Toán học là một bộ phận khoa học kỹ thuật cao nhất đồng thời là chìa khóa mở cửa tạo nền cho các ngành khoa học khác. Là bộ môn chiếm ưu thế quan trọng trong giáo dục đặc biệt là dạy học[r]
(1)PHẦN A - ĐẶT VẤN ĐỀ
Trên bước đường cải tiến đổi phương pháp dạy học với nhiệm vụ quan trọng mà Đảng Nhà nước ta vạch trách nhiệm đội ngũ giáo viên phải hình thành học sinh sở, nhân cách người Việt Nam, có lối sống văn hóa lành mạnh có học vấn cao, có hiểu biết chiếm lĩnh nội dung khoa học tự nhiên xã hội, góp phần cho phát triển đất nước tương lai
Toán học phận khoa học kỹ thuật cao đồng thời chìa khóa mở cửa tạo cho ngành khoa học khác Là môn chiếm ưu quan trọng giáo dục đặc biệt dạy học, địi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo, tạo phương pháp để dạy em học sinh giải toán nhiệm vụ trung tâm người thầy dạy tốn
Trong chương trình đại số lớp chương I “ Phép nhân phép chia đa thức” đĩ cĩ bài: “Những đẳng thức đáng nhớ” Với tất tiết lí thuyết tiết luyện tập học sinh phần hiểu nắm kiến thức đẳng thức Nhưng việc nắm hiểu sâu để sau vận dụng vào kiến thức cĩ liên quan như: Phân tích đa thức thành nhân tử, tính giá trị biểu thức, rút gọn biểu thức xa dạng tốn như: tìm cực trị, chứng minh chia hết … vận dụng thức nhiều Do đĩ mức độ kiến thức mà em đạt chưa thể nĩi thỏa mãn yêu cầu người dạy người học tốn
Chính lí đĩ tơi lựa chọn viết sáng kiến kinh nghiệm với đề tài: “ Vận dụng đẳng thức vào giải tốn lớp 8” nhằm cung cấp cho học sinh phương pháp học làm tốn, nắm kiến thức bản, cách tư phương pháp sử dụng linh hoạt đẳng thức vào giải tốn Từ đĩ tạo nên điều kiện để học sinh học tốt, lĩnh hội tốt kiến thức liên quan sau
Đây kinh nghiệm ỏi qua q trình giảng dạy mơn tốn lớp 8, tơi mạnh dạn xin nêu để trao đổi với quý đồng nghiệp xin ghi nhận đóng góp ý kiến để tơi tích lũy thêm nhiều kinh nghiệm nghiệp “trồng người”
PHẦN B - GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
I THỰC TRẠNG.
Trong thực tế giảng dạy tốn trường THCS nói chung trường THCS Châu Bình nói riêng việc làm cho học sinh biết vận dụng kiến thức học để giải tốn cơng việc quan trọng khơng thể thiếu người dạy tốn Vì thơng qua rèn luyện tư logic, khả sáng tạo, khả vận dụng cho học sinh Để làm điều người thầy giáo phải cung cấp cho học sinh kiến thức bản, phương pháp vận dụng biến đổi phù hợp giúp cho học sinh hiểu thực chất vấn đề để từ có kĩ giải tốn thành thạo, khỏi tâm lí chán nản sợ mơn tốn
(2)đáng nhớ” tơi cho em làm kiểm tra viết, thời gian làm 45 phút với mục tiêu: Kiểm tra mức độ nắm kiến thức kĩ vận dụng đẳng thức vào làm tập Kết thu sau:
Lớp Sĩ số
KẾT QUẢ ĐIỂM TRƯỚC KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI
Giỏi Kh¸ Trung b×nh Yếu KÐm
SL % SL % SL % SL % SL %
81 34 5,9 23,5 20,6 26,5 8 23,5
82 35 20,6 12 35,3 13 38,2 2,9 5,8
84 31 10 20 13 43,3 23,3 3,3
Kết chứng tỏ rằng: Hầu hết em ghi lại nội dung bảy đẳng thức cho em tập cần vận dụng đẳng thức đĩ cịn cĩ số học sinh ngượng ngập, khơng tìm lời giải, chưa chịu khĩ suy nghĩ, chứng tỏ kiến thức cịn mang tính nhồi nhét thụ động, đứng trước tốn tự giải cịn chưa cĩ niềm tin Bên cạnh đĩ số học sinh cịn cĩ tâm lí chán nản tỏ sợ mơn tốn vào học tiết tốn
