sử dụng hằng đẳng thức để giải hệ phương trình

sử dụng hằng đẳng thức để giải hệ phương trình tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về t...

Trang 1

§1 SU DUNG HANG DANG THUC

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

"Hệ phương trình hai ấn" là một cụm từ đồng nghĩa với "đơn giản"

đối với học sinh trung học cơ sở, vì các hệ phương trình mà các em thường gặp hiện nay hoặc quá đơn giản hoặc có phương pháp giải cụ thể Tuy nhiên trong hai kỳ thi học sinh giỏi toán quốc gia Việt Nam

có hai bài về hệ phương trình hai ẩn (1997, 2009) làm cho nhiều học

sinh giỏi xuất sắc không giải được Thực tế một số dạng khó sử dụng đạo hàm, bất đẳng thức, lượng giác thì các học sinh giỏi lại quá quen thuộc nên sẽ tìm ra lời giải trong một thời gian ngắn Chúng ta xét một bài khó sau

Bài 1 Giải hệ phương trình

2(zy +1) =3+4+ yz

z(wz+1)=1+2zz

(zz + 1) =2+3zụ

Trang 2

Lời giải

Đối với hệ phương trình trên tuy khó nhưng là một dạng mà các

em học sinh giỏi từng gặp và có cách giải sau đây

Hệ phương trình tương đương với

(zT— l)uz=3—:

(w—2)zz=1—+

(z~— 3) = 2— w

Nhân về với về ba phương trình của hệ ta thu được

(x — 1)(w — 2)(z — 3)(z?w2z? + 1) =0

Suy ra, (# = 1; = 2; z = 3) là nghiệm duy nhất của hệ

Một số học sinh được làm quen với nhiều dạng hệ phương trình hay

và khó đều phát hiện ra một nhận xét sau đây: "Một hệ khó nếu chỉ

có một cách giải duy nhất là biến đổi đẳng thức để đơn g giản bậc của,

hệ phương trình" Để có khả năng này là không hề đơn giản Chúng

ta xét ví dụ sau

{ ry(32+y) =4

7z + 11 = 3(z+)(z++1) (U

Lời giải

Ta có

(1) © 7z” +3zw(3z + ) = 1+ 3(z + w)(+ + 1)

= 82° + y? + 6ry(2z + y) =2+y>+ 3xy(x 4+ y)+

+3(~++1)(z+w)+1

® (2z +) = (+u)°+3(z+0)(6+yu+1) +1? =(z++ 1

©2r+u=z+ru+l1©z=l

Vậy hệ phương trình đã cho tương đương với

tua

Trang 3

-Đáp số: (z = 1; = 1),(z = 1; = —4)

Qua bài trên chúng ta thấy rằng giải những hệ phương trình bậc cao

hai ẩn không đối xứng chỉ sử dụng các hằng đẳng thức quen thuộc là

rất khó Tìm các hằng đẳng thức cần thiết cho lời giải của hệ phương

trình chính là kỹ năng được xây dựng trong bài giảng này Chúng ta không vội giải những hệ phương trình quá khó mà nên bất đầu với

những dạng cơ bản từ đơn giản đến phức tạp Bằng việc học một cách

hệ thống các em sẽ hình thành nên kỹ năng giải cho riêng mình

I Hằng đẳng thức bậc 2

Xét ƒ(z,) = az2 + bụ? + czụ + e + dụ + ƒ (biểu thức bậc 2 của z, y)

Khi a,b,ec,đ,e, ƒ có những mối liên hệ cho trước nào đó chúng ta có

thể biến đổi thành tích hay tổng các bình phương

1 Sử dụng hằng đẳng thức

1-+0 = 1+ ưu © (uT— 1)(o— 1) =0

au + bu = ab + ưu ® (u — b)(u — a) =0

ưu + 0t + tu + 1=uw+ 0+ £ + uu‡ © (u— 1)(u — 1) T— 1) =0

Lời giải

Ta có

(2) © (z+ø)+2(2z — 9) =2+ (z + )(2z — 0)

©®(z+~2)(2z—w—1)=0

Hệ phương trình đã cho tương đương với

ee hoặc { 27a es

(2 2+ v6 2= v8

wo | #+0u—2=0 = 9? = 2

a citi | 2 & —9- v8, 2+ võ

Trang 4

{ 3œ +) =6+(z++zu)(e+~— 2) (3)

z?+?=2

Lời giải

Ta có

(3) © 3(z +) +2(z + + zụ) = 6+ (+ )(œ+ + zp)

Hệ ban đầu tương đương với

z+t=2

(ate, © (z=l;y=l])

hoặc

z+U+zu=ð

Đáp số: (x = 1;y = 1)

