TOÁN HỌC
Bài 13.5: PHÉP CHỨNG MINH GIÁN TIẾP
Cho đến nay, trong các chứng minh mà bạn đã viết, bạn đã chứng minh trực tiếp thông qua một loạt các phát biểu và lập luận, mà mỗi giả thuyết được đưa ra là đúng. Trong bài này bạn sẽ viết một loại chứng minh khác, gọi là chứng minh gián tiếp. Trong phép chứng minh gián tiếp, bạn chứng minh một số điều là đúng bằng cách loại bỏ tất cả các khả năng khác. Bạn có thể sử dụng loại lý luận này khi kiểm tra trắc nghiệm. Nếu bạn không chắc chắn về câu trả lời, bạn có thể thử để loại bỏ các lựa chọn cho đến khi chỉ còn lại một khả năng.
Câu chuyện bí ẩn này sẽ cung cấp cho bạn một ví dụ về phép chứng minh gián tiếp.
Thám tử Sheerluck Holmes và ba người khác chỉ có một mình trên đảo nhiệt đới. Một buổi sáng Sheerluck Holmes giải trí với những người khác bằng cách chơi chương trình giai điệu trên đàn Ukulele của mình. Sau ngày hôm đó, ông phát hiện Ukulele quý giá của mình đã bị đập vỡ thành từng mảnh. Ai có thể phạm vào hành động chống lại âm nhạc như vậy? Sheerluck Holmes loại bỏ mình là một nghi ngờ vì ông biết mình không làm điều đó. Ông loại bỏ bạn gái mình như một kẻ tình nghi vì cô đã ở với ông cả ngày. Đại tá Moran gần đây bị thương cả hai tay, do đó ông không thể đập tan Ukulele với sức lực như vậy. Chỉ còn một người khác trên đảo, người có thể đã phạm tội. Vì vậy,
Sheerluck Holmes kết luận rằng người thứ tư, ngài Charles Mortimer là người đã phạm tội.
II. Phép chứng minh gián tiếp
Đối với một mệnh đề toán học nhất định có hai khả năng xảy ra hoặc là mệnh đề đúng hoặc là mệnh đề không đúng. Để chứng minh gián tiếp rằng một mệnh đề là đúng, bạn hãy bắt đầu giả sử rằng nó không đúng. Sau đó bạn sử dụng các lập luận logic để chứng minh rằng giả định này dẫn đến một điều mâu thuẫn. Nếu giả định dẫn đến một điều mâu thuẫn, thì nó là sai. Do đó, bạn có thể loại bỏ khả năng các mệnh đề là không đúng. Điều này chỉ còn lại một khả năng, cụ thể là, mệnh đề này đúng.
1. Các ví dụ
VÍ DỤ A Giả thuyết: Nếu trong ΔNOT sđ∠N ≠ sđ∠O thì NT ≠ OT.
Giả thiết: ΔNOT với sđ∠N ≠ sđ∠O Kết luận: NT ≠ OT.
GIẢI: Để chứng minh gián tiếp mệnh đề NT ≠ OT là đúng, ta bắt đầu giả sử rằng nó không đúng. Tức là, giả sử NT = OT. Sau đó chứng minh rằng sự giả định này dẫn đến một điều mâu thuẫn.
Bài chứng minh: Giả sử NT = OT. Nếu NT = OT, thì sđ∠N = sđ∠O theo định lý về tam giác cân. Nhưng nó mâu thuẫn với giả thiết đã cho là sđ∠N ≠ sđ∠O. Do đó, điều giả định NT = OT là sai và vì vậy NT ≠ OT là đúng. ■
Dưới đây là một ví dụ khác về phép chứng minh gián tiếp. VÍ DỤ B Giả thuyết : Các đường chéo của một hình thang không thể chia đôi nhau.
Giả thiết: Hình thang ZOID có các cạnh đáy song song là và và các đường chéo và cắt nhau tại điểm Y.
Kết luận: Các đường chéo của hình thang ZOID không chia đôi nhau; nghĩa là, DY ≠ OY và ZY ≠ IY.
GIẢI Bài chứng minh.
Giả sử rằng một trong hai đường chéo của hình thang ZOID, là , chia đôi đường chéo còn lại. Khi đó ≅ . Ngoài ra, theo định lý AIA, ∠DIY ≅ ∠OZY, và ∠IDY ≅ ∠YOZ. Do đó, ΔDYI ≅ ΔOYZ theo định lý SAA. Theo CPCTC, ≅ . Giả thiết cho rằng // . Trong bài 13.4, bạn đã chứng minh rằng một cặp cạnh đối diện của một tứ giác là bằng nhau và song song, thì tứ giác đó là hình bình hành. Vì vậy ZOID là hình bình hành. Do vậy ZOID có hai cạp cạnh đối song song. Nhưng bởi vì đó là hình thang nên chỉ có đúng một cặp cạnh song song. Điều này mâu thuẫn. Tương tự, bạn có thể chứng minh rằng giả thiết chia đôi dẫn đến một điều mâu thuẫn. Vì vậy giả định các đường chéo của một hình thang chia đôi nhau là sai và giả thuyết là đúng.■
Trong các khai triển chứng minh bạn sẽ viết một chứng minh gián tiếp về giả thuyết tiếp tuyến ở chương 6.
2. Khai triển chứng minh
Hãy sao chép thông tin và sơ đồ dưới đây, sau đó làm việc với nhóm của bạn để hoàn thành phép chứng minh gián tiếp về giả thuyết tiếp tuyến.
Giả thuyết: Một tiếp tuyến thì vuông góc với bán kính vẽ từ tiếp điểm.
Giả thiết: Đường tròn tâm O với tiếp tuyến và bán kính .