Rất nhiều học sinh lớp chưa hiểu nắm đẳng thức để vận dụng linh hoạt vào giải dạng toán Kết nhiều tốn học sinh khơng giải giải sai Bên cạnh nhiều kiến thức đại số liên quan đến đẳng thức biết sử dụng đẳng thức để xử lí thì tốn có nhiều cách giải ngắn gọn hơn, giúp em phát triển tư cách tích cực
II NGUYÊN NHÂN
Trong chương trình sách giáo khoa khơng phải người học đáp ứng yêu cầu đưa ra, đối tượng học sinh vùng sâu, vùng xa, địa phương có điều kiện kinh tế cịn khó khăn nói chung học sinh trường THCS Châu Bình nói riêng Địa bàn cư trú rộng, xa trường, kinh tế gia đình khơng ổn định, cịn khó khăn nên nhiều ảnh hưởng đến việc học em
Bên cạnh đó, số học sinh ham chơi, lười học, ngồi học lớp chưa tập trung cịn có tâm lí chán nản sợ học mơn tốn Khi kiểm tra em lý thuyết hiểu yêu cầu em làm thêm phần tập vận dụng lúng túng khó khăn để trình bày Cách học em nhồi nhét, học thụ động, học để chống đối kiểm tra giáo viên, em cho rằng: Chỉ cần học thuộc lý thuyết làm tập mà em quên rằng: “ Học phải đôi với hành”
(3)Với thực tế tơi xác định phải tự tìm cho cách dạy đẳng thức cho phù hợp với thực tế, kích thích ĩc suy nghĩ em Giúp em nâng cao chất lượng mơn tốn, em có tư để linh hoạt sử dụng đẳng thức vào giải toán cần thiết, em thấy hứng thú yêu thích mơn học Hơn giúp em cĩ niềm tin để lĩnh hội tốt, học tốt kiến thức sau
III GIẢI PHÁP
1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN * Bảy đẳng thức đáng nhớ.
1 (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 (A– B)2 = A2 – 2AB + B2 A2 – B2 = (A– B) (A+B)
4 (A+B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3 (A– B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3 A3 + B3 = (A+ B) (A2 – AB + B2 ) A3 – B3 = (A– B) (A2 + AB + B2 )
* Một số đẳng thức tổng quát ( Dành cho học sinh giỏi) 1. (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
2. an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)
3. a2k – b2k = (a + b )(a2k-1 – a2k-1b + … + a2k-3b2 –b2k-1) 4. a2k+1 – b2k+1 = (a + b )(a2k – a2k-1b + a2k-2b2 - … + b2k) 5. (a + b)n = an + nan-1b + 1.2
) (n n
an-2b2+…+ 1.2 ) (n n
a2bn-2 +nabn-1 + bn
6. (a -b)n = an - nan-1b + 1.2 ) (n n
an-2b2- …- 1.2 ) (n n
a2bn-2 +nabn-1 - bn 2 VẬN DỤNG NHỮNG HẰNG ĐẲNG THỨC VÀO GIẢI TOÁN:
2.1 Làm để học sinh tránh lỗi vận dụng hằng đẳng thức vào giải toán?
Ngay sau học xong hai đẳng thức: Bình phương tổng, bình phương hiệu Tơi có mời hai em học sinh ( học lực trung bình khá) lên bảng với yêu cầu sau:
Học sinh 1:
a/ Viết cơng thức bình phương tổng hai biểu thức A, B ? b/ Tính: ( x + 1)2 ; (2x + 3y)2
Học sinh 2:
a/ Viết cơng thức bình phương hiệu hai biểu thức A, B ? b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống:
(4)Kết em thực sau:
Học sinh 1: a/ (A+B)2 = A2 + 2AB + B2 b/ ( x + 1)2 = x2 + 2x + 1
( 2x + 3y)2 = 2x2 + 12xy + 3y2 Học sinh 2:
a/ (A– B)2 = A2 – 2AB + B2
b/ Điền biểu thức thích hợp vào chỗ trống: x2 – 6xy + 3y2.= ( x – 3y )2 y2 – 4y + = ( y – )2
Điều chứng tỏ với biểu thức A, B đẳng thức số gồm biến em dễ dàng vận dụng đẳng thức vào làm tập Tuy nhiên A, B biểu thức phức tạp em lại hay bị mắc phải sai lầm tập Vậy làm để em hạn chế tối đa sai lầm trên?
