skkn hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8

4 Lý chọn đề tài: Trong thời kỳ đổi vấn đề đổi phương pháp dạy học Toán bậc THCS nhiệm vụ hàng đầu nghành giáo dục Việc vận dụng đổi phương pháp dạy học Toán năm qua giáo viên trường có thành cơng hạn chế khác Nhất việc dạy học phân mơn hình học có nhiều vấn đề cịn nhiều vướng mắc trừu tượng Chính thế, năm học qua tơi tìm hiểu thực trạng, ngun nhân khiến cho nhiều học sinh học yếu không đam mê phân mơn hình học giải pháp khắc phục Từng bước vận dụng giải pháp mà tìm thấy hiệu học tập học sinh có nâng dần Đối với học sinh THCS, có tốn mà khơng biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh việc giải tốn gặp nhiều khó khăn Bởi dạy phần diện tích đa giác, tơi quan tâm đến vấn đề này, có điều kiện để nêu cho học sinh , không bỏ qua Học sinh THCS biết sử dụng cơng thức diện tích để tính tốn em làm quen từ Tiểu học Nhưng làm để HS biết sử dụng chúng để chứng minh khơng đơn giản chút Sau tơi xin trình bày số kinh nghiệm kết hợp với vấn đề tìm tịi học hỏi để “Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học" Giới hạn : Học sinh lóp trường THCS Nguyễn Trãi – Đức Trọng Thời gian nghiên cứu: từ tháng 10 năm 2016 đến tháng 12 năm 2017 Phần II: Nội dung Thực trạng, tồn tại, hạn chế, ngun nhân chủ quan, khách quan,… Trong mơn hình học ta thường gặp tốn phải dùng diện tích hình giải Những tốn mà sử dụng diện tích thường GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi những toán tương đối khó, phức tạp Trong giải tốn có nhiều sử dụng phương pháp thơng thường để giải gặp nhiều khó khăn , song sử dụng diện tích hình để giải đơn giản nhiều Đối với khả học sinh cấp việc sử dụng diện tích hình để giải tốn có lợi ích rõ rệt học sinh giỏi Bởi sử dụng phương pháp diện tích hình dễ suy luận sáng tạo Nó cịn giúp ta giải dạng tốn hình học khác mà vận dụng kiến thức diện tích tuyệt vời có phương pháp diện tích giải Khi giải tốn hình học, học sinh ngại vẽ thêm đường phụ, học sinh khó tìm phương pháp giải toán Học sinh thường lầm tưởng diện tích sử dụng để tính tốn Ngồi có nhiều giáo viên chưa trọng đến phương pháp diện tích nghĩ khó học sinh, gặp đề thi kiểm tra, chưa quan tâm nhiều đến đối tượng học sinh khá, giỏi vơ tình làm triệt tiêu mầm non, nhân tài tốn học học sinh, lên lớp em thiệt thịi Vì người giáo viên phải đầu tư, nghiên cứu tìm phương pháp phù hợp để việc “dạy – học” đạt hiệu Vì nguyên nhân mà đưa số giải pháp nhỏ giải tập cách ứng dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học Những giải pháp để khắc phục hạn chế, tồn tại: Các tốn hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh trung học sở đa số nằm chương trình hình học lớp Đây phương pháp hiệu việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh Khi dạy nội dung chia làm phần sau: Phần 1: Chứng minh công thức diện tích Phần 2: Chứng minh bổ đề định lý: - Định lý Talet - Tính chất đường phân giác tam giác Phần 3: Ứng dụng vào giải tập cụ thể GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi Phần 1: Giới thiệu chứng minh cơng thức diện tích 1.1.Khái niệm tính chất diện tích đa giác: + Số đo phần mặt phẳng giới hạn đa giác gọi diện tích đa giác + Diện tích đa giác có tính chất sau: - Tính chất 1: Hai tam giác có diện tích - Tính chất 2: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác - Tính