Hệ phương trình sai phân tuyến tính

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN  LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP Đề tài: Hệ phương trình sai phân tuyến tính Giảng viên hướng dẫn : TS Lê Hải Trung Sinh viên thực : Hoàng Thị Phương Đà Nẵng, tháng năm 2017 LỜI CẢM ƠN Sau gần bốn năm học tập nghiên cứu trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng, q thầy trường nói chung đặc biết q thầy Khoa Tốn nói riêng giúp em tiếp thu nhiều kiến thức quan trọng bổ ích Để hồn thành chương trình học mình, em đăng kí làm khóa luận tốt nghiệp hướng dẫn thầy Lê Hải Trung Em xin chân thành cảm ơn Nhà trường, Khoa Toán quý thầy cô suốt thời gian qua tạo điều kiện cho em học tập tiếp thu kiến thức, giúp em hoàn thành nhiệm vụ học tập Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn em suốt q trình hồn thành luận văn, thầy dẫn, động viên, khích lệ em từ việc chọn đề tài đến nội dung hình thức Vì thời gian kiến thức hạn chế nên thân cố gắng luận văn cịn nhiều thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp quý báu từ quý Thầy cô bạn Cuối cùng, em xin chân thành cảm ơn tất người giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho em hoàn thành luận văn tốt nghiệp tồn khóa Sinh viên thực HOÀNG THỊ PHƯƠNG PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Đất nước đường công nghiệp hóa, đại hóa, tri thức chìa khóa quan trọng để hồn thành cơng phát triển Một phần thiếu Tốn học Bởi vậy, ngày nay, Tốn học giới Tốn học Việt Nam nói riêng khơng ngừng phát triển, đặc biệt Tốn học giải tích với khía cạnh phương trình sai phân Phương trình sai phân có nhiều ứng dụng quan trọng nhiều lĩnh vực khác Các nhà nghiên cứu khoa học, giảng viên, sinh viên không ngừng nghiên cứu đề tài Một phần thú vị quan trọng phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Bản thân sinh viên ngành sư phạm Toán, với niềm đam mê Tốn học tị mị, tìm hiểu chưa học, em chọn đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính” để làm khóa luận tốt nghiệp, hồn thành chương trình học hướng dẫn thầy giáo-TS Lê Hải Trung MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Thực đề tài “Hệ phương trình sai phân tuyến tính”, em hướng đến mục đích rèn luyện khả tiếp cận, tìm hiểu nghiên cứu vấn đề Tốn học cịn thân Từ đó, hình thành khả trình bày vấn đề Tốn học trừu tượng cách logic có hệ thống Luận văn nhằm nghiên cứu hệ phương trình sai phân tuyến tính, cách giải ứng dụng dựa sở tổng hợp lại khái niệm, định lý, tính chất của phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Thực luận văn này, em có hội tìm hiểu vấn đề hệ phương trình sai phân tuyến tính mà chưa học làm quen với cách nghiên cứu khoa học vấn đề toán học PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Đề tài hoàn thành dựa tảng kiến thức Đại số, Giải tích, Phương trình vi phân Phương trình sai phân Trên sở dịch, đọc tìm hiểu kiến thức hệ phương trình sai phân tuyến tính An introduction to difference equation Saber Elaydi số tài liệu liên quan, từ hệ thống lại kiến thức, chứng minh số định lý, bổ đề, hệ đề hoàn thành việc nghiên cứu CÁC BƯỚC THỰC HIỆN  Nhận đề tài  Sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài  Lập đề cương chi tiết  Nghiên cứu, khai thác, phân tích đề tài  Thực đề tài  Trình bày thơng qua GVHD  Chỉnh sửa hồn chỉnh luận văn  Báo cáo luận văn PHẠM VI NGHIÊN CỨU Vì thời gian kiến thức có hạn, luận văn này, em trình bày khái niệm, thừa nhận định lý, bổ đề, hệ chứng minh lại số định lý, bổ đề hệ quan trọng có liên quan đến đề tài Đề tài tập trung vào hệ phương trình sai phân tuyến tính, cơng thức Jordan ứng dụng cơng thức Jordan cho hệ phương trình sai phân tuyến tính NỘI DUNG LUẬN VĂN Luận văn chia làm ba chương sau: Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương chủ yếu trình bày hệ Ơ-tơ-nơm, định nghĩa, định lý, bổ đề liên quan để giải hệ Ơ-tơ-nơm Chương Cơng thức Jordan ứng dụng cho hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương giới thiệu cơng thức Jordan để giải hệ Autonomous trình bày số ứng dụng việc giải hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương Ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương trình bày vài ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH (Nội dung chương dịch tham khảo từ tài liệu [1]) 1.1 Hệ Ơ-tơ-nơm Định nghĩa 1.1 Hệ có dạng x1 (n  1)  a11 x1 (n)  a12 x2 (n)   a1k xk (n), x2 (n  1)  a21 x2 (n)  a22 x2 (n)   a2 k xk (n), … (1.1) xk (n  1)  ak1 x1 (n)  ak x2 (n)   akk xk (n), gọi hệ phương trình sai phân tuyến tính Ơ-tơ-nơm cấp k bất biến theo thời gian Hệ (1.1) viết dạng ma trận sau: x(n  1)  Ax(n), T x(n)  ( x1 (n), x2 (n), , xk (n))  k (1.2) , A  (aij ) ma trận thực cấp k  k khơng suy biến Các hệ khơng Ơ-tơ-nơm không bất biến theo thời gian xem xét phần sau Nếu ta đưa vào n0  0, x(n0 )  x0 , hệ (1.2) gọi hệ sai phân Ơ-tơnơm với điều kiện đầu Bằng cách lặp lặp lại liên tiếp (hoặc cách trực tiếp thay phương trình), ta nghiệm (1.2) cho bởi: x(n, n0 , x0 )  Ann0 x0 , (1.3) đó, A  I ma trận đơn vị cấp k  k Chú ý x(n0 , n0 , x0 )  x0 Nếu n0  nghiệm (1.3) viết x(n, x0 ) đơn giản x(n) Khơng tính tổng qt, giả sử n0  đặt y(n  n0 )  x(n) , (1.2) trở thành: y(n  1)  Ay(n), (1.4) với y (0)  x(n0 ) y (n)  An y (0) (1.5) Trong lý thuyết phương trình vi phân nghiệm hệ phương trình vi phân dx  Ax(t ), dt với điều kiện ban đầu cho x(t0 )  x0 , A ma trận cấp k  k , x  k x(t )  e A(t t0 ) x0 1.2 Thuật toán Putzer hệ rời rạc Trong phương trình vi phân, thuật tốn Putzer sử dụng để tính sau thuật tốn tương tự để tính A n e At Cho A  (aij ) ma trận thực cấp k  k , trị riêng A số thực số phức  cho A   với    k , hay ( A   I )  (1.6) Phương trình (1.6) có nghiệm khác det( A   I )   k  a1 k 1  a2 k 2   ak 1  ak  (1.7) Định nghĩa 1.2 Phương trình (1.7) gọi phương trình đặc trưng A,  gọi giá trị riêng A Nếu 1 , 2 , , k giá trị riêng A (1.7) viết k p ( )   (   j ) (1.8) j 1 Định lý 1.1 (Cayley- Hamilton)1 Cho A ma trận cấp k  k Khi đó, ma trận A thỏa mãn phương trình đặc trưng k p( A)   ( A   j