Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG HỒNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Đà Nẵng, 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ QUANG HOÀNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành : Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8460113 LUẬN VĂN THẠC SĨ PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Người hướng dẫn : TS LÊ HỒNG TRÍ Người hướng dẫn : TS LÊ HẢI TRUNG Đà Nẵng, 2020 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiêm cứu Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Lê Quang Hoàng i LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hoàng Trí TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn tơi q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tơi ln ghi nhớ tri ân bảo, quan tâm tận tình hai thầy thời gian thực luận văn Tôi xin gủi lời cảm ơn chân thành đến tất giáo viên tận tình dạy bảo suốt thời gian học tập Đồng thời xin gủi lời cảm ơn đến anh chị lớp PP tốn sơ cấp K36 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Mặc dù thân tác giả có nhiều có gắng, kiến thức lực cịn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận ý kiến quý thầy cô giáo bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Ngày 05 tháng 05 năm 2020 Học viên thực Lê Quang Hoàng ii INFORMATION ON MASTER'S THESIS Official thesis title: Linear difference equations and their applications Major: Elementary Mathematics Methods Full name of Master's student: Le Quang Hoang Supervisors: Dr Le Hoang Tri Dr Le Hai Trung Training institution: The University of Danang - University of Science and Education Abstract: Here are the findings of the thesis on "Linear difference equations and their applications": - Presenting basic knowledge about difference, concepts, properties, theorems of homogeneous and inhomogeneous difference equations - Classifying linear difference equations and presenting methods for solving such difference equations such as homogeneous linear difference equations with constant coefficients, inhomogeneous linear difference equations or inhomogeneous linear difference equations with the specific right-hand side Some examples illustrate such solution methods - Presenting some applications of linear difference equations such as summing terms of recurrence sequences, calculating dete1minants, calculating the limit of number sequences and solving some arithmetic problems The issues stated in the thesis are practical and suitable for rnaJor m Elementary Mathematics Methods Keywords: Linear difference equations, linear difference equations with constant coefficients, applications of linear difference equations Supervisors' confirmation Supervisor Supervisor Master's student Dr Le Hoang Tri Dr Le Hai Truog Le Quang Hoang MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Tổng quan cấu trúc luận văn CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Định nghĩa số tính chất 1.1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến số thực 1.2 Phân loại nghiệm phương trình sai phân 10 1.2.1 Định nghĩa phương trình sai phân 10 1.2.2 Nghiệm tổng quát 12 1.2.3 Nghiệm riêng 13 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 14 2.1 Một số khái niệm 14 2.1.1 Hệ độc lập tuyến tính, hệ phụ thuộc tuyến tính 14 2.2 Định thức Casorati 17 2.3 Phương trình sai phân tuyến tính 18 2.3.1 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 18 2.