Chuyên đề môn Toán 9 ôn thi vào lớp 10

Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn CHUYÊN ĐỀ TOÁN PHẦN I: HỆ THỐNG CÁC VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TOÁN -*** VẤN ĐỀ I: RÚT GỌN BIỂU THỨC CHỨA CĂN BẬC HAI A Kiến thức cần nhớ: A.1 Kiến thức A.1.1 Căn bậc hai a Căn bậc hai số học - Với số dương a, số a gọi bậc hai số học a - Số gọi bậc hai số học x  - Một cách tổng quát: x  a   x  a b So sánh bậc hai số học - Với hai số a b không âm ta có: a  b  a  b A.1.2 Căn thức bậc hai đẳng thức A2  A a Căn thức bậc hai - Với A biểu thức đại số , người ta gọi A thức bậc hai A, A gọi biểu thức lấy hay biểu thức dấu A xác định (hay có nghĩa)  A  b Hằng đẳng thức A2  A - Với A ta có A2  A - Như vậy: + A2  A A  + A2   A A < A.1.3 Liên hệ phép nhân phép khai phương a Định lí: + Với A  B  ta có: A.B  A B + Đặc biệt với A  ta có ( A )2  A2  A b Quy tắc khai phương tích: Muốn khai phương tích thừa số khơng âm, ta khai phương thừa số nhân kết với c Quy tắc nhân bậc hai: Muốn nhân bậc hai số khơng âm, ta nhân số dấu với khai phương kết A.1.4 Liên hệ phép chia phép khai phương a Định lí: Với A  B > ta có: A  B A B b Quy tắc khai phương thương: Muốn khai phương thương a/b, a khơng âm b dương ta khai phương hai số a b lấy kết thứ chí cho kết thứ hai Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn c Quy tắc chia bậc hai: Muốn chia bậc hai số a không âm cho số b dương ta chia số a cho số b khai phương kết A.1.5 Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai a Đưa thừa số dấu - Với hai biểu thức A, B mà B  0, ta có A2 B  A B , tức + Nếu A  B  A2 B  A B + Nếu A < B  A2 B   A B b Đưa thừa số vào dấu + Nếu A  B  A B  A2 B + Nếu A < B  A B   A2 B c Khử mẫu biểu thức lấy - Với biểu thức A, B mà A.B  B  0, ta có A  B AB B d Trục thức mẫu - Với biểu thức A, B mà B > 0, ta có A A B  B B - Với biểu thức A, B, C mà A  A  B , ta có C C ( A  B)  A  B2 AB - Với biểu thức A, B, C mà A  0, B  A  B , ta có C ( A  B) C  A B A B A.1.6 Căn bậc ba a Khái niệm bậc ba: - Căn bậc ba số a số x cho x3 = a - Với a ( a )3  a3  a b Tính chất - Với a < b a  b - Với a, b ab  a b - Với a b  a 3a  b 3b A.2 Kiến thức bổ xung (*) Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n (  n  N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)  Mọi số có bậc lẻ Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn  Căn bậc lẻ số dương số dương  Căn bậc lẻ số âm số âm  Căn bậc lẻ số số c Căn bậc chẵn (n = 2k )  Số âm khơng có bậc chẵn  Căn bậc chẵn số số  Số dương có hai bậc chẵn hai số đối kí hiệu 2k a 2k a d Các phép biến đổi thức  A xác định với A A xác định với A  k 1 2k  k 1 A2 k  A với  A 2k  k 1 k 1 A2 k 1.B  A.2 k 1 B với  A, B A2 k B  A k B với  A, B mà B  2k  A.B  k 1 A.2 k 1 B với  A, B A.B  k A k B với  A, B mà A.B  2k  A2k 1  A với  A k 1 A  B A  B 2k  m n  m k 1 k 1 2k A 2k B A với  A, B mà B  B với  A, B mà B  0, A.B  A  mn A với  A, mà A  m n A  A với  A, mà A  n B MỘT SỐ BÀI TẬP CÓ LỜI GIẢI Bài 1: Tính: 3- a A = 2- 3+ + 3+ 2 b B = 2+ - 2 5+ 5- + 5- 5+ c C = 1 + 20 + 5 HƯỚNG DẪN GIẢI: 3- a A = 2- = 3+ 2 2( - 3) + - 1+ 3+ + 2( - 3) = 4- + 2+ - 2 2( + 3) + 1- = + 2( + 3) 4+ - 2( - 3) + 2( + 3) 24 = =- 3- - Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 5+ 5- (5 + )2 + (5 - )2 25 + 10 + + 25 - 10 + 60 + = = = =3 25 - 20 5- 5+ (5 - )(5 + ) 1 5 c C = + 20 + = 4.5 + = + + =3 + 5 b B =  Bài 2: Cho biểu thức A =  x x   : x 1   x 1  x 1 a) Nêu điều kiện xác định rút biểu thức A b.Tim giá trị x để A = c.Tìm giá trị lớn cua biểu thức P = A - x HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện  x  Với điều kiện đó, ta có: A  x b) Để A = x 1  x c) Ta có P = A - x =  x 1 x 1  x 1 :  x 1  x 1 x 9  x   x  (thỏa