I )  (1.9) j 1 Ak  a1 Ak 1  a2 Ak 2   ak I  Để tính (1.10) An ta xây dựng thuật toán sau: Cho A ma trận cấp k  k , k  s An   u j (n) M ( j  1), j 1 (1.11) với u j (n) hàm số vô hướng xác định sau và: M ( j )  ( A   j I )M ( j 1), M (0)  I , (1.12) M ( j  1)  ( A   j 1I )M ( j ), M (0)  I , … M (n)  ( A  n I )( A  n1I ) ( A  1I ), viết gọn lại n M (n)   ( A   j I ) j 1 Từ định lý Cayley- Hamilton ta có: Việc chứng minh chi tiết định lý xem tại: https://mail.google.com/mail/u/0/?tab=wm#inbox/15b7ee896a597c8c?projector=1 (1.13) k M (k )   ( A   j I )  j 1 Vì vậy, M (n)  0, n  k Công thức (1.11) viết lại k An   u j (n) M ( j  1) j 1 (1.14) Nếu ta cho n=0, công thức (1.11) viết lại A0  I  u1 (0) I  u2 (0)M (1)   uk (0)M (k 1) (1.15) Phương trình (1.15) thoả mãn u1 (0)  1, u2 (0)  u3 (0)   uk (0)  (1.16) Từ công thức (1.14) ta có k An 1   u j (n  1) M ( j  1), j 1 k k j 1 j 1 A An  A. u j ( n) M ( j  1)   u j ( n) AM ( j  1) Mặt khác: M ( j )  ( A   j I ) M ( j  1)  M ( j )  AM ( j  1)   j IM ( j  1)  AM ( j  1)  M ( j )   j IM ( j  1) k k j 1 j 1  An1   u j (n  1) M ( j  1)   u j (n)  M ( j )   j M ( j  1)  (1.17) So sánh hệ số M ( j ),1  j  k (1.17) điều kiện áp dụng (1.16), ta có u1 (n  1)  1u1 (n) , u1 (0)  u j (n  1)   j u j (n)  u j 1 (n), u j (0)  0, j  2,3, , k (1.18) Nghiệm (1.18) cho n 1 u1 (n)  1n , u j (n)    jn 1iu j 1 (i), j  2,3, , k i 0 n Ví dụ 1.1 Tìm A  1   A   2   3    Giải Ta có:    A   I   2    3        det( A   I )     7  16  12  1  2   3   2 1    M (0)  I , M (1)  A  I   2 1   3     1    M (2)  ( A  I )   1   2    Ta có : 10 (1.19)  1     a1      Phương trình  A   I       có nghiệm khơng tầm thường        0 a   r    r   r 1    0       Tuy nhiên phương trình  B   I       có nghiệm tầm thường      0 0  s      Khi    a1 , a2 , , ar , 0, ,  vectơ riêng C ứng với T  (ii) Chứng minh tương tự 2.3 Các hệ tuần hồn tuyến tính Định nghĩa 2.5 Xét hệ tuyến tính có dạng x(n  1)  A(n) x(n), với n  , (  (2.16) )  ( ) với số nguyên dương , hệ (2.16) gọi hệ tuần hồn tuyến tính Bổ đề 2.2 Cho B ma trận không suy biến cấp k  k cho m số nguyên dương Khi tồn ma trận C cấp k  k cho C m  B Chứng minh Cho  J1  1 P BP  J      J2      Jr  công thức Jordan B, đó:   J i  i I i  Ni  i  I i  Ni  i   với I i ma trận đơn vị cấp si  si và: 35 0  0 Ni     0 0  0 1  0 Dễ thấy Nisi  (2.17) Đặt      1  H i  exp  ln J i   exp  ln i I i  ln  I i  N i   i   m   m   s s 1    1  Ni     exp  ln i I i      s  m  s 1  i    Áp dụng công thức (2.17), ta có: s s 1 si 1 1   1  Ni      H i  exp  ln i Ii      s  i   m  s 1    m Do đó, H i ma trận xác định tốt, nữa, Hi  Ji Bây ta cho:  H1  H     H2    ,  Hr  với H i định nghĩa cơng thức (2.18) Khi đó: 36 (2.18)  H1m  m H     H 1   J1        H rm   m Đặt C  PHP , đó, C  PH P m m 1 J2   J   Jr   PJP 1  B Vậy C m  B Bổ đề 2.3 Cho hệ (2.16), ta có mệnh đề sau: (i) Nếu (n) ma trận sở (n  ) ma trận sở (ii) (n  )  (n)C , với C ma trận không suy biến (iii) (n  , )  (n, 0) Chứng minh (i) Cho (n) ma trận sở hệ (2.16) Khi đó, (n  