Bạn đọc hãy xem lại tính chất của bất đẳng thức trong phần Mở đầu trước khi xem xét các ví dụ bởi vì muốn chứng minh một bất đẳng thức nào đó bằng phương pháp này đòi hỏi phải sử dụng [r]
(1)BẤT ĐẲNG THỨC
Mở đầu
Trước nghiên cứu bất đẳng thức, ta cần nhắc lại định nghĩa, những tính chất nó.
Định nghĩa:
+ a nhỏ b, kí hiệu a < b a − b < 0 + a lớn b, kí hiệu a > b a − b > 0
+ a nhỏ b (a không lớn b), kí hiệu a b a − b 0
+ a lớn b (a khơng nhỏ b), kí hiệu a b a − b 0
Ta gọi hệ thức dạng a < b, a > b, a b, a b bất đẳng thức.
Trong đó, a gọi vế trái (VT), b gọi vế phải (VP) bất đẳng thức.
Các tính chất bất đẳng thức:
+ a > b b < a
+ a > b, b > c a > c
+ a > b a + c > b + c
+ a > b, c > d a + c > b + d
a > b, c < d a − c > b − d
+ a > b, c > ac > bc
a > b, c < ac < bc
+ a > b 0, c > d ac > bd
+ a > b > a > b
a > b a > b (n lẻ)
|a| > |b| a > b (n chẵn)
+ a > b, ab > <
MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN A với A Dấu “=” xảy A = 0
|A| A với A Dấu “=” xảy A 0
a + b + c ab + bc + ca a + b 2ab (a + b) 4ab
3(a + b + c) (a + b + c) (a, b, c) + (a, b > 0)
Bất đẳng thức trung bình cộng trung bình nhân (Bất đẳng
thức AM-GM)
Bất đẳng thức Cauchy (Bất đẳng thức Bunyakovsky hay bất đẳng thức
Cauchy - Bunyakovsky - Schwarz (viết tắt BCS), bất đẳng thức Schwarz hoặc bất đẳng thức Cauchy - Schwarz)
(2)A KIÊN THỨC CẦN NHỚ
I PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA
Để chứng minh a < b (hoặc a > b a b a b), ta cần chứng minh
a − b < Ta xét số ví dụ sau đây.
VÍ DỤ 1. Chứng minh a + b + c ab + bc + ca với a, b, c
Giải: Xét hiệu:
A = (a + b + c) − (ab + bc + ca)
= (a − 2ab + b) + (b − 2bc + c) + (c − 2ca + a) = (a − b) + (b − c) + (c − a) a, b, c
Vì A nên a + b + c ab + bc + ca
Dấu “=” xảy a = b = c
VÍ DỤ 2. Cho biểu thức sau:
A = (a + b)(a + b)
B = (a + b)(a + b) với a, b
So sánh A B
Giải: Xét hiệu
A − B = (a + b)(a + b) − (a + b)(a + b)
= (a + b + ab + ab) − (a + b + ab + ab) = ab − ab − ab + ab
= ab(a − b) − ab(a − b) = ab(a − b)(a − b)
= ab(a + b)(a − b) a, b
Do A B
Dấu “=” xảy a = b = a = b
VÍ DỤ 3. Chứng minh bất đẳng thức sau với số dương a, b:
+
Giải: Xét hiệu + − = − = =
VT VP Bất đẳng thức chứng minh
Dấu “=” xảy a = b
II PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG
(3) VÍ DỤ 4. Chứng minh rằng: |a| + |b| |a + b| a, b
Giải: Nhận xét: |x| = x với x |x|.|y| = |xy| x, y
Ta có:
|a| + |b| |a + b| (|a| + |b|) (|a + b|)
|a| + 2|a|.|b| + |b| (a + b) a + 2|ab| + b a + 2ab + b |ab| ab (đúng với a, b)
Vậy bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=” xảy ab
Chú ý: Ngoài ra, ta cịn có bất đẳng thức khác liên quan tới dấu giá trị tuyệt đối: |a| − |b| |a − b| (Dấu “=” xảy ab 0).
VÍ DỤ 5. Với a, b 0, chứng minh rằng: +
Giải: Ta có: +
a + + b a + b (đúng với a, b 0)
Vậy bất đẳng thức xuất phát Dấu “=” xảy a = b =
VÍ DỤ 6. Cho a, b, c ba số thực Chứng minh bất đẳng thức:
2 2
3
a b c a b c
Giải: Bất đẳng thức cho tương đương với:
2 2
2 2
2 2 2
2 2
2 2
3
3
3
2
0 a b c
a b c
a b c a b c
a b c a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b b c c a
Bất đẳng thức cuối đúng, kéo theo bất đẳng thức cần chứng minh
Dấu “=” xảy a = b = c
Θ Yêu cầu:
Hãy giải ví dụ 1, 2, 3 phần I. phương pháp biến đổi tương
đương.
