Sử dụng phương pháp chặn để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi

UBND TNH HI DNG S GIO DC V O TO HI DNG sử dụng "phơng pháp chặn " để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi MễN: Toán KHI LP: 6, 7, 8, 9 NHN XẫT CHUNG IM THNG NHT Bng s: Bng ch: Giỏm kho s 1: Giỏm kho s 2: NM HC: 2010-2011 PHềNG GIO DC V O TO THNH PH HI DNG 1 TRNG THCS Thạch khôi sử dụng "phơng pháp chặn " để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi Mụn: Toán Tờn tỏc gi: Phạm Thị Thuỷ Xỏc nhn ca nh trng, ký,úng du S GIO DC V O TO HI DNG PHềNG GIO DC V O TO TP HI DNG 2 S phỏch (Do CT hi ng chm SKKN TP ghi) S phỏch Hi ng cp tnh ghi sử dụng "phơng pháp chặn " để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi MễN: Toán KHI LP: 6, 7, 8, 9 NH GI CA HI NG CP THNH PH (Nhn xột, xp loi, ký, úng du) Tờn tỏc gi: n v cụng tỏc (Do Hi ng cpTP ghi sau khi ó t chc chm v xột duyt) A. T VN . 1. Lớ do chn ti : Toỏn hc l mụn hc cú ng dng trong hu ht trong tt c cỏc ngnh 3 khoa hc t nhiờn cng nh trong cỏc lnh vc khỏc ca i sng xó hi. Hiện nay trong các nhà trờng chất lợng đại trà và việc bồi dỡng học sinh giỏi đã đặt lên hàng đầu. Đây cũng là việc nâng cao trình độ nhận thức cho học sinh phát triển mũi nhọn. Trong đó chất lợng đại trà và bồi dỡng học sinh giỏi môn Toán giữ vị trí thiết yếu và đợc tất cả mọi ngời quan tâm đến.Là một giáo viên dạy toán ở trờng THCS trực tiếp bồi dỡng đội tuyển học sinh giỏi nhiều năm tôi nhận thấy việc giải các bài toán ở chơng trình THCS không chỉ đơn giản là đảm bảo kiến thức trong SGK, đó mới chỉ là những điều kiện cần nhng cha đủ. Muốn giỏi toán cần phải luyện tập nhiều thông qua việc giải các bài toán đa dạng, giải các bài toán một cách khoa học, kiên nhẫn, tỉ mỉ, để tự tìm ra đáp số của chúng. Muốn vậy ngời thầy phải biết vận dụng linh hoạt kiến thức trong nhiều tình huống khác nhauđể tạo hứng thú cho học sinh. Một bài toán có thể có nhiều cách giải, mỗi bài toán thờng nằm trong mỗi dạng toán khác nhau nó đòi hỏi phải biết vận dụng kiến thức trong nhiều lĩnh vực nhiều mặt một cách sáng tạo vì vậy học sinh phải biết sử dụng phơng pháp nào cho phù hợp. Trong vic dy hc toỏn thỡ vic tỡm ra phng phỏp dy hc v gii bi tp toỏn ũi hi ngi giỏo viờn phi chn lc h thng, s dng ỳng phng phỏp dy hc gúp phn hỡnh thnh v v phỏt trin t duy ca hc sinh. ng thi thụng qua vic hc toỏn hc sinh c bi dng v rốn luyn v phm cht o c, cỏc thao tỏc t duy gii bi tp toỏn. Qua thực tế dy hc v bi dng hc sinh gii tụi thy hc sinh rt lỳng tỳng trong vic xỏc nh phng phỏp gii mt s bi toỏn phn s hc núi chung v dng toỏn tỡm s núi riờng. Khi gp cỏc bi toỏn dng tỡm s thng thỡ cỏc em học sinh hay bế tắc, lúng túng về cách xác định dạng toán, khụng xỏc nh c phng phỏp lm, khụng