mãn điều kiện) Vậy x  A = 3    x  9 x   1 x x  x 1 Áp dụng bất đẳng thức Cơ –si cho hai số dương ta có: x   x x Suy ra: P  6   5 Đẳng thức xảy x   x x Vậy giá trị lớn biểu thức P  5 x  Bài 3: 1) Cho biểu thức A  6 x 9 x 4 Tính giá trị A x = 36 x 2  x  x  16  2) Rút gọn biểu thức B   (với x  0; x  16 ) : x   x   x 4 3) Với biểu thức A B nói trên, tìm giá trị x nguyên để giá trị biểu thức B(A – 1) số nguyên HƯỚNG DẪN GIẢI: 36  10   36  x( x  4) 4( x  4)  x  (x  16)( x  2) x 2   =  x  16 x  16  x  16 (x  16)(x  16) x  16 1) Với x = 36 (Thỏa mãn x >= 0), Ta có : A =  2) Với x  0, x  16 ta có :B =   Tốn 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt 3) Ta có: B( A  1)  https://giasudaykem.com.vn x 2  x 4  x 2 2   1   x  16  x   x  16 x  x  16 Để B( A 1) nguyên, x nguyên x  16 ước 2, mà Ư(2) = 1; 2 Ta có bảng giá trị tương ứng: x  16 1 2 x 17 15 18 14 Kết hợp ĐK x  0, x  16 , để B( A 1) nguyên x  14; 15; 17; 18  P Bài 4: Cho biểu thức: x ( x  y )(1  y )  y x       y) x 1 xy  x  1 y  a) Tìm điều kiện x y để P xác định Rút gọn P b) Tìm x,y nguyên thỏa mãn phương trình P = HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Điều kiện để P xác định :; x  ; y  ; y  ; x  y    ( x  y)   x x  y y   xy  x  y   x  y 1  x 1  y   x  y 1  x 1  y   x  y  x  y  x  xy  y  xy   x  x  1  y  x  1  y 1  x 1  x    x  y 1  x 1  y  1  x 1  y  x 1  y 1  y   y 1  y  x  y  y  y x  x  xy  y    y  y     P x(1  x )  y (1  Vậy P = y )  xy x   x  xy  y y b) ĐKXĐ: x  ; y  ; y  ; x  y  P =  x  xy  y =     x1    y  x 1 1   y 1 1 y 1 Ta có: + y   x     x   x = 0; 1; 2; ; Thay x = 0; 1; 2; 3; vào ta cócác cặp giá trị x=4, y=0 x=2, y=2 (thoả mãn) Bài 5:Cho biểu thức M = x 9 x5 x 6  x 1 x 3  x3 2 x a Tìm điều kiện x để M có nghĩa rút gọn M Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b Tìm x để M = c Tìm x  Z để M  Z HƯỚNG DẪN GIẢI: M= x 9 x5 x 6  x 1 x 3  x 3 2 x a.ĐK x  0; x  4; x  Rút gọn M = x 9  0,5đ Biến đổi ta có kết quả: M = b M    x        x  x 2 x 2  x 1 5 x 3  x 2 M= x 3 x 1       x  3 x 2  x 1  x 1 x 3  M x  2  x 1 x 3 x  15  16  x 16   x  16 Đối chiếu ĐK: x  0; x  4; x  c M =  x  x   x 1 x 2 x 3 x 1 x 3 Do M  z nên  x 3 x 3  1 Vậy x = 16 M = x 3 x  ước  x  nhận giá trị: -4; -2; -1; 1; 2; Lập bảng giá trị ta được:  x  1;4;16;25;49 x   x  1;16;25;49 Bài 6: Cho biểu thức P = ( a a-1 a+1 ) ( ) Với a > a ≠ 2 a a+1 a-1 a) Rút gọn biểu thức P b Tìm a để P < HƯỚNG DẪN GIẢI: a) P = ( a a-1 a+1 ) ( ) Với a > a ≠ 2 a a+1 a-1 P ( a a 1 a 1  ) (  ) 2 a a 1 a 1 P ( P ( a  a  a  1 a  a  ) a1 a P Vậy P = a a  ( a  1)2  ( a  1)2 ) a ( a  1)( a  1) (a  1)4 a  a  4a a 1 a Víi a > a ≠ a Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b) Tìm a để P < 0Với a > a ≠ nên a > Bài 7: Cho biểu thức: Q = P= 1-a <  - a <  a > ( TMĐK) a a a b -(1+ 2 ): a -b a -b a - a2 - b2 a) Rút gọn Q b Xác định giá trị Q a = 3b HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Rút gọn: = a a2 - b2 + a a - a2 - b2 = 2 b a -b a2 - b2 a a b Q= 2 -(1+ 2 ): a -b a -b a - a2 - b2 a b a-b 2 2 = a -b a -b a - b2 b) Khi có a = 3b ta có: ( a - b )2 = (a - b)(a + b) = 3b - b = 3b + b Q= 2b = 4b a-b a+b  1   A      Bài 8: Cho biểu thức y  x  y x  x 3 1 x  y x  x y  y : y  x y  xy a ) Rút gọn A; b) Biết xy = 16 Tìm giá trị x, y để A có giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị HƯỚNG DẪN GIẢI: Đkxđ : x > , y >  1     a) A   y  x  y x  x 1 : y   x y x  y    :   xy xy x  y    x  y    :  xy  xy    b) Ta có   Do A  xy x y  xy  xy  y x  y  x xy  x  y  y  xy xy   x  y x  xy  y  xy y    x  y   x x   x3  y x  x y  y3 16 16     y  x y  x y x xy xy   xy  x y x y 2 x y xy xy  ( xy = 16 ) Tốn 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn   x y  x  y   xy  