Phương trình sai phân tuyến tính và ứng dụng

Đ IăH CăĐẨăN NG TR NGăĐ IăH CăS ăPH M LÊ QUANG HOÀNG PH NGăTRỊNHăSAIăPHÂNăTUY NăTệNH VẨă NGăD NG LU NăVĔNăTH CăSƾăKHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP ĐƠăN ng, 2020 Đ IăH CăĐẨăN NG TR NGăĐ IăH CăS ăPH M LÊ QUANG HOÀNG PH NGăTRỊNHăSAIăPHÂNăTUY NăTệNH VẨă NGăD NG Chuyên ngành :ăPh Mưăs : ngăphápătoánăs ăc p 8460113 LU NăVĔNăTH CăSƾăPHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Ng iăh ngăd n : TS LÊ HỒNG TRÍ Ng iăh ngăd n : TS LÊ H IăTRUNG ĐƠăN ng, 2020 L IăCAMăĐOAN Tôi xin cam đoan đơy lƠ công trình nghiêm c u c a tơi Các số liệu, k t qu nêu luận văn lƠ trung thực vƠ ch a đ ợc công bố cơng trình nƠo khác Tác gi Lê Quang Hồng i L IăC Mă N L i c a luận văn xin gửi l i c m n sơu sắc đ n thầy giáo h ớng dẫn TS Lê HoƠng Trí vƠ TS Lê H i Trung đư tận tình h ớng dẫn tơi q trình thực để tơi hoƠn thƠnh đ ợc luận văn nƠy Tôi ghi nhớ vƠ tri ơn b o, quan tơm tận tình c a hai thầy th i gian thực luận văn Tôi xin g i l i c m n chơn thƠnh đ n tất c giáo viên đư tận tình d y b o tơi suốt th i gian học tập Đồng th i xin g i l i c m n đ n anh chị lớp PP toán s cấp K36 đư nhiệt tình giúp đỡ tơi q trình học tập t i lớp Mặc dù b n thơn tác gi đư có nhiều có gắng, nh ng ki n th c vƠ lực h n ch nên luận văn s khơng tránh khỏi thi u sót Vì mong nhận đ ợc Ủ ki n c a quỦ thầy cô giáo vƠ b n đồng nghiệp để luận văn đ ợc hoƠn thiện h n NgƠy 05 tháng 05 năm 2020 Học viên thực Lê Quang Hoàng ii INFORMATION ON MASTER'S THESIS Oficial thesis title: Linear difference equations and their applications Major: Elementary Mathematics Methods Full nme of Master's student: Le Quang Hoang Supervisors: Dr Le Hoang Tri Dr Le Hai Trung Training institution: The University of Danang - University of Science and Education Abstract: Here are the indings of the thesis on "Linear diference equations and their applications": - Presenting basic knowledge about diference, concepts, properties, theorems of homogeneous and ihomogeneous diference equations - Classiying linear diference equations and presenting methods or solving such diference equations such as homogeneous linear diference equations with constant coeficients, inhomogeneous linear diference equations or inhomogeneous linear diference equations with the speciic right-hand side Some examples illustrate such solution methods - Presenting some applications of linear difference equations such as summing terms of recurrence sequences, calculating dete1minants, calculating the limit of number sequences and solving some arithmetic problems The issues stated in the thesis are practical and suitable or naJor m Elementary Mathematics Methods Kewords: Linear diference equations, linear diference equations with constant coeficients, applications of linear diference equations