SKKN-Sử dụng hằng đẳng thức để giải pt

Phòng giáo dục nam đàn =====***===== GIáo viên: dơng ngọc hà T: 0984.919.981 & 0386.584.676 Trờng ptcs nam thợng đề tài: Sử dụng đẳng thức (A
B)B)2=A
B)22A
B)B+B2 để giảI phơng trình Nm hc 2009-2010 Phòng giáo dục nam đàn =====***===== đề tài: Sử dụng đẳng thức (A
B) B)2=A
B)2 2A
B)B+B2 để giảI phơng trình GIáo viên: dơng ngọc hà T: 0984.919.981 & 0386.584.676 Trờng ptcs nam thợng Nm học 2009-2010 MỤC LỤC Nội dung Trang Lời nói đầu Lí chọn đề tài ……………………………………………… Nội dung đề tài Kết luận 17 Tài liệu tam khảo 19 Lời nói đầu Trong phong trào thi đua phát huy sáng kiến, hẳn biết có nhiều cán bộ, công nhân, nhân dân lao động tuổi nghề cha cao, tuổi đời trẻ nhng suy nghĩ, tìm tòi đà có sáng kiến tiết kiệm cho nhà Nớc hàng chục tỉ đồng Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo Trong dạy học toán vậy, không dạy cho học sinh y nh sách, chØ cho häc sinh lµm mét sè bµi tËp lÊy từ sách Nh cha đủ, dạy học đến phần ta phải suy nghĩ tìm tòi, suy rộng vấn đề có liên quan đến vấn đề khác sở liên quan rút điều bổ ích Trong dạy học toán nã cịng gièng nh ®êi sèng nãi chung, cã vấn đề tởng chừng nh đà quen thuộc, ta tởng nh chúng đà tõ ràng đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực chứa đựng vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ nhiều điều đáng ý, đáng nghiên cứu Thí dụ nh chơng trình đại số cấp THCS có quen thuộc " Bảy đẳng thức" !? ứng dụng không nhỏ Tuy nhiên có ứng dụng mà ta cha may may nghÜ tíi, cịng cã thĨ ®· nghÜ tới, đà sử dụng nhng cha phát huy hết tác dụng Trong khuôn khổ sáng kiến xin giới thiệu ứng dụng hai đẳng thức dó "Sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phơng trình" Mặc dầu trình tìm tòi đà cố gắng chọn lọc số ví dụ cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng không tránh khỏi sai sót, mong đồng chỉ, đồng nghiệp góp ý, bảo A/ lí chọn đề tài đề tài Trong chơng trình toán THCS, bảy đẳng thức có tầm quan trọng đặc biệt, đặc biệt hai đẳng thức đầu tiên: (A B)2=A2 2AB+B2 Nó giúp cho chúng phơng pháp tính nhanh, mét phÐp biÕn ®ỉi ®Ĩ rót gän mét biĨu thøc, hay sử dụng chúng để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhấtmà cho ta ứng dụng độc đáo giải phơng trình phơng trình mà tởng chừng nh học sinh THCS giải mà biết vận dụng hai đẳng thức việc giải phơng trình lại không khó khăn Tuy nhiên ứng dụng hai đẳng thức vào giải phơng trình cha đợc đa vao dạy cụ thể chơng trình khoá, song không tập SGK ( Sách giáo khoa) đà buộc học sinh phải sử dụng chúng giải đợc Tuy ứng dụng hai HĐT tập SGK dừng lại mức độ đơn giản mà HS mức trung bình mà ý đà phát Hơn cha có tài liêu giới thiệu cho giáo viên HS phơng pháp biến đổi để ứng dụng hai HĐT vào giải phơng trình, lúc chơng trình toán THCS, giải phơng trình lại dạng toán khó, thờng gặp kì thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Mặc dầu đà có nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy phơng trình bậc hai Trong nhiều PT biết sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn hiệu Chính lẽ đà rút đợc số dạng biến đổi mà sử dụng hai đẳng thức vào giải số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy Sau nhiều năm đa ứng dụng vào giải phựơng trình thấy việc sử dụng HĐT (A B)2=A2 2AB+B2 vào giải phơng trình có nhiều u việt là: Biến đổi ngắn gọn, học sinh dễ tiếp thu vận dụng số học sinh giải đợc nhiều PT khó kỳ thi ngày tăng, xin phép giời thiệu số dạng PT thựôc loai hy vọng giúp