Hệ phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHẠM THỊ HUYỀN TRANG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHẠM THỊ HUYỀN TRANG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS LÊ HẢI TRUNG ĐÀ NẴNG - NĂM 2017 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Phạm Thị Huyền Trang LỜI CẢM ƠN Lời luận văn xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lê Hải Trung tận tình hướng dẫn suốt q trình thực để tơi hồn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy cô giáo tận tình dạy bảo suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị, bạn lớp PPTSCK32 nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập lớp Tác giả Phạm Thị Huyền Trang MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN .3 1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN .3 1.1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực 1.1.2 Các khái niệm phương trình sai phân 1.2 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP MỘT 1.3 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO 12 1.3.1 Hàm độc lập tuyến tính phụ thuộc tuyến tính Định thức Kazorati Dấu hiệu nhận biết phụ thuộc tuyến tính 12 1.3.2 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n 12 1.3.3 Đồng thức Abel phương trình sai phân tuyến tính cấp n 16 1.3.4 Phương trình sai phân tuyến tính cấp n hệ số 19 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG 22 2.1 HỆ Ô-TÔ-NÔM 22 2.1.1 Thuật toán Putzer hệ rời rạc 23 MỤC LỤC 2.1.2 Sự phát triển thuật toán cho An 25 2.2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.3 CƠNG THỨC JORDAN 28 36 2.3.1 Ma trận chéo hóa 36 2.3.2 Dạng Jordan 41 2.3.3 Khối ma trận chéo 47 2.3.4 Các hệ tuần hồn tuyến tính 48 2.4 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 55 2.4.1 Các chuỗi Markov 55 2.4.2 Chuỗi Markov suy biến 56 2.4.3 Các chuỗi Markov hấp thụ 59 2.4.4 Một mơ hình thương mại tiêu chuẩn 62 2.4.5 Phương trình truyền nhiệt 64 KẾT LUẬN 67 TÀI LIỆU THAM KHẢO 68 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N N∗ R Z C Z+ ∆, ∆2 , , ∆n Φ I 0k,k Ji Tập hợp số tự nhiên Tập hợp số nguyên dương Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên Tập hợp số phức Tập hợp số nguyên dương Toán tử sai phân Ma trận sở Ma trận đơn vị Ma trận khơng cấp k × k Khối Jordan MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Phương pháp sai phân phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khoa học, kĩ thuật Sai phân ứng dụng để giải gần phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng Bên cạnh đó, lý thuyết sai phân phương trình sai phân cịn có nhiều ứng dụng khác như: tốn tính tổng, tìm số hạng tổng qt dãy số Hệ phương trình sai phân mở rộng từ phương trình sai phân Lý thuyết hệ phương trình sai phân ứng dụng nhiều lĩnh vực khác toán học, chẳng hạn giải tích