Supervisors' confirmation Supervisor Supervisor Master's student Dr Le Hoang Tri Dr Le Hai Truog Le Quang Hoang M CăL C L IăCAMăĐOAN i L IăC Mă N ii M CăL C iii M ăĐ U 1 LỦ chọn đề tƠi M c đích vƠ nhiệm v nghiên c u Đối t ợng vƠ ph m vi nghiên c u Ph ng pháp nghiên c u ụ nghĩa khoa học vƠ thực tiễn c a đề tƠi Tổng quan vƠ cấu trúc luận văn CH NGă1 KI NăTH CăCHU NăB 1.1 Định nghĩa vƠ số tính chất c b n 1.1.1 Sai phơn hữu h n c a hƠm số bi n số thực 1.2 Phơn lo i nghiệm c a ph 1.2.1 Định nghĩa ph ng trình sai phơn 10 ng trình sai phơn 10 1.2.2 Nghiệm tổng quát 12 1.2.3 Nghiệm riêng 13 CH NGă2 PH NGăTRỊNHăSAIăPHÂNăTUY NăTệNH 14 2.1 Một số khái niệm 14 2.1.1 Hệ độc lập n tính, hệ ph thuộc n tính 14 2.2 Định th c Casorati 17 2.3 Ph ng trình sai phơn n tính 18 2.3.1 Ph ng trình sai phơn n tính cấp n 18 2.3.2 Ph ng trình sai phơn n tính với hệ số 24 2.4 Ph 2.4.1 Ph ng trình sai phơn n tính khơng 26 ng trình sai phơn n tính khơng thuơn cấp n 26 iii 2.4.2 Ph ng trình sai phơn n tính khơng hệ số với v ph i đặc thù 35 CH NGă3 M TăS ă NGăD NG 40 C A PH NG TRÌNH SAI PHÂN TUY N TÍNH 40 3.1 Dưy truy hồi Tổng số h ng c a dưy truy hồi Công th c tính tổng phần 40 3.1.1 Dưy truy hồi 40 3.1.2 Tổng số h ng c a dưy truy hồi, công th c tính tổng phần 42 3.2 ng d ng c a ph ng trình sai phơn để tính định th c 45 3.3 Tính giới h n c a dưy số 51 3.4 Gi i bƠi toán số học 55 K TăLU N 62 DANHăM CăTẨIăLI UăTHAMăKH O 63 iv M ăĐ U 1.ăLỦădoăch năđềătƠiăăăăăăăă Trong đ i sống thực t nh khoa học kỹ thuật có nhiều t ợng đ ợc mô t d ới d ng ph ph ng trình sai phơn n tính NgoƠi ra, ng trình sai phơn n tính cịn lƠ cơng c giúp gi i bƠi tốn vi phơn, tích phơn, đ o hƠm, tính định th c cấp n, tính giới h n dưy số, bƠi tốn số học… Việc gi i ph ng trình sai phơn m c tiêu lƠ tìm cơng th c c a hƠm ch a đ ợc bi t thỏa mưn mối quan hệ đ ợc đ a tr ớc Thông th k t qu s lƠ họ nghiệm đ ợc mơ t ph ng ng trình tốn, sai lệch số C nƠo HƠm nƠy s đ ợc bi t xác có thêm điều kiện ban đầu điều kiện biên Trong ng d ng thực t , nhiều bƠi tốn nh tính lưi suất %, bƠi tốn theo quy luật… đơi lúc khơng dễ dƠng để tìm cơng th c c a nghiệm, với giá trị c a thực tiễn ng i ta quan tơm tới giá trị c a hƠm t i giá trị c thể c a bi n độc lập tr ng trung học phổ thông nh kỳ thi học sinh giỏi toán xuất nhiều bƠi tốn hay vƠ khó dưy số, giới h n, số học, tích phơn truy hồi, ph ph ng trình hƠm, với l i gi i ng d ng ki n th c c a ng trình sai phơn n tính Chính mƠ nhiệm v tìm hiểu ng d ng c a ph ng trình sai phơn n tính bƠi tốn phổ thơng lƠ u cầu cấp thi t vƠ quan trọng Nhằm hiểu thấu đáo h n ph ng trình sai phơn n tính vƠ d ới h ớng dẫn, gợi Ủ c a thầy giáo TS LÊ H I TRUNG, quy t định chọn ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăvƠă ngăd ng” cho luận văn th c đề tƠi “Ph sĩ c a 2.