TOÁN HỌC
Bài 13.3: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TRONG TAM GIÁC
Đến bây giờ các định lý từ các bài học trước đã được chứng minh, hãy chắc chắn rằng bạn đã thêm chúng vào danh sách các định lý của bạn. Chúng sẽ có ích cho bạn trong việc chứng minh các định lý sau này.
II. Các phép chứng minh trong tam giác
Tam giác tương đẳng là rất hữu ích trong việc chứng minh các định lý khác mà tiếp theo chúng ta sẽ tập trung vào các phép chứng minh tam giác. Bạn có thể nhận thấy rằng trong bài 13.1, ba trong số bốn giả thuyết tương đẳng trong tam giác đã được nêu ra như định đề (định đề tương đẳng SSS, định đề tương đẳng SAS, định đề tương đẳng ASA). Giả thuyết SAA không được nêu như định đề. Trong bài 4.5, bạn sử dụng giả thuyết ASA (nay là định đề ASA) để giải thích giả thuyết SAA. Sơ đồ cây cho giả thuyết SAA trông như thế này:
Vì vậy các giả thuyết SAA trở thành định lý SAA. Thêm định lý này vào danh sách định lý của bạn. Định lý này sẽ rất hữu ích trong một số các chứng minh trong bài học này.
Hãy sử dụng phương pháp chứng minh 5- yêu cầu và tam giác tương đẳng để chứng minh giả thuyết về đường phân giác của các góc.
VÍ DỤ Chứng minh giả thuyết đường phân giác của một góc: Bất cứ điểm nào nằm trên đường phân giác của một góc thì cách đều các cạnh của góc.
GIẢI Giả thiết: Bất cứ điểm nào nằm trên dường phân giác của một góc. Kết luận: Điểm đó cách đều các cạnh của góc.
Giả thiết: là phân giác ∠QAR
Kết luận: P cách đều hai cạnh và
Phương pháp: Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng được đo theo phương vuông góc từ điểm đến đường thẳng. Vì vậy ta bắt đầu dựng ﬩
và ﬩ (định đề về vuông góc cho phép ta làm điều này). Ta có thể thấy rằng nếu chúng là cạnh tương ứng của tam giác tương đẳng. theo tính chất của phép tương đẳng, và ∠QAP ≅ ∠RAP theo định nghĩa phân giác của một góc. ∠ABP và
∠ACP là các góc vuông và do đó chúng bằng nhau.
Vì vậy ΔABP ≅ ΔACP theo định lý SAA. Nếu các tam giác là tương đẳng thì theo CPCTC
Do đó giả thuyết về đường phân giác của góc sẽ trở thành định lý về đường phân giác của góc. Như chứng minh mà chúng ta đã xây dựng cho mỗi định lý, các sơ đồ có thể trở nên quá lớn và khó xử lý. Bạn cũng có thể sử dụng định dạng hai cột cho các bài chứng minh. Chứng minh hai cột giống với một sơ đồ hay một đoạn chứng minh, ngoại trừ các phát biểu đã được liệt kê trong cột đầu tiên, mỗi phát biểu đã hỗ trợ bởi một lý do (định đề, định nghĩa, tính chất, định lý ) ở trong cột thứ hai.
Dưới đây là phương pháp chứng minh cho cùng ví dụ trên, được trình bày dưới dạng chứng minh hai cột.
Phát biểu Lý do
1. là phân giác ∠QAR Giả thiết
2. ∠QAR ≅ ∠RAP Định nghĩa đường phân giác của một góc 3. Tính chất phản xạ của sự tương đẳng. 4. Xây dựng đường phân giác từ P Định đề về sự vuông góc
đến các cạnh của góc sao cho ﬩ và ﬩
5. sđ∠ABP = 90 ̊, sđ∠ACP = 90 ̊ Định nghĩa về đường vuông góc 6. ∠ABP ≅ ∠ACP Định lý các góc vuông bằng nhau 7. ΔABP ≅ ΔACP Định lý SAA
So sánh sơ đồ chứng minh hai cột bạn vừa thấy với sơ đồ chứng minh trong ví dụ A. Bạn thấy có gì tương đồng? Lợi thế của từng sơ đồ là gì?
Không có vấn đề gì cho định dạng bạn lựa chọn, chứng minh của bạn nên phải rõ ràng và dễ dàng cho một người nào đó làm theo.
III. Bài tập
Trong các bài tập 1-13, viết chứng minh của giả thuyết. Một khi bạn đã hoàn thành các chứng minh, hãy thêm các định lý vào danh sách của bạn.
1. Nếu một điểm nằm trên đường trung trực của một đoạn thẳng thì nó cách đều hai đầu của đoạn thẳng. (Định lý về đường trung trực).