số, lý thuyết xác suất, giải tích tổ hợp Hệ phương trình sai phân tuyến tính nghiên cứu đưa nhiều ứng dụng, đặc biệt công thức Jordan ứng dụng cho hệ phương trình sai phân tuyến tính, như: chuỗi Markov, phương trình truyền nhiệt Với mong muốn đem lại cơng cụ cho người đọc có quan tâm đến ứng dụng hệ phương trình sai phân, định hướng gợi ý thầy giáo – TS Lê Hải Trung, định chọn nghiên cứu đề tài: “Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng” cho luận văn thạc sĩ Mục đích nghiên cứu - Hệ thống kiến thức - Nghiên cứu hệ phương trình sai phân tuyến tính - Ứng dụng hệ phương trình sai phân cho chuỗi Markov, chuỗi Markov suy biến, Markov hấp thu, phương trình nhiệt Đối tượng nghiên cứu - Phương trình sai phân - Hệ phương trình sai phân - Các ứng dụng hệ phương trình sai phân Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân Phương pháp nghiên cứu Các kiến thức liên quan đến việc thực luận văn thuộc lĩnh vực: Đại số tuyến tính, Giải tích, lý thuyết phương trình vi phân, lý thuyết phương trình sai phân Bố cục đề tài Luận văn có cấu trúc sau Mở đầu Chương Phương trình sai phân 1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực Các khái niệm phương trình sai phân 1.2 Phương trình sai phân cấp 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 2.1 Hệ Ơ-tơ-nơm 2.2 Hệ phương trình sai phân tuyến tính 2.3 Cơng thức Jordan 2.4 Ứng dụng hệ phương trình sai phân tuyến tính Kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN VỀ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN Trong chương này, luận văn trình bày số kiến thức sai phân hữu hạn hàm số biến số thực, khái niệm phương trình sai phân loại phương trình sai phân Các kiến thức chương tham khảo chủ yếu từ tài liệu [4], [7], [8], [9] 1.1 SAI PHÂN HỮU HẠN CỦA HÀM SỐ MỘT BIẾN THỰC CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN 1.1.1 Sai phân hữu hạn hàm số biến thực Xét hàm số biến thực f : R → R h > Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi sai phân hữu hạn cấp hàm f x đại lượng ∆f (x) = f (x + h) − f (x) Sai phân hữu hạn bậc n f (x) đại lượng ∆n f (x) = ∆ ∆n−1 f (x) , (n ≥ 1) kí hiệu ∆0 f (x) = f (x) Với n = 2, ta có: ∆2 f (t) = ∆(∆f (t)) = ∆(f (t + h) − f (t)) = (f (t + 2h) − f (t + h)) − (f (t + h) − f (t)) = f (t + 2h) − 2f (t + h) + f (t) Bằng phương pháp quy nạp toán học, ta chứng minh sai phân hữu hạn bậc n tuyến tính, tức là: ∆n (f (t) + g(t)) = ∆n (f (t)) + ∆n (g(t)); ∆n (Cf (t)) = C∆n (f (t)) 55 Ví dụ 2.3.22 Xét hệ x(n + 1) = A(n)x(n) với n A(n) = 2−(−1) n 2+(−1) √ , Rõ ràng A(n) ma trận tuần hoàn với chu kỳ Trị riêng A ± √ < Ta có: ρ(A) = 2 B = C = A(1)A(0) = 49 Do đó, số bội Floquet , 4 Vậy ρ(B) = 2.4 ỨNG DỤNG CỦA HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH 2.4.1 Các chuỗi Markov Vào năm 1906 nhà toán học người Nga