Sử dụng phương pháp chặn để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi

UBND TỈNH HẢI DƯƠNGSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi MễN: Toán KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9 NHẬN XẫT CHUNG .... Trong đó chất lợng đạ

UBND TỈNH HẢI DƯƠNG

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi

MễN: Toán KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9

NHẬN XẫT CHUNG

ĐIỂM THỐNG NHẤT Bằng số:

Bằng chữ:

Giỏm khảo số 1:

Giỏm khảo số 2:

NĂM HỌC: 2010-2011

PHềNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HẢI DƯƠNG

Tên tác giả: Ph¹m ThÞ Thuû

Xác nhận của nhà trường, ký,đóng dấu

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP HẢI DƯƠNG

Số phách

(Do CT hội đồng chấm

SKKN TP ghi)

Số phách

sử dụng "phơng pháp chặn"

để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi

MễN: Toán

KHỐI LỚP: 6, 7, 8, 9

ĐÁNH GIÁ CỦA HỘI ĐỒNG CẤP THÀNH PHỐ

(Nhận xột, xếp loại, ký, đúng dấu)

Tờn tỏc giả:

Đơn vị cụng tỏc

(Do Hội đồng cấpTP ghi sau khi đó tổ chức chấm và xột duyệt)

A ĐẶT VẤN ĐỀ

1 Lớ do chọn đề tài :

Toỏn học là mụn học cú ứng dụng trong hầu hết trong tất cả cỏc ngành

khoa học tự nhiờn cũng như trong cỏc lĩnh vực khỏc của đời sống xó hội

Hiện nay trong các nhà trờng chất lợng đại trà và việc bồi dỡng học sinhgiỏi đã đặt lên hàng đầu Đây cũng là việc nâng cao trình độ nhận thức cho họcsinh phát triển mũi nhọn Trong đó chất lợng đại trà và bồi dỡng học sinh giỏimôn Toán giữ vị trí thiết yếu và đợc tất cả mọi ngời quan tâm đến.Là một giáoviên dạy toán ở trờng THCS trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều nămtôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chơng trình THCS không chỉ đơn giản là

đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhng cha đủ.Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đadạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp sốcủa chúng Muốn vậy ngời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiềutình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh Một bài toán có thể có nhiềucách giải, mỗi bài toán thờng nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phảibiết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậyhọc sinh phải biết sử dụng phơng pháp nào cho phù hợp

Trong việc dạy học toỏn thỡ việc tỡm ra phương phỏp dạy học và giải bàitập toỏn đũi hỏi người giỏo viờn phải chọn lọc hệ thống, sử dụng đỳng phươngphỏp dạy học gúp phần hỡnh thành và và phỏt triển tư duy của học sinh Đồngthời thụng qua việc học toỏn học sinh được bồi dưỡng và rốn luyện về phẩm chấtđạo đức, cỏc thao tỏc tư duy để giải bài tập toỏn

Qua thực tế dạy học và bồi dưỡng học sinh giỏi tụi thấy học sinh rất lỳngtỳng trong việc xỏc định phương phỏp để giải một số bài toỏn phần số học núichung và dạng toỏn tỡm số núi riờng Khi gặp cỏc bài toỏn dạng tỡm số thường thỡcỏc em học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán, khụng xỏc địnhđược phương phỏp làm, khụng xỏc định được phải bắt đầu từ đõu và làm như thếnào Nếu có làm đợc thì rất dài dòng, rắc rối, cách giải cha ngắn gọn, cha hay

Chớnh vỡ vậy để xõy dựng cho học sinh được phương phỏp làm dạng toỏn

này, tụi đó nghiờn cứu và đưa ra đề tài: " Sử dụng phương phỏp chặn để giải một

số bài toỏn số học "trong các kỳ thi HSG Đú cú thể là cụng cụ để giải quyết

một số bài toỏn trong dạng này gúp phần nõng cao chất lượng học mụn toỏn đặcbiệt là chất lợng mũi nhọn của học sinh ở trường THCS

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài

- Trang bị cho học sinh một số kiến thức về phương pháp chặn nhằm nâng cao năng lực học môn toán, giúp các em tiếp thu bài một cách chủ động sáng tạo và làcông cụ giải quyết những bài tập có liên quan

- Gây được hứng thú , say mª cho học sinh khi làm bài tập trong SGK, sáchtham khảo giúp học sinh giải được một số bài tập