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính với hệ số 24 2.4 Phương trình sai phân tuyến tính khơng 26 2.4.1 Phương trình sai phân tuyến tính khơng thn cấp n 26 iii 2.4.2 Phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số với vế phải đặc thù 35 CHƯƠNG MỘT SỐ ỨNG DỤNG 40 CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 40 3.1 Dãy truy hồi Tổng số hạng dãy truy hồi Cơng thức tính tổng phần 40 3.1.1 Dãy truy hồi 40 3.1.2 Tổng số hạng dãy truy hồi, cơng thức tính tổng phần 42 3.2 Ứng dụng phương trình sai phân để tính định thức 45 3.3 Tính giới hạn dãy số 51 3.4 Giải toán số học 55 KẾT LUẬN 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 63 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong đời sống thực tế khoa học kỹ thuật có nhiều tượng mơ tả dạng phương trình sai phân tuyến tính Ngồi ra, phương trình sai phân tuyến tính cịn cơng cụ giúp giải tốn vi phân, tích phân, đạo hàm, tính định thức cấp n, tính giới hạn dãy số, toán số học… Việc giải phương trình sai phân mục tiêu tìm công thức hàm chưa biết thỏa mãn mối quan hệ đưa trước Thơng thường kết họ nghiệm mô tả phương trình tốn, sai lệch số C Hàm biết xác có thêm điều kiện ban đầu điều kiện biên Trong ứng dụng thực tế, nhiều toán tính lãi suất %, tốn theo quy luật… đơi lúc khơng dễ dàng để tìm cơng thức nghiệm, với giá trị thực tiễn người ta quan tâm tới giá trị hàm giá trị cụ thể biến độc lập Ở trường trung học phổ thông kỳ thi học sinh giỏi toán xuất nhiều tốn hay khó dãy số, giới hạn, số học, tích phân truy hồi, phương trình hàm, với lời giải ứng dụng kiến thức phương trình sai phân tuyến tính Chính mà nhiệm vụ tìm hiểu ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính tốn phổ thơng yêu cầu cấp thiết quan trọng Nhằm hiểu thấu đáo phương trình sai phân tuyến tính hướng dẫn, gợi ý thầy giáo TS LÊ HẢI TRUNG, định chọn đề tài “Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu kiến thức phương trình sai phân ứng dụng - Hệ thống phân loại số tốn giải cách sử dụng kiến thức phương trình sai phân - Ứng dụng giải tốn thực tế, xây dựng phương trình sai phân để tìm kết Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Các kiến thức dãy số, sai phân, phương trình sai phân… - Các tốn phương trình sai phân tuyến tính - Các tốn giải cách sử dụng kiến thức phương trình sai phân Phương pháp nghiên cứu Với đề tài: “phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng” chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài, cụ thể: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống tài liệu liên quan đến nội dung đề tài luận văn + Phân tích, nghiên cứu tài liệu để thực đề tài luận văn + Trao đổi, thảo luận, tham khảo ý kiến người hướng dẫn, chuyên gia đồng nghiệp Ví dụ 3.4.3 Cho dãy số (un ) xác định u1  3, u2  17,  un   6un 1  un , n  Chứng minh với n  ta có un2  số phương Lời giải Dãy số un xác định cơng thức truy hồi tuyến tính cấp hai un2  6un1  un Phương trình đặc trưng   6   có nghiệm 1   8, 2   8, un  C1 (3  8)n  C2 (3  8)n Với giá trị ban đầu u1  3, u2  17, Nên ta tính C1  C2  Do un  1 (3  8)n  (3  8)n  ,  Suy un2  1  (3  8) n  (3  8) n     , n  2  Áp dụng công thức khai triển nhị thức Newton ta biểu diễn (3  8)n  xn  yn 2, xn , yn  Z , n  Do un2   yn2 số phương Ví dụ 3.4.4 Cho dãy số (un ) xác định u0  1, u1  45,  un   45un 1  7un Tìm số ước dương biểu thức: un21  unun2 Lời giải Dãy số un xác định công thức truy hồi tuyến tính cấp