Luận văn thạc sĩ toán học quỹ đạo gradient của các hàm xác định bởi cấu trúc o tối thiểu

LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Viện Toán học Việt Nam Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy PGS TSKH Hà Huy Vui, thầy trực tiếp hướng dẫn tận tình động viên suốt thời gian học tập nghiên cứu vừa qua Tôi xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm, Viện Toán học Việt Nam quý thầy giáo, cô giáo trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Toán K19, bạn học viên tạo điều kiện thuận lợi, động viên giúp đỡ trình học tập nghiên cứu trường Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình người thân khuyến khích động viên suốt trình học cao học viết Luận văn Mặc dù có nhiều cố gắng Luận văn khó tránh khỏi thiếu sót hạn chế Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn đọc để Luận văn hoàn thiện Xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 11 năm 2013 Tác giả Trần Thị Thùy Dương i Mục lục Lời cảm ơn Mục lục i ii MỞ ĐẦU 1 CẤU TRÚC O-TỐI THIỂU TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC 1.1 Định nghĩa 1.2 Định lý đơn điệu 3 QUỸ ĐẠO GRADIENT CỦA CÁC HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CẤU TRÚC O-TỐI THIỂU 2.1 Quỹ đạo gradient 2.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển 2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka 2.4 Quỹ đạo gradient hàm xác định cấu trúc o-tối thiểu KẾT LUẬN 10 10 11 13 17 20 ii MỞ ĐẦU Luận văn trình bày quỹ đạo hệ gradient hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu Các hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu đời khoảng 20 năm gần với mục đích tìm kiếm lớp hàm có nhiều tính chất hình học giống với lớp đa thức Với lớp hàm này, nhiều kết quan trọng đa thức hay hàm giải tích mở rộng Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka cổ điển tìm phát biểu tương tự cho lớp hàm Nói cách vắn tắt, bất đẳng thức nói rằng: giá trị gradient hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu kiểm soát cách chặt chẽ giá trị hàm lân cận điểm kỳ dị Từ đây, định lý Kurdyka ( Định lý 2.4, chương ) khẳng định rằng: quỹ đạo hệ gradient hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu mà bị chặn, độ dài quỹ đạo phải hữu hạn Luận văn sau giới thiệu khái niệm cấu trúc o-tối thiểu, trình bày với đầy đủ chi tiết kết sau: • Bổ đề chọn đường cong, • Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka, • Định lý độ dài hữu hạn quỹ đạo bị chặn Luận văn trình bày lại kết báo [1] Kurdyka Luận văn gồm chương: • Chương giới thiệu định nghĩa tính chất cấu trúc o-tối thiểu trường số thực, • Chương trình bày (với đầy đủ chứng minh chi tiết) bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka định lý độ dài hữu hạn quỹ đạo bị chặn