Bài toán tô màu và ứng dụng giải toán sơ cấp

Header Page of 133 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ VIỆT THẢO BÀI TOÁN TÔ MÀU VÀ ỨNG DỤNG GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - năm 2011 Footer Page of 133 Header Page of 133 Công trình ñược hoàn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM, ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TSKH Trần Quốc Chiến Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: PGS TS Huỳnh Thế Phùng Luận văn ñược bảo vệ trước Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp Thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 26/11/2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại: - Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường ĐH Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 133 Header Page of 133 MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài Khái niệm lý thuyết ñồ thị ñược nhiều nhà khoa học ñộc lập nghiên cứu có nhiều ñóng góp lĩnh vực toán học ứng dụng Sử dụng toán tô màu ñể giải toán phương pháp hay lý thuyết ñồ thị Phương pháp không ñòi hỏi nhiều kiến thức khả tính toán mà chủ yếu ñòi hỏi sáng tạo việc ñưa mô hình cụ thể linh hoạt cách tư duy, áp dụng cách máy móc ñược Đó ñiểm mạnh khó toán tô màu Mong muốn tác giả luận văn cung cấp cho người ñọc nhìn tổng quan chi tiết việc sử dụng tô màu nghệ thuật giải toán, hy vọng giúp ích phần cho việc bồi dưỡng học sinh chuyên trường THPT, phát triển tư cho học sinh, mở hướng nghiên cứu cho quan tâm Mục ñích nghiên cứu Ứng dụng lí thuyết ñồ thị nói chung toán tô màu ñồ thị nói riêng ñể giải toán không mẫu mực, toán thường gặp thực tế vài toán kì thi Toán quốc tế Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Nghiên cứu tổng quan lí thuyết ñồ thị, tô màu ñồ thị - Nghiên cứu lớp toán ứng dụng tô màu ñồ thị Phương pháp nghiên cứu + Nghiên cứu lí thuyết Dựa vào giáo trình ñã ñược học, tài liệu liên quan ñến lí thuyết ñồ thị tô màu ñồ thị + Nghiên cứu thực tiễn Nghiên cứu toán giáo trình tài liệu tham khảo Chọn tên ñề tài Bài toán tô màu ứng dụng giải toán sơ cấp Footer Page of 133 Header Page of 133 Cấu trúc luận văn Gồm ba chương Chương 1: Kiến thức sở Chương 2: Bài toán tô màu ñồ thị Chương 3: Ứng dụng CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ SỞ 1.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN 1.1.1 Các ñịnh nghĩa 1.1.2 Bậc ñồ thị 1.1.3 Các ñơn ñồ thị ñặc biệt 1.1.4 Đồ thị ñường 1.2 ĐƯỜNG ĐI, CHU TRÌNH VÀ TÍNH LIÊN THÔNG 1.2.1 Các ñịnh nghĩa 1.2.2 Các toán ñường ñi 1.2.3 Một số ñịnh lí 1.3 ĐỒ THỊ PHẲNG 1.3.1 Bài toán mở ñầu 1.3.2 Đồ thị phẳng 1.3.3 Công thức Euler 1.3.4 Định lí Kuratowski CHƯƠNG BÀI TOÁN TÔ MÀU ĐỒ THỊ 2.1 GIỚI THIỆU 2.2 TÔ MÀU ĐỈNH 2.2.1 Đồ thị ñối ngẫu 2.2.2 Các khái niệm Định nghĩa 2.1 Tô màu ñỉnh ñơn ñồ thị gán màu cho ñỉnh cho hai ñỉnh kề ñược gán màu Định nghĩa 2.2 Sắc số ñồ thị G, ký hiệu χ(G), số màu tối thiểu cần thiết ñể tô màu ñỉnh ñồ thị (mỗi ñỉnh màu), cho hai ñỉnh kề tùy ý ñược tô hai màu khác Footer Page of 133 Header Page of 133 2.2.3 Một số ñịnh lí Định lí 2.1 Một chu trình ñộ dài lẻ có sắc số Định lí 2.2 (Định lí Konig) Một ñơn ñồ thị tô hai màu chu trình ñộ dài lẻ Hệ 2.1 Tất chu trình ñộ dài chẵn ñều có sắc số Định lí 2.3 Đồ thị ñầy ñủ Kn với n ñỉnh luôn có sắc số n Định lí 2.4 Với số nguyên dương n, tồn ñồ thị không chứa K3 có sắc số n Định lí 2.5 Nếu ñồ thị G chứa ñồ thị ñẳng cấu với ñồ thị ñầy ñủ Kn λ(G)≥n Định lí 2.6 χ(G) ≤ P ∆(G) + với ñồ thị G, ñó ∆(G) bậc ñỉnh lớn G (ñẳng thức xảy G = Kn G chu trình ñộ dài lẻ) Định