TOÁN HỌC
Bài đọc thêm: HÌNH HỌC PHI EUCLIDE
quy luật đơn giản cũng tạo ra một trò chơi hoàn toàn mới. Bạn có thể so sánh hình học như một trò chơi mà các quy luật như các định đề. Nếu bạn thay đổi thậm chí chỉ một định đề bạn cũng có thể tạo ra một hình học hoàn toàn mới. Hình học Euclide- hình học mà bạn đã học trong bài trước được dựa vào rất nhiều định đề. Một định đề, theo những
người bạn cùng thời với Euclide là một sự thật hiển nhiên không thể được dẫn xuất từ các định đề khác.
Danh sách dưới đây gồm 5 định đề đầu tiên của hình học Euclide:
Định đề 1: Qua hai điểm bất kì ta có thể vẽ được một đường thẳng. Định đề 2: Một đoạn thẳng có thể kéo dài ra mãi mãi.
Định đề 3: Có thể vẽ được một đường tròn với một điểm đã cho bất kì làm tâm với một bán kính tùy ý.
Định đề 4: Tất cả các góc vuông đều bằng nhau.
Định đề 5: Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, có thể vẽ được đúng một đường thẳng đi qua điểm đó và song song với đường thẳng đã cho. Định đề thứ năm đươc biết đến như định đề song song, dường như không được rõ ràng như các định đề khác. Sự thật là trong nhiều thế kỷ, rất nhiều nhà toán học không tin rằng đó là một định đề và cố gắng chỉ ra rằng nó có thể được chứng minh dựa vào các định đề khác. Thử làm việc với phương pháp chứng minh trực tiếp, các nhà toán học đã bắt đầu bằng việc giả sử rằng định đề thứ năm là sai và cố gắng đưa ra một sự mâu thuẫn mang tính lôgic.
Nếu định đề thứ năm là sai, thì một trong số các giả thiết sau phải đúng.
Giả thiết 1: Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, ta có thể vẽ được nhiều hơn đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.
Giả thiết 2: Qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, ta không thể vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho.
Thật thú vị, không có giả thiết nào trong 2 giả thiết trên mâu thuẫn với các định đề của Euclide, giả định 1 dẫn tới một hệ thống hình học suy diễn mới của hình học phi Euclide, gọi là hình học hyperbolic, giả định 2 dẫn tới một hệ thống hình học khác của hình học phi Euclide, gọi là hình học elliptic.
Một loại của hình học elliptic là hình học hình cầu áp dụng cho các đường thẳng và các góc trên mặt cầu. Trên mặt đất, nếu bạn đi trên một đường thẳngdài vô hạn, thì con đường mà bạn đi có hình dạng như thế nào? Về mặt lý huyết, nếu bạn đi trong một thời gian dài, bạn sẽ kết thúc tại cùng điểm mà bạn bắt đầu, sau khi đi vòng quanh Trái Đất! (Hãy tìm một quả cầu và kiểm tra điều đó!). Vì vậy, trên mặt cầu, một “đường thẳng” không phải là một đường thẳng hoàn toàn, mà là một đường tròn.
Hình học hyperbolic được xác định bởi các đĩa có dạng đường tròn. Các biên của đĩa tròn tượng trưng cho sự vô hạn, vì vậy các đường thẳng uốn cong và đi đến một điểm tại biên của đường tròn.điều
này nghe có vẻ lạ lùng nhưng nó phù hợp với lý thuyết vật lý rằng chúng ta có thể sống trong vũ trụ kín.
Hoạt động sau đây sẽ giúp bạn tìm hiểu về hình học hình cầu
Hoạt động: Hình học hình cầu.
Bạn có thể sử dụng một mặt của một hình cầu để nghiên cứu hình học hình cầu. Tất nhiên, bạn không thể vẽ được một đường thẳng trên một mặt cầu. trong một mặt phẳng, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm được đo dọc
theo một đường thẳng. trên mặt cầu, khoảng cách ngắn nhất giữa hai điểm được đo dọc theo một đường tròn lớn. Nhắc lại rằng một đường tròn lớn là một đường tròn nằm trên bề mặt của một mặt cầu mà đường kính của đường tròn đó đi qua tâm của mặt cầu. Vì vậy trong hình học hình cầu, một đoạn thẳng là một dây cung của đường tròn lớn.
Trong hình học hình cầu, “đường thẳng” (tức làcác đường tròn lớn)không bao giờ kết thúc; tuy nhiên, độ dài của chúng là hữu hạn. Bởi vì tất cả các đường tròn lớnđều có cùng đường kính, và tất cả các đường thẳng đều có cùng độ dài.
Bất kỳ loại nào trong hình học elliptic đều phải thỏa mãn giả thiết là qua một điểm không nằm trên một đường thẳng, không thể vẽ được đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho. Chỉ cần đặt như vậy thì các đường thẳng trong hình học elliptic không song song. Trong hình học hình cầu, tất cả các đường tròn lớn đều cắt nhau, vì vậy, hình học hình cầu là thõa mãn giả thiết.
Bước 1: Hãy viết một nhóm các định đề cho hình học hình cầu bằng việc viết lại năm tiên đề đầu tiên của Euclide. Thay thế từ đường thẳng bởi từ đường tròn lớn.
Bước 2: Trong hình học Euclide, hai đường thẳng cùng vuông góc với một đường thẳng khác thì song song với nhau. Nhưng điều này không đúng trong hình học hình cầu, trên mặt cầu của bạn, hãy vẽ một ví dụ về hai “đường thẳng” cùng vuông góc với một “đường thẳng” khác nhưng không song song với nhau.
Bước 3: Trên mặt cầu của bạn, hai điểm luôn luôn không xác định duy nhất một đường thẳng.
Bước 4: Vẽ một tam giác cân trên mặt cầu của bạn. (Nhớ rằng, các đoạn có dạng là các cạnh của một tam giác phải cắt các cung trên một đường tròn lớn). Định lý tam giác cân xuất hiện trong hình học hình cầu có đúng không?
Bước 5: Trong hình học hình cầu, tổng số đo 3 góc của một tam giác luôn lớn hơn 180 . Vẽ một tam giác trên mô hình của bạn và sử dụng nó để giúp bạn giải thích tại sao điều đó có nghĩa.
Bước 6: Trong hình học Euclide, không một tam giác nào có hai góc vuông. Nhưng trong hình học hình cầu, một tam giác có thể có ba góc vuông. Tìm một tam giác như vậy và kiểm tra nó.
ÔN TẬP CHƯƠNG 13