SKKN hướng dẫn học sinh giải các bài toán tích phân hàm ẩn

Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn 1- MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài Tốn học có vai trị vị trí đặc biệt quan trọng khoa học kĩ thuật đời sống, giúp người tiếp thu cách dễ dàng mơn khoa học khác Thơng qua việc học Tốn, học sinh nắm vững nội dung toán học phương pháp giải tốn từ vận dụng vào môn học khác môn khoa học tự nhiên Chính tốn học có vai trị quan trọng trường phổ thơng, địi hỏi người thầy giáo lao động nghệ thuật sáng tạo để có phương pháp dạy học giúp học sinh học giải toán, đồng thời vận dụng vào thực tế Các tốn Tích phân đặc biệt tốn tích phân hàm ẩn – dạng tốn mà hàm dấu tích phân chưa xác định cụ thể nên học sinh cấp THPT tốn khó, vấn đề nan giải học sinh THPT, đặc biệt học sinh dự thi THPT Quốc Gia năm gần Năm học 20162017, Bộ Giáo dục Đào tạo thực đổi kỳ thi Trung học Phổ thơng Quốc gia (THPTQG) Trong mơn tốn đổi từ hình thức thi từ tự luận sang hình thức thi trắc nghiệm Việc thay đổi tạo nên nhiều bỡ ngỡ khó khăn cho giáo viên học sinh việc ôn luyện Hình thức thi trắc nghiệm mơn tốn địi hỏi số cách tiếp cận vấn đề so với hình thức thi tự luận Khi làm toán yêu cầu học sinh phải có kỹ năng, có suy luận tư toán học nhanh nhạy đồng thời phải nắm kiến thức Trong chương trình THPT vấn đề giải toán hàm ẩn gây nhiều khó khăn học sinh đặc biệt tốn tích phân Thơng thường tốn tích phân xác định hàm dấu tích phân việc tìm kết học sinh chương trình thi trắc nghiệm khơng có khó nhiên tốn tích phân hàm ẩn khác ln gây nhiều khó khăn cho học sinh trình tìm kết Trong trình dạy đọc tài liêu tham khảo, tơi rút kỹ nhỏ giúp học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Xây dựng chương trình giải bước quan trọng, để có chương trình giải tối ưu trước hết phải nghiên cứu thật kĩ cấu trúc toán, xem xét nhiều góc độ, nắm kiến thức từ định hướng giải phù hợp Các tốn tích phân hàm ẩn ln tốn khó có nhiều tư logic tổng hợp nhiều kiến thức chương trình THPT, giáo viên cần Hướng dẫn học sinh giải toán tích phân hàm ẩn trang bị cho học sinh để giúp em giải tốt toán chương trình thi THPT Quốc Gia góp phần nâng cao tư toán học, tạo điều kiện cho việc học tốn nói riêng q trình học tập nói chung Trong q trình dạy học, ơn thi THPT Quốc Gia tơi nhận thấy phần tốn tích phân hàm ẩn học sinh lúng túng làm tốn Với đề tài tơi hy vọng giúp học sinh khơng bỡ ngỡ gặp tốn tích phân hàm ẩn đồng thời hình thành học sinh tư tích cực, độc lập, sáng tạo, nâng cao lực phát hiên giải vấn đề, rèn luyện khả vận dụng kiến thức vào hoạt động thực tiễn 1.2 Mục đích nghiên cứu Để cho học sinh thấy mối liên hệ tích phân hàm ẩn với định nghĩa, tính chất phương pháp tính tích phân như: đổi biến, phần Từ làm tốt dạng tốn này, mang lại kết cao kì thi, đặc biệt kì thi THPTQG 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài vận dụng số lý thuyết chương trình SGK 12 để giải dạng tốn tích phân liên quan đến hàm ẩn 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết thực nghiệm Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lý luận Định nghĩa tích phân : “Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn [ a; b] Giả sử F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn [ a; b ] Hiệu số F (a ) − F (b) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ a; b] ) hàm số f ( x) , ký hiệu: b ∫ f ( x) dx a b Ta ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a ) Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn b Vậy: ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) b a *Nhận xét: b a) Tích phân hàm số f từ a đến b ký hiệu ∫ f ( x) dx a b hay ∫ f (t ) dt a Tích phân phụ thuộc vào hàm f , cận a , b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t b) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên tục không âm đoạn [ a; b] b ∫ f ( x) dx diện tích S hình thang giới hạn đồ thị f ( x) , trục Ox hai a đường thẳng x = a, x = b x = a; x = b ( hình vẽ) b Vậy S = ∫ f ( x) dx a Tính chất Tính chất 1: b b a a ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx b Tính chất 2: b ∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx a Tính chất 3: b a a b c b a a c ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (a < c < b) Phương pháp tính tích phân Phương pháp đổi biến số: “Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b] Giả sử hàm số x = ϕ (t ) có đạo hàm liên tục đoạn [ α ; β ] cho ϕ (α ) = a; ϕ ( β ) = b a ≤ ϕ (t ) ≤ b với t thuộc [ α ; β ] Khi đó:” b β ∫ f ( x) dx = ∫ f (ϕ (t )).ϕ (t ) dt ' a α Hướng dẫn học sinh giải toán tích phân hàm ẩn Chú ý: Cho hàm số f(x) liên tục đoạn [ a; b] Để tính b ∫ f ( x) dx ta chọn hàm số u = a u(x) làm biến mới, với u(x) liên tục [a; b] u(x) thuộc [α; β] Ta biến đổi f(x) = g(u(x)).u’(x) Khi ta có: u (b ) b ∫ f ( x) dx = a ∫ g (u ) du u(a) Phương pháp tính tích phân phần: “Nếu u = u(x) v = v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn [a; b] b b a a ' b ' ∫ u( x)v ( x) dx = (u( x)v( x)) a − ∫ u ( x)v( x) dx b b a a b Hay ∫ u dv = uv a − ∫ v du 2.2 Thực trạng vấn đề Do giảm tải kiến thức bậc THPT mà số lượng tập SGK dùng phương pháp để giải cịn ít, Phương pháp khơng mang tính chất phổ biến bắt buộc Chính lẽ mà đại đa số học sinh sử dụng phương pháp cách máy móc chưa biết sử dụng Đối với học sinh giỏi việc tiếp cận phương pháp để giải toán vấn đề cần thiết giúp cho em có kỉ năng, kỉ xảo việc giải tập vận dụng cao đồng thời chuẩn bị cho em kiến thức vững vàng đạt kết cao kì thi THPTQG Hịa chung vào phấn đấu tổ chuyên môn nhà trường đội ngũ giáo viên tổ Tốn khơng ngừng phấn đấu đóng góp đáng kể vào thành tích chung nhà trường Tuy nhiên thực trạng dạy học tốn trường THPT nói chung trường THPT Tĩnh gia nói riêng điều trăn trở Về phiá học sinh: + Mặc dù học sinh ý thức tầm quan trọng toán học, nhiên chất lượng học tập mơn Tốn chưa thật cao chưa đồng Chất lượng tương đối ổn định số lớp khối + Vẫn học sinh chưa xác định động mục đích học tập, học ý thức phấn đấu, vươn lên Mơn tốn học sinh thường mắc phải Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn sai lầm từ phép biến đổi đơn giản, cách giải toán hàm ẩn, có nhiều lỗ hổng kiến thức Khả tiếp thu học sinh cịn hạn chế Về phía giáo viên: Trong năm gần thay đổi hình thức thi từ tự luận sang trắc nghiệm nên lượng kiến thức rộng Bên cạnh hệ thống tập chưa đáp ứng nhu cầu thực tiễn, chưa có chiều sâu, dừng lại việc cải tiến phương pháp Trong trình giảng dạy ý nhiều đến việc truyền thụ khối lượng kiến thức mà chưa trọng đến cách dẫn dắt học sinh tìm hiểu khám phá lĩnh hội kiến thức từ chưa khơi dậy niềm đam mê hứng thú học tập, chưa gợi động học tập cho hoạc sinh 2.3 Một số biện pháp Dạng 1: Sử dụng định nghĩa tính chất Phương pháp chung: Định nghĩa tích phân : “Cho f ( x) hàm số liên tục đoạn [ a; b] Giả sử F ( x) nguyên hàm f ( x) đoạn [ a; b ] Hiệu số F (a ) − F (b) gọi tích phân từ a đến b (hay