Rèn luyện kĩ năng sử dụng hằng đẳng thức để giải một số dạng toán có chứa căn thức bậc hai

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Để đáp ứng yêu cầu nghiệp giáo dục nhu cầu học tập học sinh, trình giảng dạy giáo viên phải biết chắt lọc nội dung kiến thức cách rõ ràng, ngắn gọn đầy đủ, phải từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, từ cụ thể đến trừu tượng giúp học sinh nắm nội dung học, đồng thời gợi mở, đặt vấn đề để học sinh phát triển tư kĩ phân tích, trình bày giải cách chặt chẽ, logíc, có hệ thống Trong năm gần đây, việc đổi phương pháp dạy học vấn đề cấp bách cần thiết, nhằm hình thành cho học sinh thói quen tư tích cực, độc lập sáng tạo, nâng cao lực phát giải vấn đề, rèn luyện cho em lực vận dụng kiến thức vào thực tiễn Chính vậy, giáo viên đứng lớp phải có phương pháp truyền đạt kiến thức phù hợp, có khả hệ thống, phân loại chọn lựa dạng tập phong phú, đáp ứng yêu cầu tối thiểu người học, tác động đến tình cảm, đem lại niềm tin hứng thú học tập học sinh Qua thực tế giảng dạy nhiều năm, qua việc theo dõi kết kiểm tra, thi học sinh, tơi nhận thấy cịn nhiều học sinh mắc phải sai lầm khơng đáng có giải tốn chứa thức bậc hai cịn nhiều sai sót, rập khn máy móc chưa làm chưa nắm phương pháp giải, vận dụng kỹ biến đổi chưa linh hoạt vào dạng toán Trong đó, kỳ thi học kỳ kỳ thi cuối cấp Nội dung đề thi thường rơi vào kiến thức khơng thể thiếu chương thức bậc hai cho dạng rút gọn biểu thức, thực phép tính giải phương trình Để tháo gỡ giải khó khăn, vướng mắc học tập đồng thời nhằm phát triển lực tư cho học sinh, nhận thấy việc rèn luyện kỹ giải tốn có chứa thức bậc hai cho học sinh cần thiết Với lí trên, tơi xin trình bày số kinh nghiệm rút trình giảng dạy với tên đề tài: “Rèn luyện kĩ sử dụng đẳng thức để giải số dạng toán có chứa thức bậc hai” Đề tài nhằm giúp học sinh lớp 9, học sinh khá, giỏi mơn tốn thực luyện tập, ôn tập, ôn thi vào lớp 10 giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức, thực phép tính giải phương trình chứa bậc hai 1.2 ĐIỂM MỚI CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài có số sách tham khảo cho học sinh THCS nhng cha tổng hợp đợc cha vận nhiều dạng toán, ứng dụng toán khác - Ở đề tài xây dựng cách tổng quát, đầy đủ, chi tiết cho tất trường hợp áp dụng đẳng thức để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, thực phép tính giải phương trình chứa bậc hai - Có hệ thống tập áp dụng để HS hiểu đầy đủ từ dể đến khó, trường hợp áp dụng đẳng thức khác để làm rỏ dạng toán này, đồng thời có tập nâng cao để học sinh phát triển tư sáng tạo thân - Xây dựng cho học sinh niềm tin học tập, chống tư tưởng ngại khó, sợ tốn, giúp em hăng say học tập, hứng thú tìm tịi hay toán học Đề tài tài liệu tham khảo cho giáo viên trình đọc nghiên cứu tài liệu, giảng dạy Ngồi mục đích đề tài coi giải pháp góp phần thực đổi phương pháp dạy học theo hướng phát huy lực học sinh đổi kiểm tra đánh giá trường THCS 1.3 PHẠM VI ÁP