Luận văn thạc sỹ một số phƣơng pháp giải phƣơng trình sai phân tuyến tính cấp cao

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - HÀ THỊ HẠNH MỘT SỐ PHƢƠNG PHÁP GIẢI PHƢƠNG TRÌNH SAI PHÂN TUYẾN TÍNH CẤP CAO Chun ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Nguyễn Thanh sơn TS Bùi Việt Hƣơng THÁI NGUYÊN - 2022 i Mục lục Bảng ký hiệu iii Mở đầu Chương Sơ lược phương trình sai phân 1.1 Phép tính sai phân 1.1.1 Khái niệm sai phân 1.1.2 Một số tính chất sai phân 1.2 Toán tử tịnh tiến 1.3 Nhắc lại chỉnh hợp 1.4 Phương trình sai phân 1.4.1 Định nghĩa 1.4.2 Ví dụ 1.4.3 Sự tồn tính nghiệm Tốn tử ngun hàm quan hệ với phép tính tổng 1.5.1 Toán tử nguyên hàm 1.5.2 Tính tổng chuỗi 11 1.5 1.6 Tổng phần Định lý phép tính tổng 12 Chương Phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính với hệ số biến thiên 2.1 14 Lý thuyết trình sai phân tuyến tính tổng qt cấp cao 14 ii 2.1.1 Phương trình 15 2.1.2 Phương trình khơng 18 2.2 Phương pháp biến thiên số 18 2.3 Phương pháp hàm sinh 21 2.3.1 Khái niệm hàm sinh 21 2.3.2 Ví dụ 28 Chương Một số phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính cấp cao 3.1 32 Phương pháp phương trình đặc trưng 32 3.1.1 Phương trình 33 3.1.2 Phương pháp đồng hệ số cho phương trình khơng 38 3.1.3 Phương pháp toán tử tìm nghiệm đặc riêng phương trình sai phân tuyến tính khơng hệ số 45 3.2 Phương pháp biến đổi z 50 3.2.1 Biến đổi z 50 3.2.2 Biến đổi z hàm dãy số 55 3.2.3 Áp dụng biến đổi z giải toán giá trị ban đầu phương trình sai phân tuyến tính 59 Kết luận 63 Tài liệu tham khảo 64 iii Bảng ký hiệu N, R Tập số tự nhiên, số thực ∆, ∆k Sai phân, sai phân cấp k ∆−1 , ∆−k Nguyên phân, nguyên phân cấp k E, E k Toán tử tịnh tiến, tịnh tiến bậc k Cnk Số tổ hợp k n phần tử n(k) Lũy giai hay số chỉnh hợp chập k n phần tử [· · · ] Phần tử họ hàm ⌊·⌋ Phần nguyên [z n ]a(z) Tốn tử trích hệ số o(αn ) vơ bé αn a(z) ⇆ {an } a(z) hàm sinh dãy {an } a(n) ∼ b(n) đại lượng bậc Mở đầu Nhiều toán dãy số chương trình Tốn phổ thơng giải cách quy phương trình sai phân Tuy nhiên, lớp phương trình giải theo quy trình định sẵn thường chủ yếu tập trung lớp phương trình sai phân tuyến tính Do vậy, lớp phương trình tập trung khai thác hầu hết tài liệu Song, nhiều lí do, tài liệu trình bày phương pháp dễ áp dụng Điều gây lầm tưởng phương trình sai phân tuyến tính có cách tiếp cận Với ý định tìm hiểu phương pháp khác nhau, chọn đề tài “Một số phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính cấp cao" làm đề tài luận văn thạc sĩ Trước giới thiệu nội dung chính, muốn nhấn mạnh “giải" hiểu theo nghĩa rộng, ngồi việc tìm nghiệm tường minh, bao gồm việc xác định thơng tin khác giúp ta hiểu rõ nghiệm để giải toán thứ cấp liên quan đến nghiệm phương trình