Bài toán về zero mode của toán tử Weyl-Dirac

LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành trường Đại học sư phạm Hà Nội hướng dẫn tận tình TS Tạ Ngọc Trí, người thầy hướng dẫn truyền cho tác giả kinh nghiệm quý báu học tập nghiên cứu khoa học Thầy động viên khích lệ để tác giả vươn lên học tập vượt qua khó khăn chuyên môn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc thầy Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, phòng Sau đại học, thầy cô giáo nhà trường thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập Tác giả xin chân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, thầy cô giáo, bạn bè đồng nghiệp trường Dự bị đại học dân tộc Trung Ương Việt Trì, Phú Thọ quan tâm, động viên tạo điều kiện để tác giả hoàn thành khóa học Thạc sĩ hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Lê Thị Ngọc Phượng i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Luận văn công trình nghiên cứu riêng hướng dẫn Tiến sĩ Tạ Ngọc Trí Trong trình nghiên cứu, kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, ngày 20 tháng năm 2011 Tác giả Lê Thị Ngọc Phượng ii Mục lục Mở đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian Hilbert 1.1.2 Không gian Sobolev 1.1.3 Lớp Schwartz 1.1.4 Trường vector 1.2 Toán tử tuyến tính bị chặn Phổ toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.1 Toán tử tuyến tính bị chặn 1.2.2 Phổ toán tử tuyến tính bị chặn 13 1.3 Toán tử tuyến tính không bị chặn Phổ toán tử tuyến tính không bị chặn 19 1.3.1 Toán tử tuyến tính không bị chặn 19 1.3.2 Phổ toán tử tuyến tính không bị chặn 22 1.4 Định lý Kato - Rellic 22 Ví dụ zero mode phương pháp thứ M Loss H T Yau 24 iii 2.1 Ma trận Pauli 24 2.2 Toán tử Weyl - Dirac 25 2.3 Zero mode toán tử Weyl-Dirac 33 2.4 Bài toán zero mode 34 2.5 Phương pháp thứ xây dựng zero mode M Loss H.T Yau 35 2.6 Ví dụ zero mode M Loss H T Yau 36 2.7 Một số kết C Adam, B Muratori C Nash 38 2.8 Tư tưởng L Erd¨os, J P Solovej nghiên cứu zero mode 44 2.8.1 Lớp từ trường 45 2.8.2 Cách xây dựng 46 2.9 Một số kết khác 49 Ví dụ zero mode phương pháp thứ hai M Loss H T Yau 52 3.1 Phương pháp thứ hai xây dựng zero mode M Loss H.T Yau 53 3.2 Các ví dụ D M Elton 55 Kết luận 78 Tài liệu tham khảo 78 iv BẢNG KÍ HIỆU R3 không gian Euclid 3-chiều C Tập số phức i đơn vị ảo C∞ tập hàm trơn có giá compact C∞ tập hàm trơn L2 (R3 ) không gian hàm bình phương khả tích R3 H (R) không gian