Chuyên đề môn toán 9 rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Trường THCS Tam Hồng CHUYÊN ĐỀ RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN THỨC BẬC HAI I LÝ DO CHỌN CHUYÊN ĐỀ Trong q trình giảng dạy mơn tốn lớp thân nhận thấy học sinh giải dạng toán liên quan đến rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai: học sinh sợ thường lúng túng, hay mắc sai lầm bỏ qua điều kiện, biến đổi sai đặc biệt kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thường có tốn liên quan đến biểu thức chứa Để khắc phục vấn thân mạnh dạn đưa Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai” với mong muốn em học sinh nắm rõ phương pháp giải có kỹ thành thạo làm tập liên quan đến “ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai”, đồng thời làm tiền đề cho việc giải nhiều dạng toán khác sau Chuyên đề “ Rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai” xây dựng dựa kiến thức sách giáo khoa phát triển dần theo mức độ, xếp thành dạng để học sinh rễ học, rễ nhớ II PHẠM VI VÀ MỤC ĐÍCH CHUYÊN ĐỀ Phạm vi chuyên đề: - Áp dụng với đối tượng học sinh đại trà lớp Mục đích chuyên đề: - Trao đổi với giáo viên tổ KHTN số dạng tập kỹ rút gọn biểu thức chứa bậc hai bồi dưỡng học sinh đại trà - Giúp học sinh có kĩ khai thác giải số dạng tập rút gọn biểu thức chứa thức bậc hai Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng III NỘI DUNG A LÍ THUYẾT: Những đẳng thức đáng nhớ: (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 A2 –B2 = (A-B )(A+B) (A+B)3 = A3+3A2B +3AB2+B3 (A-B)3 = A3–3A2B +3AB2 –B3 A3+B3= (A + B)(A2 – AB + B2) A3 - B3= (A - B)(A2 + AB + B2) Các công thức biến đổi thức: có nghĩa A≥ A A2 = A AB = A = B A2 B = A 10 11 A B A với A  ; B > B với B  B với A  ; B  với A < ; B  A B = A2 B A B = - A2 B A = B B A = với A  ; B  với AB  B  AB A B B B C C ( A B) = A − B2 AB C C( A B) = A− B A B với B > ví i A  0, A  B ví i A  0, B  0, A  B Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử: - Đặt nhân tử chung - Dùng đẳng thức - Nhóm hạmh tử - Tách hạng tử thành nhiều hạng tử Bằng cách phân tích thành nhân tử ta rút gọn nhân tử chung tử mẫu phân thức Các tính chất phân thức A = B A = B A.M (M  0) B.M A: N (N nhân tử chung A, B) B:N Sử dụng tính chất ta nhân với biểu thức liên hợp tử ( mẫu) phân thức, giản ước cho số hạng khác 0, đổi dấu phân thức, đưa phân thức dạng rút gọn B CÁC DẠNG TOÁN: - Dạng 1: Rút gọn biểu thức số + Dạng 1.1: Sử dụng phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ngoài, vào dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy để làm xuất đồng dạng + Dạng 1.2: Đưa biểu thức dấu dạng bình phương tổng hiệu + Dạng 1.3: Trục thức, quy đồng - Dạng Rút gọn biểu thức chứa chữ + Dạng 2.1: Sử dụng phép biến đổi đơn giản: Đưa thừa số ngoài, vào dấu căn, khử mẫu biểu thức lấy để làm xuất đồng dạng + Dạng 2.2: Đưa biểu thức dấu dạng bình phương tổng hiệu + Dạng 2.3: Trục thức, quy đồng - Dạng Các toán liên quan đến giá trị biểu thức sau rút gọn: (Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị ngun biểu thức ) Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng DẠNG 1: RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC SỐ: *MỘT SỐ CHÚ Ý KHI LÀM DẠNG TOÁN Nhận xét biểu thức Phán đốn phân tích nhanh để đưa hướng làm cho loại toán: + Vận dụng phép biến đổi cách hợp lý thành thạo + Phân tích biểu thức