Khoá luận tốt nghiệp toán tìm hiểu về lý thuyết matroid

TRNG I HC s PHM H NI KHOA TON NGUYN TH THANH THY TèM HIU V Lí THUYT MATROID KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Toỏn ng Dng Ngi hng dn khoa hc: TS TRN M INH TC Xuõn Hũa - 2015 LI CAM OAN Tụi ó thc hin ti Tỡm hiu v lý thuyt Matrod Tụi xin cam oan õy l cụng trỡnh nghiờn cu ca riờng tụi Kt qu nghiờn cu ca ti ny m bo tớnh khỏch quan, trung thc, khụng trựng lp vi cỏc tỏc gi khỏc H Ni, thỏng nm 2015 Sinh viờn Nguyn Thi T hanh Thy LI CM N Trc trỡnh by ni dung chớnh ca khúa lun tt nghip, em xin by t lũng bit n sõu sc ti Tin s Trn M inh Tc ngi ó tn tỡnh hng dn em cú th hon thnh ti ny Em cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti ton th cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, Trng i hc S phm H Ni ó dy bo em tn tỡnh sut quỏ trỡnh hc ti khoa Nhõn dp ny em cng xin c gi li cm n chõn thnh ti gia ỡnh, bn bố ó luụn bờn em, ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh hc v thc hin ti ny H Ni, thỏng nm 2015 Sinh viờn Nguyn Th T hanh Thy Mc lc Chng KHI NIM MATROID V H T H N G TIấN E 1.1 K hỏi nim m atrod V 1.2 Tiờn c s 1.3 Tiờn hng 1.4 Tiờn vũng Chng S LIấN H GIA MATROID V Lí THUYET TH 12 2.1 M atroid vũng ca th 13 2.2 M atroid i ngu 18 2 th i ngu 18 2.2.2 M aroid i ngu 19 Chng S LIấN H GIA MATROID VI TRANSVERSAL 20 3.1 Khỏi nim transversal 20 3.2 S liờn h gia m atroid vi transversal 21 Chng S LIấN H GIA MATROID V T i u T H P 23 4.1 T hut toỏn tham lam 23 4.2 V ớd l 24 M U 1.Lớ chn ti Lý thuyt Matroid l mt dng hin i ca hỡnh hc c cp ln u tiờn bi nh toỏn hc Bill Tutte Lý thuyt Matroid l lý thuyt v hp vi cu trỳc c lp xỏc nh trờn chỳng Nh vy, theo lý thuyt chung, nghiờn cu nhng i tng (hỡnh thc) mi quan h vi cỏc i tng khỏc da trờn mt cu trỳc no ú Lý thuyt Matrod ó tng quỏt húa c nhng tớnh cht v s c lp tuyn tớnh, ph thuc tuyn tớnh khụng gian vector v cũn nhiu ng dng i vi lý thuyt th, t hp Hn na, cng v sau ngi ta cng thy Matroid cú ý ngha vi Toỏn hc hin i M c ớch v nhim v nghiờn cu Bc u tip cn tỡm hiu v Lý thuyt Matroid Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu Lý thuyt, dng cỏc phộp suy lun logic tỡm cỏch chng minh mt s nh lý, tớnh cht cha c trỡnh by Phm vi nghiờn cu Khỏi nim Matroid, s liờn h gia Matroid vi lý thuyt th, transvertion, ti u t hp hn ch cỏc ti liu thu thp c B cc B cc ca khúa lun bao gm : M u Chng 1: Khỏi nim Matroid v h thng tiờn Chng 2: S liờn h gia Matroid vi lý thuyt th Chng 3: S liờn h gia Matrid vi transversal Chng 4: S liờn h gia Matroid vi ti u t hp Kt lun Do thi gian thc hin ti khụng nhiu, kin thc cũn hn ch nờn khúa lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tỏc gi mong nhn c s gúp ý v nhng ý kin phn bin ca thy cụ v bn c Xin chõn thnh cỏm n! Chng KHI NIM MATROID V Hấ THNG TIấN 1.1 Khỏi nim matroid u tiờn ta s tỡm hiu matroid l gỡ? Khỏi nim c a sau õy da trờn cỏc c lp ca nn s cựng vi mt s vớ d giỳp ta cú hỡnh dung u tiờn v Matroid Ngoi ta cú th nh ngha Matroid bng cỏc khỏi nim tng ng da trờn c s, vũng hay hm hng c c trỡnh by cỏc mc sau nh ngha 1.1.1 Matroid l mt cp M gm hu hn ca s v h J cỏc s c gi l cỏc c lp ca M nu tha cỏc iu kin sau: M (li) M(2i) N u X e J v Y thỡ Y e M(3i) Nu u , v E F v | | > |v | thỡ s tn ti phn t X Ê ( V U { i} ) G