Trước hết lưu ý em phải sử dụng dấu ngoặc lũy thừa biểu thức ta viết đẳng thức dạng:
( + )2 = 2 + + Ví dụ 1:
( + )2 = 2 + + = 4x2 + 12xy + 9y2
Sau hướng dẫn yêu cầu học sinh đứng chỗ sửa chỗ làm sai bạn, kết quả:
x2 – 6xy + (3y)2 = (x – 3y )2 hay x2 – 6xy + 9y2 = (x– 3y )2
Qua tiết học lớp, phần lớn em vận dụng vào làm tập vận dụng vào đẳng thức
Ví dụ 2: Tính ( 2x2 + 3y)3 ?
Kết quả: ( 2x2 + 3y)3 = 8x6 + 36x4y + 54x2y2 + 27y3
2.2 Vận dụng đẳng thức vào làm dạng tập: 2.1.1 Rút gọn biểu thức.
Ví dụ 1:
a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3)
b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x– y)( 4x2 + 2xy + y2)
Sau đưa đề lên bảng cho em thảo luận trình bày làm nhóm tơi thấy phần lớn nhóm làm sau:
a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3)
= x3 – 3x2 + 9x + 3x2 – 9x + 27 – 54 – x3
2x 2x
y
2x
(5)= - 27
b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2)
= 8x3 – 4x2y + 2xy2 + 4x2y – 2xy2 + y3 – 8x3 – 4x2y – 2xy2 + 4x2y + 2xy2 + y3 = 2y3
Tạm chấp nhận với lời giải đó, tơi đưa tiếp tập: Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 Kết hầu hết em không làm
Tôi nhận điều, là: Hầu em học hình thức, sau có đề em bắt tay vào làm tất mà em làm mà không quan sát, tư để tìm lời giải nhanh hơn, ngắn gọn hơn, thích hợp
Do sau giới thiệu đề đặt câu hỏi: “Các em quan sát kĩ đề thử phát biểu thức cho có đặc biệt ?” để từ em hình thành cho thói quen phải biết quan sát, biết đặt câu hỏi phân tích, tự trả lời tìm cho lời giải thích hợp
Kết em nhận đẳng thức biểu thức tự tin bắt tay làm bài:
Ví dụ 1:
a/ (x + 3)(x2 – 3x + ) – (54 + x3) = x3 + 27 – 54 – x3 = - 27
b/ (2x + y)( 4x2 – 2xy + y2) – (2x – y)( 4x2 + 2xy + y2) = (2x)3 + y3 – [(2x)3 – y3]
= 8x3 + y3 – 8x3 + y3 = 2y3 Ví dụ 2:
( x + y + z )2 – 2( x+ y + z)(x + y) + (x+ y)2 = [( x + y + z ) – (x+ y)]2
= (x + y + z – x –y )2 = z2
Tôi nhận thấy cần phải lưu ý cho em thấy được: “A; B” đẳng thức đơn thức đa thức
2.1.2 Phân tích đa thức thành nhân tử:
Trước hết chuẩn bị bảng phụ:
Hãy điền biểu thức thích hợp vào vế lại đẳng thức : A2 + 2AB + B2 = ……
2 A2 – 2AB + B2 = …… A2 – B2 = …………
(6)7 A3 – B3 = ……….
Qua tập giúp em linh hoạt biến đổi hai vế đẳng thức vận dụng thành thạo đẳng thức vào việc giải tốn dạng: Phân tích đa thức thành nhân tử tập áp dụng
Bài tập áp dụng:
Ví dụ 1: Tính nhanh giá trị biểu thức: a/ M = x2 + 4y2 – 4xy x = 18 y = 4
b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 x = y = - 8 Giải
a/ M = x2 + 4y2 – 4xy M = (x – 2y)2
Tại x = 18 y = ta được:
M = ( 18 – 2.4)2 = 102 = 100 b/ N = 8x3 – 12x2y + 6xy2 – y3 N = (2x – y )3
Tại x = y = - ta được:
N = ( 2.6 – (-8))3 = 203 = 8000
Lưu ý học sinh phải quan sát đề bài, phân tích biểu thức thành nhân tử mới thay số vào tính giá trị.
