SKKNSu dung hang dang thuc de giai pt

Chính vì điều kiện ấy bắt buộc tôi phái sử dụng cùng là đối tượng học sinh lớp 9, nhưng là hai năm học liên kề nhau để so sánh kết quả đạt đựoc sau khi sử dụng đề tài.. Nội dung đề tài [r]

Phòng giáo dục nam đàn

=====***=====

đề tài:

Sử dụng đẳng thức

(AB)2=A22AB+B2

để giảI ph ng trỡnh

GIáo viên: dơng ngọc hà

Phòng giáo dục nam đàn

=====***=====

đề tài:

Sử dụng đẳng thức (A

B)2=A22AB+B2

để giảI phơng trình

GIáo viên: dơng ngọc hà

T: 0984.919.981 & 0386.584.676 Trêng ptcs nam thỵng

MỤC LỤC

Nội dung Trang

Lời nói đầu

Lí chọn đề tài ………

Nội dung đề tài

Kết luận 17

Tài liu tam kho 19

Lời nói đầu

còn trẻ nhng suy nghĩ, tìm tịi có sáng kiến tiết kiệm cho nhà Nớc hàng chục tỉ đồng Tuổi trẻ nói chung có nhiều sáng tạo Trong dạy học tốn vậy, không dạy cho học sinh y nh sách, cho học sinh làm số tập lấy từ sách Nh cha đủ, dạy học đến phần ta phải suy nghĩ tìm tịi, suy rộng vấn đề có liên quan đến vấn đề khác sở liên quan rút điều bổ ích

Trong dạy học tốn giống nh đời sống nói chung, có vấn đề tởng chừng nh quen thuộc, ta tởng nh chúng q tõ ràng khơng có đáng suy nghĩ thêm nữa, mà thực chứa đựng vấn đề sâu sắc, suy nghĩ kĩ nhiều điều đáng ý, đáng nghiên cứu Thí dụ nh chơng trình đại số cấp THCS có quen thuộc " Bảy đẳng thức" !? ứng dụng khơng nhỏ Tuy nhiên có ứng dụng mà ta cha may may nghĩ tới, nghĩ tới, sử dụng nhng cha phát huy hết tác dụng

Trong khuôn khổ sáng kiến xin giới thiệu ứng dụng hai đẳng thức dó

"Sử dụng đẳng thức (AB)2=A22AB+B2 để giải phơng trình".

Mặc dầu q trình tìm tịi tơi cố gắng chọn lọc số ví dụ cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng khơng tránh khỏi sai sót, mong đồng chỉ, đồng nghiệp góp ý, bảo

A/ lí chọn đề tài đề tài

Trong chơng trình tốn THCS, bảy đẳng thức có tầm quan trọng đặc biệt, đặc biệt hai đẳng thức đầu tiên: (A B)2=A2

2AB+B2 Nó giúp cho chúng phơng pháp tính

Tuy nhiên ứng dụng hai đẳng thức vào giải phơng trình cha đợc đa vao dạy cụ thể chơng trình khố, song khơng tập SGK ( Sách giáo khoa) buộc học sinh phải sử dụng chúng giải đợc Tuy ứng dụng hai HĐT tập SGK dừng lại mức độ đơn giản mà HS mức trung bình mà ý phát Hơn cha có tài liêu giới thiệu cho giáo viên HS phơng pháp biến đổi để ứng dụng hai HĐT vào giải phơng trình, lúc ch-ơng trình tốn THCS, giải phch-ơng trình lại dạng tốn khó, thờng gặp kì thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Mặc dầu có nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy phơng trình bậc hai… Trong nhiều PT biết sử dụng đẳng thức (A B)2=A2

2AB+B2 việc giải phơng trình trở nên ngắn gọn hiệu Chính

vỡ lẽ tơi rút đợc số dạng biến đổi mà sử dụng hai đẳng thức vào giải số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho công tác giảng dạy ca mỡnh

Sau nhiều năm đa ứng dụng vào giải phựơng trình thấy việc sử dụng HĐT (AB)2=A22AB+B2 vào giải phơng trình có nhiều

B/ nội dung đề tài

i/ Mục đích nghiên cứu đề tài

Tác giả muốn đa sáng kiến với mục đích giúp cho học sinh đồng nghiệp có số cách vận dụng đẳng thức (AB)2=A2

2AB+B2 để giải phơng trình Thơng qua ví dụ cụ thể bạn đọc có thể vận dụng phơng pháp nêu vào toán cụ thể.

