Skkn hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8

SÔÛ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO LAÂM ÑOÀNG GPHI Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích trong chứng minh hình học lớp 8 Phần một MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thời kỳ đổi mới hiện nay vấn đề đổ[.]

GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Phần một: MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong thời kỳ đổi vấn đề đổi phương pháp dạy học Toán bậc THCS nhiệm vụ hàng đầu nghành giáo dục Việc vận dụng đổi phương pháp dạy học Toán năm qua giáo viên trường có thành cơng hạn chế khác Nhất việc dạy học phân mơn hình học có nhiều vấn đề cịn nhiều vướng mắc trừu tượng Chính thế, năm học qua tơi tìm hiểu thực trạng, ngun nhân khiến cho nhiều học sinh học yếu không đam mê phân mơn hình học giải pháp khắc phục Từng bước vận dụng giải pháp mà tìm thấy hiệu học tập học sinh có nâng dần Mơn tốn mơn học phong phú đa dạng, niềm say mê người u thích tốn học Đối với học sinh để có vốn kiến thức vững chắc, đòi hỏi phải phấn đấu rèn luyện, học hỏi nhiều bền bỉ Đối với giáo viên làm để trang bị cho em đủ kiến thức? Đó câu hỏi mà giáo viên đặt cho thân Đối với học sinh THCS, có tốn mà khơng biết sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh việc giải tốn gặp nhiều khó khăn Bởi dạy phần diện tích đa giác, tơi quan tâm đến vấn đề này, có điều kiện để nêu cho học sinh , không bỏ qua Học sinh THCS biết sử dụng cơng thức diện tích để tính tốn em làm quen từ Tiểu học Nhưng làm để HS biết sử dụng chúng để chứng minh khơng đơn giản chút Sau tơi xin trình bày số kinh nghiệm kết hợp với vấn đề tìm tịi học hỏi để “Giúp học sinh biết sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học" Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Phần hai: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Cơ sở lý luận: Ở tiểu học, học sinh học diện tích hình chữ nhật, hình vng, hình tam giác … Các cơng thức diện tích hình nói chủ yếu em ứng dụng việc giải tập tính tốn có liên quan đến diện tích Lên đến THCS, HS lớp lại tiếp tục học diện tích hình diện rộng sâu Tới đây, ta cần cho học sinh thấy ngồi ứng dụng tính tốn, cơng thức tính diện tích cịn cho ta mối quan hệ độ dài đoạn thẳng, chúng có ích số toán chứng minh đại số hình học Cơ sở thực tiễn: Phân mơn hình học xem môn học khiếu Nếu học sinh khơng có khiếu phân tích, óc quan sát, trí tưởng tượng khơng thể tự phát vấn đề giải vấn đề Đa số học sinh học yếu mơn Tốn Hình học nói riêng em hổng kiến thức từ lớp dưới, đặc trưng mơn Tốn mơn hệ thống kiến thức xây dựng lên xây tường Có học sinh lười học dẫn đến học yếu Mà nguyên nhân chủ yếu em không nghe giảng bài, ghi chép không đầy đủ, khơng làm tập, … Có em lười học trốn tiết liên tục dẫn đến kiến thức bị hụt hỏng không làm tập dẫn đến chán học II THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU: Khi giải tốn hình học, học sinh ngại vẽ thêm đường phụ,học sinh khó tìm phương pháp giải tốn.Vì người giáo viên phải đầu tư, nghiên cứu tìm phương pháp phù hợp để việc “dạy – học” đạt hiệu Vì nguyên nhân mà đưa số giải pháp Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp nhỏ giải tập cách ứng dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Các giải pháp: Các tốn hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng minh trung học sở đa số nằm chương trình hình học lớp Đây phương pháp hiệu việc bồi dưỡng, nâng cao kiến thức cho học sinh Khi dạy nội dung chia làm phần sau: Phần 1: Chứng minh cơng thức diện tích Phần 2: Chứng minh bổ đề định lý: - Định lý Talet - Tính chất đường phân giác tam giác Phần 3: Ứng dụng vào giải tập cụ thể Phần 1: Giới thiệu chứng minh cơng thức diện tích 1.1.Khái niệm tính chất diện tích đa giác: + Số đo phần mặt phẳng giới hạn đa giác gọi diện tích đa giác + Diện tích đa giác có tính chất sau: - Tính chất 1: Hai tam giác có diện tích - Tính chất 2: Nếu đa giác chia thành đa giác khơng có điểm chung diện tích tổng diện tích đa giác - Tính chất 3: Nếu chọn hình vng có cạnh 1cm, 1dm, 1m,… làm đơn vị đo diện tích đơn vị diện tích tương ứng là: 1cm2, 1dm2, 1m2, … 1.2 Cơng thức diện tích hình chữ nhật: S = a.b ( a;b hai kích thước hình chữ nhật) Chứng minh: Ta xét trường hợp a b số nguyên dương Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Giả sử: a = 7; b = đơn vị dài Chia cạnh hình chữ nhật b thành đoạn Qua điểm chia vẽ đường thẳng a song song với cạnh hình chữ nhật Ta 7x4 hình vng (cạnh có độ dài 1) Theo tính chất diện tích suy tất hình vng có diện tích Theo tính chất diện tích ta có: S = x 4, tức là: S = a.b (Cách chứng minh với a,b  Q+) 1.3.Cơng thức tính diện tích hình vng,tam giác vng a Hình vng trường hợp hình chữ nhật: S = a2 b Tam giác vuông: S = a.b Chứng minh: Cho tam giác vuông ABD ( A = 900 ) gọi S diện tích Vẽ hình chữ nhật ABCD nhận AB AD làm cạnh D Ta có  ABD =  CDB ( c-c-c) Nên C b SABCD = 2S (tính chất diện tích) A a B Nhưng SABCD = AD.AB (diện tích hình chữ nhật)  S 1 AD.AB  ba 2 1.4 Diện tích tam giác: S = a.h Chứng minh: Cho  ABC gọi S diện tích Lấy cạnh tuỳ ý, chẳng hạn lấy cạnh BC vẽ đường cao AH ứng với cạnh Ta chứng minh: Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp S= 1 BC.AH (tức S = a.h) Có trường hợp xảy ra: 2 A A h h B H C C B a H A h C H B b c a/ Điểm H nằm B C (Hình a)  ABC chia thành tam giác vuông BHA CHA Ta có: SBHA = AH.BH (diện tích tam giác vuông) SCHA = Vậy SABC = AH.CH (diện tích tam giác vng) 1 ( BH + HC) AH = BC.AH 2 b/ Điểm H nằm ngồi đoạn thẳng BC (Hình b) Giả sử C nằm B H Trong trường hợp , xem  BHA chia thành tam giác ABC AHC khơng có điểm chung Do đó: SBAH = SABC + SACH (tính chất 2) Nhưng: SACH = AH.CH (diện tích tam giác vng) SABH = Vậy : S ABC = AH.BH (diện tích tam giác vng) 1 (BH –CH) AH = BC.AH 2 c/ Điểm H trùng