hàm xác định với cấu trúc o-tối thiểu Cuối cùng, cố gắng thời gian kiến thức hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận đóng góp thầy cô bạn để luận văn hoàn thiện Chương CẤU TRÚC O-TỐI THIỂU TRÊN TRƯỜNG SỐ THỰC Ký hiệu R[x1 , , xn ] vành đa thức n biến với hệ số thực 1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho M = n∈N Mn , Mn họ tập Rn Ta nói M xác định cấu trúc o-tối thiểu trường số thực (R, +, ) thỏa mãn tiên đề sau: Với Mn đóng với hữu hạn phép toán giao, hợp, lấy phần bù tập hợp, Nếu A ∈ Mn , B ∈ Mm A × B ∈ Mn+m , Cho A ∈ Mn+m π : Rn+m → Rn phép chiếu tắc lên n tọa độ đầu tiên, π(A) ∈ Mn , Cho f, g1 , g2 , , gk ∈ R[x1 , x2 , , xn ], {x ∈ Rn , f (x) = 0, g1 (x) > 0, , gk (x) > 0} ∈ Mn , Mỗi tập thuộc M1 hợp hữu hạn khoảng mở hữu hạn điểm rời rạc Định nghĩa 1.1.2 Cho M cấu trúc o-tối thiểu trường số thực (R, +, ) Ta nói rằng: • Tập A M - tập tồn n ∈ N cho A ∈ Mn , • Hàm f : A → Rm , A ⊂ Rn M - tập đó, M - hàm đồ thị M - tập Tức {(x, f (x)) : x ∈ A ⊂ Rn } ∈ M n+m Một ví dụ cấu trúc o-tối thiểu lớp tập nửa đại số Định nghĩa 1.1.3 (Tập nửa đại số) Ta gọi SAn lớp nhỏ tập Rn cho : • Nếu P ∈ R[x1 , x2 , , xn ] {x ∈ Rn : P (x) = 0} ∈ SAn {x ∈ Rn : P (x) > 0} ∈ SAn , • Nếu A ∈ SAn B ∈ SAn , A ∩ B A ∪ B thuộc SAn , Nếu A ∈ SAn A gọi tập nửa đại số Rn Mệnh đề 1.1.1 Mọi tập nửa đại số Rn hợp hữu hạn tập nửa đại số có dạng {x ∈ Rn : P (x) = 0, Q1 (x) > 0, , Ql (x) > 0}, l ∈ N P, Q1 , Q2 , , Ql ∈ R[x1 , x2 , , xn ] Ví dụ 1.1.1 • Những tập nửa đại số R hợp hữu hạn điểm khoảng mở • Một tập đại số Rn ( xác định bới phương trình đa thức) tập nửa đại số • Cho F : Rm → Rn ánh xạ đa thức : F : (F1 , F2 , , Fn ), Fi ∈ R[x1 , x2 , , xn ] A tập nửa đại số Rn Khi F −1 (A) tập nửa đại số Rm • A ⊂ Rm , B ⊂ Rn tập nửa đại số, A × B tập nửa đại số Rn+m Định lý sau cho ta tính chất đặc biệt tập nửa đại số: Định lý 1.1.1 (Định lý Tarski - Seidenberg) Cho A tập nửa đại số Rn+1 π : Rn+1 → Rn phép chiếu tắc lên n tọa độ Khi π(A) tập nửa đại số Rn Hệ 1.1.1 Nếu A tập nửa đại số Rm F : Rm → Rn , ánh xạ đa thức, ảnh trực tiếp F (A) tập nửa đại số Rn Với tính chất nêu trên, tập nửa đại số lập thành cấu trúc o-tối thiểu trường (R, +, ) Nhận xét 1.1.1 Các tính chất trên, đặc biệt tính chất (3),(4),(5) định nghĩa cấu trúc o-tối thiểu cho thấy tương đồng cấu trúc o-tối thiểu với lớp tập nửa đại số Điều giải thích M - hàm, không khả vi lại có tính chất đẹp, giống hàm giải tích nửa đại số Trở lại với cấu trúc o-tối thiểu, ta thấy : Chú ý 1.1.1 Tổng, nhân, nghịch đảo, hợp thành M - hàm M - hàm Ảnh, tạo ảnh M - tập qua M - hàm M - tập Bổ đề 1.1.1 ([1]) Cho f : A → R M - hàm cho f (x) ≥ 0, ∀x ∈ A Cho G : A → Rm M - hàm ϕ : G(A) → R xác định ϕ(y) = inf x∈G−1 (y) f (x) Khi ϕ M - hàm Hệ 1.1.2 Cho A M-tập