A.A Markov phát triển khái niệm chuỗi Markov Chuỗi Markov mô tả sau: Giả sử tiến hành số thí nghiệm với tập k kết mệnh đề, S = {s1 , s2 , , sk } Thí nghiệm lặp lặp lại cho xác suất (pij ) mệnh đề si , i k xảy lặp lại lần thứ n + phụ thuộc vào mệnh đề si xuất lặp lại lần thứ n thí nghiệm Trong ngơn ngữ lý thuyết xác suất, pij = p (si |sj ) xác suất xảy si lần lặp lại Cho rằng, sj xảy vào lần lặp lại cuối cùng, s1 , s2 , , sk phải xảy lần lặp Như p1j + p2j + p3j + + pkj = 1, j k (2.53) Cho pi (n) mô tả xác suất mà si xảy vào lần lặp lại thứ n thí nghiệm Vì si phải xảy lần lặp lại thứ n, cho nên: p1 (n) + p2 (n) + + pk (n) = (2.54) Để rút mơ hình tốn học cho thí nghiệm này, định nghĩa: 56 pi (n + 1), i k xác suất mà si xảy vào lần lặp thứ n + thí nghiệm Có k cách để điều xảy ra: Trường hợp lần lặp thứ n cho ta s1 lần lặp thứ n + cho ta si Vì xác suất nhận s1 lần lặp thứ n p1 (n) xác suất nhận si sau s1 pi1 , điều có nghĩa xác suất trường hợp pi1 p1 (n) Trường hợp thứ hai, nhận s2 lần lặp lại thứ n si lần lặp lại thứ n + Xác suất xảy trường hợp thứ pi2 p2 (n) Tiếp tục lặp lại với trường hợp thứ 3, 4, , k với i = 1, 2, , k , ta nhận  hệ k chiều: p1 (n + 1) = p11 p1 (n) + p12 p2 (n) + + p1k pk (n)     p2 (n + 1) = p21 p1 (n) + p22 p2 (n) + + p2k pk (n)      pk (n + 1) = pk1 p1 (n) + pk2 p2 (n) + + pkk pk (n) biểu diễn dạng ma trận: p(n + 1) = Sp(n), n = 1, 2, , n (2.55) p(n) = (p1 (n), p2 (n), , pk (n))T vectơ xác suất S = (pij ) ma trận chuyển đổi cấp k × k Ma trận S thuộc lớp ma trận đặc biệt gọi ma trận Markov Ma trận A = (aij ) gọi ma trận không âm (dương) aij với phần tử aij ma trận A 0(> 0) Định nghĩa 2.4.1 Một ma trận A không âm cấp k × k gọi Markov (hoặc ngẫu nhiên) k aij = 1, ∀j = 1, 2, , k i=1 2.4.2 Chuỗi Markov suy biến Định nghĩa 2.4.2 Chuỗi Markov suy biến chuỗi mà S m dương với số m nguyên dương Để phân tích cách đầy đủ giá trị riêng ma trận đó, 57 ta có định lý sau, theo O Perron: Định lí 2.4.3 (Định lý Perron) Cho A ma trận dương cấp k × k Khi ρ(A) giá trị riêng đơn giản thực (không lặp lại A) Nếu λ giá trị riêng A |λ| < ρ(A) Hơn nữa, vectơ riêng ứng với ρ(A) giả định dương Giả sử S ma trận chuyển đổi chuỗi Markov suy biến với giá trị riêng λ1 , λ2 , , λk Khi đó, ρ(S) = Nếu S m dương ρ(S m ) = Trên thực tế giá trị riêng S m m m λm , λ2 , , λk Theo Định lý Perron, giá trị riêng đơn S m Do đó, S có xác giá trị riêng đơn Cho λ1 = tất giá trị riêng lại thỏa mãn |λi | < 1, i = 2, 3, Do đó, cơng thức Jordan S phải có dạng J= J ∗ với giá trị riêng J∗ λ2 , λ3 , , λk Theo hệ (2.3.9), J∗n → n → ∞ Vì J n → diag(1, 0, , 0) n → ∞ Do đó, S = QJQ−1 thì: lim p(n) = lim S n p(0) = lim QJ n Q−1 p(0) = (ξ1 , 0, 0, , 0) η = aξ1 n→∞ n→∞ n→∞ (2.56) T với ξ1 = (ξ11 , ξ21 , , ξk1 ) vectơ riêng S ứng với giá trị riêng λ1 = a phần tử η = Q−1 p(0) Vì