với đỉnh B hay C (Hình c) Giả sử H  B Khi  ABC vng B Ta có : S = 1 BC.AB = BC.AH 2 1.5 Diện tích hình thang: S = (a+ b) h Chứng minh: Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Cho hình thang ABCD (AB // CD) gọi AH đường cao, S diện tích Vẽ đường chéo AC ta hai tam giác ABC, ACD có chiều cao Do đó: SABCD = SADC + SACB ( tính chất 2) 1 DC.AH, SACB = AB.AH 2 Nhưng: SADC = Suy ra: SABCD = Vậy a A B h D H C b ( AB+DC).AH S= (a+b)h * Hình bình hành hình thang có hai đáy nên có S = a.h 1.6 Diện tích tứ giác có hai đường chéo vng góc : S= d1.d2 ( d1,d2: độ dài hai đường chéo) Chứng minh: B Cho tứ giác ABCD có AC  BD H A Gọi S diện tích ABCD, ta có: S = SABC + SADC SABC = Vậy S = C H D 1 BH.AC , SADC = DH.AC 2 1 AC(BH + DH) = AC.BD = d1.d2 2 * Diện tích hình thoi: S = d1.d2 Phần : Chứng minh bổ đề định lí Bổ đề 1: Nếu hai tam giác có chung đường cao tỉ số hai cạnh đáy tương ứng tỉ số diện tích hai tam giác Chứng minh: Gọi S1 S2 diện tích hai tam giác có chung đường cao h,hai cạnh đáy tương ứng có độ dài a1 a2 Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp ah S1 a 1   (đpcm) Ta có : S1= a1h , S2 = a2h nên S2 a2 2 a2h Bổ đề 2: Nếu hai tam giác có hai cạnh đáy tỉ số hai đường cao tương ứng tỉ số diện tích hai tam giác Chứng minh: Gọi S1 S2 diện tích hai tam giác chung cạnh đáy có độ dài b, hai đường cao tương ứng la h1, h2 Ta có : S1 = 2S bh1  h1 = b 2S1 h1 S 2S2 b S2 = bh2  h2  nên  2S  (đpcm) h2 S2 b b 2.1 Chứng minh định lí talet: A AD AE  Cho  ABC, DE//BC AB AC Chứng minh: D B E C  ADE  ABE có chung đường cao kẻ từ E nên theo bổ đề ta có AD SADE  (1) AB SABE  AED  ACD có chung đường cao kẻ từ D nên theo bổ đề ta có : AE SAED  (2) AC SACD Ta lại có : SBEC = SBDC (chung đáy BC, đường cao tương ứng nhau) Nên SABC – SBEC = SABC – SBDC  SABE = SACD (3) Từ (1) , (2) (3) suy AD AE  AB AC 2.2 Chứng minh tính chất phân giác tam giác Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp DB AB  DC AC Nếu AD phân giác ΔABC Cách 1: Dùng định lý Talet để chứng minh ( tham khảo SGK toán tập trang 66) Cách2: Dùng diện tích để chứng minh Chứng minh: ΔADB ΔADC có chung đường cao kẻ từ A đến BC DB S ADB Nên theo bổ đề ta có: DC  S ADC A (1) Kẻ DH  AB; DK  AC Ta có : SADB = 1 DH.AB, SADC = DK.AC 2 K H B C D DH AB SADB AB   Nên : (2) ( DH = DK  ADH =  ADK) SADC AC DK AC Từ (1) (2)  DB AB  DC AC Phần 3: Ứng dụng vào giải toán cụ thể Bài toán 1: Cho  ABC cân A Gọi M điểm thuộc cạnh đáy BC Gọi MH, MK theo thứ tự đường vng góc kẻ từ M đến AB, AC Gọi BI đường cao  ABC Chứng minh MH+ MK = BI A Giải : I Đặt AB = AC = a Ta có MH = 2S 2S 2SAMB 2SAMB  , MK = AMC  AMC AB a AC a Do đó: MH + MK = K H B C M 2SAMB 2SAMC 2(SAMB  SAMC ) 2SABC     BI a a a a Ghi nhớ: Đường cao h tam giác có diện tích S biểu thị h = 2S a ( a cạnh đáy tương ứng) Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Bài toán 2: Chứng minh tổng khoảng cách từ điểm M tam