ÷ ÷ Do đó, ( x; y ) ∈ −1 − + −1 − + ; ; ÷; ÷ ÷ ÷ Vậy hệ có nghiệm ( x; y ) ∈ ( 0;0 ) ; ( 3;3) ; Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình Thái Anh Tuấn 14 ) Trường THPT Phan Đình Phùng x − y + = 1) y − x + = x + xy = x + y 2) y + xy = y + x x + x = y 3) y + y = x Ví dụ Giải hệ phương trình y2 + y = x2 3 x = x + y2 (Đề ĐHCĐ khối A năm 2006) - Lời giải x > ( *) y > Từ hệ phương trình cho ta có: Do đó: y2 + y = 2 x2 3 x y = y + ( 1) ⇔ 2 3 x = x + 3 xy = x + ( ) y2 Lấy ( 1) trừ ( ) với vế ta có x y − xy = y − x ⇔ ( x − y ) ( 3xy + x + y ) = ⇔ x = y (do ( *) ) Với x = y, vào phương trình ( 1) ta có x − x − = ⇔ ( x − 1) ( x + x + ) = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình 3y2 + y = x2 1) 5 x = x + y2 - Nhận xét: Tương tự với nội dung trước, nhiều lúc gặp tốn hệ phương trình dạng ( III ) sử dụng phương pháp thơng thường việc xử lý phức tạp Trong vài kỷ thuật nhỏ ta đưa tốn toán quen thuộc Bài toán sau ví dụ: Ví dụ Giải hệ phương trình Thái Anh Tuấn 15 Trường THPT Phan Đình Phùng 1 + 2− = y x 1 + 2− = x y - Lời giải Đặt =u x , điều kiện: =v y 0 < u ≤ 0 < u ≤ Hệ phương trình trở thành u + − v = ( 1) v + − u = ( ) Lấy ( 1) trừ ( ) với vế ta có u − v2 u + − v2 − v − − u = ⇔ u − v + − v2 + − u =0 (do u = v = không nghiệm hệ) u+v ⇔ ( u − v ) 1 + − v2 + − u ÷= ⇔ u = v (do ( *) ) Với u = v vào phương trình ( 1) ta có u + − u = ⇔ − u = + u + 4u ⇔ u − 2u + = ⇔ u = Với u = v = 1, ta có: =1 x x = ⇔ y = =1 y Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 1;1) Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình x + x = y y + y = x - Nhận xét: Nhiều lúc với toán đặc biệt phương pháp khơng mẫu mực việc giải tốn đơn giản Sau vài ví dụ: Thái Anh Tuấn 16 Trường THPT Phan Đình Phùng Ví dụ Giải hệ phương trình xy = x2 + y x + x − 2x + xy y + = y + x y − 2y + Lời giải Cộng hai phương trình hệ vế theo vế ta có xy x − 2x + 2 + xy y − 2y + 2 ⇔ xy + x −1 +1 ) ( = x2 + y ÷ = x + y ( *) y − 1) + ÷ ( Từ phương trình ( *) ta có: ( x; y ) nghiệm hệ phương trình xy ≥ Do + +) xy x − + ( ) ÷ ≤ xy y − 1) + ÷ ( +) x + y ≥ xy xy + Bởi vậy, ( *) ( x − 1) + x + y = xy ÷ = xy x = y = ÷ ⇔ x = y = y − 1) + ( x = y = Thử lại ta có thoả mãn hệ phương trình cho x = y = Vậy hệ có hai nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 1;1) } Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình xy x + = x2 + y x − 2x + xy 3 y + = y + x y − 2y + Ví dụ Giải hệ phương trình + x + 11 − y = + y + 11 − x = Lời giải Thái Anh Tuấn 17 Trường THPT Phan Đình Phùng Cộng hai phương trình hệ vế theo vế ta có + x + 11 − x + + y + 11 − y = 12 ( *) Áp dụng bất đẳng thức Bunyakovsky ta có ( + x + 11 − x ) ≤ ( + x + 11 − x ) = 36 ⇒ + x + 11 − x ≤ Tương tự ta có + y + 11 − y ≤ Do đó, + x + 11 − x + + y + 11 − y ≤ 12 Bởi vậy, ( *) + x + 11 − x = 7 + x = 11 − x ⇔ ⇔ 7 + y = 11 − y + y + 11 − y = x = ⇔ y = Thử lại ta có x = y = thoả mãn hệ phương trình cho Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình x + − y = ; 1) y + − x = x + + − y = 2) y + + − x = Ví dụ Giải hệ phương trình x3 + = ( x − x + y ) ( *) y + = ( y − y + x ) Lời giải Ta có, 2 y = x − x + x + ( *) ⇔ 2 x = y − y + y + Xét hàm số f ( t ) = t − 2t + 2t + Tập xác định: ¡ f ' ( t ) = 3t − 4t + > ∀t ∈ ¡ Suy ra, f ( t ) đồng biến ¡ Do đó, x = y x = y ⇔ x +1 = 2x x − 2x + = ( *) ⇔ Thái Anh Tuấn 18 Trường THPT Phan Đình Phùng x = y ⇔ ( x − 1) ( x − x − 1) = x = y x = ⇔ 1+ x = 1− x = × Vậy hệ phương trình có ba nghiệm + + − − ; ; ÷; ÷ ÷ ÷ ( x; y ) ∈ ( 1;1) ; Bài toán tương tự: Giải hệ phương trình x + x = y y + y = x Ví dụ Giải hệ phương trình x + − y = ( 1) y + − x = ( ) Lời giải Lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) vế với vế ta có x + 2− y − y − 2− x = ⇔ x− 2− x = Xét hàm số f (t ) = t − − t Hàm số liên tục đoạn [ 0; 2] f '( t ) = t + > ∀t ∈ ( 0; ) 2−t Suy ra, hàm số đồng biến đoạn [ 0; 2] Do đó, ( *) ⇔ x = y Với x = y, vào ( 1) ta có x + − x = ⇔ + x ( − x) = ⇔ x ( − x) = Thái Anh Tuấn 19 y − − y ( *) Trường THPT Phan Đình Phùng x = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có hai nghiệm ( x; y ) ∈ { ( 0;0 ) ; ( 2; ) } Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình + x + 11 − y = 1) + y + 11 − x = x + + − y = x + + − y = ; 3) y + + − x = y + + − x = ; 2) - Nhận xét: Đối với phương trình dạng f ( x) = f ( y ) , f ( t ) hàm số đơn điệu D phương trình f ( x) = f ( y ) với x, y Ỵ D tương đương với x = y Sau số tốn dạng này: Ví dụ Giải hệ phương trình y + y = x3 + 3x + x + ( 1) − x − y = − y − ( ) Lời giải Ta có, ( 1) ⇔ y + y = ( x + 1) + ( x + 1) Xét hàm số f (t ) = t + t Tập xác định ¡ f ' ( t ) = 3t + > ∀t ∈ ¡ Suy ra, hàm số f ( t ) đồng biến ¡ Do đó, ( 1) ⇔ x + = y Với y = x + 1, vào ( ) ta có − x2 − x + = − x −1 ⇔ − x2 − ( ) x + + − x + = ( 3) Giải phương trình ( 3) : Điều kiện: −1 ≤ x ≤ Đặt + x + − x = t ⇒ − x = t2 − 2 Phương trình ( 3) trở thành t = t2 − − t + = ⇔ t − 2t = ⇔ t = Với t = , ta có + x + − x = ⇔ + − x = (vô nghiệm) Thái Anh Tuấn 20 Trường THPT Phan Đình Phùng Với t = , ta có + x + − x = ⇔ + − x = ⇔ − x2 = ⇔ x = Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) = ( 0;1) Bài tốn tương tự: Giải hệ phương trình x − x − x + 22 = y + y − y 1) 2 x + y − x + y = (Đề tuyển sinh Đại học khối A A1 năm 2012) Hướng dẫn: ( x − 1) − 12 ( x − 1) = ( y + 1) − 12 ( y + 1) ( 1) x − x − x + 22 = y + y − y 2 ⇔ 1 3 x + y − x + y = ( 2) x + ÷ + y + ÷ = 2 2 3 3 £ x - 1£ - £ y +1 £ sau 2 2 1ù ; ú 2ú û Từ phương trình ( 2) đánh giá é xét hàm số f ( t ) = t - 12t đoạn ê ê ë ( x + 1) x + ( y − 3) − y = 2) 2 x + y + − x = Hướng dẫn: Từ phương trình(1) biến đổi dạng f ( x ) = f − y , với f (t ) = ( t + 1) t ( − x ) − x − y y − = 3) 2 − x − ( y − 1) = Hướng dẫn: Từ phương trình (1) biến đổi dạng f ( − x ) = f ( y − ) với f ( t ) = ( + t ) t x + xy = y10 + y 4) x + + y + = x Hướng dẫn: Chia phương trình (1) cho y biến đổi dạng f ÷ = f ( y ) y với f ( t ) = t + t Thái Anh Tuấn 21 Trường THPT Phan Đình Phùng x− y x+ y e + e = ( x + 1) 5) x + y e = x − y + x + y = u đưa phương trình (1) dạng f ( u ) = f ( v ) với x − y = v Hướng dẫn: Đặt f ( t ) = et + t Thái Anh Tuấn 22 Trường THPT Phan Đình Phùng C KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I Kết thực nghiệm sư phạm Với cách định hướng hệ thống ví dụ, tập tác giả áp dụng giảng dạy cho đối tượng khác nhau, tuỳ đối tượng để đưa ví dụ, tập thích hợp mà đối tượng lĩnh hội kiến thức dần phát triển tư sáng tạo cho học sinh Cách phân dạng tập giúp học sinh dể hiểu, định hướng vấn đề, giải vấn đề cách lôgic Học sinh vận dụng làm tốt số đề thi đại học, cao đẳng đề thi học sinh giỏi phần II Kết luận chung Các toán hệ phương trình loại tốn khó, đòi hỏi tư cao Vì vậy, trình giảng dạy, giáo viên cần phải phân dạng tập cách có hệ thống trình bày rõ ràng Đề tài kinh nghiệm nhỏ, kết nghiên cứu cá nhân Trong khn khổ đề tài trình bày phần toán thường xuất đề thi Học sinh giỏi đề thi Đại học, Cao đẳng hàng năm tốn hệ phương trình Xét thấy, phạm vi đề tài mở rộng, phát triển cách phân tích ví dụ, tập để đưa tập tương tự tập mức độ cao ví dụ dạng hệ phương trình đẳng cấp Ta theo hướng toán khác Xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp quan tâm giúp đỡ trình thực đề tài./ Thái Anh Tuấn 23 ... I HỆ PHƯƠNG TRÌNH GIẢI BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ Phương pháp: Lấy phương trình rút y theo x (hoặc rút x theo y ) vào phương trình Sau ta phương trình ẩn số Áp dụng phương pháp biết để giải phương trình. .. với phương pháp chung là: Từ phương trình hệ phương pháp ta rút x theo y dạng x = ay + b vào phương trình lại hệ, từ phương pháp giải phương trình Có nhiều tốn ban đầu khơng có dạng nói phương pháp. .. y − - Nhận xét: Một hệ phương trình gồm phương trình đa thức phương trình chứa thức, thơng thường phương trình đa thức đưa phương trình tích biểu thức bậc Ví dụ Giải hệ phương trình 6x x+ y