lí 2.7 (Brooks) Cho G ñơn ñồ thị n ñỉnh, liên thông khác Kn chu trình ñộ dài lẻ Khi ñó χ (G) ≤ ∆(G) 2.3 THUẬT TOÁN TÔ MÀU ĐỈNH i) Lập danh sách ñỉnh ñồ thị E’:= [ v1 , v2 , , ] theo thứ tự bậc giảm dần: d (v1 ) ≥ d (v2 ) ≥ ≥ d (vn ) Đặt i:=1 ii) Tô màu i cho ñỉnh ñầu tiên danh sách Duyệt ñỉnh tô màu i cho ñỉnh không kề ñỉnh ñã ñược tô màu i iii) Nếu tất ñỉnh ñã ñược tô màu kết thúc: Đồ thị ñã ñược tô màu i màu Ngược lại sang bước iv) iv) Loại khỏi E’ ñỉnh ñã tô màu, ñặt i:=i+1, quay lại bước ii) 2.4 TÔ MÀU ĐỒ THỊ PHẲNG 2.4.1 Một số ñịnh lí sắc số ñồ thị phẳng Định lí 2.8 Mọi ñồ tạo ñường thẳng mặt phẳng tô hai màu Định lí 2.9 Điều kiện cần ñủ ñể ñồ tô hai màu ñỉnh ñồ thị phẳng tương ứng có bậc chẵn lớn Footer Page of 133 Header Page of 133 Định lí 2.10 (Kempe – Heawood) Mọi ñồ thị phẳng ñỉnh nút ñều có sắc số không lớn Định lý 2.11 (Appel - Haken)( Định lí bốn màu - 1976) Mọi ñồ thị phẳng ñỉnh nút ñều có sắc số không bốn 2.4.2 Một ví dụ tìm sắc số ñồ thị 2.5 TÔ MÀU CẠNH Định nghĩa 2.3 Tô màu cạnh ñơn ñồ thị gán màu cho cạnh cho hai cạnh kề ñược gán màu Định nghĩa 2.4 Sắc số cạnh ñồ thị G, kí hiệu χ’ (G) số màu cần dùng ñể tô cạnh ñồ thị, cạnh màu cho hai cạnh kề tùy ý ñược tô hai màu khác Ta chuyển toán sắc số cạnh toán sắc số Ta có χ ' ( G ) = χ ( L ( G ) ) Định lí 2.12 Nếu G ñồ thị lưỡng phân χ’ (G) = ∆(G) Đặc biệt, sắc số cạnh ñồ thị lưỡng phân ñủ Km,n max{m, n} Định lí 2.13 (Định lí Vizing) Với ñơn ñồ thị G, ∆ (G ) ≤ χ '( G ) ≤ ∆ ( G ) + Định lí 2.14 i) Nếu n chẵn χ ' ( K n ) = ∆ ( K n ) = n − ii) Nếu n lẻ χ ' ( K n ) = ∆ ( K n ) + = n 2.6 NGUYÊN LÝ DIRICHLET 2.6.1 Mở ñầu 2.6.2 Nguyên lý Dirichlet tổng quát 2.7 SỐ RAMSEY Định nghĩa 2.5 Cho hai số nguyên i ≥ 2, j ≥ Số nguyên dương n gọi có tính chất (i,j)-Ramsey, Kn với cạnh ñược tô hai màu xanh ñỏ (a) Kn chứa Ki ñỏ Kj xanh (b) Kn chứa Kj ñỏ Ki xanh Định nghĩa 2.6 Số Ramsey R(i,j) số nguyên dương nhỏ có tính chất (i,j)-Ramsey Mệnh ñề 2.2 R(3,3) = Mệnh ñề 2.3 R(2,j) = j ∀ j ≥ Footer Page of 133 Header Page of 133 Mệnh ñề 2.6 (Định lý Ramsey) R(i,j) tồn với i ≥ 2, j ≥ Mệnh ñề 2.8 R(3,4) = Mệnh ñề 2.9 R(3,5) = 14 Mệnh ñề 2.10 R(4,4) = 18 Mệnh ñề 2.11 R(2,2, ,2;2) = Mệnh ñề 2.12 R(3,3,3;2) = 17 Footer Page of 133 Header Page of 133 CHƯƠNG ỨNG DỤNG 3.1 ỨNG DỤNG TÔ MÀU ĐỒ THỊ ĐỂ GIẢI QUYẾT CÁC VẤN ĐỀ THỰC TẾ Bài toán 3.1.1 Một sở thú nhập loại thú khác nhau, mà ta kí hiệu A, B, C, D, E, F Một số loại số ñó sống chuồng, số loài ăn thịt loài khác nhốt chung chuồng Bảng sau ñây cho biết loài sống chung với nhau: Loại Không thể sống với A B, C B A, C, E C A, B, D, E D C, F E B, C, F F D, E Hỏi cần chuồng ñể nhốt tất loại thú ñó? Giải Ta mô hình hóa ñồ thị ñưa toán tô màu sau: Mỗi ñỉnh ñồ thị loài thú, hai ñỉnh ñược nối với cạnh hai loài thú nhốt chung chuồng Áp dụng thuật toán tô màu ñồ thị mục 2.3, ta tìm ñược số lượng chuồng cần có (Hình 3.4) A(3) F(1) B(2) E(3) C(1) D(2) Hình 3.4 Footer Page of 133 Header Page of 133 Như vậy, ta thu ñược lời giải cho toán 3.1.1 sau: Chuồng Chuồng Chuồng C F B D A E Bài toán 3.1.2 Phân chia tần số Bài toán 3.1.3 Lập thời gian biểu Trong trường ñại học có m giảng viên x1, x2, …xm giảng dạy n lớp y1, y2, … yn, lớp ñược dạy pi tiết Tại thời ñiểm, giảng viên dạy nhiều lớp lớp ñược dạy nhiều giảng viên Ban giám hiệu muốn lập thời gian biểu cho sử dụng thời gian thỏa mãn yêu cầu Bài toán 3.1.4 Bài toán nữ sinh Lucas Bài toán 3.1.5 Tô màu ñồ Bài toán 3.1.6 Các ghi số 3.2 MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ Bài toán 3.2.1 Chứng minh dùng hai màu ñể tô ñỉnh thất giác