việc xác định ma trận Q việc đơn giản, chọn thay tạo phương pháp dễ dàng để tìm số a Nhớ lại rằng, p(n) = (p1 (n), p2 (n), , pk (n))T Từ công thức (2.54) ta có: p1 (n) + p2 (n) + + pk (n) = Vì lim p(n) = aξ1 nên n→∞ aξ11 + aξ21 + + aξk1 = 58 Do đó: a= ξ11 + ξ21 + + ξk1 Ví dụ minh họa chuỗi Markov suy biến: Ví dụ 2.4.4 Loại đơn giản kế thừa di truyền động vật xảy đặc điểm định xác định cặp gen cụ thể mà gen có hai loại G g Một cá thể có kiểu gen: GG, Gg (di truyền GG) gg Cá thể mang kiểu gen GG cá thể trội, cá thể mang kiểu gen gg cá thể lặn cá thể mang kiểu gen Gg cá thể dị hợp Trong giao phối hai vật, thừa hưởng gen từ cặp bố mẹ: Giả định di truyền học, việc lựa chọn gen ngâu nhiên Chúng ta bắt đầu với cá thể mang kiểu gen GG lai dị hợp Giả sử đời con, đem lai với cá thể có cặp gen dị hợp Lặp lại q trình thơng qua số hệ Trong hệ có trạng thái xảy ra, s1 = GG, s2 = Gg, s3 = gg Gọi pi (n) xác suất mà si xảy hệ thứ n gọi pij xác suất mà si xảy hệ thứ n + cho sj xảy hệ thứ n Hệ sai phân mô hình chuỗi Markov biểu thị p1 (n + 1) = p11 p1 (n) + p12 p2 (n) + p13 p3 (n), p2 (n + 1) = p21 p1 (n) + p22 p2 (n) + p23 p3 (n), p3 (n + 1) = p31 p1 (n) + p32 p2 (n) + p33 p3 (n), p11 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phốiGG Gg Rõ ràng, đời nhận gen G từ từ cặp bố mẹ GG với xác suất gen G khác từ cặp bố mẹ Gg với xác suất 21 Theo quy tắc nhân, ta có 1 p11 = × = 2 p12 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối Gg 59 Gg Ta có: 1 × = 2 p13 xác suất để có mang kiểu gen GG cách giao phối Gg gg Rõ ràng: p13 = p12 = Tương tự ta tính 1 1 p21 = , p22 = , p23 = , p31 = 0, p32 = , p33 = 2 Vì ta có p(n + 1) = Sp(n) với 0.5 0.25 0.5 0.5 0.5 0.25 0.5 S= Chú ý phần tử S dương vậy, chuỗi Markov suy biến Các giá trị riêng S λ1 = 1, λ2 = , λ3 = Áp dụng công thức (2.56): lim p(n) = aξ1 n→∞ với ξ1 = 1 ,a = , ta được, lim p(n) = n→∞ 0.25 0.5 0.25 Quan hệ cho thấy rằng, số lần lặp lại hợp lý xác suất có đứa mang gen trội mang gen lặn 0.25 xác suất để có đứa mang gen dị hợp 0.5 2.4.3 Các chuỗi Markov hấp thụ Định nghĩa 2.4.5 Một mệnh đề si chuỗi Markov gọi hấp thụ xảy lần lặp thứ n thí nghiệm, xảy lần lặp sau Nói cách khác, với i mà pii = pij = 0, ∀j = i 60 Một chuỗi Markov gọi hấp thụ có mệnh đề chuỗi hấp thụ mệnh đề chuỗi có khả trở thành mệnh đề hấp thụ Trong chuỗi Markov hấp thụ, mệnh đề không hấp thụ gọi chuyển tiếp Ví dụ 2.4.6 Bước ngẫu nhiên kẻ say người đàn ông bước đường có điểm Ơng khởi hành x Ông bước bước bên phải với xác suất , với xác suất ông ta bước bước bên trái Khi đến điểm tiếp theo, ông lại ngẫu nhiên chọn hướng tiếp phải trái Ông tiếp tục đến điểm thứ 5, bar, hay điểm thứ 1, nhà ơng ta, ơng ta dừng lại (xem hình 2.1) Đây rõ ràng chuỗi Markov hấp thụ Hình 2.1: Bước ngẫu nhiên kẻ say Xem mệnh đề quán bar nhà s4 s5 , mệnh đề hấp thụ Các mệnh đề chuyển tiếp trạng thái ô 2, 3, gọi s1 , s2 , s3 Bằng cách đó, p1 (n), p2 (n), p3 (n), p4 (n) p5 (n) xác suất để đến s1 , s2 , s3 , s4 s5 sau n lần bước Phương trình sai phân biểu diễn chuỗi markov hấp thu có dạng p(n + 1) = Sp(n) 61 với ma trận chuyển thái  tiếp trạng 12 | 0  1 | 0  2  | 0 S=    0 | 1 0 |     =    T Q I Đặt u(n) = (p1 (n), p2 (n), p3 (n))T v(n) = (p4 (n), p5 (n))T Khi đó: u(n + 1) T u(n) v(n + 1) = Q I v(n) , tức u(n + 1) = T u(n), (2.57) v(n + 1) = v(n) + Qu(n) (2.58) u(n) = T n u(0) (2.59) Do đó: Thay công thức (2.59) vào (2.58) ta v(n + 1) = v(n) + QT n u(0) (2.60) Áp dụng cơng thức (2.30), ta nghiệm phương trình (2.60) là: n−1 QT r u(0) v(n) = v(0) + (2.61) r=0 Các giá trị riêng ma trận T 1 , 2 Sử dụng hệ (2.3.9) ta lim T n = 0, trường hợp ta có: 0, − ∞ n→∞ n−1 T r = (I − T )−1 T r = lim r=0 n→∞ r=0 Lấy lim hai vế công thức (2.61): lim v(n) = v(0) + Q(I − T )−1 u(0) n→∞ đó: 3 (I − T )−1 1 2 = 1 1 2 62 Giả sử người đàn ông khởi hành điểm giữa, tức s2 Khi đó: 0 u(0) = , v(0) = Vậy: lim v(n) = n→∞ 0 0 12 3 1 2 1 1 2 = 2 Ta rút rằng, xác suất để người đàn ông dừng nhà ông ta 1 bar 2 2.4.4 Một mơ hình thương mại tiêu chuẩn Ví dụ 2.4.7 Ta xem xét mơ hình thương mại hai nước A B , bị hạn chế giả định sau: (i) Thu nhập quốc dân = vốn tiêu dùng + đầu tư ròng + xuất - nhập (ii) Chi tiêu tiêu dùng nước = tổng tiêu thụ - nhập (iii) Thời gian chia thành chu kỳ nhau, kí hiệu n = 0, 1, 2, Với nước j = 1, ta định nghĩa yj (n) = Thu nhập quốc dân chu kỳ n, cj (n) = Tổng tiêu thụ chu kỳ n, ij (n) = Đầu tư ròng chu kỳ n, xj (n) = Số lượng xuất chu kỳ n, mj (n) = Số lượng nhập chu kỳ n, dj (n) = Mức tiêu thụ sản phẩm nước chu kỳ n Với nước A, ta có: y1 (n) = c1 (n) + i1 (n) + x1 (n) − m1 (n), d1 (n) = c1 (n) − m1 (n) Kết hợp phương trình, ta được: y1 (n) = d1 (n) + i1 (n) + x1 (n) (2.62) 63 Tương tự, với nước B , ta có: y2 (n) = d2 (n) + i2 (n) + x2 (n) (2.63) Bây đưa giả định hợp lý sau đây: Tiêu thụ nội địa dj (n) số lượng nhập mj (n) quốc gia chu kỳ n + tỷ lệ thuận với thu nhập quốc gia yj (n) chu kỳ trước Tức là: d1 (n + 1) = a11 y1 (n), m1 (n + 1) = a21 y1 (n), (2.64) d2 (n + 1) = a22 y2 (n), m2 (n + 1) = a12 y2 (n) (2.65) Các số aij gọi xu hướng biên Hơn nữa, aij > 0, với i, j = 1, Vì xem xét giới có hai quốc gia, nên lượng xuất nước phải lượng nhập nước kia, tức là: m1 (n) = x2 (n), m2 (n) = x1 (n) (2.66) Thay công thức (2.64), (2.65) (2.66) vào phương trình (2.62), (2.63) ta được: y1 (n + 1) y2 (n + 1) y1 (n) i1 (n + 1) + (2.67) y2 (n) i2 (n + 1) Bằng cách giả sử đầu tư ròng số viết i1 (n) = i1 , i2 (n) = i2 Khi (2.67) trở thành: y1 (n + 1) a11 a12 y1 (n) i1 = + (2.68) a21 a22 i2 y2 (n + 1) y2 (n) = a11 a12 a21 a22 Theo công thức số biến thiên (2.30) , ta được: n−1 n n−1 n−r−1 y(n) = A y(0) + A