xỏc nh c phi bt u t õu v lm nh th no. Nếu có làm đợc thì rất dài dòng, rắc rối, cách giải cha ngắn gọn, cha hay Chớnh vỡ vy xõy dng cho hc sinh c phng phỏp lm dng toỏn ny, tụi ó nghiờn cu v a ra ti: "S dng phng phỏp chn gii mt s bi toỏn s hc "trong các kỳ thi HSG . ú cú th l cụng c gii quyt mt s bi toỏn trong dng ny gúp phn nõng cao cht lng hc mụn toỏn đặc biệt là chất lợng mũi nhọn ca hc sinh trng THCS. 4 2. Mc ớch nghiờn cu ca ti - Trang b cho hc sinh mt s kin thc v phng phỏp chn nhm nõng cao nng lc hc mụn toỏn, giỳp cỏc em tip thu bi mt cỏch ch ng sỏng to v l cụng c gii quyt nhng bi tp cú liờn quan. - Gõy c hng thỳ , say mê cho hc sinh khi lm bi tp trong SGK, sỏch tham kho giỳp hc sinh gii c mt s bi tp . - Gii ỏp c nhng thc mc, sa cha c nhng sai lm hay gp khi gii bi toỏn tỡm s. - Hng dn hc sinh cỏch nhn bit dng toỏn v la chn cỏch trỡnh by bi cho phự hp, khả năng suy luận khi giải toán. - Khắc phục những khó khăn trớc mắt cho giáo viên và học sinh trong việc dạy và giải các bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi 3. Phm vi nghiờn cu- i tng nghiờn cu : ti ỏp dng i vi hc sinh THCS cú th trin khai trong cỏc bui ngoi khoỏ, c bit l trong quỏ trỡnh bi dng hc sinh gii. õy l mt phng phỏp tng i mi l v khú vi hc sinh, cỏc em cha c trang b cỏc phng phỏp gii, nờn vic suy lun cũn hn ch v nhiu khi khụng cú li thoỏt dn n kt qu rt thp. - Trc khi trin khai ti tụi cú kim tra 30 hc sinh gii ca trng bi (thi gian lm bi 30') Cõu 1: (5 ) Cho a + c = 9. Vit tp hp A cỏc s t nhiờn b sao cho + cbaabc l mt s cú ba ch s. Cõu 2: (5) Tỡm cỏc s t nhiờn x , y sao cho: 2 x + 5y = 21 5 *) Nhn xột: Sau khi kim tra tụi thy hc sinh cũn tn ti nh sau: - Hc sinh cha bit cỏch lm mt s bi toỏn n gin, li gii cũn trỡnh by di dũng, rc ri. - Hc sinh cha bit vn dng nhng kin thc ó hc gii cỏc bi toỏn c th. - Hc sinh cha phỏt huy c t duy sỏng to, kh nng hc hi, s tỡm tũi kin thc mi. B. giải quyết vấn đề . * Ph ơng pháp nghiên cứu: - Phân tích tổng hợp tài liệu - Phơng pháp nêu vấn đề - Thu thập thông tin: Dự giờ, thăm lớp, trao đổi với đồng nghiệp - Điều tra khảo sát qua kiểm tra đối chứng với kết quả học tập của học sinh 6 - Ph¬ng ph¸p thö nghiÖm I. Một số kiến thức cơ bản cần nhớ: 1. Với m , m N; a 0 th× a 1a Î ¹ ³ 2. 0 víi aa ³ " 3. = 100a + 10b + cabc 4. Phương pháp giải bất phương trình 5. Phương pháp giải phương trình bậc hai II. Các bµi tËp hình thành phương pháp Bµi tËp 1 : Tìm các số tự nhiên x , y sao cho a. 2 x + 5y = 21 b. 7 x + 12 y = 50 Giải : - Giáo viên có thể gợi mở để hình thành hướng suy nghĩ cho học sinh - Giáo viên có thể đặt các câu hỏi gợi ý cho các em cách suy nghĩ tương tự cho những bài sau: ? So sánh 2 x với 1 từ đó có kết luận gì về giá trị của 5y - Giáo viên