ñều ñược Giải Xét ñồ thị G(V, E) với ñỉnh ñỉnh thất giác cạnh cạnh thất giác Do G(V, E) chu trình có ñộ dài – ñộ dài lẻ- nên có sắc số 3, thể dùng hai màu ñể tô ñỉnh thất giác ñều ñược Bài toán 3.2.2 Chứng minh với số tự nhiên n, tồn ñồ thị G (V, E) có sắc số n Bài toán 3.2.3 Cho G ñơn ñồ thị phẳng Chứng minh G tô ñúng hai màu G ñồ thị lưỡng phân Footer Page of 133 Header Page 10 of 133 10 Bài toán 3.2.4 Chứng minh ñơn ñồ thị phẳng liên thông tô ñúng miền hai màu ñó ñồ thị Euler 3.3 ỨNG DỤNG TÔ MÀU ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN 3.3.1 Một số khẳng ñịnh tô màu ñồ thị Khẳng ñịnh 3.1 Cho G(V, E) ñồ thị ñầy ñủ với cạnh ñược tô màu xanh ñỏ Khi ñó tổng số ñỉnh mà ñỉnh mút số lẻ cạnh màu ñỏ số chẵn Ví dụ 3.1 Trong lớp 10/1, An có số bạn thân số lẻ Chứng minh có học sinh khác An mà số bạn thân số lẻ Giải Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy n ñiểm mặt phẳng tương ứng với n học sinh dùng thứ tự n học sinh ñó kí hiệu ñỉnh - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh màu xanh hai học sinh tương ứng với hai ñỉnh ñó không thân nhau, cạnh màu ñỏ hai học sinh tương ứng với hai ñỉnh ñó thân Giải toán ñồ thị Đồ thị G(V, E) ñồ thị màu ñầy ñủ với cạnh ñược tô màu xanh ñỏ Từ giả thiết suy ra, ñồ thị G(V, E) có ñỉnh mút số lẻ cạnh màu ñỏ Theo khẳng ñịnh 3.1 ñồ thị G(V, E) có ñỉnh mút số lẻ cạnh màu ñỏ Suy có học sinh khác An có số bạn thân số lẻ Ví dụ 3.2 Trong lớp học có em học sinh có số bạn thân số lẻ Chứng minh lớp có em có số bạn thân chung số chẵn Giải Gọi A học sinh chơi thân với số lẻ bạn lớp Các học sinh chơi thân với A A1, A2, A3, … A2n+1 Xét G(V, E) ñồ thị màu ñầy ñủ với tập ñỉnh A1, A2, A3, … A2n+1 Footer Page 10 of 133 Header Page 11 of 133 11 Hai ñỉnh nối với cạnh màu ñỏ hai học sinh tương ứng chơi thân với nhau, màu xanh không chơi thân với Đồ thị G(V, E) có lẻ ñỉnh Theo khẳng ñịnh 3.1, tổng số ñỉnh mà ñỉnh mút lẻ cạnh màu ñỏ số chẵn, suy ñồ thị màu ñầy ñủ G(V, E) phải có ñỉnh mút chẵn cạnh màu ñỏ Gọi ñỉnh ñó Ai Khi ñó, A Ai có số bạn thân chung số chẵn Khẳng ñịnh 3.2 G (V, E) ñồ thị ñầy ñủ với cạnh ñược tô màu xanh màu ñỏ Khi ñó tồn hai ñỉnh ñồ thị mà số cạnh màu ñỏ hai ñỉnh Ví dụ 3.3 Có 10 ñội bóng thi ñấu với theo thể thức ñội ñấu với ñội lại Chứng minh thời ñiểm ta tìm ñược hai ñội có số trận ñã ñấu Giải Ta xây dựng ñồ thị màu ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán Tập ñỉnh V: Lấy 10 ñiểm mặt phẳng tương ứng với 10 ñội bóng dùng thứ tự ñội ñó ñể kí hiệu ñỉnh Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh màu xanh hai ñội bóng tương ứng với hai ñỉnh ñó chưa ñấu với nhau, cạnh màu ñỏ hai ñội bóng tương ứng với hai ñỉnh ñó ñã thi ñấu với Giải toán ñồ thị: Đồ thị G(V, E) ñược xây dựng ñồ thị màu ñầy ñủ với cạnh ñược tô xanh ñỏ Theo khẳng ñịnh 3.2 ñồ thị G(V, E) có hai ñỉnh mút số cạnh ñỏ Suy có hai ñội bóng ñã ñấu số trận Ví dụ 3.4 Chứng minh lớp học có hai học sinh mà số bạn thân lớp học sinh Giải Ta xây dựng ñồ thị màu G(V, E) ñầy ñủ mô tả toán Tập ñỉnh V: Lấy n ñiểm mặt phẳng tương ứng với n học sinh dùng thứ tự n học sinh ñó ñể kí hiệu ñỉnh Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh màu xanh hai học sinh tương ứng với hai ñỉnh ñó không thân nhau, Footer Page 11 of 133 Header Page 12 of 133 12 cạnh màu ñỏ hai học sinh tương ứng với hai ñỉnh ñó thân Giải toán ñồ thị: Đồ thị G(V, E) ñược xây dựng ñồ thị màu ñầy ñủ với cạnh ñược tô xanh ñỏ Theo khẳng ñịnh 3.2 ñồ thị G(V, E) có hai ñỉnh mút số cạnh ñỏ Suy có hai học sinh mà học sinh có số bạn thân lớp Ví dụ 3.5 Chứng minh 