Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU HỊA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– ĐỖ HỮU HỊA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận văn trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Đỗ Hữu Hòa LỜI CẢM ƠN Lời luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung trực tiếp tận tình hướng dẫn cung cấp tài liệu thông tin khoa học cần thiết cho tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo tác giả suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến anh chị em lớp Tốn giải tích K31-Kontum nhiệt tình giúp đỡ tác giả trình học tập lớp Tác giả Đỗ Hữu Hòa MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 1.1 Phép tính sai phân 1.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao .7 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính hệ số 18 1.4 Phương trình sai phân tuyến tính khơng 1.5 Trạng thái giới hạn nghiệm 23 30 1.6 Các phương trình khơng tuyến tính biến đổi thành phương trình tuyến tính 36 CHƯƠNG Một số ứng dụng phương trình sai phân41 2.1 Mơ hình nhân giống 41 2.2 Mơ hình phá sản bạc 2.3 Mơ hình thu nhập quốc gia 2.4 Sự truyền dẫn thông tin 43 46 47 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 52 MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Để giải mơ hình tốn học ta có nhiều cách tiếp cận, cách sử dụng chuyên ngành khoa học khác Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng, Đại số tuyến tính, Nếu ngành khoa học nêu việc nghiên cứu mô hình với biến liên tục tỏ xác định mạnh mơ hình biến rời rạc việc sử dụng kết kiến thức lý thuyết sai phân cho thấy giá trị vượt trội Thực tế mơ hình liên quan đến dân số, tài chính, mơi trường, ngân hàng, vấn đề Lý thuyết phương trình vi phân, Phương trình đạo hàm riêng giải dựa Lý thuyết sai phân Với mục đích phần nghiên cứu sâu Lý thuyết phương trình sai phân với ứng dụng gợi ý, hướng dẫn TS Lê Hải Trung, tơi chọn đề tài Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao ứng dụng Mục đích nghiên cứu (a) Nghiên cứu sở lý thuyết phương trình sai phân (b) Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao số mơ hình tốn Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 3.2 Phạm vi nghiên cứu (a) Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao biến (b) Xét số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao vào việc giải phân tích số mơ hình kinh tế (c) Đánh giá ổn định nghiệm phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Phương pháp nghiên cứu Các kiến thức sử dụng luận văn thuộc lĩnh vực: Lý thuyết phương trình sai phân, Lý thuyết phương trình vi phân, Phương pháp phân tích kinh tế, Phương pháp tính, Giải tích số, Giải tích, Đại số tuyến tính, Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành toán đối tượng quan tâm đến ứng dụng từ phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia làm hai chương cụ thể sau: Chương Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Chương Một số ứng dụng phương trình sai phân CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO Chương dành cho việc khảo sát số phương trình sai phân tuyến tính biến phụ thuộc cấp cao Các phương trình phát sinh hầu hết lĩnh vực khoa học như: biến động quần thể (các nghiên cứu đơn loài), kinh tế học (nghiên cứu mơt loại hàng hóa), vật lý (các nghiên cứu chuyển động đối tượng) Trong tồn chương này, chúng tơi quy ước x(n) hàm xác định N Các kết chương tham khảo [1], [2], [3], [7], [8] 1.1 Phép tính sai phân Định nghĩa 1.1.1 Toán tử ∆ xác định ∆x (n) = x (n + 1) − x (n) (1.1) gọi toán tử sai phân Ta viết (1.1) dạng ∆x (n) + x (n) = x (n + 1) (1.2) Ngồi ra, ta gọi I tốn tử đồng Ix (n) = x (n) , (1.2) viết dạng (∆ + I) x (n) = x (n + 1) Khi đó, toán tử E = ∆ + I gọi toán tử dịch chuyển Định nghĩa 1.1.2 Giả sử ∆ tốn tử sai phân Khi đó, ∆k x (n) = ∆ ∆k−1 x (n) gọi sai phân cấp k x(n) (1.3) Nhận xét 1.1.3 Sử dụng toán tử dịch chuyển E ta suy k k k (−1)i ∆ x(n) = (E − I) x(n) = k i E k−i x(n) i=0 k (−1)i = k i (1.4) x(n + k − i) i=0 Hồn tồn tương tự ta viết k k E x(n) = k i ∆k−i x(n) i=0 Bổ đề 1.1.4 Với a, b ∈ R, ta có 1) ∆ [ax (n) + by (n)] = a∆x (n) + b∆y (n) ; 2) E [ax (n) + by (n)] = aEx (n) + bEy (n) ; 3) ∆ [x (n) y (n)] = Ex (n) ∆y (n) + y (n) ∆x (n) ; 4) ∆ y (n) ∆x (n) − x (n) ∆y (n) x (n) = y (n) y (n) Ey (n) Chứng minh Ta có ∆[ax(n) + by(n)] = ∆[(ax + by)(n)] = (ax + by)(n + 1) − (ax + by)(n) = a[x(n + 1) − x(n)] + b[y(n + 1) − y(n)] = a∆x(n) + b∆y(n) E[ax(n) + by(n)] = E[(ax + by)(n)] = (ax + by)(n + 1) = ax(n + 1) + by(n + 1) = aEx(n) + bEy(n) (1.5) ∆[x(n)y(n)] = ∆[(xy)(n) = (xy)(n + 1) − (xy)(n) = x(n + 1)y(n + 1) − x(n)y(n) = x(n + 1)[y(n + 1) − y(n)] + [x(n + 1) − x(n)]y(n) = Ex(n)∆y(n) + y(n)∆x(n) ∆ x x(n) =∆ (n) y(n) y x x = (n + 1) − (n) y y x(n + 1) x(n) = − y(n + 1) y(n) x(n + 1)y(n) − x(n)y(n + 1) = y(n)y(n + 1) [x(n + 1) − x(n)]y(n) − x(n)[y(n + 1) − y(n)] = y(n)y(n + 1) ∆x(n)y(n) − x(n)∆y(n) = y(n)Ey(n) Như vậy, bổ đề chứng minh Bổ đề 1.1.5 Ta có biểu thức sau n−1 ∆x (k) = x (n) − x (n0 ) ; (1.6) k=n0  n−1 ∆ k=n0 Chứng minh Ta có  x(k) = x(n) − x (n0 ) (1.7) 50 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu, luận văn thu kết sau 1.1 Hệ thống lại kiến thức phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 1.2 Chứng minh chi tiết định lý liên quan đưa ví dụ minh họa: Định lý 1.3 Ví dụ 1.4, Ví dụ 1.5; Định lý 1.6 Ví dụ 1.6, Ví dụ 1.7; Định lý 1.8 Ví dụ 1.9, Ví dụ 1.10 Ví dụ 1.11 1.3 Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao để phân tích đánh giá số mơ hình kinh tế: Mơ hình nhân giống cây, mơ hình phá sản bạc, mơ hình thu nhập quốc gia, Sự truyền dẫn thông tin 51 Kiến nghị Thời gian tới, tiếp tục nghiên cứu vấn đề sau Nghiên cứu thêm ứng dụng phương trình sai phân lĩnh vực kinh tế đời sống - xã hội Mặc dù tác giả thực cách nghiêm túc trình làm luận văn nhiên luận văn tránh khỏi số thiếu sót, tác giả mong q thầy đối tượng quan tâm đóng góp ý kiến để luận văn hoàn thiện 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh Giải tích số Nxb Giáo dục 2008 [2] Lê Đình Thịnh Lý thuyết sai phân ứng dụng Nxb Giáo dục 2011 [3] Lê Đình Thịnh Bài tập phương trình sai phân Nxb Giáo dục 2011 [4] Mai Thị Trang Ứng dụng phương trình sai phân chương trình PTTH Luận văn thạc sĩ khoa học Đại học Đà Nẵng 2013 [5] Nguyến Tiến Tuấn Phương trình sai phân ứng dụng Luận văn thạc sĩ khoa học Đại học Quốc gia Hà Nội 2015 [6] Võ Thị Hải Yến Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng Luận văn thạc sĩ khoa học Đại học Khoa Học Tự Nhiên Hà Nội 2011 Tiếng Anh [7] Saber Elaydi An Introduction to difference equations Third Edition Springer USA 2000 [8] Miraliubov A.A Linear Nonhomogeneous Equations Scientific publisher Moscow 1986 BAN NHAN XET LUAN VAN TRAC SY PHUONG TRINH SAi PHAN TUYEN TiNH CAP CAO VA UNG DUNG Chuyen nganh Toan Giai tich Ma-nganh 60 46 01 02 H9c vien: DO HỮU HOA Nguoi nh�n xet: TS HOANG QUANG TUYEN Don vi cong tac: Trung tam tin h9c UBND Tp Da N�ng I/ Tinh cfip thi�t cua d� tai Vi�c nghien cuu cac mo hinh toan v6i biSn lien tl)C bing ly thuySt phuong trinh vi phan, phuang trinh d?O ham rieng, d?i s6 tuySn tinh da to rfi.t hi�u h;rc Tuy nhien, nhiSu vfi.n dS doi s6ng, kinh tS, xa h9i hi�n d?i duqc mo hinh h6a toan h9c thuong cho ta nhfrng mo hinh v6i biSn roi f?C Ching h:;m, cac mo hinh toan lien quan dSn dan s6, tai chinh, moi truong, sinh h9c, tin h9c, tro chai dSu la cac mo hinh v6i biSn roi f?C, DS giai cac mo hinh toan roi f?C, nay, v6i S\J' phat triSn m?nh me cua may tinh, nguoi ta thuong dung cong C\l ly thuySt sai phan boi lqi thS vuqt tr9i so v6i cac ly thuySt hay dung cho mo hinh biSn lien tl)C Th�m chi nhiSu bai toan phuong trinh vi phan, d?O ham rieng v6i biSn lien tl)C cfing duqc roi r?c h6a dS giai bing cong C\l sai phan Lu�n van ch9n vftn dS "Ly thuySt phuang trinh sai phan tuySn tinh cftp cao va (mg dl)ng" dS lam dS tai khao cuu la phu hgp vai nhu d.u cftp thiSt n�m vung ly thuyst sai phan cua chuyen gia nhiSu nganh dS giai quySt cac mo hinh toan th\]'C tS II/ CO' sir khoa h9c va thl}'c ti�n Bing vao tai li�u tiSng Vi�t, tiSng Anh, da in sach, lu�n van duqc cong nh�n, c6 thS thfty lu�n van dugc th\]'c hi�n c6 ca so khoa h9c III/ Phll'O'ng phap nghien CU'U DS tai dugc triSn khai theo phuang phap khao cuu cac tai li�u lien quan dugc cong b6 nhfrng nam gfin day du6i S\J' hu6ng dfin cua TiSn sy chuyen nganh sai phan DiSu cho th§.y phuang phap nghien CU'U cua h9c vien la hgp ly ... trình sai phân tuyến tính cấp cao Chương Một số ứng dụng phương trình sai phân CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO Chương dành cho việc khảo sát số phương trình sai phân tuyến tính biến... (a) Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao biến (b) Xét số ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao vào việc giải phân tích số mơ hình kinh tế (c) Đánh giá ổn định nghiệm phương trình. .. thuyết phương trình sai phân (b) Ứng dụng phương trình sai phân tuyến tính cấp cao số mơ hình tốn Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 3.2