ii/ sở phơng pháp nghiên cứu

Trên sở phơng pháp dạng tốn thờng gặp chơng trình tốn THCS sáng kiến có nhiệm vụ tổng hợp phơng pháp có cách hệ thống từ đơn giản đến phức tạp, đồng thời tìm phơng pháp mẻ mà phơng pháp cũ giải đợc sử dụng phơng pháp sẵn có làm cho toán trở nên phức tạp Đồng thời tác giả đa vài phơng pháp lạ, có khó học sinh THCS với mục đích để bạn đọc so sánh tham khảo

Iii/ Thùc tr¹ng

Trong chơng trình tốn THCS, tốn giải phơng trình ( tốn tìm x, y, a, b,…) lại dạng tốn thờng có thuật tốn giải, nhng có tốn giải phơng trình không đợc trang bị số phơng pháp giải học sinh gặp khó khăn việc tìm lời giải, đặc biệt kì thi học sinh giỏi thi vào lớp 10 Mặc dầu có nhiều phơng pháp giải phơng trình nh dùng phơng pháp đặt ẩn phụ, đa phơng trình tích, dùng bất đẳng thức, quy phơng trình bậc hai…Trong nhiều PT biết sử dụng đẳng thức (AB)2=A22AB+B2

đẳng thức vào giải số phơng trính khó thờng gặp để phục vụ cho cơng tác giảng dạy

Sáng kiến kinh nghiệm "Sử dụng đẳng thức (AB)2=A2

2AB+B2 để giải phơng trình " chủ yếu khai thác, nghiên cứu những dạng toán phơng pháp giải dành cho đối tuợng học sinh THCS, tuy nhiên phơng pháp áp dụng cho đối tợng là học sinh THPT Đồng thời tác giả mạnh dạn nêu vài ph-ơng pháp tph-ơng đối khó áp dụng cho học sinh phổ thơng nhng nếu biết cách vận dụng phù hợp chắn giúp giải quyết một số toán gải phơng trình mà sử dụng phơng pháp khác ch-a hẳn giải đợc.

Trong khuôn khổ đề tài tác giả chủ yếu nghiên cứu dạng biến đổi phơng trình để vận dụng đợc hai HĐT phục vụ cho GPT PT cụ thể từ rút dạng biến đổi Do việc biến đổi củ PT khác khác nên thân rút công thức , hay phơng pháp cụ thể áp dụng cho tất phơng trình dạng mà thơng qua phơng trình cụ thể đẻ đồng nghiệp HS có cách nhìn phù hợp giải tơng tự

Tuy nói việc vận dụng hai HĐT (AB)2=A22AB+B2 vào gi¶i

phơng trình làm cho cách giải dễ dàng đơn giản hơn, nhng để có cách cách biến đổi phù hợp địi hỏi HS phải có khả t duy, phân tích tổng hợp tốt, óc sáng tạo cao dạng tốn nên áp dụng cho đối tợng HS giỏi cuối cấp THCS ơn tập cho HS có kỹ giải PT đơn giản

Iv/ biện pháp tiến hành

Đề tài " Sử dụng đẳng thức (AB)2=A22AB+B2 để giải

ph-ơng trình " đợc nghiên cứu dựa dạng tập thờng gặp, thơng qua tìm tịi sáng tạo thân vận dụng hớng dẫn học sinh khối 8;9 vận dụng vào tốn tuơng tự từ rút dạng tồn sau:

(AB)2 = (AB) = 0

Dạng 2: Phơng trình quy vỊ d¹ng

(AB)2 = (C D)2  



   

  

) (C D B

A

D C B A

Dạng 3: Phơng trình quy vỊ d¹ng

(AB)2 + (CD)2 + (EF)2 = 

    

 

 

 

0 0 0

F E

D C

B A

Dạng Nghiệm nguyên quy dạng

(A B)2 p víi A,B lµ số nguyên p nguyên dơng.

Dạng 1:Phơng trình quy dạng (AB)2 = (AB) = 0

Ví dụ 1: Giải phơng tr×nh sau: x2( x4 - )( x2 + ) + = (1)

Lêi gi¶i:

Phơng trình (1) x2( x2 +1) ( x2 - 1) ( x2 + 2) + = 0

 ( x4 + x2 )( x4 + x2 - 2) + = 0

 ( x4 + x2 )2 - 2(x4 + x2 ) + = 0

 ( x4 + x2 - 1)2 = 0

 x4 + x2 - 1= 0

Đây phơng trình trùng phơng quen thuộc mà ta ó cú phng phỏp gii

Đặt x2 = t ®iỊu kiƯn t  0

t2 + t - = 0

t = 12 - 4.1.(-1) =

t1 =

5 1

 > ( Thảo mÃn điều kiện); t

2 =

5 1

 < ( lo¹i v×

khơng thoả mãn điều kiện t > ) Lúc đặt x2 = t nên ta có x2 =

2 1 

 x = 

2 1 

Vậy phơng trình cho có hai nghiệm phân biệt

x1=

5 1

 ; x

2 = -2

5

Ví dụ 2 Giải phơng trình: 20         x x 2

+         x x 2

- 20 

       2 x x

= (2) Lêi gi¶i: §iỊu kiƯn x1

§Ỉt 

       x x

=y ;         x x

= z lúc phơng trình (2) có dạng 20y2 + 5z2 - 20yz =

 5(2y - z)2 =  2y = z dẫn đến 2 

       x x =   x x

 2( x-2 )( x-1)= ( x+2 )( x+1 )  2x2 - 6x + = x2 + 3x + 2

 x2 - 9x + = 0

Ta dễ dàng tìm đợc x1 =

73 9 ; x

2 =

73 9 .

VËy phơng trình (2) cố tập nghiệm

2 73 9 ;

2 73 9 .

Ví dụ 3: Giải phơng trình: x2 + = 2 x31 (3)

Lời giải: Điều kiện: x1

Thêm bớt x vế trái (3) để xuất đẳng thức, lúc (3)  x+1 + x2 - x + - 2 ( 1)( 1)

   x x

 ( x1)2 - (x1)(x2  x1) + (   x

x )2

 ( x1-   x

x )2 =

 x1 =

  x

x

 x + = x2 - x + 1

 x2 - 2x = 0

 x1 = x2 = ( thảo mÃn điều kiện)

Vậy tập nghiệm PT(3) là:0;2

Dạng 2

Phơng trình quy dạng (AB)2 = (C D)2 

        ) (C D B A D C B A

Ví dụ 4 : Giải phơng trình: x4 = 24x + 32 (4)

Lời giải: Thêm 4x2 + vào hai vế phơng trình (4) ta đợc:

x4 + 4x2 + = 4x2 + 24x + 36

 ( x2 + 2)2 = ( 2x + )2

            ) ( 2 2 x x x x            ) ( ) ( 2 ii x x i x x

Phơng trình (i) có hai nghiệm phân biệt x =

Phơng trình (ii) v« nghiƯm

VËy tËp nghiƯm cđa PT (4) là:1 5; 1+

Dạng 3

Phơng trình quy dạng

(AB)2 + (CD)2 + (EF)2 = 

           0 0 0 F E D C B A

Ví dụ 5: Giải phơng tr×nh: x + y + z + = x 2+ y + z (5)

Lời giải: Điều kiện x2 ; y3 ; z5

PT(5)  x-2-2 x 2+1 +y - - y + + z - - z + =

Vế trái phựơng trình tổng ba biểu thức không âm nên vµ chØ khi:

                z y x              z y x             9 5 4 3 1 2 z y x          14 7 3 z y x

(Thoả mÃn điều kiện), nghiệm phơng trình là: (x,y,z)=(3,7,14) Dạng 4

Nghiệm nguyên quy dạng (A B)2 p với A,B các

số nguyên p nguyên dơng.

Ví dụ 6: Tìm nghiệm nguyên phơng trình:

2x2 + 2y2 - 2xy + x + y - 10 = (6)

Lêi gi¶i: PT(6)  2( x2 + y2 ) -2xy + x + y - 10 = 0

 2( x + y )2 - 4xy - 2xy + x + y - 10 = 0

 2( x + y )2 - 6xy + x + y - 10 = 0

Đặt S1 = x + y ; S2 = xy ta có phơng tr×nh:

2S12 - 6S2 + S1 - 10 =

 S2 =

( 2S12 + S1 - 10)

Do S2 Z nên S1 ( S1 số nguyên chẵn )

Mt khỏc ( x - y)2  nên ( x + y )2 - 4xy   S  S Do

( 2S12 + S1 - 10) 

4

2 S

S12 + 2S1 - 20   ( S1 +1 )2 21

Vì S1 số nguyên chẵn nên ( S1 +1 )2 1;9

Do ú S1 =  4;2;0;2

Muèn cho S2 =

      3 4 S S

hoặc     0 2 S S Do        3 4 xy y x       0 2 xy y x

Giải hai hệ phơng trình ta tìm đụơc nghiệm nguyên (x;y) PT(6) (-1;-3); (-3;-1); (0;2); (2;0)