100 số tự nhiên bất kỳ, tồn hai số a b cho 100 số ñã cho số số nguyên tố với a số số nguyên tố với b Khẳng ñịnh 3.3 Đồ thị ñầy ñủ G(V, E) gồm n ñỉnh với cạnh ñược tô màu xanh ñỏ mà ñỉnh tùy ý có ñỉnh ñược nối cạnh màu ñỏ với ñỉnh lại Khi ñó ñồ thị G(V, E) có (n-3) ñỉnh mà ñỉnh ñược nối với ñỉnh lại cạnh màu ñỏ Ví dụ 3.6 (Vô ñịch Mĩ 1982) Trong nhóm gồm có 1982 người, người chọn ñược người quen với người lại Hỏi có người quen với tất người nhóm Giải Ta xây dựng ñồ thị màu ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán Tập ñỉnh V: Lấy 1982 ñiểm mặt phẳng hay không gian tương ứng với số người nhóm dùng mã số người ñể ghi tên ñiểm tương ứng Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh màu ñỏ hai người tương ứng với hai ñỉnh ñó quen nhau, cạnh màu xanh hai người ñó không quen Giải toán ñồ thị: Đồ thị G(V, E) ñược xây dựng ñồ thị màu ñầy ñủ với 1982 ñỉnh ñỉnh tùy ý có ñỉnh nối với ñỉnh lại cạnh màu ñỏ Theo khẳng ñịnh 3.3 có 1982-3=1979 ñỉnh ñược nối với ñỉnh lại cạnh màu Footer Page 12 of 133 Header Page 13 of 133 13 ñỏ Vậy số nhỏ người quen với tất người lại 1979 Ví dụ 3.7 Cho 2011 số tự nhiên tùy ý, mà số số ñó có số có ước chung với số lại Chứng minh tồn 2008 số mà số có ước chung với tất số lại Xét hai dãy số nguyên dương: a1 = 2, a2=5,…an+1 = (n+1)an +1 u2 = 3, u3 = 6,…, un+1 = (un-1)n +2 Ta có khẳng ñịnh sau: Khẳng ñịnh 3.4 a) Đồ thị ñầy ñủ với an+1 ñỉnh mà cạnh ñược tô n màu, luôn có ñồ thị ñầy ñủ K3 với cạnh màu b) Đồ thị ñầy ñủ với un+1 (n≥1) ñỉnh mà cạnh ñược tô n màu, luôn có ñồ thị ñầy ñủ K3 với cạnh màu Ví dụ 3.8 Chứng minh từ sáu số vô tỷ tùy ý chọn ñược ba số (mà ta gọi a, b, c) cho a+b, b+c, c+a số vô tỷ Giải a) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy ñỉnh không thẳng hàng mặt phẳng tương ứng với số vô tỷ - Tập cạnh E: Hai ñỉnh mang số a b ñược nối với cạnh tô màu ñỏ tổng chúng số vô tỷ, tô màu xanh tổng chúng số hữu tỷ b) Giải toán ñồ thị: Ta có ñồ thị ñầy ñủ gồm ñỉnh ñược tô hai màu cạnh Theo khẳng ñịnh 3.4 ñồ thị G(V, E) tồn tam giác màu Giả sử tam giác ñó có ba ñỉnh kí hiệu a, b, c Chỉ có hai khả xảy ra: Nếu tam giác ñó tam giác xanh Khi ñó, a+b, b+c, c+a số hữu tỷ Lúc (a+b) + (b+c) – (c+a) = 2b số hữu tỷ Điều vô lý b số vô tỷ Nếu tam giác ñó tam giác ñỏ Khi ñó, a+b, b+c, c+a số vô tỷ Đó ñiều phải chứng minh Footer Page 13 of 133 Header Page 14 of 133 14 Ví dụ 3.9 Cho số nguyên dương tùy ý Chứng minh chọn ñược số mà bộ, ñôi ñều nguyên tố ñều không nguyên tố Giải a) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy sáu ñỉnh không thẳng hàng mặt phẳng tương ứng với sáu số cho ñề - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh tô màu xanh hai số tương ứng nguyên tố nhau, tô màu ñỏ hai số tương ứng không nguyên tố b) Giải toán ñồ thị: Ta có ñồ thị ñầy ñủ gồm sáu ñỉnh ñược tô hai màu cạnh Theo khẳng ñịnh 3.4 ñồ thị G(V, E) tồn tam giác với cạnh màu ñỏ xanh Nếu hai tam giác ñều màu ñỏ, ta có hai ba số, mà bộ, chúng ñôi nguyên tố Nếu có tam giác màu ñỏ, ta ñược ba số ñôi nguyên tố nhau, ba số ñôi không nguyên tố Nếu hai tam giác màu xanh, nghĩa ta ñược hai ba số, mà bộ, chúng ñôi không nguyên tố Ví dụ 3.10 Cho sáu ñường thẳng không gian, ñó ba ñường thẳng song song, ba ñường thẳng ñồng quy ba ñường thẳng nằm mặt phẳng Chứng minh từ sáu ñường thẳng ñó lấy ñược ba ñường thẳng ñôi chéo Nhận xét Các ví dụ 3.8, 3.9, 3.10 phát biểu lại sau: “Cho ñồ thị ñầy ñủ ñỉnh K6 với cạnh ñược tô hai màu Chứng minh tồn ñồ thị K3 với ba cạnh màu” Trong mục 2.7 số Ramsey, ta ñã biết R(3,3)=6 (mệnh ñề 2.2), n=6 số nguyên dương