chất 3: Nếu chọn hình vng có cạnh 1cm, 1dm, 1m,… làm đơn vị đo diện tích đơn vị diện tích tương ứng là: 1cm2, 1dm2, 1m2, … 1.2 Công thức diện tích hình chữ nhật: S = a.b ( a;b hai kích thước hình chữ nhật) Chứng minh: Ta xét trường hợp a b số nguyên dương Giả sử: a = 7; b = đơn vị dài b Chia cạnh hình chữ nhật thành đoạn a Qua điểm chia vẽ đường thẳng song song với cạnh hình chữ nhật Ta 7x4 hình vng (cạnh có độ dài 1) Theo tính chất diện tích suy tất hình vng có diện tích Theo tính chất diện tích ta có: S = x 4, tức là: S = a.b (Cách chứng minh với a,b ∈ Q) 1.3.Cơng thức tính diện tích hình vng, tam giác vng a Hình vng trường hợp hình chữ nhật: S = a2 b Tam giác vuông: S = a.b Chứng minh: Cho tam giác vng ABD ( µA = 900 ) gọi S diện tích Vẽ hình chữ nhật ABCD nhận AB AD làm cạnh GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi D C b A a B Ta có ∆ ABD = ∆ CDB ( c-c-c) Nên SABCD = 2S (tính chất diện tích) Nhưng SABCD = AD.AB (diện tích hình chữ nhật) ⇒ S= 1 AD.AB = ba 2 1.4 Diện tích tam giác: S = a.h Chứng minh: Cho ∆ ABC gọi S diện tích Lấy cạnh tuỳ ý, chẳng hạn lấy cạnh BC vẽ đường cao AH ứng với cạnh Ta chứng minh: S= 1 BC.AH (tức S = a.h) Có trường hợp xảy ra: 2 A A h h B H C C B a H b A h C H B c a/ Điểm H nằm B C (Hình a) ∆ ABC chia thành tam giác vuông BHA CHA Ta có: SBHA = AH.BH (diện tích tam giác vng) SCHA = AH.CH (diện tích tam giác vng) SABC = 1 ( BH + HC) AH = BC.AH 2 Vậy b/ Điểm H nằm đoạn thẳng BC (Hình b) Giả sử C nằm B H Trong trường hợp , xem ∆ BHA chia thành tam giác ABC AHC khơng có điểm chung Do đó: SBAH = SABC + SACH (tính chất 2) Nhưng: SACH = AH.CH (diện tích tam giác vng) SABH = AH.BH (diện tích tam giác vng) 1 (BH –CH) AH = BC.AH 2 GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi Vậy : S ABC = c/ Điểm H trùng với đỉnh B hay C (Hình c) Giả sử H ≡ B Khi ∆ ABC vng B Ta có : S = 1 BC.AB = BC.AH 2 Ghi nhớ: Với AH, BK, CI đường cao ΔABC ta ln có: AH.BC = BK.AC = CI.AB 1.5 Diện tích hình thang: S= (a+ b) h Chứng minh: Cho hình thang ABCD (AB // CD) gọi AH đường cao, S diện tích Vẽ đường chéo AC ta hai tam giác ABC, ACD có chiều cao Do đó: SABCD = SADC + SACB ( tính chất 2) 1 DC.AH, SACB = AB.AH 2 Nhưng: SADC = Suy ra: SABCD = Vậy B a A h D H b C ( AB+DC).AH S= (a+b)h * Hình bình hành hình thang có hai đáy nên có S = a.h 1.6 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc : S= d1.d2 ( d1,d2: độ dài hai đường chéo) Chứng minh: B Cho tứ giác ABCD có AC ⊥ BD H Gọi S diện tích ABCD, ta có: S = SABC + SADC SABC = Vậy S = A C H D 1 BH.AC , SADC = DH.AC 2 1 AC(BH + DH) = AC.BD = d1.d2 2 * Diện tích hình thoi: S = d1.d2 Phần : Cung cấp thêm số cơng thức diện tích GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi Bổ đề 1: Nếu hai tam giác có chung đường cao tỉ số hai cạnh đáy tương ứng tỉ số diện tích hai tam giác Chứng minh: Gọi S1 S2 diện tích hai tam giác có chung đường cao h,hai cạnh đáy tương ứng có độ dài a1 a2 ah S1 a 1 = = (đpcm) Ta có : S1= a1h , S2 = a2h nên S2 a2 2 a2h Bổ đề 2: Nếu hai tam giác có hai cạnh đáy tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số diện tích hai tam giác Chứng minh: Gọi S1 S2 diện tích hai tam giác chung cạnh đáy có độ dài b, hai đường cao tương ứng la h1, h2 Ta có : S1 = S2 = bh2 2S bh1 ⇒ h1 = b 2S1 h 2S b = S1 ⇒ h2 = nên = (đpcm) h2 2S2 S2 b b 2.1 Chứng minh định lí