Sobolev x chuẩn véc tơ x S2 hình cầu đơn vị R3 S3 hình cầu đơn vị R4 kerA nhân toán tử A DimX số chiều không gian vec tơ X SpecA phổ toán tử A DomA Miền xác định toán tử A RanA Miền giá trị toán tử A p = −i toán tử momen động lượng p2 = − toán tử Laplace x = (x1 , x2 , x3 ) điểm R3 u×v tích có hướng hai vector u, v kết thúc chứng minh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Khái niệm “zero mode toán tử Weyl-Dirac” thực tế xuất phát từ Vật lý Nó xuất vào năm 1986 nhóm nhà Vật lý lý thuyết đứng đầu Fr¨ohlich xét ổn định nguyên tử Hydro môi trường từ tính Họ xét đến phương trình Hamilton: H = (p − A)2 − σ.B − z |x| (0.1) có trạng thái lượng ban đầu ký hiệu E0 (B, z) H tác động lên hai thành phần spinor ψ Nhìn chung nhà nghiên cứu tồn số tới hạn zc > cho E(z) = inf (E0 (B, z) + ε B B 2) (0.2) hữu hạn với z < zc E(z) = −∞ z > zc với ε = (8πα2 )−1 c số cấu trúc (137.04)−1 Họ điều kiện cần đủ để có hữu hạn zc phương trình σ · (p − A)ψ = (0.3) có nghiệm với A, ψ thỏa mãn: ψ ∈ H (R3 ), nghĩa ψ, ∇ψ ∈ L2 (R3 )(a), A ∈ L6 (R3 ), divA = 0, B = CurlA ∈ L2 (R3 )(b) Hàm ψ gọi zero mode toán tử Weyl-Dirac σ · (p − A) Ta có (0.3) phương trình đo bất biến Giả sử (0.3) có nghiệm, B biểu diễn hoàn toàn điều kiện trường vector U = ψ, σψ (0.4) đạo hàm Một câu hỏi đặt là: giả sử trường U thỏa mãn U ∈ L1 , U trơn divU = ta tìm ψ A thỏa mãn (0.3), (0.4), (a), (b) Năm 1986, Loss-Yau đưa hai phương pháp mặt lý thuyết để tìm zero mode toán tử Weyl - Dirac số ví dụ cụ thể toán dựa phương pháp thứ Sau ví dụ C Adam, B Muratori, C Nash, Y Aharonov, A Casher, L Erd¨os, J P Solovej liên tiếp phát triển chủ yếu dựa phương pháp thứ Năm 2000, D M Elton nghiên cứu đưa ví dụ cụ thể cho phương pháp thứ hai Với mong muốn hiểu biết sâu sắc toán tìm zero modes toán tử Weyl-Dirac với hướng dẫn tận tình T.S Tạ Ngọc Trí chọn đề tài "Bài toán zero mode toán tử WeylDirac" Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu toán zero mode toán tử Weyl-Dirac, ví dụ cụ thể zero mode số kết liên quan đến phát triển toán năm gần Nhiệm vụ nghiên cứu + Trình bày ví dụ cụ thể zero mode toán tử WeylDirac hai phương pháp Loss Yau Đặc biệt ví dụ D M Elton thông qua báo New Examples of Zero Modes, J Phys A, 33(2000), 7297-7303 + Nghiên cứu cách phát triển kết có Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng: Toán tử Weyl-Dirac, zero mode toán tử WeylDirac + Phạm vi nghiên cứu: Các tài liệu, báo