giác ABC đến ba cạnh tam giác chiều cao tam giác Giải : A Gọi a độ dài cạnh tam giác ABC, h đường cao tam giác F E M Ta có: SMBC + SMAC + SMAB = SABC B C D a a a a a a MD  ME  MF  h  (MD  ME  MF )  h 2 2 2  MD  ME  MF  h Ghi nhớ : Phải kẻ đường phụ MA, MB, MC để tạo tam giác MBC, MAC, MAB Bài toán 3: Cho tam giác ABC cân A Điểm M thuộc tia đối tia BC Chứng minh hiệu khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng AC AB đường cao ứng với cạnh bên tam giác ABC Giải : Đặt AB = AC = a , kẻ MH  AC , MK  AB, BI  AC Ta chứng minh MH – MK = BI A Ta có : SMAC – SMAB = S ABC AC AB AC a a a  MH  MK  BI  MH  MK  BI 2 2 2 a a  (MH  MK )  BI  MH  MK  BI 2 H I M C B K Ghi nhớ: Sử dụng tính chất diện tích đa giác để có S MAC – SMAB = SABC Bài tốn 4: Cho hình bình hành ABCD Các điểm M, N theo thứ tự thuộc cạnh AB, BC cho AN = CM Gọi K giao điểm AN CM Chứng minh rằng: KD tia phân giác góc AKC Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Giải : Kẻ DH  KA, DI  KC A H M B K Ta có: DH.AN = SADN (1) ; DI CM = SCDM (2) Ta lại có: I D N C SADN = SABCD (tam giác hình bình hành có chung đáy AD, đường cao tương ứng nhau) SCDM = SABCD (Tam giác hình bình hành có chung đáy CD, đường cao tương ứng nhau) Nên : SADN = SCDM (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: DH.AN = DI CM Do AN = CM nên DH = DI Do KD tia phân giác Ghi nhớ: Các đường vuông góc DH, DI vẽ thêm có liên hệ với đoạn thẳng cho AN, CM công thức diện tích tam giác Bài tốn 5: Gọi O điểm nằm tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’, C’ Chứng minh OA' OB ' OC '    AA' BB ' CC ' Giải: Kí hiệu : SABC = S, SOBC = S1, SOAC = S2, SOAB = S3 A OA' SOBA' OA' SOCA' Theo bổ đề ta có: AA'  S ; AA'  S ABA ' ACA ' C' Nên theo tính chất dãy tỉ số ta có: S  SOCA' S OA'  OBA'  AA' SABA'  SACA' S Trong đó: B' O B A' S S OC ' OB'  2;  BB' S CC ' S Trang 10 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn C GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Do đó: OA' OB' OC' S1 S2 S3 S1  S2  S3       1 AA' BB' CC' S S S S Ghi nhớ: Có thể biểu thị tỷ số hai đoạn thẳng theo tỷ số diện tích hai tam giác Bài tốn 6: Gọi O điểm nằm tam giác ABC Các tia AO, BO, CO cắt cạnh BC, AC, AB theo thứ tự A’, B’ , C’ Chứng minh rằng: AC ' BA' CB ' 1 C ' B A'C B ' A BA' SBAA' BA' SBOA '   ; A'C SCAA' A'C SCOA ' Giải: Theo bổ đề1: Nên theo tính chất dãy tỷ số nhau: BA' SBAA'  SBOA ' S3   A'C SCAA'  SCOA' S4 AC ' S2 CB ' S1 Tương tự: C 'B  S ; B ' A  S Do đó: AC ' BA' CB ' S2 S S1  1 C ' B A'C B ' A S1 S2 S Ghi nhớ: Có thể biểu thị tỷ số hai đoạn thẳng theo tỷ số diện tích hai tam giác Bài tốn 7: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) , đường chéo cắt O Qua O, kẻ đường thẳng song song với hai đáy cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: OE = OF B A Giải : Cách Kẻ AH , BK ,CN, DM vng góc với EF M F E H O N K Đặt AH = BK = h1 ; CN = DM = h2 D C