ích đợc cho quý đồng nghiệp trình dạy học B/ nội dung đề tài i/ Mục đích nghiên cứu đề tài Tác giả muốn đa sáng kiến với mục đích giúp cho học sinh đồng nghiệp có số cách vận dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phơng trình Thông qua ví dụ cụ thể bạn đọc vận dụng phơng pháp nêu vào toán cụ thể ii/ sở phơng pháp nghiên cứu Trên sở phơng pháp dạng toán thờng gặp chơng trình toán THCS sáng kiến có nhiệm vụ tổng hợp phơng pháp có cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm phơng pháp mẻ mà phơng pháp cũ giải đợc sử dụng phơng pháp sẵn có làm cho toán trở nên phức tạp Đồng thời tác giả đa vài phơng pháp lạ, có khó học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh tham khảo Iii/ Thực trạng Trong chơng trình toán THCS, toán giải phơng trình ( toán tìm x, y, a, b,) lại dạng toán th ờng đà có thuật toán giải, nhng có toán giải phơng trình không đợc trang bị số phơng pháp giải học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải, đặc biệt kì thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Mặc dầu đà có nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy phơng trình bậc haiTrong nhiều PT biết sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn hiệu Chính lẽ đà rút đợc số dạng biến đổi mà sử dụng hai đẳng thức vào giải số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phơng trình " chủ yếu khai thác, nghiên cứu dạng toán phơng pháp giải dành cho đối tuợng học sinh THCS, nhiên phơng pháp áp dụng cho đối tợng học sinh THPT Đồng thời tác giả mạnh dạn nêu vài phơng pháp tơng đối khó áp dụng cho học sinh phổ thông nhng biết cách vận dụng phù hợp chắn giúp giải số toán gải phơng trình mà sử dụng phơng pháp khác cha hẳn đà giải đợc Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên cứu dạng biến đổi phơng trình để vận dụng đợc hai HĐT phục vụ cho GPT PT cụ thể từ rút dạng biến đổi Do việc biến đổi củ PT khác khác nên thân rút công thức , hay phơng pháp cụ thể áp dụng cho tất phơng trình dạng mà thông qua phơng trình cụ thể đẻ đồng nghiệp HS có cách nhìn phù hợp giải tơng tự Tuy nói việc vận dụng hai HĐT (A B)2=A2 2AB+B2 vào giải phơng trình làm cho cách giải dễ dàng đơn giản hơn, nhng để có cách cách biến đổi phù hợp đòi hỏi HS phải có khả t duy, phân tích tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao dạng toán nên áp dụng cho đối tợng HS giỏi cuối cấp THCS ôn tập cho HS đà có kỹ giải PT đơn giản Iv/ biện pháp đà tiến hành Đề tài " Sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phơng trình " đợc nghiên cứu dựa dạng tập thờng gặp, thông qua tìm tòi sáng tạo thân đà vËn dơng vµ híng dÉn häc sinh khèi 8;9 vËn dụng vào toán tuơng tự từ rút dạng toàn sau: Dạng 1: Phơng trình quy vỊ d¹ng (A
B) B)2 =  (A
B) B) = Dạng 2: Phơng trình quy dạng (A
B) B) = (C D) 2   A B C D  A B  (C D ) Dạng 3: Phơng trình quy dạng (A
B) B )2 + (C D )2 + (E F)2 =   A  C E  B D F 0 Dạng Nghiệm nguyên quy dạng (A
B) B)2 p với A