V/ hiệu việc sử dụng đề tài

Trường PTCS Nam Thượng trường huyện Nam Đàn

có học sinh Từ năm học: 2008-2009, tồn trường có lớp, khối lớp Do khó khăn cho việc lựa chọn đối tượng để thực đề tài Chính điều kiện bắt buộc tơi phái sử dụng đối tượng học sinh lớp 9, hai năm học liên kề để so sánh kết đạt đựoc sau sử dụng đề tài

Nội dung đề tài đề cập đến phạm vi hẹp chương trình tốn THCS Vì gây nhiều khó khăn cho việc đánh giá hiệu đề tài Tôi nghĩ cách đề kiểm tra( không đưa vào để đánh giá học tập học sinh, mà dùng để đánh giá hiệu đề tài) lồng ghép tập dạng toán giải phương trình nêu đề tài

Bảng thống kêđiểm kiểm tra chưa sử dụng đề tài lớp năm học 2008-2009

B ng 1ả

Điểm 10

Số học sinh đạt 3 10 1

Tỉ lệ (%) 2.8 8.4 8.4 21.6 28 16.8 8.4 2.8 2.8 Điểm trung bình

của lớp ( sĩ số: 35) x

_

Từ bảng cho thấy điểm trung bình chung lớp đạt 4,8 điểm Số học sinh đạt điểm thấp nhiều, 14 em ( 41,2%) có điểm trung bình Bảng thống kê điểm kiểm tra Sau thực đề tài lớp

năm học 2009-2010:

B ng 2ả

Điểm 10

Số học sinh đạt 0 15 1

Tỉ lệ (%) 0 3.1 12.4 46.9 22.1 9.3 3.1 3.1 Điểm trung bình

của lớp ( sĩ số: 32) x

_

= 3.14.55.15326.77.28.19.1= 5,4

+ Từ bảng cho thấy điểm trung bình chung lớp đạt 5,4 điểm Số học sinh đạt điểm thấp cịn ít, em ( 18,6%) có điểm trung bình

- Bảng thống kê chi tiết so sánh điểm kiểm tra học kì I năm học: 2008-2009 học kì I năm học: 2008-2009-2010 lớp trường PTCS Nam Thượng

B ng 3ả

Loại Cách dạy

Giỏi ( %)

Khá (%)

TB (%)

Yếu (%)

Kém (%)

Trên TB (%)

ĐiểmTB (đ)

Cũ 2.8 11.2 44.8 30 11.2 58.8 4,8

Mới 3.1 12.4 69 15.5 3.1 81.4 5,4

- Dựa vào bảng ta thấy rõ hiệu việc sử dụng đề tài: - Loại giỏi tăng: 0.3%

- Loại tăng: 1.2%

- Loại trung bình tăng: 24.2% - Loại yếu giảm: 14.5%

- Loại giảm: 8.1%

KÕt luËn

Trong phạm vi sáng kiến thân cố gắng trình bày dạng giả phơng trình cách sử dụng HĐT (AB)2=A2 2AB+B2 Mỗi dạng toán nh có hai ví dụ minh hoạ

Có ví dụ tơi đa vài cách giải khác để bạn đọc tiện so sánh tìm hớng thích hợp trình giải tuơng tự

Trong đề tài có số dạng tốn mà q trình nghiên cứu thân cha thể nêu đợc cách giải tổng qt mà thơng qua ví dụ minh hoạ để bạn đọc tự hình thành cách t sáng tạo, nhiên quen thuộc dạng tốn ta tìm phơng pháp cụ thể cho dạng toán để phát triển nhân rộng

Sau nhiều năm ứng dụng hai HĐT vào chơng trình dạy học tơi thấy việc giải tập phơng trình học sinh giải linh hoạt có giải ngắn gọn rết dễ hiểu, học sinh dễ tiếp thu vận dụng số học sinh giải đợc nhiều giải phơng trình tơng đối khó kỳ thi Do thân mạnh dạn viết sáng kiến kinh nghiệm hy vọng giúp cho quý vị đồng nghiệp, em học sinh bạn yêu toán điều thú vị bổ ích

Mặc dầu q trình tìm tịi tơi cố gắng chọn lọc số ví dụ cố gắng trình bày ngắn gọn, rõ ràng dễ hiểu nhng không tránh khỏi sai sót, mong đồng chí, đồng nghiệp góp ý, bảo

tµi liƯu tham khảo

1/ SGK SGV lớp hành.

2/ Sách "" Toán bồi dỡng nâng cao cho häc sinh líp " cđa nhµ xt GD tác giả: Vũ Hữu Bình - Tôn Thân và Đỗ Quang thiều biên soạn

3/ SGK GGV lớp hành.

4/ Tạp chí " Tuyển tập 30 năm toán học tuổi trẻ " hội toán học Việt Nam biên soạn.