2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ2.1 Cơ sở lý luận:Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song.2.2 Thực trạng vấn đềKhi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian.
hoctoancapba.com 1.ĐẶT VẤN ĐỀ 1.1 Lý do chọn đề tài: Trong quá trình giảng dạy tôi nhận thấy học sinh rất e ngại học môn hình học không gian vì các em nghĩ rằng nó rất trừu tượng, thiếu tính thực tế khách quan. Chính vì thế mà có rất nhiều học sinh học yếu môn học này, về phần giáo viên cũng gặp không ít khó khăn khi truyền đạt nội dung kiến thức và phương pháp giải các dạng bài tập hình học không gian. Qua nhiều năm giảng dạy môn học này tôi cũng đúc kết được một số kinh nghiệm nhằm giúp các em tiếp thu kiến thức được tốt hơn, từ đó mà chất lượng giảng dạy cũng như học tập của học sinh ngày được nâng lên. Do đây là phần nội dung kiến thức mới nên nhiều học sinh còn chưa quen với tính tư duy trừu tượng của nó, nên tôi nghiên cứu nội dung này nhằm tìm ra những phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh cũng nhằm tháo gỡ những vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường hay gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy học nói chung và môn hình học không gian nói riêng. Điểm mới trong kết quả nghiên cứu là tính thực tiễn và tính hệ thống, không áp đặt hoặc lập khuôn máy móc do đó mà học sinh dễ dàng áp dụng vào việc giải quyết các bài toán lạ, các bài toán khó. Từ lý do trên tôi đã khai thác, hệ thống hoá các kiến thức và tổng hợp thành một chuyên đề: “Phân loại và phương pháp giải một số toán về quan hệ song song trong không gian” Qua nội dung của đề tài này tôi mong muốn sẽ cung cấp cho học sinh lớp 11 có thêm một số kỹ năng cơ bản, phương pháp chứng minh của một số dạng bài toán liên quan đến quan hệ song song trong không gian. Học sinh thông hiểu và trình bày bài toán đúng trình tự, đúng logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các các em học sinh có 1 hoctoancapba.com cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa Chương II Hình Học lớp 11 một cách có hiệu quả. 1.2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu: Đối tượng nghiên cứu trong đề tài là học sinh khối 11 qua các năm giảng dạy từ trước đến nay và hiện nay là lớp 11A 3 , 11A 5, 11A 6 . Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu của đề tài là “Chương II: Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản. 2 hoctoancapba.com 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: Khi giải một bài toán về chứng minh quan hệ song song trong không gian ngoài yêu cầu đọc kỹ đề bài, phân tích giả thuyết bài toán, vẽ hình đúng ta còn phải chú ý đến nhiều yếu tố khác như: Có cần xác định thêm các yếu tố khác trên hình vẽ hay không? hình vẽ như thế có tốt chưa ? Có thể hiện được hết các yêu cầu của đề bài hay chưa ? Để giải quyết vấn đề này ta phải bắt đầu từ đâu ? Nội dung kiến thức nào liên quan đến vấn đề được đặt ra, trình bày nó như thế nào cho chính xác và lôgic… có được như thế mới giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán mà không gặp phải khó khăn. Ngoài ra chúng ta còn nắm vững hệ thống lý thuyết, phương pháp chứng minh cho từng dạng toán như: tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng, tìm giao tuyến của hai mặt phẳng, chứng minh hai đường thẳng song song, đường thẳng song song với mặt phẳng, hai mặt phẳng song song. 2.2 Thực trạng vấn đề Khi gặp các bài toán liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian đa học sinh số chưa phân loại và định hình được cách giải, lúng túng khi làm bài tập. Trong khi đó bài toán liên quan đến chứng minh quan hệ song song trong