TOÁN HỌC
CHỨNG MINH BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ
Bạn có thể chứng minh các giả thuyết liên quan đến trung điểm, độ dốc, khoảng cách bằng việc sử dụng giải tích hình học. Khi bạn làm công việc đó bạn đã tạo ra
phương pháp chứng minh bằng tọa độ. Phương pháp chứng minh bằng tọa độ dựa trên cơ sở của hình học và ba tính chất của đại số.
Tính chất tọa độ trung điểm: Nếu ( , ) và ( , ) lần lượt là tọa độ của điểm đầu và điểm cuối của một đoạn, thì tọa độ của trung điểm là .
Tính chất hệ số góc song song: Trong mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng phân biệt song song với nhau khi và chỉ khi độ dốc của chúng bằng nhau.
Tính chất hệ số góc trực giao: Trong mặt phẳng tọa độ, hai đường thẳng không song song với nhau thì chúng vuông góc với nhau khi và chỉ khi độ dốc của chúng nghịch đảo và đối nhau.
Trong chứng minh bằng phương pháp tọa độ, bạn cũng có thể sử dụng công thức tính khoảng cách của định lý Pythagoras.
Công thức tính khoảng cách: Khoảng cách giữa hai điểm A( , ) và B( , ) được cho bởi công thức = + hoặc
AB =
Quá trình bạn chứng minh bằng phương pháp tọa độ gồm 5 yêu cầu giống nhau mà bạn đã học ở bài 13.2. Tuy nhiên, trong yêu cầu thứ hai bạn vẽ và đánh dấu sơ đồ trên mặt phẳng tọa độ.
Định vị các đỉnh và các điểm khác nhau của sơ đồ mà bạn đã vẽ mà chúng phản ánh các thông tin đưa ra, các tọa độ trong sơ đồ của bạn không mang tính tổng quát. Nói cách khác, nó không giải thích và bổ sung cho các tính chất tronh hình ảnh của bạn, bên cạnh các giả thiết và tính chất đã được đưa ra trong định nghĩa.
VÍ DỤ A: Viết chứng minh bằng phương pháp tọa độ cho giả thiết đường chéo của hình vuông: Các đường chéo của hình vuông bằng nhau và là đường trung trực của nhau.
GIẢI Yêu cầu 1
Giả thiết: Cho hình vuông với hai đường chéo.
Bạn có thể kiểm chứng rằng SQRE là phù hợp với định nghĩa của hình vuông-một hình bình hành có các cạnh bằng nhau và các góc bằng nhau. Độ dốc của = = = 0 SQ = = = a Độ dốc của = = ( không xác định) QR = = = a Độ dốc của = = =0 RE = = = a Độ dốc của = = ( không xác định) ES = = = a
Các cạnh đối diện có cùng hệ số góc và do đó chúng song song với nhau, do đó SQRE là hình bình hành, cũng từ các hệ số góc, và nằm ngang và và là dựng đứng, vì vậy tất cả các góc là góc vuông và hình bình hành là một đẳng giác. Cuối cùng, tất cả các cạnh có cùng độ dài, do đó hình bình hành là đều. SQRE là một đẳng giác, hình bình hành đều và do đó là hình vuông theo định nghĩa.
Yêu cầu 3 Giả thiết: Hình vuông
chia đôi nhau bạn chỉ cần chứng minh rằng chúng cắt nhau tại trung điểm của mỗi đoạn. Để chứng minh ﬩ , bạn cần chứng minh SQRE có các đường chéo và .
Kết luận: ≅ , và chia đôi nhau và ﬩ . Yêu cầu 4
Để chứng minh rằng ≅ , bạn cần chỉ ra rằng cả hai đoạn có cùng độ dài. Để chứng minh và chia đôi nhau, bạn cần chứng minh rằng các đoạn đó có hệ số góc nghịch đảo và đối nhau. Bởi vì bạn đã biết tọa độ của các điểm đầu và điểm cuối của và , nên bạn có thể sử dụng công thức tính khoảng cách, tính chất tọa độ trung điểm, và định nghĩa hệ số góc cho việc tính toán nếu cần thiết, và để chứng minh rằng tính chất hệ số góc vuông được thỏa mãn.