hướng dẫn học sinh cách xây dựng bảng lựa chọn a. Vì 2 x ≥ 1 nên 5y ≤ 20 vậy y ≤ 4 . Ta có bảng lựa chọn sau : y 0 1 2 3 5y 0 5 10 15 2 x 21 16 11 6 x không có 4 không có không có Đáp số : x = 4; y = 1 ; x = 0; y = 4 Bằng cách tương tự ta có thể làm được phần b b. Nếu y ≥ 2 thì 12 y ≥ 12 2 > 50 => y < 2 ⇒ y = 0 hoặc y = 1 - Nếu y = 0 thì 12 0 = 1 nên 7 x = 49 ⇔ x = 2 - Nếu y = 1 thì 12 1 = 12 nên 7 x = 38 (loại) Đáp số x = 2 và y = 0 Nhận xét : Với bài trên ngoài việc chặn theo các giá trị của y, ta cũng có thể chặn theo các giá trị của x như sau : a) Vì 2 5 = 32 > 21 nên x ≤ 4 ⇒ x Î { 0 , 1 , 2 , 3 , 4 } và lập bảng lựa chọn để giải tiếp b) ta có 3 7 50> => x ≤ 2 sau đó cũng xét các trường hợp tương tự Bµi tËp 2 :: Tìm các số tự nhiên x, y, z biết 5. 3x yz = 7850 7 Giải : Khi đưa ra bài toán trên tôi thấy đa số học sinh lúng túng không biết cách giải và thường không biết bắt đầu từ đâu. Sau đó tôi đưa ra gợi ý: ? 3yz có giá trị lớn nhất và nhỏ nhất bằng bao nhiêu? (HS 300 3 399yz ≤ ≤ ) ? Vậy x có thể có giá trị trong khoảng nào? Sau khi có gợi ý trên hầu hết các em đều có thể làm được bài toán trên. Tuy nhiên đa số các em chỉ tìm được cận trên của x mà không tìm cận dưới nên bài toán trình bày dài hơn. Do đó tôi đưa ra lời giải sau: Ta thấy nếu x ≥ 3 thì 5. 3x yz ≥ 35.300 = 10500 > 7850 . Vậy x < 3 Ta cũng thấy x > 1 vì nếu x = 1 thì 5.3x yz ≤ 15. 399 = 5985 < 7850 . Như vậy 1 < x < 3 nên x = 2 . thay vào đề bài ta có 25. = 7850 nên 3yz = 7850 : 25 = 314 ⇒ = 14 . Vậy x = 2; y = 1; z = 4 * Nhận xét: Bài toán trên ta đã chặn theo các giá trị của x . Ta cũng có thể chặn như sau: 5.3x yz = 7850 ⇔ 7850 7850 5 25 3 300 x yz = ≤ ≈ => Vậy x = 2 hoặc x = 1. Đến đây việc giải tiếp dễ dàng . Tuy nhiên không nên chặn theo các giá trị của y hoặc của z vì nếu như có làm được thì lời giải cũng phức tạp dễ gây nhầm lẫn * Qua hai bµi tËp trên ta có thể thấy nếu chọn đúng được ẩn để chặn thì bài toán trở lên đơn giản và lời giải cũng gọn hơn. Từ hai bµi tËp này học sinh đã hình thành được phương pháp chặn, đồng thời thấy được việc chọn đúng ẩn để chặn là việc làm rất quan trọng Bµi tËp 3 : Tìm các số nguyên x, y biết | 5x – 2 | 13 Khi đưa ra bµi tËp trên với học sinh lớp 8 và lớp 9 thì một số học sinh khá giỏi có thể làm được theo cách giải bất phương trình. Tuy nhiên lời giải khá dài và phức tạp dễ dẫn đến việc nhầm lẫn. Vì vậy tôi hướng học sinh đến việc sử dụng phương pháp chặn để làm và có khá nhiều học sinh có thể làm được Giải : - Nếu x ≥ 4 thì | 5x – 2 | ≥ | 5.4 – 2 | = | 18 | = 18 > 13 => x 3 - Nếu x ≤ - 3 thì | 5x – 2 | ≥ | 5.