16   Vậy A =  x   x 2   P      Bài 9: Cho biểu thức:    x  x  x   2  x x  x    c) Tính giá trị P với x   2 a) Tìm điều kiện để P có nghĩa b) Rút gọn biểu thức P HƯỚNG DẪN GIẢI:    a Biểu thức P có nghĩa :     x 0 x x x 1    2 x 0 x  x x 1   0 x    x  2 x   3 1 b) Đkxđ : x  1; x  2; x   P        x  x 1 x 1  x  x 1 x  x 1     x3   x  x 1     2 x  3 x 2  x  x  x     x     x x 1  x 1        2 x  x x    x  x   x  3 x    x  x   x  x  x  3 x        x          x  x x  1  x3 x 2 x  x   x  1   x  x 1  1 x   1 2 x  x  x 1  x 1    x x x 2 x c) Thay x   2   vào biểu thức P  , ta có: x   P   2    1  1 Bài 10: Cho biểu thức:   2    2 1 1 P =(   1  1 1  1 x 8x x 1  ):(  ) 2 x 4 x x2 x x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P = -1 c) Tìm m để với giá trị x > ta có: m( x  3) P  x  HƯỚNG DẪN GIẢI: a) Ta có: x  x  x ( x  2) Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x   x   x 0     ĐKXĐ:  x  x4    x 2    Với x > P= ( x  ta có: x 8x x 1  ):(  ) 2 x x4 x ( x  2) x  x ( x  2)  x : ( x  2)( x  2)  4 x  x : ( x  2)( x  2) x   2( x  2) x ( x  2)  x  8x  8x : ( x  2)( x  2)  x 3 ( Đk: x  9) x ( x  2) 4 x ( x  2) x ( x  2) Với x > , x  4, x  P =  ( x  2)( x  2) 3 x b) 4 x x ( x  2) (3  x )( x  2) 4x  x 3  Đặt x 1  x  x ( x  2)  4x x 3 P=-1 4x  1 ( ĐK: x > 0, x  4, x  ) x 3  4x   x  4x   x  x  y đk y > Ta có phương trình: y  y   Các hệ số: a + b + c = 4- 1-3 =0  y1  1 ( không thoả mãn ĐKXĐ y > 0), Với y   x x = ( thoả mãn đkxđ) 16 c) m( x  3) P  x   m( x  3) y2  ( thoả mãn ĐKXĐ y > 0) Vậy với x = P = - 16 (đk: x > 0; x  4, x  ) 4x x 1  x   m.4 x  x   m  4x x 3 ( Do 4x > 0) Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn x 1 x 1     Có x > (Thoả mãn ĐKXĐ) 4x 4x 4x 4x 1   ( Hai phân số dương cùng tử số, phân số có mẫu số lớn nhỏ hơn) x  Xét  1 1 1 1         4x 36 4x 36 4x 18  x 1   18 4x m Theo kết phần ta có :  18 m  x   4x  Kết luận: Với m  , x  m( x  3) P  x  18 C MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ LUYỆN: Câu Cho biểu thức : A( x 1  x 1 x2 1  1 x2 )2 1) Tim điều kiện x để biểu thức A có nghĩa 2) Rút gọn biểu thức A 3) Giải phương trình theo x A = -2 Câu2 Cho biểu thức : A  ( xx x x 1   x 2   ) :  x   x  x   a) Rút gọn biểu thức b) Tính giá trị A x   Câu3 Cho biểu thức : A  x 1 : x x x x x  x a) Rút gọn biểu thức A b) Coi A hàm số biến x vẽ đồ thi hàm số A   1     :   1- x  x    x  x   x Câu4 Cho biểu thức : A=  a) Rút gọn biểu thức A b) Tính giá trị A x =  c) Với giá trị x A đạt giá trị nhỏ  a a 1 a a 1  a    : a  a a  a   a2 Câu Cho biểu thức : A =  Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 10 Gia sư Tài Năng Việt  x 2 x 2 a Q     x  x x  x  x     https://giasudaykem.com.vn        x 2    x 1    x x 1   x 2  x 1    x 1  x 2  x  1 x 2 x  1  1     x    1   x     x  x 1   x  x  x  x  x        2x 2x  x  1 x  x  Vậy Q    x  x   x  x 1 x 1 x 1 x 1 x 1  x 1 b Q nhận giá trị nguyên 2x 2x   2   2 x 1 x 1 x 1  chia hết cho x  Q  x 1 x  x  x   1   đối chiếu điều kiện  x  1 x      x  Q x  x   Câu Cho pt x  2(m  1)x  m   , với x ẩn số, m R a Giải phương trình cho m  – Ta có phương trình x  2x   x  2x    x  2x     x  1    5 x 1    x  1    x 1     x    x  1  Vậy phương trinh có hai nghiệm x  1  x  1  b Theo Vi-et, ta có  x1  x   x1x     x1  x  2m  (1)  x1  x  2m     (2) m  x1x   x1 x  m   m  x1 x  Suy x1  x   x1x     x1  x  2x1x   Câu (m  1)x  (m  1)y  4m , với m R x  (m  2)y  Cho hệ phương trình  a Giải hệ cho m  –3 2x  2y  12  x  y  6 x     x  5y   x  5y  y  Vậy hệ phương trình có nghiệm  x; y  với  7;1 Ta hệ phương trình  Tốn 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 98 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn b Điều kiện có nghiệm phương trình m    m  1    m  