Sau õy ta s xột mt s vớ d minh Vớ d 1.1.1 Cho ma trn di õy vi cỏc nhón tng ng: u V cho 0 0 0 0 1 1 1 Ký hiu E { ,2,3,4,5,6,7 } l cỏc vector ct xỏc nh bi nhón ca chỳng Gi s l h cỏc ch s I c E cho cỏc vector ct c gón nhón bi I l c lp tuyn tớnh Khi ú gm cỏc ca E {7} cú nhiu nht ba phn t loi tr {1,2,4}, {2,3,5}, {2,3,6} v loi c cỏc cha {5,6} Ta c {E, J) l matroid Tớnh cht "c lp" ca cỏc phn t õy chớnh l tớnh cht c lp tuyn tớnh ca h vector ct ca ma trn ó cho Vớ d 1.1.2 Xột th G cho bi hỡnh v Hỡnh 1.1: Th G Xột h cỏc cnh ca G m khụng cha chu trỡnh no ca G Nh vy, cỏc ca J s khụng cha bt k no cỏc sau: {7}, {5,6}, {1,2,4}, {2,3,5}, {1,3,4,5}, {1,3,4,6} Khi ú, E(G) vi h jF xỏc nh trờn lp thnh mt matroid ca G Tớnh c lp ca cỏc phn t xỏc nh bi tớnh cht khụng cha chu trỡnh ca cỏc cnh Matroid xỏc nh nh trờn gi l matroid vũng ca G Vớ d 1.1.3 Cho s hu hn phn t Xột h = {0} ú ta cú ( s , ^ ) l mt matroid c gi l matroid tm thng Xột h = (5*) = 2s ú ta cú th chng minh c (51, ) l mt matroid c gi l matroid ri rc Trờn õy khỏi nim matroid c nh ngha da trờn tớnh c lp ca cỏc phn t Ngi ta cú th nh ngha matroid vi nhng cỏch khỏc, tt nhiờn l chỳng tng ng Sau õy ta tỡm hiu iu ny thụng qua cỏc tiờn 1.2 Tiờn c s Cho matroid M = (s , jF) Xột h khụng rng cú phn t l cỏc c lp ln nht ca s M Vỡ cỏc phn t ca l cỏc c lp nờn l h cỏc c lp ca M B 1.2.1 Nu B\, B l c s ca matrod M thỡ \B\ I = |2 1Chng minh Cho B \, B l hai c s ca M, \B\ I < 1^21- Vỡ B v B l hai c lp nờn tha iu kin M(3i), tn ti phn t e G ( B) cho (B e) G Nh vy B\ khụng phi l c lp ln nht, mõu thun vi B\ l c s, suy gi s sai Vỡ th \B\ I > \I$2 i vai trũ ca B\ v B , tng t ta chng minh c 1^21> \B\ | Suy \B I = 1^21- nh lý 1.2.1 H khỏc rng cỏc hu hn ca s, kớ hiu l l h c s ca mt matrod trờn s v ch tha cỏc iu kin sau: B(li) MBUB2 , B ầ B v B2 ầ B \ B(2i) Nu B , B G v X Ê ( ) thỡ tn ti y G B B\ cho (ò, {>[...]... B \ - x ) u y) Suy * { ) tha món B(2i) Vy * ( ) l c s ca matroid trờn s hay M* = {51, 23*} l mt matroid Matroid trong nh lý 2.2.7 trờn nn S(M) v h c s * ( ) c gi l i ngu ca M Nh vy ( *) = *( ) S liờn h gia M v M* c núi n trong nh lý sau õy nh lý 2.2.2 Trờn mi tp nn s ta luụn cú (M * y = M Matroid i ngu cng cho ta thy quan h rừ hn gia matroid v th Xột th G (V,E), tp cnh c gi l lỏt ct ca... {e} Nh vy, iu kin C(3i) c tha món 11 Chng 2 s LIấN H GIA MATROID V Lí THUYT TH S liờn h gia matroid vi lý thuyt th s cung cp thờm cụng c mang tớnh lý thuyt cú th lm sỏng t nhiu vn trong lý thuyt th Tuy nhiờn s thay th hon ton l khụng th Chng hn trong vớ d sau õy, hai th Q\ v Q2 l khụng ng cu nhng hai matroid vũng M(Q\ ) v M(Qè) l hai matroid ng cu Ta nhc li, M\ = ( S\, 5^1 ) v 2 = (S2 , 3 2... nht) ca matroid trờn E(G) Kớ hiu l M*(G) nh lý sau s cho ta thy mt s liờn h c bit nh lý 2.2.3 Vi mi th G (V,E), ta luụn cú M*(G) (M(G))*, trong M(G) l matroid vũng ca G, M*(G) l matroid vi lỏt ct cc tiu ca th G Chng minh Ta cú M(G) l matroid vũng ca G hay M( G) (E(G),C*) trong ú c* l tp khụng cha vũng ca G (M(G)Y = (E(G*),Q),Q l tp cha vũng ca G* M vũng ca G* l lỏt ct cc tiu ca G chớnh l matroid. .. Ta nh ngha matroid nh trong nh lý l matroid transversal khi 3 l mt h cỏc transversal ca E Vớ d 3.2.1 Cho th G 4 Hỡnh 3.1: th G Vũng ca matroid M(G) l transversal M( G 1 ) = M( A) A = {{ 1)2,7} ,{3,4,7} ,{5,6,7}} 22 Chng 4 s LIấN H GIA MATROID Y TI U T HP chng ny ta s xem xột thut toỏn tham lam thc hin trờn mt matroid trng s bt k 4.1 Thut toỏn tham lam Thut toỏn tham lam nhn u vo l matroid M =... ny, so vi mc ớch ó ra, tụi ó tỡm hiu c nhng kin thc c bn m u cho lnh vc mi ca Toỏn hc C th l nhng ni dung sau: 1 Khỏi nim matroid v cỏc tiờn 2 S liờn h gia matroid v lý thuyt th 3 S liờn h gia matroid v transversal, c th l khỏi nim transversal v matroid transversal 4 S liờn h gia matroid v ti u t hp, c th l thut toỏn tham lam i vi bn thõn, ln u tiờn thc hin mt ti nghiờn cu khoa hc tụi thc s cm thy... X ỗ Si ,x G 5 khi v chớ khi 12 (x) E 3^2 vớ d trờn, ch cn xột matroid ri rc trờn E(G 1 ) v EG) hin nhiờn ta thy M ( G \ ) v M{G 2 ) l ng cu Sau õy chỳng ta s tỡm hiu mt s mi liờn h gia matroi vi lý thuyt th Cỏc kớ hiu liờn quan ti lý thuyt th núi ti trong chng ny c s dng theo [5] 2.1 Matroid vũng ca th Cho th G = (V,E), khỏi nim matroid vũng ca G, kớ hiu M(G) ó c núi n trong chng 1 ú, cu trỳc... chng 1 ú, cu trỳc c lp ca M( G) c xõy dng bi cỏc tp cnh khụng cha chu trỡnh ca G Trong mc ny ta s núi n s liờn h gia matroid vi th thụng qua khỏi nim matroid vũng ca th nh lý sau cú th suy ra ngay t nh ngha nh lý 2.1.1 Cho th G (V, Ê), khi ú mi chu trỡnh ca G s to thnh mt vũng ca matroid M(G) trờn tp cnh E ca G Mt s tớnh cht khỏc Tớnh cht 2.1.1 Nu th G l liờn thụng thỡ mi c s ca M(G) l mt cõy khung... thỡ chn X Vỡ tp 0 l c lp theo nh ngha matroid v X c thờm vo A vi iu kin {jt} l c lp, nờn tp con A luụn c lp theo quy np Vỡ thut toỏn luụn cho ra kt qu l tp c lp v luụn chn cnh cú trng s ln nht tha món qua mi bc, nờn A nhn c luụn l tp c lp cú tng trng s ln nht.Sau õy ta s chng minh thut toỏn tr v mt tp con ti u qua nh lý sau nh lý 4.1.1 Gi s rng M = (s,t) l mt matroid trng s vi hm trng s l C v s c... chng t gi s sai Vy iu kin C(3i) c tha món Cho l h tp con ca s tha món cỏc iu kin ca nh lý 1.4.1, c' l h cỏc tp vi Nh vy l tp c lp, suy ra ỗ Theo nh ngha ỡ 1.1 {s , ) l mt matroid Vớ d 1.4.1 Cho th H bi hỡnh v 2 Hỡnh 1.2: th H Ta cú th nhỡn nhn mt vũng l mt chu trỡnh trong lý thuyt d th Ta s ly mt vũng trong matroid M, l chu trỡnh ca H Tp vũng ca th H gm: {a, b, c, d, e} 10 {a,ej} 6, ỳớ, g... cha hiu i vi ni dung nghiờn cu, tụi thy rng matroid cú th hỡnh dung n gin l mt cu trỳc tng quỏt cho cỏc loi cu trỳc ca toỏn hc C th trong ti ny tụi ó th hin vi cu trỳc tuyn tớnh v cu trỳc ri rc, ngoi ra cũn nhiu loi na m matroid th hin rt hiu qu nhng tụi cha cú iu kin nghiờn cu sõu Matroid l mt lnh vc khỏ mi i vi toỏn hc th gii v c bit l vi ngnh toỏn nc ta Matroid cha c ging dy cỏc trng i hc v rt ớt ... U 1.Lớ chn ti Lý thuyt Matroid l mt dng hin i ca hỡnh hc c cp ln u tiờn bi nh toỏn hc Bill Tutte Lý thuyt Matroid l lý thuyt v hp vi cu trỳc c lp xỏc nh trờn chỳng Nh vy, theo lý thuyt chung,... v Lý thuyt Matroid Phng phỏp nghiờn cu Nghiờn cu Lý thuyt, dng cỏc phộp suy lun logic tỡm cỏch chng minh mt s nh lý, tớnh cht cha c trỡnh by Phm vi nghiờn cu Khỏi nim Matroid, s liờn h gia Matroid. .. s ca matroid trờn s hay M* = {51, 23*} l mt matroid Matroid nh lý 2.2.7 trờn nn S(M) v h c s * ( ) c gi l i ngu ca M Nh vy ( *) = *( ) S liờn h gia M v M* c núi n nh lý sau õy nh lý 2.2.2