Talet: A Cho ∆ ABC, DE//BC AD AE = AB AC D E C B Chứng minh: ΔADE ∆ ABE có chung đường cao kẻ từ E nên Hướng dẫn AD AE = AB AC AD SADE theo bổ đề ta có AB = S (1) ABE ΔAED ∆ ACD có chung đường cao kẻ từ SABE = SACD SABC – SBEC = SABC – SBDC AD SADE = AB SABE AE SAED = AC SACD AE S AED D nên theo bổ đề ta có : AC = S (2) ACD Ta lại có : SBEC = SBDC (chung đáy BC, đường cao tương ứng nhau) Nên SABC – SBEC = SABC – SBDC ⇒ SABE = SACD (3) GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi Từ (1) , (2) (3) suy AD AE = AB AC 2.2 Chứng minh tính chất phân giác tam giác Nếu AD phân giác ΔABC DB AB = DC AC Cách 1: Dùng định lý Talet để chứng minh (tham khảo SGK toán tập tr 66) Cách 2: Dùng diện tích để chứng minh Hướng dẫn: DB AB = DC AC DH AB SADB AB = = SADC AC DK AC DB SADB = DC SADC 1 Chứng SADB = minh: DH.AB, SADC = DK.AC ΔADC có chung đường cao kẻ từ A đến BC ΔADB DB S ADB Nên theo bổ đề ta có: DC = S ADC (1) Kẻ DH ⊥ AB; DK ⊥ AC DH.AB, SADC = DK.AC DH AB SADB AB = = Nên : (2) ( DH = DK ∆ ADH= ∆ ADK) SADC AC DK AC DB AB = Từ (1) (2) ⇒ DC AC Ta có : SADB = Phần 3: Ứng dụng vào giải toán cụ thể GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi Bài toán 1: Cho ∆ ABC cân A Gọi M điểm thuộc cạnh đáy BC Gọi MH, MK theo thứ tự đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi BI đường cao ∆ ABC Chứng minh MH+ MK = BI Giải : Đặt AB = AC = a Ta có Hướng dẫn 2SAMB 2SAMB = , AB a 2S 2S MK = AMC = AMC AC a MK+ MH = BI S AMC a S AMB a MH = S ABC a Do đó: MH + MK = = 2SAMB 2SAMC 2(SAMB + SAMC ) 2SABC + = = = BI a a a a Ghi nhớ: Đường cao h tam giác có diện tích S biểu thị h= 2S ( a cạnh đáy tương ứng) a Bài toán 2: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M tam giác ABC đến ba cạnh tam giác chiều cao tam giác Hướng dẫn MD + ME + MF = h a a a a MD + ME + MF = h 2 2 Giải : Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC, h đường cao tam giác Ta có: F SMBC + SMAC + SMAB = SABC B SMBC SMAC SMBA A E M D SABC a a a a => MD + ME + MF = h 2 2 => a a ( MD + ME + MF ) = h 2 => MD + ME + MF = h Ghi nhớ : Phải kẻ đường phụ MA, MB, MC để tạo tam giác MBC, MAC, MAB GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi C Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân A Điểm M thuộc tia đối tia BC Chứng minh hiệu khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AC AB đường cao ứng với cạnh bên tam giác ABC Giải : Đặt AB = AC = a , kẻ MH ⊥ AC , MK ⊥ AB, BI ⊥ AC Ta chứng minh MH – MK = BI Ta có : SMAC – SMAB = S ABC Hướng dẫn MH − MK = BI a a a MH − MK = BI 2 => SMAC – SMAB = SABC AC.MH AB.MK AC.BI − = 2 A A H M a a a => MH − MK = BI 2 a a => ( MH − MK ) = BI 2 => MH − MK = BI MB K B K Ghi nhớ: Sử dụng tính chất diện tích đa giác để có SMAC – SMAB = SABC Bài toán 4: Gọi O điểm nằm tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh OA' OB ' OC ' + + = AA' BB ' CC ' Hướng dẫn OA ' OB ' OC ' + + =1 AA ' BB ' CC ' A Giải: Kí hiệu : SABC = S, SOBC = S1, C' SOAC = S2, SOAB2 =B' S3 O B S1 S OA ' A' A S2 + S OB ' B'B + S3 S OC ' C 'C C A' OA' SOBA ' OA' SOCA ' Theo bổ đề ta có: AA' = S ; AA' = S ABA ' ACA ' Nên theo tính chất dãy tỉ số ta có: S +SOCA' S OA' = OBA' = AA' SABA' +SACA' S Trong đó: Do đó: H I S S OC ' OB' = 2; = BB' S CC' S OA' OB' OC' S1 S2 S3 S1 +S2 +S3 GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS+Nguyễn +Trãi = + + = =1 AA' BB' CC ' S S S S I C C Ghi nhớ: Có thể biểu thị tỷ số hai đoạn thẳng theo tỷ số diện tích hai tam giác Bài tốn 5: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) , đường chéo cắt O Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: OE = OF Hướng dẫn: B A OE =OF 1 OE(h1 + h2) = OF(h1 + h2) 2 N F E M H K O D C SOAD = SOBC Giải : Cách Kẻ AH , BK ,CN, DM vng góc với EF Đặt AH = BK = h1 ; CN = DM = h2 1 OE.h2 = SOEA + S OED = SOAD (1) 2 1 OF h1 + OF.h2 = SOFB + SOFC = SOBC (2) 2 Ta có : OE h1 + Ta lại có: SADC = SBDC ⇒ SADC – SODC = SBDC – SODC ⇒ SOAD = SOBC (3) Từ (1), (2) (3) suy : 1 OE (h1 + h2 ) = OF ( h1 + h2 ) 2 Do đó: OE =OF Ghi nhớ: Vẽ thêm đường cao để sử dụng công thức diện tích tam giác Cách 2: (Ký hiệu hình vẽ.) Hướng dẫn Ta có : SADC = SBDC , trừ S5 :S1 + S2 = S3 + S4 (1) Giả sử OE > OF S1 > S3 S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4 trái vơí (1) Giả sử OE < OF S1 < S3 S2 < STrãi GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn nên S1 + S2 < S3 + S4 trái vơí (1) Vậy OE = OF A B E O F D C Ghi nhớ: Có thể sử dụng phương pháp phản chứng kết hợp với phương pháp diện tích để chứng minh Bài tốn 6: Cho hình bình hành ABCD Điểm E tia đối tia BA, điểm F tia đối tia DA Nối BF DE cắt K Chứng minh diện tích tứ giác ABKD tổng diện tích hai tam giác CKE CKF Hướng dẫn B A Kẻ EM ⊥ CD, FN ⊥ BC E K SEKC + S FCK = SABKD C D N SABCD – SKCB SECD = SABCD SABCD – S KCD SFBC = SABCD M F Ghi nhớ: Phải kẻ thêm đường phụ EM FN để sử dụng cơng thức diện tích tam giác ECD,FBC Kết thực hiện: Sau thấy cơng thức diện tích khơng phải để tính diện tích mà chúng cịn có ích để giải nhiều toán chứng minh khác, học sinh thích thú, em tự giải tập theo phương pháp nói Qua đó, giúp học sinh vững tin vận dụng kiến thức cách sáng tạo để giải tập theo nhiều phương pháp khác Nó góp phần đáp GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi ứng yêu cầu nay, giúp cho HS học tập cách động hơn, khả ứng dụng phong phú Nó góp phần làm cho số lượng học sinh u thích mơn Tốn ngày tăng lên Sự u thích mơn giúp em thêm tích cực học tập tiến Giải pháp dần áp dụng từ năm học trước lớp dạy số nội dung kiến thức Tôi nhận thấy em nắm vững kiến thức học biết vận dụng phương pháp diện tích vào việc giải tập, em hứng thú với mơn học chất lượng dạy học nâng dần lên Cụ thể, tơi so sánh kết kiểm tra chương I hình học học sinh khối năm học vừa qua (tơi có áp dụng giải pháp) với kết kiểm tra chương I hình học năm học trước (khi chưa áp dụng giải pháp này) thu kết sau: Khi chưa áp dụng Khi áp dụng Giỏi 10% 29,7% Khá 15% 32,4% Tbình 35% 21,8% Yếu 28% 13,5% Kém 12% 2,7% Trong năm học này, áp dụng giải pháp lớp 8A1 sau thử cho tập sau kiểm tra phút để lấy kết * Nội dung tập khảo sát: Cho ΔABC vuông A, đường cao AH Chứng minh rằng: AH.BC=AB.AC ( Học sinh sử dụng cơng thức tính diện tích tam giác để chứng minh) Lớp SS 8A1 37 0-2,9 SL % 10.8 3,0-4,9 SL % 13.5 5,0-6,4 SL % 12 32.4 GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi 6,5-7,9 SL % 24.3 8,0-10,0 SL % 18.9 Sau thấy công thức diện tích khơng phải để tính diện tích mà chúng cịn có ích để giải nhiều tốn chứng minh khác, học sinh thích thú, em tự giải tập theo phương pháp nói Qua đó, giúp học sinh vững tin vận dụng kiến thức cách sáng tạo để giải tập theo nhiều phương pháp khác Nó góp phần đáp ứng yêu cầu