sai phân Nội dung luận văn trình bày ba chương, khơng kể phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo Trong Chương 1, luận văn nhắc lại khái niệm phương trình sai phân phép tính sai phân, phân loại phương trình sai phân, phép lấy nguyên hàm, phép tính tổng Định lý Cơ Chương mặt trình bày lý thuyết tổng quát phương trình sai phân tuyến tính cấp cao, mặt khác, trình bày phương pháp biến thiên số phương pháp hàm sinh để giải phương trình tuyến tính với hệ số biến thiên Chương trình bày phương pháp đặc trưng phương pháp biến đổi z để giải phương trình sai phân tuyến tính hệ số Trong phương pháp biến thiên số, phương pháp đặc trưng kết hợp phương pháp hệ số bất định trình bày tài liệu phổ biến phương trình sai phân, phương pháp hàm sinh, phương pháp biến đổi z , phương pháp toán tử trình bày luận văn giúp người học có thêm lựa chọn phương pháp giải Theo nghĩa đó, phản ánh tiêu đề, luận văn tổng hợp thuận tiện phương pháp giải phương trình sai phân tuyến tính Luận văn hoàn thành Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên hướng dẫn TS Nguyễn Thanh Sơn TS Bùi Việt Hương Tôi xin bày tỏ lịng biết ơn với thầy hướng dẫn tận tình, đầy tâm huyết Đặc biệt, q trình hồn thành luận văn, với vốn kiến thức cịn nhiều hạn chế tơi, thầy cung cấp nguồn tài liệu đầy đủ phong phú để tham khảo, dành thời gian bảo Nhân đây, xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Tốn-Tin, Phịng Đào tạo mơn học bổ ích thủ tục hành đơn giản Tiếp đến, chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Lạng sơn, Ban Giám hiệu thầy cô đồng nghiệp nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi để tơi học tập hồn thiện chương trình học Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới bạn bè, gia đình ln u thương, ủng hộ tơi lúc khó khăn Q trình viết luận văn khó tránh khỏi sai sót, mong nhận góp ý độc giả Xin chân thành cảm ơn Thái Nguyên, tháng năm 2022 Tác giả Hà Thị Hạnh Chương Sơ lược phương trình sai phân Chương luận văn trình bày chi tiết khái niệm liên quan, tính chất quan trọng phép tính sai phân, phương trình sai phân số phương trình sai phân cấp Chương viết nhờ tham khảo hai sách [1, 2] 1.1 Phép tính sai phân Nhắc lại dãy số hàm số x:N → R n 7→ x(n) = xn Khi đó, xn gọi số hạng dãy Dạng khai triển dãy số {xn }, n ∈ N x0 , x1 , , xn , Vì thế, từ sau, ta dùng đồng thời thuật ngữ hàm số dãy số 1.1.1 Khái niệm sai phân Định nghĩa 1.1 Sai phân (tiến) hữu hạn cấp hàm số x(n) = xn hiệu xn+1 − xn := ∆xn Ta gọi ∆ tốn tử sai phân (tiến) biến dãy thành dãy Sai phân hữu hạn cấp k hàm số x(n) = xn sai phân sai phân cấp k − với k ≥ 2, ký hiệu ∆k xn Như vậy, ∆k xn = ∆(∆k−1 xn ) Chẳng hạn sai phân cấp dãy số x(n) = xn ∆xn = xn+1 − xn Sai phân cấp ∆2 xn = ∆(∆xn ) = ∆xn+1 − ∆xn = (xn+2 − xn+1 ) − (xn+1 − xn ) = xn+2 − 2xn+1 + xn 1.1.2 Một số tính chất sai phân Các tính chất sai phân liệt kê hầu hết kiểm chứng cách trực tiếp Một số tính chất chứng minh phép quy nạp Tính chất Sai phân cấp biểu diễn qua giá trị hàm số Cụ thể, ta có k ∆ xn = k X (−1)i Cki xn+k−i , với Cki = i=0 k! i!