hai un2  45un1  7un  phương trình đặc trưng   45   có hai nghiệm 1,2  45  1997 Do cơng thức tổng qt 57 n n  45  1997   45  1997  un  C1    C2   2     Với điều kiện ban đầu u0  1, u1  45, ta tìm C1  C2  45  1997 , 1997 45  1997 Thay vào ta tìm số dãy số un sau: 1997 un  1997  45  1997 n 1  45  1997 n 1        2       Suy ra: un21  unun2  7n1 Do số nguyên tố nên 7n1 có ước số 1,7,72 , ,7n1 suy 7n1 có n  ước số Vậy số ước dương biểu thức: un21  unun2 n  số Ví dụ 3.4.5 Cho dãy số (un ) xác định u0  20, u1  100,  un  4un 1  5un  20 Tìm số nguyên dương h nhỏ để unh  un chia hết cho 1998, với n  Lời giải Dãy số un xác định cơng thức truy hồi tuyến tính cấp hai un2  4un1  5un  20  Phương trình đặc trưng   4   có hai nghiệm 1  1, 2  Do nghiệm phương trình un2  4un1  5un  zn  C1 (1)n  C2 (5)n Bằng phương pháp biên thiên số Lagrange ta tìm nghiệm riêng un*   Nghiệm tổng quát un là: un  zn  un*  C1 (1)n  C2 (5)n  58 Với giá trị ban đầu u0  20, u1  100, ta C1  25 , C2  Thay vào phương trình cuối tìm dãy số un dạng: 5 un  (1)n  (5)n   ta suy được: xn  5xn1  20 n chẵn xn  5xn1 n lẽ Điều kiện cần: xnh  xn (mod 1998), với n  Suy ra: xh  x0  20(mod 1998), xh1  x1  100(mod 1998) hay 5xh1  xh1  xh  20  0(mod 1998) Do 1998 nguyên tố nên xh1  0(mod 1998) Mặt khác h lẽ xh  5x h1  0(mod1998), nên x1  0(mod 1998) Điều vơ lí x1  100 Vì h chẵn xh1  0(mod 1998) Điều kiện đủ: Với h chẵn xh1  0(mod 1998), ta chứng minh xnh  xn  0(mod 1998) Thật với h chẵn thì: xh  5xh1  20  0(mod 1998)  x0 ; xh1  4x h  5xh1  20  100(mod 1998)  x1 Kết hợp với xn2  xn1  xn  20  xnh  xn (mod 1998), với n  Như h số chẵn nhỏ thoả mãn xh1  0(mod 1998) Ta có: 5h  1(mod 4) h, 554  1(mod 34 ), 536  1(mod 37) suy 5108  1(mod 1998) Vậy h  108 Ví dụ 3.4.6 Cho dãy số (un ) xác định bởi:  u0  , u1  , 3  un   3un 1  2un 2007 Tính tổng S   [un ] k 0 59 Lời giải Dãy số un xác định công thức truy hồi tuyến tính cấp hai un2  3un1  2un  Phương trình đặc trưng   3   có hai nghiệm 1  1, 2  Nghiệm tổng quát dãy số un  C1  C2 2n ( với C1 , C2 số) Với giá trị ban đầu u0  , u1  ta tìm C1  0, C2  , dãy số 3 2n un  Ta có a  0, b  0, a  Z , b  Z , a  b  Z [a]  [b]  a  b 1 Hơn 2n 2n 1   2n Vậy nên: 3   20   21     22   23     22006   22007   S                                    20 21 22007  22008        1004   1004    3 22008   1004 Tổng S   [un ]  k 0 2007 Ví dụ 3.4.7 Cho dãy số (un ) xác định bởi: u1  1, u2  2,  un    2un 1  un Tìm n để un  Z với n  Lời giải Dãy số un xác định công thức truy hồi tuyến tính cấp hai un2  2un1  un  Phương trình đặc trưng   2   có hai nghiệm 1,2  cos 3 3 3n 3n  i sin Nghiệm tổng quát dãy số un  C1 cos  C2 sin 4 4 ( với C1 , C2 số) Từ giá trị ban đầu u1  1, u2  2, ta xác đinh C1  (2  2), C2  2 , dãy số un xác định bởi: un  (2  2) cos 3n 3n  2sin 4 60 Suy ra: u4k  (2  2)(1)k , u4k 1  (1) k , u 4k 2  2(1) k , u4k 3  (1  2)(1) k Vậy với n  4k  hay n  4k  un  Z Ví dụ 3.4.8 Cho dãy số (un ) xác định un2  un1  un Giả sử tổng 1997 số hạng dãy 1879, tổng 1879 số hạng 1997 Hỏi tổng 2000 số hạng Lời giải Dãy số un xác định cơng thức truy hồi tuyến tính cấp hai un2  un1  un  Phương trình đặc trưng      có hai nghiệm 1,2  cos   i sin  Nghiệm tổng quát dãy số un  C1 cos n n  C2 sin 3 số)  n Suy ra: Sn  C1   cos  k 1 k k   n  C    sin   k 1    Sử dụng tính chất sin(   )   sin  , cos(   )   cos  Ta có: Sn6  Sn Do vậy: S1997  S5  u1  u2   u5  C1  1879 5873 S1879  S1  u1  (C1  3C2 )  1997  C2  Vậy: S2000  S2  u1  u2  3C2  5873 61 ( với C1 , C2 KẾT LUẬN Luận văn “ Phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng” đạt kết sau: Trình bày kiến thức sai phân, khái niệm, tính chất, định lí phương trình sai phân không Phân loại phương trình sai phân tuyến tính trình bày phương pháp giải phương trình sai phân đó, phương trình sai phân tuyến tính hệ số hằng, phương trình sai phân tuyến tính khơng không với vế phải đặc thù Một số ví dụ minh họa phương pháp giải Trình bày số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính tính tổng số hạng dãy truy hồi, tính định thức, tính giới hạn dãy số giải số toán số học Những nội dung trình bày luận văn rộng, bao gồm dạng tốn phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng Vì để đảm bảo luận văn khơng q dài, số lượng ví dụ minh họa chọn lọc không nhiều, chưa phong phú Đây hướng để tìm tịi phát triển luận văn Ngồi luận văn phát triển nghiên cứu sâu dạng tính tổng số hạng dãy truy hồi, công thức tính tổng phần, tính giới hạn dãy số toán số học khác 62 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt: [1] Lê Đình Định, tập phương trình sai phân, Nhà xuất Giáo dục năm 2001 [2] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001) Phương trình sai phân số ứng dụng Nhà xuất Giáo dục [3] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), phương pháp sai phân Nhà xuất ĐHQG Hà Nội [4] Lê Đình Thịnh (2004), Phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên) (2002), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [6] Nguyễn Tài Chung (2004), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, nhà xuất ĐHQG Hà Nội [7] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số toán chọn lọc dãy số, nhà xuất Giáo dục [8] Gelfond A.O Phép tính sai phân hữu hạn, nhà xuất khoa học Moscow 1967 Tiếng Anh: [9] Saber Elaydi (2005), An Introduction to difference Equations, Springer [10] Sharkovskii (1993), Difference Equations and Their Applications, Springer Publisher, New York 63 \ ceNG HoA xA ngI cHU Ncni,q vIET NAM DAr Hec o.q NANc rntloNc E+r HQC sU ru4vt DQc lQp - TF - H4nh phric BIEN BAN HQP HQI DONG CHAM LUAN VAN THAC SI tai Phucrng trinh sai ph0n tuy6n tinh vd img dpng Ngdnh: Phucrng ph5p to6n so cdp TOn OO Theo Quytlt dinh thdnh 10p HQi ddng ch6m lufln vdn thpc si sO ngiry tT €llpO-EHSP th6ng yfudm2020 Ngiy hgp HQi d6ng: Sothdng {ndm 2020 Danh s6ch c6c thdnh vi6n HQi d6ng: CUONG VI TRONG HQI DONG HO VA TEN STT TS Luong Qu6c Tuyi5n Chir tich TS Nguy6n Ngoc Chdu Thu ky TS Hodng Nhqt Quy Phin biQn TS Nguy6n Thdnh Chung PhAn biqn TS TrAn Dri'c Thdnh Thu Uy viOn K a Thdnh vi6n c6 m6t: b Thdnh vi€n ving mflt ki HOi d6ng brio c6o qu6 trinh hgc t6p, nghi€n criu cria hgc vi6n cao hgc vd dqc ly lich khoa hgc (c6 vdn bin kdm theo) Hgc vi6n cao hgc trinh biy 1u4n vln C6c ph6n biQn dgc nh4n x6t vir n6u c6u hoi (c6 v5n Hgc vi€n cao hgc 10 1 tr6ldi Hqi d6ng hgp riOng bin kdm theo) c5c c6u hoi ctra thdnh vi6n HQi d6ng AC AanA, gia Trudng ban ki6m phiSu c6ng b6 k5t qu6 ! D.Ketlupn cira HQi tl6ng a) Ktit lufln chung: \) b) Yeu ciu chinh, sua vd nOi dung: rt) ) c) C6c j'kitin kh6c: d) DiCm d6nh giir: Bing s6: 13 T5c E B [ng chfr: gi6lu4n vdn ph5t bi6u y kitin 14 Chtr tich HQi d6ng tuy6n b6 bt5 mac rHurY sQI DoNG U,e^ &r "1* CHU TICH HQI ceNG HoA xA Hgt cHU xcni.q' vIET NAM D6c tip - Tu - Hanh Phric nAx NHAN xnr ru4N vAN rHAC si (Oann cho thdnh viAn hQi Aing khing phdi ld phdn biQn) TOn