Hãy giải ví dụ 4, 5, 6 phần II. phương pháp sử dụng định
(4)III PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG TÍNH CHẤT CỦA BẤT ĐẲNG THỨC
Bạn đọc xem lại tính chất bất đẳng thức phần Mở đầu trước khi xem xét ví dụ muốn chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp địi hỏi phải sử dụng thành thạo tính chất của bất đẳng thức.
VÍ DỤ 7 Cho số thực dương a, b, c Chứng minh:
1 a b c a b b c c a
Giải: Ta cần chứng minh hai bất đẳng thức:
1
a b c
a b b c c a
a b c
a b b c c a
Chứng minh bất đẳng thức
a b c
a b b c c a (1)
Vì a, b, c > nên ta có:
1
a a
b c a b c a b a b c
b b
b c a b c
b c a b c
c a a b c c c
c a a b c
a b c a b c
b c b c c a a b c a b c a b c
Chứng minh bất đẳng thức
a b c
b c b c c a
Đầu tiên, ta cần chứng minh bất đẳng thức phụ:
x x z y y z
với < x < y z >
(Bạn đọc dễ dàng chứng minh bất đẳng thức phương pháp biến đổi tương đương)
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
2
a c a
a b a b c
b a b a b c c a a b b c
b c a b c a b b c c a a b c a b c a b c
c b c
c a a b c
(5) VÍ DỤ 8. Cho hai số a b thỏa mãn điều kiện a + b = Chứng minh:
a + b
Giải: Ta có: a + b = (a + b)(a − ab + b) = a − ab + b Mà (a + b) = a + 2ab + b = (1)
(a − b) a − 2ab + b (2)
Cộng vế với vế hai bất đẳng thức (1) (2) ta có: 2(a + b) a + b
Lại từ (2) 2ab a + b ab − ab −
Vậy a + b = a − ab + b − = (đccm)
Dấu “=” xảy a = b =
VÍ DỤ 9. Chứng minh rằng, với a, b hai số khác dấu thì:
+
Giải: Khơng tính tổng quát, giả sử a b
Khi a = b + c (c 0)
Vì c nên ta có:
2 2
1 1
a b b c b c b bc c b b bc
b a b b c b b c b b c b b c
Dấu “=” xảy c = a = b
Chú ý: Bất đẳng thức có nhiều cách chứng minh trong những bất đẳng thức quan trọng Ta cần ý rằng, a, b hai số khác 0 dấu với nên hai số dương nghịch đảo nhau. Chính bất đẳng thức phát biểu sau:
“Tổng số dương với nghịch đảo khơng nhỏ 2” Sau xin nêu vài cách chứng minh bất đẳng thức để bạn đọc cùng tham khảo:
Cách 1:
Xét hiệu + − 2 = − 1 + − 1= + = (a − b) −
= 0 (vì ab > a, b khác dấu)
Cách 2:
+ a + b 2ab (a − b) (vì ab > 0)
Cách 3:
Áp dụng bất đẳng thức AM-GM cho hai số dương Ngoài nhiều cách chứng minh khác.
IV PHƯƠNG PHÁP SỬ DỤNG CÁC BẤT ĐẲNG THỨC ĐÃ BIẾT
(6) VÍ DỤ 10. Cho a, b số không âm Chứng minh: (a + b)(ab + 1)
4ab
Giải: Áp dụng bất đẳng thức (x + y) 4xy, ta có:
(a + b) 4ab (1)
(ab + 1) 4ab (2)
Từ (1) (2) suy (a + b)(ab + 1) 4ab.4ab
Vì a, b không âm nên (a + b)(ab + 1) 4ab
Dấu “=” xảy a = b ab = a = b =
Chú ý: Với toán này, ta áp dụng bất đẳng thức AM-GM.
VÍ DỤ 11. Cho số dương x, y có tổng khơng q Chứng minh:
2
1 x xy y xy Giải: Áp dụng bất đẳng thức + (a, b > 0)
với a = x + xy > b = y + xy > 0:
2
2 2
1 4
4 x xyy xy x xy y xy x y
(vì x + y 1)
VÍ DỤ 12. Cho a, b, c số thực thỏa mãn a + b + c = Chứng minh
rằng: ab + bc + ca + a + b + c
Giải: Ta có: ab + bc + ca a + b + c =
Mà (a + b + c) 3(a + b + c) = 3.3 = a + b + c
Từ có đccm
VÍ DỤ 13. Với số dương a, b, c, chứng minh rằng:
ab bc ca
a b c c a b
Giải: Áp dụng bất đẳng thức + (xem VÍ DỤ 9.)
