TOÁN HỌC
BÀI 13.7: CÁC PHÉP CHỨNG MINH ĐỒNG DẠNG
Để chứng minh cho các giả thiết mang tính tương tự về mặt trực giác, ta cần mở rộng các tính chất của đẳng thức và sự bằng nhau đến sự đồng dạng.
1. Các tính chất của sự đồng dạng. Tính chất phản xạ của sự đồng dạng.
Bất cứ hình nào cũng đồng dạng với chính nó.
Tính chất đối xứng của sự đồng dạng.
Nếu hình A đồng dạng với hình B thì hình B cũng đồng dạng với hình A.
Tính chất bắt cầu của sự đồng dạng.
Nếu hình A đồng dạng với hình B và hình B đồng dạng với hình C thì hình A đồng dạng với hình C.
2. Định đề đồng dạng AA.
Giả thiết đồng dạng AA thực chất là một định đề về sự đồng dạng.
Nếu hai góc của tam giác này tương đẳng với hai góc của một tam giác khác, thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Trong chương 11, bạn cũng đã khám phá ra các định đề SAS và SSS để chỉ ra rằng hai tam giác là đồng dạng. Trong ví dụ dưới đây, bạn sẽ thấy cách sử dụng định đề đồng dạng để chứng minh giả thuyết đồng dạng SAS, hãy chứng minh để giả thuyết đó trở thành định lý đồng dạng SAS.
3. Ví dụ
Chứng minh giả thuyết đồng dạng SAS: Nếu hai cạnh của tam giác này tỉ lệ với hai cạnh của kia và có hai góc xen giữa bằng nhau thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
GIẢI Gỉa thiết: Cho Δ ABC và ΔDEF sao cho = , và ∠B ≅∠E Kết luận: Δ ABC ~ ΔDEF
Phương pháp: Để chứng minh rằng hai tam giác đồng dạng với nhau theo định đề đồng dạng AA, bạn cần tìm ra các cặp góc tương đẳng với nhau. Một trong những cách để tìm ra hai góc tương đẳng là tìm ra hai góc bằng nhau trong một tam giác.
Bạn có thể vẽ một tam giác nằm trong ΔABC và bằng với ΔDEF. Định đề sao chép một đoạn thẳng cho phép bạn xác định vị trí điểm P trên sao cho PB = DE. Định đề song song cho phép bạn dựng một đường
thẳng song song với . Khi đó ∠A ≅
∠QPB theo định đề CA.
Bây giờ, nếu bạn có thể chứng minh ΔPBQ ≅ ΔDEF, thì bạn sẽ sẽ có hai cặp góc
tương đẳng để chứng minh ΔABC ~ ΔDEF. Vậy, bạn sẽ chứng minh ΔPBQ ≅ ΔDEF như thế nào? Nếu bạn có ΔABC ≅ ΔPBQ, thì = . Với giả thuyết là = , và bạn đã xây dựng PB = DE. Bằng một vài phép toán đại số và phép thế, bạn có thể chứng minh được EF = BQ. Khi đó, hai tam giác sẽ bằng nhau theo định đề tương đẳng SAS.
Dưới đây là dạng chứng minh hai cột.
Phát biểu Lý do
1. Lấy điểm P sao cho PB = DE Định đề sao chép một phân khúc 2. Xây dựng // Định đề song song
3. ∠A ≅ ∠QPB Định đề CA
4. ∠B ≅∠B Tính chất phản xứng của sự tương đẳng 5. ΔABC ~ ΔPBQ Định đề đồng dạng AA
6. Tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng của các tam giác đồng dạng. 7. Tính thay thế 8. Giả thiết 9. Tính chất bắc cầu của đẳng thức 10. BQ = EF Các phép toán đại số 11. ∠B ≅∠E Giả thiết
12. ΔPBQ ≅ ΔDEF Định đề tương đẳng SAS 13. ∠QPB ≅ ∠D CPCTC
14.∠A ≅ ∠D Tính thay thế
15. ΔABC ~ ΔDEF Định đề đồng dạng AA Trên đây là chứng minh cho giả thuyết đồng dạng SAS (c.g.c).