Yêu cầu 5
Sử dụng công thức tính khoảng cách để tính SR và QE
SR = = = a
QE = = = a
Vì vậy theo định nghĩa của sự bằng nhau thì ≅ vì hai đọan thẳng này có cùng độ dài.
Sử dụng tính chất tọa độ trung điểm để tìm trung điểm của và . Trung điểm của = = (0.5a, 0.5a)
Trung điểm của = = (0.5a, 0.5a)
Vì vậy và chia đôi nhau vì cả hai đoạn này có cùng trung điểm. Cuối cùng so sánh hệ số góc của và
Hệ số góc của = = 1 Hệ số góc của = = -1
Vì vậy ﬩ theo tính chất hệ số góc trực giao, bởi vì hai đoạn này có hệ số góc nghịch đảo và đối nhau.
Do đó các đường chéo của một hình vuông là bằng nhau và là đường trung trực của nhau.
Bạn hãy bổ sung định lý về các đường chéo của hình vuông vào danh sách các định lý của bạn.
Dưới đây là một ví dụ khác. Thử xem bạn nhận ra năm nhiệm vụ dẫn đến bằng chứng này như thế nào?
VÍ DỤ B: Hãy chứng minh mệnh đề điều kiện sau: Nếu các đường chéo của một tứ giác chia đôi nhau thì tứ giác đó là hình bình hành.
GIẢI : Giả thiết: Tứ giác ABCD có các đường chéo và chia đôi nhau (có chung trung điểm M)
Kết luận: ABCD là hình bình hành. Chứng minh: Độ dốc của = Độ dốc của Độ dốc của Độ dốc của
Các cạnh đối diện và có các hệ số góc đều bằng , các cạnh đối diện và có các hệ số góc đều bằng . Vì vậy, mỗi cặp song song với nhau theo tính chất hệ số góc song song. Do đó, tứ giác ABCD là hình bình hành theo định nghĩa. Bạn hãy bổ sung nó vào danh sách các định lý của bạn.
Rõ ràng từ các ví dụ trên, việc tạo ra một sơ đồ trên một mặt phẳng tọa độ là một thách thức đáng kể trong chứng minh bằng phương pháp tọa độ. Bảy bài tập đầu tiên sẽ giúp bạn nhiều hơn trong việc tạo các sơ đồ.
II. Bài tập
Trong các bài tập 1-3, mỗi sơ đồ chỉ ra một cách tổng quát vị trí của một đa giác trong mặt phẳng tọa độ. Tìm các tọa độ còn lại.
1.Tam giác ABC cân 2.Tứ giác ABCD là 3. Tứ giác ABCD là hình bình hành. hình thoi.
Trong các bài tập 4-7, vẽ mỗi hình trên mặt phẳng tọa độ. Gán tọa độ tổng quát cho mỗi điểm của hình vẽ. Sau đó, sử dụng tính chất tọa độ trung điểm, tính chất hệ số góc song song, tính chất hệ số góc vuông góc và công thức tính khoảng cách để kiểm tra các tọa độ mà bạn đã gán có cắt nhau theo định nghĩa của hình.
4. Hình chữ nhật RECT
5. Tam giác TRI có ba đường trung bình. 6. Hình thang cân TRAP
7. Tam giác ERU là tam giác đều.
Trong các bài tập 8-13, hãy chứng minh các giả thuyết bằng phương pháp tọa độ. Nếu không thể chứng minh thì viết “không thể chứng minh”
8. Các đường chéo của hình chữ nhật là bằng nhau.
9. Đường trung bình của một tam giác song song với cạnh thứ ba và bằng một nửa độ dài của cạnh thứ ba.
10. Đường trung bình của một hình thang thì song song với cạnh đáy. 11. Nếu một đường chéo của một tứ giác là đường
trung trực của đường chéo còn lại thì tứ giác đó là hình diều.
12. Hình được tạo thành bằng cách nối các trung điểm của một tứ giác là hình bình hành.
13. Một tứ giác được tạo thành bằng cách nối trung điểm của cạnh đáy với trung điểm của cạnh góc vuông của một tam giác cân là hình thoi.
III. Các phép chứng minh đặc biệt của các giả thuyết đặc biệt