Ví dụ 2: Làm tính chia:
a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y)
b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) Giải a/ (x3 + 8y3) : (x + 2y)
= (x + 2y)(x2 – 2xy +y2) : (x+ 2y) = x2 – 2xy +y2
b/ ( x2 – y2 + 6x + 9) : ( x + y + 3) = [(x2 + 6x + 9) – y2]: ( x + y + 3) = ( x + y + 3)( x - y + 3): ( x + y + 3)
= x - y +
Học sinh thấy lúng túng em thực phép chia phép chia thơng thường giáo viên cần gợi ý để giúp em phân tích đề bài, tìm được lời giải thích hợp
3 MỘT SỐ BÀI TẬP NÂNG CAO DÀNH CHO HỌC SINH KHÁ GIỎI
Bài tập Tính :
a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
(7)a/ A = 12 – 22 + 32 – 42 + … – 20042 + 20052
A = + (32 – 22) + (52 – 42)+ …+ ( 20052 – 20042)
A = + (3 + 2)(3 – 2) + (5 + )(5 – 4) + … + (2005 + 2004)(2005 – 2004) A = + + + + + … + 2004 + 2005
A = ( + 2002 ) 2005 : = 2011015
b/ B = (2 + 1)(22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = (22 - 1) (22 +1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264 B = ( 24 – 1)(24 + 1)(28 + 1)(216 + 1)(232 + 1) – 264
B = …
B =(232 - 1)(232 + 1) – 264 B = 264 – – 264
B = - * Chú ý:
Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức A2 – B2 =(A-B)(A+B)
Bài tập 2: Tìm giá trị nhỏ hay giá trị lớn biểu thức sau: a/ A = x2 – 4x + 7
b/ B = x2 + 8x
c/ C = - 2x2 + 8x – 15
Giải
a/ A = x2 – 4x + = x2 – 4x + + = ( x - 2)2 + > 3 Dấu “ =” xảy x – = x =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A x =
b/ B = x2 + 8x = (x2 + 8x + 16 ) – 16 = (x – 4)2 – 16 > - 16 Dấu “ =” xảy x – = x =
Vậy giá trị nhỏ biểu thức A -16 x =
c/ C = - 2x2 + 8x – 15 = – 2(x2 – 4x + 4) – = – 2( x - 2)2 – < - 7 Dấu “ =” xảy x – = x =
Vậy giá trị lớn biểu thức A - x = * Chú ý:
Để tìm giá trị nhỏ biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A > m với m số.
- Chỉ dấu “=” xảy ra.
- Kết luận: Giá trị nhỏ A m ( kí hiệu minA )
Để tìm giá trị lớn biểu thức A ta cần:
- Chứng minh A < t với t số.
- Chỉ dấu “=” xảy ra.
(8)Bài tập 3: Chứng minh
( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac ) a = b = c
Giải ( a + b + c )2 = 3(ab + bc + ac )
a2 + 2ab + b2 + 2bc + 2ac + c2 = 3ab + 3bc + 3ac a2 + b2 + c2- ab - bc – ac =
2a2 + 2b2 + 2c2- 2ab - 2bc – 2ac =
( a2 – 2ab + b2) + ( b2 – 2bc + c2) + ( c2 – 2ac + a2) = ( a – b)2 + ( b – c)2 + ( c – a)2 =
( a – b)2 =0 hay ( b – c)2 = hay ( c – a)2 = a = b hay b = c hay c = a
a = b = c
* Chú ý:
Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập Chứng minh rằng:
a/ 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 ( n N)
Giải
a/ 7.52n + 12.6n = 7.(25n – 6n) + 19.6n 19
Vì ( 25n – 6n ) ( 25 – 6) nên ( 25n – 6n ) 19 19.6n 19 Vậy 7.52n + 12.6n 19 ( n N)
b/ 11n+2 + 122n+1 133 = 112 11n + 12.122n
= 12.( 144n – 11n) + 133.11n 133 Vì (144n – 11n) (144 – 11) nên (144n – 11n) 133
* Chú ý:
Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức an – bn = (a- b)(an-1 + an-2b+ … + abn-2 + bn-1)
(an – bn) (a- b) Bài tập Tìm x, y, z biết rằng:
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
Giải
2x2 + 2y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz + 10x + 6y + 34 = 0
(x2 + y2 + z2 + 2xy + 2xz + 2yz) + (x2 + 10x + 25) + (y2+ 6y + 9) =