liên quan đến toán zero mode toán tử Weyl-Dirac Phương pháp nghiên cứu + Sử dụng kỹ thuật giải tích hàm + Lý thuyết toán tử, lý thuyết toán tử không bị chặn, lý thuyết phổ + Thu thập nghiên cứu tài liệu liên quan, đặc biệt báo toán zero mode toán tử Weyl-Dirac 6.Dự kiến đóng góp + Nghiên cứu làm rõ bước chứng minh tìm zero mode toán tử Weyl-Dirac phương pháp thứ hai + Tổng hợp, hệ thống số kết mà nhà khoa học đạt nghiên cứu toán zero mode toán tử Weyl-Dirac Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương đề cập đến số kiến thức không gian Hilbert, không gian Sobolev, lớp Schwartz, trường vector, toán tử tuyến tính bị chặn phổ toán tử tuyến tính bị chặn, toán tử tuyến tính không bị chặn phổ chúng Những kiến thức viết chi tiết [1], [2], [13], [14], [15], [16] 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tuyến tính) Cho không gian tuyến tính X (trên trường số thực phức) Giả sử ứng với cặp phần tử xác định số thực (hoặc phức) thỏa mãn điều kiện sau đây: i) (∀x, y ∈ X), x, y = y, x ; (trong trường số phức x, y = y, x ); ii) (∀x, y, z ∈ X), x + y, z = x, z + y, z ; iii) (∀x, y ∈ X, λ ∈ R(C)) λx, y = λ x, y ; iv) (∀x ∈ X), x, x ≥ 0, x, x = x = θ (kí hiệu phần tử không) Số x, y gọi tích vô hướng hai phần tử x, y Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Ơclit) Không gian tuyến tính mà có xác định tích vô hướng gọi không gian Ơclit Trong không gian Ơclit ta đưa vào chuẩn x = x, x Định nghĩa 1.1.3 (Không gian Hilbert) Không gian Ơclit đủ gọi không gian Hilbert Ta thường ký hiệu H không gian Hilbert Ví dụ 1.1.1 Không gian L2 (R3 ) không gian các hàm số với bình phương khả tích R3 ∀f (x), g(x) ∈ L2 (R3 ) ta đặt: f, g = f (x)g(x) dx R3 Chuẩn sinh tích vô hướng là: f = f, f = ( f (x)dx) R3 Khi không gian L (R ) với tích vô hướng không gian Hilbert Định nghĩa 1.1.4 (Giá hàm) Giá hàm f (thực hay phức) không gian topo X bao đóng tập: L = {x ∈ X|f (x) = 0} 1.1.2 Không gian Sobolev Định nghĩa 1.1.5 Cho Ω tập mở Rn , ≤ p ≤ ∞, m ∈ Z+ Không gian Sobolev W m,p (Ω) không gian bao gồm tất hàm u ∈ Lp (Ω), cho với đa số α, |α| ≤ m, đạo hàm suy rộng Dα u ∈ Lp (Ω) Nghĩa là: Wm,p (Ω) = {u ∈ Lp (Ω) : Dα u ∈ Lp (Ω) ∀ |α| ≤ m} m gọi bậc không gian Sobolev W m,p (Ω) W m,p (Ω) có chuẩn xác định công thức 66 ta có: (2) ψ1 = u( − 1)(−h + ig), (3.42) (2) ψ2 = 2u(x1 + ix2 ) (3.43) Suy ra: (2) ψ1 = u( (2) (2) − 1)(−h − ig), ψ1 ψ2 = 2u2 ( − 1)(−h − ig)(x1 + ix2 ) = 2u2 ( − 