nhỏ thỏa mãn tính chất: Nếu cạnh ñồ thị ñầy ñủ Kn ñược tô hai màu (chẳng hạn xanh ñỏ) Kn chứa K3 xanh ñỏ Với số nguyên dương m>n ñồ thị Km có tính chất Footer Page 14 of 133 Header Page 15 of 133 15 Như vậy, ví dụ 3.8, 3.9, 3.10 giải cách chứng minh mệnh ñề 2.2 Ví dụ 3.11 Có 17 thành phố mà từ thành phố ñều ñi ñến 16 thành phố lại ba phương tiện: Xe bus, tàu ñiện ngầm xe lửa Biết cặp hai thành phố ñi lại phương tiện ba phương tiện Chứng minh có thành phố mà ta ñi lại phương tiện Giải a) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy 17 ñỉnh không thẳng hàng mặt phẳng tương ứng với 17 thành phố cho ñề - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh tô màu ñỏ hai thành phố ñi lại xe bus, tô màu xanh hai thành phố ñi lại tàu ñiện ngầm, tô màu vàng hai thành phố ñi lại xe lửa b) Giải toán ñồ thị: Ta có ñồ thị ñầy ñủ gồm 17 ñỉnh ñược tô ba màu cạnh Theo khẳng ñịnh 3.4 ñồ thị G(V, E) tồn tam giác màu Điều ñó có nghĩa có thành phố mà ta ñi lại phương tiện Nhận xét: Ta ñã biết R(3,3,3;2)=17 (Mệnh ñề 2.12), vậy, Ví dụ 3.11 hoàn toàn ñược giải cách chứng minh Mệnh ñề 2.12 Khẳng ñịnh 3.5 Trong ñồ thị ñầy ñủ có un+1 – ñỉnh ( n ≥ ) với n màu cạnh (các cạnh ñược tô n màu), cho không tam giác màu nào, luôn có hình năm cạnh với cạnh màu ñường chéo ñược tô màu khác Ví dụ 3.12 Một nhóm gồm thành viên ñó ba ñều có người quen người không quen Chứng minh xếp nhóm ngồi xung quanh bàn tròn ñể người ngồi người mà thành viên ñó quen Ví dụ 3.13 Cho số tự nhiên lớn 1, mà số ñều có số nguyên tố hai số không nguyên tố Footer Page 15 of 133 Header Page 16 of 133 16 Chứng minh ghi số lên ñường tròn, ñể số ñều ñứng số mà nguyên tố (hoặc không nguyên tố nhau) với hai số bên cạnh Giải (Ví dụ 3.12 Ví dụ 3.13) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: a) Tập ñỉnh V: Lấy ñiểm mặt phẳng, ñiểm thẳng hàng tương ứng với thành viên (5 số tự nhiên lớn 1) Dùng tên thành viên (các số) ñể ghi tên ñiểm tương ứng b) Tập cạnh E: Cạnh ñỏ ñể nối hai ñỉnh tương ứng với hai người quen (hai số nguyên tố nhau) Cạnh xanh ñể nối hai ñỉnh tương ứng với hai người không quen (hai số không nguyên tố nhau) Từ giả thiết toán suy ñồ thị G tam giác màu Theo khẳng ñịnh 3.5, với n=2 ñồ thị G tương ứng ña giác cạnh với cạnh màu ñỏ ñường chéo màu xanh ngược lại Khi ñó dựa theo ñường gấp khúc khép kín màu ñỏ mà xếp thành viên (các số) tương ứng ngồi xung quanh bàn tròn (lên ñường tròn), thành viên (mỗi số) ngồi hai người mà thành viên có quen (ñứng hai số mà nguyên tố nhau) Khẳng ñịnh 3.6 Đồ thị ñầy ñủ gồm n ñỉnh ( n ≥ ) ñược tô không màu cạnh, có n – tam giác màu Ví dụ 3.14 Chứng minh n ( n ≥ ) người tùy ý chọn ñược n - ba, mà ba ñôi quen ñôi không quen Ví dụ 3.15 Chứng minh n ( n ≥ ) số nguyên dương tùy ý luôn chọn ñược n - ba, mà ba cặp số có ước chung nguyên tố Ví dụ 3.16 Với n=5 khẳng ñịnh phát biểu Ví dụ 3.14, 3.15 ñúng không? Footer Page 16 of 133 Header Page 17 of 133 17 Giải (Ví dụ 3.14, 3.15) a) Xây dựng ñồ thị mô tả quan hệ i) Đỉnh: Lấy n ñiểm ( n ≥ ) tương ứng với n người (n số nguyên) ñã chọn ii) Cạnh: Cạnh ñỏ ñể nối hai ñiểm tương ứng với hai người quen (hai số có ước chung); cạnh xanh ñể nối hai ñiểm tương ứng với hai người không quen (hai số nguyên tố nhau) Theo khẳng ñịnh 3.6, ñồ thị G tương ứng có n-4 tam giác màu Nếu tam giác màu ñỏ, ba người tương ứng quen ñôi (ba số tương ứng có ước chung ñôi một) Nếu tam giác màu xanh, ba người tương ứng không quen ñôi (ba số tương ứng nguyên tố nhau) Giải (ví dụ 3.16) Với n=5, khẳng ñịnh phát biểu ví dụ 3.14, 3.15 không ñúng Thật vậy, xuất