Ta có: 2
ab bc a c
b b b
c a c a
Tương tự
ab ca a
c b , bc ca
c a b
Cộng vế ba bất đẳng thức trên, ta đccm
Chú ý: Một cách khác để chứng minh dùng phương pháp biến đổi tương đương: nhân vào hai vế bất đẳng thức với abc > Ta có bất đẳng thức đã cho tương đương với:
(7)Bất đẳng thức bất đẳng thức (xem phần MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CƠ BẢN)
V PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH PHẢN CHỨNG
Đầu tiên, xin nhắc lại đôi chút phương pháp chứng minh phản chứng bằng ví dụ đây.
Ví dụ. Có tồn số thực a, b, c khác thỏa mãn a + b + c = và + + = hay không?
Giải: Ta sử dụng phương pháp chứng minh phản chứng: Giả sử tồn số a, b, c thỏa mãn đề Khi đó:
Từ + + = ab + bc + ca = ab = − c(a + b) = (−c).(−c) = c
Tương tự bc = a, ca = b.
Suy a + b + c = ab + bc + ca a = b = c Mà a + b + c = 0
Nên a = b = c = 0, trái với giả thiết a, b, c khác 0.
Do giả sử sai Vậy khơng tồn số thực a, b, c thỏa mãn đề bài.
Trở lại với học, xét ví dụ chứng minh bất đẳng thức phương pháp chứng minh phản chứng sau đây.
VÍ DỤ 14. Với số thực a, b, c chứng tỏ:
2
2
4 a
b c b a c c a b
Giải: Giả sử
2
4 a
b c b a c c a b
Khi đó, ta có:
2
2
2
2
2
4
2
0
a
b c b a c c a b a
b c ab ac bc a
b c
Điều vơ lí x với x R
Do giả sử sai Vậy
2
4 a
b c b a c c a b
VÍ DỤ 15. Cho a + b = Chứng minh a + b
Giải: Giả sử a + b > Khi đó:
(8) + 3ab(a + b) > ab(a + b) > ab(a + b) > a + b
> (a + b)(a − b) (vơ lí a + b > (a − b) với a, b)
Do giả sử sai Vậy a + b
Chú ý: Ta chứng minh bất đẳng thức cách trực tiếp như sau:
Vì a + b > nên a > − b a > − b a + b > 0 Suy (a + b)(a − b) a + b ab(a + b)
3(a + b) 3ab(a + b) 4(a + b) (a + b) a + b
VI PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
Phương pháp quy nạp toán học dành cho bất đẳng thức mà biểu thức vế chứa biến lấy giá trị thuộc tập hợp số tự nhiên N.
VÍ DỤ 16. Chứng minh với số ngun dương n ta có bất
đẳng thức > 2n +
Giải:
1. Với n = = = 8, 2n + = 2.3 + = > 2n +
Mệnh đề với n =
2. Giả sử mệnh đề với n = k (k N, k 3) Khi > 2k +
Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa
2 > 2(k + 1) + Thật vậy, = 2.2 > 2.(2k + 1) (theo giả thiết quy nạp)
> 4k + > 2k + = 2(k + 1) + (vì k 3)
Vậy mệnh đề với k
3. Kết luận: > 2n + với n N, n
VÍ DỤ 17. Chứng minh với số nguyên dương n > n > n +
Giải: Vì n > nên n
1. Với n = ta có n = = 9, n + = + = n > n +
Mệnh đề với n =
2. Giả sử mệnh đề với n = k (k N, k 3) Khi k > k +
Ta cần chứng minh mệnh đề với n = k + 1, nghĩa (k + 1) > (k + 1) + Thật vậy, ta có:
(k + 1) − [(k + 1) + 5] = k + 2k + − k −
= k − (k + 5) + 2k > 0, theo giả thiết quy nạp Do mệnh đề với k
3. Kết luận: n > n + với số nguyên dương n >
Chú ý: Ta làm sau:
(9)VII PHƯƠNG PHÁP XÉT PHẦN TỬ ĐẠI DIỆN
Phương pháp thường dùng cho việc chứng minh bất đẳng thức có vế trái tổng gồm nhiều hạng tử mà hạng tử có dạng chung. Ta có ví dụ:
VÍ DỤ 18. Chứng minh rằng: 2 2
1 1
0
2 n
với n N, n
Giải: 2 2
1 1
S
n
Hiển nhiên S > tổng (n − 1) số dương số dương Ta thấy hạng tử S có dạng với k số tự nhiên từ n
Xét
1 1 1
1
k k k k k k k
Cho k nhận giá trị từ đến n ta có:
2
2
1 1 2 1 3
1 1
n n n
Do 1 S n
VÍ DỤ 19. Cho n N*, chứng minh: 3
1 1
1
1 n
Giải: Dễ dàng chứng tỏ S >
Ta thấy hạng tử 3
1
S
n
đều có dạng với k số tự nhiên chạy từ đến n
Xét
1 1 1 1 k k k k k k
Cho k nhận giá trị từ đến n ta có:
3
3
1 1 2 1 3
1 1
n n n
(10)Chú ý: Ta cho k nhận giá trị k − phải khác Do chỉ
có thể xét 3
1
2 S
n
mà thôi!