1)  A(n)(n) ( n  với n  , (  )  ( ) Phải chứng minh  1)  A(n)(n  ) Ta có : (n   1)  A(n  )(n  )  A(n)(n  ) Vậy (n  ) ma trận sở 1 (ii) Đặt 1 (n, n0 )  (n  )1 (n0  ) ,  (n, n0 )  (n) (n0 ) Suy 1 (n, n0 ),  (n, n0 ) ma trận sở với điều kiện ban đầu giống nhau: 1 (n0 , n0 )   (n0 , n0 )  I Áp dụng định lý 1.4, ta suy được: 1 (n, n0 )   (n, n0 )   (n  ) 1 (n0  )   (n) 1 (n0 )   (n  )   (n) 1 (n0 )(n0  ) 37 Đặt C  1 (n0 )(n0  )  (n  )  (n)C (iii) Ta có  (n  , )   ( n  , 0) (0, )    (n  ) 1 (0)    (0) 1 ( )    (n  )  1 (0) (0)   1 ( )   (n  ) 1 ( )   (n)C  1 ( )   (n) 1 (0)   (n, 0) Vậy (n  , )  ( n,0) Định lý 2.3 Với ma trận sở (n) hệ (2.16) tồn ma trận tuần hoàn không suy biến P(n) , chu kỳ N cho:  ( n)  P ( n) B n Chứng minh Áp dụng bổ đề 2.3 (ii), (n  (2.19) )  (n)C , với C ma trận khơng suy biến Khi đó, áp dụng bổ đề 2.2, tồn ma trận B cho B  C N Đặt P(n)  (n) B  n với B n  ( B n ) 1 , P(n  )   (n  ) B  N B  n   (n)CB  N B  n   (n) B N B  N B  n   ( n) B  n  P ( n)  P(n) tuần hoàn với chu kỳ N P(n) ma trận không suy biến, lại có P ( n)   ( n) B  n   ( n)  P ( n) B n Vậy suy điều phải chứng minh Chú ý z(n) nghiệm hệ 38 z(n  1)  Bz(n), (2.20) n đó, x(n)  (n)c  P(n) B c x(n)  P(n) z (n) (2.21) N Định nghĩa 2.6 Ma trận C  B bổ đề 2.3 (ii) gọi ma trận đơn sắc (2.16) Các giá trị riêng  B gọi số mũ Floquet (2.16) ; tương ứng, giá trị riêng  N B N gọi số mũ Floquet (2.16) Bổ đề 2.4 Nếu (n)  (n) hai ma trận sở (2.16) cho (n  )  (n)C ,  (n  )   (n)C , C E đồng dạng (và chúng có giá trị riêng) Chứng minh Do (n)  (n) hai ma trận sở (2.16) nên x(n)  (n)c1 x(n)   (n)c2  (n)c1   (n)c2  (n)   (n)c2c11 Đặt P  c2c11  (n)  (n) P   (n  )   (n  ) P   (n)C   (n) EP   (n) PC   (n) EP  PC  EP  C  P 1 EP Vậy C E đồng dạng Bổ đề 2.5 Một số phức  số mũ Floquet (2.16) nghiệm n (2.16)  q(n) , q(n) hàm vectơ với q(n  )  q(n), n Chứng minh Cho số phức  số mũ Floquet (2.16),  số mũ n Floquet nên  giá trị riêng Chọn x0  k B n  det( Bn   n I )  , x0  cho 39 B n   n I  x0  0, n  B n x0   n x0 Với P(n) ma trận tuần hồn định nghĩa cơng thức (2.19) Từ cơng thức (2.19), ta có : x(n, n0 , y0 )  (n, n0 ) x0  P(n) Bn x0  P(n) n x0   n P(n) x0 Đặt q(n)= P(n) x0  x(n, n0 , y0 )   n q(n) Ngược lại,  n q(n) nghiệm (2.16) với q (n  )  q (n), n , từ định lý 2.3,  n q(n)  P(n) B n x0 với x0  , (2.22) điều có nghĩa  n N q(n)  P(n) B n N x0 (2.23) Từ (2.22), ta có:  n N q(n)   N P(n) B n x0 Từ (2.23) (2.24) ta có: P(n) B n  N x0   N P(n) B n x0  P(n) B n  B N   N I  x0  0,  det  B N   N I   Vậy  số mũ Floquet (2.16) 40 (2.24) CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH (Nội dung chương dịch tham khảo từ tài liệu [1]) 3.1 Các chuỗi Markov Vào năm 1906 nhà toán học người Nga phát triển khái niệm chuỗi Markov Chuỗi Markov mô tả sau: Giả sử tiến hành số thí nghiệm với tập k kết mệnh đề, S  s1 , s2 , , sk  Thí nghiệm lặp lặp lại cho xác suất ( pij ) mệnh đề si ,1  i  k xảy lặp lại lần thứ (n+1) phụ thuộc vào mệnh đề si xuất  lặp lại lần thứ n thí nghiệm Trong ngơn ngữ lý