( - 3) – 2 | = | – 17 | = 17 > 13 . ⇒ x ≥ - 2 Vậy : - 2 ≤ x ≤ 3 ⇒ x Î { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. Thử lại, ta có bảng sau : x - 2 - 1 0 1 2 3 | 5x – 2 | 12 7 2 3 8 13 Cả 6 giá trị trên của x đều thỏa mãn . Vậy x Î { - 2 ; - 1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3 }. * Nhận xét: Với phương pháp trên thì học sinh trung bình trở lên của lớp 6, lớp 7 8 cng cú th hiu v gii c bi toỏn trờn. Bài tập 4 : Tỡm ba s t nhiờn a , b , c bit a + b + c = abc v a > b > c > 0 Vớ d trờn l bi toỏn khỏ quen thuc, nú ó c s dng trong rt nhiu thi hc sinh gii, thi vo cỏc trng chuyờn vi nhiu cỏch phỏt biu khỏc nhau. lm c bi trờn thỡ hc sinh phi cú cỏi nhỡn ton din cú th chn n no cho thích hợp Gii : Vỡ a > b > c nờn a + b + c < a + a + a = 3a , m a + b + c = abc abc < 3a hay bc < 3 . Vy bc ẻ { 1 ; 2 } do abc 0 . Mt khỏc vỡ b > c nờn b = 2 v c = 1. Thay vo bi ta cú a + 2+ 1 = 2a a = 3 . ỏp s : a = 3 ; b = 2 ; c = 1 Nhn xột : bài tập ny ta khụng th chn a trc tip bng mt s c th no m ch s dng tớnh cht : " l s ln nht" trong ba số a, b, c . Ti sao khụng nờn chn theo b hoc theo c ? bit thờm th mnh ca cỏch chn ny ta xột bài tập 5 sau õy: Bài tập 5: Tỡm bit ( ) y xx xyyx = Gii : Ta thy y > 1 vỡ nu y = 1 thỡ = vụ lý . Vy y 2 . Ta li thy y < 4 vỡ nu y 4 thỡ 10 4 = 10000 > 2 4y p Vy y ẻ { 2 ; 3 } - Nu y = 2 ta cú = x 2 .121 = x.1001 + 220 x 2 .121 = 11(x.91 + 20) x 2 .11 = x.91 + 20 x 2 .11 91x - 20 = 0 Phng trỡnh trờn khụng cú nghim nguyờn - Nu y = 3 ta cú = . Nu x 2 thỡ 22 = 10648 cú 5 ch s ( Không thoả mãn ). Vy x = 1 . Th vo bi 11 = 1331 hp lý. ỏp s =13 Ta cng cú th gii nh sau : ta cú = x 3 .11 3 = x.1001 + 330 x 3 .11 3 = 11( x.91 + 30 ) Vy x 3 . 121 = x.91 + 30 = 121x + ( 30 30x) (30 30x) M 121 30(1 x) M 121 m ( 30 ; 121 ) = 1 nờn 1 x M 121, 9 do x là số có một chữ số nên 1 – x = 0 hay x = 1. Thử vào bài ta có 11 3 = 1331 hợp lý . Vậy x = 1 và y =3 . Đáp số =13 Nhận xét : Ta cũng có thể chặn như sau : Vì ≤ 9999 < 10000 = 10 4 . Vậy < 10 4 < nên y < 4 . Mặt khác ( ) y xx > 99 1 vì = có 4 chữ số Vậy y ≥ 2 . Vậy y Î { 2 ; 3 }. Phần còn lại giải như trên . * Đây là bµi tËp khó nên hầu hết học sinh đều lúng túng không xác định được phương pháp, cho dù đã biết phương pháp giải nhưng không có kĩ năng nhất định thì cũng sẽ rất khó để giải bài toán trên Bµi tËp 6: Tìm số tự nhiên sao cho số đó cộng với tổng các chữ số của nó thì bằng 249 * Đây là bài toán đã nhiều lần xuất hiện trong các bài thi học sinh giỏi. Sau khi đã được trang bị phương pháp thì đa số học sinh đều nhận ra được cách làm Giải : - Gọi số phải tìm là n và tổng các chữ số của n là s(n) , ta phải có n + s(n) = 249 Ta thấy n phải là số có 3 chữ số vì nếu n có một hoặc hai chữ số thì n + s(n) ≤ 99 + 9 + 9 = 117 < 249 và tất nhiên n không thể có nhiều hơn 3 chữ số. Đặt n = thì ta có : abc + a + b + c = 249 Vì a + b + c ≤ 27 