Trang 11 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Ta có : OE h1 + OE.h2 = SOEA + S OED = SOAD (1) 1 OF h1 + OF.h2 = SOFB + SOFC = SOBC (2) 2 Ta lại có: SADC = SBDC  SADC – SODC = SBDC – SODC  SOAD = SOBC (3) Từ (1), (2) (3) suy : 1 OE (h1 + h2 ) = OF ( h1 + h2 ) 2 Do đó: OE =OF Ghi nhớ: Vẽ thêm đường cao để sử dụng cơng thức diện tích tam giác Cách 2: (Ký hiệu hình vẽ.) Ta có : SADC = SBDC , trừ S5 :S1 + S2 = S3 + S4 (1) Giả sư OE > OF S1 > S3 S2 > S4 nên S1 + S2 > S3 + S4 trái vơí (1) Giả sử OE < OF S1 < S3 S2 < S4 nên S1 + S2 < S3 + S4 trái vơí (1) Vậy OE = OF Ghi nhớ: Có thể sử dụng phương pháp phản chứng kết hợp với phương pháp diện tích để chứng minh Bài tốn : Cho tam giác ABC vuông A Các tia phân giác góc B C cắt I Kẻ IK vng góc với BC (K  BC) Chứng minh rằng: KB.KC = AB.AC Giải : (Hình 15) Kẻ ID  AB, IE  AC Ta có : IK = ID = IE đặt chúng r Đặt KB = m, KC = n, ta có :BD = m, CE = n Tứ giác ADIE hình vng AD = AE = r Trang 12 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Ta có : AB AC= (m +r ) (n +r ) = mn + mr + nr + r2 (1) Ta thấy : mr = 2S1 , nr =2 S2 , r2 = S3 Và 2S1 + 2S2 + S3 = SABC = nên : mr +nr + r2 = AB.AC AB.AC (2) Từ (1) (2) suy : AB.AC = mn + Vậy mn = AB.AC AB.AC Ghi nhớ : Có thể biểu thị tích độ dài hai đoạn thẳng theo diện tích tam giác Bài tốn 9: Cho hình bình hành ABCD Điểm E tia đối tia BA, điểm F tia đối tia DA Nối BF DE cắt K Chứng minh diện tích tứ giác ABKD tổng diện tích hai tam giác CKE CKF Giải: Kẻ EM  CD, FN  BC 1 SECD = EM CD = SABCD 2  SECK = SABCD – S KCD (1) 2 SFBC = FN BC = SABCD  SFKC = B A E K C D N M F SABCD – SKCB (2) Từ (1) (2) suy : SFKC + S ECK = ( 1 SABCD + SABCD ) –( SKCD + SKCB ) = SABKD 2 Ghi nhớ: Phải kẻ thêm đường phụ EM FN để sử dụng công thức diện tích tam giác ECD,FBC Trang 13 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Bài toán 10: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH Trên AB,AC lấy K,L cho: AK = AH = AL Chứng minh rằng: SAKL  SABC B Giải: Ta có : SAKL = 1 AK.AL = AH2 (1) 2 SABC = AH.BC H K M (2) A C L Gọi M trung điểm BC, ta có: BM = MC = AM suy BC = 2AM Mặt khác ta có AM  AH (đường vng góc đường xiên) Từ suy ra: 2AH  BC (3) Từ (1),(2) (3) suy SAKL  SABC Ghi nhớ: Khi dùng công thức diện tích tam giác phải linh hoạt Bài tốn 11: Từ điểm M nằm tam giác ABC, kẻ tia Mx,My,Mz theo thứ tự vng góc cắt với BC,AC,AB Lần lượt lấy A1,B1,C1 cho MA1 = BC, MB1 = CA, MC1 = AB Chứng minh rằng: M trọng tâm tam giác A1B1C1 A2 y Giải: Trên tia đối tia Mx lấy điểm A2 cho : z B1 A C1 MA2= MA1= BC M C B Ta có : Vậy  A2MB1 =  BCA SA MB = SBCA A1 x Mặt khác: SA MB  SAMB 1 Nên SA MB  SABC 1 Tương tự: SB MC  SABC , SC MA  SABC 1 1 Trang 14 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Vậy ba tam giác A1MB1 , B1MC1, C1MA1 có diện tích Do M trọng tâm  A1B1C1 Ghi nhớ: Phải lấy thêm điểm A2 Kết đạt được: Sau thấy công thức diện tích khơng phải để tính