thuyết xác suất, ( pij )  p si s j  xác suất xảy si lần lặp lại Cho rằng, s j xảy vào lần lặp lại cuối cùng, s1 , s2 , , sk phải xảy lần lặp Như p1 j  p2 j   pkj  1,1  j  k (3.1) Cho pi (n) biểu thị xác suất mà si xảy vào lần lặp lại thứ n thí nghiệm,  i  k Vì si phải xảy lần lặp lại thứ n, sau p1 (n)  p2 (n)   pk (n)  (3.2) Để rút mơ hình tốn học cho thí nghiệm này, định nghĩa : pi (n  1),1  i  k , xác suất mà si xảy vào lần lặp thứ (n+1) thí nghiệm Có k cách để điều xảy : Trường hợp lần lặp thứ n cho ta s1 lần lặp thứ (n+1) cho ta si Vì xác suất nhận s1 lần lặp thứ n p1 (n) xác suất nhận si sau s1 pi1 , điều có nghĩa xác suất trường hợp pi1 p1 (n) 41 Trường hợp 2, nhận s2 lần lặp lại thứ n si lần lặp lại thứ (n+1) Xác suất xảy trường hợp thứ pi p2 (n) Lặp lại điều cho trường hợp thứ 3,4,…,k với i  1, 2, , k , ta có hệ k chiều : p1 (n  1)  p11 p1 (n)  p12 p2 (n)   p1k pk (n), p2 (n  1)  p21 p1 (n)  p22 p2 (n)   p2 k pk (n), pk (n  1)  pk1 p1 (n)  pk p2 (n)   pkk pk (n) biểu diễn dạng ma trận: p ( n  1)  Sp ( n), n  1, 2,3, , (3.3) p(n)   p1 (n), p2 (n), , pk (n)  vectơ xác suất S   pij  ma trận T chuyển đổi cấp k  k Ma trận S thuộc lớp ma trận đặc biệt gọi ma trận Markov Ma trận A   aij  gọi ma trận không âm (dương) aij  0( 0) với mục aij A Định nghĩa 3.1 Một ma trận A không âm cấp k  k gọi Markov (hoặc ngẫu nhiên) k a i 1 ij  1, j  1, 2, , k 3.2 Chuỗi Markov suy biến m Định nghĩa 3.2 Chuỗi Markov suy biến chuỗi mà S dương với số m nguyên dương Định lý 3.1 (Perron’s theorem) Cho A ma trận dương cấp k  k  ( A) giá trị riêng đơn giản thực (không lặp lại A) Nếu  giá trị riêng A    ( A) , nữa, vectơ riêng ứng với  ( A) giả định dương 42 Giả sử S ma trận chuyển đổi chuỗi Markov với giá trị riêng 1 , 2 , , k  (S )  m Nếu S dương  ( S m )  , thực tế giá trị riêng S m 1m , 2m , , km m Bởi định lý Perron, giá trị riêng đơn S Do đó, S có xác giá trị riêng đơn Cho 1  tất giá trị riêng cịn lại thỏa mãn i  1, i  2,3, 1  Do đó, cơng thức Jordan S phải J    với giá trị riêng J*  J*  2 , 3 , , k n n Từ hệ 2.1, lim J*  , lim J  diag (1,0,0, ,0) n  n  Vì thế, S  QJQ 1 , có: lim p(n)  lim S n p(0)  lim QJ nQ1 p(0)  1 ,0, ,0   a1 , n  n  n  (3.4) 1  11 ,  21 , ,  k  vectơ riêng S ứng với giá trị riêng a T thành phần đâu tiên   Q 1 p(0) Vì việc xác định ma trận Q việc đơn giản, chọn thay tạo phương pháp dễ dàng để tìm số a Nhớ lại p (n)   p1 (n), p2 (n), , pk (n)  T Từ công thức (3.2): p1 (n)  p2 (n)   pk (n)  Vì lim p(n)  a1 , nên từ suy n  a11  a 21   a k  a 11   21    k1 Ví dụ 3.4: 43 Loại đơn giản kế thừa di truyền động vật xảy đặc điểm định xác định cặp gen cụ thể mà gen có hai loại G g Một cá thể có kiểu gen: GG, Gg (di truyền GG) gg Cá thể mang kiểu gen GG cá thể trội, cá thể mang kiểu gen gg cá thể lặn cá thể mang kiểu gen Gg cá thể dị hợp Trong giao phối hai vật, thừa hưởng gen từ cặp bố mẹ Giả định di truyền học, việc lựa chọn gen ngâu nhiên Chúng ta bắt đầu với cá thể mang kiểu gen GG lai dị hợp Giả sử đời con, đem lai với cá thể có cặp gen