nên 200 < < 249 ⇒ a = 2 , Thay vào bài ta được : + 2 + b + c = 249 ⇔ 200 + bc + 2 + b + c = 249 ⇔ + b + c = 249 – 202 ⇔ bc + b + c = 47 . Vậy b ≤ 4 . Lại vì b + c lớn nhất là 18 nên nhỏ nhất là 47 – 18 = 29 vậy b ≥ 2 . Ta có 2 ≤ b ≤ 4 ⇒ b Î { 2 ; 3 ; 4 } - Nếu b = 2 ta có + 2 + c = 47 ⇔ 22 + 2c = 47 ⇔ 2c = 25 ( loại ) - Nếu b = 3 ta có 3c + 3 + c = 47 ⇔ 33 + 2c = 47 ⇔ 2c = 14 ⇔ c = 7 - Nếu b = 4 ta có 4c + 4 + c = 47 ⇔ 44 + 2c = 47 ⇔ 2c = 3 ( loại ) Đáp số : số phải tìm là 237 Bµi tËp 7: Tìm các số nguyên x và y biết : 2|x| + 3|y| = 5 Giải : Nếu y = 0 , ta có 2|x| = 5 ⇔ |x| = 2,5 vô lý vì x Î Z Xét y ≠ 0 thì 3|y| ≥ 3 nên 2|x| ≤ 2 ⇔ |x| ≤ 1. Vậy |x| Î { 0 ;1 } - Với |x| = 0 thì 3|y| = 5 ⇔ |y| = 5/3 vô lý vì y Î Z - Với |x| = 1 ⇒ x Î { -1; 1 } khi đó |y| = 1 và y Î { -1; 1 } . Thử vào đề bài ta được 10 [...]... học sẽ là niềm say mê với tất cả học sinh Việc vận dụng sáng kiến kinh nghiệm này đã mang lại nhiều hiệu quả trong việc giải các bài toán có liên quan và giải các bài toán thuộc dạng này Phần đông các em đều có hứng thú làm bài tập nếu nh bài tập có phơng pháp giải hoặc vận dụng các phơng pháp giải của một loại toán khác Đối với khối lợng đại trà thì việc học của các em chỉ là những vấn đề xung quanh... phơng pháp dạy môn toán, nghiên cứu chơng trình của bộ môn toán mà mình phụ trách nói chung và từng dạng bài nói 15 riêng Xác định rõ mục tiêu từng bài và từng dạng cho các đối tợng học sinh - Thờng xuyên kiểm tra học sinh để bổ sung kiến thức hợp lý và kịp thời - Nghiên cứu kĩ tài liệu tham khảo, sách giáo khoa để học hỏi phơng pháp giải mới, phơng pháp hay - Nhiệt tình hớng dẫn học sinh phơng pháp học, ... Kết quả - bài HC KINH NGHIM: - Khi cha thực nghiệm đề tài này các em học sinh thờng tỏ ra chán lản và lúng túng khi gặp dạng toán tìm số nâng cao.Sau một thời gian áp dụng những biện pháp trên vào thực tế giảng dạy tôi thấy Hứng thú học tập của học sinh đợc nâng lên rõ rệt ở các đối tợng học sinh nhất là các em trong đội tuyển Các em trở lên tin tởng hơn ,vững vàng hơn ,say mê hăng hái học môn toán Điều... trong quỏ trỡnh ụn luyn, bi dng hc sinh gii Tôi nghĩ rằng với mỗi vấn đề , mỗi chuyên đề toán học chúng ta đều dạy theo từng dạng , đi sâu mỗi dạng và tìm ra hớng t duy ,hớng giải và phát triển bài toán Sau đó ra bài tập tổng hợp để học sinh biệt phân dạngvà tìm ra cách giải thích hợp cho mỗi bài thì chắc chắn học sinh sẽ nắm vững vấn đề Và tôi tin chắc rằng toán học sẽ là niềm say mê với tất cả học. .. tri thc mt cỏch hiu qu nht * Đối với học sinh: - Tự giác, tích cực học tập, ôn luyện lý thuyết và bài tập có liên quan đến dạng toán tìm số - Báo cáo kết quả học tập của mình qua việc giải các bài tập - Suy nghĩ các bài tập tơng tự, mạnh dạn đề