(k − i)! (1.1) Tính chất Sai phân với cấp tốn tử tuyến tính Cụ thể, với α, β ∈ R, k = 1, 2, , hai dãy số {xn }, {yn }, ta có ∆k (αxn + βyn ) = α∆k xn + β∆k yn Tính chất Sai phân cấp k hàm đa thức bậc m n đa thức bậc m − k k ≤ m, k > m Tính chất Tổng liên tiếp sai phân N X n=i ∆k xn = ∆k−1 xN +1 − ∆k−1 xi , k = 1, 2, Đặc biệt k = 1, ta có PN n=i ∆xn = xN +1 − xi Tính chất Giá trị hàm số biểu thị thơng qua sai phân Cụ thể, xn+k = k X Cki ∆i xn (1.2) i=0 Tính chất Sai phân tích hai dãy {xn }, {yn } ∆(xn yn ) = xn+1 ∆yn + yn ∆xn (1.3) Tổng quát hơn, ta có công thức Leibnitz k ∆ (xn yn ) = k X Cki ∆i xn ∆k−i yn+i i=0 Sử dụng công thức này, ta thu công thức sai phân cho thương hai dãy Tính chất Cho hai dãy số {xn }, {yn }, với yn ̸= với n Sai phân thương xn ∆ yn   = yn ∆xn − xn ∆yn yn yn+1 Tính chất Sai phân dãy tổng riêng Sk = x + · · · + x k thỏa mãn ∆Sk = xk+1 1.2 Toán tử tịnh tiến Ta định nghĩa toán tử tịnh tiến cấp p ∈ N tác động lên dãy số {xn } E p xn = xn+p Ta kiểm tra số tính chất sau E : (i) E p (c1 xn + c2 yn ) = c1 xn+p + c2 yn+p = c1 E p xn + c2 E p yn (ii) E p E q xn = E q E p xn = E p+q xn (iii) Nếu f (r) = Qm i=1 (r − ri ) f (E)xn = m Y i=1 (E − ri )xn (iv) ∆ = E − I hay E = I + ∆ 1.3 Nhắc lại chỉnh hợp Với k, n số tự nhiên, khái niệm số chỉnh hợp, k -hoán vị n phần tử định nghĩa ký hiệu sau n(k) := n(n − 1) (n − (k − 1)) = n! (n − k)! Ký hiệu n(k) khác với ký hiệu quen thuộc Akn bậc học phổ thông Song, sau đây, ta thấy lợi ích ký hiệu Sau vài tính chất quy ước (i) n(n) = n!, n(0) = (ii) n(k) = 0, k > n (iii) Cho j ∈ N∗ n(k) (n − k)(j) = (n − k)! n! n! = = n(k+j) (n − k)! (n − k − j)! (n − k − j)! (iv) Từ n(−k) (n + k)(k) = n(−k+k) = 1, ta suy n(−k) = (n + k)(k) = −2n+1 C(n + 1) = n+2 20 khác khơng với n Do đó, hệ nghiệm Bây giờ, giả sử nghiệm riêng phương trình cho có dạng Xn = c1 (n)2n + c2 (n) Khi đó, ∆c1 (n), ∆c2 (n) nghiệm hệ   2n+1 ∆c (n) + ∆c (n) = 0,  2n+2 ∆c (n) + ∆c (n) = 4n + 3n2 (2.5) (2.6) Giải hệ (2.6), ta thu   ∆c (n) = 2n−1 +