phát từ ñồ thị G ñầy ñủ gồm ñỉnh (tương ứng với ñối tượng ñược xét) với cạnh ñược tô hai màu Cạnh ñỏ (nét liền) biểu quan hệ quen (có ước chung), cạnh xanh (nét ñứt) biểu quan hệ không quen (nguyên tố nhau) Vì ñồ thị G tam giác màu Hình 3.10 nên không có: - Một ba người tương ứng với ñỉnh mà quen ñôi không quen ñôi - Một ba số tương ứng với ñỉnh mà có ước chung ñôi nguyên tố Khẳng ñịnh 3.7 Trong ñồ thị ñầy ñủ gồm chín ñỉnh K9 với cạnh ñược tô hai màu xanh, ñỏ tìm ñược ñồ thị ñầy ñủ K3 xanh ñồ thị ñầy ñủ K4 ñỏ (hoặc ngược lại ta ñổi hai màu cho nhau) Nhận xét Ta ñã biết R(3,4)=9 (Mệnh ñề 2.8), tức là số nhỏ có tính chất (3,4)-Ramsey Như vậy, Khẳng ñịnh 3.7 hoàn toàn chứng minh Mệnh ñề 2.8 Footer Page 17 of 133 Header Page 18 of 133 18 Ví dụ 3.17 Trong phòng có người, ñó người có hai người quen Chứng minh có người ñôi quen Giải Ta cho tương ứng người với ñỉnh ñồ thị, hai ñỉnh ñược nối với cạnh màu ñỏ người quen nhau, hai ñỉnh ñược nối với cạnh xanh người không quen Vì người có hai người quen nên ñồ thị G không chứa K3 xanh Do ñó, theo kết khẳng ñịnh 3.7 ñồ thị G chứa tứ giác ñỏ Từ ñó ta có ñiều phải chứng minh Ví dụ 3.18 Chứng minh số nguyên dương tuỳ ý, mà số ñều có số nguyên tố nhau, luôn tìm ñược số nguyên tố (từng cặp nguyên tố nhau) Giải Xây dựng ñồ thị G = (V, E) + Đỉnh ñồ thị: Trên mặt phẳng lấy ñiểm tương ứng với số nguyên dương tùy ý ñã chọn Dùng số ñã chọn ñể ghi tên ñiểm tương ứng + Cạnh ñồ thị: Dùng cạnh ñỏ ñể nối hai ñỉnh tương ứng với hai số nguyên tố nhau, cạnh xanh ñể nối hai ñỉnh tương ứng với hai số không nguyên tố Đồ thị G nhận ñược mô tả toàn quan hệ ñược cho toán thoả mãn ñiều kiện khẳng ñịnh 3.7, ñó G có ñồ thị ñầy ñủ K3 có K4 với cạnh màu Lại số ñều có số nguyên tố nên G K3 màu xanh, tức G có K4 ñỏ Vậy số nguyên dương tuỳ ý, mà số ñều có số nguyên tố luôn tìm ñược số nguyên tố (từng cặp nguyên tố nhau) Bài toán ñược chứng minh Khẳng ñịnh 3.8 Trong ñồ thị ñầy ñủ gồm mười bốn ñỉnh K14 với cạnh ñược tô hai màu xanh, ñỏ tìm ñược ñồ thị ñầy ñủ K3 (mà ñỉnh nằm tập ñỉnh ñã cho) với Footer Page 18 of 133 Header Page 19 of 133 19 cạnh ñược tô màu xanh, ñồ thị ñầy ñủ K5 (mà ñỉnh nằm tập ñỉnh ñã cho) với cạnh ñược tô màu ñỏ (hoặc ngược lại ta ñổi màu cho nhau) Nhận xét Ta nhắc lại rằng, R(3,5)=14(Mệnh ñề 2.9) Như 14 số nguyên dương nhỏ làm cho toán ñược thỏa mãn Phần chứng minh mệnh ñề làm lời giải cho khẳng ñịnh 3.8 Ví dụ 3.19 Có 14 hùng biện viên tham gia thi SV 2011 Biết người có hai người chung ñề tài Chứng minh có người (trong số 14 người này) chung ñề tài Giải a) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy 14 ñỉnh không thẳng hàng mặt phẳng tương ứng với 14 hùng biện viên - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh tô màu ñỏ hai hùng biện viên có chung ñề tài, tô màu xanh hai hùng biện viên chung ñề tài b) Giải toán ñồ thị: Theo khẳng ñịnh 3.8 ñồ thị G(V, E) tồn K3 K5 màu Mặt khác, người có hai người chung ñề tài nên ñồ thị G K3 xanh Suy G có K5 ñỏ Từ ñó ta có lời giải cho toán Khẳng ñịnh 3.9 Cho ñồ thị ñầy ñủ gồm mười tám ñỉnh K18 với cạnh ñược tô hai màu Chứng minh tìm ñược ñồ thị ñầy ñủ K4 (mà ñỉnh nằm tập ñỉnh ñã cho) với cạnh ñược tô màu Ví dụ 3.20 Chứng minh mười tám người tùy ý ta chọn bốn người ñôi quen biết nhau, ñôi không quen biết Giải a) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy 18 ñỉnh mặt phẳng tương ứng với 18 người Footer Page 19 of 133 Header Page 20 of 133 20 - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh tô màu ñỏ hai người tương ứng quen biết nhau, tô màu xanh hai người tương