B),B số nguyên p nguyên dơng Dạng 1:Phơng trình quy dạng (A B)2 =  (A B) = VÝ dụ 1: Giải phơng trình sau: x2( x4 - )( x2 + ) + = (1) Lời giải: Phơng trình (1) x2( x2 +1) ( x2 - 1) ( x2 + 2) + =  ( x4 + x2 )( x4 + x2 - 2) + =  ( x4 + x2 )2 - 2(x4 + x2 ) + =  ( x4 + x2 - 1)2 = x4 + x2 - = Đây phơng trình trùng phơng quen thuộc mà ta đà có phơng pháp giải Đặt x2 = t điều kiện t Lúc ta có phơng trình bậc hai Èn t nh sau: t2 + t - = t = 12 - 4.1.(-1) = t1 =  1  1 > ( Thảo mÃn điều kiện); t2 = < ( loại không thoả mÃn điều kiện t > ) Lúc đặt x2 = t nªn ta cã x2 =  1  x= Vậy phơng trình đà cho cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1=  1 ;  1 x2 = - VÝ dụ Giải phơng trình: x 22 +  x 1  20   x2     x  1  x2    x 1 - 20  = (2) Lời giải: Điều kiện x Đặt x  2   =y  x 1  ;  x2  =  x 1 z lóc phơng trình (2) có dạng 20y2 + 5z2 - 20yz =  x  2   x 1   5(2y - z)2 =  2y = z dÉn ®Õn  = x2 x  2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )  2x2 - 6x + = x2 + 3x +  x2 - 9x + = Ta dễ dàng tìm đợc x1 = 73 ; x2 = 9 73  73 Vậy phơng trình (2) cố tập nghiệm ; 9 73  VÝ dơ 3: Gi¶i phơng trình: x2 + = x (3) Lời giải: Điều kiện: x Thêm bớt x vế trái (3) để xuất đẳng thức, lúc (3) x+1 + x2 - x + - ( x  1)( x  x  1) = ( x 1 ) -2 ( x  1)( x  x  1) +( x  x 1 ) (  )2 = x 1 - x  x 1 = x  x 1 x 1  x + = x2 - x +  x2 - 2x =  x1 = vµ x2 = ( thảo mÃn điều kiện) Vậy tập nghiệm PT(3) là: 0;2 Dạng Phơng trình quy dạng (A B)2 = (C D)2   A B C D  A B  (C D )  VÝ dụ : Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (4) Lời giải: Thêm 4x2 + vào hai vế phơng trình (4) ta đợc: x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36  ( x2 + 2)2 = ( 2x + )2   x  2 x    x   (2 x  6)   x  x  0(i )   x  x 8 0(ii ) Phơng trình (i) có hai nghiệm phân biệt x = Phơng trình (ii) vô nghiệm Vậy tập nghiƯm cđa PT (4) lµ: 1  ; 1+ Dạng Phơng trình quy dạng (A B )2 + (C D )2 + (E F)2 =   A  C  E VÝ dụ 5: Giải phơng trình: x + y + z + = Lời giải: Điều kiện x ; y 3 ; z 5 x B D F +4 y 0 0 0 +6 z (5) PT(5)  x-2-2 x  +1 +y - - y  + + z - - z  + =  ( x  - 1)2 + ( y  - 2)2 + ( z  - )2 = Vế trái phựơng trình tổng ba biểu thức không âm nên b»ng vµ chØ khi:   x   y  z         x y z        4 9     0 0 0  x   y  z          x y z     2 3 14 10 (Thoả mÃn điều kiện), nghiệm phơng trình là: (x,y,z)=(3,7,14) Dạng Nghiệm nguyên quy dạng (A B)2 p với A,B số nguyên p nguyên dơng Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: 2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = (6) Lêi gi¶i: PT(6)  2( x2 + y2 ) -2xy + x + y - 10 =  2( x + y )2 - 4xy - 2xy + x + y - 10 =  2( x + y )2 - 6xy + x + y - 10 = Đặt S1 = x + y ; S2 = xy ta có phơng trình: 2S12 - 6S2 + S1 - 10 =  S2 = ( 2S12 + S1 - 10) Do S2 Z nên S1 ( S1 số nguyên chẵn ) Mặt khác ( x - y)2 nªn ( x + y )2 - 4xy   S2  Do ®ã ( 2S12 + S1 - 10)  S12 S12 S12 + 2S1 - 20   ( S1 +1 )2 21 Vì S1 số nguyên chẵn nên ( S1 +1 )2  1;9 Do ®ã S1 =   4; 2;0;2 Muèn cho S2 = ( 2S12 + S1 - 10) số nguyên ta chọn đợc: S1 S 3 hc  S1    S Do Giải hai hệ phơng trình ta tìm đụơc nghiệm nguyên (x;y) PT(6) lµ (-1;-3); (-3;-1); (0;2); (2;0)  x  y    xy 3  x  y 2   xy 0 V/ hiƯu qu¶ cđa viƯc sử dụng đề tài Trng PTCS Nam Thng l mt trường huyện Nam Đàn có học sinh Từ năm học: 2008-2009, tồn trường có lớp, khối lớp Do khó khăn cho việc lựa chọn đối tượng để thực đề tài Chính điều kiện bắt buộc phái sử dụng đối tượng học sinh 11 lớp 9, hai năm học liên kề để so sánh kết đạt đựoc sau sử dụng đề tài Nội dung đề tài đề cập đến phạm vi hẹp chương trình tốn THCS Vì gây nhiều khó khăn cho việc đánh giá hiệu đề tài Tôi nghĩ cách đề kiểm tra( không đưa vào để đánh giá học tập học sinh, mà dùng để đánh giá hiệu đề tài) lồng ghép tập dạng tốn giải phương trình nêu đề tài Bảng thống kê điểm kiểm tra chưa sử dụng đề tài lớp năm học 2008-2009 Bảng 1ng Điểm Số học sinh đạt Tỉ lệ (%) Điểm trung bình lớp ( sĩ số: 35) 10 3 10 1 0 2.8 8.4 8.4 21.6 28 16.8 8.4 2.8 2.8 _ x = 1.1  2.3  3.3  4.7  5.10  6.6  7.3  