tích phân xác định đoạn [ a; b] ) hàm số f ( x) , ký hiệu: b ∫ f ( x) dx a b Ta ký hiệu: F ( x) a = F (b) − F (a ) b Vậy: ∫ f ( x)dx = F ( x) a = F (b) − F (a) b a *Nhận xét: b a) Tích phân hàm số f từ a đến b ký hiệu ∫ f ( x) dx a b hay ∫ f (t ) dt a Tích phân phụ thuộc vào hàm f , cận a , b mà không phụ thuộc vào biến số x hay t b) Ý nghĩa hình học tích phân: Nếu hàm số f ( x) liên tục không âm đoạn [ a; b] b ∫ f ( x) dx diện tích S hình thang giới hạn đồ thị f ( x) , trục Ox hai a đường thẳng x = a, x = b x = a; x = b ( hình vẽ) Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn b Vậy S = ∫ f ( x) dx a Tính chất b b a a ∫ kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx Tính chất 1: b b b ∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx Tính chất 2: a a b c a b ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx Tính chất 3: a a (a < c < b) c Ví dụ (Câu 16, Mã đề 108-THPTQG năm 2019) Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = f ( x ) , y = , x = −1 x = (như hình vẽ bên) Mệnh đề đúng? A S = − ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx −1 C S = ∫ −1 f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx 1 B S = ∫ −1 f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx 1 −1 D S = − ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx Phân tích tốn: Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Trên đoạn [ −1;1] đồ thị nằm trục hoành nên S1 = ∫ f ( x ) dx > −1 Trên đoạn [ 1;5] đồ thị nằm phía trục hồnh nên S2 = ∫ f ( x ) dx < Lời giải −1 Ta có f ( x ) ≥ 0, ∀x ∈ [ −1;1] ; f ( x ) ≤ 0, ∀x ∈ [ 1;5] Vậy S = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx Nhận xét Đa số học sinh chọn C suy nghĩ diện tích dương nên cộng lại Ví dụ ( Câu 10, Mã đề 108-THPTQG năm 2019) Biết ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −4 , A −7 ∫  f ( x ) + g ( x ) dx C −1 B D Phương pháp: sử dụng tính chất b b b a a a ∫ [f ( x) ± g ( x)] dx = ∫ f ( x) dx ± ∫ g ( x) dx Lời giải Theo đề ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −4 nên: 1 0 ∫  f ( x ) + g ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx = + ( −4 ) = −1 Ví dụ 3.( Câu 48 mã đề 101- THPTQG năm 2018) Cho hàm số f ( x ) thỏa mãn f ( 2) = − 2 f ′ ( x ) = x  f ( x )  với x ∈ ¡ Giá trị f ( 1) 35 19 A − B − C − 36 36 D − 15 Lời giải f ( x ) ≠0 Ta có f ′ ( x ) = x  f ( x )  ⇔  ′ = x ⇔ = −x2 + C   = −2 x ⇔ f ( x)  f ( x )   f ( x)  f ′( x) Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn suy C = − 2 f ( 1) = =− Chọn B  1 Do −12 +  − ÷  2 Từ f ( ) = − Ví dụ Cho 7 2 ∫ f ( x)dx = 10; ∫ f ( x)dx = Tính ∫ f ( x)dx A 16 B - C 60 D Phương pháp: Sử dụng tính chất 3: b c b a a c ∫ f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx (a < c < b ) Lời giải Ta có ò f ( x)dx = ò f ( x)dx + ò f ( x)dx 2 7 Suy ò f ( x)dx = ò f ( x)dx ò f ( x)dx = 10 - 6=4 Ví dụ 5.(Đề thi THPTQG năm 2017) số y = f ( x ) Đồ thị hàm số y = f ′( x) hình bên Đặt h( x) = f ( x) − x Mệnh đề ? A h(4) = h(−2) > h(2) B h(4) = h(−2) < h(2) C h(2) > h(4) > h(−2) D h(2) > h(−2) > h(4) Hướng dẫn: Ta có h '( x) = f '( x ) − x =  f ' ( x ) − x  Ta vẽ đường thẳng y = x Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn 2 ù h ( 2) - h ( - 2) = ò h '( x )dx = ò é ëf '( x ) - x ûdx > Þ h ( 2) > h ( - 2) - - 2 ù h ( 4) - h ( 2) = ò h '( x )dx = ò é ëf '( x ) - x ûdx < Þ h ( 4) < h ( 2) - 2 4 ù é ù é ù h ( 4) - h ( - 2) = ò h '( x )dx = ò é ëf '( x ) - xûdx = ò ëf '( x ) - x ûdx + ò