1 m      m  1 m2   m  1 m     m  1    m  1 m  1  m  1 m     m  m   Vậy phương trình có nghiệm m  1 m  (m  1)x  (m  1)y  4m m  1  x  (m  2)y  m  4m   4m x  y x   x  y  (m  1)x  (m  1)y  4m   m      m 1     x  (m  2)y  x  (m  2)y  y  2 y    m 1  4m  2  Vậy hệ có nghiệm (x; y) với  ;   m  m  1 Giải hệ phương trình  4m  m 1 2 m 1 Câu a Viết phương trình đường thẳng d Đường thẳng d với hệ số góc k có dạng y  kx  b Đường thẳng d qua điểm M(0; 1) nên  k.0  b  b  Vậy d : y  kx  b Phương trình hồnh độ giao điểm (P) d  x  kx   x  kx   , có   k  d cắt (P) hai điểm phân biệt    k  2 k    k   k  22  k    k  Câu a BCDE nội tiếp BEC  BDC  900 Suy BCDE nội tiếp đường trịn đường kính BC b H, J, I thẳng hàng IB  AB; CE  AB (CH  AB) Suy IB // CH IC  AC; BD  AC (BH  AC) Suy BH // IC Như tứ giác BHCI hình bình hành J trung điểm BC  J trung điểm IH Vậy H, J, I thẳng hàng Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 99 Gia sư Tài Năng Việt c ACB  AIB  https://giasudaykem.com.vn AB ACB  DEA cùng bù với góc DEB tứ giác nội tiếp BCDE BAI  AIB  900 ABI vng B Suy BAI  AED  900 , hay EAK  AEK  900 Suy AEK vuông K Xét ADM vuông M (suy từ giả thiết) DK  AM (suy từ chứng minh trên) Như 1   2 DK DA DM KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Bài 1: (3, điểm) Học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi y  x  5x  3y  10 a) Giải phương trình: 2x – = b) Rút gọn biểu thức A  a 3 a 2 b Giải hệ phương trình:   a 1 a2  a  với a  0, a   a4 a 2 c) Tính giá trị biểu thức B     Bài 2: (2, điểm) Cho parabol (P) đường thẳng (d) có phương trình y  mx2 y   m   x  m  (m tham số, m  0) a) Với m = –1 , tìm tọa độ giao điểm (d) (P) b) Chứng minh với m  đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài 3: (2, điểm)Quãng đường từ Quy Nhơn đến Bồng Sơn dài 100 km Cùng lúc, xe máy khởi hành từ Quy Nhơn Bồng Sơn xe ô tô khởi hành từ Bồng Sơn Quy Nhơn Sau hai xe gặp nhau, xe máy 30 phút đến Bồng Sơn Biết vận tốc hai xe không thay đổi suốt quãng đường vận tốc xe máy kém vận tốc xe ô tô 20 km/h Tính vận tốc xe Bài 4: (3, điểm) Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Gọi C trung điểm OA, qua C kẻ dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tùy ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MN a) Chứng minh tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) Chứng minh AK.AH = R2 Trên KN lấy điểm I cho KI = KM, chứng minh NI = KB ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ Bài 1: Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 a) 2x – = x    x   x  100 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn y  x  5x  5y  10 2y  20  y  10    5x  3y  10 5x  3y  10 y  x  x  b)  c)  a 3 a  3 a 1 a2  a  A    a4 a 2 a 2      a     a  a  2 a  2 a   a 1 5a  10 a  a   3a  a  a   a  a   a 2  a 2   a  8a  16  a 2  a 2     a 8    a  8a  16  a 2  a 2    a  4     a  4   a a4 d) B        1  2    1    1   Bài 2: a) Với m  1  P   d  trở thành y   x2 ; y  x  Lúc phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  là:  x  x   x  x   có a  b  c     nên có hai nghiệm x1  1; x2  2 Với x1   y1  1 Với x2  2  y2  4 Vậy tọa độ giao điểm  P   d  1; 1  2; 4  b) Phương trình hồnh độ giao điểm  P   d  là: mx2   m  2 x  m   mx2   m   x  m   * Với m  * phương trình bậc hai ẩn x có    m    4m  m  1  m2  4m   4m2  4m  5m2   với m Suy * ln có hai nghiệm phân biệt với m Hay với m  đường thẳng (d) cắt parabol (P) hai điểm phân biệt Bài 3: Đổi 1h30'  1,5h Đặt địa điểm : - Quy Nhơn A 100-1,5x - Hai xe gặp C A - Bồng Sơn B Gọi vận tốc xe máy x  km / h  ĐK : x  1,5x C B Suy : Vận tốc ô tô x  20  km / h  Quãng đường BC : 1,5x  km  Quãng đường AC : 100  1,5x  km  Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 