n+1 n2 ,  ∆c (n) = −4n − 3n2 Thực bước giải tương tự Ví dụ 1.3 ta thu  n n c1 (n) = A + − (3n + 6n + 9) , với A số tùy ý Sử dụng Bảng Nguyên hàm bản, ta tính   n n c2 (n) = B − − n − n + 2 với B số tùy ý Thay biểu thức tìm vào (2.5), ta thu nghiệm tổng quát phương trình cho 13 Xn = c1 2n + c2 + 4n − n3 − n2 − n, 2 với c1 = A c2 = B − Có thể thấy, tìm sai phân số biến thiên, việc tìm số biến thiên hầu hết trường hợp thách thức đáng kể; ta phải trải qua lần tìm nguyên hàm việc giải tốn hay khơng hồn tồn phụ thuộc vào việc có vượt qua bước hay khơng Trong mục tiếp theo, ta tiếp cận toán theo hướng khác 21 2.3 Phương pháp hàm sinh Khi nghiên cứu dãy số, người ta khơng q coi trọng giá trị xác số hạng mà quan tâm nhiều đến dáng điệu tiệm cận dãy đó, tức n −→ ∞, tương đương với số hạng có dạng Trên thực tế, nhiều toán quan hệ hồi quy không cho phép xác định tường minh Trong đề thi học sinh giỏi, u cầu khơng phải tìm số hạng tổng qt mà tính giới hạn dãy chưa biết yêu cầu khác mà biết giới hạn, ta làm Trong mục này, thảo luận cách tiếp cận lớp phương trình sai phân tuyến tính hệ số biến thiên với vế phải có dạng đặc biệt Cụ thể, ta xét phương trình k X cj (n)an−1 = m X (bj )n Pj (n), (2.7) j=1 j=0 hệ số cj (n), j = 0, , k hàm số biết theo n, bj số Pj (n) đa thức biết với j = 1, , m 2.3.1 Khái niệm hàm sinh ∞ Cho dãy số thực {an }∞ n=0 Hàm sinh dãy {an }n=0 chuỗi lũy thừa ký hiệu định nghĩa a(z) = ∞ X an z n (2.8) n=0 Lưu ý rằng, chuỗi lũy thừa vế phải (2.8) chuỗi hình thức ta chưa thảo luận tính hội tụ Để cho gọn, ta sử dụng ký hiệu a(z) ⇆ {an } để biểu thị mối quan hệ a(z) hàm sinh dãy {an } Với chuỗi lũy thừa hình thức dạng (2.8) ta ký hiệu định nghĩa tốn tử trích hệ số [z n ]a(z) = an (2.9) 22 Cụ thể, tác động vào chuỗi lũy thừa, cho ta hệ số chuỗi Sau đây, ta liệt kê tính chất tốn tử trích hệ số Các khẳng định chứng minh cách đơn giản dựa vào định nghĩa phép quy nạp ∞ Mệnh đề 2.13 Cho {an }∞ n=0 , {bn }n=0 dãy số thực giả sử a(z) ⇆ {an }, b(z) ⇆ {bn } Ký hiệu D toán tử đạo hàm Giả sử P (n) đa thức c số Khi đó, ta có ( {can } ⇆ ca(z), (2.10) {an + bn } ⇆ a(z) + b(z), ) n X ak bn−k ⇆ a(z)b(z), (2.11) (2.12) k=0 {an−1 } ⇆ za(z),   k−1 X aj z j  , {an+k } ⇆ k a(z) − z j=0 {P (n)an } ⇆ P (zD)a(z), Z an a(z) { }⇆ dz n z (2.13) (2.14) (2.15) (2.16) Ta nhắc lại định lý sau bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa nghiên cứu chương trình đại học Định lý 2.14 Xét chuỗi f (z) = ∞ X fn z n (2.17) n=0 trường phức C Khi đó, tồn số thực r, vơ cùng, P n cho chuỗi hàm ∞ n=0 fn z hội tụ |z| < r phân kỳ |z| > r Số r xác định Định lý (2.14) gọi bán kính hội tụ chuỗi lũy thừa (2.17) Thêm vào đó, miền |z| < r, hàm tổng hàm giải tích hội tụ miền đóng miền hội tụ |z| < r Để tính bán kính hội tụ, người ta hay sử dụng kết sau 23 Mệnh đề 2.15 Bán kính hội tụ chuỗi P∞ n=0 fn zn tính cơng thức = lim sup |fn |1/n r n→∞ (2.18) Ngoài ra, f (z) có điểm kỳ dị đường trịn bán kính r mặt phẳng phức |z| = r Từ Mệnh đề (2.15), ta suy α điểm kỳ dị gần với gốc tọa độ phải có khoảng cách đến gốc tọa độ xác r, tức |α| = r Hơn nữa, với ε > n đủ lớn, ta ln có (1 − ε)|α|−n ≤ f (n) ≤ (1 + ε)|α|−n