ëf '( x ) - x ûdx - - - 2 h(4) - h(- 2) = S1 - S2 > Þ h ( 4) > h ( - 2) Như ta có: h ( - 2) < h ( 4) < h ( 2) Ta chọn đáp án C Bài tập: Câu Cho 3 ∫ f ( x ) dx = −3 ∫ f ( x ) dx = Khi ∫ f ( x ) dx A 12 Câu Biết ∫ B f ( x ) dx = , A I = ∫ C bằng: D −12 f ( t ) dt = Tính I = ∫ f ( z ) dz B I = −2 C I = D I = Hướng dẫn học sinh giải toán tích phân hàm ẩn Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ đồng thời thỏa mãn ∫ f ( x ) dx =7 ; 10 ∫ f ( x ) dx = ; A ∫ f ( x ) dx =1 Tính giá trị ∫ f ( x ) dx B 10 Câu Cho 10 2 −1 −1 C ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx = −1 Tính A I = B I = 17 D I = ∫  x + f ( x ) − g ( x )  dx −1 C I = 11 D I = Dạng Sử dụng phương pháp đổi biến số b Để tính tích phân f ( x) = g  u ( x)  u'( x) , ta thực phép đổi I = ∫ f ( x) dx , a biến sau Bước 1: Đặt t = u ( x) ⇒ dt = u'( x) dx Đổi cận x = a ⇒ t = u ( a) , x = b ⇒ t = u ( b) u(b) Bước 2: Thay vào ta có I= b ∫ g( t) dt = G ( t) a u(a) Ví dụ (Câu 25, Mã đề 101-THPTQG năm 2017) Cho ∫ f ( x) dx = 12 Tính I = ∫ f (3 x)dx A I = B I = 36 C I = D I = Phân tích tốn: Đặt 3x = t sau đổi cận từ suy kết Lời giải Đặt 3x = t Đổi cận x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = dx = Vậy 0 ∫ f (3x)dx = ∫ dt f (t )dt 12 = = Chọn D 3 10 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Khi ( e6 f ln x x ∫ ) dx = e6 ∫ 1  f  ln x ÷ 3 2  dx = 2f t dt = ⇒ f t dt = ⇒ f x dx = ( ) ( ) ∫0 ∫0 ∫0 ( ) x Đặt u = cos x ⇒ du = −2 cos x.sin xdx = − sin xdx Đổi cận x u Khi π π 1 0 ∫ f ( cos x ) sin xdx = −∫ f ( u ) du =∫ f ( u ) du =2 ⇒ ∫ f ( x ) dx =2 Do 3 3 ∫ ( f ( x ) + ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx =∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx + ∫ 2dx =3 − + x | = 1 1 0 Ví dụ Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục ¡ có đồ thị hình vẽ 0 Giá trị biểu thức I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx A −2 B C D 10 Lời giải Cách 1: 0 Đặt I1 = ∫ f ' ( x − ) dx , I = ∫ f ' ( x + ) dx Tính I1 : Đặt u = x − ⇒ du = dx Đổi cận: 2 Ta có: I1 = ∫ f ' ( u ) du = ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) −2 −2 = f ( ) − f ( −2 ) = − ( −2 ) = −2 Tính I : Đặt v = x + ⇒ dv = dx Đổi cận: 12 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn 4 2 Ta có: I = ∫ f ' ( v ) dv = ∫ f ' ( x ) dx = f ( x ) = f ( ) − f ( ) = − = Vậy: I = I1 + I = + = 4 0 Cách 2: I = ∫ f ' ( x − ) dx + ∫ f ' ( x + ) dx = ∫ f ' ( x − ) d ( x − ) + ∫ f ' ( x + ) d ( x + ) 0 = f ( x − 2) + f ( x + 2) = ( f ( ) − f ( − ) ) + ( f ( ) − f ( ) ) = ( − ( −2 ) ) + ( − ) = Ví dụ Cho hàm số f ( x) có đạo hàm cấp hai f ′′( x) liên tục ¡ có đồ thị hàm số f ( x) hình vẽ bên Biết hàm số f ( x) đạt cực đại điểm x = 1; đường thẳng ∆ hình vẽ bên tiếp tuyến đồ thị hàm số f ( x) điểm có ln hồnh độ x = Tích phân ∫ A  ex +  e f ′′  ÷dx   x B C D Lời giải Chọn D ex +1 ⇒ dt = e x dx Đặt t = 2 Đổi cận x = ⇒ t = 1; x = ln ⇒ t = 2  ex +  x e f '' dx = f ''(t ) dt = f '(t ) = ( f '(2) − f'(1) ) Khi ∫  ÷ ∫   Do hàm số đạt cực đại điểm x = có đạo hàm ¡ ⇒ f ′(1) = Mặt khác đường thẳng Δ qua hai điểm A(1;0) , B (0; −3) nên có hệ số góc y − yA k= B =3 xB − x A Do ∆ tiếp xúc với đồ thị hàm số f ( x) điểm có hồnh độ x = nên f ′(2) = ln ln Vậy ∫  ex +  e x f ′′  ÷dx = 2(3 − 0) =   13 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Ví dụ Cho f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) = f ( 10 − x ) ∫ f ( x ) dx = Tính I = ∫ xf ( x ) dx A 80 B 60 C 40 D 20 