DỤNG CỦA ĐỀ TÀI: Đề tài áp dụng để giảng dạy cho hầu hết đối tượng học sinh học lớp 9, cho đội tuyển học sinh giỏi cấp trường, cấp huyện bậc THCS tài liệu cho học sinh học lên THPT vừa tài liệu tham khảo cho giáo viên tham gia giảng dạy mơn tốn THCS bồi dưỡng HSG toán Đề tài nghiên cứu đến dạng toán sử dụng đẳng thức để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức, thực phép tính giải phương trình chứa bậc hai 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1.THỰC TRẠNG KHI CHƯA ÁP DỤNG ĐỀ TÀI: 2.1.1 Số liệu thống kê: Để thực đề tài tiến hành khảo sát chất lượng học sinh dạng tập trước triển khai kinh nghiệm thu sau: Kết kiểm tra số ( Trước triển khai kinh nghiệm.) Giỏi Khá TB Yếu – Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 35 11,4 22,9 12 34,3 11 31,4 34 11,7 20,6 13 38,3 10 29,4 2.1.2 Tình hình trước thực giải pháp đề tài: Đối với học sinh trường THCS nơi công tác phần lớn em học đầy đủ kiến thức bản, có phần mở rộng nâng cao nhiều Song gặp toán, học sinh bị lúng túng định hướng phương pháp giải, chưa biết vận dụng vận dụng chưa linh hoạt, sáng tạo kiến thức học Nhiều học sinh biết vận dụng bước giải, phần quy tắc, công thức mà thầy, cô hướng dẫn Điều hạn chế lớn đến việc phát huy tính tích cực độc lập nhận thức giải tốn học sinh, dẫn đến em không ham học tốn khơng tự tin giải tốn, lúng túng lí luận trình bày 2.1.3 Ngun nhân dẫn đến tình hình trên: * Về giáo viên: - Việc truyền tải kiến thức thức bậc hai cho học sinh cịn hạn chế - Chưa hình thành cho học sinh kỹ giải, mơ hình giải, cách giải ứng với trường hợp, tập vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu lớp - Kỹ rèn luyện cho học sinh tư duy, định hướng trước tốn khả phân tích đề chưa trọng * Về học sinh: - Động thái độ học tập nhiều học sinh chưa thật tốt Học sinh quen với lối học thụ động, chưa sẵn sàng tham gia cách tích cực, chủ động vào nội dung học tập - Chưa nắm vững đẳng thức học lớp nên không chuẩn bị tốt tâm cho học Toán - Kỹ vận dụng đẳng thức học dạng biểu thức chứa dấu thức lớp chưa thành thạo - Học sinh chưa hình thành mơ hình giải tốn, bước để giải toán - Kỹ phân tích đề định hướng cách làm bài, dạng học sinh khiêm tốn 2.2 CÁC GIẢI PHÁP: 2.2.1 Cho học sinh nắm vững bảy đẳng thức học lớp Để khắc phục vấn đề nêu trên, ta cần cho học sinh nắm bảy đẳng thức học lớp 1) Bình phương tổng : (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2) Bình phương hiệu : (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 3) Hiệu hai bình phương : a2 – b2 = (a + b).(a – b) 4) Lập phương tổng : (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 5) Lập phương hiệu : (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 6) Tổng hai lập phương : a3 + b3 = (a + b).(a2 – ab + b2) 7) Hiệu hai lập phương : a3 – b3 = ( a – b).