ứng không quen biết b) Giải toán ñồ thị: Theo kết luận Khẳng ñịnh 3.9 ñồ thị G(V, E) tồn tứ giác mà cạnh ñường chéo màu, tức chọn ñược bốn người ñôi quen biết ñôi không quen biết Khẳng ñịnh 3.10 Cho ñồ thị ñầy ñủ có 16 ñỉnh K16 Tại ñỉnh ñồ thị K16, số 15 cạnh nối với ñỉnh lại, ta tô màu 11 cạnh Chứng minh với ñỉnh thuộc 16 ñỉnh ñã cho, tồn ba ñỉnh khác ñể lập thành ñồ thị ñầy ñủ K4 có cạnh ñều ñược tô màu Ví dụ 3.21 Có 16 em thi ñấu bóng bàn Theo lịch, em phải thi ñấu với bạn khác trận Hiện em thi ñấu 11 trận Chứng minh rằng, ñó tìm ñược em mà em ñều ñã ñấu với em lại Giải a) Ta xây dựng ñồ thị ñầy ñủ G(V, E) mô tả toán: - Tập ñỉnh V: Lấy 16 ñỉnh mặt phẳng tương ứng với 16 em - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh tô màu ñỏ hai em ñã thi ñấu với b) Giải toán ñồ thị: Với ñỉnh thuộc 16 ñỉnh ñã cho, tồn ba ñỉnh khác ñể lập thành ñồ thị ñầy ñủ K4 có cạnh ñều ñược tô màu Tức tìm ñược bốn em mà em ñã ñấu với ba em lại Khẳng ñịnh 3.11 Cho ñồ thị ñầy ñủ có (3n+1) ñỉnh K3n+1 Tại ñỉnh ñồ thị K3n+1, số 3n cạnh nối với ñỉnh lại, ta tô màu 2n+1 cạnh Chứng minh với ñỉnh thuộc 3n+1 ñỉnh ñã cho, tồn ba ñỉnh khác ñể lập thành ñồ thị ñầy ñủ K4 có cạnh ñều ñược tô màu Ví dụ 3.22 Trong phòng có 100 người mà người quen 67 số 99 người lại Hỏi liệu có xảy hay không trường Footer Page 20 of 133 Header Page 21 of 133 21 hợp người ñó phòng có người quen nhau? Giải Câu trả lời có Ta thấy ñược ñiều áp Khẳng ñịnh 3.11 với n=33 Khẳng ñịnh 3.12 Cho ñồ thị ñầy ñủ có 16 ñỉnh K16 Tại ñỉnh ñồ thị K16, số 15 cạnh nối với ñỉnh lại, ta tô màu 13 cạnh Chứng minh với ñỉnh thuộc 16 ñỉnh ñã cho, tồn năm ñỉnh khác ñể lập thành ñồ thị ñầy ñủ K6 có cạnh ñều ñược tô màu Ví dụ 3.23 Trong thành phố có 16 quận quận có ñường giao thông nối với 13 quận khác Chứng minh tồn quận ñôi có ñường giao thông nối chúng với Giải Xây dựng ñồ thị G = (V, E) mô tả ñường giao thông nối quận với Đỉnh ñồ thị quận Cạnh ñồ thị: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh hai quận có ñường giao thông nối chúng với Theo kết Khẳng ñịnh 3.12 ta suy ñồ thị G = (V, E) tồn ñồ thị K6 Vậy tồn quận ñôi có ñường giao thông nối chúng với Khẳng ñịnh 3.13 Chứng minh ñồ thị G(X, E) với kn+1 ñỉnh, ñỉnh có bậc không nhỏ (k-1)n+1 tồn ñồ thị ñầy ñủ gồm k+1 ñỉnh 3.3.2 Một số toán áp dụng khác Ví dụ 3.24 Trên tàu du lịch, người ta nhận thấy 10 người có người quốc tịch Hỏi có nhiều quốc gia có khách du lịch ñi tàu Giải : Xây dựng ñồ thị G(V, E) sau: - Tập ñỉnh V: Lấy n ñiểm mặt phẳng không gian tương ứng với n khách du lịch Dùng mã số vé tàu khách ñể kí hiệu ñỉnh Footer Page 21 of 133 Header Page 22 of 133 22 - Tập cạnh E: Hai ñỉnh ñược nối với cạnh ñược tô màu hai hành khách tương ứng có quốc tịch (với quốc tịch ta tô màu) Giải toán ñồ thị: Từ giả thiết ta có ñồ thị G(V, E) phân tích thành ñồ thị ñầy ñủ với cạnh khác màu G1, G2, G3, G4, G5 Các ñồ thị ñầy ñủ có ñỉnh Lấy từ ñồ thị ñỉnh cạnh nối chúng, ta ñược ñồ thị G(V, E) gồm 10 ñỉnh chu trình tam giác màu Điều mâu thuẫn với giả thiết 10 ñỉnh có ñỉnh tạo thành tam giác màu Xét trường hợp G (V, E) phân tích ñược thành ñồ thị ñầy ñủ với cạnh màu Khi ñó, ta lấy 10 ñỉnh cạnh nối ñỉnh ñó (nếu có) có ñỉnh ñược chọn từ ñồ thị Suy có tam giác với cạnh màu Vậy nhiều có quốc gia có khách du lịch tàu Ví dụ 3.25 Một nhà triển lãm có n2 phòng tam giác ñều Hai phòng triển lãm ñược gọi hai phòng láng giềng chúng có cạnh chung Từ phòng ñều có cửa ñi sang phòng láng giềng Một khách du lịch muốn ñi xem nhiều tốt số phòng triển lãm với ñiều kiện phòng ñi qua ñúng lần Hỏi ñi tối ña