Bất đẳng thức thường dùng để ước lượng hệ số cho hàm sinh Trước trình bày kết chính, ta cần hai phát biểu sau Định lý 2.16 (Định lý Pringsheim) Nếu f khai triển thông qua chuỗi McLaurin với hệ số không âm có bán kính hội tụ r Khi đó, z = r điểm kỳ dị f (z) Định lý Pringsheim áp dụng phổ biến nghiên cứu phương trình sai phân có số hạng không âm sử dụng phương pháp hàm sinh Định lý 2.17 (Định lý Rouche) Giả sử f (z) g(z) hàm giải tích miền chứa đường cong đóng γ(t) Hơn nữa, giả sử |f (z)| < |g(z)| với z ∈ γ Khi đó, f (z) + g(z) f (z) có số nghiệm bên miền giới hạn γ(t) Định lý sau kết mục Nó dạng đặc biệt hàm sinh Định lý 2.18 Giả sử dãy số {an }∞ n=0 dãy số thỏa mãn phương trình sai phân có dạng k X j=0 cj an−j = m X j=1 (bj )n Pj (n), n ≥ k, (2.19) 24 cj , j = 0, , k số thực, bj , j = 1, , m, số thực dương Pj (n), j = 1, , m đa thức Khi đó, hàm sinh A(z) dãy {an }∞ n=0 hàm hữu tỉ Chứng minh Nhân hai vế (2.19) với z n cộng dồn hai vế với n = k đến ∞, ta thu   ∞ k X X  SL = cj an−j  z n j=0 n=k ∞ X =c0 n an z + c z n=k ∞ X n n=k−1 an z + · · · + c k z k ∞ X an z n n=0 =c0 (A(z) − Ak−1 (z)) + c1 (A(z) − Ak−2 (z)) + · · · + ck z k A(z), (2.20) A(z) hàm sinh dãy {an }∞ n=0 Ak (z) khai triển hữu hạn đến số hạng thứ k A(z), tức Ak (z) = k−1 X aj z j (2.21) j=0 Mặt khác, thấy (1 − bz)−1 với b > hàm sinh dãy {bn } Nếu ta định nghĩa toán tử Θ toán tử tác động vào hàm f (z) dạng Θ : f (z) 7→ z df dz từ tính chất (2.15), ta có {nk bn } ⇆ Θk ((1 − bz)−1 ) (2.22) Hàm sinh Θk ((1 − bz)−1 ) phương trình (2.22) rõ ràng hàm hữu tỉ Theo đó, từ tính chất (2.11), hàm sinh dãy {P (n)bn }, với P (n) đa thức, tổng hữu hạn hàm hữu tỉ nên hàm hữu tỉ Ví thế, dãy số tương ứng với vế phải phương trình (2.19) có dạng biểu diễn 25 hàm hữu tỉ, cụ thể ∞ X m X (bj )n Pj (n)z n = n=k j=1 α(z) , β(z) (2.23) với α(z) β(z) đa thức z Cuối cùng, từ phương trình (2.19), (2.19), (2.23), ta kết luận A(z) hàm hữu tỉ Định lý 2.19 Cho f (z) hàm hữu tỉ f (z) giải tích Giả sử f (z) có nghiệm α1 , , αm với bội tương ứng s1 , , sm Khi đó, tồn m đa thức, Sj (n), j = 1, , m, cho hệ số fn f (z) tính n fn = [z ]f (z) = m X Sj (n)αj−n (2.24) j=1 Hơn nữa, bậc Sj (n) sj − 1, j = 1, , m Chứng minh Do f (z) hàm hữu tỉ, ta ln phân tích f (z) dạng f (z) = Q(z) + sj m X X j=1 k=1 cαj ,k , (z − αj )k (2.25) với Q(z) đa thức hệ số cαj ,k tính cαj ,k dsj −k lim sj −k ((z − αj )sj f (z)) = (sj − k)! z→αj dz (2.26) Ta gọi (2.25) phân tích hữu tỉ hàm hữu tỉ Tiếp đến, hệ số vế phải (2.26) trích thỏa mãn (−1)r r−1 = Cn+r−1 α−n [z ] r r (z − α) α n Hệ số nhị thức đa thức n có bậc r − Do vậy, cách gom tất số hạng chứa α, ta suy kết luận định lý Nhận xét 2.20 Nếu αj , j = 1, , m, thỏa mãn tồn số hạng αi cho |αi | < |αk |, ∀ k ̸= i, với