(a2 + ab + b2) Biết vận dụng để đưa đẳng thức đáng nhớ lớp (theo thứ tự) viết dạng có dấu (với a ; b > 0) 1) a + ab + b = 2) a − a + = ( ( a+ b ) a −1 ) 2 ( a ) − ( b ) = ( a + b ) ( 4) a a + b b = ( a ) + ( b ) = ( a + 5)1 − a a = ( 1) − ( a ) = (1 − a ) ( + 3) a − b = 2 3 3 a− b ( ) b ) a − ab + b a +a ) ) 6) a b + b a = ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) 2.2.2 Sử dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau: 1− a a  − a   = (với a ≥ 0; a ≠ 1) + a  a)    1− a  − a  Nhận xét đề bài: Bài tốn cho gồm có đẳng thức sau : ( a ) = ( − a ) ( + a + a ) − ( a ) = ( − a ) ( + a ) − a a = 13 − − a = 12 tương tự đẳng thức số 3; lớp Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái: Giải 1− a a  − a  VT =  + a ÷ ÷ − a ÷ ÷  1− a   ( )( )  1− a 1+ a + a    1− a     = + a    1+ a 1− a  1− a     ( )( )   = + a + a  ÷ 1+ a  ( ) Đến ta lại thấy xuất đẳng thức: ( + a + a ) = ( + a ) tương tự đẳng thức số lớp Tiếp tục biến đổi ta kết quả: ( ) VT = + a b) (1 + a ) = = VP a+b a 2b =a b2 a + 2ab + b (với a + b > b ≠ ) Nhận xét: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 đẳng thức số lớp Áp dụng vào toán ta biến đổi vế trái : Giải VT = a+b a 2b a+b = 2 2 b a + 2ab + b b a 2b ( a + b) 2 a + b ab a+b b a = = = a a+b a+b b b (vì a + b > 0) (đpcm) Bài 2: Chứng minh đẳng thức:  1  a +1 + =  ÷: a −1 a − a +1 a− a a −1 a (vớiaa>>0b;; a ≠≠ 1) voi Nhận xét: toán cho kết hợp phân tích đa thức thành nhân tử dạng đẳng thức thứ lớp mẫu thức: a− a = a ( a − a +1 = ) a −1 ( ) a −1 Áp dụng vào toán, ta biến đổi vế trái : Giải   1  a +1 1  : VT =  +  : =  + a −1  a − a +1  a a −1 a −  a− a  1+ a =   a a −1 (  :   ) ( a +1 ) a −1  1+ a =   a a −1 ( )     ( ( ) a −1 a +1 ) = a −1 a ( a +1 ) a −1 = VP Dạng 2: Rút gọn biểu thức:  a    − + Bài 1: Cho biểu thức K =  ÷:  ÷  a −1 a − a   a +1 a −1 a) Rút gọn biểu thức K b) Tính giá trị K a = + 2 c) Tìm giá trị a cho K < Nhận xét: Bài tốn cho có dạng đẳng thức số lớp a − = ( a − 1)( a + 1) để rút gọn biểu thức K Giải: a) Rút gọn biểu thức K: Điều kiện a > a ≠  a    K = − + ÷:  ÷ a ( a − 1)   a + ( a + 1)( a − 1)   a −1 = a −1 a +1 : a ( a − 1) ( a + 1)( a − 1) = a −1 a −1 ( a − 1) = a ( a − 1) a b) Tính giá trị K a = + 2 Ta có: a = + 2 = (1 + )2 ⇒ a = + (dạng đẳng thức thứ nhất) + 2 − 2(1 + 2) = =2 1+ 1+ c) Tìm giá trị a cho K < a − < a < a −1 K Nhận xét: Sau quy đồng mẫu thức, ta thấy xuất dạng đẳng thức số lớp Giải: a) ĐKXĐ : x > 0, x ≠  b) P =   x  : x −1 x − x +1 + x− x  = +  x x −1 x  ( ) 1+ x = ( x ) x −1  x ÷ x −1 ÷  ( ( ( ) x − 1) ( = ) x −1 x )( x +1 x ) = x-1 x −1 x x x x-1 > ⇔ ( x - 1) > x ⇔ x > x Vậy với x > P > c) Với x > 0, x ≠ Bài 4: Cho biểu thức: ( A= a+ b ) − ab a− b − a b +b a ab a) Tìm điều kiện để A có nghĩa b) Khi A có nghĩa Chứng tỏ giá trị A không phụ thuộc vào a Nhận xét: Bài tốn cho dạng đẳng thức phân tích đa thức thành nhân tử: a ± ab + b = ( a± b ) Áp dụng vào tốn ta có lời giải: a b + b a = ab ( a + b ) Giải A= ( a+ b ) − ab a− b aĐK ) a: b; > a; ≠ b ( b) A = A= A= a+ b ) a b +b a ab − ab − a− b a − ab + b − a− b ( − ) ( a− b − ( ab a b + b a a + ab + b − ab = − ab a− b ) a+ b = ( a− b ) a− b ) ( a+ b ) ab − ( a+ b ) a + b = a − b − a − b = −2 b Biểu thức A không phụ thuộc vào a Bài 5: Cho biểu thức: A = x x +1 x −1 − x −1 x +1 a) Rút gọn biểu thức A? b) Tìm giá trị nguyên x để biểu thức A sau nhận giá trị nguyên? Nhận xét: ta thấy x x + = x3 + = x −1 = ( )( x −1 ( ) )( ) x +1 x − x +1 x +1 Áp dụng cho bài toán ta có lời giải: Giải: a ) ĐKXĐ : x ≥ 0; x ≠ A= = x x +1 x −1 − = x −1 x +1 x − x +1 x −1 ( − ( x − 1) = b) Ta có: A = x x −1 )( )−( )( x +1 x − x +1 ( )( ) x −1 x +1 x −1 x +1 x − x +1− x + x −1 x −1 = 1+ x −1 ) x +1 = x x −1 , A nhận giá trị nguyên x − ước ⇒ x − ∈ { − 1;1} Với: x − = ⇒ x = (TM ) x − = −1 ⇒ x = ( TM ) Vậy x ∈ { 0;4} A nhận giá trị nguyên Bài 6: Cho biểu thức R = c +2 c −4 + c −2 c +4 (Điều kiện c ≥ 0; c ≠ 4) a) Rút gọn biểu thức R b) Tìm c để R = (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2008 - 2009) Nhận xét: toán cho sau quy đồng có đẳng thức: a−b = ( a+ b )( a− b ) (a ± b) = a ± 2ab + b Áp dụng vào tốn ta có lời giải: Giải: a) Điều kiện c ≥ 0; c ≠ R= = c +2 c −4 + c −2 c +4 ( = ) ( c − 2) 2( c + )( c − ) c +2 + c + c + + c − c + 2(c + 4) c + = = 2(c − 4) 2(c − 4) c − b) R = ⇔ c+4 = ⇔ c + = 2c − ⇔ c = 12(TM ) c−4 Vậy R = c =12 Bài 7: Cho biểu thức sau:  ab + b ab + a  a − b B= − :   a−b a + b a + b   a) Tìm điều kiện xác định biểu thức b) Rút gọn biểu thức B c) Với giá trị a,b B = (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2009 - 2010) Nhận xét: Bài tốn sau tìm ĐKXĐ phân tích đa thức thành nhân tử rút gọn xuất đẳng thức a − b = ( a + b ) ( a − b ) Áp dụng vào tốn ta có lời giải: Giải: a) ĐKXĐ biểu thức: a ≥ 0; b ≥ 0; a ≠ b  b ( a + b) a ( b + a)  2( a − b ) : b) B =  − ( b + a )  ( a − b )( a + b )  ( a + b) b−a = b− a : = ( a + b) ( ) b−a = ⇔ b = a (KTM) Vậy khơng có giá trị a,b B = c) B = ⇔ x Bài 8: Cho biểu thức Q = x −1 − x− x , với x >0 x ≠ a) Thu gọn biểu thức Q b) Tìm giá trị x ∈ R cho x > Q có giá trị ngun (Trích đề tuyển sinh lớp 10 THPT tỉnh Quảng Bình năm học 2011 - 2012) Nhận xét: Bài tốn cho phân tích đa thức thành nhân tử: x − x = x ( x − 1) quy đồng xuất đẳng thức, rút rọn Áp dụng vào toán ta có : Giải: a) Với x >0 x ≠ ta có: x Q= = x −1 x −1 x ( − ) x −1 x− x = b) Ta có: Q = x = x −1 − x ( ) x −1 x +1 x x +1 = 1+ x 1 x 1 < ⇒ < 1+ nên x > ⇒ x x Suy : 1< Q < Mà Q nhận giá trị nguyên nên Q ∈ { : 3} Với Q = 2, ta có: Với Q = 3,ta có: x x = ⇒ x = ( KTM ) =2⇒ x= (TM ) 4 Vậy x = Q nhận giá trị nguyên 10 2.2.3 Sử dụng đẳng thức để thực phép tính có chứa thức bậc hai: * Bên cạnh tốn cho rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, đơi cịn có câu đề yêu cầu tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Đối với câu yêu cầu tính mà có dấu thức bậc hai khơng nói gì, có câu mà khó đưa lại có biểu thức chứa chồng Gặp trường hợp đòi hỏi học sinh phải biết cách đưa biểu thức lũy thừa bậc chẳn (thường viết dạng bình phương) để khai phương Muốn làm điều đó, cần phải biết