phòng Giải: Tô phòng triển lãm thành ô hai màu ñen trắng xen kẽ Hình 3.16 Hình 3.16 Footer Page 22 of 133 Hình 3.17 Header Page 23 of 133 23 Với n≥2, số phòng có màu trắng + + + + n = n( n + 1) Số phòng ñen là: + + + + n − = n( n − 1) Như số ô n( n + 1) n ( n − 1) − = n ≥ ô vậy, ñen nhỏ số ô trắng Trong trình ñi xem, khách du lịch phải ñi từ phòng trắng sang phòng ñen ngược lại Giả sử ñi tham quan tất phòng cho phòng ñi qua ñúng lần Khi ñó, số phòng ñen số phòng trắng phòng Mâu thuẫn với tính toán Như vậy, ñi tham quan tất phòng ñược Do phòng ñi qua ñúng lần mà phải ñi xen kẽ phòng ñen trắng liên tiếp nên số phòng màu trắng ñi qua số phòng màu ñen phòng Như vậy, ñi qua tất phòng ñen tối ña tổng số phòng tham quan là: n ( n − 1) n( n − 1) + + = n2 − n − 2 phòng Có thể thực ñiều theo ñường ñi Hình 3.17 Ví dụ 3.26 Cho ñiểm không gian, ñó ñiểm nằm mặt phẳng Tất ñiểm ñược nối với cặp ñoạn thẳng Mỗi ñoạn thẳng ñược tô màu xanh ñỏ không tô màu Tìm giá trị nhỏ n cho với cách tô màu n ñoạn thẳng tùy ý ta ñều tìm ñược tam giác có cạnh màu (Thi học sinh giỏi quốc tế năm 1992) Ví dụ 3.27 Chứng minh ta tô màu cạnh ñồ thị liên thông G hai màu xanh, ñỏ cho số cạnh ñỏ số cạnh xanh xuất phát ñỉnh ñồ thị G có số chẵn cạnh bậc ñỉnh G số chẵn Footer Page 23 of 133 Header Page 24 of 133 24 3.4 TÔ MÀU ĐIỂM TRONG MẶT PHẲNG VÀ TRONG KHÔNG GIAN Bài toán 3.4.1 Các ñiểm mặt phẳng ñược tô hai màu xanh ñỏ Chứng minh rằng, với khoảng cách d cho trước, tồn hai ñiểm màu mà khoảng cách chúng d Bài toán 3.4.2 Các ñiểm mặt phẳng ñược tô ba màu ñỏ, xanh, vàng Chứng minh , với khoảng cách d cho trước, tồn hai ñiểm màu mà khoảng cách chúng d Bài toán 3.4.3 Mỗi ñiểm ñường thẳng ñược tô hai màu xanh ñỏ Chứng minh tồn ba ñiểm màu, ñó có ñiểm trung ñiểm ñoạn thẳng nối hai ñiểm Bài toán 3.4.4 Các ñiểm mặt phẳng ñược tô hai màu xanh, ñỏ Chứng minh tìm ñược tam giác ñều với ba ñỉnh màu Bài toán 3.4.5 Mỗi ñiểm mặt phẳng ñược tô hai màu xanh ñỏ Chứng minh tồn hình chữ nhật có bốn ñỉnh màu Bài toán 3.4.6 Mỗi ñiểm mặt phẳng ñược tô n màu, với n số nguyên dương cho trước Chứng minh tồn hình chữ nhật với ñỉnh ñược tô màu Footer Page 24 of 133 Header Page 25 of 133 25 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Luận văn ñã nêu lên ñược số kiến thức môn lý thuyết ñồ thị nói chung toán tô màu ñồ thị nói riêng qua việc xây dựng cách có hệ thống vài kết toán tô màu ñồ thị ví dụ minh họa cho vấn ñề Qua ñó, người ñọc nhận tính ưu việt phương pháp giải toán, từ ñó giúp ích phần cho quan tâm ñến vấn ñề này, ñặc biệt học sinh lớp chuyên Một số kết luận văn dựa vào ñịnh lý Ramsey Tuy nhiên, luận văn dừng lại số trường hợp ñiển hình ñịnh lý Trong thời gian tới, hướng phát triển luận văn chứng minh ñược thêm nhiều trường hợp khác ñịnh lý xây dựng thêm lớp toán giải ñược cách áp dụng kết bên cạnh cách giải truyền thống, từ ñó, người ñọc so sánh ñể nhận hay, thú vị toán tô màu Đó mong muốn tác giả luận văn Footer Page 25 of 133  ... sử dụng thời gian thỏa mãn yêu cầu Bài toán 3.1.4 Bài toán nữ sinh Lucas Bài toán 3.1.5 Tô màu ñồ Bài toán 3.1.6 Các ghi số 3.2 MỘT SỐ BÀI TẬP LIÊN QUAN ĐẾN SẮC SỐ CỦA ĐỒ THỊ Bài toán 3.2.1 Chứng... Page 10 of 133 10 Bài toán 3.2.4 Chứng minh ñơn ñồ thị phẳng liên thông tô ñúng miền hai màu ñó ñồ thị Euler 3.3 ỨNG DỤNG TÔ MÀU ĐỒ THỊ TRONG GIẢI TOÁN 3.3.1 Một số khẳng ñịnh tô màu ñồ thị Khẳng... ñã ñược tô màu i iii) Nếu tất ñỉnh ñã ñược tô màu kết thúc: Đồ thị ñã ñược tô màu i màu Ngược lại sang bước iv) iv) Loại khỏi E’ ñỉnh ñã tô màu, ñặt i:=i+1, quay lại bước ii) 2.4 TÔ MÀU ĐỒ THỊ