Bai 5 Gidi hé phuong trinh

#” +? +3zu+1= (z+)(2+ zw) (4)

z3 +°Ẻ=1

Lời giải

Ta có

4) ® œ+0)z + (=+)u+zu+1= (e+)+z++z(ø + g)

{ae z3 + y2 = 1 ©(zœ=0;y=l), (z=l;y=0)

hoặc

Trang 5

zu(° +?) +2 = (+)? (5)

z+u+zu=ö

Lời giải

Ta có

(5) © zw(+° + 1?) +2 = (#” + 9?) + ay

& (2? + y? — 2)(xzy — 1) =0

Hệ phương trình trên tương đương với

r+y+ry=3 = vy’ — Bry +7 = 0 zU=7 Vô nghiệm

Đáp số: (z = 1;y= l)

2zu+ Wu+3=wvu+3+2z (6)

4z? +ụ”? =5

Lời giải

(6) © (2z — Ww+3)(y—1)=0

47? +y? =5 (x = -1;y = 1)

4z? +? =5 “tia

Ta cé

Trang 6

1

Đáp số: (ø= 1;y= 1),(ø = =ljg=1),(= 5;

2 Sử dụng hằng đẳng thức

X* + (ay + 22)X + 21% = (X +21)(X + 22)

X? — (x, +29)X + 2122 = (X — 21)(X — 22)

z?+ˆ+zụ=3

3u? + 2z + z — 5u = 1

Lời giải Lấy phương trình thứ 1 trừ cho phương trình thứ 2 ta thu được

z? — 2? — zự — z + 5ụ — 2=0

©+z? — (u+ 1) — 2u? + 5 — 2= 0

©z” — (u+1)z+(2— g)(2y— 1)=0

©(z+—2)(z—2u+1)=0

+ +U=2

z?+?+zu=3

#—2u= —]l z? +1? +xzụu=3

Từ đó ta có thể tìm được L,Y

Thuật toán giải có thể tóm tắt như sau

e Bước l: Cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ

e Bước 2: Viết phương trình thu được dưới dạng phương trình bậc

2 của một biến

e Bước 3: Biến đổi thành tích nhờ hằng đẳng thức

xy? + xụ +1 = 32(1)

+2? +ụ — 5zu? = 2 — 5y?

Trang 7

Lời giải

Nếu = 0, thay vào phương trình (1) ta có l1 = 0, suy ra # 0 và

chia 2 về của 2 phương trình cho #2 Khi đó hệ ban đầu tương đương

{ ¥ 9

v+— —5r=—5-5

Đặt — = u ta thu được 1

Ụ

z2? +? + zu = 3 +2 — 2u? + u — 5z = —B

Cộng hai phương trình của hệ ta thu được

2z? — uˆ + #u + tu — 5z + 2 =0

©u? — (z+ 1)uT— 2+2 + 5z — 2 =0

Âu? — (z + 1)u + (2~ z)(2z — 1) =0

«®(#+u— 2)(u— 2z+ 1) =0

z+u= 2

+? +u?2+z =3

2r—tu= l1

+2 + u2 + xu = 3

Các bạn có thể giải dé dang hai hé phương trình nhận được trên

+? + y2 = Qa? y?

y + 8x7y + 3+ = 5+2 + 7z

Lời giải

Dễ thấy hệ có nghiệm (0,0) Nếu z, # (0,0) hệ phương trình tương

đương với

11 pty?

1 3 7 5

Trang 8

1

Đặt - =u ;— = 0 Và cộng hai phương trình của hệ ta thu được 1 Na ị ¬

+ Ụ

u2 +02 =2 u2 -L 3wu — Tu + 5u = —8

= 2u2 + uˆ2 + 3ưu — Tu + 5u+6= 0

©(u+o—2)(2u+o—3)=0

Ta thu được

u+tv=2

w+y?=2

u2 + 02 =2

Chú ý Nếu ƒ(z;) được biểu diễn dưới dạng

ƒ(œ;9) = (az + 8ụ)” + +(z — 9)* (œ, 8 > 0)

chúng ta luôn tìm được dạng biểu diễn trên nhờ thuật toán sau Từ

đẳng thức

az2 + bụ? + cxụ = (ax + By)? + +(z — y)?