vận dụng thành thạo đẳng thức (bình phương tổng bình phương hiệu) Sau tơi đưa vài ví dụ đơn giản, để từ học sinh nắm bắt cách làm để áp dụng vào tốn Ví dụ 1: Rút gọn : a) + + − Nhận xét : Để rút gọn toán ta phải viết biểu thức : ± dạng bình phương tổng hiệu để khai phương dấu lớn Để làm điều ta làm bước sau : Bước : Làm biến đổi trước dấu nhỏ phải có thừa số ( toán cho ) Bước : Tìm hai số biết tổng tích -> hai số là: Bước : Ta lấy bậc hai số vừa tìm bước 2, viết chúng dạng bình phương tổng hiệu (Tùy theo dấu cộng trừ biểu thức dấu lớn ) Chú y : + Để tìm hai số có tổng S tích P ta sử dụng định lí sau: " Nếu hai số a b có tổng S tích P hai số nghiệm phương trình bậc hai: X2 – SX + P = " Điều kiện tồn hai số a b là: S − 4P ≥ + viết dạng bình phương hiệu ta nên viết hiệu có giá trị dương (số bị trừ lớn số trừ ) để khai phương, khỏi phải dùng dấu giá trị tuyệt đối Áp dụng bước vào ví dụ 1, ta có lời giải sau: Giải 11 + + − = + 3.1 + + − 3.1 + = ( 3) ( 3) + + 12 + − + 12 = ( ) +1 + ( ) −1 = +1+ −1 = Ví dụ : Chứng minh đẳng thức 2+ + 2− = Nhận xét: Trước dấu nhỏ hai biểu thức dấu lớn có thừa số ( ) ta phải biến đổichúng sau: Nhân tử mẫu cho Bước : 2+ + 2− = ( 2+ ) + 2( − 3) = 4+2 4−2 + 2 Bước : Tìm hai số biết tổng 4, tích -> hai số Bước : Lấy bậc hai số vừa tìm viết chúng dạng bình phương tổng hiệu (Tùy theo dấu cộng trừ biểu thức dấu lớn ) Giải ( 2+ VT = + + − = VT = ( ) +1 2 + ( ) =( −1 2 ) + 2( − 3) = ) +( ) =( +1 −1 2 + 3.1 + − 3.1 + + 2 ) ( +1 + ) =2 −1 = = VP Hai ví dụ lấy phía hai trường hợp mà thường gặp Tùy theo loại bài, ta giải nhiều cách khác nhau, biết vận theo ba bước ta giải nhiều dạng Sau số tập sách tập số kì thi tuyển vào lớp 10 mà tơi giải dựa vào ba bước phân tích để giải, làm chi tiết theo mục Bài : Rút gọn biểu thức 11 + − + = 11 + 2.3 − + = + 9.2 + − + = ( 9+ ) −3+ = 3+ −3+ = 2 Bài 2: Rút gọn biểu thức: 15 − 6 + 33 − 12 = 15 − 2.3 + 33 − 2.6 = − 9.6 + + 33 − 36.6 = ( 9− ) + 33 − 216 12 = ( 3− 6) ( 3− 6) + 24 − 24.9 + = + ( 24 − ) = − + 24 − = − + = 2.2.4 Dùng phương pháp thêm bớt để có dạng đẳng thức để giải số toán rút gọn nâng cao Bài 1: Chứng minh : P = a+4 a−2 +2 + a−4 a−2 +2 = ≤ a ≤ a − a > Nhận xét : Làm tương tự ta có lời giải sau : Giải P = a + a − + + a − a − + = a − + 2.2 a − + + a − − 2.2 a − + = = ( ( a−2 ) ( + 2.2 a − + 2 + a−2 +2 ) + ( a−2 −2 ) a−2 = ) − 2.2 a − + 2 a−2 +2 + a−2 −2 Nếu ≤ a ≤ , ta có: P = a−2 +2+2− a−2 = Nếu a > , ta có P = a−2 +2+ a−2 −2 = a−2 * Cịn nhiều tập mà ta sử dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai thực phép tính thức bậc hai Những tập tơi đưa dược chọn lọc, em học sinh nhận thấy tầm quan trọng đẳng thức đáng nhớ, qua em biết cách học cách áp dụng vào việc rèn luyện giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai thực phép tính có dấu Mục đích nội dung nhằm góp phần nâng cao chất lượng dạy học nhà trường mà có chiều hướng xuống số em chưa nắm bắt kiến thức chưa biết cách vận dụng kiến thức vào làm