101 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 100  1,5x h x 1,5 x Thời gian ô tô máy từ B đến C : h x  20 Thời gian xe máy từ A đến C : Vì hai xe khởi hành cùng lúc, nên ta có phương trình : 100  1,5 x 1,5 x  x x  20 Giải pt : 100  1,5 x 1,5 x   100  1,5 x  x  20   1,5 x  100 x  2000  1,5 x  30 x  1,5 x x x  20  3x  70 x  2000   '  35  3.2000  1225  6000  7225    '  7225  85 35  85  40 (thỏa mãn ĐK) Phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1  35  85 50 x2   (không thỏa mãn ĐK) 3 Vậy vận tốc xe máy 40 km / h K M Vận tốc ô tô 40  20  60  km / h  Bài 4: a) Tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp Ta có : AKB  900 (góc nội tiếp chắn đường tròn) hay HKB  900 ; HCB  900  gt  E H I A Tứ giác BCHK có HKB  HCB  900  900  1800  tứ giác BCHK tứ giác nội tiếp b) AK AH  R Dễ thấy ΔACH ΔAKB  g.g   C O B N AC AH R   AK AH  AC AB   R  R AK AB c) NI  KB OAM có OA  OM  R  gt   OAM cân O 1 OAM có MC đường cao đồng thời đường trung tuyến (gt)  OAM cân M   1 &    OAM tam giác  MOA  600  MON  1200  MKI  600 KMI tam giác cân (KI = KM) có MKI  600 nên tam giác  MI  MK  3 2 Dễ thấy BMK cân B có MBN  MON   1200  600 nên tam giác  MN  MB   Gọi E giao điểm AK MI Dễ thấy NKB  NMB  600     NKB  MIK  KB // MI (vì có cặp góc vị trí so le nhau) mặt MIK  600   khác AK  KB  cmt  nên AK  MI E  HME  900  MHE Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 102 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn   Ta có : HME  900  MHE  cmt    HAC  HME mặt khác HAC  KMB (cùng chắn KB )  AHC  MHE  dd   HAC  900  AHC  5  3 ,   &  5  IMN  KMB  c.g.c   NI  KB (đpcm)  HME  KMB hay NMI  KMB KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -*** Câu (2 điểm) 1.Tính 2- 2 Xác định giá trị a,biết đồ thị hàm số y = ax - qua điểm M(1;5) Câu 2: (3 điểm) 1.Rút gọn biểu thức: A = ( a- a + ).( + 1) với a>0,a ¹ a - a- a a- ìï x - y = 2.Giải hệ pt: ïí ïïỵ 3x + y = Chứng minh pt: x + mx + m - = ln có nghiệm với giá trị m Giả sử x1,x2 nghiệm pt cho,tìm giá trị nhỏ biểu thức B = x21 + x22 - 4.( x1 + x2 ) Câu 3: (1,5 điểm) Một ôtô tải từ A đến B với vận tốc 40km/h Sau 30 phút ơtơ taxi xuất phát từ A đến B với vận tốc 60 km/h đến B cùng lúc với xe ơtơ tải.Tính độ dài qng đường AB Câu 4: (3 điểm) Cho đường tròn (O) điểm A cho OA=3R Qua A kẻ tiếp tuyến AP AQ đường tròn (O),với P Q tiếp điểm.Lấy M thuộc đường tròn (O) cho PM song song với AQ.Gọi N giao điểm thứ đường thẳng AM đường tròn (O).Tia PN cắt đường thẳng AQ K 1.Chứng minh APOQ tứ giác nội tiếp 2.Chứng minh KA2=KN.KP 3.Kẻ đường kính QS đường trịn (O).Chứng minh tia NS tia phân giác góc PNM Gọi G giao điểm đường thẳng AO PK Tính độ dài đoạn thẳng AG theo bán kính R Câu 5: (0,5điểm) Cho a,b,c số thực khác khơng thoả mãn: Tốn 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 103 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn ìï a (b + c ) + b (c + a ) + c ( a + b) + 2abc = ïí ïï a 2013 + b 2013 + c 2013 = ỵ 1 Hãy tính giá trị biểu thức Q = 2013 + 2013 + 2013 a b c Câu Ý 1 ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ Nội dung 2- 2= 2+1 ( - 1).( + 1) 2= 2+1 ( 2) - 1) 2= + 1- Điểm 2= 1 KL: 2 Do đồ thị hàm số y = ax-1 qua M(1;5) nên ta có a.1-1=5 Û a=6 KL: A= ( = ( a a ( a - 2) ( a - 1).( a - 2) ).( + 1) = a ( a - 2) a- a- ).( a - + 1) = a=1 a ( a - 2) a 0,5 0,5 KL: ìïï x - y = Û í ïïỵ 3x + y = ìïï x - y = Û í ïïỵ 15 x + y = 25 ìïï x - y = ìïï y = - Û í í ïïỵ 17 x = 34 ïïỵ x = KL: Xét Pt: x + mx + m - = 0,25 Δ = m2 - 4(m - 1) = m2 - 4m + = (m - 2) ³ Vậy pt có nghiệm với m ìï x1 + x2 = - m ïïỵ x1 x2 = m - Theo hệ thức Viet ta có ïí 0,25 Theo đề B = x 21 + x 2 - 4.( x1 + x2 ) = ( x1 + x2 ) - x1 x2 - 4.