1)(−hx1 + x2 g − i(x1 g + x2 h)) Vậy: (2) (2) 2Re(ψ1 ψ2 ) = 4u2 ( (2) (2) 2Im(ψ1 ψ2 ) = 4u2 ( (2) (2) |ψ1 |2 − |ψ2 |2 = u2 ( − 1)(−hx1 + x2 g), − 1)(x1 g + x2 h), − 1)2 (h2 + g ) − 4u2 (x21 + x22 ) = 4u2 ( − 1)2 − 4u2 = 4u2 ( −3 2 + 1) Suy ra:  ψ (2) , σψ (2) với v = 4u2 (  ( − 1)(−hx1 + x2 g)    = 4u2  ( − 1)(x g + x h)   ( − + 1)      x1 x2       + gv −x1  +  = −hv  x      0 ( − 1)2     2 − + 1)u , (3.44) 67 Tính toán tương tự Ví dụ 3.2.1 ta có: ∂(−hvx1 + gvx2 ) ∂x1 ∂(−hvx2 − gvx1 ∂(4u2 ( − + 1)) + + ∂x2 ∂x3 ∂v ∂v = −hv − hx1 + gx2 ∂x1 ∂x1 ∂v ∂v ∂v − hv − hx2 − gx1 + 4( − + 1) ∂x2 ∂x2 ∂x3 ∂v ∂v + x2 ) = −2hv − h(x1 ∂x1 ∂x2 (3.45) ∂v ∂v ∂v + g(x2 − x1 ) + ( − + 1) ∂x1 ∂x2 ∂x3 ∂v = −2hv − h(x1 x1 −1 + x2 x2 −1 ) ∂ ∂v ∂v + g(x2 x1 −1 − x1 x2 −1 ) + ( − + 1) ∂ ∂x3 ∂v ∂v = −2hv − h −1 (x21 + x22 ) + ( − + 1) ∂ ∂x3 ∂v ∂v = −2hv − h + ( − + 1) ∂ ∂x3 div ψ (2) , σψ (2) = Thế u = e − 2 −k vào (3.45) ta được: div ψ (2) , σψ (2) = −8hu2 ( +( = 8( −3 2 −3 − 1) − hu2 (2 + ( − 1)(−2 )) ∂u2 + 1) ∂x3 (3.46) + 1)hu + ( −3 ∂u2 + 1) ∂x3 Mặt khác ta có: 2 ∂u2 ∂(e− −k )2 ∂(e− −2k ) = = ∂x3 ∂x3 ∂x3 ∂(− − 2k) − −2k ∂(−2k) = (e )= u ∂x3 ∂x3 ∂(−2 h) R = u2 = −2hu2 ∂x3 (3.47) 68 Thế (3.47) vào phương trình (3.46) ta được: div ψ (2) , σψ (2) = Giả sử A(2) vector thực xác định Mệnh đề 3.1.4 với ψ = ψ (2) , tức A= 1 ( curl ψ (2) , σψ (2) + Im ψ(2), ∇ψ (2) ) (2) (2) ψ ,ψ Ta tính A(2) : Đặt:   x1    I1 = −hv  x  ,  ∂(−hv.0) ∂(−hvx2 ) −   ∂x2 ∂x3    ∂(−hvx1 ) ∂(−hv.0)  CurlI1 =  −   ∂x3 ∂x1   ∂(−hvx2 ) ∂(−hvx1 )  − ∂x1 ∂x2  Suy  − 1)hu2 x2 )   ∂x3   2  ∂(−4( − 1)hu x1 )  CurlI1 =     ∂x  ∂v ∂v  −hx2 + hx1 ∂x1 ∂x2   2 2 4x2 u ( − 1)h + 4x2 h( − 1)(−2hu )   2 2  = −4x u ( − 1)h − 4x h( − 1)(−2hu ) 1   −1 ∂v −1 ∂v −hx2 x1 ∂ + hx2 x1 ∂   4x2 u2 ( − 1)(h − 2h2 )   2  = −4x u ( − 1)(h − 2h )    ∂(4( 69 Vậy   x2    CurlI1 = 4u2 ( − 1)(h − 2h2 )  −x  1 (3.48) Đặt:  x2     I2 = gv  −x  1 ,  ∂(gv.0) ∂(−gvx1 )  ∂x2 − ∂x3     ∂(gvx2 ) ∂(gv.0)  CurlI2 =  −   ∂x3 ∂x1   ∂(−gvx1 ) ∂(gvx2 )  − ∂x1 ∂x2   ∂(4( − 1)gu2 x1 )   ∂x3   2  ∂(−4( − 1)gu x2 )  =    ∂x   ∂v ∂v −gx1 − gx2 − 2gv ∂x1 ∂x2  Suy  2 2  4x1 u ( − 1)g + 4x1 g( − 1)(−2hu )   −4x2 u2 ( − 1)g + 4x2 g( − 1)(−2hu2 ) CurlI2 =     ∂v ∂v −gx21 −1 − gx22 −1 − 2gv ∂ ∂   4x1 u2 ( − 1)(g − 2hg)   4x2 u2 ( − 1)(g − 2hg) =    ∂v −g − 2gv ∂   2 4x1 u ( − 1)(g − 2hg)   2  = 4x u ( − 1)(g − 2hg)   ∂v g(− ∂ − 2v) 70 Mặt khác −2hv − h ∂v = −8( ∂ = 8( nên: −2v − ∂v = 8( ∂ 4 − 1)hu2 − [2 + ( −3 −3 2 − 1)(−2 )]hu2 + 1)hu2 , + 1)u2 Vậy    x1      CurlI2 = 4u2 ( − 1)(g − 2hg)  x  2 +  8( −3    (3.49)  + 1)gu2 Đặt:   I3 =   ( −3   ,  + 1)u2 Suy  − + 1)   ∂x2   ∂4u ( − + 1)  CurlI3 =      ∂x1   −(x21 +x22 )±2x3 +C2± 2 2 ∂4e ((x1 + x2 ) − 3(x1 + x2 ) + 1)   ∂x2   2  ∂4e−(x1 +x2 )±2x3 +C2± ((x2 + x2 )2 − 3(x2 + x2 ) + 1)  =  2   ∂x1   (3.50)   2 8x2 (2 − − + − 1)u   2 = 8x (2 − − + − 1)u     x2    = −8( − + 4)u2  −x  1  ∂4u2 ( 71 Ta có:   − 1)u(−h + ig))  ∂x1   ∂2u(x1 + ix2 ) ∂(( ∂ψ (2)  =  ∂x1 ∂x1  ( = ( = =  ∂u ∂( − 1) − 1)(−h + ig) + u(−h + ig) ∂x1 ∂x1   ∂u 2u + 2(x1 + ix2 ) ∂x1 − 1)(−h + ig)(−x1 u) + u(−h + ig)2x1 2u + 2(x1 + ix2 )(−x1 u) ( − 1)(−h + ig)(−x1 u) + u(−h + ig)2x1 2u + 2(x1 + ix2 )(−x1 u) ( = −x1 u − 1)(−h + ig) 2(x1 + ix2 ) +u (−h + ig)2x1 Vậy (−h + ig)2x1 ∂ψ (2) = −x1 ψ (2) + u ∂x1 Suy ra: ψ (2)T ∂ψ (2) = −x1 u2 (−h − ig)( ∂x1 + u2 (−h − ig)( = −x1 [u2 ( + [u2 2x1 ( 2 2 − 1) 2(x1 − ix2 ) − 1) 2(x1 − ix2 ) (−h + ig)( − 1) 2(x1 + ix2 ) (−h + ig)2x1 − 1)2 (h2 + g ) + 2u2 (x21 + x22 )] − 1)2 (h2 + g ) + 4u2 (x1 − ix2 )] Suy Imψ (2)T ∂ψ (2) = −4u2 x2 ∂x1 (3.51) 72 Tương tự:   − 1)u(−h + ig))  ∂x2   ∂2u(x1 + ix2 ) ∂(( ∂ψ (2)  =  ∂x2 ∂x2  ( = ( =  ∂u ∂( − 1) − 1)(−h + ig) + u(−h + ig) ∂x2 ∂x2   ∂u 2ui + 2(x1 + ix2 ) ∂x2 − 1)(−h + ig)(−x2 u) + u(−h + ig)2x2 2ui + 2(x1 + ix2 )(−x2 u) ( = −x2 u − 1)(−h + ig) 2(x1 + ix2 ) = −x2 ψ (2) + u (−h + ig)2x1 2i +u (−h + ig)2x2 2i Suy ra: ψ (2)T ∂ψ (2) = −x2 u2 (−h − ig)( ∂x2 + u2 (−h − ig)( = −x2 [u2 ( + [u2 2x2 ( 2 2 − 1) 2(x1 − ix2 ) − 1) 2(x1 − ix2 ) (−h + ig)( − 1) 2(x1 + ix2 ) (−h + ig)2x1 2i − 1)2 (h2 + g ) + 2u2 (x21 + x22 )] − 1)2 (h2 + g ) + 4iu2 (x1 − ix2 )] Suy Imψ (2)T ∂ψ (2) = 4u2 x1 ∂x1 (3.52) 73 Tính toán tương tự ta có   ∂(( − 1)u(−h + ig))  ∂ψ (2)  ∂x3  =   ∂2u(x1 + ix2 ) ∂x3 ∂x3  ∂u ( − 1)(−h + ig) + u(  ∂x =  ∂(−h + ig) − 1)  ∂x3  ∂u + 2(x1 + ix2 ) ∂x3 ( = − 1)(−h + ig)(−hu) + u(−h + ig )( − 1) 2(x1 + ix2 )(−hu) ( = −h − 1)(−h + ig) +u 2(x1 + ix2 ) = −hψ (2) +u (−h + ig )( (−h + ig )( − 1) − 1) Suy ra: ψ (2)T ∂ψ (2) = −hu2 (−h − ig)( ∂x3 +u (−h − ig)( = −h[u2 ( + u2 ( 2 2 (−h + ig)( − 1) 2(x1 − ix2 ) − 1) 2(x1 − ix2 ) − 1) 2(x1 + ix2 ) (−h + ig )( − 1) − 1)2 (h2 + g ) + 2u2 (x21 + x22 )] − 1)2 [hh + gg + (h g − g h)i] Suy Imψ (2)T ∂ψ (2) = u2 ( ∂x3 − 1)2 (h g − g h) (3.53) Từ (3.51), (3.52), (3.53) ta được:  Im ψ (2) , ∇ψ (2)  = u2   −4x2     2 ( − 1) (h