tập 2.2.5 Sử dụng đẳng thức để giải phương trình có chứa thức bậc hai a Các ví dụ: a) x − = b) 3x + − x + = c) x − x + x − x + =3 13 d) x x −1 x2 − − x2 − =4 x +1 b Phương pháp chung: Để giải phương trình chứa dấu ta tìm cách khử dấu Cụ thể : - Tìm ĐKXĐ phương trình - Sử dụng HĐTđể biến đổi đưa phương trình dạng học - Giải phương trình vừa tìm - So sánh kết với ĐKXĐ kết luận nghiệm c Phương pháp nâng lên luỹ thừa (Bình phương lập phương hai vế phương trình): * Giải phương trình dạng: f ( x ) = g ( x) Bài 1: Giải phương trình : x + = x − (1) ĐKXĐ : x+1 ≥ ⇔ x ≥ -1 Với x ≥ -1 vế trái phương trình khơng âm Để phương trình có nghiệm x-1 ≥ ⇒ x ≥ 1.Khi phương trình (1) tương đương với phương trình : x = x = x+1 = (x-1)2 ⇔ x2 -3x= ⇔ x(x-3) = ⇔  Chỉ có nghiệm x =3 thoả mãn điều kiện x ≥ Vậy phương trình cho có nghiệm x =3 Bài 2: Giải phương trình: x + x − = 13 ⇔ x − = 13 − x (1) x − ≥ x ≥ ⇔  13 − x ≥  x ≤ 13 ⇔ ≤ x ≤ 13 (2) ĐKXĐ :  Bình phương hai vế (1) ta : x − = (13 − x) ⇔ x − 27 x + 170 = Phương trình có nghiệm x1 = 10 x = 17 Chỉ có x1 = 10 thỗ mãn (2) Vậy nghiệm phương trình x = 10 * Giải phương trình dạng: Bài 3: ĐKXĐ: f ( x ) + h( x ) = g ( x ) Giải phương trình: 1− x ≥ ⇔ 2+ x ≥0 x ≤1 x ≥ −2 1− x − + x = ⇔ 1− x = 1+ + x (1) ⇔ − ≤ x ≤1 Bình phương hai vế phương trình (1) ta được: 1− x = 1+ 2 + x + + x ⇔ x2 + x −1 = Phương trình có nghiệm x = −1− thoã mãn (2) 14 Vậy nghiệm phương trình x = Bài 4: Giải phương trình: −1− x + + − x = (1) x + + − x + 33 ( x + 1)(7 − x) = Lập phương trình hai vế (1) ta được: ⇔ (x-1) (7- x) = ⇔ x = -1 x = (đều thoả mãn (1) Vậy x = −1; x = nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng: Bài 5: Giải phương trình ⇔ x + = 12 − x + x − (1) f ( x ) + h( x ) = g (x) x + - x − = 12 − x x + ≥  x ≥ −1   ĐKXĐ: 12 − x ≥ ⇔  x ≤ 12 ⇔ ≤ x ≤ 12 x − ≥ x ≥   Bình phương hai vế ta được: x- = (12 − x)( x − 7) (3) Ta thấy hai vế phương trình (3) thỗ mãn (2) bình phương vế phương trình (3) ta : (x - 4)2 = 4(- x2 + 19x- 84) ⇔ 5x2 - 84x + 352 = Phương trình có nghiệm x1 = Vậy x1 = 44 x2 = nghiệm phương trình * Giải phương trình dạng: Bài 6: 44 x2 = thoả mãn (2) f ( x ) + h( x ) = g (x) + q (x) Giải phương trình : x + + x + 10 = x + + x + (1) ĐKXĐ : x + ≥  x + 10 ≥   x + ≥  x + ≥  x ≥ −1  x ≥ −10  ⇔   x ≥ −2  x ≥ −5 ⇔ x ≥ -1 (2) Bình phương hai vế (1) ta : x+1 + x+ 10 + ( x + 1)( x + 10) = x+2 + x+ + ( x + 2)( x + 5) ⇔ 2+ ( x + 1)( x + 10) = ( x + 2)( x + 5) (3) Với x ≥ -1 hai vế (3) dương nên bình phương hai vế (3) ta ( x + 1)( x + 10) = 1- x Điều kiện x ≤ -1 (4) Ta việc kết hợp (2) (4) 15  x ≥ −1   x ≤ −1 ⇔ x = nghiệm nhầt phương trình (1) Nhận xét: Phương pháp nâng lên luỹ thừa sử dụng vào giải số dạng phương trình vơ tỉ quen thuộc, song trình giảng dạy cần ý nâng lên luỹ thừa bậc chẵn Với hai số dương a,b a = b a2n = b2n ngược lại (n= 1, 2, ) Từ mà ý điều kiện tồn căn, điều kiện hai vế phương trình vấn đề mà học sinh hay mắc sai lầm, chủ quan sử dụng phương pháp Ngồi