Lời giải Đặt t = 10 − x Khi dt = −dx Đổi cận: x = ⇒ t = x = ⇒ t = 3 7 Khi I = −∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − t ) f ( 10 − t ) dt = ∫ ( 10 − x ) f ( 10 − x ) dx 7 7 3 = ∫ ( 10 − x ) f ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx − ∫ xf ( x ) dx = 10 ∫ f ( x ) dx − I Suy I = 10 ∫ f ( x ) dx = 10.4 = 40 Do I = 20 Chọn D Ví dụ Cho hàm số f ( x ) liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) = f ( x ) + x , ∀x ∈ ¡ Biết ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ f ( x ) dx B I = 15 A I = 11 C I = 19 D I = 14 Lờigiải Ta có: 1 1 0 0 f ( x ) = f ( x ) + x ⇒ ∫ f ( x ) dx = ∫ 5 f ( x ) + x  dx = 5∫ f ( x ) dx + ∫ x dx = 5.2 + x = Mặt khác ∫ 21 f ( x ) dx = ⇒ 2 1 f ( x ) d ( x ) = ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( x ) dx ∫ 20 20 20 21 f ( x ) dx = ⇒ ∫ f ( x ) dx = 21 ∫ 20 2 Do đó: ∫ 0 f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx − ∫ f ( x ) dx = 21 − = 19 Chọn C Ví dụ Cho hàm số chẵn y = f ( x ) liên tục ¡ ∫ −1 f ( 2x) dx = Giá trị + 5x ∫ f ( x ) dx bằng: 14 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn A B C.1 D.16 Lời giải +) Ta có = ∫ −1 f ( 2x) f ( 2x) f ( 2x ) = d x + d x x ∫−1 + ∫0 + 5x dx (1) + 5x f ( 2x) dx : + 5x −1 Đặt t = −x ⇒ dt = −dx Đổi cận: x = −1 ⇒ t = x = ⇒ t = Khi Xét I = ∫ 1 t f ( −2t ) f ( −2t ) f ( −2t ) = d t − d t = dt ( ) − t ∫ t ∫ + + 5− t + 0 I=∫ Vì y = f ( x ) hàm chẵn nên f ( −2t ) = f ( 2t ) , ∀t ∈ ¡ ¡ x 5t f ( 2t ) f ( 2x ) d t = dx Thay vào (1) thu t x ∫ + + 0 Do I = ∫ 1 x + 1) f ( x ) 5x f ( x ) f ( 2x ) ( 8=∫ x dx + ∫ dx = ∫ d x = ∫ f ( x ) dx +1 + 5x 5x + 0 0 1 ⇒ ∫ f ( x ) d ( x ) = ⇒ ∫ f ( t ) dt = 16 20 ∫ f ( x ) dx = 16 Chọn D Vậy Chú ý: Nếu f ( x ) hàm chẵn liên tục [ −a; a ] a f ( x) d x = ∫ + b x ∫0 f ( x ) dx với a , −a a b > Bài tập: Câu Cho ∫ f ( x ) dx = 2021 Giá trị A π I = ∫ f ( cos x ) sin xdx 2021 B − 2021 C 4038 π 2 Câu Cho I = ∫ f ( x ) dx = Giá trị J = ∫ A B − sin x f ( 3cos x + 3cos x + C D 2021 D −2 ) dx 15 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Câu Cho hàm số y = f ( x ) xác định liên tục ¡ thỏa mãn f ( x + 3x ) = x + 1, ∀x ∈ ¡ Tích phân ∫ f ( x ) dx bằng: 25 B 88 C 25 D 4 x Câu Cho f ( x ) hàm số liên tục ¡ thỏa mãn f ( x ) + f (2 − x ) = x.e , ∀x ∈ ¡ A Tính tích phân I = ∫ f ( x )dx e −1 A I = B I = 2e − C I = e4 − D I = e − Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0; 2] thoả mãn 0 f ( ) = 16, ∫ f ( x ) dx = Tính tích phân I = ∫ x f ′ ( x ) dx A I = 12 B I = C I = 13 Dạng Sử dụng phương pháp tích phân phần D I = 20 Phương pháp: Cho hai hàm số u v liên tục [a;b] có đạo hàm liên tục b a;b Khi : b ∫ udv = uv a − ∫ vdu b a a Câu Cho hàm số f ( x) có f '( x) f ''( x) liên tục đoạn [ 1;3] Biết f (1) = 1; f (3) = 81; f '(1) = 4; f '(3) = 108 Giá trị ∫ ( − x ) f ′′( x)dx B − 64 A 48 C − 48 D 64 Lời giải u = − x Đặt  Khi dv = f ′′( x )dx  du = −2dx   v = f ′( x ) Suy ra: 3 1 3 ∫ ( − x ) f ′′( x)dx = ( − x ) f ′( x) − ∫ f ′( x) ( −2dx ) = ( − x ) f ′( x)  + 2∫ f ′( x)dx = ( − x ) f ′( x)  + f ( x ) = −2 f ′(3) − f ′(1) + f (3) − f (1) 3 = −2.108 − 2.4 + 2.81 − 2.1 = −64 Vậy ∫ ( − x ) f ′′( x)dx = −64 Chọn B 16 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục [ 0;1] thỏa mãn 1 e2 − f ( 1) = 0, ∫  f ′ ( x )  dx = ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = Tích phân 0 ∫ f ( x ) dx x e2 A e B C e − D e −1 Lời giải Bằng cơng thức tích phân phần ta có 1 ∫ ( x + 1) e f ( x ) dx = ∫ f ( x ) d ( xe ) = ( xe f ( x ) ) x x Suy x ∫ xe f ′ ( x ) dx = − x Hơn ta tính 1 − ∫ xe x f ′ ( x ) dx = − ∫ xe x f ′ ( x ) dx e2 −1 ∫ ( xe x ) dx = ∫ x 2e2 xdx = e2 − Do 1 0 x x x ∫  f ′ ( x )  dx + 2∫ xe f ′ ( x ) dx + ∫ ( xe ) dx = ⇔ ∫  f ′ ( x ) + xe  dx = 2 x x Suy f ′ ( x ) = − xe , f ( x ) = − ( x − 1) e + C Vì f ( 1) = nên C = Ta ∫ f ( x ) dx = − ∫ ( x − 1) e x dx = e − Chọn C Câu Cho hàm số f ( x) xác định liên tục ¡ Gọi g ( x) nguyên hàm x hàm số y = x + f ( x) Biết ò g ( x) dx =1 g ( 2) - g ( 1) = Tích phân x2 ị x + f ( x) dx A.1,5 B.1 C.3 D.2 Lời giải x x Vì g ( x) nguyên hàm hàm số y = x + f ( x) nên g ¢( x ) = x + f ( x) 2 x2 dx ị I = ũ xg Â( x ) dx Đặt I = ò x + f ( x) 1 17 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn ìï u = x Đặt ïíï dv = g ¢ x dx Þ ( ) ïỵ ìï du = dx ïí ïï v = g ( x) ỵ Khi I = xg ( x ) ò g ( x) dx = g ( 2) - g ( 1) - = Chọn B Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục có đạo hàm ¡ f ( x ) − f ( − x ) = ( x2 − x ) , ∀x ∈ ¡ Biết tích phân I = ∫ x f ' ( x ) dx = − phân số tối giản ) Tính T = 8a − 3b A T = B T = C T = 16 thỏa mãn a a ( với b b D T = −16 Lời giải Ta có : f ( x ) − f ( − x ) = ( x − x ) Lần lượt chọn x = 0, x = , ta có hệ sau :   f ( 1) =  f ( ) − f ( 1) = ⇔  5 f ( 1) − f ( ) = −3  f = ( )  Tính I = ∫ x f ' ( x ) dx u=x   du = dx Đặt : dv = f ' x dx Chọn  v = f x ( ) ( )   I = x f ( x ) − ∫ f ( x ) dx = − J 1 Đặt x = − t ⇒ J = − ∫ f ( − t ) dt = ∫ f ( − x ) dx = K Suy J − K = 3∫ ( x − x ) dx = −2 J =K  ⇔ J = K =1 5 J − K = −2 −3  a = ⇒ T = 8a − 3b = Chọn B Vậy I = − = ⇒  8 b = Ta có :  18 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Câu Cho hàm số f ( x) nhận giá trị dương, có đạo hàm liên tục [ 0;2] Biết f ( 0) = x Ỵ [ 0;2] Tính tích phân f ( x) f ( 2- x) = e2x - 4x với ( x3 - 3x2) f '( x) I =ò dx f ( x) A I =- 14 32 B I =- 2x2- 4x Từ giả thiết f ( x) f ( 2- x) = e 16 C I =- 2 Khi đó: I = ( x - 3x ) ln f ( x) 16 Lời giải , thay x = ta f ( 2) = ìï u = x3 - 3x2 ïï ( x - 3x ) f '( x) Þ f '( x) I = d x Ta có Đặt ïíï ị d v = d x f x ( ) ï ïïỵ f ( x) D I =- ị( 3x ïì du = ( 3x2 - 6x) dx ïíï ïï v = ln f ( x) ïỵ - 6x) ln f ( x) dx =- 3ò( x2 - 2x) ln f ( x) dx =- 3J (do f ( 2) = 1), với J = ò( x2 - 2x) ln f ( x) dx Đặt x = 2- t J = ị éêë( 22 t) - 2( 2- t) ù ln f ( 2- t) d( 2- t) ú û 2 ùln f ( 2- x) d( 2- x) = ( x2 - 2x) ln f ( 2- x) dx = òé ê( 2- x) - 2( 2- x) ú ò ë û Suy 2 2J = ò( x - 2x) ln f ( x) dx + ò( x - 2x) ln f ( 2- x) dx = ò( x2 - 2x) ln f ( x) f ( 2- x) dx 2 2 = ò( x2 - 2x) ln e2x - 4xdx = ò( x2 - 2x) ( 2x2 - 4x) dx = Vậy I =- 3J =- 0 32 16 Þ J = 15 15 16 Chọn D Bài tập 19 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Câu Cho hàm số f ( x) liên tục có đạo hàm đoạn [ 0;5] thỏa mãn 5 f ( x) f ( x) ∫ xf ′ ( x ) e dx = ; f ( 5) = ln Tính I = ∫ e dx 0 −33 A B C 17 D −17 Câu Cho hàm số y = f ( x) có đạo hàm liên tục đoạn [ 0;1] f (0) + f (1) = Biết ∫ 33 f ( x) dx = , 2 ∫ A π π f ′( x )cos (π x )dx = Tính 3π B f ( x) Câu Cho hàm số f ( ) = 1, ∫  f ′ ( x )  dx = A ∫ f ( x)dx C π D có đạo hàm liên tục [ 0;1] 1 , ∫ ( x − 1) f ( x ) dx = − Tích phân 30 30 30 B 11 30 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục C a >0 π thỏa mãn ∫ f ( x ) dx 11 D 11 12 Giả sử với x ∈ [ 0; a ] ta có f ( x ) > a dx 1+ f ( x) a B I = f ( x ) f ( a − x ) = Tính I = ∫ a A I = C I = 2a D I = a ln ( a + 1) Dạng Một số dạng toán khác Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục ¡ \ { −1;0} thỏa mãn f ( 1) = ln + , x ( x + 1) f ′ ( x ) + ( x + ) f ( x ) = x ( x + 1) , ∀x ∈ ¡ \ { −1; 0} Biết f ( ) = a + b ln , với a, b hai số hữu tỉ Tính T = a − b A T = − 16 B T = 21 16 C T = Lời giải x ( x + 1) f ′ ( x ) + ( x + ) f ( x ) = x ( x + 1) ⇒ f ′ ( x ) + ⇒ D T = x+2 f ( x) =1 x ( x + 1)  x2 ′ x2 x2 + x x2 x2 f ′( x) + f x = ⇒ f x = ( ) ( )  x +1 x +1 x +  x + ( x + 1)  2  x2 ′ x2 ⇒ ∫ f ( x )  dx = ∫ dx x +1 x +1   20 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn 2  x2 ′  x2   x2    ⇒ ∫ f ( x )  dx = ∫  x − + f ( x )  =  − x + ln x + ÷ ÷dx ⇒  x +1 x +1    x +1 1  1  1 1 3 3 ⇒ f ( ) − f ( 1) = ln − ln + ⇒ f ( ) = + ln ⇒ a = b = ⇒ T = − 2 4 16 Câu Cho hàm số f ( x) có đạo hàm liên tục R thỏa mãn f (0) = f ( x) + f (2 − x) = x − x + 2, ∀x ∈ R Tích phân ∫ xf ′( x)dx A −4 3 B C D −10 Lời giải ChọnD Thay x = ta f (0) + f (2) = ⇒ f (2) = − f (0) = − = −1 Ta có: 2 0 ∫ f ( x)dx = ∫ f (2 − x)dx Từ hệ thức đề ra: ∫ ( f ( x) + f (2 − x) ) dx = ∫ ( x − x + ) dx = ⇒ ∫ f ( x)dx = 3 Áp dụng cơng thức tích phân phần, ta lại có: 2 ∫ xf ′( x)dx = xf ( x) − ∫ f ( x)dx = 2.(−1) − 0 10 =− 3 Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn [ 0; 4] thỏa mãn điều kiện xf ( x ) + f ( x ) = − x Tính tích phân A I = π B I = ∫ f ( x ) dx π C I = π 20 D I = π 10 Lời giải Ta có ( ) xf ( x ) + f ( x ) = − x ⇒ ∫ xf ( x ) + f ( x ) dx = ∫ − x dx ⇔ I1 + I = I 0 Trong ( ) 4 I1 = ∫ xf ( x ) dx = 1 f ( x ) d ( x ) = ∫ f ( x ) dx ∫ 20 20 I = ∫ ( f ( x ) ) dx = 1 f ( x ) d ( x ) = ∫ f ( x ) dx ∫ 20 20 2 π π 0 I = ∫ − x dx = ∫ − 4sin ( t ) cos ( t ) dt = ∫ cos ( t ) dt 21 Hướng dẫn học sinh giải toán tích phân hàm ẩn π = ∫ ( + cos ( 2t ) ) dt = ( 2t + sin ( 2t ) ) π =π  I1 = I π π ⇔ I = I = ⇔ f ( x ) dx = Khi ta có hệ  hay ∫ 10 20 10  I1 + I = π π ∫ f ( x ) dx = Chọn A Câu Cho hàm số f ( x) liên tục nhận giá trị không âm đoạn [0;1] Giá trị 1 0 nhỏ biểu thức M = ∫ ( f ( x) + 3x ) f ( x) dx − ∫ ( f ( x) + x ) xf ( x) dx A − 24 B − C − 12 D − Lời giải Đặt a = f ( x) , ta có: 1 0 1 M = ∫ ( f ( x) + 3x ) f ( x) dx − ∫ ( f ( x) + x ) xf ( x) dx = ∫ (2a + x)a dx − ∫ ( 4a + x ) xa dx =∫ ( 1 2a − 4a xa + xa − x xa dx = ∫  a − x 0 ) ( ) x −   x2  ÷dx ≥ ∫  − ÷dx = −  24  0 x x Dấu “=” xảy a = x ⇔ 4a = x ⇔ a = ⇔ f ( x) = Vậy giá trị nhỏ biểu thức M − Chọn A 24 Nhận xét Trong giải có sử dụng biến đổi: ( ) x2 x2 2a − 4a xa + xa − x xa = a − x − ≥ − 8 Tuy nhiên, hệ số biểu thức 2a − 4a xa + 3xa − x xa bị thay đổi (thành hệ số khác) ta khó mà đưa dạng mũ Câu hỏi đặt trường hợp phải làm để đưa đánh giá Để ý biểu thức 2a − 4a ax + 3ax − x ax đẳng cấp bậc hai Chúng xin đề xuất hướng giải trường hợp biểu thức cần đánh giá đẳng cấp Chẳng hạn toán trên, ta cần đánh giá biểu thức g ( a, x ) = 2a − 4a ax + 3ax − x ax , với x ∈ [ 0;1] a = f ( x) ≥ 0, ∀x ∈ [ 0;1] Ta thực sau: 22 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn  2a 2 +) Với x ≠ biểu diễn g ( a, x ) = x   x − 4a a 3a a + − ÷ x x x x÷  a ≥ Khi g ( a, x ) = x ( 2t − 4t + 3t − t ) x Lập bảng biến thiên hàm số h ( t ) = 2t − 4t + 3t − t [ 0; + ∞ ) , ta h ( t ) = − [ 0; +∞ ) x2 Do ta có g ( a, x ) ≥ − , ∀x ∈ ( 0;1] +) Kiểm tra đánh giá x = x2 g a , x ≥ − , ∀x ∈ [ 0;1] Từ lấy tích phân vế đoạn [ 0;1] Như ( ) Đặt t = tốn giải Chú ý: Nếu g (a, x ) đẳng cấp bậc n ta đưa x n ngồi dấu ngoặc Bài tập  1 Câu Cho hàm số f ( x ) liên tục có đạo hàm  − ;  thỏa mãn  2 109 ∫1  f ( x ) − f ( x ) ( − x )  dx = − 12 Tính − 2 f ( x) ∫x −1 dx