không gian có rất nhiều dạng bài tập khác nhau, nhưng chương trình hình học lớp 11 không nêu cách giải tổng quát cho từng dạng, thời lượng dành cho việc làm bài tập các dạng bài toán này là 3 hoctoancapba.com rất ít. Qua việc quá trình giảng dạy và việc khảo sát kiểm tra định kỳ nhận thấy nhiều học sinh thường lúng túng hoặc trình bày cách không chính xác hoặc có học sinh còn không làm được bài tập liên quan đến việc chứng minh quan hệ song song trong không gian. 2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết các vấn đề của đề tài Bài toán 1: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng ( α ). Hình 1 Hình 2 • Phương pháp: * Muốn tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng ( α ) ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng a nằm trên mp( α ) ( hình 1) Tóm tắt: Nếu ( ) A d A a mp α ∈ ∈ ⊂ thì ( )A d mp α = ∩ * Chú ý: Nếu đường thẳng a chưa có trên hình vẽ thì ta tìm a như sau: - Tìm mp( β ) chứa d sao cho mp( β ) cắt mp( α ). - Tìm giao tuyến a của hai mp( α ) và mp( β ) (hình 2) * Nhận xét: Vấn đề của bài toán là xác định cho được đường thẳng a. Nhiệm vụ của giao viên là hướng dẫn, gợi mở cho học sinh biết cách tìm đường 4 hoctoancapba.com thẳng a và chọn mp( β ) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ hoctoancapba.com * Các ví dụ: Bài 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I là trung điểm của AB, J là một điểm trên AD sao cho 2 AJ = 3 AD . Tìm giao điểm của đường thẳng IJ với mp(BCD). Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng phát hiện được đường thẳng a cần tìm chính là đường thẳng BD. Nhiệm vụ của giáo viên là cần lưu ý cho học sinh điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là hai đường thẳng đó phải cùng nằm trên một mặt phẳng và không song song. Hình 3 Hình 4 Lời giải: Từ giả thiết ⇒ IJ và BD không song song. Gọi IJ BDK = ∩ IJ K BD (BCD) K ∈ ⇒ ∈ ⊂ Kết luận: IJ (BCD)K = ∩ (hình 4) Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của SA và SB, M là một điểm tùy ý thuộc đoạn SD. a) Tìm giao điểm của đường thẳng BM với mp(SAC). b) Tìm giao điểm của đường thẳng IM với mp (SBC) c) Tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM). 5 I B D C A J I B D C A K J hoctoancapba.com Nhận xét: Với giả thiết của bài toán thì dựa vào hình vẽ ( hình 5) học sinh khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SAC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng BM, nếu không khéo léo hướng dẫn sẽ có nhiều học sinh nhầm là đường thẳng SC. Vai trò của giáo viên là gợi ý cho học sinh biết chọn mp(SBD) chứa BM và tìm giao tuyến của hai mp( SBD) và (SAC) là đường thẳng SO. Từ đó kết luận giao điểm P của hai đường thẳng BM và SO chính là giao điểm cần tìm. (hình 6) Hình 5 Hình 6 Với câu b) (hình 7) thì học sinh cũng khó mà tìm được đường thẳng a nằm trên mp(SBC) bây giờ là đường thẳng nào để cắt được đường thẳng IM nếu không có sự hướng dẫn của giao viên. Giáo viên yêu cầu học sinh cho biết đường thẳng IM nằm trên mp nào ? và đi tìm giao tuyến của mp đó với mp(SBC). Từ đó tìm được giao tuyến là đường thẳng SE và giao điểm cần tìm chính là điểm F hoctoancap ba.com( hình 8). Hình 7 Hình 8 6 P J I O A B S D C M J I A B S D C M P J I O A B S D C M P J I O A B E S D C M F hoctoancapba.com Tượng tự câu a) để tìm giao điểm của đường thẳng SC với mp(IJM) ta phải chọn mặt phẳng phụ chứa SC và đi tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ đó với mp(IJM). Với bài toán này thì có nhiều mặt phẳng chứa đường thẳng SC như mp(SAC), mp(SCD) và mp(SBC). Vấn đề là chọn mặt phẳng nào sao cho việc tìm giao tuyến được thuận lợi là tùy thuộc vào khả năng của mỗi học sinh, giáo viên không nên gò học sinh đi theo lời giải của mình. Hình 9 Hình 10 * Lời giải: a) Ta có BM (SBD) ⊂ Xét 2 mp( SAC) và (SBD) có S là điểm chung thức nhất.