2 Không gian xác suất và biến ngẫu nhiên
2.6.2 Hội tụ theo xác suất
Định nghĩa 2.42. Ta nói rằng dãy các biến ngẫu nhiên (fn) hội tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên f nếu với mỗi ε > 0 ta có
P({ω : |fn(ω)−f(ω)| ≥ ε}) →0 khi n → ∞.
Ta cần lưu ý rằng fn → f theo xác suất nếu và chỉ nếu (fn−f) →0 theo xác suất.
Mệnh đề 2.43. Nếu fn → f và gn → g theo xác suất thì fn+ gn → f +g theo xác suất và fngn →f g theo xác suất.
Chứng minh. Với ε > 0 cho trước ta có
|fn(ω) + gn(ω)−f(ω)−g(ω)| ≤ |fn(ω)−f(ω)|+ |gn(ω)−g(ω)| và do đó {ω : |fn(ω)−f(ω)| < 12ε} ∩ {ω : |gn(ω)−g(ω)| < 12ε} ⊆ {ω :|fn(ω) +gn(ω)−f(ω)−g(ω)| < ε}. Từ đó ta có {ω : |fn(ω) +gn(ω)−f(ω)−g(ω)| ≥ ε} ⊆ {ω :|fn(ω)−f(ω)| ≥ 12ε} ∪ {ω : |gn(ω)−g(ω)| ≥ 12ε}. Do đó P({ω : |fn(ω) +gn(ω)−f(ω)−g(ω)| ≥ ε}) ≤ P({ω : |fn(ω)−f(ω)| ≥ 12ε}) +P({ω : |gn(ω)−g(ω)| ≥ 12ε}) →0 khi n → ∞. Cuối cùng ta sẽ xét ba trường hợp:
Trường hợp 1. Giả sử fn → 0 theo xác suất, g là biến ngẫu nhiên bất kì, ta đi chứng minh fng → 0 theo xác suất. Thật vậy, ta đặt
Bm = {ω : |g(ω)| < m} với mỗi m ∈ N. Ta thấy Bm ⊆ Bm+1 và S
m
Bm = Ω. Khi đó ta có P(Bm) ↑ P(Ω) = 1. Do đó
Nhưng mặt khác với mỗi ε > 0 cho trước ta có
{ω : |fn(ω)g(ω)| ≥ε} ⊆ {ω : |fn(ω)| ≥ mε} ∪ {ω : |g(ω)| ≥ m}, do đó
P({ω : |fn(ω)g(ω)| ≥ε}) ≤ P({ω :|fn(ω)| ≥ mε}) +P({ω :|g(ω)| ≥m})
(2.4) với m ∈ N. Với δ > 0 cho trước, cố định m sao cho
P({ω : |g(ω)| ≥ m}) < 1
2δ.
Khi đó tồn tại N sao cho với mọi n > N ta có
P({ω :|fn(ω)| ≥ mε}) < 1
2δ.
Từ đó theo (2.4) ta có
P({ω : |fn(ω)g(ω)| ≥ ε}) < δ, với n > N, tức là fng →0 theo xác suất.
Trường hợp 2. Giả sử fn → 0 và gn → 0 theo xác suất. Ta đi chứng minh fngn → 0 theo xác suất. Thật vậy, với ε > 0 bất kì ta có
{ω : |fn(ω)gn(ω)| ≥ ε} ⊆ {ω :|fn(ω)| ≥ε} ∪ {ω :|gn(ω)| ≤1}. Do đó
P({ω : |fn(ω)gn(ω)| ≥ ε}) ≤ P({ω : |fn(ω)| ≥ ε})+P({ω : |gn(ω)| ≤1}) →0
khi n → ∞. Điều này chứng tỏ fngn → 0 theo xác suất.
Trường hợp 3. Giả sử fn → f và gn →g theo xác suất. Khi đó ta viết fngn −f g = (fn−f)(gn −g) + (fn−f)g+f(gn −g).