Chứng minh trong ví dụ trên có vẽ như là phức tạp, nhưng nó đều dựa vào các định đề về tam giác đồng dạng. Việc đọc lại phương pháp chứng minh trên một lần nữa sẽ có thể giúp bạn trong các bước chứng minh dưới đây.
Bạn có thể gọi giả thuyết đồng dạng SAS là định lý đồng dạng SAS và hãy bổ sung nó vào danh sách các định lý của bạn. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trong hoạt động khai triển chứng minh dưới đây, bạn sẽ sử dụng định lý đồng dạng SAS để chứng minh giả thuyết đồng dạng SSS.
4. Khai triển chứng minh.
Chứng minh giả thuyết đồng dạng SSS.
Các chứng minh đồng dạng có thể là những thách thức đối với bạn. Trong các bước dưới đây, hãy làm việc với nhóm của bạn để chứng minh cho giả thuyết đồng dạng: Nếu ba cạnh của một tam giác tỉ lệ với ba cạnh của một tam giác khác, thì hai tam giác đó đồng dạng với nhau.
Bước 2: Xác định những gì đã cho và những gì bạn cần phải chứng minh dựa vào sơ đồ đó.
Bước 3: Lên phương án chứng minh ( Hướng dẫn: sử dụng một đường thẳng phụ như đường thẳng trong ví dụ ).
Bước 4: Sao chép 10 phát biểu đầu tiên và đưa ra lập luận. Sau đó, viết các bước còn lại và các lý do cần thiết để hoàn thành việc chứng minh.
Phát biểu Lý do
1. Lấy R sao cho RL = NP Định đề … 2. Xây dựng // Định đề … 3. ∠SRL ≅ ∠K Định đề … 4.∠RSL ≅ ∠M Định đề … 5. ΔKLM ~ ΔRLS … 6. = … 7. … 8. … 9. … 10. …
Bước 5: Vẽ các mũi tên để chỉ ra trình tự lập luận trong bài chứng minh hai cột của bạn.
Khi bạn đã hoàn thành việc chứng minh, bạn có thể gọi giả thuyết đồng dạng SSS là định lý đồng dạng SSS và hãy bổ sung nó vào danh sách các định lý của bạn.
II. Bài tập.
Trong các bài tập 1 và 2, hãy chứng minh và vẽ cây sơ đồ cho mỗi định lý. Nếu cây sơ đồ được cung cấp hoàn toàn bởi các định lý và các định đề, thì hãy bổ sung định lý đó vào danh sách của bạn.
1. Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau, thì tỉ lệ giữa các đường cao tương ứng bằng tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng. (Định lý các đường cao tương ứng).
2. Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau, thì tỉ lệ giữa các đường trung tuyến bằng tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng. (Định lý về về các đường trung tuyến tương ứng). Trong các bài tập 3 – 10, hãy chứng minh cho giả thuyết. Một khi bạn đã hoàn tất việc chứng minh, hãy bổ sung định lý đó vào danh sách của bạn. Và tất nhiên bạn có thể sử dụng các định lý đã được chứng minh trong các bài tập trước đó để chứng minh.
3. Nếu hai tam giác đồng dạng với nhau, thì tỉ lệ giữa các đường phân giác bằng tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng. (Định lý về các đường phân giác tương ứng).
4. Nếu một đường thẳng đi qua hai cạnh của một tam giác và song song với cạnh thứ ba thì đường thẳng đó chia đôi hai cạnh của tam giác thành những đoạn tương ứng tỉ lệ. (Định lý tỉ lệ / song song).
5. Nếu một đường thẳng đi qua hai cạnh của một tam giác và chia chúng thành những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ thì đường thẳng đó song song với cạnh thứ ba của tam giác. (Định lý đảo về tính chất tỉ lệ / song song).