xuất bài toán mới V những kiến nghị, đề xuất Để thực hiện đề tài này ngày càng có hiệu quả hơn tôi xin mạnh dạn nêu một số đề xuất, kiến nghị sau: * Đối với... việc học của các em đỡ vất vả hơn có hứng thú hơn Đây là dạng toán chúng ta cần quan tâm nó đa dạng và phong phú đề cập đến kiến thức trong trờng phổ thông nó có tính tổng hợp, cần phải vận dụng nhiều đơn vị kiến thức cùng một lúc và giải quyết vấn đề Với cách học và cách hớng dẫn học sinh làm bài nh vậy không những nâng cao kiến thức cho các em mà còn là hình thức củng cố, khắc sâu kiến thức cho các. .. đó chứng tỏ nếu có cách giải phù hợp cho một bài toán ,với từng đối tợng học sinh thì chắc chắn kết quả thu đợc của giáo viên rất tốt hiệu quả giáo dục đợc nâng lên - Khi áp dụng chuyên đề này vào thực tiễn các em tỏ ra phấn khởi, tự tin, yêu thích bộ môn toán hơn Sau khi trin khai ti, tụi li cho 30 hc sinh gii ca trng lm bi kim tra vi mc khú hn tụi thu c kt qu nh sau: bi: 14 (Thi gian lm bi 30')... linh hoạt, sáng tạo tìm cách giải hay, chính xác - dy hc sinh gii cú hiu qu cn phi dy cho học sinh cỏch hc, cỏch tỡm tũi kin thc mi, t xõy dng cho mỡnh phng phỏp mi khụng cú trong sỏch giỏo khoa, phỏt trin cỏc kin thc ó hc vo chng minh cỏc tớnh cht hay cụng thc Toỏn hc khỏc T ú cú bin phỏp vn dng v khai thỏc cỏc tớnh cht hay cụng thc vo gii cỏc bi tp c th - Cn tng cng giỏo dc hc sinh tinh thn t hc, t... sau : + Hc sinh tip thu bi nhanh d hiu hn, hng thỳ tớch cc trong hc tp v yờu thớch b mụn toỏn + Hc sinh trỏnh c nhng sai sút c bn, bit la chn li gii ngn gn v cú k nng vn dng thnh tho cng nh phỏt huy c tớnh tớch cc ca hc 17 sinh + Hc sinh cú c cỏi nhỡn tng quỏt hn v dng toỏn ó c hc v t hỡnh thnh cho mỡnh mt phng phỏp mi Tuy nhiờn t c kt qu nh mong mun, ũi hi ngi giỏo viờn cn xõy dng cho hc sinh t kin... to cho hc sinh cỏch tip cn mt bi toỏn phự hp vi trỡnh nhn thc ca hc sinh Ngi thy cn phỏt huy chỳ trng tớnh ch ng tớch cc v sỏng to ca hc sinh t ú cỏc em cú nhỡn nhn bao quỏt, ton din v nh hng gii toỏn ỳng n Lm c nh vy l chỳng ta ó gúp phn nõng cao cht lng giỏo dc trong nh trng Trong ti ny chc chn khụng trỏnh khi nhng hn ch nht nh.Vy tụi rt mong c s giỳp cng nh nhng gúp ý ca cỏc thy, cụ trong ban . UBND TNH HI DNG S GIO DC V O TO HI DNG sử dụng "phơng pháp chặn " để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi MễN: Toán KHI LP: 6, 7, 8, 9 NHN XẫT CHUNG . O TO THNH PH HI DNG 1 TRNG THCS Thạch khôi sử dụng "phơng pháp chặn " để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi Mụn: Toán Tờn tỏc gi: Phạm Thị Thuỷ Xỏc nhn ca. chm SKKN TP ghi) S phỏch Hi ng cp tnh ghi sử dụng "phơng pháp chặn " để giải một số bài toán số học trong các kỳ thi học sinh giỏi MễN: Toán KHI LP: 6, 7, 8, 9 NH GI CA HI NG CP