Rn , hàm khoảng cách: dA : Rn → R M-hàm, dA (x) = infy∈A |x − y| Hệ 1.1.3 Cho A M - tập Rn Khi A Int(A) M - tập 1.2 Định lý đơn điệu Định lý 1.2.1 (Định lý đơn điệu)([1]) Cho f : (a, b) → R M - hàm Khi tồn số thực a = a0 < a1 < a2 < < an = b cho f hàm khả vi liên tục khoảng (ai , ai+1 ) Hơn nữa, f M - hàm f hàm đơn điệu ngặt hàm khoảng (ai , ai+1 ) Chứng minh Ta giả sử f ((a, b)) tập chứa vô hạn phần tử Đặt D(f ) tập tất điểm gián đoạn f Trước tiên ta chứng minh D(f ) tập hữu hạn Ta thấy D(f ) ∈ M1 Theo tiên đề 5, D(f ) hợp hữu hạn khoảng mở điểm R Vì vậy, cần chứng minh khoảng mở có điểm mà f liên tục Mặt khác, f M - hàm nên f ((a, b)) tập thuộc M1 , chứa khoảng mở Ta xây dựng dãy giảm khoảng [αn , βn ] ⊂ (a, b) cho : αn < αn+1 , βn < βn+1 , βn − αn < , n f ([αn , βn ]) bị chứa khoảng có chiều dài nhỏ n Ta có lim (βn − αn ) = 0, n→∞ theo bổ đề Cantor suy tồn x0 ∈ n∈N [αn , βn ] Xét dãy{xk } ⊂ (a, b) cho lim xk = x0 , k→∞ từ tồn n0 để xn ∈ [αn , βn ], với n ≥ n0 Vì f (x0 ), f (xn ) ∈ f ([αn , βn ]) bi chứa khoảng có chiều dài nhỏ , n lim f (xk ) = f (x0 ), k→∞ từ f liên tục x0 Bởi vậy, ta tập điểm thuộc (a, b) mà f liên tục trù mật (a, b), D(f ) không chứa khoảng mở nào, D(f ) tập hữu hạn Vì D(f ) tập hữu hạn nên ta giả sử f liên tục khoảng (a, b) Bây ta chứng minh f khả vi khoảng (a, b) Từ tính chất o-tối thiểu ta có với x ∈ (a, b) c ∈ R tồn > cho điều sau thực hiện: Hoặc f (t) ≥ f (x) + c(t − a), với t ∈ (x, x + ), Hoặc f (t) ≤ f (x) + c(t − a), với t ∈ (x, x + ) Với x ∈ [a, b) đặt f− (x) = limt (f (x + t) − f (x)), t (f (x + t) − f (x)) t với x ∈ (a, b] đặt f+ (x) = limt Ta có hàm f− , f+ M - hàm Bởi vậy: Với x ∈ (a, b), giới hạn tồn giá trị f− (x), f+ (x) hoàn toàn xác định ( +∞, −∞), Với x ∈ (a, b), tồn y > x gần x tùy ý cho : f− (y) ≤ f+ (x), f+ (y) ≥ f− (x), f− (y) ≥ f+ (x), f+ (y) ≤ f− (x) Rõ ràng A1 = {x ∈ (a, b) : f+ (x) = +∞} A2 = {x ∈ (a, b) : f− (x) = −∞} M - tập Do chúng hợp hữu hạn khoảng mở điểm, từ tính chất chúng tập gồm hữu hạn phần tử Vì ta giả sử f+ , f− nhận giá trị R Vì f+ , f− M - hàm nên từ chứng minh ta giả sử chúng liên tục (a, b) Từ tính chất ta nhận f+ = f− (a, b), tức f ∈ C (a, b) Ta chứng minh f M - hàm, {f = 0} M - tập hợp hữu hạn điểm khoảng mở Khẳng định tính đơn điệu suy từ Bổ đề 1.2.1 ([1]) Cho f : U → Rk M - hàm khả vi, U khoảng ∂f mở Rn Khi , i = 1, , n M - hàm, ∂xi Grad f = ∂f ∂f ∂x1 ∂xn M - hàm Bổ đề 1.2.2 (Bổ đề chọn đường cong)([1]) Cho A M - tập Rn giả sử a ∈ A\{a} Khi tồn M - hàm γ : [0, ) → Rn thuộc lớp C [0, ) cho a = γ(0) γ((0, )) ⊂ A\{a} Chứng minh Ta xây dựng toán tử e, toán tử đặt tương ứng với ∅ = A ∈ M n phần tử e(A) ∈ A sau: - Với n = ta đặt e(A) phần tử nhỏ A tồn Trong trường hợp phần tử nhỏ không tồn tại, ta đặt a := inf A giả