dị hợp Lặp lại q trình thơng qua số hệ Trong hệ có trạng thái xảy ra, là, s1  GG, s2  Gg , s3  gg Cho pi (n) xác suất mà si xảy hệ thứ n cho pij xác suất mà xảy hệ thứ (n+1) cho s j xảy hệ thứ n Hệ sai phân mơ hình chuỗi Markov biểu thị p1 (n  1)  p11 p1 (n)  p12 p2 (n)  p13 p3 (n) p2 (n  1)  p21 p1 (n)  p22 p2 (n)  p23 p3 (n) p3 (n  1)  p31 p1 (n)  p32 p2 (n)  p33 p3 (n) Bây giờ, p11 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối GG Gg Suy p11  p12 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối Gg Gg p12  p13 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối Gg gg 44 si p13  Tương tự ta tính 1 1 p21  ; p22  ; p23  ; p31  0; p32  ; p33  2 Vì có: p(n  1)  Sp(n) với 1 2  S  2    4  0  1 2  1  2 Chú ý mục S dương vậy, chuỗi Markov suy biến Các trị riêng S 1  1, 2  , 3  p(n)  a1 , Áp dụng công thức (3.4), lim n  1 1    a  1   Vậy 1 4   lim p ( n)    2 n      4 45 Quan hệ cho thấy rằng, số lần lặp lại hợp lý xác suất có đứa mang gen trội mang gen lặn hợp xác suất để có đứa mang gen dị 46 PHẦN KẾT LUẬN Luận văn trình bày hệ Ô-tô-nôm phương pháp giải hệ với công thức Jordan ứng dụng Tuy nhiên đề tài dừng lại mức độ giới thiệu chứng minh số định lý, bổ đề, hệ quan trọng Do thời gian nghiên cứu có hạn nên đề tài chưa nghiện cứu cụ thể hệ tuần hồn tuyến tính Vì vậy, có thời gian điều kiện, em tiếp tục nghiên cứu vấn đề kĩ Trong trình thực đề tài, thân có nhiều cố gắng khơng tránh khỏi sai lầm thiếu sót Kính mong q thầy đóng góp ý kiến để đề tài hoàn thiện Sinh viên thực HOÀNG THỊ PHƯƠNG 47 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Saber Elaydi, An introduction to difference equation, Springer, 2000 [2] Lê Hải Trung, Giáo trình Phương trình sai phân [3] Nguyễn Đình Phư, Phương trình vi phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Tp HCM, 2002 48 MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN .1 PHẦN MỞ ĐẦU CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH .6 1.1 Hệ Ơ-tơ-nơm 1.2 Thuật toán Putzer hệ rời rạc 1.3 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 11 CHƯƠNG CÔNG THỨC JORDAN VÀ ỨNG DỤNG CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 22 2.1 Ma trận chéo hóa 22 2.2 Khối ma trận chéo 33 2.3 Các hệ tuần hồn tuyến tính 35 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 41 3.1 Các chuỗi Markov 41 3.2 Chuỗi Markov suy biến 42 PHẦN KẾT LUẬN 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO 47 49 ... trình sai phân tuyến tính Chương Ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính Chương trình bày vài ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH (Nội... niệm, định lý, tính chất của phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Thực luận văn này, em có hội tìm hiểu vấn đề hệ phương trình sai phân tuyến tính mà chưa học làm quen với... trọng phương trình sai phân hệ phương trình sai phân tuyến tính Bản thân sinh viên ngành sư phạm Toán, với niềm đam mê Tốn học tị mị, tìm hiểu chưa học, em chọn đề tài ? ?Hệ phương trình sai phân tuyến