ăM căđíchăvƠănhi măv ănghiênăc u - Tìm hiểu ki n th c c b n ph ng trình sai phơn vƠ ng d ng - Hệ thống vƠ phơn lo i số bƠi tốn gi i đ ợc cách sử d ng ki n th c ph - ng trình sai phơn ng d ng gi i bƠi toán thực t , xơy dựng ph ng trình sai phơn để tìm k t qu 3.ăĐ iăt ngăvƠăph măviănghiênăc u - Các ki n th c c b n dưy số, sai phơn, ph - Các bƠi tốn ph ng trình sai phơn… ng trình sai phơn n tính - Các bƠi tốn gi i đ ợc cách sử d ng ki n th c ph ng trình sai phân 4.ăPh ngăphápănghiênăc u Với đề tƠi: “ph sử d ng ph ngătrìnhăsaiăphơnătuy nătínhăvƠă ngăd ng”ă chúng tơi s ng pháp nghiên c u lỦ thuy t trình thực đề tƠi, c thể: + Thu thập, tổng hợp, hệ thống tƠi liệu liên quan đ n nội dung đề tƠi luận văn + Phơn tích, nghiên c u tƠi liệu để thực đề tƠi luận văn + Trao đổi, th o luận, tham kh o Ủ ki n c a ng gia vƠ c a đồng nghiệp i h ớng dẫn, c a chuyên Víăd ă3.4.3 Cho dưy số (un ) xác định b i u1  3, u2  17,  un   6un 1  un , n  Ch ng minh với n  ta có un2  lƠ số ph ng Lời giải Dưy số un đ ợc xác định b i công th c truy hồi n tính cấp hai un2  6un1  un Ph ng trình đặc tr ng   6   có nghiệm 1   8, 2   8, un  C1 (3  8)n  C2 (3  8)n Với giá trị ban đầu u1  3, u2  17, Nên ta tính đ ợc C1  C2  Do un  Suy 1 (3  8)n  (3  8)n  ,  un2  1  (3  8) n  (3  8) n     , n  2  Áp d ng công th c khai triển nhị th c Newton ta biểu diễn (3  8)n  xn  yn 2, xn , yn  Z, n  Do un2   yn2 lƠ số ph ng Víăd ă3.4.4 Cho dưy số (un ) xác định b i u0  1, u1  45,  un   45un 1  7un Tìm số ớc d ng c a biểu th c: un21  unun2 Lời giải Dưy số un đ ợc xác định b i công th c truy hồi n tính cấp hai un2  45un1  7un  ph 1,2  ng trình đặc tr ng   45   có hai nghiệm 45  1997 Do cơng th c tổng quát 57  45  1997   45  1997  un  C1    C2   2     n Với điều kiện ban đầu u0  1, u1  45, ta tìm đ ợc C1  C2  n 45  1997 , 1997 45  1997 Thay vƠo ta tìm đ ợc số dưy số un nh sau: 1997 un  1997 Suy ra:  45  1997 n 1  45  1997 n 1        2       un21  unun2  7n1 Do lƠ số nguyên tố nên 7n1 có ớc số lƠ 1,7,72 , ,7n1 suy 7n1 có n  ớc số Vậy số ớc d ng c a biểu th c: un21  unun2 n  số Víăd ă3.4.5.ăCho dưy số (un ) xác định b i u0  20, u1  100,  un  4un 1  5un  20 Tìm số nguyên d ng h nhỏ để unh  un chia h t cho 1998, với n  Lời giải Dưy số un đ ợc xác định b i công th c truy hồi n tính cấp hai un2  4un1  5un  20  Ph ng trình đặc tr ng   4   có hai nghiệm 1  1, 2  Do nghiệm c a ph zn  C1 (1)n  C2 (5)n Bằng ph ng trình un2  4un1  5un  ng pháp biên thiên số Lagrange ta tìm đ ợc nghiệm riêng un*   Nghiệm tổng quát un là: un  zn  un*  C1 (1)n  C2 (5)n  58 Với giá trị ban đầu u0  20, u1  100, ta đ ợc C1  25 , C2  Thay vƠo ph ng trình cuối tìm đ ợc dưy số un d ới d ng: 5 un  (1)n  (5)n   ta suy đ ợc: xn  5xn1  20 n u n chẵn vƠ xn  5xn1 n u n l Điều kiện cần: xnh  xn (mod 1998), với n  Suy ra: xh  x0  20(mod 1998), xh1  x1  100(mod 1998) hay 5xh1  xh1  xh  20  0(mod 1998) Do vƠ 1998 nguyên