6. Nếu bạn hạ một đường cao từ đỉnh của một tam giác vuông đến cạnh huyền, thì nó chia tam giác vuông đó thành hai tam giác vuông đồng dạng với nhau và đồng dang với tam giác vuông ban đầu. (Định lý ba tam giác vuông đồng dạng). 7. Độ dài của đường cao đến cạnh huyền của tam giác vuông bằng tích của độ dài
hai đoạn trên cạnh huyền. (Định lý về đường cao đến cạnh huyền). 8. Định lý Pythagoras.
9. Định lý Pythagoras đảo.
10. Nếu một cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông bằng với cạnh huyền và một cạnh góc vuông của một tam giác vuông khác, thì hai tam giác đó bằng nhau. (Định lý cạnh huyền – cạnh góc vuông).
11. Hãy tạo ra một cây sơ đồ cho định lý về tỉ lệ / song song. 12. Tạo ra một cây sơ đồ cho định lý đồng dạng SSS.
14. Một đường tròn có đường kính bằng 9.6 chứng minh, có hai dây cung song song với độ dài là 5.2cm và 8.2cm. Hai dây cung cách nhau một khoảng là bao nhiêu? Tìm hai câu trả lời có thể có.
15. Chọn A nếu hình lục giác đều có gía trị lớn hơn. Chọn B nếu hình ngũ giác đều có gía trị lớn hơn. Chọn C nếu giá trị của hai hình bằng nhau.
Chọn D nếu không thể xác định giá trị nào lớn hơn.
a. Chu vi b. Trung đoạn
c. Diện tích.
d. Tổng các góc trong e. Tổng các góc ngoài
16. Nghiên cứu nhỏ: Cắt một tứ giác nhỏ lõm bất đối xứng, đánh số các đỉnh. Sử dụng cái bạn vừa cắt như một vật mẫu để tạo ra một lưới tổ ong. Tạo vết cho 10 hình ảnh thích hợp để bao phủ một phần của mặt phẳng. Nối số của các đỉnh với mỗi hình mà bạn vừa cắt. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
a. Vẽ hai phép tịnh tiến vector mà biến lưới tổ ong thành chính nó. Hai vector đó liên hệ với tứ giác gốc của bạn như thế nào?
b. Đặt một tứ giác trong lưới tổ ong của bạn. Phép tịnh tiến nào sẽ biến tứ giác bạn đã đặt thành một tứ giác kề với nó. Với phép tịnh tiến đó, điều gì sẽ xảy ra đối với lưới tổ ong tĩnh.
17. Công nghệ : Sử dụng phần mềm hình học để vẽ một tứ giác nhỏ, lõm và bất đối xứng.
a. Mô tả phép tịnh tiến sẽ làm thành hình lưới tổ ong.
b. Mô tả hai phép tịnh tiến vector khác nhau mà biến lưới tổ ong thành chính nó.
18.Cho đường tròn tâm P và Q, và là tiếp tuyến của đường tròn tâm Q,
sđ∠SPQ = 57 ̊, sđ = 118 ̊. Tìm:
b. sđ∠SQT c. sđ∠TSQ
d. sđ
e. Giải thích tại sao PSQT nội tiếp trong một đường tròn.
f. Giải thích tại sao là tiếp tuyến.
19. Mỗi cung dưới đây là bằng ¼ đường tròn với tâm tại các đỉnh của hình vuông. Cho hình vuông với cạnh bằng 1 đơn vị, tìm diện tích phần bóng mờ.
a. S = … b. S = … 20. 21. 22. 23. 20.Công nghệ: Sơ đồ dưới đây chỉ ra một tam giác không đều cạnh với đường
phân giác , và đường trung trực của cạnh . Làm theo sơ đồ dưới đây.
a. Các tam giác nào là bằng nhau?
b. Bạn có thể sử dụng các tam giác bằng nhau để chứng minh ΔABC là cân. Bằng cách nào?
c. Cho một tam giác không đều cạnh, chứng minh rằng tam giác đó là cân, có lỗi gì sai trong chứng minh đó không?
d. Sử dụng phần mềm hình học để tạo lại sự xây dựng đó.
CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