Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng a Vectơ −→n ,→−0 được gọi là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng α nếu nó nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng α.Một mặt phẳng có vô số vectơ pháp tuyến
Trang 1Chương 13
Phương pháp không gian toạ độ trong không gian
13.1 Hệ toạ độ trong không gian
Vấn đề 1 :Tìm tọa độ của một vectơ và các yếu tố liên quan đến vectơ thỏa mãn một số điều kiện cho trước
Bài 13.2 : Cho các vectơ −→a = (−3; 1; 2),→−b = (1; 3; 4), −→c = (−3; 2; 0).
1 Hãy xác định toạ độ các vectơ 3−→a , 3−→a − 2→−b , −→a − 3→−b + 2−→c
2 Hãy biểu diễn vectơ −→d = (−1; 0; 2) theo ba vectơ −→a ,→−b , −→c
Bài 13.3 : Cho hai vectơ −→a và −→b tạo với nhau một góc 120◦ Tìm |−→a +→−b
| và |−→a −→−b| biết |−→a| = 3, |→−b| = 5
Bài 13.4 : Cho vectơ −→a = (1;−3; 4).
1 Tìm y0và z0để cho vectơ −→b = (2; y0; z0)cùng phương với −→a
2 Tìm tọa độ của vectơ −→c biết rằng −→a và −→c ngược hướng và |−→c| = 2|−→a|
Bài 13.5 : Cho hình hộp ABCD.A′B′C′D′, biết A(1; 0; 1), B(2; 1; 2), D(1; −1; 1),C′(4; 5;−5) Tìm toạ độ các đỉnh còn lại của hìnhhộp
Bài 13.6 : Trong không gian Oxyz, xét hình hộp chữ nhật ABCD.A′B′C′D′, cạnh đáy bằng a, cạnh bên AA′= 2a, A(0; 0; 0), B(a; 0; 0),
D(0; a; 0) , A′(0; 0; 2a)
1 Xác định toạ độ các đỉnh còn lại
2 Xác định toạ độ −−−→DB′
3 Xác định toạ độ trung điểm M của đoạn BA′
4 Xác định toạ độ trọng tâm tam giác B′CD
Vấn đề 2 :Ứng dụng của tích vô hướng và tích có hướng
1 Sử dụng các công thức
Trang 2• V ABCD =1
6
[−−→AB,−−→AC].−−→AD
;
• d(AB, CD) =
[−−→AB, CD].−−→ −−→AC
−
→u →−u′
Chú ý : Với bài toán viết phương trình đường thẳng khi biết góc ta thường làm như sau :
• Giả sử −→u = (a; b; c) ,→−0 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng
• Từ các dữ kiện bài toán ta tìm được 2 phương trình chứa a, b, c.
• Xét hai trường hợp
– Nếu a = 0, thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
– Nếu a , 0, chọn a = 1 (hoặc một giá trị khác 0 bất kì), thay vào các điều kiện ta tìm được b, c.
Bài 13.125 : Tìm góc tạo bởi đường thẳng d : x + 1
Bài 13.127 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ là giao tuyến của hai mặt phẳng x − z sin α + cos α = 0 và
y − z cos α − sin α, với α là số thực Tính góc tạo bởi đường thẳng ∆ và trục Oz.
Bài 13.128 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng : ∆1là giao tuyến của hai mặt phẳng x − ay − z − 1 = 0 và
y− 2 = 0 ; ∆2là giao tuyến của hai mặt phẳng ax + 3y − a − 3 = 0 và z − 1 = 0.
Trang 19Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x + 4
−1 Gọi α, β, γ lần lượt là góc hợp bởi ∆
với các trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Chứng minh rằng cos2α + cos2β + cos2γ = 1
Chú ý :
• Khẳng định này còn đúng với đường thẳng ∆ bất kì
• Một khẳng định tương tự là thay đường thẳng ∆ bởi mặt phẳng (P) bất kì và góc α, β, γ lầ góc hợp bởi (P) với các mặt phẳng tọa
Tính số đo góc tạo bởi đường thẳng d và mặt phẳng (α).
Bài 13.133 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng d1là giao tuyến của hai mặt phẳng x + y − 2 = 0 và y + z − 2 = 0
; d2: x− 2
1 =z + 5
−1
Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng d1và tạo với đường thẳng d2một góc bằng 60◦
Bài 13.134 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng ∆ và tạo với mặt phẳng (α) một góc nhỏ nhất.
Vấn đề 8 :Phương trình đường thẳng biết đường thẳng đó song song, hoặc vuông góc với đường thẳng hoặc mặt phẳng
khác, hoặc nằm trên mặt phẳng khác
Dựa vào các quan hệ song song, vuông góc, nằm trong để xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng như trong vấn đề 1
Chú ý :
• Nếu ∆ ∥ ∆′thì −→u′∆cũng là một vectơ chỉ phương của ∆
• Nếu ∆⊥(P) thì −→n Pcũng là một vectơ chỉ phương của ∆
• Nếu ∆⊥∆′thì −→u′∆vuông góc với ∆
• Nếu ∆ ⊂ (P) hoặc ∆ ∥ (P) thì −→n Pvuông góc với ∆
• Khi viết phương trình theo trường hợp này phải kiểm tra tính song song hoặc nằm trong của đường thẳng cần viết
Bài 13.135 : Viết phương trình đường thẳng d trong các trường hợp sau :
1 Đi qua M(4; 3; 1) và song song với đường thẳng ∆ :
...Bài 13.82 : Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 4; 2) mặt phẳng (P) có phương trình : x + 2y + z − = 0.
1 Hãy tìm tọa độ hình chiếu vng góc A (P) Viết phương trình... 13.77 : Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, cho
(P) : 5x − 2y + 5z − = (Q) : x − 4y − 8z + 12 = 0.
Lập phương trình mặt phẳng (α) qua gốc tọa độ O, vuông góc... data-page="19">
Bài 13.131 : Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho đường thẳng ∆ : x + 4
−1 Gọi α, β, γ góc hợp ∆
với trục tọa độ Ox, Oy, Oz.
Chứng