số phù hợp để vận dụng phép biến đổi + Luôn ý tới dấu hiệu chia hết để thuận tiện cho việc phân tích + Triệt để sử dụng phép biến đổi thức như: Nhân, chia hai thức bậc hai, đưa thừa số vào hay dấu căn, khử mẫu thức, trục thức mẫu… Dạng 1.1: Sử dụng phép biến đổi đơn giản: Nhân, chia bậc hai; đưa thừa số ngoài, vào dấu căn; khử mẫu biểu thức lấy để làm xuất thức đồng dạng * Lưu ý thêm: - Thực phép biến đổi đơn giản thức bậc hai để làm xuất thức đồng dạng + Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = 20 − 45 + 18 − 72 B = 125 − 45 + 20 − 80 C = 75 + 48 − 300 D = 98 − 72 + 0,5 E = 40 12 − 75 − F = − − 20 G = ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 22 H = ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 22 I = ( + ) − 60 F = ( + ) − 250 K= ( 28 − + ) + 84 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng + Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau 27 48 75 − − 16 49 25 B= − + 18  50  C =  − 24 +    A= 1 125 D= 1  − 4,5 + 50  : 2 2  E =  + Dạng 1.2: Đưa biểu thức dấu dạng bình phương tổng hiệu * Lưu ý thêm: Hướng dẫn học sinh để làm dấu ta biến đổi biểu thức dấu thành bình phương tổng bình phương hiệu nhờ đẳng thức (A+B)2 = A2 +2AB +B2 (A – B)2 = A2 –2AB +B2 để áp dụng đẳng thức A2 = A + Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau: A= B= (1 − ) (1 − ) E = 4+ − 4− 2 F = 6+ 2 3− 4+ + 4+2 C = 6−2 + 6+2 G = 13 + + − D = 14 + + 14 − H= 4−2 6− + Dạng 1.3: Rút gọn biểu thức chứa thức cách trục thức quy đồng: Lưu ý: Tùy mà ta trục thức mẫu quy đồng rút gọn số hạng + Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau: a) A = + 5− 6+ b) B = −1 2 +1 − + +2 2+2 2 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng c) C= 15 − 12 + − −2 3+ Giải: a) Quy đồng mẫu: A= 3( + 2) + 4( − 2) + + − 6+4 5− = = Bế tắc! ( − 2)( + 2) 30 + 10 − 12 − 30 + 10 − − Trục thức mẫu A= 3( + 2) 4( − 2) + ( − 2)( + 2) ( + 2)( − 2) 3( + 2) 4( − 2) + = 5+ 2+ 6− = 5+ 5−2 6−2 −1 2 +1 −1 2 +1 − + = − + b) B = +2 2+2 2 2 +1 2 +1 = ( C= ) = −1 2 +1 − + +2 2+2 2 = −1 2 +1 − + 2+2 2( + 2) = ( − 1) − + ( + 1)( + 2) 2( + 2) = 2− −2+2+2 + +2 2( + 2) = c) ) ( 2(2 + 2) 4+2 = = 2( + 2) 2( + 2) ( ) ( −2 3+ 15 − 12 + − = − −2 3+ −2 3+ ) = 3−2 =− *DẠNG 2: RÚT GỌN CÁC BIÊU THỨC CHỨA CHỮ Với biểu thức chữa chữ làm tương tự biểu thức số Chỉ khác biến đổi phải kèm theo điều kiện Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức sau: A = x − 16 x + 49 x (với x  ) B = 16 x + 40 x − 90 x (với x  ) Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng 1 28 x − 63x + 343x − x −1 D= x −1 − x − + 24 2 64 E = 16 x − 32 + x − 18 − x − 18 (với x  ) C = 7x − F = 5a 64ab3 − 12a3b3 + 2ab 9ab − 5b 81a3b I= ( với x  1) ( với x  ) ( với a  0, b  ) a a b + ab + b b a Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau A = x2 + x + + x2 − x + B = x − + 16 − 8x + x2 với x  C = − x − − x + x2 với x  D = x + x − + x − x − với x  E = x + 2 x − + x − 2 x − với x  Ví dụ 3: Rút gọn biểu thức sau A= x x−y y ( với x  0; y  0; x  y) x− y B= a+ b a− b (với a  0; b  0; a  b) + a− b a+ b C= a −b a − b3 − (với a  0; b  0; a  b) a −b a− b D= x2 + 2x + (với x   x2 − E = 4x − + 2) x3 + x (với x  −2 ) x+2 x −1 F= y −1 ( y − y + 1) ( x − 1) I = a−( a − a −1 ( với x  1; y  1và y  ) − a + a −1 );(a  1)  a b  G =  +  a b - b a với a  0, b  0, a  b ab-b ab-a   ( H= x + y + xy x+ y : x− y ) Với