(1) Gọi BDO AC = ∩ ⇒ O là điểm chung thứ hai (2) Từ (1) và (2) ⇒ ( ) ( BD)SO SAC S = ∩ Gọi P=BM SO ∩ ; ⇒ Kết luận: P=BM (SAC) ∩ b) Ta có IM ⊂ (SAD) Xét hai mp(SAD) và (SBC) có: S là điểm chung thứ nhất Gọi E = AD ∩ BC ⇒ E là điểm chung thứ hai ⇒ SE = (SAD) ∩ ( SBC) Gọi F= IM ∩ SE ⇒ F =IM ∩ (SBC) ( Hình 8) c) Ta có SC ⊂ (SBC) Xét 2 mp( IJM) và (SBC) Ta có JF = (IJM) ∩ (SBC) Gọi H = JF ∩ SC ⇒ H=SC ∩ (IJM) (Hình 10) 7 P H J I O A B E S D C M F P J I O A B E S D C M F hoctoancapba.com Bài toán 2: Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ( α ) và ( β ) . * Phương pháp: Cách 1: Xác định hai điểm chung của hai mp. Tóm tắt: Nếu ( ) ( ) B ( ) ( ) A α β α β ∈ ∩ ∈ ∩ thì AB=( ) ( ) α β ∩ ( Hình 11) Hình 11 Cách 2: Xác định một điểm chung và song song với một đường thẳng Dựa vào các định lý sau: * Định lý 2 ( SGK trang 57) : Nếu ( ) ( ) ( ) ( )=b ( ) ( )= c a α γ β γ α β ∩ = ∩ ∩ thì a // b // c hoặc a, b, c đồng quy. * Hệ quả: Nếu // ( ),b ( ) ( ) ( )= d a b a α β α β ⊂ ⊂ ∩ thì d // a // b hoặc d trùng a hoặc d trùng với b 8 hoctoancapba.com Hình 12 Hình 13 Hình 14 * Định lý 2:(SGK trang 61) Nếu //( ) ( ) ( ) ( )= b a a α β α β ⊂ ∩ thì a//b (hình 15) * Hệ quả: Nếu ( ) // ( )// ( ) ( )= a d d α β α β ∩ thì a // d. ( hình 16) Hình 15 Hình 16 Hình 17 * Đlý 3 (SGK trang 67). Nếu ( ) //( ) ( ) ( ) a α β γ α ∩ = thì ( ) ( ) // b a b γ β ∩ = ( hình 17) * Nhận xét: Để tìm giao tuyến của hai mặt phẳng ta ưu tiên cho cách 1 là tìm hai điểm chung lần lượt nằm trên hai mặt phẳng đó bằng cách dựa vào hình vẽ. Nếu trên hình vẽ chỉ có một điểm chung thì ta chuyển sang cách hai ( dựa vào các định lý và hệ quả nêu trên) 9 hoctoancapba.com * Ví dụ: Bài 3: Trong mp( α ) cho tứ giác ABCD có AB và CD cắt nhau tại E, AC và BD cắt nhau tại F. Gọi S là một điểm nằm ngoài mp( α ). Tìm giao tuyến của các mp sau: a) mp (SAB) và mp(SCD) b) mp(SAC) và mp(SBD) c) mp(SEF) với hai mp(SAD) và (SBC). * Nhận xét: Với hai mp(SAB) và mp(SCD) thì học sinh dễ dàng tìm được hai điểm chung lần lượt là S là E dựa vào hình vẽ (hình 18). Tương tự đối với hai mp(SAC) và mp(SBD) thì học sinh cũng phát hiện được giao tuyến là đường thẳng SF. (hình 19) Hình 18 Hình 19 Với câu c) giáo viên nên gợi ý cho học sinh phát hiện ra được điểm chung thứ hai M, N bằng cách nối EF với BC và EF với AD. ( hình 20) Hình 20 * Lời giải: a) Ta có ( ) ( )S SAB SCD ∈ ∩ (1) ; E AB CD = ∩ ( ) ( )E SAB SCD ⇒ ∈ ∩ (2) 10 F A D E S B C A D E S B C M F A D E S B C N [...]... hoạch mua bổ sung một số mô hình của hình không gian, các phần mềm vẽ hình không gian, phương tiện minh họa các nội dung được thể hiện trong sách giáo khoa, nhằm giúp cho việc giảng dạy của giáo viên được thuận lợi hơn 20 hoctoancapba.com Trong dạy học cần bám sát chuẩn kiến thức kỹ năng, nhấn mạnh kiến thức trọng tâm (định nghĩa, định lí, tính chất ) phục vụ trong quá trình làm bài tập Ngoài ra cần... ràng, chính xác, thể hiện được tính thẩm mỹ - Biết cách xác định đối tượng trên hình vẽ sao cho phù hợp với yêu cầu của bài toán - Hình vẽ không thừa cũng không thi u dữ kiện của đề bài - Ngoài ra để có được một hình vẽ tốt cần phải nắm vững các khái niệm về hình không gian như: hình chóp, hình tứ diện, hình chóp đều, hình lăng trụ, hình hộp, hình hộp chữ nhật, hình lập phương…, phân biệt được hình đa... để giải được một bài toán về hình học không gian ngoài việc nắm vững các phương pháp, kỹ năng giải toán thì hình vẽ đóng một vai trò quan trọng, hình vẽ tốt giúp cho chúng ta nhìn ra được hướng giải