TOÁN HỌC
Bài 13.4: CÁC PHÉP CHỨNG MINH TỨ GIÁC
Trong chương 5, bạn đã phát hiện và chính thức chứng minh một số tính chất của tứ giác. Như những lý do cho những phát biểu trong một vài chứng minh, bạn đã sử dụng các giả thuyết mà bây giờ là các định đề hay bạn đã chứng minh như các định lý. Vì vậy những bước trong các chứng minh là hợp lệ. Tuy nhiên, đôi khi bạn cũng có thể sử dụng các giả thuyết như các lý do. Trong bài này bạn sẽ viết các chứng minh chính thức của một số giả thuyết về tứ giác, băng việc sử dụng các định nghĩa, định đề và các định lý. Sau khi bạn đã chứng minh các định lý, bạn sẽ tạo nên một cây sơ đồ để truy tìm lại định đề và các tính chất.
II. Các phép chứng minh tứ giác
Bạn có thể chứng minh nhiều định lý về tứ giác bằng việc sử dụng các định lý về tam giác. Ví dụ, bạn có thể chứng minh một số tính chất của hình bình hành bằng việc sử dụng sự kiện là đường chéo chia hình bình hành thành hai tam giác bằng nhau. Trong ví dụ dưới đây, chúng ta sẽ chứng minh sự kiện trên như là một bổ đề. Một bổ đề là một định lý phụ được đặc biệt sử dụng để chứng minh các định lý khác.
1. Ví dụ Chứng minh: Một đường chéo của hình bình hành chia hình bình hành đó thành hai tam giác bằng nhau.
GIẢI Giả thiết: hình bình hành ABCD với đường chéo
Kết luận: ΔABC ≅ ΔCDA
Chứng minh hai cột
Phát biểu Lý do
1. ABCD là hình bình hành Giả thiết
2. // và // Định nghĩa của hình bình hành 3. ∠CAB ≅ ∠ACD và Định lý AIA
∠BCA ≅ ∠DAC
4. Tính chất phản xạ của sự tương đẳng 5. ΔABC ≅ ΔCDA Định đề tương đẳng ASA
Chúng ta sẽ gọi bổ đề đã chứng minh trong ví dụ trên là bổ đề về đường chéo của hình bình hành. Bây giờ bạn hãy bổ sung nó vào danh sách các định lý của bạn và sử dụng nó để chứng minh các giả thuyết khác trong chứng minh hình bình hành.
2. Khai triển chứng minh
Chứng minh các giả thuyết về hình bình hành
Hãy làm việc với nhóm của bạn để chứng minh ba giả thuyết trước đó của bạn về hình bình hành. Hãy nhớ để vẽ một sơ đồ, xác định lại những gì đã cho và những gì bạn
cần phải chứng minh dựa vào sơ đồ đó, và sau đó lập kế hoạch trước khi bạn chứng minh mỗi giả thuyết.
Bước 1: Giả thuyết về các cạnh đối diện phát biểu rằng các cạch đối diện của một hình bình hành là bằng nhau. Hãy viết chứng minh hai cột cho giả thuyết này.
Bước 2: Giả thuyết về các góc đối diện phát biểu rằng các góc đối diện của một hình bình hành là bằng nhau. Hãy viết chứng minh hai cột cho giả thuyết này.
Bước 3: Phát biểu ngược lại giả thuyết về các cạnh đối diện. Sau đó viết chứng minh hai cột cho giả thuyết này.
Sau khi bạn dã chứng minh thành công các giả thuyết về hình bình hành ở trên bạn có thể gọi chúng là định lý và hãy bổ sung nó vào danh sách các định lý của bạn.
Bước 4: Tạo ra một cây sơ đồ cho thấy mối quan hệ giữa các định lý trong các bước 1-3 và trở lại những định đề là bắt nguồn cho những định lý trong hình học.
III. Bài tập.
Trong các bài tập 1-12, viết chứng minh hai cột hoặc một sơ đồ chứng minh các giả thuyết. Một khi bạn đã hoàn thành việc chứng minh, bạn hãy bổ sung nó vào danh sách các định lý của bạn.