Kết luận: ﬩
Bước 1: Giả sử không vuông góc với . Dựng một đường vuông góc từ điểm O đến và cắt tại điểm B ( ﬩ ). Định đề nào cho phép bạn làm điều này?
Bước 2: Chọn một điểm C trên , khác phía với điểm A so với B sao cho . Định đề nào cho phép bạn làm điều này?
Bước 3: Tiếp theo, dựng .Định đề nào cho phép bạn làm điều này? Bước 4: ∠ABO ≅ ∠CBO. Tại sao?
Bước 5: . Tính chất nào của sự tương đẳng cho bạn biết điều này? Bước 6: Vì vậy, ΔABO ≅ ΔCBO. Những tính chất nào cho bạn biết các tam giác
là tương đẳng với nhau?
Bước 7: Nếu ΔABO ≅ ΔCBO, sau đó . Tại sao?
Bước 8: C là một điểm trên đường tròn (vì một đường tròn là tập hợp của tất cả các điểm trong một mặt phẳng cách đều tâm đường tròn, và các điểm A và C là cùng khoảng cách tính từ tâm). Do đó, cắt đường tròn tại hai điểm (A và C) và do đó, không phải là một tiếp tuyến. Nhưng điều này dẫn đến mâu thuẫn. Tại sao?
Bước 9: Thảo luận về các bước với nhóm của bạn. Mâu thuẫn ở đây là gì? Nó chứng minh điều gì? Bây giờ hãy viết một chứng minh gián tiếp hoàn thành giả thuyết về tiếp tuyến.
Bước 10: Phương pháp và viết một chứng minh gián tiếp của giả thuyết về tiếp tuyến: Một đường thẳng vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc với đường tròn là tiếp tuyến của đường tròn.
Thêm các giả thuyết về tiếp tuyến và định lý đảo về tiếp tuyến vào danh sách các định lý của bạn.
III. Bài tập
Đối với bài tập 1-2 câu trả lời chính xác là một trong những lựa chọn được liệt kê. Xác định câu trả lời chính xác bằng lý luận gián tiếp, giải thích làm thế nào bạn loại bỏ lựa chọn sai.
1. Nơi nào là thủ đô của Mali?
A. Paris B. Tucson C. London D. Bamako
2. Chứng minh trong ví dụ A nói rằng nếu hai góc trong một tam giác là không bằng nhau thì tam giác đó không phải là tam giác cân? Giải thích.
3. Chứng minh trong ví dụ B nói rằng nếu đường chéo của một tứ giác chia đôi đường chéo còn lại, thì tứ giác đó không phải là hình thang.
4. Điềnvào chỗ trống các chứng minh gián tiếp sau đây. Giả thuyết: Không có tam giác có hai góc vuông.
Giả thiết: ΔABC
Kết luận: Không có hai góc nào là góc vuông.
Chứng minh hai cột:
Phát biểu Lý do
1. Giả sử ΔABC có hai góc vuông 1… (Giả sử sđ∠A = 90 ̊ và sđ∠B = 90̊
và 0̊ < sđ∠C < 180 ̊)
2. sđ∠A + sđ∠B + sđ∠C = 180̊ 2… 3. 90̊ + 90̊ + sđ∠C = 180̊ 3…
Nhưng nếu sđ∠C = 0 thì hai cạnh và trùng nhau. Và vì vậy không có góc nào tại C. Điều đó mâu thuẫn với giả thiết đưa ra, nên điều giả sử là sai. Do đó không có tam giác có hai góc vuông.
5. Viết chứng minh gián tiếp cho giả thuyết dưới đây. Giả thuyết: Không có hình thang nào là đẳng giác. Giả thiết: Hình thang ZOID với đáy và
Kết luận: ZOID không phải là đẳng giác.
6. Viết chứng minh gián tiếp cho giả thuyết dưới đây. Giả thuyết:Trong một tam giác các cạnh không đều, đường trung tuyến không thể là đường cao.
Giả thiết: Tam giác không đều cạnh ABC với trung tuyến Kết luận: Trung tuyến không phải là đường cao ứng với
.
7. Viết chứng minh gián tiếp cho giả thuyết dưới đây.
Giả thuyết: Các đáy của một hình thang có độ dài không bằng nhau.
Giả thiết: Hình thang ZOID với các đáy song song là và Kết luận: ZO ≠ ID
8. Viết giả thiết và kết luận, sau đó tìm phương pháp viết các chứng minh của giả thuyết các đường trung trực của một dây cung: Các đường trung trực của một dây cung đi qua tâm của đường tròn. Khi bạn đã hoàn thành việc chứng minh, hãy thêm nó vào danh sách các định lý của bạn.
9. Tìm a, b và c 10. Một hộp nhựa rõ ràng là có hình dạng của một hình nón nằm trên một hình trụ và
chúng có đáy trùng nhau. Tìm thể tích của hộp nhựa đó.
11. Mỗi cung là ¼ của đường tròn với tâm của nó là các đỉnh của hình vuông.
Giả thiết: Độ dài mỗi cạnh của hình vuông bằng 1 đơn vị. Tìm: Diện tích phần bóng mờ
12. Đối với mỗi phát biểu sau, chọn luôn luôn (A), đôi khi (S), hoặc không bao giờ (N).
a. Một góc nội tiếp trong nửa đường tròn là một góc vuông. b. Một góc nội tiếp trong một cung lớn là góc tù.
c. Số đo của cung bằng số đo góc ở tâm.
d. Số đo của một góc hình thành bởi hai dây cung cắt nhau bằng số đo của cung chắn nó.
e. Số đo của một góc hình thành bởi hai tiếp tuyến của một đường tròn bằng phần bù của góc ở tâm của cung chắn nhỏ.
BÀI 13.6: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TRONG ĐƯỜNG TRÒN.