nay, giúp cho HS học tập cách động hơn, khả ứng dụng phong phú Nó góp phần làm cho số lượng học sinh yêu thích mơn Tốn ngày tăng lên Sự u thích mơn giúp em thêm tích cực học tập tiến Bài học kinh nghiệm: Đây phương pháp suy luận khó diện đại trà nên SGK có đề cập lượng tập giành cho vấn đề cịn Nếu lí mà q trình giảng dạy GV lướt qua thiệt thịi cho đối tượng HS giỏi, thực tế cho thấy có tốn khơng sử dụng phương pháp việc chứng minh khó khăn Ngồi tập nêu cịn có số dạng khác thời gian lớp không cho phép GV hướng dẫn học sinh kĩ phương pháp Bởi khơng tổ chức hình thức học GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi tập thích hợp khơng thể khuyến khich HS tích cực tự giác tham gia tự học, tự rèn bổ sung kiền thức, hỗ trợ thêm cho việc tiếp thu lớp tốt Kết luận: Trong trình giảng dạy tơi ln tìm tịi phương pháp giải phù hợp cho học sinh khai thác phương pháp để học sinh vận dụng cách linh hoạt vào tập khác Trong chứng minh hình học, học sinh sợ toán phải vẽ thêm đường phụ không để ý áp dụng công thức diện tích hình (tam giác, tứ giác, đa giác) Do học sinh vẽ từ đâu, vẽ để làm Qua tốn giúp học sinh định hướng vẽ đường phụ nhằm tạo tam giác để sử dụng cơng thức diện tích chứng minh Qua thực tế thân áp dụng phương pháp diện tích hình (tam giác, tứ giác, đa giác) chứng minh tốn hình học chương trình lớp để dạy học sinh giỏi, thấy học sinh tiếp thu hào hứng mạnh dạn suy nghĩ theo hướng dùng diện tích để giải toán Để đạt hiệu cao ngồi phương pháp dạy tốt giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu phương pháp diện tích phần miềm giảng dạy sketchpad, mathcad Bên cạnh kết hợp với phương tiện dạy học máy chiếu, hình ảnh trực quan … học sinh động gần gũi với thực tế Nhờ học sinh học sinh lĩnh hội kiến thức cách tốt hơn, kết giảng dạy cao Trên giải pháp giảng dạy phương pháp diện tích chứng minh hình học Rất mong góp ý đồng nghiệp Liên Nghĩa, ngày 25 tháng năm 2018 Người báo cáo (Ký, ghi rõ họ tên) GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi Bạch Long Hùng Ý KIẾN CỦA BAN GIÁM HIỆU ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… HỘI ĐỒNG XÉT DUYỆT SÁNG KIẾN CẤP HUYỆN ĐÁNH GIÁ, NHẬN XÉT ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi  Tài liệu tham khảo: Phan Văn Đức - Nguyễn Hoàng Khanh - Lê Văn Trường , Bồi dưỡng phát triển tốn hình học 8, Nhà xuất Đà Nẳng Nguyễn Để - Nguyễn Việt Hải - Hồng Đức Chính, Các tập tốn diện tich đa giác, Nhà xuất giáo dục 1996 Huỳnh cơng bằng, phương pháp diện tích 500 toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8.- Nhà xuất ĐHSP Tốn nâng cao hình học – Nhà xuất giáo dục Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở – Nhà xuất Giáo dục GV: Bạch Long Hùng – Trường THCS Nguyễn Trãi  ... rõ rệt học sinh giỏi Bởi sử dụng phương pháp diện tích hình dễ suy luận sáng tạo Nó cịn giúp ta giải dạng tốn hình học khác mà vận dụng kiến thức diện tích tuyệt vời có phương pháp diện tích. .. tại: Các tốn hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh trung học sở đa số nằm chương trình hình học lớp Đây phương pháp hiệu việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh Khi dạy... tốn hình học, học sinh ngại vẽ thêm đường phụ, học sinh khó tìm phương pháp giải tốn Học sinh thường lầm tưởng diện tích sử dụng để tính tốn Ngồi có nhiều giáo viên chưa trọng đến phương pháp diện