( x + y + z)2 + ( x + 5)2 + (y + 3)2 =
(9)* Chú ý:
Quan sát biến đổi toán cách sử dụng đẳng thức (a + b + c )2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2 Bài tập 6: Cho x =nchữ số1
15 11
; y = nchữ số1
19 11
Chứng minh xy + số phương Giải
Ta có : y =
số chữ n 19 11 = số chữ n 15 11
+ = x +
Do đó: xy + = x(x + 4) + = x2 + 4x + = ( x + )2 hay xy + =
số chữ n 17 11
số phương
IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI
Năm học 2010-2011 nhà trường phân công giảng dạy bơ mơn tốn lớp 8A Rút kinh nghiệm năm trước chất lượng học sinh thấp nên bắt đầu vào dạy từ đẳng thức mạnh dạn vận dụng đề tài vào giảng dạy kết thu sau:
Lớp Sĩ số
KẾT QUẢ ĐIỂM TRƯỚC KHI VẬN DỤNG ĐỀ TÀI
Giỏi Kh¸ Trung b×nh Yếu KÐm
SL % SL % SL % SL % SL %
81 34 8,7 23,5 19 55,9 11,6
82 35 14,3 14,3 20 57,0 14,3
84 31 9,7 19,3 19 61,3 9,6
Kết chứng tỏ rằng: Việc vận dụng kinh nghiệm nêu trên, thời gian chưa dài kết tương đối khả quan kết chưa cao, chưa theo mong muốn thân dù có khởi sắc chất lượng học tập, số học sinh yếu giảm Và kiến thức khắc sâu hơn, em tự tin vận dụng kiến thức học vào giải toán
PHẦN D - KẾT LUẬN
BÀI HỌC KINH NGHIỆM
Tôi đưa nội dung đề tài để trao đổi quý đồng nghiệp tổ chun mơn hưởng ứng đồng tình quý đồng nghiệp tổ Xin rút kinh nghiệm sau:
◦ Tạo mối quan hệ hợp lí dạy kiến thức dạy kĩ năng, phương pháp suy nghĩ hành động
(10)◦ Dạy cách suy nghĩ, dạy học sinh thành thạo thao tác tư (phân tích, tổng hợp, tương tự…)
◦ Đừng bỏ qua mà khai thác câu trả lời học sinh, khuyến khích câu trả lời tốt
◦ Vừa giảng, vừa luyện, vừa vận dụng kiến thức cách tốt để học sinh nắm kiến thức
◦ Không dừng lại biết mà phải ln tư duy, sáng tạo, tìm tịi học hỏi
Chất lượng học tập mơn học nói chung, chất lượng mơn tốn nói riêng cịn thấp nỗi trăn trở riêng thân tôi, đồng nghiệp tổ chuyên môn, nhà trường mà toàn xã hội, người quan tâm đến nghiệp giáo dục nước nhà Chất lượng học tập em thấp dẫn đến tâm lí bi quan, chán nản nguyên nhân em nghỉ, bỏ học
Là người giáo viên trường phổ thông, công việc không đảm bảo truyền đạt hết kiến thức sách giáo khoa điều kiện cần chưa đủ, mà đòi hỏi người thầy giáo phải sâu vào vấn đề cụ thể, nghiên cứu nghiêm túc có hiểu biết sâu sắc để giúp đỡ em đạt kết cao hơn, đưa chất lượng học tập lên cao
Tốn học phức tạp, gồm nhiều dạng tốn, dạng tốn lại có nhiều cách giải khác giải cách nhanh nhất, ngắn gọn nhất, khoa học điều khơng phải học sinh làm mà phụ thuộc vào việc nắm kiến thức, vận dụng kiến thức cho phù hợp đối tượng học sinh
Với đề tài nêu đưa vào thực tế giảng dạy năm học 2010-2011 đạt kết tương đối khả quan Mặc dù việc vận dụng vào dạy cịn có hạn chế như: khơng đủ thời gian để vừa phụ đạo cho học sinh yếu tiết học, vừa giúp em giỏi bồi dưỡng thêm dạng tập nâng cao nhằm củng cố, khắc sâu, kích thích tăng cường rèn luyện khả tư duy, sáng tạo, tìm tịi … thích hợp với đối tượng học sinh Đề tài chắn cịn nhiều thiếu sót, tơi mong đóng góp quý đồng nghiệp để nội dung hồn hảo hơn, góp phần nâng cao chất lượng giáo dục, đáp ứng nhu cầu ngày cao xã hội
Tôi xin chân thành cảm ơn giúp đỡ q đồng ngiệp để giúp tơi hồn thnh ti ny
Quảng Minh,ngày / /2012 Người viết
(11)