8.1  9.1 = 35 4,8 Từ bảng cho thấy điểm trung bình chung lớp đạt 4,8 điểm Số học sinh đạt điểm thấp nhiều, 14 em ( 41,2%) có điểm trung bình Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau thực đề tài lớp năm học 2009-2010: Bảng 1ng Điểm Số học sinh đạt 0 Tỉ lệ (%) 0 _ Điểm trung bình lớp ( sĩ số: 32) x 0 = 15 3.1 12.4 46.9 10 1 22.1 9.3 3.1 3.1 3.1  4.5  5.15  6.7  7.2  8.1  9.1 = 32 5,4 + Từ bảng cho thấy điểm trung bình chung lớp đạt 5,4 điểm Số học sinh đạt điểm thấp cịn ít, em ( 18,6%) có điểm trung bình 12 - Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I năm học: 20082009 học kì I năm học: 2009-2010 lớp trường PTCS Nam Thượng Bảng 1ng Loại Cách dạy Cũ Mới Giỏi Khá TB Yếu Kém ( %) 2.8 3.1 (%) 11.2 12.4 (%) 44.8 69 (%) 30 15.5 (%) 11.2 3.1 Trên TB (%) ĐiểmTB (đ) 58.8 81.4 4,8 5,4 - Dựa vào bảng ta thấy rõ hiệu việc sử dụng đề tài: - Loại giỏi tăng: 0.3% - Loại tăng: 1.2% - Loại trung bình tăng: 24.2% - Loại yếu giảm: 14.5% - Loại giảm: 8.1% - Đặc biệt điểm trung bình chung lớp tăng 1.6 điểm 13 KÕt luËn Trong ph¹m vi sáng kiến thân đà cố gắng trình bày dạng giả phơng trình cách sử dụng HĐT (A B)2=A2 2AB+B2 Mỗi dạng toán nh có hai ví dụ minh hoạ Có ví dụ đà đa vài cách giải khác để bạn đọc tiện so sánh tìm hớng thích hợp trình giải tuơng tự Để triển khai sáng kiến cách có hiệu tríc hÕt chóng ta cÇn cung cÊp cho häc sinh cách tuờng minh khái niêm mẻ mà chơng trình SGK cha đề cập tới Đồng thời dạng toán nh cần chọn toán từ đơn giản, đến phức tạp để học sinh làm quen dạng toán cách tự nhiên hiệu Bên cạnh cần phải thống kê tập vận dụng để học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp Trong đề tài có số dạng toán mà trình nghiên cứu thân cha thể nêu đợc cách giải tổng quát mà thông qua ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách t sáng tạo, nhiên đà quen thuộc dạng toán ta tìm phơng pháp cụ thể cho dạng toán để phát triển nhân rộng Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT vào chơng trình dạy học thấy việc giải tập phơng trình học sinh giải linh hoạt có giải ngắn gọn rết dƠ hiĨu, häc sinh dƠ tiÕp thu vµ vËn dơng số học sinh giải đợc nhiều giải phơng trình tơng đối khó kỳ thi Do thân mạnh dạn viết sáng kiÕn kinh nghiƯm nµy hy väng r»ng nã sÏ gióp cho quý vị đồng nghiệp, em học sinh bạn yêu toán điều thú vị bổ ích Mặc dầu trình tìm tòi đà cố gắng chọn lọc số ví dụ cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng 14 không tránh khỏi sai sót, mong đồng chí, đồng nghiệp góp ý, bảo Xin chân thành cảm ơn! tài liệu tham khảo 1/ SGK SGV lớp hành 2/ Sách "" Toán bồi dỡng nâng cao cho học sinh lớp " nhà xuất GD tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân Đỗ Quang thiều biên soạn 3/ SGK GGV lớp hành 4/ Tạp chí " Tuyển tập 30 năm toán học tuổi trẻ " hội toán học Việt Nam biên soạn 15 5/ Sách " Toán nâng cao THCS " tác giả Phan Văn Đức NXB Đại học quốc gia TPHCM xuất b¶n 16 ... ứng dụng độc đáo giải phơng trình phơng trình mà tởng chừng nh học sinh THCS giải mà biết vận dụng hai đẳng thức việc giải phơng trình lại không khó khăn Tuy nhiên ứng dụng hai đẳng thức vào giải. .. dạng biến đổi mà sử dụng hai đẳng thức vào giải số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 để giải phơng trình "... bất đẳng thức, quy phơng trình bậc hai Trong nhiều PT biết sử dụng đẳng thức (A B)2=A2 2AB+B2 việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn hiệu Chính lẽ đà rút đợc số dạng biến đổi mà sử dụng hai đẳng