B BÀI TẬP THỰC HÀNH
Bài tập Chứng minh bất đẳng thức sau:
1.
1
a b (a > b, ab > 0) 2. a 2 a4 a a6 (a 0)
3. 2
0 a ab b 4. a b a b
5. a b c a b c
6. a b 1 ab (|a|, |b| < 1)
7.
2
2
a ab b a b
(a, b 0)
8. 3 3 2 2 2
a b c ab bc ca
a ab b b bc c c ca a
(a, b, c > 0) 9.
2
1 3
a a
a a
10.
2
1 2 a b
a ab b
a b
(0 < a < b)
11.
2
2 2
2 a b
a b ab
12.
2
2 2
3 a b c
a b c ab bc ca
13.
1
1 ab bc ca
(a + b + c = 1)
14. a2b2c2 ab bc ca 3abc a b c (a, b, c > 0)
15. ab bc 2ca8 (a + b + c 8) 16. 3a b c d 2 8ab ac ad bc bd cd 17. a4b4c4 abc a b c
18. a2b2c2d2 a b c d
19. a2b2c2d2e2 a b c d e 20.
2 3
2 2 a b a b a b
(11)21. a21b2b21c2c21a26abc 22.
2 2
a b a b
b a b a (a, b ≠ 0) 23.
2
2
a b a b
b a b a
(a, b ≠ 0) 24.
2 2 2
a b c a b c
b c a b c a 25. a4b4 ab a 2b2
26.
2 2 2
2 2
2010 2011 2012
a b b c c a
a b c ab bc ca
27.
2
4 1 1 1 10 1
a b c d
a b c d
28. 4ab a b a b 2a b (a, b 0)
29. a3b3ab a b (a, b > 0) 30.
3 3
2
ab a b bc b c ca c a a b c
(a, b, c > 0)
31.
3 3 3
2 2
a b b c c a
a b c
ab bc ca
(a, b, c > 0)
32. 3 3 3
1 1
a b abc b c abc c a abc abc (a, b, c > 0) 33.
3 3 3
2 2
5 5
3 3
b a c b a c
a b c ab b bc c ca a
(a, b, c > 0)
34.
a b c d
a b c b c d c d a d a b
(a, b, c, d > 0)
35.
8 8
1 1 a b c
a b c abc
(a, b, c > 0)
36. a b a 3b32a4b4 (a, b > 0)
37.
1 1
64 abc a b c
(0 < a, b, c < 1)
38. ab a b (a, b > 2) 39. a4 b4 a3 b3
(a + b = 2)
40. 4 3
a b c a b c (a + b + c = 3)
41. 1 a b 2 (a, b 0, a + b = 1) 42. 1 3 2 a 2 b2 1 (a, b 0, a + b = 1)
43. 2
1
1a 1b 1ab (ab 1)
44. b c 16abc (a, b, c > 0, a + b + c = 1) 45. a b c 3abc (a, b, c > 0, + + a + b
(12)46. 2
1
a b ab (a, b > 0, a + b = a + b) 47.
1 1
abc a b c
a b c
(a, b, c > 0)
48. 2 2 2
1 1
2 3
a b b c c a (a, b, c 0, abc = 1)
49.
2 2
2 2
3( )
a b c
a b c
b c a (a, b, c > 0, a + b + c = 1)
50. 2 2
1 1 1
1
1 n
(n N, n 2)
51.
1 1 1
2n1n2n3 2n 4 (n N*)
52.
1 1
10 1 3 100 53.
1 1
18 19
1 100
54. 2011 2012 2013 3
55.
1 1
2 2 4 2013 2012
56.
1 1
1 79 80
57. 3 3
1 1 1 3 4 2012 4
58. 2
1
3 m
n n
(m, n N*)
59.
1 1 13 24
n n n n (n N, n 2) 60.
1 1 1 2n
n
(n N*)
Bài tập Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác ; p nửa chu vi và S diện tích tam giác Chứng minh bất đẳng thức sau:
1. abca b c b c a c a b
2.
1 p a p b p c abc
3.
4 abc a b c
S
(13)5.
1 1 1 a b c b c a c a b a b c 6.
1 1 1
p a p b p c a b c
7.
c a b
a b c b c a c a b
8. a b c b c a c a b a b c 9.
0
60 aA bB cC 90 a b c
(A, B, C ba góc tương ứng với ba cạnh a, b, c tam giác)
10.
2
2 2 4 2
a b c b c
HẾT