D ln 9 Câu Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm khoảng ( 0; +∞ ) f ( x ) > , ∀x ∈ ( 0; +∞ ) 2 thỏa mãn f ′ ( x ) = − x f ( x ) với x ∈ ( 0; +∞ ) , biết f ( 1) = f ( ) > Tổng tất a+3 giá trị nguyên a thỏa mãn A −14 B C D −2 A ln B ln C ln Câu Giả sử hàm số f ( x ) liên tục, dương ¡ ; thỏa mãn f ( ) = f '( x) = ( ) x f ( x ) Khi hiệu T = f 2 − f ( 1) thuộc khoảng nào? x +1 A ( 2;3) B ( 7;9 ) C ( 0;1) D ( 9;12 ) Câu Cho hàm số f ( x ) > với x ∈ ¡ , f ( ) = f ( x ) = x + f ′ ( x ) với x ∈ ¡ Mệnh đề đúng? A f ( 3) < B < f ( 3) < C < f ( 3) < D f ( 3) > f ( ) 23 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Câu Cho hàm số f ( x)  π liên tục không âm 0;  , thỏa mãn  2  π π  f ( x ) f ′ ( x ) = cos x + f ( x ) với x ∈ 0;  f ( ) = Giá trị f  ÷  2 2 A B C 2 D 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Đối với học sinh khối 12, em nhận thức cách đầy đủ hàm số tích phân phương pháp áp dụng cách phổ biến tập cho học sinh mang tính phong phú, đa dạng khó Kết nhận thấy số lượng học sinh giỏi hứng thú với phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo Trong năm học 2018-2019, 2019-2020 qua buổi dạy sử dụng hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn giúp học sinh giải tập tích phân hàm ẩn nhanh hơn, gọn hơn, đẹp Đặc biệt tốn khó Kết học sinh nắm kiến thức, hiểu áp dụng vào tập tương tự Cụ thể khoảng 30- 35% học sinh đạt kết trung bình, khoảng 65-70% học sinh đạt kết Khá, Gỏi Năm học 2018-2019 2019 - 2020 Lớp Số HS 12A1 Loại Giỏi Loại Khá Loại TB SL % SL % SL % 45 15 33,3 16 35,5 10 31,2 12A3 45 10 22,2 21 46,7 13 31,1 12A3 45 12 26,7 18 40,0 15 33,3 12A6 45 20,0 21 46,7 15 33,3 Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận: Khi học sinh nắm kiến thức cách giải tốn tích phân hàm ẩn thường phương pháp hay, độc đáo, tổng hợp nhiều kiến thức cho học sinh, không phổ biến bậc THPT Qua trình tham khảo, nghiên cứu học hỏi sử dụng phương pháp để dạy cho học sinh nhận thấy có hiệu cao học sinh 24 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn 3.2 Kiến nghị: Duy trì hoạt động viết sáng kiến kinh nghiệm năm học, hoạt động bổ ích thiết thực cho giáo viên, công tác chuyên môn Cần động viên kịp thời để phong trào viết sáng kiến kinh nghiệm ngày phát triển sâu rộng Cần trang bị cho giáo viên dạy tài liệu tham khảo phù hợp với chương trình Tĩnh Gia, ngày 24 tháng năm 2021 XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Tơi xin cam đoan tồn nội dung đề tài ĐƠN VỊ thân nghiên cứu thực hiện, không chép nội dung NGƯỜI VIẾT SKKN Lê Đình Sơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đoàn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục 25 Hướng dẫn học sinh giải toán tích phân hàm ẩn Trần Văn Hạo, Giải tốn đại số giải tích 11 (Tái lần thứ nhất), NXB Giáo Dục 26 ... phương pháp giải toán tập dạng em giải thành thạo Trong năm học 2018-2019, 2019-2020 qua buổi dạy sử dụng hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn giúp học sinh giải tập tích phân hàm ẩn nhanh... học sinh thường mắc phải Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn sai lầm từ phép biến đổi đơn giản, cách giải tốn hàm ẩn, có nhiều lỗ hổng kiến thức Khả tiếp thu học sinh cịn hạn chế Về phía... VIẾT SKKN Lê Đình Sơn TÀI LIỆU THAM KHẢO Đồn Quỳnh – Nguyễn Huy Đoan, Sách giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo Dục 25 Hướng dẫn học sinh giải tốn tích phân hàm ẩn Trần Văn Hạo, Giải tốn đại số giải tích