- Giải đáp được những thắc mắc, sửa chữa được những sai lầm hay gặp khi giảibài toán tìm số

- Hướng dẫn học sinh cách nhận biết dạng toán và lựa chọn cách trình bày bàicho phù hợp, kh¶ n¨ng suy luËn khi gi¶i to¸n

- Kh¾c phôc nh÷ng khã kh¨n tríc m¾t cho gi¸o viªn vµ häc sinh trong viÖc d¹y vµgi¶i c¸c bµi to¸n sè häc trong c¸c kú thi häc sinh giái

3 Phạm vi nghiên cứu- Đối tượng nghiên cứu :

Đề tài áp dụng đối với học sinh THCS có thể triển khai trong các buổingoại khoá, đặc biệt là trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi

Đây là một phương pháp tương đối mới lạ và khó với học sinh, các em chưađược trang bị các phương pháp giải, nên việc suy luận còn hạn chế và nhiều khikhông có lối thoát dẫn đến kết quả rất thấp

- Trước khi triển khai đề tài tôi có kiểm tra 30 học sinh giỏi của trường

Đề bài

(thời gian làm bài 30')

Câu 1: (5 đ) Cho a + c = 9 Viết tập hợp A các số tự nhiên b sao cho abc + cba

là một số có ba chữ số

Câu 2: (5đ) Tìm các số tự nhiên x , y sao cho: 2x + 5y = 21

*) Nhận xột:

Sau khi kiểm tra tụi thấy học sinh cũn tồn tại như sau:

- Học sinh chưa biết cỏch làm một số bài toỏn đơn giản, lời giải cũn trỡnhbày dài dũng, rắc rối

- Học sinh chưa biết vận dụng những kiến thức đó học để giải cỏc bài toỏn

- Thu thập thông tin: Dự giờ, thăm lớp, trao đổi với đồng nghiệp

- Điều tra khảo sát qua kiểm tra đối chứng với kết quả học tập của học sinh

4 Phương pháp giải bất phương trình

5 Phương pháp giải phương trình bậc hai

II Các bµi tËp hình thành phương pháp

Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho

a 2x + 5y = 21

b 7x + 12y = 50

Giải :

- Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh

- Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự cho những bài sau:

? So sánh 2 x với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y

- Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn

a Vì 2x  1 nên 5y  20 vậy y  4 Ta có bảng lựa chọn sau :

Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể

chặn theo các giá trị của x như sau :

a) Vì 2 5 = 32 > 21 nên x  4  x Î  0 , 1 , 2 , 3 , 4  và lập bảng lựa chọn để giải tiếp

b) ta có 3

7 > 50 => x  2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự

Bµi tËp 2 :: Tìm các số tự nhiên x, y, z biết x5 3yz = 7850

Giải :

Khi đưa ra bài toán trên tôi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và thường không biết bắt đầu từ đâu Sau đó tôi đưa ra gợi ý:

? 3yz có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS 300 3 yz 399 )

? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào?

Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài toán trên Tuy nhiên đa số các em chỉ tìm được cận trên của x mà không tìm cận dưới nên bài toán trình bày dài hơn Do đó tôi đưa ra lời giải sau:

Ta thấy nếu x  3 thì x5 3yz  35.300 = 10500 > 7850 Vậy x < 3

Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì x5.3yz  15 399 = 5985 < 7850 Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 thay vào đề bài ta có 25 = 7850 nên

   => Vậy x = 2 hoặc x = 1 Đến đây việc

giải tiếp dễ dàng Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z

vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn

* Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài toán trở lên đơn giản và lời giải cũng gọn hơn Từ hai bµi tËp này học sinh đã hình thành được phương pháp chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn

để chặn là việc làm rất quan trọng

Bµi tËp 3 : Tìm các số nguyên x, y biết  5x – 2  13

Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi

có thể làm được theo cách giải bất phương trình Tuy nhiên lời giải khá dài và phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học sinh có thể làm được

* Nhận xét: Với phương pháp trên thì học sinh trung bình trở lên của lớp 6, lớp 7 cũng có thể hiểu và giải được bài toán trên

Bµi tËp 4 : Tìm ba số tự nhiên a , b , c biết a + b + c = abc và a > b > c > 0

Ví dụ trên là bài toán khá quen thuộc, nó đã được sử dụng trong rất nhiều đề thi học sinh giỏi, thi vào các trường chuyên với nhiều cách phát biểu khác nhau Để làm được bài trên thì học sinh phải có cái nhìn toàn diện để có thể chọn ẩn nào cho thÝch hîp