cịn phải biết phối hợp vận dụng phương pháp với nhiều phương pháp khác lại với * KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC : Qua thời gian nghiên cứu áp dụng, thân nhận thấy đề tài có tác dụng lớn q trình giảng dạy mơn tốn lớp 9, tơi vận dụng phần sau tiết học lý thuyết tiết luyện tập sử dụng đẳng thức rút gọn biểu thức hay giải phương trình có chứa thức bậc hai để học sinh củng cố khắc sâu thêm, đồng thời rèn luyện cho em kỹ trình bày gặp dạng Trong thời gian ôn tập, ôn thi em hệ thống lại cách hoàn chỉnh theo dạng Vì em khơng cịn lúng túng giải dạng tập mà hứng thú Kết kiểm tra số 2: (Sau triển khai kinh nghiệm.) Giỏi Khá TB Yếu - Lớp Sĩ số SL % SL % SL % SL % 35 17,2 12 34,3 13 37,1 11,4 34 17,6 11 32,4 14 41,2 8,8 Để đạt kết chất lượng học sịnh nâng lên rõ rệt học sinh hiểu thấu đáo vấn đề góc độ áp dụng đẳng thức khác Đặc biệt học sinh hình thành kỹ giải tập, biết phân tích nhận dạng toán Tuy nhiên việc áp dụng phần nội dung đề tài tuỳ thuộc vào đối tượng học sinh Đối với lớp đại trà rèn luyện cho em dạng áp dụng đẳng thức đơn giản từ đẳng thức thứ đến đẳng thức thứ Đối với học sinh giỏi áp dụng tất đẳng thức sau đưa dạng tập từ dễ đến khó giúp học sinh hình thành kỹ giải dạng tập 16 PHẦN KẾT LUẬN: 3.1 Ý NGHĨA CỦA ĐỀ TÀI: Trên số phương pháp để rèn luyện kĩ giải số dạng tốn chứa thức bậc hai mà tơi áp dụng giảng dạy thực tế trường cho học sinh đại trà học sinh giỏi thu kết sau: - Học sinh tiếp thu nhanh dễ hiểu hơn, hứng thú, tích cực học tập ngày u thích học chương có thức bậc hai từ thích học mơn Tốn - Học sinh phân loại dạng tập từ tìm đẳng thức để áp dụng cho dạng không bị nhầm lẫn đẳng thức với -Học sinh tránh sai sót có kĩ vận dụng thành thạo đẳng thức để giải tốn từ phát huy tính tích cực học sinh Bên cạnh để đạt kết mong muốn đòi hỏi giáo viên cần phải thường xuyên trau dồi kiến thức nâng cao kỹ giải toán, kỹ phân loại tập cho học sinh - Trong trình giảng dạy lớp bên cạnh giảng dạy kiến thức SGK người giáo viên cần tìm tịi đưa thêm kiến thức, kỹ cho học sinh để từ nâng cao kiến thức cho học sinh giỏi - Hướng dẫn học sinh đọc sách báo, học hỏi mở rộng kiến thức thực tế - Người giáo viên không ngừng bồi dưỡng nâng cao kiến thức để làm chủ kiến thức tự tin trước giảng học sinh - Kiến thức học sinh bền vững kĩ thiết lập mà để hình thành kĩ cho học sinh khơng có khác ngồi q trình rèn luyện Bồi dưỡng thường xuyên cho em Với phạm vi nghiên cứu đề tài mảng kiến thức tương đối hẹp so với toàn chương trình hố học tơi hi vọng giúp ích cho em học sinh thầy cô giáo việc giảng dạy phần kiến thức này, giúp em thầy có cách nhìn tổng quát dạng toán tài liệu hữu ích cho việc ơn luyện thi vào trường THPT Các tập đề tài mức độ từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp, giúp em rèn luyện kỹ không giải dạng tập phần mà rèn số kỹ khác kỹ tính tốn, phân dạng tập để giải 17 Qua giảng dạy, nghiên cứu thấy phần kiến thức này, học sinh thường lúng túng gặp phải Do