tố nên xh1  0(mod 1998) Mặt khác n u h l xh  5x h1  0(mod1998), nên x1  0(mod 1998) Điều nƠy vơ lí x1  100 Vì h chẵn vƠ xh1  0(mod 1998) Điều kiện đủ: Với h chẵn vƠ xh1  0(mod 1998), ta ch ng minh xnh  xn  0(mod 1998) Thật với h chẵn thì: xh  5xh1  20  0(mod 1998)  x0 ; xh1  4x h  5xh1  20  100(mod 1998)  x1 K t hợp với xn2  xn1  xn  20  xnh  xn (mod 1998), với n  Nh h số chẵn nhỏ tho mưn xh1  0(mod 1998) Ta có: 5h  1(mod 4) h, 554  1(mod 34 ), 536  1(mod 37) suy 5108  1(mod 1998) Vậy h  108 Víăd ă3.4.6.ăCho dưy số (un ) xác định b i: Tính tổng S   [un ]  u0  , u1  , 3  un   3un 1  2un 2007 k 0 59 Lời giải Dưy số un đ ợc xác định b i công th c truy hồi n tính cấp hai un2  3un1  2un  Ph ng trình đặc tr ng   3   có hai nghiệm 1  1, 2  Nghiệm tổng quát dưy số un  C1  C2 2n ( với C1 , C2 lƠ số) Với giá trị ban đầu u0  , u1  ta tìm đ ợc C1  0, C2  , dưy số 3 2n un  Ta có n u a  0, b  0, a  Z, b  Z, a  b  Z [a ]  [b]  a  b 1 H n n u 2n 2n 1   2n Vậy nên: 3   20   21     22   23     22006   22007   S                                    20 21 22007  22008         1004  1004    3 22008   1004 Tổng S   [un ]  k 0 2007 Víăd ă3.4.7 Cho dưy số (un ) xác định b i: Tìm n để un  Z với n  u1  1, u2  2,  un    2un 1  un Lời giải Dưy số un đ ợc xác định b i công th c truy hồi n tính cấp hai un2  2un1  un  Ph 1,2  cos ng trình đặc tr ng   2   có hai nghiệm 3n 3n 3 3 Nghiệm tổng quát dưy số un  C1 cos  i sin  C2 sin 4 4 ( với C1 , C2 lƠ số) Từ giá trị ban đầu u1  1, u2  2, ta xác đinh đ ợc C1  (2  2), C2  2 , dưy số un xác định b i: un  (2  2) cos 3n 3n  2sin 4 60 Suy ra: u4k  (2  2)(1)k , u4k1  (1) k , u 4k2  2(1) k , u4k3  (1  2)(1) k Vậy với n  4k  hay n  4k  un  Z Víăd ă3.4.8 Cho dưy số (un ) xác định b i un2  un1  un Gi sử tổng 1997 số h ng c a dưy 1879, tổng c a 1879 số h ng lƠ 1997 Hỏi tổng c a 2000 số h ng Lời giải Dưy số un đ ợc xác định b i công th c truy hồi n tính cấp hai un2  un1  un  Ph 1,2  cos  số)  i sin  Nghiệm tổng quát dưy số un  C1 cos Suy ra: Sn  C1   cos  n  k 1 ng trình đặc tr ng      có hai nghiệm k k   n C     sin   k 1 n n  C2 sin 3    Sử d ng tính chất sin(   )   sin  , cos(   )   cos  Ta có: Sn6  Sn Do vậy: S1997  S5  u1  u2   u5  C1  1879 5873 S1879  S1  u1  (C1  3C2 )  1997  C2  Vậy: S2000  S2  u1  u2  3C2  5873 61 ( với C1 , C2 K TăLU N Luận văn “ Ph ngătrìnhăsaiăphơn nătính vƠă ngăd ng” đư đ t đ ợc k t qu sau: Trình bƠy ki n th c c b n sai phơn, khái niệm, tính chất, định lí ph Phơn lo i ph pháp gi i ph ng trình sai phơn vƠ khơng ng trình sai phơn n tính vƠ trình bƠy ph ng trình sai phơn đó, nh ph tính hệ số hằng, ph ng ng trình sai phơn n ng trình sai phơn n tính khơng không với v ph i đặc thù Một số ví d minh họa ph ng pháp gi i Trình bƠy số ng d ng c a ph ng trình sai phơn n tính nh tính tổng số h ng c a dưy truy hồi, tính định th c, tính giới