Theo giả thiết, fn → f và gn → g theo xác suất nên ta có (fn −f) → 0
và (gn −g) → 0 theo xác suất. Sử dụng các kết quả đã có ở trên ta nhận thấy (fn −f)(gn −g) → 0 theo xác suất, (fn −f)g → 0 theo xác suất và f(gn − g) → 0 theo xác suất. Do đó (fngn − f g) → 0 theo xác suất hay fngn → f g theo xác suất.
Mệnh đề 2.44. Nếu fn h.c.c
−−→ f thì fn → f theo xác suất.
Chứng minh. Với ε > 0 và δ > 0 cho trước, ta đặt gn = |fn−f| và A = {ω : gn(ω) →0 khi n → ∞}.
Do (fn−f) →0 theo xác suất nên
P({ω : |fn(ω)−f(ω)| → 0 khi n → ∞}) = P(A) = 1. Vớim ∈ N, ta đặt Am = {ω :gn(ω) < m1}, n đủ lớn. Khi đó Am = S k Akm với Akm = {ω : gj(ω) < m1 với mọi j ≥ k}= \ j>k {ω : gj(ω) < m1}. Ta có A ⊆Am do đó P(Am) = 1. Hơn nữa ta có Akm ⊆ Akm+1, do đó P(Akm) ↑ P [ k Akm = P(Am) = 1 khi k → ∞.
Cố định m ∈ N sao cho m1 < ε. Khi đó ta có P(Akm) > 1−δ với k đủ lớn, nghĩa là P({ω : gj(ω) < m1,∀j > k}) > 1−δ với k đủ lớn. Do đó ta có {ω : gj(ω) < m1,∀j > k} ⊇ {ω :gj(ω) < m1,∀j ≥ k}, từ đó P({ω : gj(ω) < m1,∀j > k}) ≥P({ω : gj(ω) < m1,∀j ≥ k}) > 1−δ với k đủ lớn. Từ đó ta có P({ω : gj(ω) ≥ ε}) ≤P({ω : gj(ω) ≥ m1}) < δ với k đủ lớn và j > k.
KẾT LUẬN
Với nhiệm vụ nghiên cứu đã đặt ra, em đã hệ thống hóa được một số kiến thức cơ bản về đại số và σ- đại số, độ đo trên đại số tập hợp, mở rộng độ đo, độ đo Lebesgue trên đường thẳng, hàm đo được, độ đo hữu hạn, hàm số Borel, tích phân; trình bày được cơ bản về định nghĩa không gian xác suất, biến ngẫu nhiên, tìm hiểu được về hàm phân phối xác suất, kỳ vọng, hàm đặc trưng của biến ngẫu nhiên, nghiên cứu được về sự độc lập và sự hội tụ của các biến ngẫu nhiên.
Hướng phát triển của đề tài: Qua việc nghiên cứu, đề tài cũng đặt ra những hướng nghiên cứu tiếp theo, chẳng hạn như nghiên cứu về Luật số lớn, Định lý giới hạn trung tâm cùng với những ứng dụng quan trọng của Lý thuyết xác suất trong thực tế.
Trong quá trình thực hiện và hoàn thành khóa luận, mặc dù đã có nhiều cố gắng song không tránh khỏi những thiếu sót. Em mong nhận được sự chỉ bảo, đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận được hoàn thiện hơn.
TÀI LIỆU THAM KHẢO
[1]. Phạm Văn Kiều (2004), Giáo trình Xác suất và Thống kê, NXBGD. [2]. Đặng Hùng Thắng (2005),Mở đầu về Lý thuyết xác suất và các ứng dụng, NXBGD.
[3]. Phạm Minh Thông (2007),Không gian tôpô - Độ đo - Tích phân, NXBGD. [4]. Nguyễn Duy Tiến, Vũ Viết Yên (2003), Lý thuyết xác suất, NXBGD. [5]. I. F. Wilde,Measure, Integration and Probability, King’ s College London.