n Ar I I = A y(0) + r=0 (2.69) r=0 T với I = (i1 , i2 ) Để có kinh tế ổn định, ta thấy tổng tiêu thụ nội địa dj (n + 1) lượng nhập mj (n + 1) chu kỳ n + phải nhỏ thu nhập quốc gia yj (n) chu kỳ n, tức là: dj (n + 1) + mj (n + 1) < yj (n), j = 1, 2, hay a11 + a21 < 1, a12 + a22 < (2.70) Dưới điều kiện (2.70), giá trị riêng λ ma trận A thỏa |λ| < 64 Từ hệ (2.3.9), ta có An → n → ∞ Từ đó, ta có khai triển Neumann sau: ∞ n−1 lim n→∞ Ar = (I − A)−1 r A = r=0 (2.71) r=0 Lấy lim hai vế phương trình (2.69) áp dụng khai triển Neumann ta được: lim y(n) = (I − A)−1 i n→∞ Phương trình nói thu nhập quốc gia nước A B tiệm cận với giá trị cân mà không phụ thuộc vào giá trị đầu y1 (0), y2 (0) thu nhập quốc gia Tuy nhiên, biết, phát triển kinh tế quốc gia phụ thuộc vào nhiều yếu tố yếu tố mà ta giải thích phần 2.4.5 Phương trình truyền nhiệt Ví dụ 2.4.8 Ta bắt đầu với ví dụ sau: xem xét việc phân phối nhiệt qua mỏng tạo thành vật liệu đồng Gọi x1 , x2 , , xk k điểm cách nằm Gọi Ti (n) nhiệt độ thời điểm tn = (∆t)n điểm xi với i k Kí hiệu nhiệt độ đầu mút nằm phía bên trái bên phải thời điểm tn T0 (n), Tk+1 (n) tương ứng Xem Hình 2.2 Hình 2.2: Sự truyền nhiệt Ta giả định nhiệt độ điểm xi xác định nhiệt độ điểm lân cận xi−1 , xi+1 Theo Định luật trạng thái làm mát Newton, thay đổi nhiệt độ Ti (n + 1) − Ti (n) điểm xi khoảng 65 thời gian từ n đến n + tỉ lệ thuận với chênh lệch nhiệt độ điểm xi điểm lân cận xi−1 , xi+1 Nói cách khác: Ti (n + 1) − Ti (n) = α ([Ti−1 (n) − Ti (n)] + [Ti+1 (n) − Ti (n)]) = α [Ti+1 (n) − 2Ti (n) + Ti−1 (n)] hay Ti (n + 1) = αTi−1 (n) + (1 − 2α)Ti (n) + αTi+1 (n), i = 2, 3, , k − Tương tự, ta rút hai phương trình sau: T1 (n + 1) = (1 − 2α)T1 (n) + αT2 (n) + αb, Tk (n + 1) = αTk−1 (n) + (1 − 2α)Tk (n) + αc Ta viết lại thành dạng đơn giản sau: T (n + 1) = AT (n) + g với    − 2α α αb   α − 2α α      ,g =  A=   α − 2α       α αc 0 α − 2α Ma trận A gọi ma trận chéo Toeplitz Các giá trị riêng có công thức sau: nπ λn = (1 − 2α) + α cos , n = 1, 2, , k k+1 Do |λ| < với giá trị riêng λ ma trận A Từ hệ (2.3.9) ta suy lim An = Từ cơng thức số biến thiên (2.28) ta có:  n→∞ n−1 n Ar g T (n) = A T (0) + r=0 −1 Do đó, lim T (n) = (I − A) g Phương trình nhiệt độ n→∞ i k) xấp xỉ với phần tử thứ i vectơ (I − A)−1 g nhiệt độ ban đầu điểm xi điểm xi (1 Cụ thể, ta xem xét ví dụ với k = 3, α = 0.4, T0 (n) = 100 C, T4 (n) = 66 200 C Khi A= −1 (I − A) = 0.2 0.4 0.4 0.2 0.4 0.4 0.2 ,g = −1 0.8 −0.4 −0.4 0.8 −0.4 −0.4 0.8  15  =  54 13 5 5 5  15 Vậy  15 lim T (n) = n→∞ 5 4 13 5 5 5 4 15 8  25    = 15 43 Tiếp theo, ta đặt ∆x = xi − xi−1 ∆t = ti−1 − ti Giả sử rằng, số tỉ lệ α phụ thuộc vào ∆t ∆x, ta viết ∆t β α= (∆x)2 (2.72) với β số phụ thuộc vào vật liệu mỏng Công thức (2.72) cho ta thấy ∆t nhỏ thay đổi nhiệt độ điểm nhỏ Hơn nữa, số điểm chia