h n dưy số vƠ gi i số bƠi tốn số học Những nội dung đ ợc trình bƠy luận văn rộng, bao gồm d ng tốn ph ng trình sai phơn n tính vƠ ng d ng Vì để đ m b o luận văn khơng q dƠi, số l ợng ví d minh họa đ ợc chọn lọc không nhiều, ch a phong phú Đơy lƠ h ớng để tìm tịi vƠ phát triển luận văn NgoƠi luận văn phát triển nghiên c u sơu h n d ng tính tổng số h ng c a dưy truy hồi, công th c tính tổng phần, tính giới h n dưy số vƠ bƠi toán số học khác 62 DANHăM C TẨIăLI UăTHAMăKH O Tiếng Việt: [1] Lê Đình Định, bƠi tập ph ng trình sai phơn, NhƠ xuất b n Giáo d c năm 2001 [2] Lê Đình Thịnh, Đặng Đình Chơu, Lê Đình Định, Phan Văn H p (2001) Ph ng trình sai phơn vƠ số ng d ng NhƠ xuất b n Giáo d c [3] Lê Đình Thịnh, Lê Đình Định (2005), ph ng pháp sai phơn NhƠ xuất b n ĐHQG HƠ Nội [4] Lê Đình Thịnh (2004), Ph ng pháp sai phơn, NhƠ xuất b n Đ i học Quốc gia HƠ Nội [5] Nguyễn Minh Ch ng (Ch biên) (2002), Gi i tích số, NhƠ xuất b n Giáo d c [6] Nguyễn TƠi Chung (2004), Bồi d ỡng học sinh giỏi chuyên kh o dưy số, nhƠ xuất b n ĐHQG HƠ Nội [7] Nguyễn Văn Mậu (2004), Một số bƠi toán chọn lọc dưy số, nhƠ xuất b n Giáo d c [8] Gelfond A.O Phép tính sai phơn hữu h n, nhƠ xuất b n khoa học Moscow 1967 Tiếng Anh: [9] Saber Elaydi (2005), An Introduction to difference Equations, Springer [10] Sharkovskii (1993), Difference Equations and Their Applications, Springer Publisher, New York 63 \ ceNG HoA xA ngI cHU Ncni,q vIET NAM DAr Hec o.q NANc rntloNc E+r HQC sU ru4vt DQc lQp - TF - H4nh phric BIEN BAN HQP HQI DONG CHAM LUAN VAN THAC SI tai Phucrng trinh sai ph0n tuy6n tinh vd img dpng Ngdnh: Phucrng ph5p to6n so cdp TOn OO Theo Quytlt dinh thdnh 10p HQi ddng ch6m lufln vdn thpc si sO ngiry tT €llpO-EHSP th6ng yfudm2020 Ngiy hgp HQi d6ng: Sothdng {ndm 2020 Danh s6ch c6c thdnh vi6n HQi d6ng: CUONG VI TRONG HQI DONG HO VA TEN STT TS Luong Qu6c Tuyi5n Chir tich TS Nguy6n Ngoc Chdu Thu ky TS Hodng Nhqt Quy Phin biQn TS Nguy6n Thdnh Chung PhAn biqn TS TrAn Dri'c Thdnh Thu Uy viOn K a Thdnh vi6n c6 m6t: b Thdnh vi€n ving mflt ki HOi d6ng brio c6o qu6 trinh hgc t6p, nghi€n criu cria hgc vi6n cao hgc vd dqc ly lich khoa hgc (c6 vdn bin kdm theo) Hgc vi6n cao hgc trinh biy 1u4n vln C6c ph6n biQn dgc nh4n x6t vir n6u c6u hoi (c6 v5n Hgc vi€n cao hgc 10 1 tr6ldi Hqi d6ng hgp riOng bin kdm theo) c5c c6u hoi ctra thdnh vi6n HQi d6ng AC AanA, gia Trudng ban ki6m phiSu c6ng b6 k5t qu6 ! D.Ketlupn cira HQi tl6ng a) Ktit lufln chung: \) b) Yeu ciu chinh, sua vd nOi dung: rt) ) c) C6c j'kitin kh6c: d) DiCm d6nh giir: Bing s6: 13 T5c E B [ng chfr: gi6lu4n vdn ph5t bi6u y kitin 14 Chtr tich HQi d6ng tuy6n b6 bt5 mac rHurY sQI DoNG U,e^ &r "1* CHU TICH HQI ceNG HoA xA Hgt cHU xcni.q' vIET NAM D6c tip - Tu - Hanh Phric nAx NHAN xnr ru4N vAN rHAC si (Oann cho thdnh viAn hQi Aing khing phdi ld phdn biQn) TOn