Giải :

Vì a > b > c nên a + b + c < a + a + a = 3a , mà a + b + c = abc  abc < 3a hay bc < 3 Vậy bc Î  1 ; 2  do abc ≠ 0 Mặt khác vì b > c nên b = 2 và c = 1 Thay vào bài ta có a + 2+ 1 = 2a  a = 3

Đáp số : a = 3 ; b = 2 ; c = 1

Nhận xét : ở bµi tËp này ta không thể chặn a trực tiếp bằng một số cụ thể nào

mà chỉ sử dụng tính chất : " là số lớn nhất" trong ba sè a, b, c Tại sao không nên chặn theo b hoặc theo c ? Để biết thêm thế mạnh của cách chặn này ta xét bµi tËp 5 sau đây:

Bµi tËp 5: Tìm biết ( ) xx y  xyyx

Giải :

Ta thấy y > 1 vì nếu y = 1 thì = vô lý Vậy y  2

Ta lại thấy y < 4 vì nếu y  4 thì  104 = 10000 >  2  y 4

Thử vào bài 11³ = 1331 hợp lý Đáp số =13

Ta cũng có thể giải như sau : ta có =  x 3 11 3 = x.1001 + 330

 x 3 11 3 = 11( x.91 + 30 ) Vậy x 3 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 – 30x)  (30 – 30x) M 121

 30(1 – x) M 121

mà ( 30 ; 121 ) = 1 nên 1 – x M 121,

do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1.

Thử vào bài ta có 11 3 = 1331 hợp lý Vậy x = 1 và y =3 Đáp số =13

Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì  9999 < 10000 = 10 4 Vậy < 10 4 < nên y < 4 Mặt khác ( ) xx y> 99 1 vì = có 4 chữ số Vậy y  2 Vậy y Î  2 ; 3  Phần còn lại giải như trên

* Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất định thì cũng sẽ rất khó để giải bài toán trên

Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì

bằng 249

* Đây là bài toán đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi Sau khi

đã được trang bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm

Giải :

- Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249

Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì

n + s(n)  99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số

Bµi tËp 7: Tìm các số nguyên x và y biết : 2x + 3y = 5

Giải :

Nếu y = 0 , ta có 2x = 5  x = 2,5 vô lý vì x Î Z

Xét y ≠ 0 thì 3y  3 nên 2x  2  x  1 Vậy x Î  0 ;1 

- Với x = 0 thì 3y = 5  y = 5/3 vô lý vì y Î Z

- Với x = 1  x Î  -1; 1  khi đó y = 1 và y Î  -1; 1  Thử vào đề bài tađược

các đáp số là : ; ; ;

* Qua các bµi tËp trªn ta thấy phương pháp chặn có vai trò rất quan trọng trong các bài toán tìm số Nó không chỉ làm cho bài toán trở nên đơn giản, dễ hiểu hơn mà còn làm cho lời giải ngắn gọn và đơn giản hơn rất nhiều.

Qua bµi tËp sau ta có thể khẳng định lại một lần nữa vai trò của phương pháp chặn

Bµi tËp 8: Tìm số tự nhiên biết = 4321

Giải :

abcd abc ab a   = 4321  = 4321

Ta thấy a < 4 , vì nếu a  4 thì  4444 + > 4321

và a > 2 vì nếu a  2 thì  2222 + 999 + 99 + 9 = 3329 < 4321  2 < a < 4Vậy a = 3 khi đó ta có bbb cc d  = 4321 – 3333 = 988

Ta thấy b < 9 vì nếu b = 9 thì = 999 > 988 chưa kể

Lại thấy b > 7 vì nếu b  7 thì  777 + 99 + 9 = 885 < 988

c  Vậy c = 1 hoặc c = 2 Với c = 1 thì 1 1 1

1 1

ab + bc + ca  ab + ab + ab = 3ab Mà ab + bc + ca > abc nên ta có abc <3ab

 Nếu b = 3, thay vào bài ta được 2.3.a < 3a + 6 + 2a, hay 6a < 6 + 5a  a <

6 , do a nguyên tố không nhỏ hơn b = 3 nên a = 3 hoặc 5

III BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1 : Tìm biết = 1037

Bài 2 : Tìm xyz biết 4 5yz x = 17395

Bài 3 : Tìm số tự nhiên có 3 chữ số biết rằng số đó cộng với hai lần tổng

các chữ số của nó thì bằng 405

Bài 4 : Tìm số abcd biết ab cb ddd 

Bài 5 : Tìm hai số tự nhiên x , y biết

Bài 6 : Cho hai số nguyên dương khác nhau là a và b

IV) Kết quả - bài HỌC KINH NGHIỆM:

- Khi cha thực nghiệm đề tài này các em học sinh thờng tỏ ra chán lản và lúng

túng khi gặp dạng toán tìm số nâng cao.Sau một thời gian áp dụng những biện pháp trên vào thực tế giảng dạy tôi thấy Hứng thú học tập của học sinh đợc nânglên rõ rệt ở các đối tợng học sinh nhất là các em trong đội tuyển Các em trở lên tin tởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán Điều đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tợng học sinh thì chắc chắn kết quả thu đợc của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục đợc nâng lên

- Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin, yêuthích bộ môn toán hơn

Sau khi triển khai đề tài, tụi lại cho 30 học sinh giỏi của trường làm bài kiểm travới mức độ đề khú hơn tụi thu được kết quả như sau:

Đề bài:

(Thời gian làm bài 30')

Cõu 1: Tỡm abc biết 4 5bc a = 17395

Cõu 2: Tỡm số bị chia và thương trong phộp chia sau:

9 * * : 17 = * * (Biết rằng thương là một số nguyờn tố)

Cõu 3: Tỡm số tự nhiờn biết tổng của số đú và cỏc chữ số của nú bằng 2020

*) Kết quả:

a, Khi cha áp dụng sáng kiến:

điểm < 5 5 Ê điểm < 8 8 Ê điểm Ê 10

b, Sau khi áp dụng sáng kiến:

điểm < 5 5 Ê điểm < 8 8 Ê điểm Ê 10

- Học sinh tiếp tục phỏt triển tư duy sỏng tạo, tăng cường học hỏi bạn khỏc,

tự tỡm tũi kiến thức mới

Sau khi triển khai kinh nghiệm “Sử dụng phương phỏp chặn để giải toỏn số

học” tại nhà trường tụi đó rỳt ra một số bài học sau:

* Đối với giáo viên:

- Nghiên cứu kỹ về việc đổi mới phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu

ch-ơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói

riêng Xác định rõ mục tiêu từng bài và từng dạng cho các đối tợng học sinh.

- Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ sung kiến thức hợp lý và kịp thời

- Nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng phápgiải mới, phơng pháp hay

- Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, linh hoạt, sáng tạo tìmcách giải hay, chính xác

- Để dạy học sinh giỏi cú hiệu quả cần phải dạy cho học sinh cỏch học,cỏch tỡm tũi kiến thức mới, tự xõy dựng cho mỡnh phương phỏp mới khụng cútrong sỏch giỏo khoa, phỏt triển cỏc kiến thức đó học vào chứng minh cỏc tớnhchất hay cụng thức Toỏn học khỏc Từ đú cú biện phỏp vận dụng và khai thỏc cỏctớnh chất hay cụng thức vào giải cỏc bài tập cụ thể

- Cần tăng cường giỏo dục học sinh tinh thần tự học, tự nghiờn cứu kiếnthức vỡ đõy là con đường làm chủ và chiếm lĩnh tri thức một cỏch hiệu quả nhất

* Đối với học sinh:

- Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết và bài tập có liên quan đếndạng toán tìm số

- Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập

- Suy nghĩ các bài tập tơng tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới

V

những kiến nghị, đề xuất

Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạn nêumột số đề xuất, kiến nghị sau:

* Đối với nhà trờng:

- Tiếp tục đẩy mạnh phong trào tự học, tự bồi dỡng của giáo viên

- Tiếp tục chỉ đạo kiểm tra,đánh giá việc thực hiện các chuyên đề của tổ

- Mạnh dạn mở các cuộc giao lu liên trờng để giáo viên có điều kiện trao

đổi, học hỏi kinh nghiệm giảng dạy của đồng nghiệp

* Đối với ngành (Sở và Phòng):

Khi tổ chức bồi dỡng chuyên môn nghiệp vụ cho giáo viên nên tăng c ờngtính thực tiễn hơn nữa