nhỏ, thay đổi nhiệt độ điểm lân cận lớn Thay công thức (2.72) vào công thức: Ti (n + 1) = αTi−1 (n) + (1 − 2α)Ti (n) + αTi+1 (n), i = 2, 3, , k − ta được: Ti (n + 1) − Ti (n) Ti+1 (n) − 2Ti (n) + Ti−1 (n) =β ∆t (∆x)2 (2.73) Nếu ta cho ∆t → 0, ∆x → n → ∞ i → ∞, xi = (∆x)i = x, ti = (∆t)i = t, cơng thức (2.73) cho ta phương trình đạo hàm riêng ∂T (x, t) ∂ T (x, t) =β (2.74) ∂t ∂x2 Phương trình (2.74) biết đến với tên gọi phương trình truyền nhiệt 67 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu từ hướng dẫn TS Lê Hải Trung, tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau: Hệ thống hóa lại kiến thức sai phân tính chất sai phân, phương trình sai phân Trình bày cách có hệ thống kiến thức hệ phương trình sai phân Trình bày thuật tốn Putzer để tính ma trận An Trình bày cơng thức Jordan để tìm nghiệm tổng quát hệ phương trình sai phân tuyến tính Chứng minh chi tiết định lý: Neumann, Cayley Hamilton, Perron Ứng dụng vào mơ hình: chuỗi Markov, chuỗi Markov suy biến, chuỗi Markov hấp thu, mơ hình thương mại tiêu chuẩn, phương trình truyền nhiệt Tuy nhiên, kiến thức thời gian có hạn, chắn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận nhận xét ý kiến đóng góp từ quý thầy độc giả để đề tài hồn thiện 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Chương (Chủ biên) (2002), Giải tích số, Nhà xuất Giáo dục [2] Lê Đình Định (2011), Bài tập phương pháp sai phân, Nhà xuất Giáo dục [3] Romanko V.K (2006), Phương trình sai phân, Nhà xuất Moscow [4] Lê Đình Thịnh (2004), Phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [5] Lê Đình Thịnh (chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2011), Phương trình sai phân số ứng dụng, Nhà xuất Giáo dục [6] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), Các phương pháp sai phân, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [7] Ronald E Mickens (2015), Difference Equations: Theory and Applications, Taylor Francis Publisher, France [8] Saber Elaydi (2005), An Introduction to difference Equations, Springer [9] Sharkovsky (1993), Difference Equations and Their Applications, Springer Publisher, New York QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) ... niệm phương trình sai phân 1.2 Phương trình sai phân cấp 1.3 Phương trình sai phân tuyến tính cấp cao Chương Hệ phương trình sai phân tuyến tính ứng dụng 2.1 Hệ Ơ-tơ-nơm 2.2 Hệ phương trình sai phân. .. Phương trình sai phân 2 - Hệ phương trình sai phân - Các ứng dụng hệ phương trình sai phân Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết sai phân, phương trình sai phân, hệ phương trình sai phân Phương. .. tích tổ hợp Hệ phương trình sai phân tuyến tính nghiên cứu đưa nhiều ứng dụng, đặc biệt công thức Jordan ứng dụng cho hệ phương trình sai phân tuyến tính, như: chuỗi Markov, phương trình truyền