= (a? + +)? + (8? + +)w2 + (2a8 — 2y)

Ta thu được hệ phương trình xác định ø, đ,+ sau

a+y=a

8°++=b

2x8 —- 23+ =c

Suy ra: (a+ 8)? =at+b+cS3a+B =Vatbte

a—b va+b+c

o?—Ø?=a-b>oa—-=

Giải a—b chúng ta xác định được a, 6, ¥

z?2+?—zu =1

+4 + y! + 6x7? = 8-

Trang 9

Lời giải

(z+)? + 3(z— )? = 4

s{ (x+y)*+(x—-y) = 16

Dat u=(x+y)?,uv = (x — y)? ta thu duge hé tương đương với

2 + 02 = 16 > 0? + (4— 3u)? = 16

v=0,u=4

«© 10? - 24u=0«®© v= —,u 12 = —— (loai) 16

5

Giải { nh offal

3z2 + 22 — xụ = 4

(5z + 3)? + (+ — y)* = 64

Lời giải

Ấp dụng thuật toán trình bày ở phần trên ta thu được

23

1

3z + 2ˆ — z nạ 92 + 3)” + Ta (# ) =4

Dat u ="(5x + 3y)?, v = (z — g)? ta thu được

u + 23u = 64 2 _ v=0,u= 64

cai 2= „| #f=p=I

Giải | 2y 2 3y = x8 .¬¬

Với các phép đặt ấn phụ cơ bản = # +1, = zụ thì các hệ bậc 2 trở

thành hệ bậc 4 khá phức tạp

+22? + 4(z + ) =9

Trang 10

Lời giải

Trừ phương trình thứ nhất cho phương trình thứ 2 ta thu được

+? +12 + 4xụ — z?u? — 4(z+ụ)+ 3= 0

©(z+w_— 2)? = (zy~ 1) ®z+— 2= +(zw— 1)

z+0u-zụ=]

° z?+t?+ 4xzu =6

z++u+zxu=

+2 + 2 + 4z = 6

{ zu+3= 2(z+) (1)

z2+?—zu=1 (2)

Lời giải

(1) ©z— 2(z+) + 2= —1

Thay vào (2) ta thu được

+? +? + xw(zụ — 2(z + 0) + 2) = 1

(x+y)? +27y? — 2zw(z + gu) = 1

©(z + — xu)`=1©z+_— zụ = +1

z+-zu=l

+zụ + 3= 2(z +0)

zœ+0u—zu=_—l

z + 3 = 2(+ + 9)

II Hằng đẳng thức có điều kiện

Trong phần này chúng ta sử dụng một số hằng đẳng thức có điều

kiện đề giải các hệ phương trình Từ bài toán

Giả sử a, b,e là ba số thực thỏa mãn điều kiện abc = 1, chứng mình

rằng

= Ì

M=————+————+————=

1+0+db 110106 1+ec+ca

Trang 11

Lời giải

“Ta có

itatab’ atabtabe’ abtabet abe

Suy ra

~ l+atab-atab+abe abtabe+a2bc 1l+atabd -

Chúng ta dễ dàng giải hệ phương trình sau

Bài 1ã Giải hệ phương trình

1.1 1

~+—+—=3

Gc Yy 2

zU +uz+zz =3

=2

————— +—————+—————

Lời giải

Ap dụng kết quả của bài toán trên ta suy ra z = 1 và thu được hệ

1 1

—= +—=2©+z=2z

y 2

yzetytz=3

+ + z + zz = Ì (x + y)(y +z) = V32(1+ 9”)

(y + z)(z +2) = V82(1 + 2”)

Lời giải

Sử dụng điều kiện z + z + zz = Ì suy ra

(z+)(u+z)=1+? SỐ

(y+z)(z+z)=1+z? >z=z= SỈ"

1

Trang 12

Ta thu được hệ

z + 9z + zz =

1+zˆ(w+z) + zụz = 4y

1+1?(z+z) + zuz = 4z

Lời giải

Ta có

1+z (+ z) + ~ụuz = 1+z(z + zz) + ryz

= 1+z(3 — 0z) + xụz

=l+ởz

1+z?(+z) + ~ụuz = 1+3

Vậy hệ đã cho tương đương với

+ + 0z + z+z =3

4u — 1

1+ 3z = 4> +z= 5

3y41 Ï+ây =4z=z= TT

Ta thu được

4ụ— 1

mm —n 12

>4y(4y — 1) + 3y(3y + 1) + (4y — 1)(8y + 1) = 36 e37y = 37 ey =1

Đáp số: (z=1;y=l;z=l),(+=—s;w=-l;z= —8)

II Hằng đẳng thức dạng

+" —g" =(£— 0)(4*~Ì + ary $e taỷ ty)

z?— zử=1

2/=z+

Trang 13

Lời giải

Ta có

22 = (+ ).1 = (£ + )(+” — zụ + 1°) = #Ẻ + tŸ

>ypa=ror=y

Hệ đã cho tương đương với

{en ey tytet |

(x+y)(z? + y?) = 15

yty =a

Lời giải

{ (x + y)(x? + y*) = 15

15(x — y) = Lbyt & (c+ y)(2? + y?)(x — y) = 15y*

= { (x +y)(a? + y?) = 15 o{ (x + y)(z? + y?) = 15

xt — y! = ly" z = +2

e Giải

\ (ot ye? +?) _yp > y= ey=lre=2

e Giải

Œ +00" +?) =15 —ð` = lỗ ®=—Ÿ3,z = 23

Dáp số: (z = 2;y = 1), (4 = 2V3,y = — Ÿ3)