( x1 + x2 ) = m - 2(m - 1) - 4(- m) = m - 2m + + 4m = m + 2m + + = (m + 1) + ³ 0,5 Vậy minB=1 m = -1 KL: Gọi độ dài quãmg đường AB x (km) x>0 0,25 Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 104 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 0,25 x h 40 x Thời gian xe Taxi từ A đến B : h 60 Do xe tải xuất phát trước 2h30phút = nên ta có pt x x = 40 60 Û x - x = 300 Thời gian xe tải từ A đến B 0,25 0,25 0,25 Û x = 300 0,25 Giá trị x = 300 có thoả mãn ĐK Vậy độ dài quãng đường AB 300 km Xét tứ giác APOQ có APO = 900 (Do AP tiếp tuyến (O) P) AQO = 900 (Do AQ tiếp tuyến (O) Q) Þ APO + AQO = 1800 ,mà hai góc góc đối nên tứ giác APOQ 0,75 tứ giác nội tiếp P S M N A I G O K Q Xét Δ AKN Δ PAK có AKP góc chung APN = AMP ( Góc nt……cùng chắn cung NP) Mà NAK = AMP (so le PM //AQ Δ AKN ~ Δ PKA (gg) Þ 0,75 AK NK = Þ AK = NK KP (đpcm) PK AK Kẻ đường kính QS đường trịn (O) Ta có AQ ^ QS (AQ tt (O) Q) Mà PM//AQ (gt) nên PM ^ QS Đường kính QS ^ PM nên QS qua điểm cung PM nhỏ sd PS = sd SM Þ PNS = SNM (hai góc nt chắn cung nhau) Hay NS tia phân giác góc PNM Chứng minh Δ AQO vng Q, có QG ^ AO(theo Tính chất tiếp tuyến cắt nhau) Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 0,75 105 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn 0,75 Theo hệ thức lượng tam giác vng ta có OQ R OQ = OI OA Þ OI = = = R OA 3R Þ AI = OA - OI = 3R - R = R 3 Do Δ KNQ ~ Δ KQP (gg) Þ KQ2 = KN KP mà AK = NK KP nên AK=KQ Vậy Δ APQ có trung tuyến AI PK cắt G nên G trọng tâm 2 16 Þ AG = AI = R = R 3 Ta có: a (b + c) + b (c + a ) + c (a + b) + 2abc = Û a 2b + a c + b c + b a + c a + c 2b + 2abc = Û ( a 2b + b a ) + (c a + c 2b) + (2abc + b 2c + a 2c ) = Û ab( a + b) + c (a + b) + c (a + b) = 0,25 Û ( a + b)(ab + c + ac + bc ) = Û ( a + b).( a + c ).(b + c ) = *TH1: a+ b=0 ìï a = - b Ta có ïí 2013 ïïỵ a +b 2013 +c 2013 ìï a = - b 1 Û ïí ta có Q = 2013 + 2013 + 2013 = a b c = ïïỵ c = 0,25 Các trường hợp lại xét tương tự Vậy Q = a 2013 + b 2013 + c 2013 =1 KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 10 -*** -    x x 1 x x 1  x  x 1  :   Bài 1: Cho biểu thức: P =      x x a,Rút gọn P x x   x 1  b,Tìm x ngun để P có giá trị ngun Bài 2: Cho phương trình: x2-( 2m + 1)x + m2 + m - 6= (*) a.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm âm b.Tìm m để phương trình (*) có nghiệm x1; x2 thoả mãn x1  x2 =50 Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 106 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Câu 3: Quảng đường AB dài 156 km Một người xe máy tử A, người xe đạp từ B Hai xe xuất phát lúc sau gặp Biết vận tốc người xe máy nhanh vận tốc người xe đạp 28 km/h Tính vận tốc xe? Bài 4: Cho tam giác có góc nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm O H trực tâm tam giác D điểm cung BC khơng chứa điểm A a, Xác định vị trí điẻm D để tứ giác BHCD hình bình hành b, Gọi P Q điểm đối xứng điểm D qua đường thẳng AB AC Chứng minh điểm P; H; Q thẳng hàng c, Tìm vị trí điểm D để PQ có độ dài lớn ĐÁP ÁN – GỢI Ý GIẢI ĐỀ SỐ 10 Bài 1: (2 điểm) ĐK: x  0; x   x x  1 x  z : a, Rút gọn: P = x x  1 x 1  P= x 1 ( x  1)  x 1 x 1 x 1   x   x  b P = x 1  1 x 1 x   1  x   x  Để P nguyên x 1 x 1   x   x  x   2  x  1( Loai) Vậy với x= 0;4;9 P có giá trị ngun Bài 2: Để phương trình có hai nghiệm âm thì:     2m  12  m  m     x1 x  m  m    x  x  2m       25    (m  2)( m  3)   m  3  m    b Giải phương trình: m  3  (m  3)  50  1  m1    5(3m  3m  7)  50  m  m     m  1   2 Bài Gọi vân tốc xe đạp x (km/h), điều kiện x > Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 107 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Thì vận tốc xe máy x + 28 (km/h) Trong giờ: + Xe đạp quãng đường 3x (km), + Xe máy quãng đường 3(x + 28) (km), theo ta có phương trình: 3x + 3(x + 28) = 