x > 0, y > x  y Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng x 2x − x với x  0; x  + x −1 x−x  a+3 a   a −1  N =  −    + 1 , víi a  0; a   a +3   a −1  M=  a  P= +  : a − , với a > a  a −2  a +2 CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN GIÁ TRỊ BIỂU THỨC SAU KHI RÚT GỌN DẠNG 3: (Tính giá trị biểu thức biết giá trị biến Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị nguyên biểu thức ) * CÁC BƯỚC THỰC HIỆN: Bước 1: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa (căn thức xác định, mẫu khác khơng… tốn chưa cho) Bước 2: Rút gọn biểu thức cho Lưu ý: + Áp dụng quy tắc đổi dấu cách hợp lý để làm xuất mẫu thức chung + Thường xuyên để ý xem mẫu có bội ước mẫu khác không Bước 3: Sử dụng kết rút gọn để giải toán liên quan đến giá trị biểu thức ( ln phải ý đến điều kiện xác định) Ví dụ 1: Cho biểu thức A= x x +1 x −1 − x −1 x +1 a) Rút gọn A b) Tính giá trị A x = c) Tìm x để A = d) Tìm tất giá trị x để A 0, x  )  - a  a   - a  với a ≥ a ≠   x+ x x−4 với x > + x x +2  x + x  x − x  E = 1 +   +  với  x   1+ x  1− x  a − 25a + 4a3 với a  F= a + 2a G = ( a − + 1)2 + ( a − − 1)2 với a > 11 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng H= x2 − x x2 + x − + x + với x  x + x +1 x − x +1 3 x +6 x  x-9 I =  + : x −  x −  x-4 với x  0, x  4, x  x - 2x + M= , với < x < x-1 4x BÀI TOÁN TỔNG HỢP Bài 1: Cho biểu thức B= x 1 + + x−4 x −2 x +2 ( Đ/S: x ) x −2 (Đ/S: x + 16 ) x +3 a) Rút gọn biểu thức B b) Tính giá trị B x = − c/ Tìm giá trị x để B< d) Tìm x nguyên để B số nguyên tố Bài 2: Cho biểu thức A = x x + 26 x − 19 x x −3 − + x + x −3 x −1 x +3 a) Rút gọn A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm giá trị nhỏ A  x −2 x +   1− x  − Bài 3: Cho biểu thức B =      x −1 x + x +1    (Đ/S: − x ( x − 1) ) a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm x để B > c) Tìm x để B = -2 d) Tìm giá trị lớn B Bài 4: Cho biểu thức C = x x 3x + + − x +3 x −3 x −9 (Đ/S: ) x +3 (Đ/S: x −5 ) x +5 a) Rút gọn biểu thức C b) Tìm giá trị x để C = c) Chứng minh với x thỏa mãn ĐKXĐ A < d) Tìm giá trị lớn biểu thức A Bài 5: Cho biểu thức D = x 10 x − − x − x − 25 x +5 a) Tìm điều kiện xác định D rút gọn D 12 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng b) Tính giá trị D x = c) Tìm x để D< d) Tìm giá trị nhỏ D e) Tìm x nguyên để D nhận giá trị nguyên    Bài 6: Cho biểu thức B = 1 +   + −  x   x +1 x −1 x −1   a) Rút gọn biểu thức B b) Tìm giá trị x để B = (Đ/S ) X  1   − + 1 với a >0 a  ( Đ/S )  1+ a  − a + a  a  Bài 7: Cho biểu thức: P =  a) Rút gọn biểu thức P b) Với giá trị a P > b Bài 8: Cho biÓu thøc B = ( b +2 − b b −2 + b −1 víi b  vµ b  ): b−4 b +2 a) Rót gän biĨu thøc B ( Đ/S b) Tính giá trị B b = + Bài 9: Cho biểu thức: P = x x −8 x+2 x +4 + 3(1 − x ) , với x  −1 ) b +2 ( Đ/S − x ) a/ Rút gọn biểu thức P b/ Tìm giá trị nguyên dương x để biểu thức Q =  x +1  Bài 10: Cho biểu thức A =  + : x −  ( x − 1)  x− x 2P nhận giá trị 1− P x −1 ( Đ/S ) x a) Nêu ĐKXĐ rút gọn A b) Tìm giá trị x để A = c) Tìm giá trị lớn biểu thức P = A - x  x    + + Bài 11: Cho biểu thức : A =   :   ( x  0, x  1)  x −1 x − x   x +1 x −1  a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị x cho A  ( Đ/S 13 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” x +1 ) x Trường THCS Tam Hồng Bài 12: Cho M = x x −1 x x +1 − x− x x+ x (Đ/S M = 2) a) Tìm điều