quyết, phát hiện ra được vấn đề của bài toán Hình vẽ tốt là một hình vẽ đảm bảo được các điều kiện sau: - Đảm bảo được các quy tắc vẽ hình biểu diễn của một hình không gian ( SGK Hình học 11 trang 45, ban... toán là dựa vào giả thi t của từng bài toán mà xác định đường thẳng a như thế nào cho phù hợp * Ví dụ: Bài 6: Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, A’B’C’ và ACC’ Chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) * Nhận xét: - Để chứng minh đường thẳng IG song song với mp(BB’C’C) ta phải chứng minh được đường thẳng IG song song với một đường thẳng... với từng nội dung cần phân tích, kết hợp với hình ảnh trực quan để làm nổi bật được nội dung cần phân tích 2.5 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm Qua nhiều năm giảng dạy và đúc kết kinh nghiệm tôi nhận thấy rằng để dạy cho học sinh học tốt môn hình học không gian thì cần phải giúp cho học sinh nắm vững hệ thống lý thuyết các định nghĩa, định lý, hệ quả các phương pháp chứng minh Ngoài ra cần giúp cho... của các tam giác ABC , ACD và ABD Chứng minh hai mp(MNP) và mp(BCD) song song Nhận xét: Với bài toán này thì học sinh dễ dàng xác định hai đường thẳng a, b nằm trên mặt phẳng này và song song với mặt phẳng kia Vấn đề của bài toán là cách xác định các trọng tâm, giáo viên nên lưu ý cho học sinh cách xác định trong tâm dựa vào tính chất không nên vẽ quá nhiều các đường trung tuyến * Lời giải: A Gọi I, J,... bản giáo dục, năm 2007 3 Trần Văn Hạo: Học tốt hình học 11- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia TP HCM, năm 2007 4 Nguyễn Cam - Nguyễn Văn Phước- Nguyễn Hoàng Nguyên- Tuyển chọn 400 bài tập tự luận và trắc nghiệm- Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội, năm 2007 5 Trần Quang Nghĩa – Nguyễn Anh Trường: Phương pháp giải toán hình không gian 11- Nhà xuất bản Đà Nẵng, năm 1997 21 ... chọn mp(AA’D’D) chứa DD’ và tìm được giao tuyến của 2 mp(MNP) và mp(AA’D’D) là My song song với đường thẳng NP ( hình 22) Bài 5: Cho hình chóp S.ABCD Gọi M, N lần lượt là hai điểm trên hai cạnh AB và CD, ( α ) là mặt phẳng chứa MN và song song với SA a) Tìm giao tuyến của mp( α ) với các mp(SAB) và mp(SAC) b) Xác định thi t diện của hình chóp cắt bởi mp( α ) Nhận xét: Với dạng toán trên học sinh thường... thẳng IG songM song với đường thẳng MN nằm trên mặt phẳng (BB’C’C) B C G N * Lời giải: 13 A' K B' C' M' hoctoancapba.com AI 2 = Ta có: I là trọng tâm tam giác ABC nên AM 3 (1) AG 2 = G là trọng tâm tam giác ACC’ nên AN 3 (2) AI AG = Từ (1) và (2) suy ra AM AN Theo định lý talet đảo ⇒ IG // MN ⊂ ( BB ' C ' C ) Hình 26 Kết luận: IG // (BB’C’C) Bài 7: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong. .. (BCD) (1) Tương tự MP // (BCD) (2) Hình 29 Mà MN, MP ⊂ (MNP) (3) Từ (1), (2), (3) ⇒ (MNP) // (BCD) Bài 9: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M, N sao cho AM = BN Qua M, N dựng các đường thẳng song song với AB lần lượt cắt AD và AF tại M’và N’ a) Chứng minh mp( ADF) // mp(BCF) b) Cứng minh mp(DEF) // mp(MM’N’N) * Nhận . sinh biết cách tìm đường 4 hoctoancapba. com thẳng a và chọn mp( β ) sao cho phù hợp với từng yêu cầu của bài toán trong trường hợp đường thẳng a chưa có trên hình vẽ hoctoancapba. com * Các ví. logic, không mắc sai lầm khi làm bài tập. Hy vọng đề tài nhỏ này sẽ giúp các các em học sinh có 1 hoctoancapba. com cơ sở cũng như phương pháp giải một số bài toán bắt buộc trong sách giáo khoa. thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song” sách giáo khoa hình học 11 ban cơ bản. 2 hoctoancapba. com 2. GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 2.1 Cơ sở lý luận: Khi giải một bài toán về chứng minh quan