n đủ lớn, ta có fn = αi−n Sj (n) + o(αin ) (2.27) 26 Đánh giá cho phép ta ước lượng nhanh dáng điệu tiệm cận hệ số fn f (z) Có thực tế hàm sinh nhiều phương trình sai phân tuyến tính khơng khó xác định Ví dụ 2.5 2.6 vài minh chứng cho ta thấy phức tạp việc tính cụ thể hàm sinh Vì thế, giá trị vài số hạng nghiệm phương trình sai phân khơng thể tính Tuy nhiên, phương trình sai phân thỏa mãn số ràng buộc mà kiểm tra được, ta thu vài đánh giá tiệm cận số hạng chúng Ở đây, ta đề cập đến đánh giá có dạng an = ck nk αn + o(nk αn ) với n đủ lớn Định lý 2.21 Cho {an } dãy số thỏa mãn phương trình sai phân k X j=0 cj an−j = m X (bj )n Pj (n) j=1 ký hiệu R tập nghiệm phương trình đặc trưng tương ứng P phương trình cho C(z) := kj=0 cj z j = Giả sử α phần tử có mơ-đun nhỏ R Nếu α−1 < β −1 = max{bj , j = 1, , m, ta có ước lượng sau β −n nd an ∼ , C(β) (2.28) với d bậc đa thức P (n) tương ứng với β Chứng minh Ký hiệu A(z) hàm sinh dãy {an } Từ chứng minh Định m lý 2.18, ta quan sát thấy R ∪ {b−1 j }j=1 tập điểm kỳ dị A(z) Do β −1 = max{bj , j = 1, , m} > α−1 nên β điểm kỳ dị có mơ-đun lớn có tính chất Do vậy, từ phương trình (2.27), ta suy ước 27 lượng tiệm cận cho an an ∼ [z n ] c , (z − β)s (2.29) s bậc điểm kì dị z = β c cho (2.26) c = lim (z − β)s A(z) z→β Ở đâ, từ cách xây dựng A(z) chứng minh Định lý 2.18, ta có (z − β)s Θs−1 ((1 − β −1 z)−1 ) lim (z − β) A(z) = lim z→β z→β C(z) s số hạng phân tích hữu tỉ A(z), z = β điểm kỳ dị điểm kỳ dị có bậc thấp s Từ đó, ta viết Θ s−1 β −s+1 (s − 1)!z s−1 + res., ((1 − β z) ) = (1 − β −1 z)s −1 −1 (2.30) res phương trình có dạng c(1 − β −1 z)s , với s′ < s Vì vậy, ta ′ có c = lim (z − β)s A(z) z→β (z − β)s Θs−1 ((1 − β −1 z)−1 ) z→β C(z)  s  −s+1 (z − β) β (s − 1)!z s−1 = lim + res z→β C(z) (1 − β −1 z)s C(z) (z − β)s β −s+1 (s − 1)!z s−1 = lim z→β (1 − β −1 z)s C(z) (−1)s β s (s − 1)! = C(β) = lim Từ phương trình (2.29), ta có c (z − β)s (−1)s β s (s − 1)! s−1 ∼ (−1)s β −1 Cn+s−1 β −n C(β) an ∼ [z n ] (2.31) (2.32) (2.33) (2.34) (2.35) 28 ns−1 β −n = C(β) Đây phương trình (2.28) thay d = s − điều cần chứng minh Nhận xét 2.22 Chứng minh lý giải ta phải đặt ràng buộc α−1 < β −1 Nếu ngược lại α−1 ≥ β −1 , ta khơng có phương trình đơn giản để tính số c giống (2.35) giá trị c phụ thuộc vào tất số hạng phân tích hữu tỉ hàm sinh 2.3.2 Ví dụ Ví dụ 2.3 Xét dãy số dạng Fibonacci an = an−1 + an−2 + n2 3n , a0 = 0, a1 = Trước tiên, ta xác định hàm sinh dãy (2.36): S(z) = ∞ X n n n3 z = ∞ X n=0 n=2 n2 3n z n − 3z = S1 (z) − 3z Từ phương trình (2.22), ta có S1 (z) = Θ2 ((1 − 3z)−1 ) Do đó, ta có S(z) = Θ2 ((1 − 3z)−1 ) − 3z = 3z 18z + − 3z (1 − 3z)3 (1 − 3z)2 Nếu A(z) hàm sinh dãy {an } phương trình (2.36) cho ta (1 − z − z )A(z) − z = S(z) (2.36)