156 Giải tìm x = 12 (TMĐK) Trả lời: Vận tốc xe đạp 12 km/h vận tốc xe máy 12 + 28 = 40 (km/h) Bài 4a Giả sử tìm điểm D cung BC cho tứ giác BHCD hình bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB H trực tâm tam giác ABC nên A CH  AB BH  AC => BD  AB CD  AC Do đó:  ABD = 900  ACD = 900 Q Vậy AD đường kính đường trịn tâm O H O Ngược lại D đầu đường kính AD P đường trịn tâm O C B tứ giác BHCD hình bình hành b) Vì P đối xứng với D qua AB nên  APB =  ADB D  ADB =  ACB  ADB =  ACB Do đó:  APB =  ACB Mặt khác:  AHB +  ACB = 1800 =>  APB +  AHB = 1800 Tứ giác APBH nội tiếp đường tròn nên  PAB =  PHB Mà  PAB =  DAB đó:  PHB =  DAB Chứng minh tương tự ta có:  CHQ =  DAC Vậy  PHQ =  PHB +  BHC +  CHQ =  BAC +  BHC = 1800 Ba điểm P; H; Q thẳng hàng c) Ta thấy  APQ tam giác cân đỉnh A Có AP = AQ = AD  PAQ =  2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ đạt giá trị lớn  AP AQ lớn hay  AD lớn  D đầu đường kính kẻ từ A đường tròn tâm O Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 108 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn PHẦN III: MỘT SỐ ĐỀ TỰ LUYỆN (THEO CẤU TRÚC ĐỀ THI THƯỜNG GẶP) MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – không kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ Bài 1Cho biểu thức A = ( x  3)  12 x + x2 ( x  2)  x a Rút gọn biểu thức A b Tìm giá trị nguyên x cho biểu thức A có giá trị nguyên Bài 2: (2 điểm)Cho đường thẳng: y = x-2 (d1) y = 2x – (d2) y = mx + (m+2) (d3) a Tìm điểm cố định mà đường thẳng (d3 ) qua với giá trị m b Tìm m để ba đường thẳng (d1); (d2); (d3) đồng quy Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m - = (1) a Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt b Tìm hệ thức liên hệ hai nghiệm phương trình (1) mà khơng phụ thuộc vào m c Tìm giá trị nhỏ P = x21 + x22 (với x1, x2 nghiệm phương trình (1)) Bài 4: Cho đường tròn (o) với dây BC cố định điểm A thay đổi vị trí cung lớn BC cho AC>AB AC > BC Gọi D điểm cung nhỏ BC Các tiếp tuyến (O) D C cắt E Gọi P, Q giao điểm cặp đường thẳng AB với CD; AD CE a Chứng minh DE// BC b Chứng minh tứ giác PACQ nội tiếp c Gọi giao điểm dây AD BC F Chứng minh hệ thức: 1 = + CE CE CQ Bài 5: Cho số dương a, b, c Chứng minh rằng:  a b c   2 ab bc ca KỲ THI TUYỂN SINH THPT - MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -***  x 1   x3 x 4 Bài 1: (2đ) Cho biểu thức: P =  a) Rút gọn P x 1 x  x 1 : 1 x 1 x   b) Tìm giá trị nhỏ P Tốn 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 109 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 2: (2đ) Một người đự định xe đạp từ A đến B cách 20 km thời gian định Sau với vận tốc dự định, đường khó nên người giảm vận tốc 2km/h quãng đường cịn lại, người đến B chậm dự định 15 phút Tính vận tốc dự định người xe đạp mx  y   x  my   m Bài 3: (1,5đ) Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình với m = b Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn x + y = Bài 4: (3đ)Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB Điểm M tuỳ ý nửa đường trịn.Gọi N P điểm cung AM cung MB AP cắt BN tạiI a) Tính số đo góc NIP b) Gọi giao điểm tia AN tia BP C; tia CI AB D Chứng minh tứ giác DOPN nội tiếp c) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn OC M di động nửa tròn tròn tâm O Bài 5: (1,5đ) Cho hàm số y = -2x2 (P) đường thẳng y = 3x + 2m – (d) a) Tìm m để (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm toạ độ hai điểm b) Tìm quỹ tích chung điểm I AB m thay đổi KỲ THI TUYỂN SINH THPT- MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ 2( x  1) x  10 x    Bài 1(2 điểm): Cho biểu thức M  x 1 x  x 1 x3  1 Với giá trị x biểu thức có nghĩa Rút gọn biểu thức Tìm x để biểu thức có giá trị lớn Bài 2(2,5 điểm):Cho