g − g h) 4x1 (3.54) 74 Suy ψ (2) , ψ (2) A(2) = Curl ψ (2) , σψ (2) + Im ψ (2) , ψ (2)   x2    = 2u2 ( − 1)(h − 2h2 )  −x  1     x1     2   + 2u2 ( − 1)(g − 2hg)  + u x  2   8( − + 1)g     −4x2 x2     2   + u − 4( − + 4)u2  −x 4x    1 2 ( − 1) (gh − hg )   x1    = 2u2 ( − 1)(g − 2hg)  x  2   x2    + u2 [2( − 1)(h − 2h2 ) − 4( − + 5)]  −x        + u2    2 4( − + 1)g + ( − 1) (gh − hg ) (3.55) Do h2 + g = nên 2( − 1)(h − 2h2 ) − 4( −5 + 5) = 2( − 1)(h − 2(4 − g )) − 4( −5 =( − 4( 2 + 5) − 1)(h + 2g ) −5 + + 4( − 1)) 75 Suy 2( − 1)(h − 2h2 ) − 4( −5 + 5) = ( − 4( =( − 1)(h + 2g ) − 4(( − + 1) − 1)(h + 2g ) − 1) + (3.56) ) Thế (3.56) vào (3.55) ta ψ (2) , ψ (2) A(2)   x1    = 2u2 ( − 1)(g − 2hg)  x   + u2 [2( − 1)(h + 2g )   x2    − 4(( − 1)2 + )]  −x  1      + u2    2 4( − + 1)g + ( − 1) (gh − hg ) 76 Khi ψ (2) , ψ (2)   x1    A(2) = 2u2 ( − 1)(g − 2hg)  x  2   x2   2  + 2u ( − 1)(h + 2g ) −x1     (3.57) x2    − 4u2 (( − 1)2 + )  −x  1      + u2    2 4( − + 1)g + ( − 1) (gh − hg ) Đặt   x1    4(( − 1)2 + )A(2) = 2( − 1)(g − 2hg)  x  2   x2    + 2( − 1)(h + 2g )  −x        +   4( − + 1)g + ( − 1)2 (gh − hg ) Khi  ψ (2) , ψ (2) A(2)  x2    = 4(( −1)2 + )A(2) −4(( −1)2 + )  −x   (3.58) 77 Suy 4(( −1)2 + )A(2) = 4(( −1)2 + )A(2) +4(( −1)2 + ) −x2 x1 T (3.59) Suy A(2) = A(2) + −x2 x1 T (3.60) Theo tính chất (A3 )và (∗) g, h’ có: supp(g) ⊆ {|x3 | ≤ 1} supp(h ) ⊆ {|x3 | ≤ 1} nên supp(A(2) ) ⊆ {|x3 | ≤ 1} A(2) bị chặn Đặt B (2) := CurlA(2) supp(B (2) ) ⊆ {|x3 | ≤ 1},     (2)  B (2) =   +B (2) (2) B (2) = curlA(2) , B1 = B2 = O( −1 (2) ), B3 = O( (3.61) −2 ) Khi B (2) hội tụ |x| ≤ B (2) tiệt tiêu ∞ → +∞ 78 KẾT LUẬN Nội dung Luận văn Luận văn trình bày tổng quan về: • Bài toán tìm zero mode toán tử Weyl-Dirac Nêu hai phương pháp tìm zero mode hai nhà nghiên cứu Loss Yau xây dựng dựa toán tìm ổn định nguyên tử Hydro môi trường từ tính • Tác giả nghiên cứu, hệ thống đưa số kết quan trọng mà nhà nghiên cứu tìm hiểu toán tìm zero mode toán tử Weyl-Dirac • Tác giả làm rõ bước tính toán chứng minh Elton sử dụng phương pháp thứ hai để tìm zero mode Một số vấn đề cần tiếp tục nghiên cứu như: Tìm lớp hàm zero mode toán tử Weyl-Dirac dựa hai phương pháp mặt lý thuyết mà Loss Yau đưa ra, theo phương pháp thứ hai Xét lớp toán tử Weyl-Dirac rộng có nhiều zero mode Tìm thêm vị từ với toán tử Weyl-Dirac tương ứng để có zero mode thỏa mãn toán Với lực hạn chế thời gian có hạn, chắn luận văn không tránh khỏi thiếu sót Kính mong quý thầy cô bạn học đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn! Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu tiếng Việt [1] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, Nhà xuất Khoa học kỹ thuật [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nhà xuất Đại học Quốc Gia Hà Nội [B] Tài liệu tiếng Anh [3] C Adam, B Muratori and C Nash(1999), "Zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Phys Rev D 60, 125001 1-8 [4] C Adam, B Muratori and C Nash(2000), "Zero modes in finite range magnetic fields", Modern Physics Letters A Vol 15 25, 1577 – 1581 [5] C Adam, B Muratori and C Nash(2000), "Degeneracy of zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Physics Letters B 485, 314-318 [6] C Adam, B Muratori and C Nash(2000),"Multiple zero modes of the Dirac operator in three dimensions", Phys Rev D, 62, 085026 1-9 [7] C Adam, B Muratori and C Nash(2003), "Chern-Simens action for zero mode supporting gauge fields in three dimensions", Phys Rev D 67, 087703 1-3 80 [8] A A Balinsky and W D Evans(2002), "On the zero modes of Weyl-Dirac operators and their multiplicity", Bull London Math Soc , 34, 236-242 [9] D M Elton(2000), "New Examples of Zero Modes", J Phys A, 33, 7297-7303 [10] D M Elton(2002), "The Local Structure of Zero Mode Producing Magnetic potentials", Commun Math Phys., 229, 121-139 [11] L Erd¨os and J P Solovej(2001), "The kernel of Dirac operators on S3 and R3 ", Rev in Math Phys., Vol 13, 10, 1247-1280 [12] T Kato(1972), "Schr¨odinger operators with singular potentials", Israel J Math 13, 135-148 [13] J M Loss and H T Yau(1986), "Stability of Coulomb systems with magnetic fields III Zero energy bound states of the Pauli operator", Commun Math Phys., 104, 283-290 [14] M Reed and B Simon(1972), Methods of modern Mathematical Physics, I: Funtional Analysis, Academic Press, New York [15] M Reed and B Simon(1975), Methods of modern Mathematical Physics, II: Fourier Analysis, Self-adjointness, Academic Press, New York [16] M Reed and B Simon(1979), Methods of modern Mathematical Physics, III: Scattering Theory, Academic Press, New York [17] M Reed and B Simon(1978), Methods of modern Mathematical Physics, IV: Analysis of Operators, Academic Press, New York [18] T N Tri(2009)Resulfs on the number of the zero mode of the Weyl-Dirac operator, PhD Thesis, Lancaster University