2. Nếu một điểm cách đều hai đầu của một đoạn thẳng thì nó nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng đó. (Định lý đảo về đường trung trực của một đoạn). 3. Nếu một tam giác là cân thì các góc ở đáy là bằng nhau. (Định lý về tam giác
cân)
4. Nếu hai góc trong một tam giác là bằng nhau thì tam giác đó là cân. ( Định lý đảo về tam giác cân).
5. Nếu một điểm cách đều hai cạnh của một góc thì nó nằm trên đường phân giác của góc đó. (Định lý đảo về đường phân giác của một góc).
6. Ba đường trung trực của một tam giác thì đồng quy. (Định lý về sự đòng quy của các đường trung trực).
7. Ba đường phân giác của các góc trong một tam giác thì đồng quy. (Định lý về sự đồng quy của các đường phân giác). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
8. Số đo của góc ngoài của một tam giác bằng tổng số đo hai góc trong không kề với nó. (Định lý về góc ngoài của một tam giác).
9. Tổng số đo các góc trong một tứ giác bằng 360̊. (Định lý về tổng của tứ giác). 10. Trong một tam giác cân, các trung tuyến của các cạnh bên là bằng nhau. (Định
lý về trung tuyến của các cạnh bên).
11. Trong một tam giác cân, phân giác của các góc bằng nhau là bằng nhau. (Định lý về phân giác của các cạnh bằng nhau).
12. Trong một tam giác cân, các đường cao của các cạnh bên là bằng nhau. (Định lý về đường cao của các cạnh bên ).
13. Trong bài 4.8, bạn được yêu cầu hoàn thành việc chứng minh không chính thức của hai giả thuyết sau:
Đường phân giác của góc ở đỉnh của một tam giác cân cũng là trung tuyến ứng với cạnh đáy.
Đường phân giác của góc ở đỉnh của một tam giác cân cũng là đường cao ứng với cạnh đáy.
Để chứng minh đường cao của cạnh đáy, trung tuyến của cạnh đáy, và phân giác ở đỉnh của tam giác cân là trùng nhau, bạn cần phải chứng minh 3 định lý. Một trình tự đã được sơ đồ hóa ở
bên phải.
Chứng minh ba định lý để khẳng định giả thuyết, sau đó bổ sung nó như một định lý trong danh sách của bạn. (Định lý về đỉnh và góc trong tam giác cân) 14. Tìm x và y 15. Hai tổ chim cao 3.6m và 6.1m, nằm trên hai cây trên cùng
một ao với nhau, tại các điểm P và Q. Khoảng cách giữa các tổ là quá rộng để đo trực tiếp (và có một ao nằm giữa các cây). Một người quan sát chim ở điểm R có thể nhìn thấy tổ dọc theo một con đường khô. RP = 16.7m và RQ = 27.4m.
∠QPR là góc vuông. Khoảng cách giữa các tổ là bao nhiêu?
16. Áp dụng quy tắc trượt phản xạ hai
lần để tìm ra ảnh đầu tiên và ảnh thứ hai của điểm A(-2,9).
Quy tắc trượt phản xạ: Một phép phản xạ qua đường x + y = 5 và một phép tịnh tiến (x,y) → (x + 4, y – 4).
B, G, F, E thẳng hàng sđ∠DFE = 90̊
18. Mỗi cung của một đường tròn với tâm của nó nằm ở đỉnh của hình vuông. Giả thiết: Độ dài các cạnh của hình vuông bằng 1 đơn vị
Tìm diện tích phần bóng mờ.
a. S = … b. S = … c. S = …
19. Cho một cung của một đường tròn trên giấy nhưng không phải toàn bộ đường tròn hay tâm, gấp giấy để xây dựng tiếp tuyến tại điểm giữa của vòng cung.
20. Tìm sđ∠BAC trong hình chữ nhật bên phải lăng kính.
\ 21. Chọn A nếu giá trị của biểu thức trong hình A là lớn hơn.
Chọn B nếu giá trị của biểu thức trong hình B là lớn hơn. Chọn C nếu giá trị trong hai hình bằng nhau.
a. Chu vi của ΔWXY b. Diện tích của ΔXOW.
22. Công nghệ. Sử dụng phần mềm hình học để xây dựng một đường tròn và gắn tên cho bất kỳ ba điểm nào trên đường tròn đó. Xây dựng tiếp tuyến tại ba điểm đó để tạo thành một tam giác ngoại tiếp và nối các điểm tiếp xúc để tạo thành một tam giác nội tiếp.
a. Kéo các điểm và quan sát số đo các góc của mỗi tam giác. Những mối quan hệ giữa x,a và c là gì? Có giống với y và z không?
b. Mối quan hệ giữa số đo các góc của một tứ giác ngoại tiếp và nội tiếp được hình thành bằng cách nối các điểm tiếp xúc là gì?
Bài 13.4: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TỨ GIÁC
(adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});