1. Nếu các góc đối diện của một tứ giác bằng nhau, thì tứ giác đó là hình bình hành. (Định lý đảo về các góc đối diện).
2. Nếu một cặp cạnh đối diện của một tứ giác song song và bằng nhau thì tứ giác đó là hình bình hành. (Định lý về cạnh đối diện song song và bằng nhau). 3. Mỗi đường chéo của một hình thoi chia đôi hai góc đối diện. (Định lý về góc
trong hình thoi).
4. Các góc liên tiếp của một hình bình hành là bù nhau. (Định lý về góc liên tiếp của hình bình hành).
5. Nếu một tứ giác có bốn cạnh bằng nhau thì tứ giác đó là hình thoi. (Định lý về bốn cạnh bằng nhau của hình thoi).
6. Nếu một tứ giác có bốn góc bằng nhau, thì tứ giác đó là hình chữ nhật. (Định lý về bốn góc bằng nhau của hình chữ nhật).
7. Các đường chéo của hình chữ nhật là bằng nhau. (Định lý về các đường chéo của hình chữ nhật).
8. Nếu các đường chéo của một hình bình hành bằng nhau, thì hình bình hành đó là hình chữ nhật. (Định lý đảo về các đường chéo của hình chữ nhật).
9. Các góc ở đáy của một hình thang cân là bằng nhau. (Định lý về hình thang cân)
10. Các đường chéo của một hình thang cân là bằng nhau. (Định lý các đường chéo của hình thang cân).
11. Nếu một đường chéo của một hình bình hành chia đôi hai góc đối diện, thì hình bình hành đó là hình thoi. (Định lý đảo về các góc trong hình thoi).
12. Nếu hai đường thẳng song song được cắt bởi một cặp đường thẳng song song có cùng khoảng cách với cặp đường thẳng đầu tiên, thì hình bình hành đó tạo thành hình thoi. (Định lý về hai cạnh của thước thẳng).
13. Hãy tạo ra một cây sơ đồ về định lý các góc liên tiếp của hình bình hành. 14. Hãy tạo ra một cây sơ đồ về định lý hai cạnh của thước thẳng.
15.M là trung điểm của và . Đối với mỗi phát biểu sau, chọn (A) nếu luôn xảy ra, chọn (S) nếu đôi khi xảy ra, chọn (N) nếu không bao giờ xảy ra.
a. ∠BAD và ∠ADC bù nhau. b. ∠ADM và ∠MAD phụ nhau. c. AD + BC < AC.
d. AD + CD < AD
16. Hãy hoàn thành các biểu đồ dưới đây với các loại đối xứng và tên của các tứ giác đặc biệt: hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông, hình diều, hình thang, và hình thang cân.
Tên Các đường thẳng đối xứng.
Đối xứng quay
Hình thang
1 đường chéo
Gấp 4 Hai đường trung trực
của hai cạnh Hình thoi
Không có
có độ dài bằng 5 và góc phương vị bằng 40 ̊.
có độ dài bằng 9 và góc phương vị bằng 90 ̊.
18. Xét các lăng kính chữ nhật trong hình A và hình B. Chọn A nếu giá trị của biểu thức trong hình A là lớn hơn. Chọn B nếu giá trị của biểu thức trong hình B là lớn hơn.
Chọn C nếu các giá trị bằng nhau cho cả hai lăng kính chữ nhật. Chọn D nếu không thể xác định được giá trị nào lớn hơn.
a. Số đo của ∠XYZ.
b. Con đường ngắn nhất đi từ X đến Y dọc theo bề mặt của lăng kính. 19. Giả thiết :
A, O, D thẳng hàng.
tiếp xúc với đường tròn tâm O tại điểm D. sđ∠EOD = 38 ̊. // // . Tìm: a. sđ∠AEO b. sđ∠DGO c. sđ∠BOC d. sđ e. sđ∠HED Hình B Hình A
Bài đọc thêm: CHỨNG MINH NHƯ MỘT THÁCH THỨC VÀ