sử b ∈ R ∪ {+∞} cho (a, b) ⊆ A a+b • Khi a = −∞, b ∈ R, ta chọn e(A) = b − 1, • Khi a, b ∈ R, ta chọn e(A) = • Khi a ∈ R, b = +∞, ta chọn e(A) = a + 1, • Khi a = −∞, b = +∞, ta chọn e(A) = Giả sử e(A) xác định với tập khác rỗng A ∈ M n Cho ∅ = B ∈ M n+1 A ảnh B qua phép chiếu tắc: π : (x1 , x2 , , xn+1 ) −→ (x1 , x2 , , xn ) Đặt a := e(A) Khi e(B) := (a, e(Ba )) Ở đó: Ba := {r ∈ R : (a, r) ∈ B} Cho A ∈ Mn a ∈ A\{a} Theo tính chất o-tối thiểu {|a − x| : x ∈ A} ∈ M1 chứa khoảng mở (0, ), với > Với < t < , ta đặt γ(t) := e({x ∈ A : |a − x| = t)}) Dễ kiểm tra γ : (0, ) → A M -hàm Theo định lý đơn điệu trên, ta giảm (nếu cần thiết) để γ thuộc lớp C (0, ) Tiếp theo ta định nghĩa γ(0) = a) Như ta nhận M - hàm γ ∈ C ([0, )) Chương QUỸ ĐẠO GRADIENT CỦA CÁC HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CẤU TRÚC O-TỐI THIỂU 2.1 Quỹ đạo gradient Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f : U → R thuộc lớp C , U tập mở Rn , I khoảng mở R, đường cong γ : I → U gọi đường cong tích phân −grad f : γ(t) ˙ =− f (γ(t)), ∀ t ∈ I (2.1) ∂f ∂f x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ U , f (x) = ∂x1 ∂xn Nếu γ(0) = x ta kí hiệu γx đường cong xuất phát từ x ∈ U Độ dài đường cong cho công thức: Tx |γx | = ||γ(t)||dt, ˙ |γx | độ dài đường cong γx Ví dụ 2.1.1 Cho f (x, y) = (x2 , y ), với điều kiện ban đầu x(0) = (1; 1) Xét phương trình vi phân : γ(t) ˙ =− 10 f (γ(t)) γ(t) ˙ = (−2x, −2y) Giải phương trình vi phân ta có đường cong tích phân : γ(t) = (e−2t , e−2t ) Định nghĩa 2.1.2 Cho f : U → R hàm khả vi,x0 ∈ U điểm tới hạn hàm f f (x0 ) = Định nghĩa 2.1.3 Cho f : U → R hàm khả vi, t ∈ R gọi giá trị tới hạn hàm f tồn x0 ∈ U cho : f (x0 ) = t = f (x0 ) 2.2 Bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển Giả sử A tập hợp Rn , n ≥ Ta kí hiệu: • C(A) tập tất hàm liên tục A, • C(A)k tập tất hàm số có đạo hàm liên tục đến cấp k A ( với k ≥ 1) , • Với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ Rn , ta kí hiệu ||x|| = x21 + x22 + + x2n Định nghĩa 2.2.1 Hàm f : U ⊂ Rn → R ∪ {+∞} gọi hàm giải tích thực điểm x ∈ U có đạo hàm cấp x khai triển chuỗi Taylor f lân cận x hội tụ tới f (x) Định nghĩa 2.2.2 Hàm f : Rn → R ∪ {+∞} gọi hàm giải tích thực Rn hàm giải tích thực điểm x ∈ Rn Định lý 2.2.1 (Bất đẳng thức Lojasiewicz cổ điển) Cho U tập mở, khác rỗng Rn , với chuẩn Oclide f : U → R hàm giải tích thực, a ∈ U điểm tới hạn f tức f (a) = Khi tồn θ ∈ (0, 1) số c > cho hàm |f (x) − f (a)|θ ≤c || f (x)|| 11 với x thuộc lân cận Ua a Trong f (x) = ∂f ∂f ∂x1 ∂xn n || f (x)|| = i=1 ∂f ( ) ∂x1 Ví dụ 2.2.1 Cho n = 2, xét hàm f (x, y) = 2x2 + 2y hàm giải tích thực Ta có ∂f ∂f = 4x, = 4y, ∂x ∂y || f (x, y)|| = x2 + y điểm (0, 0) điểm kì dị hàm f |f (x, y) − f (0, 0)|θ θ− = (x2 + y ) || f (x)|| Lấy θ ∈ ( 12 , 1) θ− (x + y ) = (x,y)→(0,0) lim Vì hàm thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz Phản ví dụ 2.2.1 ([2])  −1   f (x) = e x   x = 0, (2.2) x = Xét x = 0, ta có 1−θ |f (x) − f (0)|θ lim = |x|3 e x2 x→0 |f (x)| không bị chặn lân cận 1−θ (lim |x|3 e x2 = +∞) x→0 Bởi vậy, hàm f xác định không thỏa mãn bất đẳng thức Lojasiewicz Trong ví dụ hàm f hàm khả vi vô hạn hàm giải tích thực 12 2.3 Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka Cho cố định M cấu trúc o-tối thiểu trường số (R, +, ) Dưới bất đẳng thức Lojasiewicz cho M - hàm liên tục xác định tập compact ( xem [1]) Định lý 2.3.1 ([1]) Cho K tập compact bị chứa Rn f, g : K → R M - hàm liên tục Nếu f −1 (0) ⊂ g −1 (0), tồn M - hàm σ : R+ → R xác định dương, tăng ngặt, thuộc lớp C cho với x ∈ K ta có: |f (x)| ≥ σ(g(x)) Định lý 2.3.2 (Bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka)([1]) Cho f : U → R M - hàm khả vi, U tập mở, bị chặn Rn Giả sử f (x) > với x ∈ U Khi tồn c > 0, ρ > M - hàm tăng ngặt, xác định dương ψ : R+ → R thuộc lớp C cho ||grad(ψ ◦ f )(x)|| ≥ c với x ∈ U, f (x) ∈ (0, ρ) Chứng minh Theo bổ đề 1.2.1 ta có x ∈ U → ||grad f (x)|| M - hàm Kết luận định lý hiển nhiên f −1 (t) = ∅ Giả sử f −1 (t) = ∅ với t > đủ nhỏ Vì hàm ϕ(t) = inf {||grad f (x)|| : x ∈ f −1 (t)} hoàn toàn xác định khoảng (0, ) Theo bổ đề 1.1.1, ϕ M hàm Bây ta chứng minh tồn > cho ϕ(t) > 0, với t ∈ (0, ) Thật vậy: Giả sử điều ngược lại, đặt = {x ∈ U : ||grad f (x)|| < (f (x))2 } Rõ ràng M - tập Gọi f | đồ thị f tương ứng với Theo giả thiết tồn dãy số dương tn → cho ϕ(tn ) = 0, với n ∈ N Lấy xn ∈ dãy cho f (xn ) = tn Khi (xn , tn ) ∈ f | Vì U tập mở bị chặn Rn tồn b ∈ Rn cho b = lim xn , n→∞ 13 (b, 0) ∈ (f | \{(b, 0)}) Theo bổ đề chọn đường cong, tồn M hàm γ˜ : (−δ, δ) → Rn × R thuộc lớp C cho γ˜ (0) = (b, 0) γ˜ (0, δ) ⊂ f | Ta viết γ˜ (s) = (γ(s), f ◦ γ(s)), γ(s) ∈ ⊂ Rn Đặt h(s) = f ◦ γ(s),với s ∈ (0, δ), rõ ràng lim h(s) = lim h (s) = s→0 γ(s) ∈ s→0 Thật vậy, γ˜ ∈ C nên h, h ∈ C lim h(s) = h(0) = f ◦ γ(0) = s→0 Mặt khác, γ(s) ∈ , theo ta có ||grad f ◦ γ(s)|| < (f ◦ γ(s))2 Bởi h(s) < (h(s))2 Do lim h(s) = s→0 Hiển nhiên hàm h, h M - hàm Theo định lý 1.1.1, ta giả sử h, h hàm tăng ngặt Vì vậy: < h (s) = f (γ(s)) γ (s) A f (γ(s)) A(f ◦ γ(s))2 = A(h(s))2 , ∀s ∈ (0, δ), ||γ (s)|| bị chặn số A Lấy cố định s ∈ (0, δ), t ∈ (0, s) Theo định lý giá trị trung bình tồn u ∈ (t, s) cho h (u) = h(s) − h(t) ≤ h (s) s−t 14 (vì h hàm đơn điệu tăng) Do h(s) ≤ sh (s) − th (s) + h(t), cho t −→ ta h(s) ≤ sh (s) Cuối cùng, ta < h (s) ≤ As2 (h (s)) , hay ≤ As2 (h (s)), với s ∈ (0, δ), điều mâu thuẫn với lims→0 h (s) = Vậy ϕ(t) > 0, với t ∈ (0, ), với > đủ nhỏ Bây ta đặt ∆ = {x ∈ U \f −1 (0) : f (x) < , ||grad f (x)|| ≤ 2ϕ(f (x))} Ta thấy ∆ M - tập ∆ ∩ f −1 (t) = ∅, với t ∈ (0, ) Thậy vậy, với t ∈ (0, ) f −1 (t) = ∅ Từ cách xác định ϕ(t) tồn taih x0 ∈ U cho f (x0 ) = t ∈ (0, ) thỏa mãn : ||grad f (x0 )|| ≤ 2ϕ(t) = 2ϕ(f (x0 )) Điều chứng tỏ x0 ∈ ∆∩f −1 (t) Vì tồn dãy xn ∈ ∆, limn→∞ f (xn ) = Vì U tập bị chặn nên tồn U d = limn→∞ xn cho (d, 0) ∈ f | \{(d, 0)} Tiếp tục sử dụng bổ đề chọn đường cong cho hàm f | M - hàm: η˜ : (−δ, δ) → Rn điểm (d, 0) ta thuộc lớp C thỏa mãn η˜(0) = (d, 0) η˜((0, δ)) ⊂ f | Viết η˜(s) = (η(s), f ◦ η(s)), η(s) ⊂ Rn Đặt g(s) = f ◦ η(s), s ∈ (0, δ) Rõ ràng lim g(s) = lims→0 f ◦ η(s) = f ◦ η(0) = s→0 g(s) > 0, s ∈ (0, δ) Theo định lý 1.1.1, với δ > đủ nhỏ, hàm g : (0, δ ) → R vi phôi (0, ρ), với ρ > Ta đặt ψ(t) = g −1 (t), ∀f ∈ (0, ρ) 15 Giả sử ||η (s)|| ≤ B, ∀ ∈ (0, δ ) Lấy x ∈ U cho t = f (x) ∈ (0, ρ) viết s = ψ(t) = g −1 (t) Khi ta có ||grad ψ ◦ f (x)|| = ψ (f (x))||grad f (x)|| ≥ ψ (t) ||grad f (η(s))|| ψ (t) ≥ (f ◦ η) (s) = = c, 2B 2B ||grad f (η(s))||||η (s)|| ≥< grad f (η(s)), η (s) >= (f ◦ η) (s) ||η (s)|| ≤ B Nhận xét 2.3.1 Trong trường hợp f hàm giải tích thực, từ bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka cho hàm xác định với cấu truc o-tối thiểu ta nhận bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka dạng cổ điển Thật : Đặt ψ(t) = t1−α , với < α < 1, hiển nhiên ψ ∈ C Ta có: ||grad ψ ◦ f (x)|| = (1 − α)|f (x)|−α ||grad f (x)|| ≥ c(1 − α)|f (x)|−α |f (x)α | = c(1 − α) Cho f : U → R hàm khả vi, U tập mở Rn Ta nói λ ∈ R ∪ {−∞, +∞} giá trị tới hạn tiệm cận f tồn dãy {xn }n∈N ⊂ U cho: f (xn ) → λ, grad f (xn ) → n → ∞ Rõ ràng với giá trị tới hạn thực f ( tức λ = f (x) grad f (x) = 0, với x ∈ U đó) gí trị tới hạn tiệm cận Giả sử U tập bị chặn f M - hàm, với M cấu trúc o-tối thiểu (R, +, ),cho λ giá trị tới hạn tiệm cận f Theo định lý 2.3.2 f giá trị tới hạn tiệm cận khoảng (λ − ρ, λ) ∪ (λ, λ + ρ), với ρ > đó.Mặt khác, tập chứa tất giá trị tới hạn tiệm cận f M - tập R, phải tập hữu hạn phần tử Ta chứng minh được: 16 Mệnh đề 2.3.1 Nếu U tập bị chặn f M - hàm, tập tất giá trị tới hạn tiệm cận f hữu hạn phần tử Dễ thấy −∞ +∞ giá trị tới hạn tiệm cận M -hàm xác định tập bị chặn 2.4 Quỹ đạo gradient hàm xác định cấu trúc o-tối thiểu Định lý 2.4.1 Cho f : U → R hàm thuộc lớp C , U tập mở bị chặn Rn Giả sử f M - hàm, với cấu trúc o-tối thiểu M Khi tồn A > cho tất cac quỹ đạo −grad f có chiều dài bị chặn A, Hơn nữa, tồn σ : R+ → R+ M - hàm liên tục, tăng ngặt, có limt→0 σ(t) = 0, cho γ quỹ đạo −grad f a, b ∈ γ |γ(a, b)| ≤ σ(|f (b) − f (a)|) Chứng minh Nếu cần thiết ta lấy hàm hợp ψ ◦ f , với ψ(t) = √ t , + t2 nên ta giả sử hàm f hàm bị chặn ảnh f bị chứa khoảng (−1, 1) Ta xét M - hàm ϕ : (−1, 1) → R xác định bởi:  inf {||grad f (x)|| : x ∈ f −1 (t)} f −1 (t) = ∅, (2.3) ϕ(x) = 1 f −1 (t) = ∅ Đặt tập giá trị tới hạn tiệm cận f Ta thấy λ ∈ ϕ(λ) = lim ϕ(t) = lim ϕ(t) = t λ t λ Cho I ⊂ (−1, 1) khoảng mở Giả sử ϕ hàm bị chặn I bới số c > Lấy γ quỹ đạo −grad f a, bγ Giả sử phần 17 nối a, b γ chứa f−1 (I) Ta giả sử ||γ (s)|| = Theo định lý giá trị trung bình ta có: |f ◦ γ(β) − f ◦ γ(λ)| ≥ c|β − γ|, hay |γ(a, b)| ≤ |f (b) − f (a)| c Theo định lý 1.1.1 tồn số thực −1 = t0 < t1 < < tk = 1, cho ϕ hàm đơn điệu ngặt khoảng (ti , ti+1 ) Các khoảng (ti , ti+1 ) gồm hai loại : • Tồn ci > cho ϕ(t) ≥ ci khoảng (ti , ti+1 ) (ta viết i ∈ I1 trường hợp này), • Một hai giá trị ti , ti+1 giá trị tới hạn tiệm cận f Ta viết i ∈ I2 trường hợp Theo định lý 2.3.2, tồn ci > hàm ψi : (ti , ti+1 ) → R hàm tăng ngặt, bị chặn, thuộc lớp C cho ||grad (ψi ◦ f )(x)|| ≥ ci , với x ∈ f−1 (ti , ti+1 ) Bây ta lấy quỹ đạo bất ký γ −grad f , đặt γi = γ ∩ f −1 (ti , ti+1 ) Ta ký hiệu |γ| ( tương ứng |γi | chiều dài γ (tương ứng γi ) Rõ ràng |γi | ≤ |ti − ti+1 | i ∈ I1 ci Mở rộng tính liên tục ta giả sử ψi xác định điểm ti , ti+1 Do với i ∈ I2 ta có: γi = γ ∩ f −1 (ψ(ti ), ψ(ti+1 ), quỹ đạo −grad f −grad (ψ ◦ f ) f −1 (ti , ti+1 ) Cuối ta viết: k−1 |γ| = |γi | ≤ i=0 i∈I1 1 |ti − ti+1 | + |ψi (ti ) − ψi (ti+1 )| = A ci c i i∈I 18 Phần (1) định lý chứng minh Bây ta xây dựng hàm σ phần (2) Với i ∈ I2 ta đặt: σi (r) = sup{|ψi (p) − ψi (q)| : p, q ∈ (ti , ti+1 ), r = p − q}, ci r , với i ∈ I1 Mở rộng σi để chúng M - hàm liên tục ci tăng ngặt R Dễ thấy rằng: σi (r) = σ = sup σi thỏa mãn (2) định lý 19 KẾT LUẬN Luận văn trình bày vấn đề sau: Trình bày khái niệm tập hàm xác định cấu trúc o-tối thiểu, Trình bày chứng minh bổ đề chọn đường cong, Trình bày chứng minh bất đẳng thức Lojasiewicz - Kurdyka, Trình bày định lý tính "có độ dài hữu hạn" đường cong tích phân hệ gradient hàm xác định cấu trúc o-tối thiểu 20 Tài liệu tham khảo [1] KRZYSTOF KURDYKA (1998), On gradients of fuctions definable in o-minimal structures, Annales de l’institut Fourier, tome 48, 769−783 [2] ARIS DANIILIDIS, (2009),Gradient dynamical systems, tame optimization and applications,Departament de Matematiques Universitat Autonoma de Barcelona, E - 08193 21 ... o- tối thiểu KẾT LUẬN 10 10 11 13 17 20 ii MỞ ĐẦU Luận văn trình bày quỹ đ o hệ gradient hàm xác định với cấu trúc o- tối thiểu Các hàm xác định với cấu trúc o- tối thiểu. .. ) Tiếp theo ta định nghĩa γ(0) = a) Như ta nhận M - hàm γ ∈ C ([0, )) Chương QUỸ Đ O GRADIENT CỦA CÁC HÀM XÁC ĐỊNH BỞI CẤU TRÚC O- TỐI THIỂU 2.1 Quỹ đ o gradient Định nghĩa 2.1.1 Cho hàm f : U... 2.4, chương ) khẳng định rằng: quỹ đ o hệ gradient hàm xác định với cấu trúc o- tối thiểu mà bị chặn, độ dài quỹ đ o phải hữu hạn Luận văn sau giới thiệu khái niệm cấu trúc o- tối thiểu, trình bày