vậy, em học rèn kỹ tin lúng túng khơng cịn mà thay vào tự tin yêu thích mơn học 3.2 KIẾN NGHỊ, ĐỀ XUẤT: * Về phía học sinh: - Học sinh phải thực cố gắng, có ý thức tự học, tự rèn luyện, kiên trì chịu khó q trình học tập - Học sinh phải nắm vững lý thuyết, có kỹ vận dụng tốt lý thuyết vào giải tập - Phải có đầy đủ phương tiện học tập, đồ dùng học tập; giành nhiều thời gian cho việc làm tập nhà thường xuyên trao đổi, thảo luận bạn bè để nâng cao kiến thức cho thân * Về phía giáo viên: - Giáo viên phải khơng ngừng học hỏi, nhiệt tình giảng dạy, quan tâm đến chất lượng học sinh, nắm vững đặc điểm tâm sinh lý đối tượng học sinh phải hiểu khả tiếp thu em, từ tìm phương pháp dạy học hợp lý theo sát đối tượng học sinh - Giáo viên cần linh hoạt dạy tiết học, luyện tập, ơn tập cho em phải nắm vững đẳng thức học đồng thời rèn luyện cho học sinh kĩ vận dụng đẳng thức vào nội dung, phần tốn - Trong q trình giảng dạy giáo viên cần phải nghiêm khắc, điểm yếu mà học sinh chưa vận dụng được, đồng thời động viên kịp thời em làm tập tốt nhằm gây hứng thú học tập cho em Theo dõi kết tiến em qua học lớp, qua kiểm tra - Giáo viên cần thường xuyên trao đổi với đồng nghiệp để học hỏi rút kinh nghiệm cho thân, vận dụng phương pháp dạy học phù hợp với nhận thức học sinh, không ngừng đổi phương pháp giảng dạy để nâng cao chất lượng dạy học - Đối với học sinh trung bình yếu giáo viên cần dành nhiều thời gian để bố trí buổi phụ đạo, kèm cặp lúc rảnh, để em tiếp cận kiến thức bị hỏng * Về phía tổ chun mơn: 18 Thơng qua tiết dự giờ, thao giảng, thảo luận chuyên đề để góp ý, tư vấn chun mơn Giúp giáo viên học hỏi kinh nghiệm phương pháp vận dụng vào cơng tác giảng dạy Ngồi cần nhân rộng phong trào nghiên cứu khoa học, coi việc viết sáng kiến kinh nghiệm không trách nhiệm mà cịn để tự nâng cao chun mơn nghiệp vụ * Về phía nhà trường: - Nêu cao tinh thần việc tự học, viết sáng kiến kinh nghiệm cá nhân cách thường xuyên - Tăng cường công tác tập huấn nội bộ, trao đổi kinh nghiệm giảng dạy Trên kinh nghiệm rút từ thực tế giảng dạy mơn Tốn theo suy nghĩ hiểu biết cá nhân xin trình bày lại Tuy nhiên, q trình thực khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong góp ý chân thành từ hội đồng khoa học cấp, đồng chí đồng nghiệp để sáng kiến hay hơn, phong phú đa dạng hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! 19 ... áp dụng đẳng thức để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai, thực phép tính giải phương trình chứa bậc hai - Có hệ thống tập áp dụng để HS hiểu đầy đủ từ dể đến khó, trường hợp áp dụng. .. HSG toán Đề tài nghiên cứu đến dạng toán sử dụng đẳng thức để giải tập rút gọn biểu thức có chứa thức, thực phép tính giải phương trình chứa bậc hai 2 PHẦN NỘI DUNG 2.1.THỰC TRẠNG KHI CHƯA ÁP DỤNG... ab ( a + b ) 7) a + a = a ( a + 1) 2.2.2 Sử dụng đẳng thức để rút gọn biểu thức có chứa thức bậc hai: Dạng 1: Chứng minh đẳng thức Bài 1: Chứng minh đẳng thức sau: 1− a a  − a   = (với a ≥