hàm số y = 2x2 (P) y = 2(a-2)x - a (d) Tìm a để (d) qua điểm A(0;-8) Khi a thay đổi xét số giao điểm (P) (d) tuỳ theo giá trị a Tìm (P) điểm có khoảng cách đến gốc toạ độ O(0;0) Bài 3(2 điểm):Một tơn hình chữ nhật có chu vi 48cm Người ta cắt bỏ hình vng có cạnh 2cm góc gấp lên thành hình hộp chữ nhật(khơng có nắp) Tính kích thước tơn đó, biết thể tích hình hộp 96 cm3 Bài 4(3 điểm):Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O, bán kính R Hạ đường cao AD, BE tam giác Các tia AD, BE cắt (O) điểm thứ hai M, N Chứng minh rằng: Bốn điểm A,E,D,B nằm đường trịn Tìm tâm I đường trịn Tốn 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 110 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn MN// DE Cho (O) dây AB cố định, điểm C di chuyển cung lớn AB Chứng minh độ dài bán kính đường trịn ngoại tiếp CDE khơng đổi Bài 5(0,5 điểm): Tìm cặp số (x;y) thoả mãn: (x2+1)( x2+ y2) = 4x2y KỲ THI TUYỂN SINH THPT MÔN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ Câu 1: (2,0điểm) Cho biêủ thức A = A  a(2 a  1) 8 a  a  a4 a2  a2 4 a 2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên 2 x  y   a Câu2: (2,0điểm) Cho hệ phương trình :  x  y  a 1) Tìm a biết y=1 Tìm a để : x2+y2 =17 Câu3: (2,0điểm) Trên mặt phẳng toạ độ Oxy cho Parabol (P) có phương trình : y = 2x2 , đường thẳng (d) có hệ số góc m qua điểm I(0;2) 1) Viết phương trình đường thẳng (d) 2) CMR (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B 3) Gọi hoành độ giao điểm A B x1, x2 CMR : x - x  1) Rút gọn A Câu4: (3,5điểm) Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB Lấy D cung AB (D khác A,B), lấy điểm C nằm O B Trên nửa mặt phẳng bờ AB có chứa D kẻ tia Ax By vng góc với AB Đường thẳng qua D vng góc với DC cắt Ax By E F 1) CMR : Góc DFC góc DBC 2) CMR :  ECF vuông 3) Giả sử EC cắt AD M, BD cắt CF N CMR : MN//AB 4)CMR: Đường tròn ngoại tiếp  EMD đường tròn ngoại tiếp  DNF tiếp xúc D Câu5: (0,5điểm) Tìm x, y thoả mãn : 4x  y  y   4x  y KỲ THI TUYỂN SINH THPT MƠN THI: TỐN (Thời gian làm 120 phút – khơng kể thời gian giao đề cho thí sinh) ĐỀ SỐ -***  a3 a 2 a a  1     :  a 1   a 1 a 1   ( a  2)( a  1) Bài 1: (2,5 điểm) Cho biểu thức P   1.Rút gọn biểu thức P Tìm a để a 1  1 P Bài 2: (2,5 điểm) Một ca nơ xi dịng khúc sơng từ bến A đến bến B dài 80 km, sau lại ngược dòng đến địa điểm C cách bến B 72 km Thời gian ca nơ xi dịng thời gian ngược dịng 15 phút Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc dịng nước km/h Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 111 Gia sư Tài Năng Việt https://giasudaykem.com.vn Bài 3: (1 điểm) Tìm toạ độ giao điểm A B đồ thị hai hàm số y = 2x+3 y = x2 Gọi D C hình chiếu vng góc A B trục hồnh Tính SABCD Bài 4: (3 điểm)Cho (O) đường kính AB = 2R, C trung điểm OA dây MN vng góc với OA C Gọi K điểm tuỳ ý cung nhỏ BM, H giao điểm AK MM a) CMR: BCHK tứ giác nội tiếp b) Tính AH.AK theo R c) Xác định vị trí điểm K để (KM+KN+KB) đạt giá trị lớn tính giá trị lớn Bài 5: (1 điểm) Cho hai số dương x, y thoả mãn điều kiện: x+y = Chứng minh: x2y2(x2+ y2)  -Hết- Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 112 ... xuất thêm 10 ngồi kế hoạch Hỏi thời gian dự kiến ngày ? Mỗi ngày dự kiến làm dụng cụ ? Bài 10: Một hội đồng thi có 390 thí sinh phân phòng Nếu xếp phòng thi thêm thí sinh số phịng thi giảm phòng... +/ Giải hệ ta x =100 ; a =10 Bài 7: 12 người ăn 12 bánh Mỗi người đàn ông ăn , người đàn bà ăn 1/2 em bé ăn 1/4 chiếc.Hỏi có người đàn ông , đàn bà trẻ em ? HD Giải: +/ Gọi số đàn ông , đàn bà trẻ... Dành cho học sinh giỏi, học sinh ôn thi chuyên A.2.1 Căn bậc n a Căn bậc n (  n  N ) số a số mà lũy thừa n a b Căn bậc lẻ (n = 2k + 1)  Mọi số có bậc lẻ Toán 9- Hải Ninh GL@Gmail.com-2013 Gia