{ (z + 9) +?) =2

(z+ )(z2 + 1 + +”? — 2) = 22°

Lời giải

Ta có

2zŠ = (+ 0)(+1 + ` + +”? — zw(œ” + 9”))

= 7+ y? @er=y

Trang 14

Ta thu được hệ tương đương

2 4 42 ©

z(zˆ + 0”) = 2 r=y=-l1

Sử dụng hằng đẳng thức cùng với phép đặt ẩn phụ thông thường chúng

ta thu được các hệ phương trình khá phức tạp

z2? + 3? = 1

(x+y) =x

Lời giải

{ (+)? + (œ— 9)? T— (+ )(œ — 9) =

2+)? = (+) + (z — 9)

Đặt = ø + ,U = z— chúng ta đưa về bài số 8

{ 4z(z? + 2) = 15

(x — y)* = 2y

Lời giải

{ [( + ) + (z — 9)]Í + w)? + (z — )?] = 15

(z—9)+(z—)°=z+w

Đặt u = z + ,0 = z — chúng ta đưa về hệ phương trình

+ 0)(u2 + 02) = 15 x

(z + 1)(z2y? + 1) = 15

+1 = xự!

Trang 15

Lời giải

Nếu = 0 suy ra 1 = 0 (loại)

Chia cả hai về cho 3 4 0, y4 4 0 ta thu được

(e+ =)(a? +5) =15 Ù

i {f

U90

1

Đặt — = £ ta thu được

Ụ

(xem Bài 19)

(x + t)(x? + t?) = 15

t+tt=ar

z?+1?+x~z+=rxg

2(y+1)Ẻ=z++2

Lời giải

{ (x +1)? + (y+1)? -(x+1)(y+1)=1

2(y+1)=(z+1)+(w+1)

Đặt u = z + 1, =+]1 chúng ta đưa về hệ phương trình

2 2 _ _

{ 1“ + U uv=1 (Bai 18)

2u =w-++0

Bài 2ã Giải hệ phương trình

{ rt+y=y(rt+1)

Lời giải

()?+z?—(1)w =1

wd 4 3 # 4

2yo=—t+y

Trang 16

+ `

Dặt u = — ta đưa về hệ phương trình

y

{ 29 — w + (Bài 18)

IV Hằng đẳng thức dạng (a +b)” = S77_, Chak.on-*

ZU(z + 9) = 2

Lời giải

Hệ phương trình được viết lại dưới dạng

p+y=2

3ry(x+ y) = 6

Cộng hai phương trình của hệ ta thu được

(c+yP=8ert+y=2

và thu được hệ tương đương

th zụ =1 or=y=1

z1 +1 +6z2u? + 8zụ = 16

Lời giải

Ta có 16 = z + 1 + 4z0(z? + 92) + 6z?u? = (x + )° => z + = +2

2 J CtyY=2

° ciai { zẺ + y2 =2

z+=l

$0? +(2- a) = 26 22? 4e +80 { y=1

Trang 17

Đáp số: (z = 1;y= 1),(#= —1;= -])

#5 + 1® + 15z0(z + ) = 32

{tet toa

Lời giải

Ta có

32 = zŠ + uŠ + 5zu(# + 9)(#2 + u? + zy)

=(r+yP erty=2

Ta thu được hệ

z?2+?+z~zu= 3 z= l

2723 + 6u2z = 2+ + 30z? (2)

—-

Lời giải

Ta có

Vậy hệ đã cho tương đương với

2z? + 2? + 3xzụ = ï

u^ + 14z = 4+3 + 6z? + 4z + 1 (2)

Trang 18

Lời giải

Ta có

=œ+0)°= +19 | oo

=1

Giải | 27T = —1 2z? + 2u” + 3zụ = 7 = 2+? + 2(9z + 1)2 — 3z(2z + 1) =7 («)

„_ -ð+ VI =—

(+) #=———— —5 — V105

8

Dap sé: (=1;y= 1),(#= =5: = 1)

—ö + v105 l1— vw105 —5— v105 1+ V105

4z? +? =5 152? g3

—— + — + ]2zy y + 7 + 12z = 40 (2 (2)

Ta có

2 2 — _—

° Gii { r=y tự =5 soe z=y=-l

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	318,93 KB