diện tích mà chúng cịn có ích để giải nhiều tốn chứng minh khác, học sinh thích thú, em tự giải tập theo phương pháp nói Qua đó, giúp học sinh vững tin vận dụng kiến thức cách sáng tạo để giải tập theo nhiều phương pháp khác Nó góp phần đáp ứng yêu cầu nay, giúp cho HS học tập cách động hơn, khả ứng dụng phong phú Nó góp phần làm cho số lượng học sinh u thích mơn Tốn ngày tăng lên Sự u thích mơn giúp em thêm tích cực học tập tiến Phần ba: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ I KẾT LUẬN: Trong q trình giảng dạy tơi ln tìm tịi phương pháp giải phù hợp cho học sinh khai thác phương pháp để học sinh vận dụng cách linh hoạt vào tập khác Trong chứng minh hình học, học sinh sợ tốn phải vẽ thêm đường phụ khơng để ý áp dụng cơng thức diện tích hình (tam giác, tứ giác, đa giác) Do học sinh vẽ từ đâu, vẽ để làm Qua toán giúp học sinh định hướng vẽ đường phụ nhằm tạo tam giác để sử dụng cơng thức diện tích chứng minh Qua thực tế thân tơi áp dụng phương pháp diện tích hình (tam giác, tứ giác, đa giác) chứng minh tốn hình học chương trình lớp để dạy học sinh giỏi, thấy học sinh tiếp thu hào hứng mạnh dạn suy nghĩ theo hướng dùng diện tích để giải tốn Trang 15 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp II KIẾN NGHỊ: Để đạt hiệu cao phương pháp dạy tốt giáo viên phải thường xuyên nghiên cứu thêm tài liệu phương pháp diện tích phần miềm giảng dạy sketchpad, mathcad Bên cạnh kết hợp với phương tiện dạy học máy chiếu, hình ảnh trực quan … học sinh động gần gũi với thực tế Nhờ học sinh học sinh lĩnh hội kiến thức cách tốt hơn, kết giảng dạy cao Hiện đồ dùng dạy học mơn hình học thiếu nhiều Vậy kính mong cấp cần trang bị nhiều đồ dùng dạy học môn Trên giải pháp giảng dạy phương pháp diện tích chứng minh hình học Rất mong góp ý đồng nghiệp Liên Nghĩa, ngày 10 tháng 10 năm 2017 Người viết Bạch Long Hùng Trang 16 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp V/ PHỤ LỤC: Tham khảo tài liệu : 1/ Sách giáo khoa toán – Tập – nhà xuất Giáo dục năm 2003 2/ Sách giáo khoa toán – Tập – nhà xuất Giáo dục năm 2003 3/ Sách Hình Học – Nhà xuất Giáo dục – 1998 4/ 500 toán chọn lọc bồi dưỡng học sinh giỏi toán 8.- Nhà xuất ĐHSP 5/ Toán nâng cao hình học – Nhà xuất giáo dục 6/ Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi trung học sở – Nhà xuất Giáo dục Bài toán 10: Cho tam giác ABC, đường cao AH , cạnh BC = a Hình chữ nhật MNPQ có đỉnh nằm cạnh hình tam giác ABC.(M  AB , N  AC, P Q  BC ) Hãy xác định vị trí M cạnh AB cho diện tích hình chữ nhật MNPQ đạt giá trị lớn nhất, tính giá trị lớn Trang 17 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Giải : NP = x , MN = y , KH = x , AK= h-x 1 y (h-x ) + (a+y ) x 2 SABC = SAMN + S BMNC  ah = A  ah = hy –xy + ax + xy h-x  ah = hy + ax M Vì y N x h(a  y) x= a SMNPQ = xy = K B Q x H P h h (a –y ) y = (ay – y2 ) a a h không đổi nên SMNPQ lớn ay – y2 lớn a Ta có : ay –y2 = - ( y2 – ay + a2 a2  )= 4  a a2  a a2 a2  - (y  )   = -(y - ) + 4 4   Giá trị lớn ay – y2 = a2  Giá trị lớn SMNPQ = Khi y = h a2 ah  a 4 a  MN  BC 2  MN đường trung bình tam giác ABC (vì MN // BC ) Vậy giá trị lớn SMNPQ = ah M trung điểm AB Ghi nhớ : Sử dụng tích chất diện tích đa giác để có SABC = SAMN + S BMNC Bài toán 11: Cho tứ giác ABCD Các đường thẳng AB CD cắt M, đường thẳng AD BC cắt N Gọi I,J,K theo thứ tự trung điểm BD,AC,MN Chứng minh I,J,K thẳng hàng Trang 18 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn C GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp N Giải: Ta có: A SNIJ = SNDC – SNDI – SNJC – SCIJ - SCID = SNDC = S ABCD = J 1 1 - SNBD - SNAC - SAIC - SCBD 2 2 = SNDC – SNAB - K B I D M C 1 1 SABD - SABC - (SADC – SADIC) - SCBD 2 2 1 (SABD + SBCD) + SABCD - (SABC + SADC) SABCD Tương tự: SMIJ = SABCD Vậy SNIJ = SMIJ Do khoảng cách từ M N tới IJ Mặt khác M N nằm hai phía IJ, nên IJ qua trung điểm MN Ghi nhớ: Hai tam giác có diện tích mà có chung cạnh khoảng cách từ hai đỉnh đối diện với cạch chung Bài tốn 12: Cho góc xOy.Hai điểm A,B thuộc Ox Hai điểm C,D thuộc Oy Tìm tập hợp điểm M nằm góc xOy cho hai tam giác MAB MCD có diện tích Giải: Lấy E F Ox,Oy cho: OE = AB; OF = CD Gọi I trung điểm EF Ta có: SMAB = SMCD  SMOE = SMOF   MOE =  MOF Mà SMOE = x B SOEMF A  SMOE = SMOF  O,I,M thẳng hàng Vậy tập hợp điểm M tia OI E M I O F C D y Trang 19 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Ghi nhớ: * Hai tam giác diện tích diện tích * SMOE = SMOF  O,I,M thẳng hàng Bài tốn13: Cho tứ giác ABCD ngoại tiếp đường trịn (I) Gọi M,N trung điểm đường chéo AC,BD Chứng minh ba điểm M,N,I thẳng hàng Giải: Tương tự 12, trước hết chứng minh tập hợp điểm K cho : SKAB + SKCD = SABCD (không đổi) thuộc đường thẳng (1) Ta có: SNAB = 1 SABD , SNCD = SBCD 2 Suy ra: SNAB + SNCD = SMAB = SABC SABCD (2) Và SMCD = SACD SABCD (3) Do : SMAB + SMCD = Do tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) nên AB + CD = AD + BC SIAB = SICD = SIAD = SIBC Do : SIAB + SICD = SABCD (4) Từ (2),(3) (4) suy N,M,I thuộc quỹ tích nói (1) Do chúng thẳng hàng Ghi nhớ: Do tứ giác ABCD ngoại tiếp đường tròn (I) nên AB + CD = AD + BC => SIAB = SICD = SIAD = SIBC Trang 20 Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn ...GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Phần hai: NỘI DUNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN: Cơ sở lý luận: Ở tiểu học, học sinh học diện tích hình chữ nhật, hình. .. minh hình học lớp nhỏ giải tập cách ứng dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học III CÁC GIẢI PHÁP VÀ KẾT QUẢ ĐẠT ĐƯỢC: Các giải pháp: Các tốn hình học sử dụng phương pháp diện tích để chứng. .. Chứng minh: Trang Người thực hiên: Bạch Long Hùng skkn GPHI: Hướng dẫn học sinh sử dụng phương pháp diện tích chứng minh hình học lớp Cho hình thang ABCD (AB // CD) gọi AH đường cao, S diện tích