kiện để M có nghĩa b) Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa) c) Cho N= 1   6x + + x +  Tìm tất giá trị x để M = N 18  x x  Bài 13: Cho biểu thức : A = 1 − +1 x −1 x +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tìn x để A = - c) Tìm x nguyên để giá trị A nguyên tố x với x>0 x  − x −1 x − x Bài 14: Cho biểu thức Q = a) Thu gọn Q b) Tìm giá trị x  R cho x  Q có giá trị nguyên Bài 15: Cho biểu thức: T = 2x + 1 − − 1− x 1+ x 1− x a) Tìm điều kiện x để T xác định Rút gọn T b) Tìm giá trị lớn T Bài 16: Cho M = x x −1 x x +1 − x− x x+ x (Đ/S M = 2) a) Tìm điều kiện để M có nghĩa b) Rút gọn M (với điều kiện Mcó nghĩa) c) Cho N= 1   6x + + x +  Tìm tất giá trị x để M = N 18  x x    x + Bài 17: Cho biểu thức P =  (với x > 0, x  1) : x −1  x - x +1 x- x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P >  a a  a +1 −  : a − a a   a-1 Bài 18: Cho biểu thức A =  với a > 0, a  14 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm giá trị a để A < a a -1 a a + 1 a +2 Bài 19: Cho biểu thức: P =  với a > 0, a  1, a  : a + a  a -  a- a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị nguyên a để P có giá trị nguyên Bài 20: Cho biểu thức P= x +1 + x -2 x 2+5 x với x ≥ 0, x ≠ + 4-x x +2 1) Rút gọn P 2) Tìm x để P =  x    +  :    x - x - x   x +1 x -  Bài 21: Cho M =  với x  0, x  a) Rút gọn M b) Tìm x cho M > Bài 22: Cho biểu thức: K = x 2x - x x -1 x - x với x >0 x  1) Rút gọn biểu thức K 2) Tìm giá trị biểu thức K x = +   x − Bài 23: Cho biểu thức P =  với x > : x +1  x + x +1 x+ x a) Rút gọn biểu thức P b) Tìm giá trị x để P >  a a −  a +1 a + a Bài 24: Cho biểu thức A =   a −1  :  a-1 với a > 0, a  1) Rút gọn biểu thức A 2) Tìm giá trị a để A < Bài 25: Cho biểu thức  P =   a −3 +   1 −  với a > a  a +  a a) Rút gọn biểu thức P 15 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” Trường THCS Tam Hồng b) Tìm giá trị a để P >  2 a  a  :  với a > 0, a  − Bài 26: Cho biểu thức A = 1 −     a +1  a +1 a a + a + a +1 a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A a = 2011 - 2010 Bài 27: Cho biểu thức:  x   Q =  −  2 x    x +1   x −1 −  x −1  x +  a) Tìm tất giá trị x để Q có nghĩa Rút gọn Q 2) Tìm tất giá trị x để Q = - x - Bài 28: Cho biểu thức: P = a a +1 + a với a > 0, a  + + 9−a a +3 a −3 a) Rút gọn b) Tìm a để P < C KẾT LUẬN Do thời gian có hạn mục đích chuyên đề áp dụng cho học sinh đại trà, nên lượng tập đơn giản chưa thật đa dạng, đầy đủ Trong tình viết chun đề khơng tránh khỏi thiếu sót, mong đồng chí tổ tham gia góp ý xây dựng để chun đề tơi có khả áp dụng rộng rãi có tính thiết thực hơn! Tơi xin chân thành cảm ơn! Tam Hồng, tháng 11 năm 2019 Nguyễn Thị Dinh 16 Chuyên đề: “Rút gọn biểu thức chứa bậc hai” ... trục thức quy đồng: Lưu ý: Tùy mà ta trục thức mẫu quy đồng rút gọn số hạng + Ví dụ 4: Rút gọn biểu thức sau: a) A = + 5− 6+ b) B = −1 2 +1 − + +2 2+2 2 Chuyên đề: ? ?Rút gọn biểu thức chứa bậc hai? ??... ( 99 − 18 − 11 ) 11 + 22 I = ( + ) − 60 F = ( + ) − 250 K= ( 28 − + ) + 84 Chuyên đề: ? ?Rút gọn biểu thức chứa bậc hai? ?? Trường THCS Tam Hồng + Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức sau 27 48 75 − − 16 49. .. giá trị biểu thức biết giá trị biến Tìm giá trị biến biết giá trị biểu thức thoả mãn điều kiện Ví dụ: Tìm GTLN, GTNN, giá trị ngun biểu thức ) Chuyên đề: ? ?Rút gọn biểu thức chứa bậc hai? ?? Trường